INFRASTRUKTURA I EKOLOGIA TERENÓW WIEJSKICH INFRASTRUCTURE AND ECOLOGY OF RURAL AREAS Nr 3/I/2012, POLSKA AKADEMIA NAUK, Oddziaá w Krakowie, s. 167–180
Komisja Technicznej Infrastruktury Wsi
Bartosz Mitka, Izabela Piech
MODELOWANIE POWIERZCHNI TERENU
____________
MODELLING OF TERRAIN SURFACE
Streszczenie
Od wielu lat modele 3D reprezentujące powierzchniĊ terenu znajdują zasto-sowanie w róĪnych dziedzinach nauki i inĪynierii. W pracy pokazano i opisano proces implementacji danych do NMT, dokonano przeglądu metod tworzenia NMT opartych na siatkach TIN i GRID. Przedstawiono teĪ metody tworzenia sia-tek TIN. Opisano równieĪ metody interpolacji wysokoĞci w modelach rastrowych na podstawie danych pomiarowych z wykorzystaniem róĪnego typu algorytmów. Sáowa kluczowe: model, modelowanie powierzchni, Numeryczny Model Terenu
Summary
For many years 3D models representing the terrain surface are used in various fields of science and engineering. The paper shows and describes the pro-cess of data implementation to the DTM, and reviews methods of creating DTM based on the TIN and GRID meshes. The paper presents methods for creating TIN meshes. It also describes the method of height interpolation in raster models based on the measurement data using various algorithms.
Key words: model, surface modeling, digital terrain model
WPROWADZENIE
Od wielu lat w róĪnych dziedzinach nauki tworzone są modele wszelkiego typu przedmiotów, zjawisk, procesów. Gáównym zadaniem modeli jest przybli-Īone odtworzenie wáaĞciwoĞci i cech badanego obiektu. W ramach badaĔ nad strukturą przestrzenną, rozmieszczeniem elementów w przestrzeni, bądĨ efek-tywnoĞcią jej wykorzystania trudno jest ograniczaü siĊ do modeli dwuwymiaro-wych. Páaskie modele w ujĊciu kartograficznym, są reprezentowane przez
róĪ-nego rodzaju mapy i mogą wystĊpowaü zarówno w postaci analogowej jak i cyfrowej. Pomimo tego, Īe są one dwuwymiarową reprezentacją danego wy-cinka przestrzeni, posiadają podstawowe cechy modelu, którymi są m.in. skala, wpisanie w ukáad wspóárzĊdnych páaskich, orientacja przestrzenna i dokáadnoĞü odwzorowania obiektu badaĔ. Cechy map zapewniają ich kartometrycznoĞü, czyli zdolnoĞü wykorzystania ich wáaĞciwoĞci geometrycznych do przeprowa-dzania pomiarów wielkoĞci, takich jak dáugoĞü elementów liniowych, pole po-wierzchni obszarów itp.
Niejednokrotnie, modele dwuwymiarowe jak np. mapy sytuacyjno-wysokoĞciowe, posiadają zaimplementowane informacje o trzeciej wspóárzĊdnej przestrzennej – wysokoĞci. Problem dwuwymiarowoĞci takich modeli, sztucznie rozwiązano poprzez wprowadzenie izolinii wysokoĞci (warstwic), bądĨ opisów wartoĞci wysokoĞci przypisanych do danego punktu sytuacyjnego (pikiety wy-sokoĞciowe). DziĊki temu, moĪliwe jest analizowanie procesów zaleĪnych od trzeciej zmiennej przestrzennej, posiadając jedynie model dwuwymiarowy. Rozwiązanie to, choü bardzo uĪyteczne jest czĊsto pewnym ograniczeniem. Trudno jest odtworzyü usytuowanie wysokoĞciowe caáoĞci badanego obszaru w przypadku mniejszych róĪnic wysokoĞci. Podczas analizy przebiegu warstwic bądĨ wysokoĞci pikiet uwaga obserwatora skupiana jest jednoczeĞnie na 2-3 miejscach, czyli lokalnie. W celu dokonania caáoĞciowej analizy rzeĨby terenu, zwáaszcza na duĪym obszarze, niejednokrotnie zachodzi potrzeba przejĞcia do modelu trójwymiarowego. W praktyce oznacza to sporządzenie tzw. Numerycz-nego Modelu RzeĨby Terenu (NMT).
