Die durchführung von leckrechnungen im schiffsentwurf

,SCIIIFFSTEC Ofik.

FORSCJIUGSIIEFTE FIJR SCHIFFBAU UD SCIIIFFSMASCllINEBAU

Die. Durthführung von Leckrethnungen im Schiffsentwurf,

Dipl.JngK, Kn ü pffer, .Hannover*)

Lecicrethnun gen geben Au/sdiluß über das Verhalten eines Schiffes in beschädigtem Zustand. Man führt sie

für eine Anzahl von angenommenen Ledcfäilen des Sclzifles durch, um dessen Sidzer/zeit gegen Sinken und

Kentern bearteilen und danach beeinflussen zu kännen. Ledcredinungen sind wegen ihres erheblichen nume-rischen Aufwandes unübersichtlich und äuBers langwierig. Zudem liefern sie erst in einem weit fort geschritte. n en Eni wu r/sstadium ausreichend genau e und volistiindige Ergebnisse. .

-loi vorliegenden- ersten Teil dieser Arbeit wird nach einer Übersicht über die h kannten Methoden der Leckredn-nung -beschrieben; wie durcii den Einsatz elektrúniseizer Rechenanlagen (iBM 650) der Zeit- und Arbeitsau/. wand bei Lethrechn ungen weitgehend weg/ällt; ...

ill it (len im Rahmen dieser Arbeit au/gestellten P'ogrammen für den Elektronenrechner wurden systematische LcckreJthungen an. verschiedenen normalen Schiffs formen durchgeführt. deren Auswertung lur Aufstellung

von Entwurf sdiagrummen geführt haben. - -.- . .

Diese Entwur/sdiagrwnme für das Leckverhalten von Schiffen ermöglichen bereits in einem frühen Stadium des

-Entwurfes praktisch ohne Rechnung eine Beurteilung der wasserdichten Unterteilung im Hinblick auf Lecks. Die

Diagramme. ihre Au/stehlutzg und Handhabung, Betrachtungen über die durch sie erreichbare Genauigkeit sowie zahlreiche Beispiele sind der Inhalt des zweiten Teils dieser Arbeit. der demnächst ebenfalls in dieser

Zeitschrift erscheinen wird, . .

I. Einleitung

Wird ein Schiff beschädigt, so ist die Wahrscheinlichkeit,

daß es audi bei Wassereinbrudi schwimmfähig gehalten

wer-den kann, abhängig von der wasserdiditen inneren Untertei-lung desSdiiffskörpers. Eine solche Unterei1ung.

insbeson-dere durch wasserdichte Querschotte. ist für dic Sinksicherheit

des Schiffes nur dann wirksäm, wenn nadigewiesen werden.

kann, daß nach t7berflutung éinzelner wasserdicht begrenzter

Abteilungen oder Abteilungsgruppen das Schiff nodi stabil schwimmen kann. Diesen Nachweis, der fast immer

rechne-nisch geführt wird, nennt man Leckrethnung.

Die Aufgabe, das Verhalten eines teilweise überfluteten

Schiffes vorauszubestimmen, scheint nach den Hinweisen im Schrifttum zuerst von Middendorf in der uns heute geläufigen

Weise untersucht- worden zu sein. Nach dem Unter an" s

Schnelldamper ,,Elbe" 1895 hat idde.ndòrfjri_ffl'), bereits

¿T bei F'luturig von Ruiinieximit versdiiedenartig -zusammen-gesetztem innerem Aufbau auftretenden gefährlichen Erschei-

-n'lingen angegeben und vernünftige Gegenmaßnahmen vor-. ffTagen. i

Sccberufsgenossenschaft über wasserdichte Schotte für Post-and Passagierdampfer (beschriebeñ in-[2J). Hiernach wird die

Stellung der Schotte beim Entwurf bestimmter Schiffstypen iidit mehr der Willkür überlassen. sondern es müssen

fest-eIegte Bedingungen über höchstens zulässige Eintauchung des chiffes-berücksiditigt werden. Dies geschieht in einer Sonde-.

iufabe der Leck.rechnung, die als ,,Scfionedrnung" be

tannt ist.

ngen" (Sdiottkurve). Der Vorteil dieser Art der

Leek-ntersudiung ist die Eindeutigkeit, mit der sich zulässige

khottstellúngen ohne großen Aufwand und ohné genaue

(enritnis der inneren Getaltung der Einzelräume irh Vorwege

-1) Dic cccigen Klammern beziehen sich auf das Schrlfttumsver. cichnis am Schluß der Arbeit,

Heft 41, April 1961 (8. Band)

bestimmen lassen. Ihr Nachteil ist die Vernachlässigung der

Qucrncigungen und der

Querstabilität des Schiffes. Sie

assen sich allerdings nur bei bereits festge egter

iott-stellung und Anordnung der Einzeiräume im Schiff genügend

-genau bestimmen, was mit sehr viel größeremAufwand ver-hunden ist, Dieser Mangel war bereits Middendorf bekannt. In den Jahren 1912 bis 1915 wies Flamnrin -einer Reihevon

Arbeiten [2, 3, 4] und Diskussionsbeiträgen immer wieder auf-die Unzulänglidikeiten der Sdiottenredinung hin und forderte

ausführlichere Leckrechnungen. Trotzdem verging nodi fast

ein halbes Jahrhundert, bis sdi!ießlidi im Internationalen

Sdiiffssicherhcitsvertrag von 1948 [6] der Nadiweis ausrei-chender Schwimntfähigkeit und Stabilität von beschädigten

Fahrgastsdiiffen vorgeschrieben wurde,

Es wäre übertrieben, die verhältnismäßig späte Einführung,

der Berechnung der Stabilität beschädigter Schiffe-mit der

.Scheu vor allzu großem Rechenaufwand erklären zu ollen.

Doch kann man sicher annehmen, daß die Schwierigkeiten

der praktischen Durchführung von vollständigen

Leek-rechnungen bei den meisten der um - die Schiffssicherheit --bemühten Fachleute Unsicherheiten über die etwaigen

Aus-wirkungen von Stahilitätsforderungen hervorriefen. Diese

Leckrechnungen, deren Grundlagen zwar längst -bekannt

waren, ließen sich nicht so leicht überblicken wie-etwa die Schottkurve. Es war unklar, was man fordern sollte, um

be-friedigende Sicherheit im Leckfall zu erreichen,.und auch, was

man fordern konnte, ohne die Wirtschaftlichkeit der Schiffe

und ihr Seeverhalten zu sehr zu beeinträchtigen. - -

-In diesem Sinne muß man die mit dem Untergang des

Schnelidampfers ,,Titanic" im Jahre 1912 einsetzenden

Be-mühungen um ein; internationales

Cbereinkommen zum ) Von der FakuLtät für Maschinenwesen der Technischen Hoch-schule Hannover genehmigte Dissertation. Eerichter: Prof. Dr.-Zng.

K. Wend ë t, Prof. Dr.-Ïng. e. h. Dr.-lng. G. Wein b Lu

m.Etn-gereicht am 10, Januar 1961, mündliche Prüfung am 8. März 1961.

Schutze des menschlichen Lebens auf Sec btradten. Es fan-den internatidnale Sdiiffssic}ierheitskonferenzen in fan-den Jah-ren 1913, 1929, 1948 und 1960 statt;Keine von ihnen

ver-mochte es, alle an sie herangetragenen Probleme zu lösen, alle

Wünsche und Forderungen zu erfüllen. Wenn seit 1948

un-gefähr all das eine internationale gesetzliche Regelung erfah-ren hat, was Flamm seinerzeit forderte, so ist das weniger ihm als den Arbeiten der Amerikaner Niedermair [7], Macmillan

und Comstock [8] sowie Russo und Robertson [9] zu

verdan-ken, die neben eine- übersichtlichen Darstellung der

auf-tretenden Erscheinungen im Leckfall in Bildern und Diagram-nit-n erstmalig genaue Reehenanleitungen zur praktischen Durchfiihrung von Leckreduiungen angaben. Audi die Erfah-rungen mit der großen Zahl von Schlifsuntergängen im zwei-ten Weltkrieg haben dazu beigetragen, daß

Leckstabi1itätsvor-schriften in den Vertragstext des Jahres 1948 aufgenommen wurden.

Nachdem jetzt auch in den Internationalen Sthiffssitherheits-Vertrag die Bestimmung eingefügt wurde, daß eine Besdiädi-gung des Doppelbodenbereiches der Schiffe in die Leekreth-nungen einzubeziehen ist, hierdurch müssen die Unter -sudiungen auch der ganzen Vielfalt unsymmetristher

Tank-fl'utungen Rechnung tragen karin man die heute an den

Ent-wurfsingenieur. gestellte Aufgabe, ein Schiff richtig zu unter-teileñ, wohl als die umfangreichste und schwierigste Teilarbeit im Schiffsentwurf ansehen.

Dabei Ist die Leekrechnung selbst eine recht einfache

Auf-gabe der Mechanik. Sie besteht lediglidi. ñus Betrachtungen über das Gleichgewicht der auf das Sdiiff wirkenden Kräfte

und deren Momente. Einzig die Durchführung solcher Rech-nungen ist schwierig und zeitraubend wegen der

Eigentümlich-keiten der Schiffsform, wegen der inneren baulichen

Gestal-tung der überfluteteñ Bereidie des Schiflskörpers und schließ-lich wegen der Mannigfaltigkeit der mögschließ-lichen Flutungen.

Es ist das Ziel dieser Arbeit, den mit einer Leckrethnung

verbundenen Aufwand zu verringern. Darüber hinaus soll sie

dem Entwurfsingenieur Anhaltspunkte für eine möglichst wirk-same Unterteilung der Schiffe lieférn und ihn damit in die Lage versetzen, die Schotte bereits in einen früheren

Ent-wu rfsstadiurn richtig zu stellen.

Es sei betont, daß dic Leekrechnung und damit auch die vor-liegende Arbeit ini Hinblick auf die Beurteilung. und die Be-messung der Sicherheit eines Schiffes bei Beschädigungen ine

Teilaufgabe darstellt,- deren Löung allein nicht ausreicht,

iiber die tatsächlich vorhandene Sicherheit eines Schiffes

aus-zusagen. Den Ralimn für..eine, umfassende Behandlung der

-Sicherheit vrlettei- Schiffe im Sinne einer Wahrscheinlichkeit des Uberstehens von Vei'letzungen hat Wendel in seiner

grund-legenden Arbeit [10] gesteckt. In diesem größeren

Zusam-menhang gesehen, ist die Leckredinung nichts weiter als eine

Nebenrechnung, die ärer1icherweise thehr Zeit in Anspruch

nimmt, als ihr zukommt.

