Równanie róniczkowe opisujce drgania wymuszone przedstawiono poniej: )) ( ) ( ) ( ( 1 2 2 t F dt dx F x F m m F dt x d e d s w = + + = − , (1)
gdzie: x – oznacza przemieszenie ciała m, t – czas s,
2 2 , , dt x d x a – przypieszenie ciała m/s2, dt dx x
v,, – prdko ciała m/s, Fs –sił sprystoci N, Fd – sił tłumienia, natomiast Fe – jest sił wymuszajc. Równanie to opisuje drgania w sposób symboliczny, poniewa siły nie zostały zdefi-niowane jako konkretne funkcje. Kluczowym zagadnieniem w przypadku modelowania dra jest właciwe zamodelowanie sił. Sił sprystoci przyjmuje si jako funkcj przemieszenia, natomiast siła tłumienia jest przyjmowana jako funkcja prdkoci. Te dwie siły s kluczowe w modelowaniu drga. Kolejne dwie to siła wymuszajca, która jest modelowana jako funkcja czasu i siła bezwład-noci. Siła tłumienia rozprasza energie, natomiast siła wymuszajca uzupełnia ubytki energii. Warto zauway, e siła sprystoci i siła bezwładnoci s skierowane przeciwnie dla drga swobodnych i rezonansowych.
Jeli funkcje opisujce siły sprystoci i tłumienia s liniowe, wtedy drgania s liniowe, w przeciwnym przypadku s nieliniowe. Badany układ jest nieliniowy poniewa siła sprystoci jest nieliniowa, zawiera ona bowiem wyraz który ronie w kwadracie przemieszenia. Badane rów-nanie róniczkowe zostało przedstawione poniej:
)) 2 sin( ( max 2 2 1 1 2 2 t f F dt dx c x k x k m dt x d e e π + − − − = − , (2)
gdzie: k1 – oznacza współczynnik sztywnoci liniowej N/m, k2 – współczynnik sztywnoci nielinio-wej N/m2, c – współczynnik tłumienia (Ns)/m, Femax – amplitud siły wymuszajcej N, fe – czstotliwo wymuszenia Hz. Równanie to zawiera jeden człon nieliniowy –k2x2. W przypadku gdy k2 =0 równanie to jest liniowe. Takie równanie umoliwia porównanie drga liniowych i nieli-niowych. Model fizyczny badanego układu przedstawiono na rys. 1.
Rysunek 1. Model układu drgającego
siły : Fs –sprĊĪystoĞci, Fd –tłumienia i Fe – wymuszająca ródło: opracowanie własne.
Celem tej pracy jest zaprezentowanie wpływu nieliniowoci kwadratowej na dynamik układu oraz wykazanie e nieliniowoci powinny by uwzgldniane w modelowaniu dynamiki układów mechanicznych.
1. Przebiegi czasowe drga wymuszonych
Jedn z podstawowych technik analizy drga jest analiza przebiegów czasowych, poniewa zawieraj one wartociowe informacje. Drgania wymuszone mona podzieli na podrezonansowe, rezonansowe i nadrezonansowe. Jako pierwsze zostan przebadane drgania podrezonansowe, które w przypadku drga liniowych bywaj traktowane jako quasistatyczne.
Czsto rezonansowa zlinearyzowanego układu wynosi ωr=1rad/s, co daje czstotliwo
fr=1/(2π)Hz. Do bada przyjto czstotliwo wymuszajc, która wynosi fe=0,016(6)Hz, jest wic ona około dziesi razy mniejsza od czstotliwoci rezonansowej (rys. 2). Przebieg czasowy prze-mieszcze ma asymetryczn amplitud i nie jest sinusoidalny. Natomiast przebieg czasowy prdkoci ma przesunite maksima w stosunku do przebiegu sinusoidalnego, ma ponadto wiksz amplitud. Wpływ nieliniowoci i drga przejciowych jest najlepiej widoczny na przebiegu czaso-wym przypiesze. Drgania nieliniowe maj róne amplitudy do dołu i do góry, maj take ekstrema o rónym kształcie. Ekstremum prypieszenia, które odpowiada progresywnej charakterystyce spr-ystoci jest łagodniejsze, natomiast ekstremum odpowiadajce degresywnej charakterystyce jest bardziej szpiczaste. Wartoci przypiesze s bardzo małe, a rónice przypiesze wynikaj z rónej podatnoci spryny dla rónych zwrotów osi. Przebiegi czasowe drga przejciowych szybko za-nikaj, s one widoczne na wykresie prdkoci i przypiesze, poniewa maj wiksz czstotliwo od wymuszenia.
