Over de berekening van de profielgrootheden van veelhoekige doorsneden

HER

N

J

aargang 14 no. 3, Delft 1966 R. SOERJADI

OVER DE BEREKENING

V AN DE PROFIELGROOTHEDEN V AN

VEELHOEKIGE DOORSNEDEN

o

Inleiding U.D.C. 624043

Ret theorema van Green in het platte ulak, dat de mogelUkheid biedt een oppervlakte-integraal am te zetten in een contaur-integraal, wordt hier ge-bruikt om de profielgrootheden van veelhoekige, oak meervoudig samen-hangende, doorsneden te berekenen. Speciale .formules worden daarnaast afgeleid voor dunwandige profielen; hun eventuele voardeel in verb and met de nauwkellrigheid wordt besproken.

Een regelmatig weerkerend deelprobleem bij de sterkteberekening van eon-strueties is het bepalen van de profielgrootheden van staven, zoals oppervlak, zwaartepuntsligging, traagheidsgrootheden. De bestaande tabellenboeken kun-nen niet anders dan in de 'gewone' gevallen uitkomst bieden; voor de overige is de ontwerper op ziehzelf aangewezen.

Een doorsnede van geeomplieeerde vorm denkt men zieh dan meestal opge-bouwd uit delen, waarvoor de profielgrootheden primair bekend zijn, bijvoor-beeld reehthoeken [1]. Veelal heeft een staaf een veelhoekige doorsnede. Het verdelen van de veelhoek in delen met bekende profielgrootheden IS zeker

mogelijk, maar vereist het nodige inzieht.

In dit artikel is er naar gestreefd algemene formules af te leiden voor de profielgrootheden van een willekeurige veelhoek; op het vorenbedoeld in-zieht, nodig om een bepaalde veelhoek op een gesehikte manier te verdelen, wordt hierbij geen beroep meer gedaan en tevens lenen deze formules zieh goed voor verwerking door een elektronisehe rekenautomaat.

De profielgrootheden zijn, zoals bekend, in het algemeen uit te drukken met behulp van oppervlakte-integralen. De in dit artikel uiteen te zetten methode maakt gebruik van de stelling van Green in het platte vlak, waarmee een oppervlakte- (dus tweevoudige) integraal kan worden omgezet in een lijn-(dus enkelvoudige) integraal. Het begrip lijnintegraal zal, alvorens het theore-rna van Green te behandelen, aan de hand van haar meetkundige interpre-tatie worden verklaard.

In het algemeen zal verder aan visuele interpretatie meer aandacht worden gegeven dan aan mathematische strengheid. Voor diverse andere, aan natuur-kunde en techniek ontleende, interpretaties van het begrip lijnintegraal wordt verwezen naar [2].

1 De lijnintegraal

De 'gewone' integraalj"f(x)dx kan meetkundig worden voorgesteld door een X,

oppervlakte. Hierop voortbouwend is de lijnintegraallangs een vlakke kromme

B

in het xy-vlak (f(x,y)ds eveneens voor te stellen als de oppervlakte van een A

gebogen oppervlak (in fig. 1 gearceerd aangegeven). Zijn de coordinaten van

pun-ten van de kromme in het

xy-vlak als functie van de boog-1engte s gegeven: x = x (s) en y = y(s), dan hoort dus bij elke

waarde van de parameter seen

punt{x(s),y(s) }vandekromme.

De integrand f(x,y) is dus ook een functie z(s)

=

f{x(s),y(s)}

van s, en daarmee is de

inte-s,

graal

I

z(s)ds een ,gewone' s,

z

)

Fig. 1. Geometrische interpretatie van een lijnintegraal.

y,

integraa1 geworden; men heeft a.h.w. de lijn AB tot een rechte s-as gemaakt. Uitdrukkingen als If(x,y)dx en If(x,y)dy zijn om te vormen tot !f(x,y)

~.~

ds

A A A ds

B d

respectievelijk

I

f(x,y)

2

ds. De integrand is in beide gevallen weer een functie

A ds

van s. Deze integra1en zijn op te vatten a1s oppervlakten van de projecties van het gebogen oppervlak op het xz-vlak respectievelijk yz-v1ak. Immers, aange-zien dx resp. dy de projecties van ds zijn, zullen de elementaire rechthoekjes f (x,y)dx en f (x,y)dy de projecties zijn van het elementaire rechthoekje f(x,y)ds.

B

De oppervlakte van het gebogen oppervlak (f(x,y)ds kan men ook in de

A

B B B B(x,) ds

vorm J gl(x)dx respectievelijk

I

g2(y)dy brengen: (f(x,y)ds =

I

f(x,y) -dx

=

A A A A(xI) dx

B(y,) ds

=

J

f(x,y) - dy. En aangezien langs de kromme x = x(s) en y = y(s) geldt,

A(),) dy ds ds

is de integrand f(x,y) - respectievelijk f(x,y) - eenfunctiegl(x) van x

respec-dx dy

tievelijk g2(y) vanyo Deze integralen hebben dan weer de 'gewone' gedaante. Een andere interpretatie is een 'belegging' van de lijn AB; dit kan bijvoor-beeld zijn een massabelegging, maar men kan ook aan elektrische ladingen denken. De lijn AB wordt puntsgewijs continu belegd m.a.w. de belegging is uitgedrukt in een functie f(x,y), of zo men wil een functie z(s) daar de lijn AB gegeven is als x

=

x(s) en y

=

y(s). De mass a van de lijn AB, bij

massa-B

belegging f (x,y), wordt dan voorgesteld door de beschouwde integraal f f( x,y) ds. A

B A

Evenals bij de 'gewone' integraal geldt hier ook de tekenafspraak

f

= -

f

B e e A B

en de optelling f

+

f

=

f. Is de lijn waarover geintegreerd wordt een gesloten

A B A

kromme c, dan spreekt men van een kring- of contourintegraal, aangeduid door §. Tenzij uitdrukkelijk anders vermeld, zullen we steeds aannemen dat

c

de contour in de richting 'tegen de klok in' wordt doorlopen, dat wil zeggen dat s in deze richting positief wordt gerekend.

2 Het theoreltla van Green in het platte vlak

Beschouw een gebied F in het xy-vlak begrensd door een eenvoudige gesloten kromme c (zie fig. 2). Als} en

g functies zijn van x en y, die aan zekere elsen van regelmatigheid voldoen, dan geldt

§

(jdx+gdy) = (((og _ of) dxdy . . . (1)

c ) ) ,ox oy

F

waar de contour c in de positieve richting (tegen de klok in) word t doorlopen.

Bewijs

y

I

q

o b

- - x Fig. 2. Illustratie bij het bewijs van het theorema van Green.

Zij y = Yl(X) de vergelijking van de lijn APB, en y = Y2(X) die van AQB. Dan is:

b y,(x) b

((a}

dxdy =

[l/O}

dyl dx =/[f(x,y)tX

) dx = )) oy . oy y,(X) F a hW a b b b = f [f(X,Y2)-f(x,Yl)]dx = -

J

f(X,Yl)dx

+

ff(x,V2)dx = a a a b a - f f(X,Yl)dx - f f(X,Y2)dx = -

§

fdx b C Dus

~

"Of §} dx

= -

(I

~

dxdy. . . . (2) c ) oy F Heron 14: (1966) no. 3 125

Analoog is, als x = Xl(Y) de vergelijkingvoorstelt van de lijn PAQ, en x = X2(y) die van PBQ:

'i

ag

jq [

rX'(Ykg

1

jq

x,(y)

,! -

dxdy = - dx dy = [g(x,y)] dy = v ax . ax X,(y) F P X,(y) P

q

q

q

= j[g(X2,y) -g(xl,y)]dy = Jg(x2,y)dy - J g(xl,y)dy =

P P P

q P

=

f

g(x2,y)dy

+

J g(xl,y)dy = § gdy

P q C

Dus

t

gdy =

If

:!

dxdy . . . (3) F

Sommering van (2) en (3) levert de te bewijzen uitdrukking (1).

