Oscylator harmoniczny tłumiony – drgania wymuszone
Oscylator swobodny
tłumiony
2 020
2
= +
Γ
+ m x
dt m dx
dt x
m d ω
) cos(
)
( t = e
−1/2Γω
1t + ϕ
x
t 2 20 2
1
4
1 Γ
−
= ω ω
2
01 Γ << ω
Jeśli Słabe
tłumienie:
e
−1/ 2ΓtPraktycznie stałe dla jednego okresu, to energia układu praktycznie stała…
τ / 0
)
0( t E e
tE e
tE =
−Γ=
−Po wielu okresach, zanik wykładniczy :
Czas zaniku
(czas życia oscylatora) = Γ 1 τ
Czy badając drgania wymuszone oscylatora można uzyskać informacje o czasie życia oscylatora? Tak! Zbadajmy drgania stacjonarne pod
wpływem harmonicznej siły wymuszającej…
Drgania stacjonarne oscylatora tłumionego – harmoniczna siła wymuszająca
)
0
cos(
2 2 0
2
t F
x dt m
m dx dt
x
m d + Γ + ω = ω
Drgania stacjonarne (założenia):
- drgania niestacjonarne wytłumione po czasie kilku τ
- amplituda oscylacji proporcjonalna do amplitudy siły wymuszającej F
0- przesunięcie fazowe wyznaczone przez przesunięcie fazowe siły
wymuszającej
) cos(
) cos(
) sin(
) sin(
) cos(
)
( t C t C t C t
x
s= ω + ϕ = − ϕ ω + ϕ ω
) cos(
) sin(
)
( t A t B t
x
s= ω + ω
a potem skorzystać
z zasady superpozycji…
)) ( cos(
) ( )
( t = ∑ F ω ω t + ϕ ω F
Szeroką klasę funkcji F(t) możemy przedstawić jako:
*
Bezpośrednie podstawienie do równania * daje warunki na
A i B
:A
abm
A F ≡
Γ +
−
=
2Γ
2 2 2 20 0
)
( ω ω ω
ω
A
elm
B F ≡
Γ +
−
=
2 2−
2 2 20
2 2
0 0
)
( ω ω ω
ω ω
A
ab– amplituda absorpcyjna, A
el– amplituda elastyczna
:Jak absorbowana jest energia?
Rozważmy uśrednioną w czasie (jednego okresu) moc pobieraną przez oscylator:
∫
∫
+ +
=
=
T t
t
s T
t
t
s
dt
dt t dx T F
dt t T P
P
0
0 0
0
) 1 (
) 1 (
) cos(
)
( t F
0t
F = ω
) cos(
) sin(
)
( t A t A t
x
s=
abω +
elω ( ) cos( ) sin( )
t A
t dt A
t dx
el ab
s
= ω ω − ω ω
∫
+
−
=
T t
t
el ab
s
F t A t A t dt
P T
0
0
)]
sin(
) cos(
)[
1 cos(
0
ω ω ω ω ω
] ) sin(
) cos(
) (
cos
2 00
A t F A t t
F
P
s= ω
abω − ω
elω ω
0 )
2 cos(
0
0
∫ =
+T t
t
dt ω t
2 ) 1
2 2 cos(
1 2
1 ) 1
( 1 cos
) ( cos
0
0 0
0
2
2
=
+
=
= ∫ ∫
+
+ t T
t T
t
t
dt T t
dt T t
t ω ω
ω
Gdyż Podobnie:
sin( 2 ) 0
2 ) 1
sin(
)
cos( ω t ω t = ω t =
Jak absorbowana jest energia?
