DOI 10.21008/j.1897-0737.2017.91.0012
__________________________________________
* Politechnika Wrocławska.
Krzysztof DRÓŻDŻ*
IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MECHANICZNYCH UKŁADU DWUMASOWEGO W TRYBIE ON-LINE
ZA POMOCĄ ROZMYTEGO BEZŚLADOWEGO FILTRU KALMANA
Artykuł dotyczy zagadnień związanych z identyfikacją parametrów mechanicznych układu dwumasowego, przeprowadzanej w trybie on-line za pomocą rozmytego bezśla- dowego filtru Kalmana. W celu realizacji procesu identyfikacji zastosowano adaptacyj- ną strukturę sterowania rozważanego układu z dwoma dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi. Do klasycznego algorytmu UKF wprowadzono zaprojektowane systemy rozmyte, których zadaniem była adaptacja wyrazów macierzy kowariancji filtru Kalma- na. Poprawia to jakość identyfikacji oraz przyspiesza ten proces. W pracy przedstawio- no przegląd literatury, model matematyczny rozpatrywanego układu napędowego, omó- wiono algorytm rozmytego bezśladowego filtru Kalmana oraz zastosowane systemy rozmyte. Następnie zaprezentowano wyniki badań i przeprowadzono porównanie jako- ści identyfikacji realizowanej przez oba algorytmy filtrów Kalmana.
SŁOWA KLUCZOWE: Identyfikacja parametrów, filtr Kalmana, układ dwumasowy, systemy rozmyte
1.WPROWADZENIE
Realizacja wielu nowoczesnych struktur regulacji układów dwumasowych wymaga znajomości wartości ich parametrów mechanicznych. Nieprecyzyjne wyznaczenie tych wielkości przyczynia się do pogorszenia przebiegów dyna- micznych rozważanych układów, obniżenia jakości sterowania, a w krytycz- nych przypadkach do braku stabilności struktur regulacji [1]. Stanowi to o ko- nieczności precyzyjnej identyfikacji parametrów mechanicznych układów na- pędowych z połączeniem sprężystym.
Zagadnienia związane z identyfikacją parametrów mechanicznych układów napędowych cieszą się niegasnącym zainteresowaniem wielu ośrodków nauko- wych [1–6]. Wśród popularnych podejść w rozważanych zagadnieniach wyróż- nić można metody typu off-line i on-line. Bazują one na wykorzystaniu obser-
watorów [2, 5, 6]. W celu realizacji procesu identyfikacji parametrów mecha- nicznych układów dwumasowych w trybie on-line, zastosować można algoryt- my filtrów Kalmana [6, 7]. W przypadku implementacji jednego z nich w wy- branej strukturze regulacji, możliwe jest jednoczesne sterowanie prędkością układu napędowego z połączeniem sprężystym i identyfikacja jego parametrów mechanicznych. Wykorzystanie takiego rozwiązania wiąże się jednak z proble- matycznym doborem wartości wyrazów macierzy kowariancji Q i R filtru Kal- mana. Uwzględniając szeroki zakres kombinacji rzeczywistych wartości para- metrów mechanicznych, które mogą wystąpić w identyfikowanym obiekcie, zadanie to jest dodatkowo utrudnione.
W niniejszej pracy do rozważań związanych z identyfikacją parametrów mechanicznych układu dwumasowego w trybie on-line, jako algorytm podsta- wowy wybrano bezśladowy filtr Kalmana (UKF – ang. Unscented Kalman Fil- ter). Algorytm UKF cechuje się jednak wadą, polegającą na zmienności błędów estymacji poszczególnych wielkości wraz ze zmianą rzeczywistych wartości identyfikowanych parametrów mechanicznych układu dwumasowego. W celu minimalizacji tej wady zastosowano adaptację wyrazów macierzy kowariancji Q i R, realizowaną przez zaprojektowane systemy rozmyte, co pozwoliło na utworzenie rozmytego bezśladowego filtru Kalmana (FUKF – ang. Fuzzy Uns- cented Kalman Filter). Oba opracowane algorytmy zaimplementowano w za- mkniętej strukturze sterowania. Następnie przeprowadzono badania porównaw- cze, uwzględniające szeroki zakres zmienności identyfikowanych parametrów rozpatrywanego układu napędowego.