Met behu1p van het theorema van Green in het platte vlak kan men dus een kringintegraal omzetten in een oppervlakte-integraal, en desgewenst omgekeerd.

In de technische mechanica vinden beide mogelijkheden toepassing. De lijnintegraal treedt onder meer op in de begrippen: arbeid verricht door een variabele kracht als het aangrijpingspunt een bepaalde weg doorloopt, circulatie als de kringintegraal van de snelheid, verplaatsingen als lijnintegralen van ver-vormingen, krachten als lijnintegralen van spanningen.

Vaak ontmoet men daarbij de eis, dat de lijnintegraal over een gesloten kromme nul moet zijn. Deze voorwaarde is alsdan om te zetten in een differen-tiaalvergelijking, die moet gelden voor het omsloten gebied.

§ = 0 ->-

!l

= ag

c ay ax

In de genoemde gevallen leidt dit tot de voorwaarden voor achtereenvolgens: conserva tieve krach tvelden, rotatievrij e (of wervelloze of poten tiaal-) stromin-gen, de samenhang der continue media, en tenslotte het evenwicht daarvan.

In het onderhavige geval is een oppervlakte-integraal gevraagd. Bij de op-lossing wordt nu, in vergelijking met zoeven, de omgekeerde weg bewandeld, en de gezochte grootheid uitgedrukt in een kringintegraal. Daarbij is men vrij in het kiezen van een herleiding vol gens formules (1), (2) of (3).

3 De JIloJllenten van een veelhoekige doorsnede

3.1 Voorbeeld: de oppervlakte van een driehoek

Beschouwd wordt de driehoek P1P2PS in het xy-vlak zoals in fig. 3 aangegeven.

Als eenvoudige toelichting op het hanteren van het theorema van Green zal de

oppervlakte van de driehoek met behulp hiervan worden bepaald. Gekozen wordt een herleiding volgens een formule van het type (2)

oj j(x,y) =y; ~Y = 1

F =

II

dxdy = -

§

ydx

F a

(4) De contour c is de omtrek van de driehoek. Aan het rechterlid is een meetkundige interpretatie van de for-mule te ontlenen. Bet oppervlak van de driehoek wordt

y

1

~"

P1~

I I I I I o

Fig, 3. Bepaling van het oppervlak van een driehoekige doorsnede. opgebouwd uit de oppervlakken van drie trapezia, te weten PIXIX2P2,

P2X2X3P3 en P3 X3X1P1 waarbij volgens fig. 3 het eerstgenoemde

trape-zium een negatief aandeel bijdraagt. De drie trapetrape-ziumaandelen worden

T1 ,2, T2 ,3 en T3 , l genoemd. Bet bepalen van T1 , 2 wordt nader uitgewerkt,

als eenvoudige toelichting op moeilijker herleidingen die in de volgende para-graaf aan de orde komen.

De zijde P1P2 heeft als vergelijking:

. . . (5)

Bet eerste trapeziumaandeel voIgt nu uit:

X 2 X2

- T1, 2 =

I

(Ax+B)dx = [1IzAx2_{+Bx] =}

~ ~

of na uitwerking:

T1 ,2

=

1/2(XlYl +XlY2-X2Yl-X2Y2)

Voor de 3 bedoelde trapezia luiden de uitdrukkingen:

T1 ,2 = 1/2(XlYl +XlY2- X2Yl-X2Y2)

1

T2 ,3 = 1/2(X2Y2+X2Y3-X3Y2-X3Y3) . . . • • . . (6) T3 , l

=

1/2(X3Y3+ X3YI-XlY3- XlYl)

Sommering ervan geeft als resultaat de oppervlakte van de driehoek:

. (7)

(Opmerking: de produkten xy met onderling gelijke indices vallen tegen elkaar weg).

Formule (7) is gemakkelijk uit te breiden tot die voor een willekeurige veelhoek.

De uitwerking door een elektronische rekenmachine komt in het kort hierop neer, dat de coordinaten van de hoekpunten worden ingevoerd en de machine

door substitutie achtereenvolgens de aandelen voor de zijden van de veelhoek bepaalt.

Nu zijn de formules voor de trapeziumaandelen voor dit doel niet geheel be-vredigend: er worden immers nodeloos termen berekend, die later weer weg-vallen. In ieder trapezium-aandeel zijn twee van de vier termen overbodig.

Bij nader onderzoek blijkt, dat een andere opzet aan-zienlijk economischer is. Daarbij wordt de oppervlakte-integraal opgebouwd uit een aantal driehoek-aandelen.

In fig. 4 zijn dit de oppervlakten van de driehoeken

OPIP2, OP2P3 en OP3P1, waarbij de laatstgenoemde

driehoek een negatieve bijdrage geeft. De eenvoudigste methode om de formule voor een driehoek-aandeel te bepalen, is indirect; en wel door afleiding langs analy-tische weg uit de formule voor een trapezium-aandeel. Voor de numerieke uitwerking wordt dan de kortere formule gebruikt. Zo vindt men uit de trapezium-for mules (6) direct, door daarin X3

=

0, Y3

=

0 te

substitueren:

T 1 , 2

=

l/2(XIYl +XIY2- X2YI-X2Y2) T 2 ,o = 1/2X2Y2

To,l = _l/2XIYl

waaruit (als D de aanduiding is voor driehoek-aandeel):

o _ x

Fig. 4. Alternatieve bepaling van het oppervlak van een driehoekige doorsnede.

D1 ,2 = 1/2(XIY2- X2Yl), en analoog

1

D2 ,3

=

1/2(X2Y3-X3Y2) • • • • • • • • • • • (8)

D3 ,1 = 1/2(X3YI-XIY3)

Door sommering verkrijgt men weer formule (7), echter thans zonder dat eerst overbodige termen berekend zijn, die dan bij de somvorming weer wegvallen.

3.2 Momenten van willekeurige orde voor een veelhoek

De 'momenten' waarvan hier sprake is, zijn oppervlakte-integralen van een term, gevormd door het produkt van machten van de coordinaten x en Y tot een niet-negatieve, gehele, maar overigens willekeurge exponent. In formulevorm:

Mp, q

=

If

xPyqdxqy . . . . (9) F

De statische momenten, de traagheidsmomenten en het centrifugaalmoment van een doorsnede vallen onder deze definitie. Ook momenten van hogere orde kunnen in de technische mechanica toepassing vinden; in paragraaf 3.4 wordt hierop nog teruggekomen. Ter bekorting van het betoog wordt nu rechtstreeks de formule voor het me est algemene geval afgeleid. Het aantal h

der hoekpunten van de veelhoek zij eveneens willekeurig groot.

Schrijft men voorts m=p+l, n=q+l i~h dan is Mp,q

=

I

Ti,i+1 i~1 _{. . . (10)} Xi+1

waarbij Ti,i+1

= -

~

f

xm-lyndx Xi

De sommatie is uiteraard zo te interpreteren, dat voor i = h in plaats van Th, h+1 het aandeel Th,1 moet worden ingevuld.

Evenals in de vorige paragraafwordt nu TI ,2 nader uitgewerkt. Voory kan

de in formule (5) gegeven vorm (Ax+B) worden ingevuld. Een willekeurige macht hiervan kan worden uitgeschreven met behulp van de binomium-formule van Newton.

k~n

yn = (Ax+B)n =

I

(~)

(Ax)kBn-k

k~O

Hieruit voIgt direct:

-n

T

=

k~

(n)

Ak Bn-k

[_1_

xm+k

f'

1,2 ~ k m+k

J

k=O Xl

Door nu voor A en B de uitdrukkingen volgens formule (5) in te vuIlen, vindt men tenslotte:

-nT1,2

=

Uit de verkregen vorm zou men de indruk kunnen krijgen, dat de uitkomst een gebroken functie is. De deling blijkt echter steeds op te gaan, met als resultaat een veelterm in de variabelen Xl, X2, YI en Y2 *). Dit voIgt uit

het feit dat indien Xl tot X2 nadert, het trapezium-aandeel eindig blijft; het

nadert in feite tot nul.