H, Uhersiclit über (lie Metbodeñ der Leckrechnting

1; Grundlagen

In. einer Leckrechnung wird untersucht, wie sich eine an-genommene Swimmlage eines Schiffes ändert, wenn eine Abteilung oder Abteilungsgruppe überflutet wird. Hierin ist für die -neue Schwimmlage. die Unteruchung der Stabilität

eingeschlossen.

-In einem stabil sthimmenden Schiff herrscht beziglith aller

wirkenden Kräfte und Momente Gleichgewicht in einer

be-stimmten Sdiwimmlage. Die bei -Beschädigung eindringende Leckwassermenge führt einen neuen Gleidigewidrtszustand in einer anderen Schwimmlage der Endschwimmlage

her-bei, in der die Wasseroberfläche im Leekraum ebenso hoch wie

Schilistechnik Bd 8-1961 Heft 41 - . .

52

-der äußere Wasserspiegel liegt. Auf dem Wege bis dahin wer-den mehr- oder weniDcr rasch Zwischenzustände der Fiuturìg durdilaufen. Die Anderung der wirkenden Gewidits- und Auf-.triebskräfte während des Flutvorgangs hat eine zusätzliche Ein-taudiung des Sdiiffskörpers zur Fplge. Dic Anderung der wjr-kenden Momente dieser Kräfte ist im allgemeinen mit

Drehun-gen des Schiffskörpers um die (Längs- und Querachse

ver-bunden.

/

-Zur Ermittlung der Sdiwimmlage während und nach

an-genommenen Flutungen geht man zweckmäßig schrittweise vor. Zunächst werden Eintauchung und Drehungen-uni (lie Quer-achse (Vertrimniungen) behandelt. Anschließend wird d je

Querstabilitiit des Schiffes in der neuen Schwimmlage behan-delt, woraus sich Neigungen um die Längsachse (Krängungen)

-bestimmen lassen.

Ein Teil der hierbei auftretenden Kräfte und ihre Angrills-punkte hängen lediglich von der Form des Schiffes und der inneren Raumaufteilung ab. Sie können eindeutig bestimmt

werden. Die Lage des Gewichtsschwcrpunktcs G - dagegen

hängt von der Verteilung der Gewichte im Schiff ab. Die ge-naue Bestimmung der Lage von G ist im Entwurfsstadium so gut wie unmöglich. Zudem -ist sie, selbst beim fertigen.

SchifF, beträchtlidien Schwankungen unterworfen, je nach dem Beladungszustand des Schiffes.

-Daher geht man bei Leckxeclinungen. indér:Rege1 so vor,

daiS man die Lage von G nidit zu einer Voraussetzqg4

Erebnis macht. D. h. man be-Fliirtrenzlagen des Gewichtsschwerpunktes, bei denen

ge--- wisse vorgegebene Bedingungen über Eintauchung, Neigung und Stabilität im Leckfall gerade erfüllt sind. Auf diese Weise wird die ganze Leckredinung zu einer rein geometrischen Auf-gabe, was der praktischen Durchführung sehr zugute kommt.

Ob die errechnete Grenziage für G bei der praktischen Bau

-ausführung sowie im Betrieb des Schiffes eingehalten werden kann. ist eine Frage, die nicht mehr zur Leckrechnung gehört.

Im einzelnen ergibt sich daraus folgendes: Die Koordinate des Punktes G in Schiffslängsrithtung ist durch die Wahl der

Ausgangssthwimmlage WL0 eindeutig festgelegt. Sie stimmt

mit der Längskoordinate des Formsthwerpunktes F überein:

anderenfalls würde zwischen den beiden in der Ausgangslage

WL einzig betrachteten Kräften P und A ein Kräftepaar

ent-stehen und WL0 wäre keine Gleichgewichtslage. Der Punkt F

aber kann aus der Form des eintauchenden

Sdiiflskörper-volumens berechnet werden.

Die zulässige größte Koordiiiate des Punktes G der Höhe nach erhält fian durch die Untersuchung der Querstabilität

des lecken Schiffes. Dabei sind symnetrische und

unsyniine-trische Überflutungen zu unterscheiden. Bei Flutungen

sym-metrisch zur Symmetrieebene des Schiffes wir eine

minde-stens erforderliche Stabilität des lecken Schiffes in aufrechter Lage vorgegeben, bei unsymmetrischen Flutungen werden der Rechnung höchstens zulässige Krängungen zugrunde gelegt.

Zur Beurteiling der Querstabilität sowie zur Berechnung

von Neigungswinkeln eines Schiffes dient die Hebelarmkurve

h (w). h ist für jede Neigung q der-Hebelarm des

aufriditen-den Kräftepaares zwischen Gewiehtsvektor P und Auftriebs-vektor y - V. Im Bereich kleiner Neigungswinkel ip läßt sich

di Hebelarmkurve dui-th ihre Tangente im Ursprung MGq

ergetzen. Die Metazentrisehe Höhe MG is(alsó annähernd

pro-portional dem rüdcdrehenden Moment, welches das Schiff einer kleinen Neigung entgegensetzt. MG ist somit ein Maß

für die Stabilität des Schiffes in aufrechter Schwimmiage. Für

--die. Bestimmung von MG gilt: - -

-MG=KF+MFKG

(1)

M1

.KF

=

V

V.

Eine. symmetrische Uherfiutung yon' Abtilugen 'eines'

Schiffes hat eine Änderung von MG0 um den Betrag AMG zur

Folge. ,MG ist in vielen Fällen negativ, cl. h. MG1 des be

schädiglen Schiffes in der Endscliwirtmlage ist oft wesentlich kleiner als MG0 der Ausgangssdiwimmlage. Legt man einen Gien'.wert für MG1 fest - MG1 ijnd -, so kann Gleichung (1)

+

-

. ist in der angenommenen Schwinimwasscrlinie WL1 noch

geschrieben werden: .

(2)

kein Gleichgewicht erreicht, also GJeidung (4) noch nicht hin. Hierin können die Strecken.KF1 und MF1 der Endschwimm- _. reichend genau erfüllt, so muß man die Rechnung für eine lage aus der Geometrie des' Schiffskörpers berechnet werden. neue korrigierte Sdiwimmage WL0 und notfalls für weitere

MG1 ,. wird vorgegeben. Damit ist für die Höhenlage des

Schwimmlagen wiederholen. Diese Korrekturen werden je.

nach Größe und Vorzeichen der Ab'eichungen sowohl in einer

Gewichtsschwerpunktes eii Grenzwert angegeben.

' vertikalen Verschiebung als auch in einer Verdrehung des

Handelt es sich um unsymmetrische Flutungen oder werden Schiffes bestehen müssen.

sonstige kippende Momente (\Vinddruch, Ladurigsversthie. _{Diese Methode ist als Probe für alle auf andere Weise}

er-hung. Uberlaufen von Personen usw.) berücksichtigt, so sind - mittelten Leckschwimmlagen zu empfehlen. Dabei genügt meist Krängungen des Schiffes zu erwarten. Die geneigte Lage des

_{ein Schritt der Iteration. Häufig zeigen sich dabei über- I}

Schiffes ist eine Gleichgewichtslage, in der die Summe der kip- _{raschend große Ungenauigkeiten der angewandten üblichen} penden Momente '1k gleich dem aufrichtenden Moment Ma ist. ' Näherungsmcthodcn. etwa bei Benutzung des sogenannten

l)ie Momente ersetzt roan gern durch ihre auf das Schiffs. _{Einheitstrimmomentes [31]. Man sollte deshalb die meisten}

gewicht P bezogenen Hebelarme. Man kann also den sich ein:, der gebräuchlichen Methoden lediglich als Hilfe zur besseren seilenden Neigungswinkcl bestimmen, indem man die Hebel- _{Sdtzung der Endschwimmlage für diese- genaue Rechnung} Mk (q,)

ansehen. sofern es auf die Genauigkeit der Resultate

an-mit der arrnkurve der kippenden Momente k

=

' . .

-- M4 (q,) Es sei hier noch ein Verfahren des Verfassers erwähnt, thit

Hebelarnikurve der aufriditenden Momente h (tP)

₌

dem sich eine ähnliche Genauigkeit für Eintauchung und Trimm erzielen läßt [13]. Es ist dies ein mehr graphisches

T

Verfahren. das ebenfalls auf einer Iterationsrechnung beruht.

-

Die zweite Teilaufgabe der Leckredinung,

die

Unter-- suchung von Stabilität und Krängungen in der eingetauchten

z. B. damit die Obekanten:der Schotte an der eintauchenden _{und vertrimmten SchwFmmlage wird nach der Vorstellung}

weg-- Schiffsseite nicht überspültwerden. Damit wird einebestinuiìte

- fallender Auftrieb wie folgt bearbeitet:

Hehelarmkürv' h (q,) erfrdcrlich, welche die vorgegebene

-Zunächst fragt man ath dem Einfluß der{)berflutuñg auf Kurve der krängenden Hebelarme k (q,) gerade in dem

ge-wünschten Punkte q-1 schneidet. Die Gestalt der Hebelarm- MG. MG ändert sich um die Strecke die sich wegen der

kurve h (q,) für einen bestimmten Schwimmzustand ist aber unveränderten Lage des Gewichtsschwerpunktes G allein aus

nur abhängig von der Steigung ihrer Tangente im Ursprung. der Veränderung der Lage des Metazentrums M ergibt. Es

Dic Hebelarmkurve, die gerade den Schnittpunkt. cp ergibt, gilt: sei durch gekennzeichnet. Man kann dann in Gleichung

(2) MG1 niiiiiersetzen 'durch MG, und, erhält für diesen Leek- - Mit den Beziehungen MF

=

Jn/V; M1/V gilt f iir die

fall mit. der gewünschten Grenzneigung p einen Grenzwert Änderung dieser Größen:

für lie Höhenlag dès Gewithtssthwerpuktes KG1:

+

r1

zum Schnitt bringt. - ' . .

-Bei Leckredinungen ist of t ein Grenznéigtingswinkel WO

vorgegeben, über dcñ' hihaus das Schiff nicht krängen darf,

('3)

Leckrethnungen lassen sich nach zwei voneinander

abwei-chenden Vorstellungen durchführen, die mit ,,wegfallender

Auftrieb" und ,,hinzukommendes Gewicht" bezeichnet werden.' 2. ft"eg/allender Auf irièb

Bei der Anschauung wegfalIendr Auftrieb stellt man sich

-vor, daß die' überfluteten Räume zum Auftrieb des Schiffes

kéinén Beitrag ñiehr leisten: hingegen bleiben das Gewicht

des Schiffes und die Lage seines Gewichtssehwerpunktes

un-verändej't. Die eigentlichen Berechnungen beziehen sich auf den, verbliebenen Restschiffskörper.'