METODY TWORZENIA NUMERYCZNYCH MODELI TERENU
Pierwszym krokiem przy próbie stworzenia modelu NMT jest przede wszystkim ustalenie celu, do którego ma on byü wykorzystany, a nastĊpnie do-pasowanie do niego rodzaju modelu (rastrowy, wektorowy). Razem z wyborem rodzaju modelu, uĪytkownik decyduje siĊ na związaną z nim metodĊ tworzenia modelu. WáaĞnie w tym miejscu widaü podstawową róĪnicĊ miĊdzy modelami rastrowymi i wektorowymi. Metody budowy Numerycznych Modeli Terenu, w zaleĪnoĞci od rodzaju modelu opierają siĊ na:
– áączeniu wĊzáów regularnej siatki – model wektorowy GRID, – triangulacji punktów pomiarowych – model wektorowy TIN,
– zapisie wysokoĞci punktów regularnej siatki pomiarowej w postaci ma-cierzy (rastra), lub wykorzystaniu danych pomiarowych do interpolacji wysoko-Ğci na analizowanym obszarze i zapisie w postaci siatki rastrowej GRID – model macierzowy.
TWORZENIE NMT W FORMIE WEKTOROWEJ OPARTYCH NA SIATKACH GRID I TIN
W modelach wektorowych, danymi wejĞciowymi są wspóárzĊdne prze-strzenne punktów pomiarowych. Punkty te mogą byü umieszczone w przestrzeni
w sposób regularny lub rozproszony. W celu stworzenia wektorowego modelu NMT, naleĪy utworzyü na ich podstawie siatkĊ GRID lub TIN, bĊdącą repre-zentacją powierzchni terenu. Punkty danych są wĊzáami siatki a jednoczeĞnie koĔcami tworzących ją wektorów.
W przypadku siatki GRID, operacja wektoryzacji ogranicza siĊ do poáą-czenia punktów uszeregowanych w regularnej siatce kwadratów. Model TIN, podobnie jak w przypadku modelu GRID, jest modelem wektorowym utworzo-nym z wektoryzacji danych pomiarowych. Skáada siĊ on z nieregularnych trój-kątów, których boki rozpiĊte są na punktach o znanych wspóárzĊdnych. Trójkąty tworzone są na podstawie procesu zwanego triangulacją.
Triangulacja jest to procedura tworzenia trójkątów, których wierzchoákami są punkty danych pomiarowych. Zasadą jest, Īe po dokonaniu triangulacji na pewnym zbiorze danych, Īaden punkt nie moĪe zostaü niewykorzystany a boki trójkątów nie mogą siĊ przecinaü. CzĊsto mówi siĊ, Īe musi zostaü zachowanie kryterium Delaunay’, które polega na takim dobraniu poáączeĔ boków trójką-tów, aby w okrĊgu opisanym na kaĪdym z wybranych trójkątrójką-tów, nie znajdowaá siĊ Īaden punkt znany. Poza speánieniem powyĪszego kryterium, waĪne jest, aby utworzone trójkąty byáy w miarĊ moĪliwoĞci maáe i regularne. Unika siĊ stosowania trójkątów nadmiernie wydáuĪonych i o duĪym kącie rozwarcia. Wynika to z potrzeby jak najwierniejszego oddania rzeczywistego ksztaátu powierzchni terenu, w którym ostre, wyraĨnie zaznaczone krawĊdzie wystĊpują stosunkowo rzadko.
Podstawową cechą nieregularnych siatek trójkątów jest fakt, nierówno-miernego rozmieszczenia punktów pomiarowych w przestrzeni. Pozwala to na wystĊpowanie obszarów o róĪnej gĊstoĞci danych. Rozkáad przestrzenny danych oraz ich iloĞü, wpáywa w znaczącym stopniu na sposób przeprowadzenia trian-gulacji, dobieranie parametrów trójkątów i ostatecznie na ksztaát skonstruowanej siatki. Czynnik ten rzutuje, zatem na dokáadnoĞü modelu i jego zgodnoĞü z rzeczywistym ksztaátem rzeĨby terenu.