2.MODELMATEMATYCZNYOBIEKTUBADAŃ ISTRUKTURASTEROWANIA
W niniejszej pracy przedmiotem badań jest elektryczny układ napędowy z połączeniem sprężystym, w którego skład wchodzą skupione masy silnika i maszyny roboczej, połączone za pomocą sprężystego wału. Do analizy rozwa- żanego obiektu wykorzystano powszechnie stosowany model matematyczny układu dwumasowego z bezinercyjnym połączeniem sprężystym [5], który opi- sać można następującymi równaniami w jednostkach względnych:
)) t ( m ) t ( m T (
1 dt
) t ( d
s e 1
1
(1)
)) t ( m ) t ( m T (
1 dt
) t ( d
L s 2
2
(2)
)) ( ) ( 1( ) (
2
1 t t
T dt
t dm
c
s (3)
gdzie: 1 – prędkość silnika, 2 – prędkość maszyny roboczej, me – moment elektromagnetyczny, ms – moment skrętny, mL – moment obciążenia, T1 – me- chaniczna stała czasowa silnika, T2 – mechaniczna stała czasowa maszyny ro- boczej, Tc – stała sprężystości.
W celu przeprowadzenia badań wybrano adaptacyjną strukturę sterowania prędkością układu dwumasowego z przyrostowym regulatorem IP i dwoma dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi: od momentu skrętnego (k1) oraz różnicy prędkości (k2) [5]. Schemat blokowy wybranej struktury regulacji przedstawio- no na rysunku 1. W zaprezentowanej strukturze wyróżnić można: regulator prędkości typu IP, zoptymalizowaną pętlę wymuszenia momentu elektromagne- tycznego, część mechaniczną rozważanego układu i filtr Kalmana. Na rys. 2 zaprezentowano schemat blokowy zastosowanego regulatora prędkości.
Rys. 1. Schemat blokowy adaptacyjnej struktury sterowania
Rys. 2. Schemat blokowy przyrostowego regulatora prędkości typu IP
Współczynniki tego regulatora i dodatkowych sprzężeń zwrotnych przestra- jane są na podstawie aktualnych estymowanych wartości parametrów mecha- nicznych T2 i Tc, zgodnie z poniższymi zależnościami [5]:
c 2 1 4 r
i TT T
k (4)
c 2 1 3 r z
p 4 TT T
k (5)
1 1
2
2 3
c rTT
k (6)
1 1
4
2 2
2 2 1
1
k T
k T
k
z
(7)
gdzie: r – zadana pulsacja rezonansowa, ξz – zadany współczynnik tłumienia układu; ki, kp – współczynniki członów całkującego i proporcjonalnego regulato- ra prędkości typu IP.
Pętlę wymuszenia momentu opisano następującą transmitancją:
1 002 , 0 ) 1
(
s s
Gp (8)
3.BEZŚLADOWYFILTRKALMANA
Realizacja procesu identyfikacji parametrów mechanicznych rozważanego układu dwumasowego wymaga rozszerzenia jego podstawowego wektora stanu o następujące wielkości dodatkowe: 1/T2 i 1/Tc. Rozszerzony wektor stanu jest następującej postaci:
T
c
s t
t T t T m t t
t
1 ()
) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (
2 2
1
R
x (9)
Rozszerzone równania stanu i wyjścia rozpatrywanego układu przedstawio- no poniżej:
) ( ) ( ) ( ) 1 ( ), 1 ( )
(
2
t t t
T t T t dt t
d
c
w u B x A
xR R R R
(10)
) ( ) ( )
(t C x t v t
yR R R (11)
gdzie: w(t), v(t) – zakłócenia stanu i pomiaru występujące w układzie.