Zunächst sei die erste Teilaufgabe, de Bestimmung von Ein-tauchung und Vertrimmung nachl dieser Anschauung betrach" tel. Man kann 'dabei auf verschiedene Weise vorgehen [7, 8,

9, 11] [12, 1:3, 31]. 'Die meistendieser Methodcñ sipd mehr

= -

i1J110 + M111xv mjjjMjj0)

(6) War die metazeiitrisde Höhe vor der Uberfiutung MG0, so wird sie nach der Beschädigung MG1

=

MG, +'MG. Wird

gefordert, daß sie einen bestimmten Wert nicht unterschreitet,

so darf die metazentrisdie Höhe des unbeschädigten Schiffes nicht kleiner werdenals

-' _{- MG0}

_MGIOII,1LMG.

₍₇₎

Unsymmetrische Überflutungen ergeben sich, wenn Teile inerhalb des Überflutungsbereidies unverletzt oder weniger oder weniger genaue Näherungslösungen. Die genaueste

Methode ist in 181, Seite 184, angegeben. Es handelt sich um ein Iterationsverfahreri. bei dem zunächst die vermutlidie

End-sdiwimmwasserlinie geschätzt oder durdi ein

Näherungsver-fahren bestimmt wird. Für diese Wasserlinie WL1 werden dic

Verdrängung des Restsdiiffskörpers V1xv1 und das

Volu-menmoment des Restschiffskörpers bezogen auf eine beliebige

vertikale Achse in der Symmetrieebcne des Schiffes M11

--m11 bestimmt. Da das Schiffsgcwicht sowie der Gewidits-schwerpunkt unverändert, bleiben, muß im neuen

Gleich-gewiditszustand gelten:

Vcv1V,

M11 cm11

=

M, -

' (4)

AMF

-AMG

=

¿SMF + i\KF. (5)

JBlXF - iRiJIlo

-; 53 Schlffstechntk Bd. 8 1961 Heft 41 Vo '

MlII.xrrnulMH0

-vo so daß man Gleichung (5) schreiben kann:

stark durchflutet werden, die nicht symmetrisch zur Symmetrie-ebene de Schiffes liegen. Dadurch ist der Auftriebsvektor des Restsdiiffskörpers nach der Seite verschoben. in der aufrech-ten Lage ist dann kein Gleichgewicht möglich. Bestimmt man fur den Restschiffskörper die Hebelarmkurve des

aufrichten-den Momentes. so ist ihr Ursprung auf der Abszisse'hiszu

einem Winkel q> O verschoben, der die neue gekrängte

Gleichgewichtslage angibt.

Es ist eine sehr mühsclige Arbeit, Hehelarmkurven für

der-artige Restsdiiffskörper zu bestimmen, die in der Regel audi noch stark vertrimmt sind. Sie ist bei der großen Anzahl der

zu untersuchenden Leckfälle kaum gerechtfertigt, wenn man

auf normale Hilfsmittel angewiesen ist. Für mittsdiiffs

ge-egenc Uberilutungen, bei denen kein nennenswerter Trimm auftritt, wird diese Arbeit jedoch gelegentlich durchgeführt.

Um auch hier von der Lage des Gewithtssdiwerpunktes unab-hängig zu sein, bestimmt man nidit die Hebelarme h des

auf-richtenden Kräftepaares, sondern die Abstände w des

Auf-lrjebv,ktors von einer auf der Wassei-linje senkrecht

stehen-den Achse durch stehen-den festen Kielpunkt K, also die

,,Panto-karcncn" des Restschiffsköi-pers. Wird nach der metazentri. schen l'löhe MG,, in Gleichung (3) gefragt, die erforderlich Ist,

um einen Grenzneigungswinkel einzuhalten, so kann man direj}jen:

h

=

_{wrsi (CPu)}

KG Sin' (;

₌

O

und mit Gleichung (1):

Wrc.,t (q>c,)

(1"ret + MFrest__,p)

n q>tj O (Pc)

'P re,,t rest

qk

Wr,.terhält man, indem man das Moment der wegfallenden

Verdrängung bezogen auf die senkrechte Achse durch K von dem Moment der Gesamiverdrängung abzieht und die Diffe-renz durch die Restverdrängung dividiert.

Dieses Vorgehen hat neben dem erforder1ithn erheblichen Aufwand noch den Nachteil, daß die Pantokarenenwerte_Wrct für kleine Winkel, um die es sich hier meistens handelt, nicht sehr genau ermittelt werden können Deshalb zieht man in den meisten Fällen nicht exakte Lösungen vor, die oft sogar größere Genauigkeit aufweisen.

Man kann (len krängenden Einfluß aus dem Gesamtauftrieb

heraustrennen, wie aus Bild i zu ersehen Ist. Es entsteht ein

Kräftepaar A, - d,, (Bild la)., welches das Schiff wie ein von

außen wirkendes Moment krängt. Im übrigen ist die

Betrach-tung so, als läge Symmetrie vor. Für den nach Eintritt der

Ki-iingung erreichten Gleidlgewichtszustand nach Bild lb kann

man schreiben:

a) Bild i b)

Vor der Seschädigùng:

\Vasserlinie WL0, Formschwerpunkt F0, Metazentrum M1, Ungekrängte Zwischenlage nach der Beschädigung: Wasserlinie 'NL1, Formschwerpunkt F1, Metazentium Mt. Es wirkt das Moment: d,, A,,. Es herrscht kein Gleichgewicht

Gekrängte Endlage nach der Beschädigung:

Wasserlinie WL.,, Formschwerpunkt F. Es wirken die Momente:

cl,, COsq h P. Es herrscht Gleichgewicht

x.A,.d,«cosq>=P-h=

=

+

MFresttgzq,)sin.

Setzt man den Neigungswinkel q> gleich dem höchstens

zu-lässigen Grenzneigungswinkel und löst man Gleichung (9)

nach MG1

=

MG,, auf, so gilt:

X 'A,, - (I,,

-

_WFr,

"

P'tgq>

2

Die Berechnung des Beiwertes , der ebenfalls eine

Funk-tion von q> ist, Ist bereits für unbeschädigte Sdiiffe mit be

trächtlichem Aufwand verbunden, vergleiche [14, 15]. Es wird jedoch meist eine Schätzung von genügen (vgl. [16]), da bei

kleinen Winkeln q. uni die es sich hier zumeist liandelt, das

Quadrat des Tangens klein von zweiter Ordnung ist, ein falsch geschätzter Wert wohl kaum ins Gewidit fällt.

Die metazentrische Höhe des unbeschädigten Schiffs in der Ausgangsschwimmlage darf nach Gleichung (7) nicht kleiner werden als

MG0MG,,,MG.

(1!) Zwisthenzustände der Uberfiutung können bei der Vorstellung

wegfallender Auftrieb berücksichtigt werden, indem mati

innen im Leckraum den Wasserspiegel entsprechend tiefer an-nimmt als außen. Der Bereich des Leekraumes zwischen Innen-und Außenwasserspiegel trägt also nodi zur Auftriebshildung

bei. An den Gleichungen und der Durchführung der Berech-nungen ändert sidi dabei nichts. Es muß allerdings für jeden

Zwisdienzustand eine eigene Leckrechnung curchgeführt

werden.

3. Hinzzikomnzendes Gewicht

Werden Leckredinungen nach der Anschauung hinzukom-mendes Gewicht durchgeführt, so stellt man sich das eindrin-gende Wasser als zusätzlichen Gewiditsanteil vor, der wie eine

flüssige Ladung zu handhaben ist. Dabei ändert sich

_das

Schiffsgewicht sowie die Lage des Gewiditsschwerpunktes,

Bei der ersten Teilaufgahe der Leekredinung, der

Bestirn-mung von Eintauchung und Vertrimniung, geht man hierbei in

der Regel so vor,daß,man einen angenommenen

Wasserspie-gel im Leckraum nacheinander von unten schrittweise erhöht. Für jede der so entstehenden Leckwassermengen wird

Eintau-chung und Trimm berechnet. Man erfaßt damit nebenbei die

Zwisthenzustände der Uberfiutung. Dèr Gleid1gewid1tszus0fl(,

bei dem Außen- und Innenwasserspiegel gleidi _{hoch stehen,}

wird durch Interpolation gefunden.

Da hierbei immer der Auftrieb des ganzen Schiffes dem Ge' widit des eindringenden Leckwassers gegenübergestellt _wird, (9)

t.g2 q)1,;. (IO)

-liegt es nähe, die für die Rechnung benötigten geometrischen Gr-dßen des Sdiiffskörpers für den in Frage kommenden Be-. reich der Tauthungen und Vertrimmungen im Vorwege zu be-rechnen. Trägt man die Ergebnisse in geeigneter Weise auf, so entsteht ein sogenanntes Triminkurvenblau, mit dessen Hilfe..

diese Art der Leckrechnung bequemer wird (vgl. [12, 17J). Bei der Untersuchung der Stabilität und gegebenenfalls der

Kriingungen ds beschädigten Schiffes nach der Vor.stelIun

hinzukommendes Gewicht muß dem Umstand Rechnung getra- .- Xv A,1

gen werden, daß die Oberfläche des frei beweglichen

Lock-Wassers im Schiff hei Neiguncn horizontal bleibt. Das hat

aber vom geneigten Schiff aus betrachtet eine seitliche

Auswan-derung des Leckwassershwerpunktes zur Folge. Dièse Aus-wanderung kann entweder direkt durch Integration des vom

Wasser eingenommenen Raumes füt die jeweils herrschende Neigung berechnet werden, oder man sucht nach einem Punkt, durch den alle Gewichisvektoren des Leckwassers unabhängig von den Neigungen hindurchgehen. Für kleine Neigungen und ungestörten Leckwasserspiegel existiert ein soldier Punkt. Er heißt Metazentrum des Leckraumcs m analog zum

Metazen-trum M des ganzen Schiffes. Er liegt oberhalb des

Schwer-punktes f des Leckwassers für aufrechte Lge des Schiffes. Das

bedeutet, daß man sich für die Rechnung das

Leckwasser-gewicht in einem um die Strecke mf

=

höher. gelegeneñ Punkte angreifend denken muß, um die freie Beweglichkeit

des Leckwasserspiegels im Raum zu berücksichtigen.

Allgemein gilt für die ungekrüngte Endschwimmlage

ent-prec!iend Gleichung (1):

MG1=KF1+MF1KG1.