Rysunek 2. Przebiegi czasowe przemieszczenia
a), prĊdkoĞci b) i przyĞpieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k1=1, k2=0,1, c=0,1,
Femax=1, fe=0,016(6), x0=0, v0=0,104719 (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia) ródło: opracowanie własne.
b)
Kolejne drgania zasymulowano dla nastpujcych danych: m=1, k1=1, k2=0,1, c=0,1, Femax=1,
fe=1/(10π), x0=0, v0=0,2 (rys. 3). Czstotliwo wymuszenia odpowiada jednej pitej czstotliwoci rezonansowej, jest wic daleko od rezonansu. Takie drgania powinny posiada mał amplitud, po-dobn do poprzednich i podobne przebiegi czasowe. Przebiegi czasowe przemieszcze s podobne, natomiast pozostałe przebiegi róni si. Inny kształt maj ekstrema przebiegu czasowego prdko-ci. Natomiast na przebiegu czasowym przypiesze pojawiły si cztery ekstrema, podczas jednego okresu i drgania nieliniowe maj wiksz amplitud. Jest to efekt pojawienia si wyszych harmo-nicznych. Jak model liniowy odwzorowuje te drgania mona oceni na rys. 3c.
Nastpny przykład prezentuje drgania tego samego układu, zasymulowane dla nastpujcej cz-stotliwoci wymuszenia fe=1/(8π) i warunków pocztkowych x0=0, v0=0,25 (rys. 4). Przebieg czasowy przemieszcze pozostaje podobny do pierwszego, natomiast maksimum prdkoci wyra-nie zmieniło kształt. Najbardziej róni si od drga liniowych przebieg czasowy przypiesze, na którym wida sze ekstremów lokalnych podczas jednego okresu drga. Naley wspomnie, e drgania te symulowano dla czstotliwoci wymuszenia, która jest równa jednej czwartej czstotli-woci własnej.
Kolejne drgania symulowano dla czstotliwoci wymuszenia, która jest równa jednej trzeciej czstotliwoci własnej fe=1/(6π) (rys. 5). Drgania te s nadal daleko od rezonansu głównego jednak róni si znaczco od drga liniowych. Maksimum przebiegu czasowego ma charakterystyczny kształt, który wynika z wikszej amplitudy wyszych harmonicznych. Podczas jednego okresu prze-biegu czasowego prdkoci pojawiaj si cztery ekstrema. Natomiast na wykresie przypiesze mona zaobserwowa sze ekstremów podczas jednego okresu i wiksze amplitudy dla drga nie-liniowych. Sugeruje to e trzecia harmoniczna ma znaczn amplitud, co wpływa na kształty przebiegów czasowych. Naley zaznaczy, e dla badanych przykładów siła nieliniowa sprystoci stanowiła około dziesi procent siły liniowej sprystoci, a mimo to zmieniła przebiegi czasowe. Nastpne wyniki uzyskano dla czstotliwoci wymuszenia, która wynosi fe=1/(4π), jest wic równa połowie czstotliwoci własnej (rys. 6). Na przebiegu czasowym przemieszcze wida cztery ekstrema podczas jednego okresu drga. Ponad to amplituda drga nieliniowych jest wiksza od amplitudy drga liniowych. Dla przebiegów czasowych prdkoci zaobserwowano równie cztery ekstrema podczas jednego okresu drga i wyranie wiksz amplitud drga dla drga nieliniowych. To samo zaobserwowano na przebiegu czasowym przypiesze. Amplituda drga nieliniowych jest około dwa razy wiksza od drga liniowych. Opisane zjawiska s wynikiem wzmocnienia drugiej harmonicznej.
Podsumowujc zaprezentowane wyniki naley zaznaczy, e wzrost amplitudy drga i poja-wienie si lokalnych ekstremów jest wynikiem rezonansu ultraharmonicznego. Rezonans ten polega na wzmocnieniu wyszych harmonicznych; nie jest on obserwowany dla układów liniowych, dla-tego linearyzacja wprowadza błdy. Rezonanse ultraharmoniczne pojawiaj si dla poniszych czstotliwoci:
frn = fn/n, (3)
gdzie: frn – oznacza czstotliwo rezonansow n-tego rezonansu, fn – czstotliwo własn układu, natomiast n – liczb naturaln wiksz od zera [1,2].
