Prawdopodobieństwo i Statystyka
Rozkład Bernulliego
Rozkład Dwupunktowy
Rozkład dwumianowy, nazywany również rozkładem Bernoulliego, to rozkład prawdopodobieństwa
opisujący liczbę k sukcesów w n próbach przy stałym prawdopodobieństwie sukcesu p. Prawdopodobieństwo wyliczamy na podstawie wzoru: Rozkład Bernulliego
teraz rozkład Bernoulliego:
Rozkład binominalny (Bernoulli'ego)
Wartość oczekiwana (średnia) i wariancja (tym samymodchylenie standardowe)
dla pojedynczej próby (sukces to 1, porażka 0);
Dla sumy n zdarzeń losowych, czyli dla rozkładu dwumianowego:
npq
p
2
1
3−
=
γ
npq
pq
6
1
4−
=
γ
p
q
p
x
E
(
i)
=
1
⋅
+
0
⋅
=
q
p
q
p
p
p
p
x
E
x
x
V
(
i)
=
σ
2(
i)
=
{(
i−
)
2}
=
(
1
−
)
2⋅
+
(
0
−
)
2⋅
=
⋅
p
n
p
x
x
E
n i=
=
∑
=
⋅
=1 1)
(
)
q
p
n
x
x
V
(
i)
=
σ
2(
i)
=
⋅
⋅
średnia: wariancja: asymetria i eksces:Wariancja V( x ) = n p q
jest największa dla p = 0,5 Dodatkowo
wariancja dla p = 0,5 – y oraz dla p = 0,5 + y
jest taka sama, to znaczy, że jest symetryczna względem p = 0,5 dla p = 0.25 i p = 0.75
w obu przypadkach otrzymamy 0,1875 n
Rozkład Bernulliego
Dalsze cztery slajdy są powszechnie znaną ilustracją
sumy n zdarzeń zero – jedynkowych, ilustrowanych 'deską Galtona'.
Rozkład binominalny (Bernoulliego)
Ruch kulki na tablicy Galtona
rozproszenie w prawo P, rozproszenie w lewo L
Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się więc z dwóch elementów E = P + L
prawdopodobieństwa P i L są sobie równe i wynoszą 1/2
Po pierwszym zdarzeniu natychmiast następuje drugie, po drugim trzecie itd.
Każde rozproszenie jest więc oddzielnym doświadczeniem zdarzenia poszczególnych rozproszeń są od siebie niezależne
Powstaje pytanie
- o ile przesunie się kulka po przejściu wszystkich rzędów kołeczków? Jeśli liczba ich rzędów wynosi n,
kulka rozproszyła się k razy w prawo i n-k razy w lewo, to rozproszenie końcowe będzie
Rozkład binominalny (Bernoulli'ego)
rozproszenie w prawo to "sukces", a rozproszenia w lewo "porażka", Jakie jest prawdopodobieństwo k sukcesów
w n wykonanych próbach (doświadczeniach)
Prawdopodobieństwo tego, że kuleczka rozproszy się k razy w prawo i n-k razy w lewo wynosi wiec
Jeśli k=n, to wszystkie rozproszenia muszą być w prawo taka sytuacja realizuje się tylko na jeden sposób. Tak samo jest dla k=0.
Intuicyjnie wyczuwamy, że największe liczby kombinacji będą dla k bliskiego n/2 Liczba możliwych kombinacji
Rozkład binominalny (Bernoulli'ego)
Prawdopodobieństwo tego, że kulka rozproszy się k razy
(w dowolnej kolejności) w prawo przechodząc przez n rzędów kołeczków, czyli rozproszy się n-k razy w lewo, wynosi
rozkład dwumianowy wyrażający prawdopodobieństwo k sukcesów w n
Przykłady:
Rozkład binominalny (Bernoulli'ego)
Przykłady:
1. Prawdopodobieństwo otrzymania w 10 rzutach monetą 8 razy orła i 2 razy reszki jest równe: 04394 , 0 1024 45 2 1 2 1 8 10 2 1 , 8 , 10 2 8 = = = P
2. Rzucamy 12 razy kostką do gry. Znaleźć prawdopodobieństwo otrzymania 10 razy liczby oczek większej niż 4:
p = 1/3, q = 2/3; 000497 , 0 3 2 3 1 10 12 3 1 , 10 , 12 2 10 = = P Przykłady:
1. Prawdopodobieństwo otrzymania w 10 rzutach monetą 8 razy orła i 2 razy reszki jest równe:
Rozkład wielomianowy
Kiedy wynik pomiaru może przyjmować nie dwie ale więcej wartości to przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z wielu elementów
W danej próbie może wystąpić tylko jedno z tych zdarzeń.
przykładem może być rzut kostką do gry gdzie możliwości jest sześć, ale wynikiem próby jest tylko jedna z nich.
Mamy więc
Rozważania analogiczne do przeprowadzonych dla rozkładu dwumianowego prowadzą do wzoru na tzw. rozkład wielomianowy
Rozkład wielomianowy
Przypadkiem szczególnym tego rozkładu dla l=2 jest omawiany wcześniej rozkład dwumianowy.
Przykłady:
1. Zakup gazety
n - ilość osób kupujących gazety np. tygodniki
p - prawdopodobieństwo że dana osoba kupi np. Newsweek'a k - ilość osób, które kupiły np. Newsweeka
2. Studenci na WF,
n - ilość studentów studiujących na 2. roku na WF p - prawdopodobieństwo zaliczenia 2. roku