Macierz AR zależna jest od zmiennych w czasie parametrów T2 i Tc. Stanowi to powód konieczności jej aktualizacji w każdym kroku obliczeniowym algo- rytmu filtru Kalmana, bazując na aktualnych estymowanych wartościach obu parametrów mechanicznych układu dwumasowego. Postacie macierzy stanu, sterowania i wyjścia są następujące:
T
c c c
T
T t T t
T t T
T t T t
0 0 0 0 1
,
0 0 0 0 1
,
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 ) 1( ) 1 (
0 0 ) 1 ( 0 0
0 1 0
0 0
) 1 ( ), 1 (
1
2 1
2
R R
R B C
A (12)
Wektorami wejściowym i wyjściowym rozważanego układu i filtru Kalmana są moment elektromagnetyczny i prędkość silnika napędowego:
, 1
y
u me (13)
Do implementacji algorytmu bezśladowego filtru Kalmana wymagana jest dyskretyzacja równań stanu i wyjścia układu (10, 11) z krokiem Ts. W niniejszej pracy wartość kroku obliczeniowego to: Ts = 0,0005 s. Klasyczny algorytm bezśladowego filtru Kalmana opisano w [7]. Algorytm ten wymaga doboru wartości wyrazów macierzy kowariancji Q i R, których postacie są następujące:
r qq q q q
R
Q ,
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
55 44 33 22 11
(14)
Powyższe wartości, w przypadku klasycznego algorytmu UKF dobrano za pomocą algorytmu Pattern Search, zgodnie z poniżej przedstawioną funkcją celu:
ms ms T T Tc Tc
F1n1 1122 2 2 (15) gdzie:
n i
i
i x
x x
1
ˆ ,
s n
i
i i i i
T
x x x x x
1
1
1 ˆ ˆ
(16)
xi – wartości rzeczywiste, xˆ – wartości estymowane, n – liczba próbek. i
W powyższej funkcji celu uwzględniono wszystkie wielkości występujące w rozszerzonym wektorze stanu (9) rozpatrywanego układu napędowego. Skła- da się ona z iloczynów błędów estymacji poszczególnych wielkości oraz ich pochodnych, podzielonego przez liczbę próbek w celu normalizacji jej wartości.
Zastosowanie takiej postaci funkcji celu w procesie strojenia filtru Kalmana zapewnia wymuszenie dynamiki jego odpowiedzi, przy jednoczesnej minimali-
zacji zakłóceń wysokoczęstotliwościowych sygnałów wyjściowych. Za wymu- szenie dynamiki odpowiedzi filtru Kalmana odpowiada iloczyn błędów estyma- cji poszczególnych wielkości, natomiast za minimalizację zakłóceń wysokoczę- stotliwościowych, iloczyn ich pochodnych.
Optymalizację wartości wyrazów macierzy kowariancji Q i R bezśladowego filtru Kalmana przeprowadzono w zamkniętej strukturze regulacji, w omówio- nych warunkach. Sygnałem prędkości zadanej był sygnał prostokątny o ampli- tudzie 0,2ωN i częstotliwości 0,625 Hz. Moment obciążenia miał stałą wartość mL = 0 p.u. Zastosowano ograniczenie momentu elektromagnetycznego w za- kresie od –3meN do 3meN. Sygnały wejściowe filtru Kalmana zakłócono szuma- mi białymi o wartościach średnich równych 0 i wariancjach: 4e–5dla momentu elektromagnetycznego i 5e–6 dla prędkości silnika. Wartości parametrów me- chanicznych układu dwumasowego T2 i Tc zmieniały się w trakcie pracy napędu w zakresach: od TcN do 4TcN, od T2N do 4T2N, gdzie TcN = 1,2 ms i T2N = 0,203 s. Wartość parametru T1 = 0,203 s.