De overgang naar het driehoek-aandeel is eenvoudig. Om te beginnen wordt formule (11) toegepast om trapezium-aandelen te vinden voor de verbindings-lijnen met de oorsprong. In de sommatie blijft dan aIleen de term met k=n gehandhaafd.

*) Nadat de coefficienten van deze veelterm voor een aantal waarden van m en n door elektronische berekeningen waren vastgesteld, bleek kort voor het ter perse gaan van dit artikel een algemene schrijfwijze voor bedoelde veelterm mogelijk te zijn. Een bewijs voor de aldus inductief afgeleide stelling is sindsdien gevonden door Dr. J. H.J. Almering.

-n(m+n) T2,o = -X2m_Y2n . . . • . (12)

Dan is

D],2

=

To,]

+

T],2 T2,o

Veronderstelt men de veelterm T],2 volledig uitgeschreven en de termen ge-rangschikt naar het voorkomen van de index 1 of 2, dan za1 de overgang (12) b1ijken neer te komen op het wegvallen van de eerste en 1aatste term. In de veelterm D],2 komen geen termen meer voor, waarin uits1uitend de index 1 of de index 2 een ro1 speelt. Een bewijs van deze stelling is te ontlenen aan een gedachtenexperiment, waarbij men de punten PI en P2 zodanig verplaatst,

dat zij met de oorsprong op een 1ijn liggen. De opperv1akte van de driehoek OP1P2, a1sook het driehoek-aandeel in ieder hoger moment worden dan nul.

De algebra 1eert dan, dat de veeltermen voor de genoemde grootheden een gemeenschappelijke factor moeten hebben, die nul wordt. Voor de opperv1akte van de driehoek OP1P2 bijv. kan deze factor slechts zijn XlY2-X2Yl, zie

for-mule (8). Maar dan moet het driehoek-aandeel in een hoger moment ook deze uitdrukking a1s factor bevatten, zodat termen met uitsluitend de index 1 of 2 nooit hierbij kunnen optreden.

Ter illustratie wordt nu de uitwerking gegeven voor een van de hogere momenten, te weten:

M2,]

=

II

x:Ydxdy (m

=

3, n

=

2) F

Hierbij za1 het rechterlid volgens formule (11) stap voor stap worden uitge-schreven. Door de volgorde van punt 1 en 2 te verwisselen verkrijgt men daar-bij de regelmatige rangschikking van termen; tevens keert het teken om, zodat de uitkomst +2T],2 is. Uitwerking op deze wijze geeft voor het sommatie-gedeelte van formule (11) het volgende resultaat:

X15(1/5)12+1/1OYlY2+1/30Y22) + -X14X2(1/ 2y12+1/6YlY2) +

+X13X22 (ljaY12) -X12X23 (1/3Y22)

+

+XIX24(1/6YIY2+ 1/2y22) +

-X25(1/30Y12+1/1OYIY2+1/5Y22) Bij deling door (X2-Xl)2 ontstaat het quotient:

130

X13(1/5Y12+1/10YIY2+1/30Y22) + -X12X2(1/1OY12_1/30YIY2-1/15Y22) + -XIX22(1/15Y12+1jaOYIY2-1/1OY22) + -X23(1/30Y1 2

+

l/lOYlY2 +1/5Y22)

Ter controle die nt, dat deze uitdrukking naar nul tendeert als Xl tot X2 nadert.

De overgang naar het driehoek-aandeel brengt met zich mee dat de uiterste termen I/5XI3y12 en _1/5X23y22 geschrapt worden. De resulterende uitdrukking heeft een factor (XIY2-X2YI). Het quotient bij deling hierdoor is:

Met behulp hiervan is het eindresultaat te schrijven in een vorm, die gereed is voor numerieke uitwerking met een minimum aan rekentijd.

i~h

M2,\

=

I

Di,i+i

i~O

(het punt Ph+1 is identiek aan het punt Pl)

Daarbij luidt het driehoek-aandeel voor bijv. de zijde PIP2 :

D1,2

=

1/60(XIY2- X2YI){XI2(3YI +Y2) + +2XIX2(YI +Y2) +X22(YI +3Y2)}

. . (13)

Het is duidelijk, dat wanneer het gaat om een veelhoek met een groot aantal hoekpunten, of dat veel verschillende profielen moe ten worden doorgerekend, het van bijzonder belang is, dat de toe te passen formule in de meest econo-mische vorm gegoten is *).

3.3 Profielgrootheden voor een veelhoekige doorsnede

De in de vorige paragraaf beschreven methode van afleiding geeft bij toe-passing op de profielgrootheden van een veelhoekige doorsnede uitkomsten zoals weergegeven in tabel 1. De eerste kolom geeft de gebruikelijke notatie voor de beschouwde grootheden, de tweede kolom de moment-notatie en de derde kolom het driehoek-aandeel voor de zijde PIP2 • De in alle formules

voor-komende factor Xry2-X2YI wordt met de letter d (van determinant) aangeduid. Voor iedere grootheid geldt wederom:

i=h

M p, q

=

ff

xpyqdxdy

=

I

Di , i+1

F i~1

(het punt Ph+1 is identiek aan het punt PI)

*) De algemene afteiding, in de vorige voetnoot vermeld, leidt tot de volgende formule voor het driehoek-aandeel bij willekeurige waarden van m en n:

i~m-I j~n-I

(m-l)!(n-l)! \ ' \ ' (i+j ) (m+n-Z-i-j ) m-I-i i n - I - j j

Dl,2 = (m+n)! (XlY2- X2Yl)

i...J i...J

i m-l-i Xl X2 Yl y,

i~O j~O

Tabell

F Mo,o 1/2(x1Y2-x2Y1) = 1/2d

Sx Mo,) 1/.d(Y1+Y2)

Sy M),o 1/6d (x1+x2)

Ix MO,2 11 12d (Yt 2+ Y1Y2+ Y22)

Iy M2,O 11 12d (X12+X1X2+X22)

CXY M),) 1/24d{x1(~1+Y2) +X2(Yl +~2)}

Zoa1s gebruikelijk, wordt onder Sy verstaan het moment om de y-as, dus de integraa1 van x dx dy.

Bij de technische toepassing word t meesta1 gevraagd naar de traagheids-momenten betrokken op assen door het zwaartepunt en naar de 1igging van de hoofdtraagheidsassen en de grootte van de betreff'ende hoofdtraagheids-momenten. De hiertoe benodigde transformaties zijn elementair. Bij de formu-lering is rekening te houden met automatische uitwerking. Bij de verschuiving van de oorsprong naar het zwaartepunt geldt:

Sy Sx

Xo = p; yo = p

lex = Ix-Sx'Yo;

Cexy = CXy-Sx'xo

1

Bij het bepa1en van de hoofdassen is het nuttig de grafische voorstelling met de cirkel van Mohr in gedachten te houden (fig. 5). Aan de hand hiervan kan worden aangetoond dat het grootste en k1einste eigentraagheidsmoment (leI enle2 genoemd) en de hoek a tussen de x-as en de eerste hoofdas vo1doen aan de vo1gende formu1es, met inacht-neming van de mogelijke grensgevallen:

OM

=

I/2(Iex+ley); MX

=

I/2(Iex-ley) Indien Cexy =

°

en

. . (14)

Fig. 5. Transformatie naar de hoofdtraagheidsassen.

