Zjawiska chaosu deterministycznego w modelach systemów ekonomicznych

Pełen tekst

(1)2003. Jacek. Wołoszyn. Kateclra •• f.rtllatykl. Zjawiska chaosu w. systemów Streszczenie: serwować można. Badając. zachowanie się nicliniowych systemów dynamicznych zaob-. zjawisko chaosu deterministycznego . Pojęcie to okrcsla nieregularny. ruch lub nieregularne oddziaływania występujące w całkowicie zdeterminowanym systemie. Wiele systemów ekonomicznych ma nieliniowy charakter. Uwzględnienie nieliniowosci w modelu takiego systemu może ułatwić wyjaśnienie mechanizmów pojawiania się nieregularnych. wartości. obserwowanych zmiennych, co w wielu przypadkach. jest z efektem występowania zjawiska chaosu . Artykuł prezentuje próbę badania pewnych aspektów i własności wspomnianego zjawiska 1.0 szczegółnym odniesieniem do systemów opisywanych przekształceniem łogistycznym. Słowa kluczowe: chaos deterministyczny, modeł matematyczny systemu dynamicznego. trajektoria. atraktor. związane. 1. Wat., Od pewnego czasu zaobserwować można zainteresowanie nowym spojrzeniem na zjawiska występujące przy badaniu dynamiki systemów. Zjawiska te określa się terminem cha(}s deterministyczny . Pojęcie chaosu kojarzone bywa z brakiem wewnętrznego porządku i przypadkowością. Określenie deterministyczny jest natomiast zwykle używane w odniesieniu do zjawisk. którymi rzą dzi porządek i których przebieg jest w pełni przewidywalny . Moi.na się więc slusznie domyśłać, że sformułowanie chaos deterministyczny jest związane ze zjawiskami występującymi w systemach deterministycznych, ale przebiegają cymi w sposób chaotyczny. O tym. że systemy dynamiczne. w których obserwowany jest chaos deterministyczny. faktycznie istnieją, przekonuj" obserwacje astronomiczne ruchu niektórych cial niebieskich..

(2) Jacek Wo!nszyn. Chaotyczne zachowanie się obiektów deterministycznego systemu dynamicznego nie jest powodowane występowaniem wielu trudnych do zmierzenia oddzialywań pochodzących z otoczenia badanego systemu ani nic jest efektem zlożoności obliczeniowej procedur wyznaczających trajektorie ruchu tych obiektów na podstawie przyjętej teorii . Chaos wynika z istoty relacji wiążących elementy systemu dynamicznego i najczęściej jest zwi'lzany z wrażliwością systemu na warunki początkowe. Działanie przejawiaj'lcego chaos systemu, który w sposób zdeterminowany porusza się w przestrzeni swoich stanów. zależy bardzo ściśle od stanu początkowego tego systemu. Startuj'lc z dwóch bardzo blisko położonych punktów w przestrzeni stanów, system w każdym przypadku po pewnym czasie znajduje się w dwóch zupełnie różnych i zdecydowanie odległych od siebie punktach. Sama idea zjawiska chaosu deterministycznego nic jest nowa. Już Henri Poincare ponad sto lat temu zauważył , że system mechaniczny rządzony klasycznymi prawami dynamiki może w pewnych warunkach zachowywać się w sposób chaotyczny. Podobne zachowanie wykazują również inne systemy dynamiczne . Doskonałym esejem poświęconym historii badania chaosu deterministycznego jest bardzo przystępnie napisana praca I. Stewarta [ 1996]. Koniecznym warunkiem pojawienia się chaosu w systemie deterministycznym jest występująca w tym systemie nieliniowość. Klasyczna dynamika stara s ię opisać badany system układem liniowych równań różniczkowych. Rozwią zanie tego układu daje pełną odpowiedź na pytanie o przyszłe zachowanie się badanego systemu w dowolnym horyzoncie czasowym. Systemy, w których występują nieliniowości, musz'l być opisywane nieliniowymi równaniami rÓŻ niczkowymi , a ich rozwiązanie potwierdza chaotyczne zachowanie się systemu. Model w postaci układu nieliniowych równań różniczkowych z reguły nie pozwala na dokladne przewidzenie stanu systemu w długich przedziałach czasu. Większość realnych systemów ekonomicznych ma z natury rzeczy nieliniowy charakter [Zawadzki ł996] . Tworząc model matematyczny takiego systemu zwykle dokonuje się jego linearyzacji. co pozwala sprowadzić badanie dynamiki systemu do znalezienia jego stabilnych stanów i ogranicza obliczenia do rozwiązania układu równań algebraicznych. Takie podejście niejednokrotnie przypomina .,wylewanie dziecka razem z kąpielą". Często wszystkie obserwacje. które nie pasują do modelu liniowego. a także inne uproszczenia konstruowanego modelu matematycwego , uznaje się za "czynnik losowy" . Można oczywiście rejestrować wanoki czynnika losowego jako odcbylenia rzeczywistego zachowania się systemu od zachowania się jego matematycznego modelu, a następnie badać własności czynnika losowego bogatym zestawem różnorod nych narzędzi analizy statystycznej..