Darin ist unter Bth-ücksichtigung der freien Fliissigkeits-oberfläche im Leckraum

-

KG0-V,, + m111

KG1=

=,

+

m111 ±

vI_ VI

Mit ,,

=

MF0 + KF,; MG0 ergibt sich:

m111 + z1.- i1

VI

i"

(MF0 + KF,,) +

_-

M0

VI

Nach MG,, der Ausgangssdiwimmlage aufgelöst, ergibt sich:

MG,)

=

--

(MF1 ±.KF-V0 V,, m111 ± x1

±

Mi,,

+ KF0.

(14) MG1

=

MF1 ± KF1

-vo + XI.-. uil (12)

Bei Betrachtungen über unsymmetrisdie Uherfiutungen

treten die gleichen Schwierigkeiten wie im vorigen Abschnitt. nuL- Auch hier wird man den Trimm vernachlässigen müssen.

: Es sei hier auf eine Näherungslösung hingewiesen, dic sich

der Stabilitätskuivcn w1 (q)) (Pantokarenen) des

unbcschädig-- ten Schiffes bedient. Dus kriingende Moment sci wieder ¡ni!

A0 d, z. bezeidinci (vgl. Bild 1), dann gilt für eine

Nei-.gung(p: .

-vi

Nach Gleidlung (12) gilt für die aufrechte Lage:

V

-m11 ± X1,- -i11

-KG1

= - (KM,, -

MG0) + -.

vi

. Vi

Bei ungestörtem Wasserspiegel im Lekrauni gilt das nähe-rungsweise auch bei Neigungen der vorkommenden Größen-ordnung, so daß wir einsetzen können

- [V, (KM,; - MG,,) + m111 + x - i1] sinq

daraus, wenn wir nach dem für die Erreichung von q- minde-stens benötigten MG0 = MG,,, auflösen:

w1 (q)11) Vi

±

V0tgq) Siflq) V0 X1, ¡111 + rn,,,

+

. (16). o

MG,,. bezieht sidi auf die unbeschädigte Ausgangslage,so -daß die insgesamt erforderliche metazentrische Höhe MG1.rt der Ausgangslage aus der Summe von Gleichung (14) und (16)

gewonnen werden kann: . -

-MGcrt MGo ± MG,,, - - . - (17)

Auf die vielen weiteren Möglichkeiten zur näherungsweisen

Lösung wird nicht weiter eingegangen, .da hier nur ein

all-gemeiner Uberblick gegeben werden soll.

Leckfall: Raum R2 geflutet. Doppelboden einseitig geilutet

Endschwl mmlag e:

größter Tiefganghinten:

T1, 8,90 rn

größter Tiefgangvorn:

- T 6,52 m

If'3

Betriebszustände:- I Schiff voll beladen

- II Schiff in Ballast mit vollen Vorr5ten

-. . fI Schiff in Ballast mit verbrauchten

VorrOten-- IV Schiff leer

Bild 2 Auftragung der Ergebnisse einer Leckrechnung

(Stabl!itiitsgrenzkurve)

vorhandenes MG des Schiffes für Beladungszustand I

ei-forderliches 1. d. jeweill g. Ausgangsschwlmmlage WLQ'

MG - Verlust an MG wtihrend des Flutens

IYtGq _{erfo,-derlithes MG in der Endschwimmtage WL1, wenn eine}

- Grenzneigung q. nicht überschritten werden soll

vorgesehr. Mlndestwert L. 1. d. Endschwimn1age WL1

- 55 -

- ScIii(Tstechnik Bd. S - 1951 - Heft 41 Diese Gleichung stimmt voilkonimen mit den

Gleithün--gen (6) und (7) - wegfallender Auftrieb - überein, wenn

=

_{gesetzt wird Damit ist der}

Zusammèn-Vo

hang zwischen beiden Ansd1auÙnge hergeitellt. Es ergib.t sich

f iir das MG1 crer Endschwimmlage èin um kleinerer Wert

als bei der Rèchnung wegfallender Auftrieb. Auf diesen

Um-stand ist gelegentlich hingewiesen worden, z.B. in [11]. Er

bat seine Ursache dai-in, daß dié wirkenden Momente unab-hängig von der jeweiligen Anschauung immer gleich groß sind: MG als auf die Verdrüngurg bezogener Hebel muß daher ab-liiingig von der jèweiligen Bezugsgröße V0 bzw. V1 sein.

4. Auftragung der Ergebnisse von Leckreclznun gen Leskredinungen für eine überflutet angenommene Abteilung

oder Abteilungsgruppe werden in der Regel für mehrere

parallele Ausgangswasserlinicn durchgeführt. von- denen die

oberste etwa dem größten im Scliiffsbétrich zu erwartendeñ

Tiefgang entspricht. Die Ergebnisse jedes Leckfñlles werden zweckmäßig entsprechend Bild 2 aufgetragen, worin die kri-tische Endschwimmlagc der obersten Ausgangswasserlinie an-gegeben und die Lcdstabilitätsuntersucliungen als sogenannte Stabiflt.i(tsgrenzkurven iibliiingig vom Ausgangszustand au f-getragen werden. In. diesem Diagramm können die

Betriebs-zustände des SchilIe als Punkte eingezeidinet werden. Liegen

sie rechts der Grenzkurve, so kann die Stabilität ini Rahmen der gemachten Voraussetzungen als ausreichend angesehen

werden. Liegen sie links der Grenzkurve. so genügt die Stabili-tät in diesem Leckfalle nicht. In unserem Beispiel ist das bei

Fall IV - leeres Schiff - der Fall. Im Schiffsbetricb sind also

bestimmte Anweisungen über Ballastiiliernahinen zu beachten.

5. Varia bic Reami/in gen

Die bisherigen Betrachtungen setzten eine festgelegte

was-.st-.rdicbte Einteilung des Sdiiffskörpers voraus. Die Ledreth-flung dient also lediglich zur Nachprüfung, ob diesi

Eintei-lung hinsichtlich der Sinksicherheit des Schiffes vertretbar ist. Ist sie es nicht, muß mit geänderten Größen eine neue Rech-hung durchgeführt werden.

Es ist einzusehen, daß der umgekehrte Weg, bei dem von

festgelegten Gcenzbedingungen ausgehend charakteristische

Größen der Raumordnung - beispielsweise die Länge des uberfluteten Bereiches - berechnet werden, für den

Entwer-fenden angenehmer wären. Beschränkt man sich bei solchen

Betrachtungen auf Tauchung und Trimm, so ist dieser Weg der Lösung, allerdings nach Enfülirung- gewisser verein-fachender Annahmen, gangbar und unter der Bezeichnung ..Schottcnredinung" seit Ende des vorigen Jahrhunderts be-

--kannt [2]. In dieser Berechnung wird eine fiktive Raumlänge

- die .,fiutbare Länge" - als die Länge eines Teils des

Schiffskörpers definiert, nach dessen Uberfiutung die

Wasser-lini der Endschwimmlage einen vertraglich festgelegten

Sicherhcitsrand gerade berührt. Jeder Endsdiwimmlage ist ciñe bestimmte Leckwusserrnenge und deren Moment der

Länge nadi zugeordii, woraus sich, bei mehreren angenons-.

mcnen Endsdiwimmlageri flutbare Längen an verschiedenen Stèllen des Schiffes berächneniassen [18,19]. Über der Längs-. koordinate aufgetragen, ergibt sich daf-aus die Kurve der flut-huren Längen (Bild 3).

Bild 3 Kurve der zuUsstgen Làngn, ,,Schottkurve"

Q Wasserdichte Quershotte D Schottendeck

-Höhe des Schottendrelecks größter zullissiger. Schottenabstand

WL Schottenladeilnie

:-Es kann hierbei dem inneren Aufha'i des Sthiffskörpers in

nur sehr unvoilkommener Weise Rediriung getragen werden.

Einzige Kenngrößc hierzu ist die Flutbarkeit, fur die für

größere Bereiche de Sdiiffskörpers mittlere Werte bestimmt

werden. -

.-Schif1stechnik BcL.8 ISSt - Heft 4t

-- Die flutbaren Längen werden für ein bestimmtes Schiff nur

vom Ausgangstiefgang und dem Fintharkeitsfaktor beeinflußt. wobei der größte Ausgangstiefgang und dic größte zu erwar-- tonde Flutbarkcit bei vollständig jiberfiutetem Leekraum die grdßte Gefährdung des Schiffes im Flinblick auf Tauchung und

Trimm ergibt. Hierfür aufgestellt soli die Kùrvc der - (lut-- baron Längen eine Grenzkurve der größtmöglichen

Raumlän-gen sein. Berücksichtigt man jedoch die ErscheinunRaumlän-gen, die mit der Querstabilitiit des Schiffes zusammenhängen, so erweist sic sich nur noch als ein recht mangelhaftes Hilfsmittel, das ledig-]idt für die erste Annahme der Sehottste!lung helfen mug.

Wollte man nun das Prinzip der Schottenrechnung auch auf

die Fragen der Querstabilität des beschädigten Schiffes

aus-dehnen; also diejenige flutbare Länge bestimmen, nach deren Überflutung festgelegte Grcnzbcdingungen bezüglich Au

fangs-stabilität und Neigungswinkel gerade erfüllt sind, treten

Schwierigkeiten auf, da hierbei viel mehr als nur zwei

Ein-flußgröticn zu heriicksichtigen sind, von denen noch nicht ein-mal immer feststeht, in welcher Richtung sie sich auswirken.

Weder für den:Ausgangsticfgang nodi für Flutbarkeit und

Ausmaß der Überflutung nodi für dic Endschwimmlagc gibt es

Annahmen, die den gefährlichten .Zustand eindeutig kenii

zeichnen. Selbst der Begriff flutbare Länge- versagt als Kenn-zeichen für die Wirksamkeit der Unterteilung, da Fälle denk-bar sind, bei denen die Überflutung eines kurzen Raumes für das Schiff gefährlicher ist als die eines längeren Raumes an der gleichen Stelle im Schiff. Andere Parameter treten in den

Vor-dergrund, die sich auf die Unterteilung innerhalb des

über-- fluteten Bereiches beziehen, wie z. B. über--die Lage wasserdichter

Längswände bzw. Deds, die Flutbarkeiten einzelner

Raum-teile oder Querflutungsmöglichkeiten innerhalb der RaumRaum-teile.

Es bedarf kaum der Erwähnung, daß es sinnlos erscheint,

durch Rechnung die Größe einer wasserdichten Abteilung im Hinblick auf die Schiffssicherheit bestimmen zu wollen, deren innere Struktur in alien Einzelheiten oberi dieser Rechnung

zu-grunde gelegt werden muß, ganz abgesehen davon, (laß eine

solche Rechnung einen unverantwortlichen Aufwand erfordern

würde.