Rysunek 3. Przebiegi czasowe przemieszczenia
a), prĊdkoĞci b) i przyĞpieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k1=1, k2=0,1, c=0,1,
Femax=1, fe=1/(10π), x0=0, v0=0,2 (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia) ródło: opracowanie własne.
b)
Rysunek 4. Przebiegi czasowe przemieszczenia
a), prĊdkoĞci b) i przyĞpieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k1=1, k2=0,1, c=0,1,
Femax=1, fe=1/(8π), x0=0, v0=0,25 (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia) ródło: opracowanie własne.
a)
b)
Rysunek 5. Przebiegi czasowe przemieszczenia
a), prĊdkoĞci b) i przyĞpieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k1=1, k2=0,1, c=0,1,
Femax=1, fe=1/(6π), x0=0, v0=1/3 (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia) b)
Rysunek 6. Przebiegi czasowe przemieszczenia
a), prĊdkoĞci b) i przyĞpieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k1=1, k2=0,1, c=0,1,
Femax=1, fe=1/(4π), x0=0, v0=1/2 (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia) ródło: opracowanie własne.
a)
b)
Rysunek 7. Przebiegi czasowe przemieszczenia
a), prĊdkoĞci b) i przyĞpieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k1=1, k2=0,1, c=0,1,
Femax=1, fe=1/(2π), x0=0, v0=0 (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia) ródło: opracowanie własne.
b)
Rysunek 8. Przebiegi czasowe przemieszczenia
a), prĊdkoĞci b) i przyĞpieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k1=1, k2=0,1, c=0,1,
Femax=1, fe=1/π, x0=0, v0=0 (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia) ródło: opracowanie własne.
a)
b)
Gdyby amplituda drga była wiksza pojawiłyby si zjawiska typowe dla układów nieliniowych. 2. Rezonanse
Jako kolejne zostało przebadane zjawisko rezonansu (rys. 9a). Zaprezentowano wartoci eks-tremów przebiegów czasowych uzyskanych dla rónych czstotliwoci wymuszenia. Liniami pionowymi zaznaczono czstotliwoci rezonansowe rezonansów ultraharmonicznych i rezonansu głównego. Mona zauway pewien wzrost amplitudy odpowiadajcy rezonansom ultraharmonicz-nym. Im wysza harmoniczna jest wzmacniana, tym niej wyrany jest rezonans. Maksima rezonansów s przesunite w kierunku niszych czstotliwoci, poniewa czstotliwo własna układu spada wraz ze wzrostem amplitudy drga.
Na wykresie widoczny jest take rezonans główny. Amplituda drga tego układu ograniczona jest przez siodło. Po przekroczeniu pewnej wartoci amplitudy, rozwizanie dy do minus niesko-czonoci, w wyniku czego nie ma rozwiza okresowych. Na wykresie tym, nie ma wic obszaru bistabilnoci. Maksimum rezonansu głównego przesunite jest w kierunku niskich czstotliwoci, podobnie jak w przypadku rezonansów ultraharmonicznych. Gał rezonansu głównego koczy si kaskad bifurkacji prowadzc do chaosu (rys. 9b). Na wykresie rezonansu widoczna jest take asy-metria amplitudy drga. Wykres ten nie przypomina wykresu rezonansu liniowego.
Rysunek 9. Wykres rezonansu otrzymany dla nastĊpujących danych: m=1, k1=1, k2=0,1, c=0,1,
Femax=1, (czarna linia – maksima, szara linia – minima) a) oraz jego fragment b) ródło: opracowanie własne.
a )
b )
Stosowanie modeli liniowych powoduje pominicie wyej wymienionych zjawisk, co moe prowadzi do znacznych błdów, pomyłek w interpretacji wyników i katastrof. Cz zjawisk ob-serwowanych w praktyce mona wytłumaczy na postawie teorii drga nieliniowych.
Bibliografia
[1] Awrejcewicz J., Drgania deterministyczne układów dyskretnych, WNT, Warszawa 1996. [2] Kostek R., Analysis of the primary and superharmonic contact resonances – Part 1, Journal
of Theoretical and Applied Mechanics, 51, 2, s. 475–486, Warsaw 2013.
INFLUENCE OF QUADRATIC SPRING FORCE ON SINGLE DEGREE OF FREEDOM MECHANICAL SYSTEM DYNAMICS – PART II EXCITED VIBRATIONS
Summary
This article presents influence of quadratic spring force on dynamics of single degree of freedom mechanical system. The following phenomena were observed: multiharmonic asymmetrical vibrations, bending resonance peaks, limitation of vi-bration amplitude, superharmonic resonances, bifurcations and unstable solutions. These phenomena are not observed in linear system, thus linear models should not be used to describe nonlinear systems. linearization can lead to large errors.
Keywords: nonlinear dynamics, quadratic nonlinearly
Robert Kostek
Zakład Pojazdów i Dignostyki Wydział Inynierii Mechanicznej
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy e-mail: robertkostek@o2.pl