MX = 0, dan a onbepaald en leI = le2 = lex = ley MX

>

0, dan a =

°

MX

<

0, dan a = I/2Jt

Indien Cexy

"*

°

en leI = lex; le2 = ley en leI = ley; le2 = lex

- - , / 2 2 Cexy

MP = V MX +Cexy , tg a = - MP+MX

leI = OM+MP, le2 = OM-MP

(15)

Het onderzoek of een grootheid (Cexy of MX) gelijk is aan nul wordt bij de

numerieke uitwerking verricht door na te gaan of de absolute waarde kleiner is dan een tolerantiebedrag 8, waarvoor men bijv. het miljoenste deel van OM

kan nemen. Zou men dit niet do en, dan zou de vergelijking door afrondings-fouten kunnen worden verstoord.

Het beschreven rekenproces kan nu worden geprogrammeerd voor de elek-tronische rekenmachine. De hier weergegeven tekst komt in hoofdzaak overeen met het door Mevr. M. van Oosterom-Weesing vervaardigde programma, dat in de bibliotheek van de groep Toegepaste Wiskunde van het Stevin-Labora-torium is opgenomen. Een van de verschilpunten is, dat de invoer- en uitvoer-procedures van de TR4 (de rekenautomaat van de Wiskundige Dienst van de Technische Hogeschool) zijn vervangen door de procedures, die zijn voorge-steld door een internationale werkgroep op het gebied van ALGOL [3]. In de beschrijving van deze procedures wordt verondersteld dat invoer- en uit-voerkanalen expliciet genoemd worden. Hier is uitgegaan van de aanwezigheid van drie kanalen:

1. invoer via ponsband van diverse grootheden, onder meer gehele getallen en decimale breuken,

2. uitvoer naar een regeldrukker van strings (rijen symbolen) waarbij naast letters, cijfers en rekentekens ook beschikbaar zijn de symbolen

U

(waar-mee wordt aangeduid dat de regeldrukker een plaats onbedrukt laat) en

newline (die bewerkt dat aan de volgende regel begonnen wordt), 3. uitvoer naar dezelfde regeldrukker van decimale breuken in een prettig

leesbare vorm en in beperkte, maar voor technische toepassingen voldoende, nauwkeurigheid.

De volgorde waarin het programma de opdrachten afwerkt, resp. de wijze waarop afhankelijk van zekere voorwaarden een keuze tussen verschillende opdrachten wordt gemaakt zijn toegelicht met een stroomdiagram (fig. 6).

Als invoergegevens moeten worden verstrekt het aantal hoekpunten van de veelhoek, gevolgd door de coordinaten van de hoekpunten; de omtrek wordt hierbij in positieve richting (tegen de klok in) doorlopen.

Uitgevoerd worden de resultaten volgens tabel 1, formule (14) en for-mule (15).

134

Legenda:

T

Programma voor de berekening van de profielgrootheden van een veelhoekige doorsnede.

1

inM en uitvoer opdrachten

tel aandelen bij partie Ie sommen

verschuiving oorsprong

naar zwaartepunt

rekenopdrachten

samenvoeging

begin einde _{keuzebepaling}

Fig. 6. Stroomdiagram als toelichting op de gang van zaken bij het programma.

begin integer h; ininteger (1, h) ;

end

begin array x, y[l: h+ I]; integer i;

end

real xl, x2, y I, y2, f, sx, sy, ix, iy, cxy, d, xO, yO, iex, iey, cexy, eps, om, mx, mp, alfa, iel, ie2;

for i : = I step 1 until h do

begin inreal (I, x[i]); inreal (1, y[iJ) end; x[h+l] : = x[I]; y[h+l] : = y[lJ;

f: = sx : = sy : = ix : = iy : = cxy : = 0;

for i : = 1 step I until h do

begin xl: = x[i]; x2: = x[i+l]; yl: = y[iJ; y2: = y[i+lJ; d : = xlxy2-x2xyl; end; f : = f+d/2; sx : = sx+d/6x (yl+y2); sy : = sy+d/6x (xl+x2); IX: = ix+d/12x(ylxyl+ylxy2+y2xy2); iy : = iy+d/12 X (xl X xl +xl X x2+x2 X x2);

cxy: = cxy+d/24x (xl X (2xyl+y2)+x2x (yl+2xy2)) outstring (2, 'newline fU U U = '); outreal (3, f) ;

outstring (2, 'sxU U = '); outreal (3, sx) ; outstring (2, 'syU U = '); outreal (3, sy);

outstring (2, 'newline ixU U = '); outreal (3, ix) ; outstring (2, 'iyU U = '); outreal (3, iy);

outstring (2, 'cxyU '); outreal (3, cxy); xO : = sy/f; yO : = sx/f;

iex: = ix-sxxyO; iey: = iy-syxxO; cexy: = cxy-sxx xO;

outstring (2, 'newline xOU U = '); outreal (3, xO) ; outstring (2, 'yOUU='); outreal (3, yO);

outstring (2, 'newline iexU'); outreal (3, iex); outstring (2, 'ieyU = '); outreal (3, iey); outstring (2, 'cexy= '); outreal (3, cexy) ; outstring (2, 'newline');

om: = (iex+iey)/2; mx: = (iex-iey)/2; eps: = lo-6xom;

if abs(cexy) < eps

then begin if abs(mx) < eps

end

then outstring (2, 'alfaUisUonbepaald newline ielU =ie2U =iexU =iey')

else if mx> 0

then outstring (2, 'alfaUisUnul newline ielU =iexUUie2U =iey')

else outstring (2, 'alfaUisUpi/2 newline ielU =ieyUUie2U =iex')

else begin mp: = sqrt(mxx mx+cexyx cexy); alfa: = arctan( -cexy/(mp+mx));

end

iel : = om+mp; ie2 : = om-mp; outstring (2, 'alfa= '); outreal (3, alfa);

outstring (2, 'radialen newline ielU='); outreal (3, iel); outstring (2, 'ie2U = '); outreal (3, ie2)

3.4 Toepassing op meervoudig samenhangende doorsneden

Ret theorema van Green is ook geldig voor meervoudig samenhangende door-sneden. Dit zal worden nagegaan aan de hand van fig. 7. Over de gearceerde doorsnede dient een oppervlakte-integraal overeenkomstig het rechterlid van formule (l) te worden bepaald. De uitkomst verandert niet, als aan het integratiegebied een oneindig smal reepje PaP4P7Ps

wordt onttrokken. Daarmee wordt een enkelvoudig samenhangend gebied verkregen, waarvoor de gel-digheid van het theorema reeds vaststaat; de opper-vlakte-integraal kan dus worden vervangen door een lijnintegraal overeenkomstig het linkerlid van for-mule (l). De lijnintegraal wordt langs de contour

C - P1P2PaP 4P5P6P7PSP9P1 genomen. De bijdragen

van de snedekanten P3P 4 en P7P_{s zijn echter elkaars}

tegengestelde en kunnen weggelaten worden. Ret resultaat is dan dat de oppervlakte-integraal gelijk is aan de som van twee lijnintegralen over kringen

y

1

o _ x

Fig. 7. Ret theorema van Green voor een meervoudig samenhangende doorsnede.

Co en C1, identiek met de buitenomtrek en de binnenomtrek, waarbij de

laatstgenoemde in de richting met de klok mee wordt doorlopen.

Door de twee contouren Co en C1 gezamenlijk als de omtrek van het gearceerde

gebied F te beschouwen, komt men tot de conclusie dat het theorema van Green ook voor dit meervoudig samenhangende gebied geldig is.

Deze bewijsgang wordt in wiskundige handboeken gevolgd, omdat daarbij blijkt dat de integrand slechts over het gearceerde gebied aan eisen van regel-matigheid moet voldoen. Dit voordeel heeft men niet bij de meer voor de hand liggende aanpak, de stelling van Green op te schrijven voor de gebieden Fo en

F1 binnen de contouren Co en C1 en dan het verschil te nemen.

