M E CH AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA
4, 16 (1978)
METOD A N IEZALEŻ N YCH KON TU RÓW BEZ P OŚ R ED N I EJ TRAN SF ORM ACJI U KŁAD U M ECH AN ICZN EG O W GRAF PRZEPŁYWU SYG N AŁÓW
JÓZEF WOJNAROWSKI, JERZY Ś WIDER (G LIWICE) . •
. Streszczenie
W pracy przedstawiono algorytm konstruowania grafów przepł ywu sygnał ów zł
o-ż onyc
h ukł
adów mechanicznych. Zaproponowane konwencje o znakach i sposobie roz-pływu sygnałów zmiennych przepł ywowych
2s(p) i zmiennych biegunowych
±s(p) poz-walają na bezpoś rednie modelowanie zł oż onyc
h ukł
adów mechanicznych grafami prze-pływu sygnał ów. Metodę transformacji ukł adu w graf przepł ywu sygnał ów zilustrowano
na przykł adzie modelowania ukł adu mechanicznego o mieszanej strukturze. Praca jest
rozwinię ciem metod modelowania podanych w [1].
1. Wstę p
Grafy przepł ywu sygnałów znalazł y szerokie zastosowanie w analizie i syntezie ukł adów
elektrycznych i elektronicznych [2, 3]. W ukł adach mechanicznych do niedawna grafy
przepływu sygnał ów nie był y wogóle stosowane [4].
Systematyczne studium modelowania zł oż onyc
h ukł adów mechanicznych za pomocą
grafów i liczb strukturalnych moż na znaleźć w pracy [5]. W innych pracach modelowanie
ukł adów mechanicznych grafami przepł ywu sygnał ów potraktowane jest marginesowo.
N p. w jednym z rozdział ów ksią ż k
i [3] autorzy podają , metodę tworzenia grafów przepł ywu
sygnałów ukł adów mechanicznych przy traktowaniu elementów tych ukł adów w postaci
czwórników. Sam sposób ł ą czenia czwórników w przypadku modelowania ukł
adów me-chanicznych o mieszanej strukturze
1- * wymaga jednak duż e
j uwagi i jest czasochł onny.
W artykule [6] W. N . Fjedorowicz wprowadził sposób modelowania drgają cych
ukł adów mechanicznych za pomocą tzw. „dź wigni sprzę ż eń "
. W metodzie tej konstruuje
się doskonale sztywne ł ą czniki, poł ą czone przegubowo z elementami ukł adu w ten sposób,
że pod wpływem dział ają cych sił mogą one wykonywać jedynie ruch postę
powy. Skonstru-owane tak modele nie mogą być uż yte do bezpoś redniej transformacji w graf przepł ywu,
sygnałów. Aby dokonać takiej transformacji
2' w pracy [1] ten sam autor wprowadza ko-rektę do zaproponowanej metody budowy modeli z „dź wigniami sprzę ż eń "
. Przedstawiona
" P or, str. 452 w [7].
2 )
Rozumianej jako przejś cie z ukł adu mechanicznego wprost do grafu przepł ywu sygnał ów z pomi-nię ciem etapu wypisywania równań róż niczkowych ruchu bą dź konstruowania poś rednich grafów czwór-ników elementów.
508 J- WOJN AROWSKI, J. Ś WIDER
tam m et o d a kon struowan ia grafów przepł ywu sygnał ów ukł adów mechanicznych jest jed n ak bard zo nieprzejrzysta. M oż na stwierdzić, że zastosowanie jej do modelowania zł oż onych ukł adów m echanicznych o mieszanej strukturze staje się wrę cz niemoż liwe. Jeż eli n atom iast zam iast kon struowan ia modelu z „ dź wigniami sprzę ż eń" —• przyją ć biegun owy, n iezorien towan y graf ukł adu [5], to transformacja do grafu przepł ywu sygnał ów znacznie się upraszcza.
W niniejszej pracy przedstawion o algorytm konstruowania grafów przepł ywu sygnał ów, zł oż on ych u kł adó w mechanicznych, dla których istnieją grafy biegunowe pierwszej ka-tegorii [5]. Opracowan y algorytm stanowi rozwinię cie m etody m odelowania podanej w pracy [1].