4.ROZMYTYBEZŚLADOWYFILTRKALMANA
Klasyczny algorytm bezśladowego filtru Kalmana cechuje się zmiennością błędów estymacji poszczególnych wielkości, w zależności od rzeczywistych war- tości parametrów mechanicznych układu dwumasowego i jego aktualnego stanu (statycznego lub dynamicznego). W celu minimalizacji tej wady wprowadzono dynamiczną adaptację wyrazów macierzy kowariancji Q i R. Zrealizowano ją za pomocą zaprojektowanych systemów rozmytych, których struktury przedstawio- no na rys. 3 i 5. Struktura widoczna na rys. 3 związana jest z realizacją dynamicz- nej adaptacji wyrazów q44 i q55 macierzy Q. Oznacza to wykorzystanie dwóch takich systemów rozmytych. W przypadku pierwszego z nich (adaptacja wyrazu q44), sygnały wejściowe to: Swe1 = T , Sˆ2 we2 = me mˆs , a w przypadku drugiego (adaptacja wyrazu q55): Swe3 = Tˆ , Sc we4 = me mˆs . Adaptacja wyrazu q44 bazuje na estymowanej wartości parametru T2 ze względu na to, że wyraz ten odpowiada w największym stopniu za jakość estymacji tej wielkości. Moduł różnicy pomię- dzy momentem elektromagnetycznym i estymowanym momentem skrętnym związany jest z wykryciem aktualnego stanu obiektu. Oznacza to, że wyraz q44
może przyjmować różne wartości w zależności od estymowanej wartości parame- tru T2 i stanu układu napędowego (statycznego lub dynamicznego). Dynamiczną adaptację wyrazu q55, odpowiadającego w największym stopniu za jakość esty- macji parametru Tc, zrealizowano na podstawie analogii do adaptacji wyrazu q44. W tym przypadku zastosowano normalizację sygnału wejściowego systemu roz- mytego Swe3, którym jest estymowana wartość parametru Tc. Wykorzystane funk- cje przynależności zmiennych wejściowych układu realizującego adaptację wyra-
zu q44 przedstawiono na rys. 4. W przypadku adaptacji wyrazu q55 zastosowano takie same funkcje przynależności.
Rys. 3. Struktura systemu rozmytego wprowadzającego dynamiczną adaptację wyrazu q44
Rys. 4. Zastosowane funkcje przynależności zmiennych wejściowych – dynamiczna adaptacja wyrazu q44
Struktura systemu rozmytego zaprezentowana na rysunku 5, związana jest z dynamiczną adaptacją wyrazów: q11, q22, q33 macierzy Q i r macierzy R.
W analizowanym przypadku, dynamiczną adaptację wymienionych wyrazów zrealizowano na podstawie następujących sygnałów wejściowych systemu roz- mytego: Swe5 = T ˆˆTc
2 , Swe6 = memˆs . Powodem takiego podejścia jest zależ- ność błędów estymacji zmiennych stanu od wartości parametrów T2, Tc i stanu rozważanego obiektu. W tym przypadku sygnał wejściowy systemu rozmytego Swe5, został również znormalizowany. Funkcje przynależności zmiennych wej- ściowych omawianego układu przedstawiono na rysunku 6.
Rys. 5. Struktura systemu rozmytego wprowadzającego dynamiczną adaptację wyrazów q11, q22, q33, r
Rys. 6. Zastosowane funkcje przynależności zmiennych wejściowych – dynamiczna adaptacja wyrazów q11, q22, q33, r
5.WYBRANEWYNIKIBADAŃ
Badania symulacyjne rozpoczęto od testów klasycznego algorytmu bezśla- dowego filtru Kalmana. Następnie analogicznym testom poddano rozmyty bez- śladowy filtr Kalmana. Oba algorytmy badano w zamkniętej strukturze stero-
wania. Wyniki badań przedstawiono na rys. 7 i 8. Na rys. 7 widoczne są sygna- ły wejściowe rozmytego bezśladowego filtru Kalmana. Rys. 8 obrazuje: prze- biegi rzeczywistych i estymowanych wielkości dla algorytmu FUKF, porów- nawcze przebiegi błędów estymacji dla algorytmów UKF i FUKF. Analiza uzy- skanych wyników badań wskazuje na prawidłową pracę rozważanego układu.