- _{6. Allgemeine Gesiditspunkte 1/ir den Redinenden} Dic

vorangegangenen Abschnitte versuchen, einen Überblick über die möglichen Arten von Leekredinungen zu vermitteln.

Nicht erörtert oder nur angedeutet wurden die eigentlichen

Schwierigkeiten der Durclufiihrung solcher Berechnungen, dic sich ausschließlich aus dem Umfang der notwendigen niime-risdien Rechnungen -ergeben. Es wäre nun immerhin denkbar, daß bei Vorlage eines vernünftigen Berechnungsschemas auch angelernte Hilfskräfte zu einer solchen Arbeit engesctzt wden könnten, die lediglich ein gewisses Muß von Sorgfalt er-fordert. Obgleich solche vernünftigen Bereclrnungsblättcr mehrfach veröffentlicht worden sind [9, 11, 12J, ist der

Ein-satz von Hilfskriiften, die mit dem Entwurf des Sdiiffes nicht vertraut sind, doch problematisch. Die wasserdidite

Untertei-lung eines Schiffes ist eine der cinschneidendsten

Entwurfs-arbeiten überhaupt. Insbesondere gilt dies für reine

Fahrgast-schiffe, bei denen die innere bauliche Gestaltung einer Fülle von Gesichtspunkten Redinung zu tragen hat, entsprechend

der großen Zahl versdiiedenartigster Aufgaben, die_{ein solches} Schiff hat. Es wurde bereits betont, daß gerade di&innere Auf

-gliederung des Sdiiffskörpers auf das Leckverhalten stärksten Einfluß haben kann. Jeder, der Leekrechnungen durdigcfuihrt hat, weiß, wie ungünstig sich beispielsweise wasserdichte Decks

oder wasserdichte Längsschotte ith Überflutungsbereieh au f

die Stabilität in der Endsdiwiinmlage sowie auf Endneigungen auswirken können. Es ist also die aus verschiedensten Grün-den notwendige Einteilung immer ini Hinblick auf das

Lock-.verhulten des Schiffes vorzunehmen. Es sind Kompromisse

6-zugehen zwischen zwedmäf3iger und zulässiger Arordnung

der Rhume und Raumgruppen. Erschwerend kommt hinzu, daß gerade bei Fahrgaststhiffen größter Wert auf ein angenehmes Seeverhalten des Schiffes in unbeschädigtem Zustandzu legen

ist. Ein zu steifes" Schiff. hei dem die große Stabilität in

auf-rechter Lage zu erheblichen Winkclbeschleunigungen beim RoHen" führt, ist unbeliebt, auch wenn es größte Sicherheit Im Lecklall bietet. Oft ist der mögliche Spielraum, der dem

Entwerfenden zwischen allen zu beachtenden Gesichtspunkten

vprhleibt, sehr gering, und er muß zusätzliche Maßnahmen,

wie kiinstiiche Querflutungsanlagen einerseits und Schlinger-dämpfungsanlagen andererseits, vorsehen.,. Selbst die Anord-nung von festem Ballast im Schiff kann sich als lohnend erwei

sen. urn allen widerstrebenden Forderungen, die an den

Ent-wurf gestellt werden, gerecht zu verdcn. Alle getroffenen

Maß-nahmen aber sind im Hinblick auf das Leckverhalten des

Schiffes rechnerisch zu überprüfen. und es würde keinen

Ge-winn bedeuten, für diese Rechnungen Hilfskräfte

heranzu-ziehen, dic (len Gesamtüberblick nicht haben.

Man hat häufig versucht, wenigstens einen Teil der rein nicehanischen Arbeit lierauszutrcnnen, den man dann von

weniger qualifizierten Kräften durchführen 1ssen konnte. Am

weitgchendstcn ist dies wohl bei der Bestimmung der Kurve der flutbarcn Längen der Fall. Früher war der

vorsdirifts-mäßige Nachweis ausreichender Schwinimfähigkeit in derTat eine Angelegenheit für gewandte Hilfskräfte. Die eigentliche

Entwurfsarbeit jonnte sich auf die fertig vorliegende

Schott-kurve stützen. Auch heute, wo wir anstreben, den sich tatsäch-lidi nach einer angenommenen tJberllutungvon Räumen ein-sicilenden Schwimnmzustand des Schiffes möglichst genau zu

berechnen, wird versucht- beispielsweise durch die Vorweg.

n:']lmc der Aufstellung eines Trimmkurvenblattes

_{-- den}

jcnigcn Teil der Arbeit. der in der Regel öfter zu wiederholen

ist, möglichst einzuschränken.

hlejl,t aber für den Entwerfenden dié Aufgabe bestehen.

die Schottstehlung und die innere Einteilung ±unächst

will-ki.irhidi bzw. seinen Erfahrungen und den sonstigen

Erforder-nicri entsprechend vorzunehmen, da es sith gezeigt hat, daß die Kurve der zulässigei Längen oft nur für kleine Bereiche

des Schiliskörpers richtige Anhaltspunkte für die Untertèilung

gibt. Darin liegt eben eine HauptscJwicrigkeit für den Ent-wurfsingnieur: es Ist bei der vollständigen Leckrechnung im

Gegensatz zur bequemen Sdiottenrediñung his jetzt nicht mög-lich, die hauptsächlichc Rechenarbeit zum Nachweis

ausrei-dicnder Sinksicherhejt der Wahl der wasserdichten

Untertei-lung voranzustellen. Wenn es auch kaum gelingen dürfte, die. sen Umstand zu ändern. soollteesirnmerhinmöglithsein,dem

Entwurfsingenieur wenigstens Anhaltspunkte für .den Vorent-wurf zu geben, die ihn vor Fehlern in der Unterteilung bewah

ren und ihm als Hilfe hei der Wahl der Hauptabmessungen des Schiffes dienen können.

Die vorliegende Arbeit hat sich zum Ziel gesetzt, in dieser

Richtung einen Beitrag zu leisten. Dem Entwurfsingenieur_soll die Möglichkeit gegeben werden, bereits in einem frühen

Sta-dium seines Entwurfs praktisch ohne Rcchnarbeit das

Leek-verhalten des Schiffes in Abhängigkeit von der gewählten inne.

ren Unterteilung sicher abschätzen zukönnn.

Dadurch wird sich jedoch eine génaue Lethrechnung, der

die endgültig gewählte Unterteilung des Schiffskörpers.

zu-grunde gelegt ist, keinesfalls erübrigen. Hkrfür stehen _uns

jedoch heute ,.Hilfskräfte" zur Verfügung, die derartige Rechi-riungen schneller, zuverlässiger und genaüer ausführen kön-nen, als es der Mensch jemals vermag. Gemeint sind elektro-'ilsdte Rechenanlagen, die man auch für die. schiffbauhichen

Rechnungen einzusetzen beginnt. Auch hierzu möchte diese

'rbeit einen Beitrag leisteñ. [ J

III. Behandlung von Leckredinttiigen

mit einens l)igilalrecliner

7. Vorbemerkungen

Der Anlaß zur Aufstellung eines Programms zur

Durch-führung von Lcckreclmnungcn mit einem Digitalrechner ergab sich aus dem Wunsche. möglichst sdinelleinc große Zahl von Leckrechnungcn toit systematisch variierten Parametern

durch-fuhren zu können. Diese Rechnungen sowie die Auswertung

ihrer Ergebnisse werden in. Teil. 1V und \T erörtert.

Zur Durchfiihrung dieser s-sternatischen Rechnungen stand

der im Institut für praktische Mathematik der Technischen

Hochschule Hannover aufgestellte Magnettrommelreclmner

IBM 650 zur Verfiigung. Daher beschränkten sidt dic Be'

mühungen uni cinc geeignete Programmierung auf diesen Typ eines Elektronenrechners allein. Inwiewéit sich andere Geräte

ebenso gut oder besserzur Bewältigung voti sthiffliaulidtcn Routinerechnungen. insbesondere von Lcckrcelmnungen eignen.

wurde nicht untersucht. Der größte Teil der im. Folgenden er-örterten Gesichtspunkte ist jedoch von allgemeiner Natur und

hat demnach für jeden speidierprogrammierten

Digitalrech-ncr Gültigkeit. Das für die Rechnungen aufgestellte Programm zur Durchfiihrung vollständiger Leckrechnungen wurde aller-dings auf die Möglichkeiten der IBM 650, wie sie in Hanno-ver Hanno-verfügbar ist, also ohne Zusatzeinrichtung für Gleitkomma

und Izregiter, abgestimmt. Das Programm belegt

sämt-liche 2000 Speidierzellen zu 10 Dezimalziffern.

.-.

Zum Zeitpunkt des Beginns der Programhuierungsarbeiten

im Frühjahr 1959 lagen von der IBM sehiffbauliche Pro'

gramme für Kurvenblattrcchmnung und die Berechnung der

statischen .Qtierstahilität vor, aus deren Programnmbeschrei' hung [20] jedodi hervorging, daß sie sich nicht ohne weiteres auf die Belange der Leckrechnung erweitern ließen. Auch die

von der IBM angewendete Anordnung. der Koordinaten zur

Kennzeichnung der Schiffsoherfläche auf den Lochkarten wurde aus Gründen der Zweckmäßigkeit nidìt übernommen.

obgleich dies vom Standpunkt der Einheitlichkeit der Bearbel' tung vielleicht erwünscht gewesen. wäre2). Es wurde viel1nch r ein vollständig neues Programm entwickelt. weldies die

Ma-schine veranlaßt, für ein bestimmtes Sdiiff eine vollständige

'Leckrechnung für einen festgelegten, beliebig gestalteten

Leckbereich einschließlich möglicher unsymmetrischer Ober' flutungen in einer einzigen ununterbrochenen Folge durchzu' führen.

Während der Arbeiten ari diesemProgramm gab Prohaska 'die Erfolge des Rcehenzentrums Kopenhagen bei der Pro-granimierung von sdiiffbaulichen Problemen bekannt [211. Einige Einzelheiten über diese Programme; einschließlich

eines für Leckstabilität, werden in [221 mitgeteilt. 4ider han-delt es sich in Kopenhagen um eine Rechenanlage 4_cs Typs DASK, deren Programme für die IBM 650 natürlich nicht ver-wendbar sind. Nach Fertigstellung unseres Programms ergab sich die Gelegenheit, Leckrechnungen für ein Schiff, die sowohl

mit DASK als auch mit IBM 650 gerechnet worden waren. gegenü berzustellen. Dies geschah anläßlich einer Testrech flung in Hannover am 10. 11. 1959 im Beisein von Vertretern des Germanischen Lloyd. Die t)bereinstimmung der Ergebnisse war sehr erfreulich. Der Verlust an metazentrischer Höhe

AMG (Gleichung (6)) wurde praktisch ohne Differenz auf den Zentimeter genau beredinet; die.Endsdiwimmlagen differier-ten um O bis 2 cm ini Tiefgang, an den Lodifferier-ten gemessen.