ab
s
F A
P
0ω 2
= 1
Za absorpcję energii odpowiedzialna jest część przesunięta w fazie o 900 ( lub πππ/2)!π
0.0 0.5 1.0
0.0 0.5 1.0
ω0−1/2 Γ ω
0+1/2 Γ ω
P(ω)/P(ω 0)
ω
0Γ
2 2 2
2 2
0
2 2
0
( ω ω ) ω
ω Γ +
−
= P Γ P
Szukamy ωωωω dla których:
2
0) 1
( P
P ω =
ω ω
ω
2=
02± Γ
Γ
± Γ +
= 2
1 4
1
22 0 2
,
1
ω
ω ( ∆ ω )
rez= Γ lub ( ∆ ω )
rezτ = 1
Szerokość krzywej ma związek ze średnim czasem życia tłumionych drgań swobodnych! Ważne dla spektroskopii (rozkład Lorentzowski…)
= Γ m P F
2
2 0 0
Amplituda i przesunięcie fazowe
-0.5 0.0 0.5 1.0
-0.5 0.0 0.5 1.0
F0/(mω
0Γ)
Aab
Ael
ω0−1/2 Γ ω
0+1/2 Γ ω
Amplituda
ω
0Γ
Ael
2 2 2
2 2
0 0
)
( ω ω ω
ω
Γ +
−
= Γ m
A
abF
2 2 2 2 20
2 2
0 0
)
( ω ω ω
ω ω
Γ +
−
= − m A
elF
ω ω ω
Γ
= −
2 2
0 ab
el
A A
) (
) ) cos(
(
) cos(
) (
2 2
0 0
ω ω
ω ω
≈ −
≈ m
t t F
x
t A
t x
s
el s
ω
0ω <<
ω
0ω = ω
0ω >>
zgodnie z F(t) (ϕϕϕϕ=0)
ϕϕ
ϕϕ= π π π π/2
Przeciwnie niż F(t) ϕ
ϕ ϕ ϕ= π π π π
Daleko od rezonansu…
Sprawdźmy to w doświadczeniu…
Drgania swobodne układu o dwóch stopniach swobody
Wahadło podwójne (płaskie)
Magnesy
(odpychające się) na prętach
Wahadła sprzężone
Liniowość i zasada superpozycji
Najbardziej ogólny ruch układu o dwu stopniach swobody, opisanego równaniami liniowymi stanowi superpozycję dwu niezależnych, jednoczesnych ruchów harmonicznych – drgań własnych lub inaczej drgań normalnych układu.
Jak je znaleźć?
Przypomnienie:
• suma dwu dowolnych rozwiązań równania liniowego i jednorodnego jest również rozwiązaniem tego równania.
• dla sumy rozwiązań równania liniowego, warunki początkowe są sumą warunków początkowych
• suma sił wymuszających dla dwóch rozwiązań, jest siłą wymuszającą dla rozwiązania będącego sumą rozwiązań…
) ...
(
2 32 2
+ +
+
= αψ βψ γψ
ψ dt
t d
. ,...
0 ,
0 = itd
= γ β
Liniowe, tylko wtedy gdy
ψ αψ
2
=
2
( ) dt
t
d ( ) ( )
2 2
t dt F
t
d ψ = αψ +
Czyli równanie (jednorodne)
lub równanie niejednorodne
Dlaczego?
Dygresja – układy nieliniowe
Niech reakcja pewnego fizycznego układu będzie nieliniową funkcją zaburzenia…
) ( )
( )
( )
( t αϕ t βϕ
2t γϕ
3t
ψ = + +
Załóżmy, że zaburzenie jest sumą dwóch oscylacji harmonicznych:
) cos(
) cos(
)
( t ω
1t ω
2t
ϕ = +
Przedstawmy teraz ψ(t) jako superpozycję oscylacji harmonicznych.
Jeśli β=γ=0 to odpowiedź układu będzie superpozycją dwóch fal harmonicznych o częstościach ω1 i ω2.
Jeśli β≠0 oraz γ≠0 to odpowiedź układu będzie bardziej skomplikowana…
3 2 1
2 2 1
2
1
cos ) (cos cos ) (cos cos )
(cos )
( t α ω t ω t β ω t ω t γ ω t ω t
ψ = + + + + +
[ ]
) 4 (
) 1 4 (
) 1 4 (
) 1 4 (
1
) ( ) 2 (
) 1 ( ) 2 (
1
) ( ) (
) 2 (
) 1 ( ) ( ) (
z y
x f z
y x
f z
y x
f z
y x
f
z f y x
f z
f y x
f
z f y x
f y
x f z
f y f x f
−
− +
+
− +
− +
+ +
+
=
=
− +
+
=
=
− +
+
=
Skorzystajmy z tożsamości dla funkcji f(x)=cos(x)
) 2 (
) 1 2 (
) 1 ( )
( x f y f x y f x y
f = + + −
) 2 cos(
) 1 2 cos(
) 1 cos(
)
cos( x y = x + y + x − y
Ponieważ
Jeśli mamy iloczyn trzech funkcji:
) 0 2 (
) 1 2
2 ( ) 1 (
) (
) 0 2 (
) 1 2
2 ( 1
) (
) (
) (
) (
2 ) (
) (
)) (
) (
( )
cos (cos
2 2
1 2
1 1
2 2
2 1
1 1
2 2 1
2 2 1
f t
f t
t f
t t
f f
t f
t f
t f
t f
t f
t f
t f
t f
t f
t t
+ +
− +
+ +
+
=
= +
+
= +
= +
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
Nieliniowość kwadratowa:
Człon kwadratowy odpowiedzi układu jest superpozycją oscylacji o częstościach:
2 ω ω ω ω
1,0, 2 ω ω ω ω
2,ω ω ω ω
1+ ω ω ω ω
2, ω ω ω ω
1- ω ω ω ω
2.Nazywamy je częstościami kombinacyjnymi.