W szczególnoś ci, przedstawion y sposób budowy szkieletu grafu przepł ywu sygnał ów oraz zapro po n o wan e kon wen cje:
— o zn akach sygnał ów,
— o sposobie rozpł ywu sygnał ów zmiennych przepł ywowych 2 s
(p), — o sposobie rozpł ywu sygnał ów zmiennych biegunowych is(p)
umoż liwiają kon struowan ie grafów przepł ywu sygnał ów zł oż onych ukł adów mechaniczych. O pracowan ą m etodę zilustrowan o n a przykł adzie budowy grafu przepł ywu sygnał ów u kł ad u m echanicznego o mieszanej strukturze.
2. S posób budowy szkieletu grafu przepł ywu sygnał ów
W prezen towan ej m etodzie graf przepł ywu sygnał ów ukł adu mechanicznego tworzy się w dwu et apach . Kon struuje się szkielet grafu, a nastę pnie, zgodnie z przyję tymi kon-wencjami dokon uje się dom knię cia tworzonego grafu przepł ywu sygnał ów. Szkieletem
1*0
Rys. 1. G raf biegunowy ukł adu mechanicznego z drzewem tworzą cym (o pogrubionych gał ę ziach)
grafu przepł ywu sygnał ów ukł adu mechanicznego nazwiemy zbiór wszystkich wę zł ów tego grafu poł ą czon ych jedyn ie gał ę ziami o transmitancjach W i(p) e W {p) lub iW t(p) e %W {p), gdzie: wt(p) i ]W i(p) są odpowiedn io sztywnoś cią i podatnoś cią dynamiczną i- tego elemen-tu ukł adu, W {p) i x W (p) odpowiedn io zbiorem sztywnoś ci i zbiorem podatnoś ci dynamicz-nych elem en tów ukł adu, p — argum en tem przekształ cenia Laplace'a. D la przedstawienia sposobu uzyskan ia szkieletu grafu przepł ywu sygnał ów rozważ ymy ukł ad mechaniczny, kt órego graf biegunowy X pokazan o n a rys. 1 [5].
M E T O D A N I E Z ALE Ż N YCH 509
W celu skonstruowania szkieletu grafu przepł ywu sygnał ów ukł adu m ech an iczn ego n a-leż y:
i 1. Wybrać w grafie biegunowym X ukł adu drzewo tworzą ce L agran ge'a3 )
X. 2. Przedstawić każ dą krawę dź 2xt grafu X w postaci dwójnika dt> a jego ko ń c
om przy-porzą dkować wł asne zm ie n n e — biegunową ^ ( p ) i przepł ywową 2Si(p), speł n ia-ją ce równania biegunowe elem entu:
tSi(p) • W i(p) = 2SiCp),
lub
2Si(j))- iWi(p) = xSiip).
3. P rzyporzą dkować linii poziomej, reprezentują cej poziom odniesienia, koń ce 2si(p) wszystkich biernych dwójników dt ukł adu oraz wę zł y odpowiadają ce zm ien n ym prze-pł ywowym wzbudzenia.
4. Wyznaczyć liczbę cykł omatyczną n grafu X, która okreś la liczbę poziom ów nie-zależ nych ko n t u ró w4'
ń = n2 — «x + 1 , gdzie:
«2 — liczba krawę dzi grafu X, nx — liczba wierzchoł ków grafu X.
5. P rzyporzą dkować liniom reprezentują cym poziom y niezależ nych ko n t u ró w koń ce reprezentują ce zmienne biegunowe !• ?*(/?) wszystkich biernych dwójników u kł ad u i wę zł y zmiennej biegunowej odpowiadają ce wzbudzeniu ukł adu.
Każ demu poziomowi przyporzą dkować wę zł y xSi(p) tylko tych dwójników, które w grafie biegunowym X tworzą jeden niezależ ny kon t u r zam knię ty.
) S0 - I D ' i 1 * 1 I 1 S 3 2S 2, 3 2S 3 d„- i - 1 , n 2s n Rys. 2. Szkielet grafu przepł ywu sygnał ów
I, I I , .,., h —poziom y niezależ nych konturów,
A, B, C, D , E—- wspólne punkty są siadują cych niezależ nych poziomów o tej samej zmiennej biegunowej iSi.