Ret uitgevoerde gedachtenexperiment heeft in het onderhavige geval nog een bijkomend voordeel. Ret geeft namelijk een aanwijzing hoe het program-ma voor de bepaling van de profielgrootheden van een veelhoekige staaf-doorsnede ongewijzigd kan worden gebruikt voor een meervoudig samen-hangende doorsnede. Bij het gereedmaken van de invoergegevens moet men dan te werk gaan alsof de snede werkelijk aanwezig was en de weg van buiten-omtrek naar binnenbuiten-omtrek daar langs verloopt. De coordinaten van een punt van de buitenomtrek (P3) worden dan gevolgd door de coordinaten van een punt van de binnenomtrek (P 4). Vervolgens worden, in de richting met de wijzers van de klok mee, de punten van de binnenomtrek afgewerkt. De eind-punten van de snede komen nog eenmaal terug (als P7 en Ps), zodat het aantal

hoekpunten met twee is verhoogd. De machine zal nu zonder meer de juiste waarden van oppervlakte, traagheidsmomenten enz. berekenen en uitvoeren.

Het zou als nadeel kunnen worden gezien dat de integratiebijdrage langs de snede nu nodeloos eenmaal positief en eenmaal negatief in rekening wordt ge-bracht. Hier staat echter tegenover dat men de rekenautomaat geen informatie hoeft te verstrekken in de vorm van extra invoergegevens, zoals het aantal gaten en welke hoekpunten op welke omtrek liggen. De voorbereidingen die dit zou vergen wegen zwaarder dan de weinige automatisch verlopende reken-handelingen, die behoren bij de snede-overgangen van buitenomtrek naar binnen, en omgekeerd, als evenbedoeld.

3.5 Toepassingsmogelijkheden ter zake van de momenten van hogere orde

Het zoeken naar een algemene berekeningswijze voor de grootheden van een staafprofiel heeft ook de vraag inzake de mogelijkheid van soortgelijke for-mules voor momenten van willekeurige orde naar voren gebracht. In het vol-gende zal aan de hand van enige voorbeelden worden aangetoond dat er voor de berekeningswijze ook toepassingsmogelijkheden in de technische mechanica zijn voor wat betreft momenten van orde hoger dan twee (wat voldoende was in het geval van de diverse profielgrootheden).

a. Doorsnedeberekening voor beton in het breukstadium

In de G.B.V. 1962, artikel 47, wordt bepaald dat bij berekeningen van beton-doorsneden op buiging in het breukstadium moet worden uitgegaan van (onder meer) de onderstelling dat het a-s-diagram voor druk de symmetrie-helft is van een tweedegraadsparabool met als topwaarde voor de spanning de maximale betondrukspanning au'. Voorts wordt het beton geacht geen trek-spanningen op te nemen.

Wanneer de doorsnedevorm ingewikkeld is of buiging om twee assen op-treedt, is er in het bedoelde geval veel rekenarbeid verbonden aan het uit-werken van de resulterende betondrukkracht en de buigende momenten als integralen van spanningen.

Als voorbeeld wordt beschouwd het geval van een rechthoekige doorsnede volgens fig. 8, waarbij de neutrale lijn P2PS '<-,

\

,

de assen schuin snijdt. De vergelijking van \ " P2PS zij (betrokken op de symmetrieassen \ ",

van de doorsnede) : \ " \ x-~-30 = 0 \ \

J

P'T"'I L - - f - - L - - - '

~11

'40 I----~---I

In het punt Pi ( - 20; 30) heeft de beton-drukspanning de uiterste waarde au' be-reikt. Het spanningsverloop kan worden weergegeven door een parabolische cilin-der, waarvan de lijn P2PS een nuldoorgang

vormt. De andere nuldoorgang (fictief)

wordt gevormd door een ten opzichte Fig. 8. Betondoorsnede in het breuk-stadium (bij buiging om 2 assen).

van het punt PI symmetrisch gelegen en daarom parallel met de voren-genoemde doorgangslijn verlopende lijn, die tot vergelijking heeft:

x-~+190

=

0

Ret verloop van de drukspanning kan nu worden geschreven als a'

=

c(x-~-30) (x-~+ 190)

=

= c(x2-4xy+4y2+ 160x-320y-5700)

Voor de spanning in PI (x = -20,y = +30) geldt dientengevolge:

a' = au' = -12100c zodat c = -au'/12100

In het algemeen geldt a' = cLIL2, waarbij LI = 0 en L2 = 0 de vergelijkingen zijn van de nuldoorgangslijnen van de parabolische cilinder, die het spannings-verloop weergeeft.

De groote en plaats van de drukresultante volgen uit:

N'

=

If

a'dxdy F eo, x' N'

=

ff

xa'dxdy F eo, y' N' =

ff

ya'dxdy F In dit voorbeeld is

N'=c(M2,O-4MI,1 +4Mo,2+ 160MI ,o-320Mo,I-5700Mo,o) = 1075au'

eo,X' N'=c(M3,O-4M2,1 +4MI,2+ 160M2,o-320MI ,I-5700MI,o) = -2,4N' eO,y' N'=c(M2,1-4MI ,2+4Mo,3+ 160MI ,I-320Mo,2-5700Mo,l) = 13,IN'

Zoals hieruit blijkt, spelen bij betonberekeningen volgens de breukmethode de momenten van orde drie een rol. Bij een drukgebied van veelhoekige vorm kunnen deze volgens de in paragraaf 3.2 beschreven methode worden bepaald.

b. De membraananalogie

Voor het bepalen van de schuifspan-ningsverdeling in de doorsnede van een balk in het geval van zuivere wringing volgens De Saint Venant kan de mem-braananalogie van Prandtl worden toe-gepast [4]. Niet aIleen dank zij de moge-lijke experimentele uitvoering met be-hulp van een zeepvlies, maar ook als gedachtensteun is deze analogie van groot nut.

Beschouwd wordt een gewrongen ~staaf

met een doorsnede in de vorm van een willekeurige vierhoek (fig. 9). Ret analoge 138 y

r

belasting in z-richting: Z verplaatsing in z-richting: w P, - - - x

Fig. 9. Membraan als analogie van een gewrongen balk met doorsnede in de vorm van een willekeurige vierhoek.

membraan is opgespannen op een rand van die vorm; bij doorbuiging heeft het membraan nuldoorgangen ter plaatse van de zijden. Indien men ver-onderstelt dat de doorbuiging te beschrijven is als een machtreeks in x en y

moet deze de volgende gedaante hebben:

w

=

L1L2L3L4(C1 +C2X+C3Y+ ... . ),

indien de zijden voldoen aan de vergelijkingen L1

=

0, L2 = 0, L3 =

°

en L4 = 0. Ter plaatse van de zijden is dan de doorbuiging automatisch nul.

Het bepalen van het doorbuigingsvlak komt neer op het oplossen van de potentiaalvergelijking. Bij een van de hiervoor geschikte benaderingsmethoden neemt men een doorbuigingsvlak aan volgens een eindige machtreeks van vorenvermelde gedaante. De coeificienten C1, C2, enz. worden zodanig bepaald, dat de potentiele energie minimaal wordt [6]. Deze methode is afkomstig van Ritz. De potentiele energie P bij een doorgebogen membraan met al-zijdige trekvoorspanning H onder belasting Z wordt gegeven door de uit-drukking:

P =

!![1/2

H

{(::Y

+

G;Y} -

zw] dxdy

F

Indien de doorbuiging volgens een machtreeks is aangenomen bestaat de inte-graal uit een aantal momenten van hogere orde. Men bepaalt vervolgens de afgeleiden naar de verschillende coefficienten, no dig voor het uitschrijven van de minimumvoorwaarde.