Oscylacje widoczne w przebiegach zmiennych stanu i momentu elektromagne- tycznego pojawiają się jedynie w przypadkach, gdzie występuje duża różnica pomiędzy estymowanymi wartościami początkowymi identyfikowanych para- metrów mechanicznych i ich wartościami rzeczywistymi. Związane jest to z chwilowymi oscylacjami błędów estymacji zmiennych stanu, spowodowany- mi błędami estymacji identyfikowanych parametrów. Analizując porównawcze przebiegi błędów estymacji dla obu rozważanych filtrów Kalmana zauważyć można, że wspomniane oscylacje występują w przedziałach czasowych, w któ- rych przeprowadzany jest proces identyfikacji parametrów mechanicznych układu. Obrazują one również uzyskany stopień poprawy jakości estymacji wszystkich rozważanych wielkości, spowodowanym wprowadzeniem dyna- micznej adaptacji wyrazów macierzy kowariancji Q i R filtru Kalmana.
W celu dodatkowego porównania algorytmów UKF i FUKF zestawiono obliczone wartości znormalizowanych błędów estymacji poszczególnych wiel- kości. W tabeli 1 przedstawiono zestawienie błędów estymacji. Następnie, w tabeli 2 widoczne są procentowe różnice pomiędzy wartościami błędów es- tymacji dla algorytmu FUKF, odnosząc się do wyników dla algorytmu EKF.
Obliczenia przeprowadzono zgodnie z poniższą zależnością:
% 100
1
UKF FUKF
x x
a x (17)
gdzie: x – oznaczenie znormalizowanych błędów dla poszczególnych wielkości, np. n
1
.
Rys. 7. Przebiegi sygnałów wejściowych algorytmu FUKF: momentu elektromagnetycznego (a) i prędkości silnika napędowego (b)
Rys. 8. Przebiegi wielkości rzeczywistych i estymowanych dla algorytmu FUKF: prędkości silni- ka (a), prędkości maszyny roboczej (c), momentu skrętnego (e), parametru T2 (g), parametru Tc (i)
oraz porównawcze przebiegi błędów estymacji dla algorytmów UKF i FUKF: prędkości silnika (b), prędkości maszyny roboczej (d), momentu skrętnego (f), parametru T2 (h), parametru Tc (j)
Przedstawione wyniki badań wskazują na uzyskanie znaczącej poprawy ja- kości estymacji wszystkich rozpatrywanych wielkości. Procentowa poprawa wartości obliczonych błędów estymacji mieści się w przedziale od 49,2 do 65,1%.