Powstawanie wektorowego modelu pokrycia terenu bazującego na siatce TIN, odbywa siĊ w nastĊpujących etapach (rys. 1):
ħródáo: opracowanie wáasne Source: own elaboration
Rysunek 1. Schemat etapów powstawania wektorowego modelu pokrycia terenu Figure 1. Scheme of stages of creating vector model of covering terrain
Przed przystąpieniem do triangulacji i wyznaczeniem siatki trójkątów na-leĪy odpowiednio przygotowaü dane pomiarowe. Nana-leĪy zastanowiü siĊ nad tym, czy do tworzenia siatki potrzebne bĊdą wszystkie pomierzone dane. Nad-mierne zagĊszczenie danych pomiarowych, moĪe wprowadzaü do modelu duĪą iloĞü maáo wnoszących danych, bądĨ odwrotnie – niedostateczna iloĞü danych, moĪe uniemoĪliwiü utworzenie modelu o zaáoĪonych wymogach dokáadnoĞcio-wych. Opracowanie danych pomiarowych jest szczególnie waĪne, przy pomia-rach wykonywanych metodą skaningu laserowego gdzie jednoczeĞnie otrzymy-wana jest bardzo duĪa liczba punktów pomiarowych. Optymalizacja liczby punktów, musi byü dostosowana do zaáoĪonej dokáadnoĞci modelu, oraz jego przeznaczenia. WstĊpne opracowanie danych pomiarowych, ma na celu oszczĊdnoĞü czasu przetwarzania modelu, osiąganą przez dostosowanie stopnia skomplikowania geometrycznego siatki do potrzeb uĪytkownika, przy jak naj-wiĊkszej zgodnoĞci z rzeczywistym ksztaátem pomierzonej rzeĨby terenu. W fazie wstĊpnej trzeba zwróciü uwagĊ na fakt, czy pomierzone zostaáy wszyst-kie charakterystyczne punkty rzeĨby i linie szwszyst-kieletowe. PominiĊcie ich przy przygotowywaniu danych moĪe doprowadziü do powstania róĪnic pomiĊdzy modelem a stanem faktycznym.
Kolejnym etapem tworzenia NMT jest utworzenie wektorowej siatki, opartej na zebranych danych pomiarowych. SiatkĊ TIN moĪna utworzyü posáu-gując siĊ jednym z wielu algorytmów triangulacyjnych, opisanych szeroko w literaturze dotyczącej tego zagadnienia. Do najpopularniejszych metod trian-gulacji naleĪą miĊdzy innymi:
– metoda inkrementacyjna [Lee, Schachter, 1980],
– metoda “dziel i zwyciĊĪaj” - ang. divide and conquer [Lee, Schachter, 1980],
– metoda “omiatania”(poszukiwanie cykliczne wokóá punktu) – ang. radial sweep [Mirante, Weingarten,1982],
– metoda hierarchiczna [Floriani, 1985],
– metoda „krok po kroku” – ang. step by step [McCullagh, Ross, 1980], – metoda rekurencyjnego podziaáu - ang. recursive split [Lewis, Robinson 1978],
– metoda „usuĔ i buduj” – ang. incremental delete and build [Watson, 1981].
Metody te dzielą siĊ na statyczne i dynamiczne. Pierwszy rodzaj wyróĪnia siĊ tym, Īe do obliczeĔ brany zostaje od razu caáy zbiór danych wejĞciowych. Do tego grona zaliczają siĊ metody: rekurencyjnego podziaáu, omiatanie i algo-rytm „divide and conquer” (dziel i zwyciĊĪaj). W przeciwieĔstwie do nich, wy-róĪnia siĊ metody dynamiczne, w których tworzenie trójkątów nastĊpuje w spo-sób krokowy. Oznacza to, Īe ukáad budowanej siatki jest „aktualizowany” na bieĪąco wraz z dodawaniem do niej kolejnych punktów z tablicy danych wej-Ğciowych. Takimi cechami charakteryzują siĊ metody: „krok po kroku”,
inkre-mentacyjna oraz metoda „incremental delete and build”. Wspólną cechą algo-rytmów triangulacyjnych, jest dąĪenie do minimalizacji czasu obliczeĔ, oszczĊdnoĞci zasobów pamiĊciowych oraz poprawnoĞci geometrycznej nowo-powstaáej sieci.