3 )
Por. str. 34, 35 w [5].
"° Odpowiadają cych „dź wigniom sprzę ż eń" proponowanym w pracy [1].
510 J . WOJNAROWSKI J . Ś WIDER
/
U waga 1. Z m ien n e biegunowe iSt(p) gał ę zi wybranego drzewa X grafu Z win n y sta-n owić wspóly sta-n e pu y sta-n kt y poziom ów y sta-niezależ y sta-nych koy sta-n turów.
U waga 2. Każ dy p u n kt przyporzą dkowany poziomowi odniesienia oraz każ dy punkt przyporzą dkowan y poziom owi niezależ nych konturów repezentuje tylko jeden sygnał zmiennej przepł ywowej 2si(p) lub zmiennej biegunowej iSi(p).
D la ukł adu m echanicznego, którego graf biegunowy ^przedst awion o n a rys. 1 utworzono, zgodn ie z podan ym sposobem , szkielet grafu przepł ywu sygnał ów (rys. 2).
W celu um oż liwienia domknię cia utworzonego szkieletu grafu przepł ywu sygnał ów n ależy wprowadzić wspom n ian e we wstę pie trzy konwencje:
— o zn akach sygnał ów,
— o sposobie rozpł ywu sygnał ów 2s(p)> — o sposobie rozpł ywu sygnał ów
3. Konwencja o zn akach sygnał ów
Z n aki sygnał ów is(j>) i 2s(p) szkieletu grafu przepł ywu sygnał ów uwarunkowane są przyporzą dkowan iem poziom ów niezależ nych kon turów do „ przekazują cych" lub „przyj-m ują cych " ruch. „ P rzekazywanie r u c h u " odbywa się w ukł adzie we wspólnych punktach (A, B, C, D , E rys. 2) są siadują cych poziom ów. W każ dym z tych pun któw jeden z poziomów jest przekazują cym a pozostał e — przyjmują cymi ruch. P oziom ze zmienną ^ ( p
) odpo-wiadają cą wzbudzeniu ukł adu jest zawsze „ przekazują cym ".
W t akim uję ciu konwencję o zn akach sygnał ów m oż na zapisać nastę pują co:
W szkielecie grafu przepł ywu sygnał ów ukł adu mechanicznego należy przyporzą dkować: — zn ak plus
wszystkim sygnał om ^(p) i 2s(jp) odpowiadają cym wzbudzeniom ukł adu, wspólnym wę zł om należ ą cym do poziomów przyjmują cych ruch, — zn ak m in us
wszystkim pozostał ym sygnał om ij(p),
— sygnał om 2s(p) dwójników modelu dynamicznego znaki przeciwne do znaków odpowiadają cych im sygnał ów I J ( / 05 )
-4. Konwencja o sposobie rozpł ywu sygnał ów
Wszystkie sygnał y reprezentują ce stan modelowanego ukł adu mechanicznego rozpł y-wają się w grafie przepł ywu sygnał ów gał ę ziam i:
— pierwszego rodzaju 2xs(_xs, i s
) (gał ę zie rozpł ywu zmiennych biegunowych), — drugiego rodzaju 2xj(2s, 2s) (gał ę zie rozpł ywu zmiennych przepł ywowych),
— trzeciego rodzaju 2Xjds, 2s) lub 2Xj(2s, ts) (gał ę zie sztywnoś ci lub podatnoś ci dynam icznych elem entów ukł adu mechanicznego).
5 )
D la sygnał ów as(p) odpowiadają cych wspólnym punktom są siadują cych poziomów niezależ nych konturów należy ustalić tyle znaków ile poziomów ł ą czy dany wę zeł .
METODA NIEZALEŻ NYCH 511
Transmitancje gał ę zi pierwszego i drugiego rodzaju są równe 1 lub — 1 w przypadku jednorodnych zmiennych ^(p) i 2s(p) opisują cy ukł ad lub +
R w przypadku niejedno-rodnych zm ien n ych6' ^(p) i 2 s
( p ) . gdzie + R jest współ czynnikiem ujedn orodn iają cyn i zmienne [8].