Tabela 1. Zestawienie wartości błędów estymacji poszczególnych wielkości dla algorytmów UKF i FUKF
n
1
n
2
n ms
n T2
n Tc
Algorytm
[p.u.] [p.u.] [p.u.] [s] [s]
UKF 0,0021 0,0084 0,0812 0,1021 0,0006 FUKF 0,0011 0,0045 0,0292 0,0434 0,0002
Tabela 2. Zestawienie procentowych różnic pomiędzy wartościami błędów estymacji dla algorytmu FUKF w odniesieniu do algorytmu UKF
n
a1
n
a2
n ms
a
n
aT2
n Tc
a Algorytm
[%] [%] [%] [%] [%]
FUKF 49,2 46,6 64,1 57,5 65,1
6.PODSUMOWANIE
W niniejszej pracy przedstawiono zagadnienia związane z identyfikacją pa- rametrów mechanicznych układu dwumasowego. Proces ten zrealizowano w trybie on-line, za pomocą algorytmów: bezśladowego filtru Kalmana i rozmytego bezśladowego filtru Kalmana. Opracowane algorytmy filtrów Kal- mana wykorzystano w zamkniętej strukturze sterowania adaptacyjnego z dwoma dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi. Rozwiązanie takie zapewniło możliwość jednoczesnej identyfikacji parametrów i sterowania prędkością roz- ważanego układu napędowego. W celu utworzenia algorytmu FUKF wprowa- dzono adaptację wyrazów macierzy kowariancji Q i R, którą zrealizowano za pomocą zaprojektowanych systemów rozmytych. Oba algorytmy filtrów Kal- mana strojono wykorzystując algorytm optymalizacji Pattern Search. Na pod- stawie przeprowadzonych badań można sformułować następujące wnioski:
– wykorzystanie algorytmu Pattern Search w celu optymalizacji filtrów Kal- mana zapewnia prawidłową realizację tego procesu,
– zastosowanie logiki rozmytej w klasycznym algorytmie bezśladowego filtru Kalmana, w celu wprowadzenia dynamicznej adaptacji wyrazów macierzy kowariancji Q i R, zapewnia znaczącą poprawę jakości estymacji wszyst- kich rozpatrywanych wielkości, a w szczególności identyfikowanych warto- ści parametrów mechanicznych układu dwumasowego.
LITERATURA
[1] Szabat K., Kamiński G., Graficzna metoda identyfikacji parametrów układu dwumasowego, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elek- trycznych Politechniki Wrocławskiej Nr 59. Studia i Materiały Nr 26, s. 256–
267, 2006.
[2] Zoubek H., Pacas M., Encoderless Identification of Two–Mass–Systems Utilizing an Extended Speed Adaptive Observer Structure, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Volume 64, Number 1, pp. 595–604, 2017.
[3] Saarakkala S. E., Hinkkanen M., Identification of Two–Mass Mechanical Systems Using Torque Excitation: Design and Experimental Evaluation, IEEE Transactions on Industry Applications, Volume 51, Number 5, pp. 4180–4189, 2015.
[4] Robet P. Ph., Gautier M., Global identification of mechanical and electrical parameters of synchronous motor driven joint with a fast CLOE method, European Control Conference (ECC), pp. 4604–4609, 2013.
[5] Szabat K., Struktury sterowania elektrycznych układów napędowych z połączeniem sprężystym, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, nr 61,Wrocław, 2008.
[6] Perdomo M., Pacas M., Eutebach T., Immel J., Identification of variable mechanical parameters using extended Kalman Filters, IEEE International Symposium on Diagnostics for Electric Machines, Power Electronics and Drives (SDEMPED), pp. 377–383, 2013.
[7] Janiszewski D., Bezczujnikowy napęd z silnikiem synchronicznym o magnesach trwałych oparty na bezśladowym filtrze Kalmana, Przegląd Elektrotechniczny, Nr 2, s. 169–174, 2010.
ON–LINE IDENTIFICATION OF MECHANICAL PARAMETERS OF TWO–MASS SYSTEM USING FUZZY UNSCENTED KALMAN FILTER
In the paper issues related to the on-line identification of mechanical parameters of the two-mass system using fuzzy unscented Kalman filter are presented. In order to perform the identification process, an adaptive control structure with two additional feedbacks was used. To the classical algorithm UKF designed fuzzy systems were introduced. Their task was an adaptation of elements of the Kalman filter’s covariance matrices. It improves the quality of identification. In this paper a review of the literature, mathematical model of the two-mass system, UKF algorithm and designed fuzzy systems are discussed. Subsequently, the research results and comparison of the identification quality for considered Kalman filters are presented.
(Received: 02. 02. 2017, revised: 20. 02. 2017)
