Krzywa Markowitza jako obwiednia

Pełen tekst

(1)Zeszyty Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Naukowe Metody analizy danych. 876 Kraków 2011. Krzysztof Guzik. Katedra Matematyki. Edward Smaga. Katedra Matematyki. Krzywa Markowitza jako obwiednia* 1. Wprowadzenie Krzywa Markowitza jako zbiór punktów reprezentujących portfele o minimalnym ryzyku (przy zadanej wartości oczekiwanej) odgrywa istotną rolę w procesie inwestowania. Do krzywej Markowitza należą punkty reprezentujące portfele efektywne, portfele optymalne (w zależności od przyjętego kryterium optymalności), w szczególności globalny portfel minimalnego ryzyka. Wydaje się zatem, że zinterpretowanie tej krzywej w kategoriach obwiedni może mieć znaczenie nie tylko teoretyczne – może wskazywać drogę dochodzenia do interesujących inwestorów portfeli. W celu przytoczenia niezbędnych faktów znanych z literatury przedmiotu przyjmijmy następujące założenia i oznaczenia. Zakładamy, że każdą inwestycję A można wystarczająco dokładnie scharakteryzować (opisać) za pomocą dwóch liczb: wartości oczekiwanej EA i wariancji s 2A jej stopy zwrotu rA. Wariancja s 2A jest interpretowana jako miara ryzyka całkowitego inwestycji A. Mając do dyspozycji N inwestycji bazowych Ai, dla i  {1, 2, …, N}, można z nich utworzyć nieskończenie wiele inwestycji portfelowych, w zależności od udziałów przypisanych poszczególnym składnikom. Zbiór tych inwestycji portfelowych nazywać będziemy zbiorem możliwości inwestycyjnych. Wartość ocze*. Niniejszy artykuł stanowi część opracowania w ramach badań statutowych 7/KM/1/2007/S/368..

(2) Krzysztof Guzik, Edward Smaga. 6. kiwana Ep i wariancja s 2P portfela o udziałach x1, x2, …, xN wyrażają się wzorami (por. np. [Markowitz 1959]): N. EP = / xi Ei , . N. s 2P = /. i =1. N. N. (1) N. / xi x j si s j rij = / / xi x j covij ,. i =1 j =1. N. i =1 j =1. / xi = 1,. (2) (3). i =1. gdzie Ei oraz EP są wartościami oczekiwanymi dla składnika Ai oraz portfela. We wzorze (2) rij oznacza współczynnik korelacji, natomiast covij = sisjrij jest kowariancją dla składników Ai oraz Aj portfela. Obie te wielkości są miarami skorelowania tych składników. W zapisie macierzowym zależności (1)–(3) można przedstawić w postaci:. Ep = XT · E,. (4). s 2P = XT $ K $ X, . (5). 1T · X = 1,. (6). gdzie X = [x1 x2 … xN], E = [E1 E2 … EN], 1 = [1 1 … 1] oraz T. T. T. R 2 s1 s2 r12 s1 s3 r13 S s1 Ss s r s 22 s2 s3 r23 2 1 21 K=S S g g g SS sN s1 rN1 sN s2 rN2 sN s3 rN3 T. V g s1 sN r1N W g s2 sN r2N W W = 7covij A. g g W W g s 2N W X. Istotną częścią zbioru możliwości inwestycyjnych jest jego brzeg (tam gdzie on istnieje), nazywany krzywą Markowitza. Jest to zbiór portfeli, które dla zadanej wartości oczekiwanej osiągają najmniejszą wariancję. Równanie krzywej Markowitza można otrzymać, rozwiązując następujące zadanie optymalizacyjne: Wyznaczyć udziały x1, x2, …, xN tak, aby:. s 2P " min. / xi Ei = E p ,. przy warunkach. N. i =1. N. / xi = 1,. i =1. gdzie EP oznacza zadaną (zadowalającą) stopę zwrotu portfela, a s 2P jego wariancję..