WaĪnym elementem triangulacji, poza samym algorytmem jest dobór pa-rametrów tworzonej siatki. Przede wszystkim naleĪy dobraü optymalną dáugoĞü boków tworzonych trójkątów oraz rozwartoĞü ich kątów wewnĊtrznych. Para-metry siatki są uzaleĪnione od potrzeb uĪytkownika, zagĊszczenia punktów po-miarowych oraz zaáoĪonych wymogów dokáadnoĞciowych modelu. Pewną wskazówką przy konstruowaniu sieci, mogą byü informacje zawarte w wytycz-nych techniczwytycz-nych K-2.8 – „Opracowanie ortofotomap w skali 1:10000” [2001]. Wspomniane wytyczne, opisują zastosowanie modeli NMT w poáączeniu z ortofotomapami tworzonymi na podstawie zdjĊü lotniczych. Podają one zale-cany interwaá siatki pomiarowej, dla opracowaĔ wykonywanych w róĪnych skalach, w zaleĪnoĞci od stopnia trudnoĞci terenu.
Tabela nr 1 opisuje zalecane odlegáoĞci punktów pomiarowych, uáoĪonych w regularnej siatce kwadratów, które trzeba uwzglĊdniü przy projektowaniu siatki TIN, w której punkty są rozáoĪone w sposób nieregularny. WartoĞci w tabeli naleĪy traktowaü, jako maksymalne dáugoĞci boków trójkąta siatki. Minima naleĪy dobieraü wedáug potrzeb, metodą prób. Podobnie trzeba postĊ-powaü w przypadku ustalania wartoĞci kątów rozwarcia trójkątów. WiĊkszoĞü programów do triangulacji, ustawia domyĞlną wartoĞü minimalnego kąta, jako 22,5o. Ma to zapewniü brak nadmiernych zmian zaáamaĔ powierzchni siatki.
WartoĞci maksymalne moĪna okreĞlaü dowolnie wedáug potrzeb, z unikaniem, w miarĊ moĪliwoĞci, tworzenia trójkątów rozwartokątnych.
Tabela 1. Zalecana odlegáoĞü miĊdzy punktami regularnej siatki pomiarowej, w zaleĪ-noĞci od skali ortofotomapy i stopnia trudzaleĪ-noĞci terenu
Table 1. Recommended distance between points of regular measuring mesh, in depend-ence from scale of ortofotomap and degree of difficulty of terrain.
Skala ortofotomapa 1:1000 1:2000 1:5000 1:10000 1:25000 Mianownik skali zdjĊü(Mz) StopieĔ trudnoĞci terenu 3000-5000 5000-8000 12000-18000 20000-30000 50000-60000 áatwy 5-10m 10-15m 15-20m 20-30m 30-50m trudny 3-5m 5-10m 10-15m 15-20m 20-30m
ħródáo: Wytyczne techniczne K-2.8, 2001 Source: Technical guidelines K-2.8, 2001
Utworzoną w wyniku triangulacji siatkĊ TIN moĪna uznaü za NMT lub wykorzystaü jak podstawĊ do dalszej obróbki np. do interpolacji regularnej siat-ki kwadratów badanego obszaru. Utworzoną powierzchniĊ modelu naleĪy
sprawdzić z punktu widzenia ewentualnych błędów triangulacji oraz przeprowa-dzić analizę dokładnościową.
Dokładność modelu NMT można utożsamić ze średnim błędem wysokości punktu wyznaczonego z powstałego modelu. Na uzyskaną dokładność mają wpływ błędy pomiarowe danych wejściowych, założona rozdzielczość modelu a także sama konfiguracja rzeźby analizowanego obszaru. Dokładność Nume-rycznego Modelu Terenu można wyznaczyć na podstawie empiNume-rycznego wzoru Ackermanna (1) [Wytyczne techniczne K-2.8, 2001]:
mNMT 2 = m2z + ( α·d )2 (1)
gdzie:
mNMT - średni błąd wysokości wyinterpolowanej na podstawie modelu
NMT,
mz - średni błąd określenia wysokości punktu,
α -współczynnik opisujący charakter rzeźby terenu d - średnia odległość punktów pomiarowych.
W powyższym wzorze Ackermanna mają zastosowanie następujące warto-ści czynnika α:
– α = 0,004 ÷ 0,007 dla terenu łatwego (o gładkiej powierzchni), – α = 0,010 ÷ 0,020 dla terenu o średniej trudności,
– α = 0,022 ÷ 0,044 dla terenu trudnego (nieregularne powierzchnie, strome zbocza).