N a het bepalen van de coefficienten door oplossing van het resulterende stelsel lineaire vergelijkingen is nog eenmaal integratie nodig indien het zoge-naamde

"wringtraag-heidsmoment" Iw

wordt verlangd, dat evenredig is met het volume tussen het uit-gebogen membraan en het vlak van zijn uit-gangsstand.

Iw

=

4:!!

wdxdy F

Als voorbeeld wordt beschouwd de wrin-ging van een staaf met rechthoekige door-Fig. 10. Wringstijfheid van een balk met rechthoekige doorsnede. Heron 14 (1966) no. 3 ~ 0,3 -' 0,2 0,1

1-/

".,''"'''"'"'{

//

Timoshenko I' y ~ I

I" ~ 1e benadering volgens

v! de methode van Ritz:

I

5 a3_b3 Iw = 18 a2+b2

/

_{~}I

~x

I a I 139

snede (fig. 10). Ais aanname voor de membraan-doorbuiging wordt eerst een eenvoudige reeks met slechts een vrije constante ingevoerd:

W

=

clx(x-a)y(y-b)

Het uitwerken van de voorwaarde van mmlmum potentieIe energie leidt hierbij nochtans tot het bepalen van momenten van de zesde orde.

Ais eindresultaat wordt gevonden: 5 a3_b3

1 . -w - 18 a2+b2

In fig. lOis deze functie grafisch voorgesteld en vergeleken met nagenoeg exacte resultaten uit de literatuur die langs andere weg zijn verkregen [5]. De uitkomsten zijn relatief het nauwkeurigst als de lengten van de rechthoeks-zijden niet te veel uiteenlopen; in het afgebeelde gebied der afmetingsver-houdingen is de relatieve fout niet groter dan

3%.

De nauwkeurigheid kan vrij snel worden opgevoerd door het gebruik van een verder voortgezette reeks als aanname voor de doorbuiging. Zo geeft

w

=

x(x-a)y(y-b){Cl +cdx- 1/2a)2+ c3 (y_l/2b)2} als uitkomst

14 a3b3 9a4_+82a2b2+9b4 Iw

= -

. - - .

: : c : :

-9 a2+b2 45a4_+464a2b2+45b4

Bij de berekening hiervan zijn momenten tot en met de orde tien uitgewerkt. De relatieve fout is nu ongeveer 0,1% in het bereik dat in fig. 10 is afgebeeld, zodat dit verschil niet meer in de grafiek tot uitdrukking kon worden gebracht. De methode van Ritz verschaft blijkbaar voldoend nauwkeurige resultaten mits men bereid is momenten van hoge orde te berekenen. Ook hier is dus toe-passing te geven aan de formules van paragraaf 3.2, waardoor ook meer inge-wikkelde doorsnedevormen behandeld kunnen worden. Ais algemeen voor-behoud geldt evenwel dat de methode van Ritz in de besproken vorm slechts is toe te passen op convexe, enkelvoudig samenhangende doorsneden.

c. Doorbuiging van een ingeklemde plaat

N aast de potentiaalvergelijking speelt ook (en zelfs in meerdere mate) de bipotentiaalvergelijking een rol in de technische mechanica, bijvoorbeeld in de theorie van buigstijve platen.

Behandeling van problemen uit dit toepassingsgebied kan onder andere met de methode van RITZ geschieden [7, 10], waarbij als uitdrukking voor de potentieIe energie gebruikt wordt:

p

=

rr[1/2Kf(a2w

+

a2w)2_ 2(1_V)

(a2w.~2w

_ <a2w)2)1_

zwl

dxdy

)) l ax2 ay2 ax2 ay2 axay

J

F

met K = Et3_/12(1-v2) als plaatstijfheid en met Z en w als belasting resp.

verplaatsing in z-richting. Indien krachten en momenten, die op de rand aan-grijpen, tijdens de vervorming arbeid verrichten, moet ook deze bij de be-rekening van de potentiele energie in mindering worden gebracht. Met de geo-metrische randvoorwaarden wordt rekening gehouden door de aanname van het doorbuigingsvlak in overeenstemming daarmee te kiezen.

Als voorbeeld wordt een rechthoekige plaat beschouwd. Indien de plaat is ingeklemd langs een rand die met de y-as samenvalt, kan dit in rekening wor-den gebracht door in de uitdrukking voor de doorbuiging een factor x2 _{op te}

nemen (dan is op de rand zowel w als awjax gelijk aan nul). Indien de plaat langs aIle randen is ingeklemd, wordt de aanname ten minste:

w

=

C1x2(x-a)72(y-b)2,

of een uitdrukking van nog hogere graad als men ter verkrijging van grotere nauwkeurigheid de factor C1 vervangt door een veelterm met meerdere con-stanten. Bij de bovenvermelde aanname moeten momenten van orde twaalf worden bepaald; in het eindresultaat komt onder meer voor de volgende waar-de van doorbuiging in het midwaar-den:

49 Z a4b4

w

= ----.-.---__ --__

2048 K 7a4_{+4ab+ 7b}4

In fig. 11 is deze uitkomst vergeleken met langs andere weg verkregen resul-taten [9]. In het afgebeelde gebied kan de relatieve fout maximaal 12% be-dragen. Door het uitbreiden van de aangenomen uitdrukking voor de door-buiging kan deze fout tot 0,4% worden verlaagd [8, 11], indien men bereid is momenten totde orde

twintig te berekenen. ~I'" 0.003 t---,---,---,

Met de twee voor-beelden is aan de methode van Ritz be-trekkelijk veel aan-dacht besteed. Dit is echter in overeen-stemming met het toenemende belang

Fig. II. Zakking van het midden van een rondom ingekIemde rechthoekige plaat onder gelijkmatig verdeelde belasting.

Heron 14 (1966) no. 3

'"

1

1e benadering volgens de methode van Ritz:

49 Z a'b' w = 2048'j('7a'+4ab+7b' _/ / I / / / / / / 0.002 1---'+---/-;1---+---1 belasting: Z plaatstijfheid: K 0.001 J---.if-t---'--- . ! .b 141

van deze rekenwijze. Bij de berekening van bijzondere bouwconstructies wordt tegenwoordig steeds vaker de elementenmethode met voorgeschreven verplaatsingen toegepast, waarbij men op de methode van Ritz teruggrijpt. Voor de afzonderlijke elementen worden dan (met inachtneming van de onder-linge samenhang) verplaatsingsvelden aangenomen. De evenwichtsvoorwaar-den, opgesteld aan de hand van de minimumconditie voor de potentiele ener-gie, worden dan behandeld in het algemene kader van de verplaatsingsmetho-de, in vroegere afleveringen van HERON reeds genoemd door Ir. H. W. Loof

(Heron 12, no. 2) en door Ir.

J.

Blaauwendraad (Heron 14, no. 1).

4 Speciale forlDules voor dunwandige profielen 4.1 Afleiding van de jormules

De in het voorafgaande besproken formules voor de profielgrootheden zijn geldig voor willekeurige veelhoekige doorsneden. In geval van dunwandige profielen kan het gebruik van de algemene formules echter bezwaren hebben, zoals in het volgende wordt uiteengezet.

Ais profielgegevens zal men veelal beschikken over de coordinaten van knik-punten van de hartlijn en de wanddikten van de verschillende panelen. Het berekenen van de coordinaten van de hoekpunten van binnen- resp. buiten-wand geeft dan veel extra werk en brengt bovendien het gevaar van cijfer-verlies met zich omdat de wanddikte niet meer rechtstreeks beschikbaar is, maar als het verschil van twee (veelal bijna gelijke) getallen tot uiting komt. Ook bij de verdere uitwerking zou cijferverlies een rol kunnen spelen.