(3) chaosu. w modelach .... 2. Prosty Illode' systeMu z chaOSOM Chaos deterministyczny oznacza ruch nieregularny pojawiajqcy się w nieliniowym układzie dynamicznym, którego zachowanie w czasie określają prawa ruchu pozwalające jednoznacznie i w sposób zdeterminowany na wyznaczenie przyszłych zachowań na podstawie znajomości bieżącego stanu układu [Schuster ł995]. O chaosie możemy powiedzieć krótko, że jest to stochastyczne zachowanie występujące w deterministycznym układzie. Chaotyczne zachowanie się dynamicznego systemu niełiniowego wynika bezpośrednio z jego dużej wrażliwości na warunki początkowe w momencie rozpoczęcia obserwowania ruchu systemu. Niewielka nawet zmiana punktu startowego w przestrzeni stanów badanego systemu daje efekt w postaci zupełnie innego zachowania się tego systemu w czasie. Dwa bardzo blisko położone punkty początkowe w przestrzeni stanów wyznaczają dwie trajektorie, które przy poruszaniu się w kierunku upływającego czasu rozchodzą się coraz bardziej. Jeden z najprostszych przypadków występowania zjawiska chaosu deterministycznego [Stewart ł996) zaobserwować można iterując formułę następują cej postaci: XI + l. = 2x? -. I. (2.1 ). Równanie (2.1) uważać możemy za model matematyczny systemu, którego stan opisuje jedna zmienna x. Nasz system jest nieliniowy ze względu na występującą w opisującym go równaniu funkcję kwadratową. Po wybraniu pewnego punktu startowego Xo odpowiadającego chwili czasu I = O, z zależności (2.1) jednoznacznie (w sposób deterministyczny) wynika stan systemu w następnej chwili czasu I = I. Powtarzając obliczenia dla kolejnych momentów czasu otrzymujemy szereg czasowy reprezentujący zachowanie się badanego systemu. Na rys. I przedstawiony został wykres wartości zmiennej x otrzymanych w wyniku wykonania 200 kolejnych iteracji równania (2.1) przy wyborze wartości początkowej X o = 0,387ł96. Nawet pobieżna analiza wykresu zamieszczonego na rys. I prowadzi do wniosku, że badany system zachowuje się w sposób chaotyczny. Interesujące jest zbadanie,jak ten system zachowuje się w dluższym okresie czasu. Proces iteracyjnego wyznaczania wartości zmiennej x za pomocą formuły (2.1) został przedłużony do 10000 kroków. Rys. 2 pokazuje wykres wartości zmiennej x otrzymanych w krokach od 980 I do 10 000 . Porównanie przebiegów wartości zmiennej x otrzymanych z równania (2.1) w iteracjach 1-200 oraz 9801-10000 pozwała na stwierdzenie, że w obydwu przedziałach symułowanego czasu nasz system dynamiczny zachowuje się w przybliżeniu "jednakowo chaotycznie"..

(4) Jacek. 1,O 0,8 0 ,6 (1,4. 0,2. 0.0 -ll,2 -ll.4 -ll,6 -{l ,8 ~ IO ,. Rys. I. Odwzorowanie X , + 1= 2x,' - I, wanoSć początkowa Xo = 0.387196, iteracje 1- 200 Źródło: opracowanie własne,. 1.0 0,8 0,6 0,4. 0,2. 0.0 -ll,2 -llA -ll,6 -ll,8 ~ I.o. Rys. 2. Odwzorowanie x, + I =h,' - I, waność 9801 - 10000. początkowa x". =0,387196, iteracje. Źródło: opracowanie własne .. Wspomnieliśmy wcześniej. o. dużej wrażliwości. systemu nieliniowego z chaosem na warunki początkowe. Jeżeli zmienimy nieznacznie wartość początkową x" i powtórzymy proces obliczeń iteracyjnych, to otrzymamy zupełnie różny obraz zachowania się systemu dynamicznego opisanego równaniem (2.1). Przesuwając bardzo nieznacznie punkt startowy o 0,00000 I, otrzymujemy nową wartość początkową x() = 0.387197, dla której powtarzamy obliczenia. Rys. 3 przedstawia wykres bezwzględnych wartości różnic pomię dzy rezultatami obydwu procesów iteracyjnych..