Wytyczne K-2.8 mówią, że oczekiwaną wartość błędu średniego dla wy-znaczenia wysokości punktu należy obliczać ze wzoru:
mz = ± (2)
Otrzymana wartość nie może przekraczać 1/3 wielkości cięcia warstwico-wego mapy, utworzonej na podstawie modelu NMT. Z reguły jest to docelowa skala opracowania modelu.
METODY INTERPOLACJI WYSOKOŚCI W MODELACH RASTROWYCH NA PODSTAWIE DANYCH POMIAROWYCH
Modele macierzowe (Regular Raster Grid – rys. 2) nadają się przede wszystkim do wykonywania analiz hydrograficznych, hipsometrycznych, analiz związanych z ustalaniem zlewni rzek oraz sieci drenażowych.
Modele rastrowe przedstawiają „wysokościowy obraz” powierzchni tere-nu. Każdy piksel, lub inaczej komórka macierzy, stanowi zapis wysokości dane-go fragmentu terenu w rzeczywistości. W związku z powyższym, wymagają one danych wejściowych w formie punktów wysokościowych, rozplanowanych
przestrzennie w formie siatki. Wysoko ci przypisane s pikselom, o wybranych przez u ytkownika rzeczywistych wymiarach terenowych. Wielko terenowa piksela jest narzucana przez rozdzielczo poziom modelu i za o enia pomia-rowe. Warto ci rz dnej terenu stanowi ce elementy macierzy modelu, mog przedstawia redni wysoko wierzcho ków oczka siatki lub wysoko jego punktu centralnego. Je eli punkty pomiarowe nie s uszeregowane w regularnej siatce pomiarowej, o oczku siatki identycznym jak rozdzielczo modelu, któr chcemy uzyska , zachodzi potrzeba interpolacji wysoko ci na podstawie danych z pomiaru.
ród o: opracowanie w asne. Source: own elaboration.
Rysunek 2.Macierz modelu Regular Raster Grid zawieraj ca wysoko ci terenu. Wyso-ko elementów rastra przedstawiono Wyso-kolorami jak na wizualizacji 2D tego obszaru
(po prawej)
Figure 2. The matrix of Regular Raster Grid model containing elevations of terrain. Elevations of elements have been showed by colours as on 2D visualization
of this area (on right)
Do popularnych metod interpolacyjnych w modelach GRID, stosowanych dzi w ró nego typu oprogramowaniu zwi zanym z analizami GIS nale mi -dzy innymi:
a) metoda najbli szego s siada,
b) metoda naturalnego s siedztwa przy u yciu poligów Thiessen’a, kriging,
Pierwsza z wymienionych metod, cho najprostsza to wykorzystywana jest bardzo rzadko. Algorytm metody najbli szego s siada polega na obliczaniu od-leg o ci mi dzy punktem interpolowanym a punktami w zbiorze danych wej-ciowych. W przypadku modeli NMT, dane wysoko ciowe mog by zapisane w postaci rastra lub wspó rz dnej wysoko ciowej (dla modeli wektorowych). Podstawow zasad , a jednocze nie g ówn wad tej metody jest przypisanie interpolowanemu punktowi wysoko ci najbli szego s siada. Prowadzi to do maksymalnego uproszczenia interpolacji, lecz jest ma o efektywne i mo e pro-wadzi do powstania du ych rozbie no ci w stosunku do rzeczywistej po-wierzchni terenu. Jak ju wspomniano metoda ta jest bardzo rzadko stosowana w praktyce, s u y g ównie do zag szczania braków w danych wej ciowych i mo e by stosowana w przypadku regularnego rozmieszczenia punktów zna-nych.
Metoda naturalnego s siedztwa, podobnie jak poprzednia, wykorzystuje zale no ci pomi dzy odleg o ciami punktów danych. Koncepcja zale no ci po-mi dzy warto ciapo-mi punktów danych a interpolowanych jest tutaj bardziej roz-wini ta. Zauwa ono, e punkty dane, mog wp ywa na szukane wielko ci tylko w pewnym otoczeniu. Granice takich strefowych wp ywów, wyznaczy mo na tworz c tzw. poligony Thiessena.
Poligonami nazywa si wielok ty zamkni te, wydzielone z otoczenia za pomoc zbioru prostych, wzajemnie przecinaj cych si w wierzcho kach figury. Utworzenie poligonu Thiessena odbywa si na zasadzie geometrycznej i odbywa si na zbiorze danych wej ciowych, np. pikiet wysoko ciowych. Zbiór taki przedstawiony jest na rysunku nr 3.