Door aparte formules af te leiden voor de profielgrootheden van dunwan-dige doorsneden, waarbij wordt uitgegaan van een gegeven ligging van een veelhoekige hartlijn en gegeven wanddikte (die per paneel als constant wordt beschouwd) is het evenbedoelde bezwaar uit de weg te ruimen.

In fig. 12 is aangegeven hoe de volgorde van de knikpunten van de hartlijn door nummering wordt vastgelegd. Ieder punt wordt beschouwd als het begin-punt van een paneel; om dit mogelijk te maken worden ook fictieve panelen met wanddikte nul ingevoerd (in de figuur K5K6 en KsKI). Van het paneel volgend op het punt met rangnummer i worden de wanddikte, lengte en oppervlakte aangeduid met tt, li en Fi. Van deze drie grootheden is de eerst-genoemde rechtstreeks gegeven, terwijl de andere

gegevens gemakkelijk worden berekend uit de gegeven coordinaten, volgens de eenvoudige betrekkingen:

II

=

V(XI-X2)2+(YI-Y2)2, FI

=

lItI (16)

Bij de uitwerking worden voorts dezelfde verwaar-lozingen gemaakt als bij handberekeningen voor Fig. 12. Dunwandige doorsnede, opgebouwd uit v1akke panelen van constante wanddikte.

142 y

1

K, ---"IX Heron 14 (1966) no. 3

dunwandige profielen gebruikelijk, namelijk dat voor de overlappingen van de paneeldoorsneden bij de hoeken geen correcties worden aangebracht; en ook dat het eigen traagheidsmoment van een paneeldoorsnede ten opzichte van de hartlijn wordt verwaarloosd. De panelen worden zodoende beschouwd als lijnvormig waarbij de wanddikte t als ,belegging' optreedt, vergelijkbaar met massabelegging. Dank zij deze vereenvoudiging is het zonder meer mogelijk de oppervlakte-integralen om te zetten in lijnintegralen.

Ieder moment wordt opgebouwd uit paneel-aandelen Pi, i+l:

i~h

Mp,q

=

I

Pi, i+1

i~l

waarbij bijv. _{. . (17)}

Ook hier zijn weer, evenals bij de omzetting van integralen volgens het theo-rem a van Green, verschillende schrijfwijzen mogelijk.

Voor de oppervlakte F van de volledige doorsnede geldt bij de ingevoerde vereenvoudigingen:

. . . (18)

Ook voor de statische momenten is de uitwerking eenvoudig.

Sx = ffydF; Sy

=

ff xdF;

F F

De bijdrage van het eerste panee! aan Sy bedraagt bijv.

K2 X2

PI ,2 = (x. tlds =

~

fXdX = I/2FI(XI +X2) . . . (19)

., X2- XI

Kl Xl

Door verwisseling van x eny vindt men direct de uitdrukking voor het paneel-aandeel in Sx. Opgemerkt zij, dat in dit geval de draairichting geen rol speelt, en dan ook geen tekencorrectie no dig is.

Vervolgens wordt overgegaan tot het berekenen van de traagheidsmomenten en van het centrifugaalmoment:

Ix =

ffy

2_{dF; Iy} =

ff

x2dF; C_Xy

=

_{ff xydF}

F F F

De bijdrage van het eerste paneel aan Iy bedraagt:

. . . (20)

Door onderlinge verwisseling van x en y is weer direct het paneelaandeel voor

Ix uit te schrijven.

Aan het centrifugaalmoment CXy geeft het eerste paneel de bijdrage

Voor deze integratie moety eerst nog in x worden uitgedrukt met behulp van formule (5).

y = Ax+B en B = X2YI-X1Y2

X2- Xl Bijgevolg:

j~ydx

= j'x(Ax+B)dx = [1/3Ax3+1/2Bx2t

Xl Xl Xl

De bijdrage van het eerste paneel aan CXy wordt dan:

Fl

PI ,2 = [1/3(Y2---:)'1) (X23-X13) +1/2(X2YI-X1Y2)(X22-X12)]

=

(X2- Xl)2

= 1/6Fl(2xlYI +X1Y2+X2Yl +2X2Y2) . . . (21) Bij vergelijking van de hier gevonden formules met die in tabel 1 blijkt, dat voor de paneel-aandelen bij de dunwandige doorsnede vrijwel dezelfde uit-drukkingen gelden als voor de driehoek-aandelen bij de massieve doorsnede, alleen wordt de grootheid d door F vervangen en heeft de voorafgaande breuk-factor een andere waarde. Ook het programma voor elektronische verwerking blijft grotendeels hetzelfde.

4.2 Onderzoek van de rekennauwkeurigheid

De in paragraaf 4.1 afgeleide formules geven als gevolg van de gemaakte ver-waarlozingen een bepaalde fout in de uitkomst. Bij de numerieke uitwerking zullen echter ook in de paragraaf 3.3 gegeven

uitdruk-kingen, hoewel theoretisch exact zijnde, door het cu- y

mulatieve effect van afrondingen een resultaat van be-

t

perkte nauwkeurigheid opleveren. De vraag is nu of in sommige gevallen niet toch het gebruik van de formu-les van 4.1 tot nauwkeuriger uitkomsten kan leiden. Het zou te ver voeren om dienaangaand een volledige analyse te maken. Volstaan zal worden met een enkel voorbeeld, namelijk het berekenen van het statisch moment Sy van een U -profiel, zoals in fig. 13 afgebeeld.

Fig. 13. Voorbeeld bij de verge1ijking van de formules voor massieve en dunwandige doorsneden.

144

""""'7777""'''''''''''''

a'

De te beschouwen formules zijn:

Sy

=

1/6[(XI +x2)dl ,2+ .... + (xs+xI)ds,l]

met sommatie over de omtrekpunten PI tot en met Ps, en Sy = 1(2[(XI +x2)FI

+....

(X3+X4)F3]

met sommatie over de punten KI tot en met K4, de knikpunten van de

hart-lijn.

De berekening van Sy volgens de eerstgenoemde formule is stap voor stap uit tabel 2 af te lezen. Er zij aan herinnerd dat dl , 2

=

XIY2-X2YI enz.

Tabel 2

i Xi Yi Xi+Xi+' di , i+' Di , i+'

1 0 - (a+ 'zit)

(a+'/2t) (a+'/2t)2 'I G(a+ '/2t)3 2 (a+'/2t) - (a+'/2t)

2(a+'/2t) 2(a+'/2t)2 4/6(a+'/2t)3

3 (a+'/2t) (a+'/2t)

(a+'/2t) (a+ '/zt) z '/6(a+'/zt)3

4 0 (a+'/zt)

0 0 0

5 0 (a-'/2t)

(a-'/zt) - _{(a-'/2t)2 -'/6(a-'/2t)3}

6 (a- 1/ 2t) (a-'/2t)

2(a-'/zt) -2(a-'/ zt)2 - 4/6(a-'/2t) 3

7 (a-'/2t) - (a-'/2t)

(a-'/2t) - (a-'/ 2t)2 -'/6(a-'/2t)3

8 0 -(a-'/2t)

0 0 0

1 0 - (a+'/2t)

I

Sy = 3a 2t+'/4t3 In de laatste kolom blijkt tegenover de bijdrage l/6(a+I/2t)3 van de driehoek

POP1P2 de bijdrage _1/6(a-I/2t)3 van de driehoek POP7PS te staan. Analoog

voor de driehoeken POP2P3 en POP3P4 tegenover de driehoeken POP6P7 en

POP4P5 • Is nu t klein ten opzichte van a, dan betekent dit dat hier telkens een

verschil berekend wordt van twee getallen van nagenoeg dezelfde grootte. Ret aantal significante cijfers in de uitkomst is dientengevolge veel kleiner dan bij de oorspronkelijke getallen. In het uiterste geval houdt men helemaal niets over, namelijk als t zo klein is dat a+ 1

/2t

weer de waarde a krijgt in de rekenmachine. In dat geval bedraagt de relatieve fout dus 100 procent. Wer-ken we met een (machine-) nauwkeurigheid van n significante cijfers, dan be-draagt de relatieve fout in de oorspronkelijke getallen ten hoogste 5· lO-n • De relatieve fout in een derde macht is dan hoogstens 15· 10-n. De absolute fouten van de get allen in de laatste kolom zouden bij de meest ongunstige combinatie van tekens tezamen 30· 1 O-n . a3 _{kunnen bedragen. De relatieve fout in het}

eindresultaat is dan 1 O-n+l. (a/t).