(5) Zjawiska. ""(lOSU d(~ / ermillisty cz. lleg() Hl. m()(/dach .... 2.0 I .8 1.6 1.4 I .2 I.U. 0.8 0.6 004 0,2. 0.0. Rys. 3. Różnica w zachowaniu się systemu .tt+ 1= 2x/ - I dla wartosci początkowych odleglych od siebie o 0,00000 l, iteracje 1-200 Żródlo: opracowanie własne .. Łatwo zauważyć, że już po. okolo 20 krokach iteracji ciągi wartości zmiennej x w naszym prlykladowym modelu systemu dynamicznego zupelnie rozchodzą się, dając dwa różne przebiegi chaotyczne. Charakterystyczne jest jednak to, i.e w pewnych momentach symulowanego czasu obydwa przebiegi zbliżają się do siebie na bardzo niewielką odleglość, a następnie ponownie rozchodzą się w sposób zdecydowany. Dla przykladu w 24 I 4 kroku iteracji badane przebiegi różnią się tylko o 0,000066, ale 9 kroków później ich różnica przyjmuje prawie maksymalną wartość 1,9 I 269 I .. I ,0 0,8. 0 .6 0,4 0.2 0 ,0 -0 ,2. -0.4. -0 .6 -0.8 - I ,o. Rys. 4. Chaotyczne z.achowanie się systemu x/ + I 1-200 Źródło : opr~cowallic własne .. = 2x/, -. I dla x(}. =050000!, iteracje.

(6) Jacek WoloJzyn Eksperymentując dalej z modelem naszego systemu stwierdzamy, że nie wszystkie wartości początkowe x" prowadzą do generowania przebiegu chaotycznego. Wartość początkowa x" = 0.5 powoduje, że w systemie (2.1) powielana jest w nieskończoność liczba -0,5 . Niewielka jednak zmiana tej .,spokojnej" wartości początkowej, na przyklad Xo = 0.50000 l, prowadzi już do. znanego nam zachowania chaotycznego pokazanego na rys . 4 . Stabilne zachowanie się systemu opisanego równaniem (2.1) uzyskujemy również dla kilku innych wartości początkowych: x" =-0,5, x" =- l.. 3. Chaos w odwzorowaniu logistycznym W ekonomii, a także w innych dziedzinach nauki, wykorzystywana jest czę sto funkcja logistyczna [Stanisz 1993], mająca dla stalych parametrów rzeczywistych a > O, b > l, c > O postać:. a x(t)---"-------: - l + be-r ,. (3.1). Funkcję logistyczną można rozpatrywać jako rezultat odwzorowania logistycznego. Obliczając pochodną funkcji X(I) względem czasu, otrzymujemy zależność:. dx(t) _. -. którą. w wyniku elementarnych. abc e-d. przekształceń zapisać można. dr(t) c . =-x(I)(a - x(t». dl. a. (3.2). w postaci: (3.3). Wyrażenie nazwę. (3.3) ma formę równania różniczkowego, noszącego również równania Robertsona. którego rozwiązaniem jest funkcja logistyczna. (3.1). Spróbujmy przekształcić równanie Robertsona do nieco prostszej postaci. Po zdefiniowaniu pomocniczej funkcji y(t): y(t) = x(t). a. (3.4). i podstawieniu jej w miejsce x(l) w równaniu (3.3), otrzymujemy prostszą postać równania różniczkowego, w którym występuje tylko jeden parametr c:. y = cy( l -. y). (3.5).

(7) w modelach .... Zjawiska chaosu. przy czym symbol y oznacza funkcję y(I), a symbol y oznacza jej pochodną względem czasu I. Wykres funkcji logi stycznej ma charakterystyczny sigmoidalny kształt. Funkcja jest rosnąca w calym przedziale zmienności . Najpierw jej wartości rosną coraz szybciej, a po osiągnięciu pewnego poziomu prędkość wzrostu funkcji maleje do zera. Efektem tego jest asymptotyczne ustalanie się wartości funkcji dla rosnącego nieograniczenie argumentu l. Rys. 5 przedstawia wykres funkcji logistycznej dla wybranych wartości parametrów a = I. h = 20 oraz c=O,Ql.. 1.0 0,9 0,8 0,7 0,6. 05 0.4 0,3. 0 .1 0,0. o. 200. 400. Rys. S. Wykres funkcji logislycznej x(t) = Źródło: opracowanie własne .. 600. 800. }(XX). ~. dla a =l, b =20, c =O,oJ l + r" •. Funkcja logistyczna dobrze oddaje charakter przebiegu wielu zjawisk ekonomicznych, a także zjawisk występujących w innych systemach (np. biologicznych, technicznych). Wiele przykladów zastosowania funkcji logistycznej w badaniu zagadnień ekonomicznych można znaleźć w literaturze [Stanisz 1993, Hellwig 19901 . Numeryczne przybliżenie rozwiązania równania (3.3) uzy skać można przekształcając równanie różniczkowe do postaci równania różnicowego, które dla dyskretnie zmieniającego się czasu t oraz przy I'.t = I , prowadzi do zależności iteracyjnej :. c x(t + I) = x(t) + - x(t)(a - x(t») a. (3.6). Na rys. 6 przedstawiony zostal wykres funkcji uzyskanej jako numeryczne rozwiązanie równania różnicowego dla wartości parametrów a = I. c = 0,Ql. Wykonano 1000 kroków obliczeń iterując zależność (3.6), poczynając od war-.