Przedstawia on zasad powstawania poligonów Thiessena. Proces ten sk ada si z trzech etapów. Pierwszym etapem, jest triangulacja punktów danych zgodnie z kryterium Delaunay’a. Kryterium to zapewnia racjonalizacj kszta tu sieci i wygl du trójk tów. Najlepiej spe nia si przy równomiernym rozprosze-niu punktów w przestrzeni.
Drugim etapem jest utworzenie symetralnych do ka dego z boków trójk -tów utworzonej wcze niej sieci. W miejscach przeci powsta ych linii utworzo-ne zostaj wierzcho ki poligonów Thiessena. Po ich po czeniu uzyskuje si powierzchnie, wewn trz których punkty odznaczaj si najmniejsz odleg o ci w stosunku do punktu centralnego ka dego z poligonów (etap trzeci). Punkty centralne s punktami nale cymi do zbioru danych wej ciowych, a zatem ich warto ci nie s interpolowane. Dowolnemu punktowi po o onemu wewn trz powsta ej „strefy” przypisuje si cechy p yn ce z obecno ci najbli szego s siada.
Po wstawieniu punktu, który ma zosta wyinterpolowany w otoczenie punktów znanych, tworzy si wokó niego nowy poligon Thiessena. Nowo utworzony obszar z o ony jest z cz ci przynale nych do poprzednio utworzo-nych poligonów. Obszary sk adaj ce si na nowy poligon, pokazuj wp yw zna-nych punktów na wyznaczany element. Mo na to zaobserwowa na rysunku nr 4.
ród o: opracowanie w asne. Source: own elaboration.
Rysunek 3. Schemat etapów powstawania poligonów Thiessen Figure 3. Scheme of stages of creating Thiessen polygons
ród o: http://dilbert.engr.ucdavis.edu/~suku/nem/nem_intro/img29.png Source: http://dilbert.engr.ucdavis.edu/~suku/nem/nem_intro/img29.png
Rysunek 4. Interpolacja wysoko ci w metodzie naturalnego s siedztwa na podstawie poligonów Thiessen’a
Figure 4. The interpolation of height in method of natural neighbourhood based on Thiessen polygons
Wysoko nowego punktu (oznaczonego liter X) uzyskuje si , jako sum iloczynów wag oraz wysoko ci punktów centralnych ju istniej cych poligonów Thiessena (1÷5). Wag jest stosunek powierzchni cz ci sk adowych nowego poligonu, do jego ogólnej powierzchni. Zgodnie z powy szym rysunkiem, wy-soko interpolowanego punktu X b dzie wygl da nast puj co:
(3) Wzór (3) [Sibson, 1981] pokazuje, zatem, e wysoko punktu szukanego jest uzale niona zarówno od wysoko ci H centralnego punktu poligonów Thiessena oraz strefy ich wp ywu, wyznaczonych we wst pnej fazie pracy algo-rytmu. Poligony Thiessena, zwane te diagramami Voronoi maj zastosowanie zarówno przy modelowaniu siatek rastrowych jak i wektorowych.
Kriging nale y do geostatycznych metod interpolacji. Oznacza to, e dzia a on na zasadach stochastycznych, czyli bierze pod uwag zmienno loso-w interpololoso-wanej poloso-wierzchni. Interpolacja odbyloso-wa si na zasadzie znalezienia zale no ci statystycznej pomi dzy warto ciami znanymi punktów w zbiorze danych, a warto ci estymowan punktu interpolowanego. Kriging korzysta z zale no ci pomi dzy odleg o ci punktów, a stopniem ich zale no ci. Cz sto zale no t mo na przedstawi na wykresach zwanych semiwariogramami. S one opisane kilkoma parametrami:
– warto ci semiwariancji, czyli stopniem zale no ci (γ),
– zakresem (range), po jego przekroczeniu semiwariancja jest warto ci sta , – warto ci progow γ (sill) na ko cu zakresu,
– „nugget’em”, czyli zakres wyst powania dolnego szumu, wyst puj cego w s abej korelacji z danymi pomiarowymi. Jest to inaczej warto semiwariancji dla odleg o ci pomi dzy punktami znanymi, zmierzaj cej do zera.