4.1. Konwencja o sposobie rozpływu sygnałów 2s(p). Z m ien n e 2$(p) wchodzą ce w niezależ ne relacje rozpł ywu sygnał ów wybiera się zgodnie z nastę pują cą zasad ą :7 ) „ D la każ dego punktu wspólnego poziom ów niezależ nych kon turów szkieletu grafu przepł ywu sygnał ów w realcję rozpł ywu sygnał ów 2s(p) wchodzi zm ienna wę zł a wspólnego i wszystkie pojedyn-cze sygnał y poł ą czonych poziom ów".
Konwencję o sposobie rozpł ywu sygnał ów 2s(p) m oż na zapisać n astę pują co:
— każ dy z wę zł ów zmiennych 2s(p) może mieć tylko wchodzą ce lub tylko wychodzą ce gał ę zie 2x(2s, 2s),
— wę zeł zmiennej 2s(p) posiada wychodzą ce gał ę zie 2x,(2s, 2 s) tylko wtedy, gdy wcho-dzi do niego gał ą ź 2x d- v, 2s) transformują ca sygnał zmiennej biegunowej Łj n a sygnał zmiennej przepł ywowej 2s.
— wę zł y sygnał ów wzbudzenia stanowią ź ródła w kon struowan ym grafie,
— gał ę zie 2x(2s, 2s) mogą mieć zn ak plus gdy ł ą czą sygnał y o tych samych zn akach lub znak minus — gdy ł ą czą sygnał y o róż nych zn akach,
— transmitancje gał ę zi 2x(2s, ts) i 2x(Ls, 2s) mają zawsze zn ak plus.
Rozpł yw sygnał ów w niezależ nych zbiorach zmiennych 2s(p) dokonuje się zgodnie z podan ą konwencją , po uprzedn im przyję ciu w każ dym ze zbiorów jedn ego z wę zł ów ja ko upustu. U pustami mogą być tylko t e wę zł y, których zmienne przepł ywowe odpowiadają gał ę ziom
7
wybranego drzewa Lan gran ge'a X grafu biegunowego X ukł adu.
4.2. Konwencja o sposobie rozpływu sygnałów ts(j>). Konwencje o sposobie rozpł ywu syg-nał ów xs(p) m oż na zapisać n astę pują co:
— gał ę zie 2xds, ts) ł ą czą sygnał y tylko jedn ego poziomu niezależ nych kon turów, — każ dy z wę zł ów tXj zmiennej biegunowej ^(p) m oże mieć tylko wchodzą ce lub tylko
wychodzą ce gał ę zie 2x(iS, ts),
— wę zeł zmiennej ^(p) posiada wychodzą ce gał ę zie 2x(ts, i s
) tylko wtedy, gdy wchodzi do niego gał ą ź 2x(2s, j^s) transformują ca sygnał zmiennej przepł ywowej 2s n a sygnał zmiennej biegunowej xj .
• — wę zł y sygnał ów wzbudzenia ^(p) stanowią ź ródła w tworzonym grafie,
— gał ę zie 2x(ts, ts) mają zn ak plus gdy ł ą czą sygnał y o róż nych zn akach lub zn ak minus — gdy ł ą czą sygnał y o tych samych zn akach.
5. Przykł ad transformacji ukł adu mechanicznego o mieszanej strukturze w graf przepływu sygnałów Celem zilustrowania zaprezentowanej m etody otrzymywania grafów przepł ywu syg-nał ów zł oż onych ukł adów mechanicznych rozważ ymy ukł ad pokazan y n a rys. 3.
' 6
> Por. str. 276 w [5]. 7 )
Moż na stwierdzić, że podana w pracy [1] metoda „gry kombinat oryjnej" wyboru ł ą czonych zmiennych zs(p), w przypadku zł oż onych ukł adów mechanicznych o wielu stopniach swobody, jest bardzo ucią ż liwa i pracochł onna.
512 J . WOJN AROWSKI J . Ś WI D ER
U kł ad t en przedstawion o w postaci niezorientowanego grafu biegunowego X (rys. 4). P ostę pują c zgodnie z algorytm em podan ym w punkcie 2 skonstruowano szkielet grafu przepł ywu sygnał ów przyję tego modelu ukł adu mechanicznego. U zyskany szkielet wraz z przyję tymi zn akam i zmiennych przedstawiono n a rys. 5.