(3) Krzywa Markowitza jako obwiednia. 7. Wykorzystując metodę mnożników Lagrange’a, można uzyskać równanie krzywej Markowitza (por. np. [Guzik i Smaga 2006, Merton 1972, Piasecki 2005]) postaci: s 2P =. gdzie: α = ET K–1 E, β = 1T K–1 E, γ = 1T K–1 1, δ = αγ – β2.. γ 2 2β E – E + α , δ p δ p δ. (7). 2. Jednorównaniowy opis zbioru możliwości inwestycyjnych Kluczem do rozwiązania problemu postawionego w tytule artykułu, tzn. możliwości opisania krzywej Markowitza jako obwiedni, jest przedstawienie zbioru możliwości inwestycyjnych jako rodziny krzywych zależnych od pewnych parametrów. Możliwość taka wynika w sposób naturalny z opisu (1)–(3), przez eliminację wybranych dwóch udziałów (por. [Guzik i Smaga 2006]). Przyjmijmy, że eliminowane będą udziały x1 i x 2. Wybór x1 i x 2 jest tutaj dowolny, niemniej jednak musi być spełniony warunek E1 ≠ E2. Wówczas: E p – E2 + x3 _ E2 – E3i + ... + xN _ E2 – EN i , E1 – E2. x1 =. x2 = –. E p – E1 + x3 _ E1 – E3i + ... + xN _ E1 – EN i . E1 – E2. (8) (9). Dla zadanej wartości oczekiwanej EP wariancja (5) jest jednorodną formą kwadratową N zmiennych x1, x2, …, xN, którymi są udziały. Argumenty tej formy kwadratowej należą do części wspólnej dwóch hiperpłaszczyzn danych wzorami (1) i (3). Po podstawieniu zależności (8) i (9) do wzoru (5) mamy:. gdzie:. s 2P = YT $ K $ Y, R V S E p – E2 + x3 _ E2 – E3i + x4 _ E2 – E4i + ... + xN _ E2 – EN i W S W E1 - E2 S E p – E1 + x3 _ E1 – E3i + x4 _ E1 – E4i + ... + xN _ E1 – EN i W S– W E1 – E2 S W Y =S x3 W. S W g S W S W xN T X. (10). (11).

(4) Krzysztof Guzik, Edward Smaga. 8. Wzór (10) jest jednorównaniowym przedstawieniem zbioru możliwości inwestycyjnych, w którym udziały x3, x4, …, xN są parametrami, przyjmującymi dowolne wartości rzeczywiste. Dla każdej dowolnie zadanej wartości oczekiwanej EP otrzymujemy nieskończenie wiele odpowiadających im wariancji (10), w zależności od parametrów x3, x4, …, xN. Wektor Y dany wzorem (11) można przedstawić w postaci:. V RE –E V RE –E V RE –E V R N W 3 W 4 W S EP – E2 W S 2 S 2 S 2 S E1 – E2 W S E1 – E2 W S E1 – E2 W S E1 – E2 W S EP – E1 W S E1 – E3 W S E1 – E4 W S E1 – EN W S– E1 – E2 W S– E1 – E2 W S– E1 –E2 W S– E1 – E2 W S W S W S W W= 0 0 1 0 Y= +x +x + f + xN S S W 3S W 4S W S W 0 1 0 0 S W S W S W S W S W S W S W S W g g g g S W S W S W S W S W S W S W S W 0 0 0 1 T X T X T X T X = U + x3 W3 + x4 W4 + f + xN WN ,. gdzie macierze U, W3, …, W4 mają wyżej nadane znaczenie. Wtedy, zgodnie z (10):. s 2P = _U + x3 W3 + x4 W4 + f + xN WN iT $ K $ _U + x3 W3 + x4 W4 + f + xN WN i .. Po wykonaniu wskazanych działań oraz uwzględnieniu faktu, że. `WTi $ K $ W j j = WTj $ K $ Wi T. oraz tego, że są to macierze pierwszego stopnia, możemy zapisać:. WTi $ K $ W j = WTj $ K $ Wi oraz WTi $ K $ U = UT $ K $ Wi ,. a co za tym idzie, wariancję możemy wyrazić wzorem:. s 2P = x32 WT3 KW3 + x 24 WT4 KW4 + f + x 2N WTN KWN + + 2x3 x4 WT3 KW4 + f + 2x3 xN WT3 KWN + T + 2x4 x5 W 4 KW5 + f + 2x4 xN WT4 KWN + f + 2xN – 1 xN WTN – 1 KWN + + 2x3 WT3 KU + 2x4 WT4 KU + f + 2xN WTN KU + UT KU.. Wprowadzając oznaczenia:. aij = WTi KW j , bi = –WTi KU, c = UT KU,. zależność powyższą można zapisać w postaci:. s 2P = a33 x32 + a44 x 24 + f + aNN x 2N + + 2a34 x3 x4 + f + 2a3N x3 xN + 2a45 x4 x5 + f + 2a4N x4 xN + f + 2aN – 1N xN – 1 xN – 2b3 x3 – 2b4 x4 – f – 2bN xN + c.. Natomiast przy oznaczeniach macierzowych:. (12).