(8) JlU:ek toś ci początkowej x(O) = 0,047619 . Taka wartość początkowa zostala wybrana dla uzyskania zgodności z wartością funkcji logistycznej w punkcie 1 = O przy takich samych wartościach parametrów a oraz c. Procedura iteracyjnego rozwią7.ywania równania różn icowego daje rezultaty wyjątkowo zgodne z faktycznymi wartościami funkcji logistycznej (wyk resy na rys . 5 i 6).. I .0 0,9. 0.8 0.7. 0,6 Oj 0,4. OJ 0,2 0, I 0 .0. o. Ry s. 6.. 100. 200. Rozwiązanie. 300. 400. 5lXl. 600. 7(XI. 800. 'XX). 1000. równania rói..nicowcgo dla a::: I. c::: 0,01. Zródlo; opracowanie własne . każdej wartości parametru c formuła iteracyjna (3.6) daje stabilne rozwiązania w postaci zbliżonej do funkcji logistycznej. Przy pewnych wartośc iach tego parametru występuje zjawisko chaosu . Na rys. 7 przedstawiony został wykres rozwiązania iteracyjnego dla wartości parametru c = 1.7, przy czym linią przerywa ną pokazano przebieg funkcji logistycznej .. Nie dla. 1,2 1.0. ,• •. •. •. 0,8. • • •. • •, • • • • • •. 0,6 0,4. 0,2. •. • •. ,,••. •. 0,0. O. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. Rys. 7. Iterowanie zalcżnosci (3.6) dla II = I, (' = 1,7, iteracje l- 50 Źródło ; opracowanie własne.. 40. 45. 50.

(9) Zjawiska chaosu deterministyczn ego. I-i' modelach .... Zwię k szaj~c w a rt ość parametru c obserwujem y powolne , ale zdecydowane oddalanie s i ę rozwiązania iteracyjnego od przebiegu fun kcj i logistycznej . Widać to wyraźni e w przypadku c 2.0 i c 25 , co pokazują wykres y na rys . b i 7 . Wartość c = 2 ,0 pelni w przybli że niu ro lę granicznej wart ośc i tego para metru. dla której oscylacje gasnące prze k s zt alc ają s ię w oscylacje o rosnącej lub. =. =. okresowo zmiennej amplitudz ie (przebieg taki ilustruje rys. 7) .. t ,2 t ,o. ,. .. •. • •·. OR •. 0,6 0,4 0.2. ,··. · ··· ··• · ·•• ··•· • •· · • •· • · ·· •. •. •. 0,0 5. O. Rys. 8. herowanie. to za l eż n ośc i. t5. 20. 25. 30. 35. 40. 45. 50. (3 .6) d la li = I, C = 2.0, iteracje l-50. Żródło : opracowanie wł asne.. 1.2 1,0. ..... . ... ". ... ... . " .. .. . ....... ... . .. .. ...... .... ... .... . .. .. .. . - .... ... . .. .... ...... ,. ·. • • • , • • • • ,• • •. 0 ,8. · ·. 0,6. · ·•· · ·••. 0,4. 0.2. • • • •. · ·•· • •. 0 ,0 O. 5. Rys. 9 . herow anic Żr6tJło:. 10 z ależno ści. tS. 20. 25. 30. 35. 40. 45. 50. (3.6) dla li = I, C = 25, iteracje l- 50. opracowanie własne . ,. Okresowo ść rozw i ązan i a. równani a różni cLwego (3 .6) wyklucza wys t ę po wanie zjawi ska chaos u deterministycznego. Przy dalszym z więk szaniu wartośc i parametru c, w przybli że n i u przy c = 2,57, pojawia s ię w ra żli wość proces u.