Dla β≠0 nawet w sytuacji gdy ω1=ω2= ω, odpowiedź układu będzie zawierać oscylacje o częstości 2ω (generacja drugiej harmonicznej).
Zjawisko to wykorzystuje się w optyce do generacji światła o dwukrotnie większej częstości – tak działa np. wskaźnik laserowy emitujący zielone Promieniowanie o długości fali 532nm (1064/2 nm)…
Mamy tu do czynienia z procesem dwufotonowym – dwa fotony zamieniają się w ośrodku nieliniowym w jeden foton o dwukrotnie większej energii…
Przyczynek z nieliniowością trzeciego stopnia:
) (
) (
) (
3 ) (
) (
3 )
(
)) (
) (
( )
cos (cos
2 3 2
2 1
2 1
2 3
1
3 2 1
3 2 1
t f
t f
t f
t f
t f
t f
t f
t f
t t
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+ +
+
= +
= +
) 4 (
) 3 3
4 ( 1
) (
)) 0 ( )
2 ( 2 (
) 1 (
) (
) (
) (
1 1
1 1
1 1
1 3
1
t f
t f
t f
f t
f t
f t f
t f
t f
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+
=
= +
=
=
Zbadajmy poszczególne człony w sumie:
Zawiera oscylacje o częstości 3ωωωω1 oraz ωωωω1
) (
)
(
1 22
t f t
f ω ω
Zawiera oscylacje o częstości 2ωωωω1+ ωωωω2, 2ωωωω1- ωωωω2 oraz ωωωω2) (
)
(
1t f
2 2t
f ω ω
Zawiera oscylacje o częstości 2ωωωω2+ ωωωω1, 2ωωωω2- ωωωω1 oraz ωωωω13 2
) ( t
f ω
Zawiera oscylacje oczęstości 3ωωωω2 oraz ωωωω2Przyczynek z nieliniowością trzeciego stopnia jest superpozycją oscylacji harmonicznych o częstościach:
, ,
3 , 2
, 2
, ,
3 ω
1ω
1ω
1± ω
2ω
2± ω
1ω
2ω
2Gdy ω1=ω2= ω mamy tylko nieparzyste harmoniczne:
Na dokładniejsze badania zjawisk nieliniowych przyjdzie czas na optyce…
ω
ω ,
3
http://support.svi.nl/wiki/SecondHarmonicGeneration
http://support.svi.nl/wiki/SecondHarmonicGeneration
Wracamy do układów liniowych o
dwóch stopniach swobody...
Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny
K1 K1
K2
K2 y
a a
a a
m K1
K1 K2
K2 x
x m
y
y dt K
y m d
x dt K
x m d
2 2 2
2 1 2
2
2
−
=
−
=
) cos(
) (
) cos(
) (
2 2
1 1
ϕ ω
ϕ ω
+
=
+
=
t B
t y
t A
t x
m K m K
2 2 1
2 1 1
2 2
=
= ω ω
Drgania normalne!