Przyk adowy semiwariogram przedstawiony zosta na rysunku 5.
ród o: http://www.plantmanagementnetwork.org/pub/ats/guide/2004/gis/image/weed2.gif Source: http://www.plantmanagementnetwork.org/pub/ats/guide/2004/gis/image/weed2.gif
Rysunek 5. Podstawowe parametry sk adowe semiwariogramu Figure 5. Basic parameters components of semivariogram
Wielko γ mo na okre li na podstawie wzoru nr (4), podanego przez Bachmaier’a i Backes’a (2008r.) We wzorze tym, „z” jest wielko ci przypisan do punktu znanego(np.wysoko ci punktu w modelu NMT), „h” jest odleg
o-ci , w jakiej szukane s pary punktów podobnych, za n(h) to liczba par w przedziale zale nym od wybranej warto ci h.
(4) Kriging pozwala na wyznaczenie najlepszego nieobci onego estymatora liniowego warto ci szukanej (ang. best linear unbiased estimator), który jest dany wzorem (5):
(5) Estymator oszacowany na podstawie powy szego wzoru, w przypadku rozwa a zwi zanych z wysoko ci punktów w modelu NMT, jest sum iloczy-nów wysoko ci punktów znanych ( Z(xi) ) oraz ich wag. Wymogi metod
stocha-stycznych zak adaj , e wagi, musz spe ni warunek minimalizacji rednio-kwadratowego b du estymacji (ang. kriging variance, kriging error):
(6) gdzie, c(xi, xo) to kowariancja pomi dzy po o eniem punktu znanego i
interpo-lowanego.
Oba równania, (5) oraz (6), pozwalaj na zachowanie warunku nieobci -ono cianalizowanej próby punktów dla warto ci oczekiwanej (x) = E[Z(x)]:
(7) Wszystkie te warunki pozwalaj na wyznaczenie optymalnych warto ci wag, tak, aby zminimalizowa b d estymacji, b d cy ró nic mi dzy warto ci oszacowan a faktycznie wyst puj c w rzeczywisto ci.
Interpolacja wysoko ci punktów metod krigingu ma wiele odmian, które ró ni si od siebie sposobem przyjmowania warto ci oczekiwanej (x). Najcz
-ciej spotykane odmiany tej metody to:
– kriging prosty (ang. simple kriging) przyjmuj cy (x) = 0, – kriging zwyk y (ang. ordinary kriging) wed ug którego (x) = , – kriging uniwersalny (ang. universal kriging).
Kolejn metod interpolacji powierzchni terenu na podstawie danych prze-strzennych jest metoda opieraj ca si o wykorzystanie tzw. funkcji sklejanych. Algorytm interpolacyjny tej metody dzia a na zasadzie obliczania nieznanych parametrów funkcji matematycznej okre laj cej np. przybli on powierzchni terenu, przy u yciu wielomianów niskiego stopnia. Sposób ten nale y do rodzi-ny interpolacji wielomianowych, dokorodzi-nywarodzi-nych w sposób numeryczrodzi-ny – uzy-skana w wyniku interpolacji powierzchnia jest opisana matematycznie.
W matematyce funkcj typu spline (sklejan ) nazywa si tak funkcj rze-czywist S o stopniu n, która, gdy jest okre lona w przedziale [a, b] spe nia wa-runki:
– w ka dym przedziale [c, ci] ∈ [a, b] jest wielomianem stopnia, co
naj-wy ej s,
– funkcja S, oraz jej pochodne o stopniu od 1 do n-1 s ci g e w prze-dziale [a, b].
Zgodnie z powy szym, mo na wnioskowa , e podstawowym za o eniem tej metody jest zachowanie ci g o ci funkcji oraz jej krzywizny. Interpolacja, odbywa si przy tym na zasadzie poszukiwania wielomianów opisuj cych p asz-czyzn w wielu przedzia ach [c, ci], b d cych cz ci przedzia u g ównego [a,
b]. Algorytm interpolacyjny musi tak e zapewnia racjonalizacj parametru g adko ci wyznaczonej funkcji.