(5) Krzywa Markowitza jako obwiednia. Ra S 33 Sa43 A=S Sg SSa N3 T. a34 a44 g a N4. g g g g. 9 a3N VW a4N W W, gW aNN WW X. związek ten można zapisać w postaci:. R V Sb3 W Sb4 W B = S W, Sg W SS WW bN T X. ZT = 7x3 x4 f xN A,. s 2P = ZT AZ – 2BT Z + c, . (13). przy czym Z należy do R N – 2. Zależność (13) jest jednorównaniowym opisem zbioru możliwości inwesty cyjnych. Zmienna niezależna EP (wartość oczekiwana portfela) występuje w składniku c oraz w B. Dla ustalonej wartości oczekiwanej E 0 składnik c można interpretować jako wariancję portfela zestawionego z inwestycji A1(s1, E1) i A2(s2, E2) o udziałach. E –E E–E x1 = E0 – E 2 oraz x2 = E1 – E0 . 1 2 1 2. Składnik ZTAZ jest jednorodną formą kwadratową N – 2 zmiennych x3, x4, …, xN. Fakt 1: Macierz A występująca we wzorze (13) jest dodatnio określona. Dowód powyższego wniosku wynika z faktu, że wariancja przyjmuje wartości nieujemne, dowolnie duże. Gdyby macierz A była określona ujemnie lub półokreślona ujemnie, to forma kwadratowa (13) osiągałaby maksimum, a jej wartości mogłyby być ujemne, co prowadzi do sprzeczności. Gdyby macierz A była nieokreślona, to forma (13) przyjmowałaby wartości dodatnie i ujemne, co też prowadzi do sprzeczności. Gdyby A = 0, to z postaci kanonicznej dotyczącej takiego przypadku wynika, że albo istniałoby nieskończenie wiele globalnych portfeli minimalnego ryzyka, albo forma (13) mogłaby przyjmować wartości ujemne, co prowadzi do sprzeczności z tym, że jest to wariancja. Dla zadanej wartości oczekiwanej E 0 wariancja (13) jest niejednorodną formą kwadratową N – 2 zmiennych x 3, …, x N o dziedzinie R N – 2. Zadając dowolne wartości na zmienne x 3, …, xN, otrzymujemy wariancje portfeli zestawionych z inwestycji bazowych, których wartość oczekiwana jest równa E 0.. 3. Obwiednia Przedstawienie zbioru możliwości inwestycyjnych w postaci (13), czyli jako rodziny krzywych zależnych od parametrów, stwarza możliwość poszukiwania jej obwiedni. W tym celu należy rozwiązać układ dwóch równań (por. np. [Fichtencholz 1964]): równanie krzywych oraz pochodna tego równania względem parametrów przyrównana do zera, czyli układ równań:.