Z godn ie z przyję tą konwencją o sposobie rozpł ywu sygnał ów, dokon an o domknię cia kon struowan ego grafu przepł ywu sygnał ów gał ę ziami 2X ( , J , VS) i 2x(2s, 2- 1)- U zyskany graf
Rys. 3. U kł ad mechaniczny o mieszanej strukturze
przedstawion o n a rys. 6. Po dokon an iu zwarcia wspólnych punktów (A, B, C , D ) oraz po odrzucen iu linii reprezentują cych poziomy niezależ nych konturów ( I - rI X) , graf prze-pł ywów sygnał ów modelowanego ukł adu mechamcznego przyjmie postać pokazaną na rys. 7.
Rys. 4. G raf biegunowy ukł adu mechanicznego pokazanego na rys. 3 (z pogrubionym drzewem Lagrange'a)
Z auważ m y, że wybrane n a rys. 4 drzewo X jest jedn ym z trzech moż liwych drzew Lan gran ge'a grafu X. Z atem , przedstawiony n a rys. 7 graf przepł ywu sygnał ów, jest rów-nież jed n ym z trzech grafów moż liwych d o uzyskania przedstawioną metodą dla mode-lowan ego u kł adu mechanicznego.
vn
+• 11S3 11S12 m I 11S11 11s 0O 1 1C23Rys. 5. Szkielet grafu przepł ywu sygnał ów ukł adu mechanicznego I., I I , ..., TK — poziomy niezależ nych konturów,
A, B, G, D — wspólne punkty poziomów niezależ nych konturów.
Rys. 6. G raf przepł ywu sygnał ów ukł adu mechanicznego
514 J. WOJNAROWSKI, J. Ś WIDER
C34/P i/ ,m3p i/ ,m5p ' • «o/p
R ys. 7. Przekształ cony graf przepł ywu sygnał ów ukł adu mechanicznego
6. Uwagi koń cowe
Rozwój metod modelowania ukł adów mechanicznych za pomocą maszyn analogowych
pocią ga za sobą konieczność opracowywania bezpoś rednich metod sporzą
dzania progra-mów. Jedną z nich jest metoda grafów przepł ywu sygnał ów. Zaprezentowana w niniejszej
pracy metoda modelowania zł oż onyc
h ukł adów mechanicznych uł atwia konstruowanie
ich. grafów przepł ywu sygnał ów.
Skonstruowany graf przepł ywu sygnałów moż na wprost zastosować do opracowania
programu dla elektronicznej maszyny analogowej, a wykorzystują c ogólną reguł ę redukcji
Masona — wyznaczyć poszukiwane transmitancje operatorowe i charakterystyki czę
sto-tliwoś ciowe analizowanego ukł adu mechanicznego. W przeciwień stwi
e do innych metod
opracowany sposób tworzenia grafu przepł ywu sygnałów nie wymaga znajomoś
ci modelo-wania ukł adów mechanicznych grafami czwórnikowymi.
Zaproponowana metoda niezależ nych konturów wyboru niezależ nyc
h zbiorów zmien-nych ^s(p) jest przejrzysta i nie wymaga konstruowania modelu ukł adu mechanicznego
z dź wigniami sprzę ż eń. Jest to istotne przy modelowaniu grafami przepływu sygnałów
zł oż onych ukł adów mechanicznych o mieszanej strukturze. Prosty sposób transformowania
ukł adów mechanicznych w grafy przepł ywu sygnałów metodą niezależ nyc
h konturów,
może zachę cić do szerszego ich stosowania w analizie i syntezie zł oż onyc
h ukł adów.
Literatura cytowana w tekś cie
1. B . H . K . <t>EflOPOBHH3 M . H . OPJIOBAJ A. H . H BAH O B, Pacnem duuaMunecKUx Modejieii c „pumiatm
csA3u" MexammecKux u 3AiKtnpoMexauuHscKUX Kosie6anuAbHux cucmeM MemodoM ipafioa, Bo n p
. paRKo-ajieKTpoHMKK;, cep. T I I C , Bbin. 3, 1971.