Niezależne ruchy w dwóch kierunkach, charakterystyczne częstości…
Równania ruchu
m m
K K K
m m
K K K
ψ
aψ
b
− +
−
=
− +
−
=
) (
) (
2 2
2 2
b a
b b
a b
a a
K dt K
m d
K dt K
m d
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
− +
=
+
−
=
b a
b
b a
a
m K m
K dt
d
m K m
K dt
d
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
2 2
2 2
2 2
) cos(
) cos(
ϕ ω
ψ
ϕ ω
ψ
+
=
+
=
t B
t A
b a
b b
a a
dt d
dt d
ψ ψ ω
ψ ψ ω
2 2
2
2 2
2
−
=
−
=
m a K
m a K
m a K
m a K
2 , 2 ,
22 21
12 11
=
−
=
−
=
=
Oznaczmy:
Szukamy:
−
−
=
−
−
−
=
−
b a
b
b a
a
a a
a a
ψ ψ
ψ ω
ψ ψ
ψ ω
22 21
2
12 11
2
( )
( )
=
− +
= +
−
0 0
2 22
21
12 2
11
b a
b a
a a
a a
ψ ω ψ
ψ ψ
ω
( )
( )
=
−
−
0 0 ,
,
2 22
21
12 2
11
b a
a a
a a
ψ ψ ω
ω
= −
= −
22 2
21 12
11 2
a a a
a
a b a b
ω ψ
ψ
ω ψ
ψ
( )( ) -
12 210
2 22
2
11
− a − a a =
a ω ω
lub inaczej
( )
( ) 0
,
,
2 22
21
12 2
11
=
−
−
ω ω
a a
a a
) cos(
) cos(
ϕ ω
ψ
ϕ ω
ψ
+
=
+
=
t B
t A
b
pamiętamy, że a
Stąd:
12 11 2
2 2
2 2
12 11 2
1 1
1 1
a a A
B
a a A
B
postać a
b
postać a
b
= −
=
= −
=
ω ψ
ψ
ω ψ
ψ
) cos(
) cos(
) cos(
) cos(
) cos(
) cos(
2 2
2 2 2 1
1 1
1 1
2 2
2 1
1 1
2 2
2 1
1 1
ϕ ω
ϕ ω
ϕ ω
ϕ ω
ψ
ϕ ω
ϕ ω
ψ
+ +
+
=
= +
+ +
=
+ +
+
=
t A A
t B A A
B
t B
t B
t A
t A
b a
A1, A2, ϕϕϕϕ1, ϕϕϕϕ2 – z warunków początkowych
Częstości własne
( )( ) -
12 210
2 22
2
11
− a − a a =
a ω ω
(
11 22)
11 22-
12 210
2
4
− ω a + a + a a a a =
ω m
a K m
a K
m a K
m a K
2 , 2 ,
22 21
12 11
=
−
=
−
=
=
Pamiętamy, że:
3 0 4
2 2 2
4
− + =
m K m
K ω ω
m K m
K 3
22
2
1
= ω =
ω
1 1
12 11 2
2 2
2 2
12 11 2
1 1
1 1
−
− =
=
=
− =
=
=
a a A
B
a a A
B
postać a
b
postać a
b
ω ψ
ψ
ω ψ
ψ
Postać 1
Postać 2 b a
a b
ψ ψ
ψ ψ
−
=
=
Popatrzmy jeszcze raz na równania…
− +
−
=
− +
−
=
) (
) (
2 2
2 2
b a
b b
a b
a a
K dt K
m d
K dt K
m d
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
Dodajmy je i odejmijmy stronami…
−
−
− =
+
− + =
) (
) 3 (
) ) (
(
2 2
2 2
b a
b a
b a
b a
dt K m d
dt K m d
ψ ψ ψ
ψ
ψ ψ ψ
ψ
) cos(
) (
) cos(
) (
2 2
2 2
1 1
1 1
ϕ ω
ψ ψ
ψ
ϕ ω
ψ ψ
ψ
+
=
≡
−
+
=
≡ +
t A
t
t A
t
b a
b a
)) cos(
) cos(
2 ( 1
)) cos(
) cos(
2 ( 1
2 2
2 1
1 1
2 2
2 1
1 1
ϕ ω
ϕ ω
ψ
ϕ ω
ϕ ω
ψ
+
− +
=
+ +
+
=
t A
t A
t A
t A
b a
Stąd: Czyli znowu widzimy, że
a
b
ψ
ψ =
dla drgań normalnych z częstością ωωωω1
dla drgań normalnych z częstością ωωωω2
a
b
ψ
ψ = −
To można zgadnąć!