(6) Krzysztof Guzik, Edward Smaga. 10 *. s 2p = ZT AZ – 2BT Z + c . 2AZ – 2B = 0. (14). s 2P = – BT A –1 B + c, . (15). Z drugiego z tych równań otrzymujemy Z = A –1 · B, co po podstawieniu do pierwszego równania daje równanie obwiedni. Fakt 2: Obwiednia zbioru możliwości inwestycyjnych ma równanie:. gdzie A, B i c mają znaczenie takie jak w (13). Ze względu na temat niniejszego artykułu, istotne znaczenie ma następujące twierdzenie: Twierdzenie: Obwiednia zbioru możliwości inwestycyjnych pokrywa się z krzywą Markowitza tego zbioru. Dowód. Należy wykazać, że każdy punkt obwiedni jest punktem minimalnego ryzyka (czyli należy do krzywej Markowitza), i na odwrót – każdy punkt minimalnego ryzyka należy do obwiedni. Niech _s 20, E0i będzie punktem obwiedni (15). Wówczas punkt ten spełnia układ równań (14), czyli: s 20 = ZT AZ – 2BT0 Z + c0 ,. dla Z = A–1 · B 0, gdzie B 0 i c0 oznaczają wektory B i c dla E = E 0. Forma kwadratowa:. P _ Z i = ZT AZ – 2BT0 Z + c0. osiąga minimum dla Z 0 = A–1 · B 0 (por. np. [Antoniewicz i Misztal 1999, s. 185]). Rzeczywiście, uwzględniając fakt, że:. ZT0 AZ = _ ZT AT Z 0i = _ ZT AZ 0i = ZT AZ 0 = ZT B0 , T. T. ZT B0 = _ ZT B0i = BT0 Z oraz ZT0 B0 = BT0 Z 0 , T. dla dowolnego Z ≠ Z 0 jest:. P _ Z i – P _ Z 0i = ZT AZ – 2BT0 Z + c0 – _ ZT0 AZ 0 – 2BT0 Z 0 + c0i = = _ Z – Z 0iT A_ Z – Z 0i ≥ 0.. Punkt _s 20, E0i jest zatem punktem minimalnego ryzyka, czyli należy do krzywej Markowitza. Załóżmy z kolei, że _s 20, E0i należy do krzywej Markowitza. Jest to zatem punkt, w którym forma kwadratowa:. P _ Z i = ZT AZ – 2BT0 Z + c0.

(7) Krzywa Markowitza jako obwiednia. 11. osiąga swoje minimum. Minimum to jest wyznaczone jednoznacznie oraz jest osiągane dla Z 0 = A –1 · B 0 (co zostało wykazane w pierwszej części niniejszego dowodu). Zatem:. s 20 = ZT0 AZ 0 – 2 BT0 Z 0 + c0 = – BT0 A –1 B0 + c0 ,. czyli punkt _s 20, E0i należy do obwiedni (15). Koniec dowodu. Nie każdy punkt zbioru możliwości inwestycyjnych może być wierzchołkiem paraboli opisującej ten zbiór. Punkty krzywej Markowitza (z wyjątkiem portfela minimalnego ryzyka), a także punkty położone zbyt blisko tej krzywej nie mogą być wierzchołkami.. 4. Uwagi końcowe W rozważaniach przedstawionych w tym artykule podkreślono fakt, że zbiór możliwości inwestycyjnych można przedstawić jako zbiór hiperbol (parabol) stycznych do krzywej Markowitza. Inwestowanie w portfel efektywny można więc interpretować jako dochodzenie do celu inwestycyjnego wzdłuż punktów hiperboli. Ponadto w artykule przedstawiono możliwość innego zapisu równania krzywej Markowitza, odmiennego do stosowanego w literaturze przedmiotu. Jest to równanie:. s 2P = – BT A –1 B + c,. gdzie wykorzystano oznaczenia wprowadzone w punkcie 2. Literatura Antoniewicz R., Misztal A. [1999], Matematyka dla studentów ekonomii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Fichtencholz G.M. [1964], Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Guzik K., Smaga E. [2006], Redukcja zbędnych składników portfela, Opracowanie w ramach badań statutowych, AE w Krakowie, Kraków. Markowitz H. [1959], Portfolio Selection, John Wiley and Sons, New York. Merton R. [1972], An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier, „Journal of Financial and Quantitative Analysis”, vol. 7(4). Piasecki K. [2005], Od arytmetyki handlowej do inżynierii finansowej, Wydawnictwo AE w Poznaniu, Poznań..

(8) 12. Krzysztof Guzik, Edward Smaga. The Markowitz Curve as an Envelope The article shows that the Markowitz curve can be interpreted as an envelope of hyperbolas (parabolas). Describing a set of investment opportunities as a family of curves dependent on established parameters serves as an introduction to solving this issue..

(9)