2. J. S. M ASON , H . J. ZIMMERMANN, Elektronie Circuits, Signal and Systems, John Wiley & Sons, IN C 1960, N ew York —L o n d o n .
METODA NIEZALEŻ NYCH 515
3. L. ROBICHAUD, M. BOLSVERT, J. ROBERT, Grafy przepł ywu sygnał ów, P WN , Warszawa 1968, (tł um. ksią ż ki L. ROBICHAUD, M. BOISVERT, J. ROBERT, Graphes de fluence. Applications d Velectrotechnique
et d I'electronique. Calculateurs analogiques et digitaux, Presses de PU niv. Laval (Quebec), 1961).
4. A. K). FEPOTIX, H . H
. RTKOKHH, npujueueHue meopuu spa<p~0B dun aHamua stfieKmueHOcmu MHOIO-KacKadnux u 6MOHHUX cucmeM eu6pou3ojiupywią eu ajnopmu3aifuu MexanmMos, T p . JleH H H rp. Kopa6jiecT.
HHCT.J Bbirt. 91, JleHHHrpafl 1974.
5. J. WOJNAROWSKI, Grafy i liczby strukturalne jako modele ukł adów mechanicznych, Politechnika Ś lą ska — PTMTS Oddz. G liwice, z. 38, G liwice 1977.
6. B. H .K , <t>EflOPOBKra3 K meopuu 3/ ieKmpoMexammecKUx amjioeuU, Bonp. paflHoaJieKTpoHHKH, cep.
T r iC , Bbin. 3, 1971.
7. J. Ś WIDER, J. WOJNAROWSKI, Grafy przepł ywu sygnał ów w modelowaniu kaskadowej struktury ukł adu
wycią gowego, Mech. Teoret. i Stos., 2 (1978), s 215- 4- 223.
8. J. Ś WIDER, J. WOJNAROWSKI, Metoda fikcyjnych ź ródeł zmiennej biegunowej jako sposób wyznaczania
podatnoś ci dynamicznej zł oż onych ukł adów mechanicznych, M ech. Teoret. i Stos., 2 (1978). s 225- 7- 234.
P e 3 K> M e
METOfl HE3ABHCHMBIX KOHTYPOB H EnOCPEflCTBEH H Ofl TPAHCO0PMAU.HH MEXAHH*IECKOfł CHCTEMŁI B T P A* CH rH AH OB B pa6oTe npeflCTaBjieH anropMTM KOHCTpyapoBaHHa rpa$O B CHraajiOB cjiOH<HBrx
CHcreM. IIpeOTtoHceHHbie KOHBCHUHHI O 3HaKax H cn oco6e nepefla^m cim ian oB nocjieflOBaTejn.HŁix n e p e -MeHHbrx 2J0j)H n apan jiejibH tix nepeMeHHbix is(p) flaior BO3MO>KHOCTB HenocpeflCTseHHO
cjio>KHbie MexaHH'mecKHe cHCieMbi rpa<baMtf cum ajioB. M eTon TpaHcibopMaqHM cKCTeMW B rpad) JtOB H jimocTpH pyerca Ha npHiwepe MOflenHpoBaHHH MexaHH^iecKoft cHcreMfci ciweniaHHoft crpyKTypbi.
paSoTa HBJIHCTCH pa3BHTHeM MerofloB MoaejiHpoBaHHa npHBefleHHbix B [1],
S u m m a r y
A METH OD OF IN D EPEN D EN T CYCLES OF D IRECT TRAN SF ORM ATION OF A M ECH AN ICAL SYSTEM IN TO A SIG N AL FLOW G RAPH
The paper deals with an algorithm of the construction of flow graphs of signals for complex mechani-cal systems. The suggested conventions with signs and the'division of the signals of the through- variables 2s(p) and across- variables is(p) make it possible to model directly complex mechanical systems by means of signal flow graphs. The transformation method of the system into a signal flow graph has been ilustrated on the example of modelling a mechanical system of a mixed structure. The presented paper is a further
development of the modelling methods dealt with in publication [H-POLITECH N IKA Ś LĄ SKA