W praktyce stosuje si kilka rodzajów metod opartych na wykorzystaniu funkcji sklejanych. Najcz ciej spotykane typy takich funkcji to:
– funkcje kubiczne (stopnia m=3), – funkcje B-spline,
– krzywe Beziera (rys. 6).
ród o: http://git.zcu.cz/images/archive/5/59/20090811160210!Sextante_Sur2.png Source: http://git.zcu.cz/images/archive/5/59/20090811160210!Sextante_Sur2.png
Rysunek 6. Powierzchnia utworzona przy pomocy interpolacji krzywymi Beziera Figure 6. Surface created by interpolation of Bezier curves
Interpolacja metod funkcji sklejanych jest skuteczna ze wzgl du na sze-rokie mo liwo ci doboru sposobu kszta towania krzywych interpolacyjnych, co umo liwia jej zastosowanie w zale no ci od potrzeb u ytkownika.
PODSUMOWANIE
W dzisiejszym wiecie, rozwój technologii i narz dzi, s u cych do opisywania otaczaj cej cz owieka przestrzeni, przyczynia si do zmiany sposobu prezentacji danych pomiarowych. Coraz cz ciej, dla zastosowa in ynierskich i naukowych wykorzystuje si tworzenie trójwymiarowych modeli istniej cego wiata. Ze wzgl du na lepsze odwozorwanie ukszta towania pionowego, modelowanie powierzchni terenu staje si obecnie, preferowanym sposobem prezentacji przestrzeni, zw aszcza dla celów projektowych. obiektów, zwi za-nych z rze b , pozwala na wykorzystanie procesu modelowania w szeregu zastosowa praktycznych.
Integracja cyfrowych danych przestrzennych do modelu NMT, pozwalaj na skonstruowanie Numerycznego Modelu Pokrycia Terenu. Implementacja informacji o po o eniu i cechach obiektów, zwi zanych z rze b , pozwala na wykorzystanie procesu modelowania w szeregu zastosowa praktycznych.
BIBLIOGRAFIA
De Floriani L., Falcidieno B., Penovi C. 1985. Delaunay-based representation of surfaces defined
over arbitrarily shaped domains. Computer Vision, Graphics and Image Processing; tom
32, wyd. Academic Press, San Diego, USA; str.127-140.
Lee D., Schachter B. 1980. Two algorithms for constructing a Delaunay triangulation. Internatio-nal JourInternatio-nal of Parallel Programming, tom 9, nr 3, wyd. Springer Netherlands, Houten, Ho-landia; str. 219-242
Lewis B., Robinson J. 1978. Triangulation of planar regions with applications. The Computer Journal, tom 21, wyd. Oxford University Press, Oxford, Wielka Brytania; str. 324-332 McCullagh M., Ross C. 1980. Delaunay triangulation of a random data set for isarithmic mapping.
The Cartographic Journal, tom 17, nr 2, wyd. Maney Publishing, Londyn, Wielka Brytania; str. 93-99
Miller C., Laflamme R. 1958. The Digital Terrain Model: Theory an application. Photogramme-tric Engineering and Remote Sensing, tom 24, nr 3, wyd. American Society for Photo-grammetry and Remote Sensing, Bethesda, USA; str. 433-442
Mirante A., Weingarten N. 1982. The Radial Sweep algorithm for constructing Triangulated Irre-gular Networks. IEEE Computer Graphics and Applications, tom 2, nr 3, wyd. IEEE Com-puter Society Press, Los Alamitos, USA; str. 11-21
Sibson R. 1981. A brief description of natural neighbor interpolation. [w:] Barnett V. Interpreting Multivariate Data, wyd. John Wiley & Sons, Nowy Jork, USA; str. 21-36
Watson D. 1981. Computing the n-dimensional Delaunay triangulation with application to Voro-noi polytopes. The Computer Journal, tom 2, nr 24, wyd. Oxford University Press, Oxford, Wielka Brytania; str. 167-172
Wytyczne techniczne K-2.8. Zasady wykonywania ortofotomap w skali 1:10000. 2001, wyd. G ówny Urz d Geodezji i Kartografii, Warszawa
Strony internetowe: http://www.plantmanagementnetwork.org/pub/ats/guide/2004/gis/image/weed2.gif http://dilbert.engr.ucdavis.edu/~suku/nem/nem_intro/img29.png Dr in . Izabela Piech tel:(12) 662-45-31 rmpiech@cyf-kr.edu.pl Dr in . Bartosz Mitka bartosz.mitka@ar.krakow.pl Katedra Geodezji Rolnej, Katastru i Fotogrametrii 30-149 Kraków, ul.Balicka 253a