Aus dem Vorstehenden geht bereits hervor, daß sich das Programm, obwohl als Hilfe für systematisdie Leckrechnun-gen im Rahmen dieser Arbeit aufgestellt, durchaus fur

end-2) Es st ohne weiheres möglich, Koordiñatenkarten des einen

Systems in solche des anderen Systems durch ein geeignetes Pro-gramm von der Maschine selbst umrechnen zu tassen.

Schttrstechnik Bd. 8 1961 Heft 41

gültige Leek rechnungen spezieller Entwürfe mit festgelegter

innérer Unterteilung eignet. Es wird zu zeigen sein, wie bei

Verwendung der hierdurch gebotenen Möglichkeiten, das un-angenehme Problem der langwierigen und komplizierten Leck-rechnungen praktisch aufhört zu existieren.

A. Fel%lerbetraehtllngdn bei der numerischen Integration von Schiffsjinien

8. Intcgrotionsmethode

Soll die Berechnung des Inhalts und der Momente von Flä-,

eben beispielsweise cines Spantquerschnittes - program.

miert werden - auf diese Aufgabe lassen sich die meisten

mit der Leckrechnung zusammenhängenden Arbeiten letztlich

zurückführen i-, so stellt sich sofort die Frage nach der

gün-stigsten Methode undnach der gewünschten bzw. erzielbaren

Genauigkeit. Es handelt sich hei den zu inegrierenden

Flä---then um graphisch vorliegende Funktionen - die

Schiffs-linien , deren mathematische Darstellung näherungsweise

durch Polynomansatz zwar möglich ist, doch zeigt eiñe kürzlich erschienene Arbeit von Kervin [23], mit wie großem

rechne-risthem Aufwand eine solche analytische Nachbildung eines vorliegenden Linienrisses verbunden is. Erst Polynome über

lOOsten Grades ergeben eine befriedigende Ubereinstimmung

ini Verlauf der Spanten. Für die erwähnte Arbeit [23] wurde

cinc der größten iiherhaupt verfübaren elektronischen

Rechenanlagen, die IBM 704, benutzt. Eine rechneriche

Be-wiiltigung mit der IBM 650 wäre wohl kaum möglich, und

zu-sammen mit der umfangreichen Aufgabe, eine vollständige

Lcckrechnungen du rdizuführen 'öl hg ausgeschlossen. Besonders einfach und, wie sich zeigen wird, ausreichend

genau ist der Weg. die zu integrierende Funktion in

Teilberei-chen durch einfache Polynome anzunähern und diese stück-weise zu intgrieren. Beriicksichtigt man im Polynomansatz (;neder bis zum dritten Grade, so ergibt sich die bekannte

Simpsonsche Regel fur die Integration. So oft diese Regel im Sdiiffbati angewandt wird, so selten niacht man sich Gedanken liber die Genauigkeit. die hierbei erzielt werden soli und kann.

Jfl; =

j/Çf\2

- 4_

l)ics ist verständlich; denn der Aufwand, der durch eine Feb-]crabschitzung entsteht, hat etwa die Größenordnung des

Auf-'andcs der ganzen Rechnung und wüde eine nicht zu

recht-fertigcndc Belastung des Rechnenden darstellen. Arbeiten wir hingegen mit einem Elektronenrediner, so fallen solche Beden-ken fort, zumal es sich zeigen wird, daß eine Programmierung

einer Fehlerrcchnung nicht nur ein Maß für die Ungenauig. keiten (ler numerischen Integration liefert, sondern jegliche Art von Fehlern an den Tag bringt, als da sind:

Ordinaten-inel3fchler. Einteilungsfehler, Schreibfehler, fehlerhafte Kar-tcnlodiing usw. Dies aher ist gerade bei Rechnungen, die eine

elektronische Rechenanlage durchführt, von entscheidender

\Vichtigkeit. Rechenfehier üblicher Art gibt es hier nicht, wenn das Programm einwandfrei ist. Die einzige Möglichkeit, feh.

lcrhafte Resultate zu erhalten, kann durch fehlerhaft

gemes-sene oder gelochte Angaben eintreten. Gelingt es, dies auszu-schließen, so können die Ergebnisse eines Elektronenrechners als absolut richtig angesehen weden.

9,. Zwecfrnzüßige Teilung

Die zu infegrierende Fünktion sei durch Ordinaten Yj ge-gebeii. Der Ordinatenabstand innerhalb eines ,,Doppelstrei-lens" sei h = koñstnt. Fur die Fläche eines Doppelstreifens

der Länge 2 h ergibt dich:

SehfTstechnik Bd. e - 19Cl - Heft 4t ₅₈

-- h (ye.'

.3 4y11 + y11+j) - -

.h.yIV ()

-- . . . (18)

Die Herleitung des Restgliedes R aus dem Glied vierter Ordnung der nach Potenzen von x entwickelten Funktion Ist

in. den Harciliüchern fur Praktische Mathematik zu finden

[24, 251.. Dic Größe des Resigliedes R, also dcs bci Anwen-dung der Simpsonschcn Regel entstehenden Fehlers des so-- genannten Ersatzfehlers F, , wird durch hi sehr stark von der Schrittweite der Ordinaten beeinflußt. Andererseits ist yIV (a), die 4. Ableitung der Funktion nudi x an der Stelle des Integrationsintervalls abhängig von der jeweiligen Form

des zu integriereiden Bereichs bzw. ihrem Grade,

Somit stehen Schrittweite h und Gestalt der Funktion bei konstant gehaltenem Ersatzfehler in enem Zusammenhang. und es muß möglich sein, Sdìiffslinien ihrer Gestalt entspre-dend mit der gerade zweckmäßigsten Schrittweite zu teilen.

Das bedingt von Doppelstreifen zu Doppelstreifen einen

unter-sdiiedlichen Abstand h. Eine soldie Teilung mag für den

manuell Rechnenden unbequem erscheinen, für die Program-mierung bietet sie keinerlei Schwierigkeiten, so daß die Vor-teile diéser Teilung bei weitem iiberwiegen.

Zunächst ist festzulegen, wie groß der zugelassene

Ersatz-fehler höchstens werden darf. Ein Maß hierfür ist in dem so-genannten Funktionsfehler F gegeben, der alle

unvermeid-lichen, d rdi die Grenzen der Zeichen- und Ablesegcnauigkeit

bedingten Fehler sowie Rundungsfehler der

Funktionsauf-maße enthält. Mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzcs von

Gauß ist es möglich, die Auswirkung des unvermeidlichen

mitt-leren Ordinatenfehlers ms., mit dem jedes Aufmaß '' behaftet ist, auf das zu bildende integral zu bestimmen (vgl. [24j):

Das GauLlsche Fehlerfortpflanzungsgesetz lautet allgemein.

wenn S = f (Yl . .t ye)

f

f I

I ' I

- \Y

2 +

faf\2.

(--J m-+.

J

nivil-Nach der Simpsonschen Regel it

S = ---- (y, + 4y, + Yz+i)

3

also, wenn dermittlere Funktionsfehler m, bei den cinzelnen

Aufmaßen gleicht groß ist:

-m

myV1+16±l=m»h-1/

Der mittlere Ordinatenfehier eines speziellen Doppelstrei., fens soll entsprechend [24] mit F bezeichnet werden, also:

Ftm-hi/2.

(19) Die Sdirittweite h ist dann hinreichend klein gewählt, wenn der Ersatzfehler F0 bei der Simpson-Rechnung kleiner als der

Funktionsfehler F wird. In der Bedingung F0/F i haben

wir somit ein Kriterium, mit dem beurteilt werden kann, oh

(lie Aufmaße für die Integration genügend dicht gewählt sind.

Setzt sich ein Gesamtintegral S aus Teilintegralen S'

S1 ± S +S: +

zusammen, wie es bei der Summier.uitg

mehrerer Doppelstreifen mit unterschiedlidier Schrittweite der Fall ist, ergibt sich nach dem Fehlerfortpflanzungsgesct-z:

m2 = 2 hi,2 m)12 + 2 h.2 m.2 + 2 h.,2 m.,2 +

Der mittlere Funktionsfehler einer speziellen Sptntflächc

sei mil "F' bezeichnet, also:

F1 = m,,

J/2

h1

Werden solche Gesamtintegrale (Spantflächen) über eine neue Koordinatenrichtung x zu 'räumlichen Gebilden

(Ver-drängun) integriert, so gilt für einen Doppelstrifen c1r

neuen Kordinatcnrithtung:

C-[x + x11J

-'[x1+ox1+1 X1 X,1_1_{xii_9]}

[Xfl

Sind da mehrere soldier Doppelstreifeñ unterschiedlicher

Sdirittweiten h

S,,. =

_{S.,1 + S., + Sx:;.+ ...}

dann ergibt sich'für den mittleren Gcsamtfchler.'

mv

den wir für einen speziellen Schiffskörper mit F,,. bezeichnen

können. Um diesen mitt]eren Gesamtfehler F,,, wird die be-rechnete \'erdrängung eines Sdiiffskörpers im Mittel fehler. halt sein, wenn die Ordinatenteilung richtig gewählt ist, also so. daß gilt:

F1

¡O. Zahlenmüßi,ge Ermittlung 'des Ersatz/ehlers Nach Gleichung (18) ist

Fe

__yIV()

.

-. T 90

vIV () ist die 4. Ableitung unserer Funktion an

inr'nidtt

bestimmten Stelle , von der aber nachgewiesen werden kann,'

(laß sie im Inneren des Integratinsbereiths liegt (vgl. [26]).

Für cinc Fehlerahsdiätzurig mag die Kenntnis'der 4. Ableitung

auf der

Mitte des

Intervalls 2 h' genügen. Differential. quotienten lassen sich bekanntlich mit gutr Näherung durch

die Differenzenquotienten - die sogenannten Steigungen

-bestimmen (vgl. [24, 25, 261). Man schreibt: Dic Steigung 1. Ordnung:

Yii+iY11 1tY

x,i-x1 - h

die Steigung 2. Ordnung

[x + x11] ---- [x11-

i].

.' [xx]

[x11+ix11'x11tI

-2h

lic Steigung 4. Ordnung' .

Es ist allgemein für die m-te Ableitung einér ni mal diffe'

-enzierbaren Funktion y (x) an einer 'Zwisclienstelle :'

(20) und damit. (22) - 0,3900 - 0,1263 - 0,0567 0,2637 -I-0,05274 0,0696 + 0.00870 (xx1 x.,] A(xxxj : (xx1X, x.11 [xxxxJ (xx1 x. x.1 x4J 0,04404 0,00489

'Der Ersatzfehler im Intervall 2h 4 beträgt -.