De berekening met behulp van de speciale formule voor dunwandige door-sneden is stap voor stap uit tabel 3 af te lezen.

Tabel 3

i

I Xi I Yi I li I Fi I Xi+ Xi+1 Pi, i+1

1 0 -a a at a 1/2a2_t 2 a -a 2a 2at 2a 2a2t 3 a a a at a 1/2a2t 4 0 a

I

Sy = 3a 2t De uitkomst 3a2t is als gevolg van afronding behept met een relatieve fout 15· lO~n. Uit het voorgaande is voorts gebleken, dat voor Sy de exacte waarde 3a2t+1/4t3 geldt. Aan die uitkomst is dus bovendien inherent een absolute

fout ter grootte van 1/4t3, wat een relatieve fout uitmaakt van 1/12(t/a)2. De in-herente relatieve fout wordt kleiner naarmate de verhouding t/a kleiner wordt, dus naarmate het profiel met meer recht 'dun'wandig kan worden genoemd. Juist het omgekeerde geldt bij de relatieve fout ten gevolge van afronding bij

toepassing van de formule voor massieve doorsneden.

Resumerend geldt voor de relatieve fout, die in het vervolg B zal worden

genoemd:

bij toepassing van de formule voor massieve doorsnede: inherent: B =

°

afronding: B

«

lO~n+1. (a/t)

dito bij de formule voor dunwandige doorsnede: inherent: B

«

1/12' (t/a)2

afronding: B

«

15· 1 O~n

De vergelijking van de fout voor verschillende gevallen is grafisch voorgesteld in fig. 14. Bij een rekenautomaat, die met 10 significante cijfers werkt, kan het eindresultaat in tenminste 6 cijfers nauwkeurig worden verkregen. De algemene formules, die in de eerste plaats bedoeld waren voor massieve doorsneden, geven de beste resultaten in het gebied waar t

>

0,23 .10~2a, dus toch ook nog voor profielen die technisch gezien zeer dunwandig zijn. Bij een berekening met 4 significante cijfers (zorgvuldig werk met een rekenliniaal) ligt de situatie anders. Rierbij is reeds voor t

«

0,23a een voorkeur uit te spreken voor de speciale for mules voor dunwandige doorsneden.

Ret gebruik van een elektronische rekenautomaat veroorzaakt dus een ver-schuiving van de voorkeur ten gunste van de algemene formules. Men zal zich daarbij de moeite van een nauwkeurige (eventueel ook elektronische) berekening van de coordinaten van de omtrekspunten moeten getroosten.

5 Slotbeschouwing

Op grond van de in het voorgaande ontwikkelde gedachtengang, kan iets meer gedetailleerd dan in de in1eiding is geschied, worden besproken in welke situatie men met voordeel gebruik za1 kunnen maken van de formu1es voor de profielgrootheden van een willekeurige doorsnede.

Ret programma van paragraaf 3.3 gaat uit van de situatie, dat men van de rekenautomaat uits1uitend het berekenen van de profielgrootheden verlangt

1 (1000/ 0) 10~2 10~4 1O~6 -2 -4 -6 -8 -10 ,fronding (rekenlineaal)~ dunwandige doorsnede W~~ /~%'/~

i

/

/....' inherent ....--dunwandige

/

doorsnede massieve doorsnede afronding (reken-automaat)_t----!?* _ _ _ +----''07~-__j dunwandige

la

doorsnede ~ W7~fj{ -6 -4 -2 0 _ 1Olog (t/a) 10 4 10 2 - t / a

Fig. 14. Vergelijking van de relatieve fout 6 die kan optreden bij het gebruik van

verschi1-1ende formu1es voor de doorsnede vo1gens fig. 13. De bovengrens van de fout is een functie van de verhouding van de wanddikte t tot een doorsnede-afmeting a. Voorts is de afronding afhankelijk van het toegepaste rekenhu1pmiddel.

en de coordinaten van de hoekpunten van de veelhoekige omtrek op een getal-band invoert. Roewel deze toepassing denkbaar is en blijkens de ervaring ook reden van bestaan heeft, wordt als het meest efficiente gebruik toch de in-passing in een groter programma gezien. Men zal de profielgrootheden immers willen bepalen in verband met een verdere berekening. In een gegeven geval zullen soms vereenvoudigingen in de formules mogelijk zijn, uitgaande van bijzonderheden van de beschouwde doorsnede. Alleen voor de me est eenvou-dige doorsneden zal dit echter voordeliger zijn dan het gebruik van een reeds beproefde en betrouwbaar gebleken procedure voor het algemene geval. Voor een dergelijke procedure worden de gegevens (de coordinaten van de hoek-punten) door het hoofdprogramma verstrekt. Dit houdt in, dat men op even-tuele kromliJnige gedeelten van een profielomtrek zonder bezwaar een groot aantal punten kan aangeven, waarvan het hoofdprogramma dan de juiste coordinaten berekent. De beperking van de formules tot veelhoekige doorsneden wordt daarom niet als een wezenlijke vermindering van de algemene toepas-baarheid gezien.

Vergelijking van de rekennauwkeurigheid van de algemene formules met die van speciale formules voor dunwandige doorsneden he eft aangetoond, dat slechts in extreme gevallen de numerieke 'gevoeligheid' van de algemene for-mules tot een voorkeur voor de speciale forfor-mules zal leiden. Wel zal de ver-eiste nauwkeurigheid bij het opgeven van de coordinaten het veelal wenselijk maken deze ook elektronisch te berekenen, wat in de zojuist geschetste situatie door het hoofdprogramma verricht kan worden.

De algemene opzet bij het afleiden van de formules heeft de mogelijkheid geopend, ook momenten van hogere orde dan twee (voor traagheidsmomenten voldoende) uit soortgelijke formules te verkrijgen. De toepassingen daarvan in de technische mechanica zijn slechts summier besproken. Ret is echter duidelijk dat bij zodanige toepassingen door de beschreven methodiek een steun bij het rekenwerk kan worden geboden, die de mogelijkheden verruimt.

6 Literatuur

1. KLOPPER, J., Leerboek der Toegepaste Mechanica. Eerste deel, vierde druk, Delft 1943, biz. 56.

2. BETH, H. J. E., Inleiding tot de differentia al- en integraalrekening. Achtste druk, Gro-ningen 1962, biz. 301.

3. POEL, W. VAN DER, et aI., Report on Input-Output Procedures for ALGOL 60. Numeri-sche Mathematik, Jaarg. 6 (1964), Nr. 5, biz. 459.

4. TIMOSHENKO, S., en J. N. GOODIER, Theory of Elasticity. Tweede druk, New York 1951, biz. 258.

5. Idem, biz. 277. 6. Idem, biz. 280.

7. BIEZENO, C. B. en R. GRAMMEL, Technische Dynamik. Eerste druk, Berlijn 1939, biz. 135. 8. Idem, biz. 142.

9. TIMOSHENKO, S., en S. WOINOWSKy-KRIEGER, Theory of Plates and Shells. Tweede druk, New York 1959, biz. 202.

10. Idem, biz. 342. II. Idem, biz. 348.