(10) Jacek. wyznaczania rozwiązania na warunki początkowe iteracji. Na rys . 8 przedstawiony zostal wykres rozwiązania iteracyjnego dla c = 2,95, w którym obserwujemy dobrze rozwinięty chaos. Obliczenia przeprowadzone zostały w dwóch seriach dla 1000 kroków iteracji. Każdą serię rozpoczynał inny punkt startowy, ale odległość pomiędzy wartościami początkowymi tych dwóch procesów iteracji wynosiła zaledwie 0,000001. Ta niewielka różnica wartości początkowych stała się wystarczającym powodem zupełnie różnych zachowań dynamicznych badanego systemu (rys . 9).. I .2 1.0. 0.8 0,6 0,4. 0.2 0.0. o. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. 180. 200. Rys. 10. Chaos w odwzorowaniu logistycznym dla a = l, c = 2,95, iteracje l-2oo Żródło: opracowanie własne .. 1,5 1,0. 0,5 0 .0. -0,5 - 10 •. -1,5. Rys . II . Różnice w zachowaniu się systemu Z odwzorowaniem logistycznym dla a = l, e = 2,95. przy dwóch wartosciach początkowych odległych o 0,00000 l, iteracje l - łOOO Żr6dlo:. opracowanie własne ..

(11) Zjawiska chaosu deterministycznego w modelach .... 4. Dynamika w przestrzeni fazowel Badanie zachowania się systemu dynamicznego poprzez bezpośrednią analizę wartości zmiennych obserwowanych w tym systemie jest często stosowaną metodą w przypadku systemów ekonomicznych. Wartości pewnej zmiennej w kolejnych momentach czasu tworzą szereg czasowy, który można badać róż nymi metodami specjalnie w tym celu opracowanymi. Odmienne podejście polega na przedstawieniu trajektorii ewolucji badanego systemu w przestrzeni fazowej.. 1.0. T/\. I ,2 I 'i--. 0,5. N. 0.0 -0,5. -1.0. Rys. 12. Sinusoidalne oscylacje obserwowane w pewnym systemie Żródło:. opracowanie własne.. Stan systemu dynamicznego w wybranym momencie czasu opisać można wartościami pewnych zmiennych zaobserwowanych w systemie w tym momencie czasu. Zespół wartości tych zmiennych traktować możemy jak punkt w wielowymiarowej przestrzeni stanów systemu. W prostych przypadkach występuje dwuwymiarowa przestrzeń mająca postać płaszczyzny fazowej.. x. Rys. 13. Wykres fazowy w przestrzeni stanów systemu dynamicznego Źródło:. opracowanie własne,.

(12) Ja cek. Rozpatrzmy dla przykladu system, w którym obserwujemy sinusoidalny przebieg wartości pewnej zmiennej . Rys . 12 przedstawia wykres takiej zmien nej w czasie. Analizując wykres latwo można się przekonać, że wartość zmiennej w pewnej chwili czasu nic wystarcza jeszcze do pelnego opisu stanu tego systemu (punkty oznaczone na rys. 12 przez I i 2 rcprezcntuj,tjednakowe warlOści zmiennej, ale róźne stany dynamiki rozważanego systemu) . Konieczna staje się znajomość pochodnej tej zmiennej względem czasu. Dwie wielkości - polożenie i prędkość - jednoznacznie wyznaczają pewien punkt odpowiadający określonemu stanowi w przestrzeni stanów badanego systemu. Zbiór wszystkich takich punktów przedstawia trajektorię - wykres fazowy, opisującą ewolucję badanego systemu w czasie. Wykres fazowy dynamiki systemu, w którym obserwowane są sinusoidalne oscylacje pokazany zostal na rys. 13 .. 1.0. r/\. 0.5. 0.0. -+- --l- -+- --l- -. - -. -. f-I-+-I-f-Irl -+-+--+-+-. -{)5. - 1.0. Rys. 14. Zmniejszające. się. oscylaCje sinusoidalne. Zródło: opracowanie własne .. Rys. 15. Wykres fazowy z zazmlczonym atraktorem Zródło : opracowanie własne..