F0 =. - 32 - - 0,00489 = + 0,0417

45 ' -

-- Dies wird Ïestiitigt, wenn man die Simpson--Rcchnung mit der

Teilung h = 2:

S11

= -27,25 + F0

18,167 + 0,0417

mit einer zweiten vergleicht, der eine sehr enge Teilung

'h = 0.5 zugrunde liegt: S105 = 18,215. Der Unterschied

- beider Resultate ist 0,048, was ausreichend genau mit dem

errechneten Ersatzfehler von 0,042 übereinstimmt.' 11. Zahlcnmüßige Bestimmung des Funktions/elilers

In en Gleichungen (19) und (20) ist m. der mittlere Ordi-najenfehier. Er ist definiert zu

m

f: Abweichungen der einzelnen Messungen vom exakten \V,crt

(wahrer Fèhler) -- n: Anzahl der Meßpunkte. Nun sind die folgenden zwei Fälle denkbar:

1. Die Maße enthalten nur Rundungsabweiehungen; 2. die Maße enthalten Rundungs-, Ablese- und Zcidien-- ungenauigkeiten.

Einen Zahlenwert für den Fall i erhält man, wenn man die

Treffwahrsdieinlidikeit für jeden Absdinitt dx des

undungs-intervalls gleich groß annimmt; das trifft zu, wenn

hinrei-diend viele fehlerlose Meßwerte gerundet werden. as Run.

dungsintervall beträgt - 0,5 x + 0.5 der letzten Stelle.

Es mögen für jeden. Abschnitt dx des Intervalls m

Messun-gen vorlieMessun-gen. Das Fehlerquadrat f2 einer Messung an der Stelle x des Intervalls beträgt x2. Damit wird die

Quadrat-summe aller Messungen

+

_{2 0,125}

1 = ni

x dx = m

-0,5

3

- - '

'Die Anzahl aller Messungen - beträgt .n J m dx 1,0 ni

0,5

Der mittlere Fehler wird: '

-=

i/Vf2

-±___ = 1/0,08333 = 0,2887 der letzten Stelle.

Für den Fall 2, daß' noch andere Fehierursachen wirksam 'sind,'wurde eine Reihe von Probemessungen an Funktionen

- 59 : Schiflstechnik Bd. 8 196t Heft 41

=

(S11

3 und für (len mittleren

-

+ 4 S1, ± S. i)

Fehler: -I1X

+ 16m2

, (21), m

j/m,_12

4h 3h. 2h x

y=f(x),,

iy

(xx1] [xx] 9 i 2='h

2h

4 o '3 5

9,

o 2.35 4.71 6,06 7.40 2,35 2.36 1.35 1.34 2.350 1,180 0,675 0.335 1,170 - 0,505 - 0,340 (m) () ni! [x11 x also in-unserem Falle

IV _{24 [x11 x1 X,1_1 X11}

-12

=

[,i

* 2 X ,,, X11 (23)

45

Es werden also außer den Ordinaten des zu integrierenden

Doppelstreifens Yn_i, y11 und y, noch aus den Nachbar-doppeistreifen dic Ordinaten Y112 und Y-2 benötigt. Dic

Sdirittweite h kann aber von, einem zum anderen

Doppclstrci-len verschieden sein. Ein veränderliches h ist aher in

Glei-chung (23) ohne weiteres zulässig. Zur Auswertung der

e('ki-gen Klammer dient ciii erweitertes Diflercnzensdicma (vgl.

mit bekannten Ordinatenwerten durdigefiihrt, beispielsweise an Geraden. Hierbei wurde die Funktion möglichst genau auf Millirneterpapier aufgezeichnet, worauf eine Reihe von

Ordi-naten möglichst auf 0,1 mm genau gemessen wurde. Die ge.

redineten fehlerlosen Werte dienten zur Aufstellung der

wah-ren Fehlergrößen f. Es ergaben sich mittlere Fehler m

zwi-schen 0,1 mm und 0,2 mm, wobei der kleinere Wert offenbar

etwa die in einer Zeichnung überhaupt erreidibare Genauig-keit darstellt. Am häufigsten traten Fehlcrgrößen von etwa 0.12 mm auf. Hierbei ist beaditenswert, daß der Einfluß der Rundung allein nach den vorausgegangenen Uberlegungen

lediglich 0.02887 ¡hm, also 24 O/ des mittleren Gesamtfehlers von 0.12 mm ausmacht.

Der absolute Wert des mittleren Ordinatenfehiers m3 des Schiffes ist vom Maßstab der zur Messung benutzten Zeich.

flung abhängig. ist a

=

L/L' der Maßstab (L: Sdiiffslänge;

L': Sdiiffslänge in der Zeichnung), so ist der kleinste mittlere Fehler

0.00012 a m (24)

oder. wenn man sich auf Rundungsfehler beschränkt, wobei 'ir auf 1 cm runden wollen

0,00288 m, (25)

je nach dem, welches von beiden das größere Maß ist. Beide

mittleren Fehler sind gleich bei a

=

24.

Da wir es in der Regel mit größeren Zeichnungsmaßstäben

zu tun haben (a

100; 50: 25), legen wir den folgenden

Fehlerbetrachtungen das Fehlcrmafl nach Gleichung (24)

zu-grunde. Auch ergibt sich daraus, daß es fü'r Maßstäbe a> 24

sinnlos ist, das Maß der Ordinaten bei einem Schiff auf 1 mm genau anzugeben.

In den im folgenden zu beschreibenden Programmen für Leckredinungen werden daher die Schiffsaufmaße in

Zenti-metern angegeben.

Schlfîstcehnlk Bd. 8 1961 Heft 4t

Gleichung (24) in Gleichung (19) eingesetzt, ergibt für den Funktionsfehler der Fläche eines ¡Thppelstreifens-nadi Simp-son:

F 1,2- 10

- a /2- h

=

1,697 10 - a h [m] (26)

und mit Gleichung (20) für n Doppeistreifen:

/-

'n

F1..

=

1,2 - 10 a' 1,/2 J/ h12

=

1,697' io ..a1/hi2[m1

(27)

60

-Als Kriterium für ausreichende Teilung der Funktion für

die Integration eines Doppeistreifens nach Simpson haben wir

i gewählt, was mit Gleichung (26) ergibt:

F,I h4

=

1571

--- [z,,

+ ₊ x x,,-_ i 2]

-F a

Für das Beispiel im Abschnitt 10 ergibt sich mit a

=

50:

.ifL1571.

-0,00489=25>1

F1 50

also war die Teilung nicht eng genug.

Als t)berschlagsformel für ein mindestens erforderliches h

kann man schreiben

4/

a hort

₌

_1/

1571[x,,,x,1j

x,,_2] oder . (29)

.1/

h4 hert

=

/

In unserem Beispiel: hert 1,60 m 2),

- 12. Entdeckung von echten" Fehlern

Solche Fehlerüberlegungen gewinnen erheblich an

prakti-schem Wert, wenn neben den unvermeidlichen Maßungenauig. keiten echte, vermeidbare Aufmaßfehler vorliegen. Derartige

Fehler müssen unbedingt gefunden werden. Hierzu ist be-kanntlidi das bereits verwendete Differenzenschema ein sehr

geeignetes Werkzeug. Wir wollen dic Auswirkung eines Feh-lers a auf die 4. Steigung der Funktion an Hand des

Diffcrcn-zenschemas verfolgen.

Fall 1: Die mittlere Ordinate des Doppelstreifens sei um

den Betrag a fehlerhaft. Dann wird das Differenzenschema:

Den durch a bedingten Fehler im Integral nennen wir F.

Er wird mit Gleichung (23):

F8

=

h3 ----. (30)

45

(h,,+h)(h,,+h)

In dsem Fall wird F,:

F,=

'2h

45

2h,,(h,,+2h)

Die Frage ist nun: Wie groß muß der Fehler a sein, wenn

bei einer ausreichend engen

Teilurig-IL!1 i das

Gesamt-3) vgt. das neue Differenzschema auj Seite 61 mit h=1,60 m.

(28) (31) 4h 3h 2h h X f(x) - [xx1] [XX1X)] (xx1 x.1 X:3] (xx1x8 x1x1J

h,,+h0+2h

_h0-l-2hh,,+2h 2h h,, + Ì h0 h h h,, Xn_2 XII_i XII XII_{+ I} O O O o c/h - c/h O e

- h'(h1+h)

e e h' i h(h,,+h) 2e h.(2h)

_(h+h)(h+h)

h' (h + h) Xn+! O

Fall 2: Die äußere Ordinate des Doppelstreifeis sci um den Betrag E fehlerhaft. Dann wird das Differenzensdiema:

4h 3h 2h h X f(x) [XX1) (xx1 x] [xx1 x., x.1] (XX1 X9 X:3 X4) h8 + h0 + 2h h,, +2 h 2h h1 + h 2h h0 + h h,, h h h,, X0_o xn_1 XII XII+1 O e O O O + c/h8

-

c/h o O -L--h'Zh O L___C 2h' h8(h,,+2h) 2h''h,, -2 h' (h,,+2 h)

F ± F,

feblerverhaitnis 1 wird? Fe und F, konnen

ver-F

schiedenes Vorzeichen haben, so daß im ungünstigsten Falle

2 werden muß, damit Fe + Fc i wird.

F Fr

Es wird also entsprechend Gleichung (28) mit den Gleichun-gen (30) und (31) für einen Fehler e der mittleren Ordinate n

0,0012 - a (h0 + h) (hi, + h) h2

für einen Fehler En-1

der äußeren Ordinaten n ± 1 oder n - 1

h1 _O (h0 + 2 h)

En±j 0,0024 a

h2

Jeder größere Fehler wird nach der beschriebenen Méthode

der Fehlerbestirumung auf jeden Fall angezeigt (vgl.

Ab-schnitt 20).

Zur Beurteilung der Gleichungen (32) und (33) möge ein Beispiel dienen: Die Funktion des Beispiels im Abschnitt 10

sei ausreichend eng getilt, also h

=

1,60 m. Der Maßstab sei

Wir wollen prüfen, wie stark sich

den Simpson-Summen auswirken:

Dieses Beispiel ist zwar nur ein Einzelfall, man erkennt je.

och. daß es möglich ist, Ordinatenfehler zu finden, die auf

len Wert des Teilintegrals von - h

x + h

größenord-iungsmäßig einen Einfluß von 5 0/ haben.