(13) chaosu deterministycznego w moddach .... aj r~- - ~ ""'"''. ._._.-. .. - 0 .0 _. _. _ _ _ _. _ ._ _ _. . _ . _. - . - . - - - - . - - - - , , - .. l ,0. !. -"l. ----- --- - -- --,, -. ;. 0$. •. I. 0,6. !. .. ".. ".."..,,_. .... ".. -..._" ,.... ----_.---- _._----- -!. I. liKI ,O. .,. ,,r f I. ,,. .. b). ;. •. I. Ii ,. 50 ,0. 0,4. I. 0,2. 0,0. ... , .'.\"..\. 50. •. •,. OJI. 150. 50. , - 0,2. 150. •. ,,. - 50,0. , .\ ,. ,. - 0.4. I,,. -0,6. - 100 ,0. I. -(J ,8. I. I. II. - 1.0. _.. e). ----- .._._._ .. ,.., -. ,[. -. '- ,, ~ _. ,. .J. .._-.-'._... _"'_ .. --_. ... -- ._- .. ----__. - 150 ,0 L~. __. ~. _ _ _ _ __ __. •• _ _ _ _ _. d). ........ " -".......... _. 1,0. . . _. _ _ _ _ _ • _. .. _ ,. ! _ __ __I, _. .... "._.... ........ ... _. ---. _. ----. liK) ,O. I. 0,8 0,6. 50,0. 0.4. 0 ,2 , •. 0,0. 150. ,. ". ,. ,. .. ,. - 50 ,0. •. '. ' ,. '" ,-_. ' '.. ,,. -0,4. ISO. 50. ••. ,. - (J ,2. 0,0. ,. .. - 0 ,6. ,. - IIX) ,O. ..jl ,g. ! l. - I ,O. - 150,0. L. ...._. . . ,.", ....._'" .. , ,,,... , .. _"O, .. "_.,, _ " . "" .,,,.. .. ........ .. .. ... Rys. 16. Warunki P(lCZillkowe a) x(O) Źródło : opracowanie wla.~nc.. .. ..... ................ ". ". ... ",. '". ". .. " , " .. , ,, " .. ". ""' ,. =o,no I. b) .1(0) =I ,O, c) ,,(O) =120, u) x(OJ = 120.

(14) Jacek Wolos::: wI Weźmy. pod uwagę jeszcze jeden przyklad systemu. w którym obserwowane sq oscylacje o amplitudzie malejącej asymptotycznic do pewnego ustalonego poziomu. Wykres czasowy pokazany zostal na rys . 14. a obraz fazowy na rys . 15 . Tym razem otrzymany obraz n" plaszczyźnie fazowej ma zupelnie inny charakter w porównaniu z poprzednim przykladem . Wykres fazowy ma kształt zacieśniaj'lcej się spirali. która dąży do wewnętrznej elipsy zaznaczonej na rys. 15 grubą linią. Zaznaczona elipsa jest atraktorem, czyli zbiorem punktów wykresu fazowego s tanowiących granicę. do której dążą ("I przez ni'l przyci'lgane) wszystkie przebiegające w poblii.u trajektorie .. 5. Odwzorowanie logistyczne w przestrzeni stanów Wróćmy. do rozpatrywanego przez nas odwzorowania logistycznego . W sposób iteracyjny obliczana formula (3 .6) generuje szereg czasowy. który dla róż. nych wartości parametru c wykazuje różny charakter zachowania się badanego systemu. Do sporzqdzenia wykresu fazowego konieczne jest zbudowanie podobnego szeregu czasowego opisującego pochodlHl zmiennej x względem czasu. Naturalną metodą uzyskania pochodnej jest poslużenie się pierw""l róż niq ciągu wartości tej zmiennej. Podobnie jak poprzednio, przyjmuj'le!J.t = I. otrzymujemy zależność: dt(t). ". = Ax = X(I + I) - x(r). (5.1 ). {/. Zaloi.no ś ć. (5.1) prowadzi do prostej metody otrzymywania szeregu czasowego reprezentującego pierwszą pochodną pewnej zmiennej względem czasu. Szereg ten tworzą pierwsze różnice szeregu czasowego zmiennej. Przeprowadzając iteracyjne obliczenia na podstawie zależności (5.1), zbu dować możemy wykres fazowy odpowiadający badanemu systemowi . Obliczenia, które poslużyly do zbudowania wykresu zamieszczonego na rys. 16a, obejmowały 200 iteracji i zostaly wykonane dla parametrów systemu (3.6) a = 100, e = 3,0 oraz wartości początkowej x(O) = 0,001. Poszczególne punkty obrazu fazowego (zaznaczone na wykresie grub:llinią złożoną z odrębnych punktów) poląezone S'l odcinkami cienkich linii prostych, które obrazują przechodzenie systemu pomiędzy jego różnymi stanami . Osie wykresu reprezentują odpo-. wiednio:. wartości. x itcrowancj zmiennej. (oś. pozioma wykresu) oraz. wartości. pierwszych różnic Ax tej zmiennej (oś pionowa). Zbiór punktów w przestrzeni stanów jest atraktorem,jeżeli dąż:l do niego wszystkie pobliskie trajektorie. Punkty obrazu fazowego na rys. 16a ukladają s ię w zarys atraktora badanego systemu. Powtarzając kilka razy przeprowadzone obliczenia iteracyjne i zmieniaj'lc warunki początkowe. otrzymujemy ten sam ksztalt atraktora (rys. 16b i 16c)..

(15) . " chaosu determin istycznego w modelach".. al. -- -._.. __... .. .._-----._.. ". ". _------- ~. bl r' ...........-.-..........-.------. -. __. ..-_.--... _._---. o .---- -. -. ,;• ,. 200 ,O. 200 ,0 150,0. •. I. )(XI,O. 50,0 0 ,0 150. I(XI. - 150 - J(X). -50,0 - I(X) ,O. l : ,. ,, ,. - 150,0. - 150,0. ,l,. - 200,0. - 200 ,0 - 250,0. - 250 ,0. el. dl. ---_ ... ) -------------. _.~--. !. i,, ,,. 2(X),O ISO. .o. !. ,I,. I,, ,. I, •. ,• , I ,, ,. , ,I ,, ,, I , , 100 • •. -150 -100. - 50 - 50,0. I,. i !. -1 00 ,0. !, I. - 150,0. I. '. __ .. , ••. , .. . , _....... .. . _._ . ... .. ._" ..... _ .. .. Rys. 17 . Wykresy w przestrzeni iteracj i. dl x'" i x, 3000 iteracji Zródło :. opracowanie własne .. 2(X) ,o. •. IIXI ,O. 150. 50 - 1000 ,. ). I •. -200 ,0 -](XI,O -4(XI,O. - 250 ,0 o-o. _ _ _ '0_. ,,. I. - 2(XI,O. L.. . ..... .. _. ,. ,., ".,., ,.".,. . ,._... ~. ] IX),O. ,. I. •. 400,0. określonej. .. ... ----_ .. --_ .... __ .... ..... _-_ .... ...._ ' "" ' """" ' _ ......... " ..... ~_._. .. ,_ ..... "" .... ,. ". ..... -. ._.... .. przez: al x" i x, hl x" i x'. c) x" i x', '50().

(16) Jak łatwo zaobserwować, analizując wykresy z rys. 16a,b.c radykalna zmiana warunków początkowych reprezentowanych przez okreś lony punkt w przestrzeni stanów badanego systemu nie wpływa na zmianę kształtu atraktora. Zmiana la powoduje jednak zdecydowanie inne zachowanie się tego systcmu w czasie (obserwujemy występowanie chaosu deterministycznego) . O chaosie św iadczy również duża wrażliwość syslemu na warunki począlkowe . Na rys. 16d przedstawiony został wykres samego atraklora, bez odcinków łąc"lcych poszczególne jego punkly . Liczba ileracji zoSlała zwięks zo na do 1500 . Olrzymany atraktor uzyskał w ten sposób dużo bardziej regularny i wyrazisty kształt.. 6. Zmiana przestnenl .tanów Dotychczas rozważali ś my dwuwymiarową przestrzeń stanów wyznaczon'l przez zmienną opisująC'1 zachowanie się systemu oraz pochodml tej zmiennej względem czasu . Można spróbować zbudować obraz fazowy badanego systemu wybierając inne wielkości jako współrzędne płaszczyzny fazowej. Wykorzystamy jeszc ze raz system dynamiczny opisany omówionym wcześ niej odwzorowaniem logistycznym . Przyjmijmy jako współrzędne wykresu fazowego zmicnn'l x reprezentująq zachowanie się systemu w czasie oraz drugą pochodną tcj zmiennej względem czasu d 2xldt l. Drugą pochodną względem czasu zmiennej x będziemy przybliżać za pomoq drugiej różnicy tej zmiennej (rÓŻnicy rÓŻnic) . Obliczajqc. podobnie jak poprzednio, w sposób iteracyjny kolejne wartości zmiennej x na podstawie zależności (3.6) ()faz dwukrotnie stosując zależność (5.1). zbudować możemy wykres fazowy odpowiadający naszemu systemowi. Na rys. 17a przedstawiono wykres fazowy dla 200 iteracji wykonanych przy a = 100. c = 3 ,0 oraz wartości początkowej x(O) = 0,1. W podobny sposób skonstruowany został wykres fazowy badanego systemu w przestrzeni stanów określonej przez pierwszą i drugą pochodn'l zmiennej x. Rys. 17b przedstawia wykres fazowy wykonany na podstawie 200 kroków iteracji dla a = 100, c = 3,0 oraz wartości początkowej x(O) = 0.1. Na rys. 17c wykres dla tych samych wartości parametrów obejmuje ł 500 kroków iteracji i daje.jak widać, bardziej wyrazisty obraz fazowy systemu. Weźmiemy jeszcze pod uwagę trzeci'l pochodną względem czasu zmiennej x zwi'lzanej z odwzorowaniem logistycznym. Rys. 17d przedstawia wykres fazowy systemu w przestrzeni określonej wartościami zmiennej x oraz jej trzeciej pochodnej x'''. Wykres ten uzyskano w efekcie wykonania 3000 kroków iteracji dła a = 100. c = 3 ,0 oraz wartości początkowej x(O) = 0.1 ..