Die in den vorigen Abschnitten beschriebene

Fehlerrech-nung läßt sich für den Digitalrechner programmieren, wodurch es möglich wird, sämtliche Aufmaße, durch die die Oberfläche des Schiffes beschrieben wird, nacheinander zu prüfen, wobei alle möglichen Fehler, soweit sie von merklichem Einfluß auf die Summe aller Teilintegrale sind, gefunden werden können. Näheres hierüber ist auch aus Abschnitt 20 zu entnehmen.

13. Fehler durch Interpolation

Da die Integrationsgrenzen in der Regel nicht mit den Be-grenzungen der Doppelstreifen in den Sdliffsaufmaßen

zu-sammenfallen, sind Zwisdienordinaten durch Interpolation zu finden. Es wird bei den Integrationen jeder Doppelstrcifen

ge-trennt behandelt, so daß es nabeliegt, ein Interpolationspoly.

nom zweiten Grades durch die jeweils 3 Punkte eines Doppel-streifens zu legen. Der Grad dieser Funktion ist allerdings um eins niedriger als bei der Integration nach Simpson. Dies gibt zu Fehlerbetradltungen Anlaß.

Der Fehler bei der Anwendung der Newtonschen Interpola-tionsformel kann durch das sogenannte Restglied angegeben werden. Man gewinnt es, indem man das nächsthöhere Glied

des Näherungspolvnoms so bildet, daß die Abszissc des zu

R

=

h3(1) (2-i)

_{[XXn ixnxn+i]}

=

Q(5i) -h3[ _J (34)

Normalerweise wird R am größteñ, wenn

Q()

=

(1-i) (2-i)

ein Maximum wird. Dies ist bei

=

der Fall; 3/8.

Also wird der Fehler auf der Hälfte der Schrittweite h

R111,

3/8 h3 [xx0_1xx1)

₍₃₅₎

Die dritte Steigung in der eckigen Klammer kann für den

Fall x

=

h/2 unter Benutzung des bekannten Schemas für die Steigungen ermittelt werden:

interpolierenden Punktes gerade zu einer Stützstelle wird, für die der Fehler ja verschwindet. Auf diese Weise gibt das

Rest-glied den Fehler exakt an. In Fällen quadratischer Interpola-tion, worauf die folgenden Ausführungen beschränkt sein sollen,

lautet das so aufgestellte Restglied R in der Schreibweise der bereits verwendeten ..Steigungen":

R

=

(x - x,,_j) (x - z0) (x - x,,

+ ) [xx,- x,,x,,+

Führen wir die Schrittweite h des untersuchten Doppeistrei. fens ein h

=

x,, 1-x1

=

x,,-x,,_1 und setzeñ wir x/h

=

diese Abweichungen in _{(0 ii 1), so wird:}

- 61 -

SchtÍstechnjk Bd. 8-. 1961 - Heft 41 J 3h 2h h ,c

y=f(x)

[xx1) [xxj X2) [xx1 x2 x:J 2h h 3/2 h h/2 X0 X xl X0 Yo y y' YO o 2/h 2/h 11h h 2 h

-42)

i

(Alio 5 ¡ii

a

=

50. Das ifferenzenschema lautet

4h 3h 2h h X

y:f(x)

_y.

[xx1) A[xxl [xx1x.,) [xxxJ [xx1 X, x3] A[xxxx) [xx1 x.,X,1x4

o o s'o 4,6 6.6 3,0 3,2 5,0 1,4 1,6 1,6 3,4 1,4 3 4.6 2,97 4,71 5,83 2,97 1,74 1.12 1,35 2,121 1.087 0,700 0,397 - 1,034 - 0,387 - 0.303 - 0,3447 - 0,1209 - 0,0606 0,2238 0,0603 ± 0,04865 + 0,00914 - 0,03951 - 0,00494 8 7,18 SImpsonintegral

Abweichung 'I.von

e e e 0 147,41 m' = + 35 cm 154,87 mc 147,41 mc 7,46 me 5,1 '/o -1 + 47cm 149.91 m' 147,41 mc 2,50 mc 1,70/0 + + 73 cm 151,30 m' 147,41 m' 3.89 mc 2,6 '/o Es werden: 0,060- 15

- 0,35 m

256 E01 0,120- 9,24

0,47m

256

c11

0,120 15,64

- 0,73 m.

256

Es wird also mit Gleichung (35):

Rh

=

(i\0-5i\h1 +

(36)

Audi diese sehi einfache Formel gibt den Fehler an der Stelle h/2.. also in der Regel den größten rehier, exakt an.

Aus Svmmetriegründen ist es gleichgültig, ob der Punkt (x; y)

in der oberen oder in der unteren Intervallhiilfte h liegt. Wie

die Indices in beiden Fällen zu setzen sind, macht Bild 4

deuti ich.

Bild 4 DIfferenzen aus Gleichung (36)

Wie wirkt sich dieser Fehler auf das Gesamtergebnis,

bei-spielsweise auf die Fläche der Wasserlinien, aus, deren Ordi-natcn aussdiließlith aus interpolierten Punkten bestehen? Der interpol ¡erte Zwisthenwert kann mit gleicher Wahrscheinlich-keit an jeder beliebigen Stelle des jeweiligen Doppeistreifens

liegen. Es interessiert also die Größenordnung des mittleren Fehlers hei Interpolation aller Ordinaten.

Hierbei ist eine zweifache Mannigfaltigkeit der Möglich-kelten zu beaditen. Einmal ist, wie gesagt, jede beliebige

Treuisiclie innerhalb des Einzeldoppelstreifens zu

berücksich-tigen. andercreits kann jeder Doppelstreifen anders

aus-eh(n. d. h. die Fehler R verschiedener Doppeistreifen sind

einer Streuung entsprediend der besonderen Merkmale jedes Streifens unterworfen, Ist n die Zahl der Möglichkeiten

inner-halb eines Streifens und ni die Zahl der Doppeistreifen, so !flUß gelten:

=

j

Betrachten wir zunächst beliebige Treifstellen in einem der

insgesamt m Doppeistreifen, so können wir sagen,

inner-halb des Gesamtintervalls O i

wird die zu

inter-polierende Ordinate wahrscheinlich in jedem Teilinter-raIl dic gleich oft, etwa y mal, auftreten. Die Summe der

Feh-lerquadrate wird also für das Intervall dx mit Gleichung (34)

=

v-(i)2 (2)2h° [xx_1xx.,1]2.

(38) Die 3. Steigung [xxxxj ist von dér Gestalt der zu

interpolie-renden Funktion abhängig und damit eigentlich auch von

Da wir im ganzen jedoch m verschiedene Doppelstreifen

be-traditen und wahrsdieinlich ist, daß für [xxxx] ebenso oft ein

Anstieg mit wie ein Abfall mit eintritt, kann man

anneh-men, daß im Mittel [xxxx] von unabhängig sein wird. Damit

wird

die Summe der Fehlerquadrate

in allen Teilinter.

vallen d:

n 'S'R2 =

v'h61xxn_ixnxn+i]$

(1) (2)2d(.

(39) m (37)

Die Zahl der Fälle ist n

=

v d

y,

somit wird:

/1

V

- =

li [xTI..lxflxfl+t ,fii

(1)

(2)2d

8_

= h3 [xx_jx1x1]

- 0,276' h3 [xx»_1x11x,... ]

(40) Zur Berechnung der Streuung dieses mittleren Fehlers bei m verschiedenen Doppelstrcifen wäre [xxxx} für eine möglichst große Zahl von vorkommenden Doppeistreifen zu

bestimmen-Wir hatten festgestellt, daß im Mittel eine Abhängigkeit von

zu vernachlässigen ist, so daß wir für [xxxx] () konst

=

[xxxx] li

setzen können. Es ist aber nach Gleichung

(35)

und (36):

[xx11 1 z,, x h

= --

(A,0 5 A t'

1

+ Ah

)

3h3 2 2

Damit geht mit Gleichung (40) die Gleichung (37) über in:

mit =

ì/

0,092E(A110_5Ah1 +

3Ah (41) m

Um für den konkreten Fall von Wasserlinienaufmaßcn zu

einem Zahienwert des mittleren Fehlers mit zu kommen, wurde für eine größere Zahl von Höhendoppeistreifen aller Spanten eines für den Elektronenrechner aufgemessenen SchiITe der Klammerausclruck in Gleichung (41). bestimmt. Es erwies sich dabei als nicht möglich, Gesetzmäßigkeiten über eine besondere Verteilung im Kollektiv aufzuspüren. Die Zahlenwerte streu-ten ziemlich gleichmäßig. Irgendwelche Häufungspunkte

konn-ten nicht festgestellt werden. Für das untersuchte Kollektiv

ergab sich der mittlere Fehler zu m11

=

0,006 m. Im

unter-suchten Bereidi - es handelte sich um Doppeistreifen im

Be-reich der Seitenwand, in dem normalerweise die Wasserlinie

liegt - waren demnach die Wasserlinienordinaten auf etwa 0,6 cm genau interpoliert worden. Die größte im Kollektiv

auftretende Abweichung betrug 1,5 cm.

Man kann nun noch bei bekannen mittleren Fehler rieti

voraussichtlichen Gesamtfehlcr bei der Integration der

Onu-naten zur Wasserlinienfihiche bestimmen. Wenn die Schrittweitc

in x-Richtung für die Simpson-Redinung hz konstant ist, gellt Gleichung (20) über in

--

2n'h

L

=

m1, 'h /2 n

=

m --

=

m (42)

T/2n T/2n

mit n, der Anzahl der Doppeistreifen. In unserem Falle ist

beim geredineten Beispiel my

=

mit

0,OO6m; n

=

12;

L

=

140 m, und es ergibt sich für den mittleres Fehler

FF\VL

=

0,006' 1f?. - 0,17 m2 (für eine Schiffshälfte).

1/24

Die Wasserlinienflädle betrug in diesem Falle etwa 2000

m2-Es ergibt sich demnach ein prozentualer Fehler von 0,017O/

der Wasserlinienfläche. Es ist einzusehen, daß diese

Genauig-keit ausreicht. Damit zeigt dieses Beispiel, daß esdurdiaus

gerechtfertigt ist, die Interpolation quadratisch durchzufii bren, 14. Spanueilung an den Sdiiflsenden

Ein weiterer Anlaß zu Fehlerbetraditungen bei

nume-rischen Integrationen von Schiffslinien ergibt sich an den

Schi1senden. Beginnt oder endet ein Integrationsintervall der

Länge nach nicht gerade an einem der gewählten Spantquer

schnitte, so entstehen ,,Endstiicke", für die die Einteilung frt

Längsdoppelstreifen nicht zutrifft, Beide möglichen Wege.