(17) Zjawiska chaosu deterministycznego w modelach .... 7. Uwagi. końcowe. Przedstawione w pracy rozważania należy traktować jako zarysowanie problemu chaosu deterministycznego, którego elementy można zaobserwować również w modelach systemów ekonomicznych. W większości przypadków badane systemy ekonomiczne są z natury rzeczy nieliniowe, a ich liniowe modele to jedynie efekt uproszczeń rachunkowych, które stajq się coraz mniej istotne w dobie rozwijającej się techniki komputerowej. Uwzględnienie nieliniowości w modelowanych systemach może pomóc w wyjaśnieniu mechanizmów pojawiania się nieregularnych wartości ohserwowanych zmiennych, co w wielu przypadkach może być efektem występowania zjawiska chaosu. Wiele uwagi w niniejszej pracy poświęciliśmy badaniu chaotycznego zachowania się modelu matematycznego mającego postać odwzorowania logistycznego. Odwzorowanie to jest bardzo często wykorzystywane przy tworzeniu modeli systemów ekonomicznych. Odwzorowanie logistyczne ma zwykle formę równania różniczkowego, które przekształcone do postaci równania rÓŻ nicowego poddawane zostaje procesowi iteracyjnego rozwiązywania. Takie postępowanie może budzić zastrzeżenia dotyczące dokładności uzyskiwanego rozwiązania, ponieważ otrzymane wyniki to rozwiązanie równania różnicowego, a nie różniczkowego. Należy przy tej okazji zwrócić uwagę na istotną prawidłowość - zjawiska ekonomiczne mają w większości charakter dyskretny i w związku z tym bardziej naturalnym narzędziem ich opisu są układy równa'] różnicowych. Paradoksalnie, to równanie różniczkowe stanowi przybliżenie dynamiki rzeczywistego systemu ekonomicznego. Dalsza analiza wykresów fazowych odwzorowania łogistycznego może w rezultacie prowadzić do skonstruowania nowych metod szacowania parametrów tego odwzorowania na podstawie posiadanych danych empirycznych. Pewne uproszczenia obliczeniowe w tym zakresie związane są z tworzeniem wykresów fazowych wykorzystujących opóźnione szeregi czasowe. W podobny sposób można myśleć o nowych metodach uzyskiwania parametrów pewnych modeli matematycznych systemów o innej dynamice niż dynamika odwzorowania logistycznego. Należy mieć świadomość, że poszukiwanie występowania chaosu deterministycznego z pewnością nie zastępuje badania systemów dynamicznych przy pomocy dotychczas stosowanych metod. Analiza zachowania chaotycznego może jednak ujawnić zupełnie nowe zależności dynamiczne badanego systemu.. Literatura Hellwig Z. [1990], Krzywi' logistya,llll i logloXislycZJlll i ich wykorzystanie do lInalizy i l'kstra-. po/mji ekmlOmicznych szeregów czasowych, Folia Occonomica Cracoviensia, vol. XXXIII. Schusler H.G. [ J 995[, Chaos detaminisfyczny. Wprowadzenie. PWN, Warszawa. Stanisz T. 119931, Funklje jedm'j zmiennej w badaniach ('kofJomicznych. PWN, Warszawa..

(18) jacek. WO/OSZYII. Slc.wart 1.11996}. Czy Bog gra w ko.l'ci? Nowa matematyka (:hoosu. PWN , Warszawa . Zawadzki H. 119961. Chaotyczne sy.\"ltmly dYllamiczne. Elementy teorii i wybralll' przyklatly ekollomic:.,IC, AE w K.Howicach, Katowice.. Determlnlsllc Chaos Phenomena In the Models o, Economlc Systems The ana lysis of behaviour or non-linear dynamie systems Icads lo Ihe observation ot" detcrministic chaos phenomena, which mean irregular moves or irregular cllccts uccurring in a com pletcly deterministic system . Many cconomic systems havc a n()n ~ linear character. When non ~ linear reJations in the model or su ch a system are lak en ioto accounL the reasons of OCCu rrence of irregular vaJues of the considcred variabJes (often connecled with the chaos phenomenon) could be casier and better explained. The artiele presenls an altcmpt at analysing certain aspecls and features of su ch phenomena with particular emphasis on systems described by the logislic Iransformation..

(19)