Łatwo wyznaczyć
częstości drgań normalnych układu, a potem znaleźć drgania poszczególnych elementów…
m m
K K K
m m
K K K
ψ
aψ
b= ψ
aPostać 1: Sprężynka środkowa nie napięta (ruch środka masy)
m m
K K K
ψ
aψ
b= − ψ
a2
1
m
= K ω
2
3
2
m
= K
Postać 1: Sprężynka środkowa ściśnięta podwójnie
ω
(ruch wewnętrzny układu)
Siła
zwrotna
F
z= − K ψ
aSiła zwrotna
a a
z
K K
F = − ψ − 2 ψ
Drgania własne
Dudnienia
• dwa kamertony o bliskiej częstości,
• brzeszczoty w imadle,
• struny gitary (np.. gdy ją stroimy)
• dźwięk dzwonu…
Przyjmijmy, że A1=A2=A, ϕϕϕϕ1=ϕϕϕϕ2=0
) cos(
) ( ), cos(
)
( t A
1t
bt A
2t
a
ω ψ ω
ψ = =
Ruch błony bębenkowej jest superpozycją dwu drgań harmonicznych….
)) cos(
) (cos(
) ( )
( )
( t ψ
at ψ
bt A ω
1t ω
2t
ψ = + = +
Ich suma:
Korzystając z tego, że
)
cos( 2 2 )
cos(
2 ) cos(
)
cos( α β α β
β
α + = − +
) cos(
) cos(
2 )
( t A ω
modt ω
śrt ψ =
dostajemy:
2
2 1
mod
ω ω = ω −
2
2
1
ω
ω
śr= ω +
gdzie:
amplituda wolno zmienna
) cos(
) cos(
2 )
( t A ω
modt ω
śrt ψ =
ω
śrω
mod<<
część
szybkozmienna
Dudnienia łatwo zasymulować…
t t t t t
1 dudnienie
(Amod)2
Ψ1+Ψ
2
(Ψ1+Ψ
2)2
Ψ1
Ψ1
1 cykl modulacyjny
) cos(
) cos(
2 )
( t A ω
modt ω
śrt
ψ =
Przykład: wahadła słabo sprzężone
l l
Sprężynka luźna
2
1
l
= g ω
Sprężynka napięta „podwójnie”
2
2
2
m
K l
g + ω =
MODY WŁASNE
a
b
ψ
ψ = ψ
b= − ψ
aRóżnicę częstości możemy regulować zmieniając K lub m!
Rozwiązanie ogólne
) cos(
) cos(
) cos(
) cos(
2 2
2 1
1 1
2 2
2 1
1 1
ϕ ω
ϕ ω
ψ
ϕ ω
ϕ ω
ψ
+
− +
=
+ +
+
=
t A
t A
t A
t A
b a
) cos(
) cos(
) (
) cos(
) cos(
) (
2 1
2 1
t A
t A
t
t A
t A
t
b a
ω ω
ψ
ω ω
ψ
−
=
+
=
Przyjmijmy, że A1=A2=A, ϕϕϕϕ1=ϕϕϕϕ2=0, wtedy wychylenia ciężarków:
) sin(
) ) sin(
(
) sin(
) ) sin(
(
2 2
1 1
2 2
1 1
t A
t dt A
t
t A
t dt A
t d
b a
ω ω
ω ψ ω
ω ω
ω ψ ω
+
−
=
−
−
=
Jak takie drgania wzbudzić?
Trzeba odpowiednio dobrać warunki początkowe – dobieramy wychylenia i prędkości dla t=0
Prędkości ciężarków
0 ) 0 (
0 ) 0 ( 0
2 ) 0 (
=
=
=
=
dt d
dt d
A
b a b a
ψ
ψ
ψ
ψ
) cos(
) cos(
2 )
cos(
) cos(
)
( t A
1t A
2t A
modt
śrt
a
ω ω ω ω
ψ = + =
) sin(
) sin(
2 )
cos(
) cos(
)
( t A
1t A
2t A
modt
śrt
b
ω ω ω ω
ψ = − =
) cos(
) ( )
( t A
modt
śrt
a
ω
ψ =
) sin(
) ( )
( t B
modt
śrt
b
ω
ψ =
Wciągu jednego szybkiego cyklu „szybkich drgań” traktujemy wahadła jak oscylatory harmoniczne o stałej amplitudzie (Amod oraz Bmod) i częstości ωωωωśr
) (
cos 2 2
1
mod 2
2 2 2
mod
2
A mA t
m
E
a= ω
śr= ω
śrω
) (
sin 2 2
1
mod 2
2 2 2
mod
2
B mA t
m
E
b= ω
śr= ω
śrω
E mA
E
E
a+
b= 2
2ω
śr2=
] ) cos[(
) 2
cos(
)) (
sin )
( (cos
2 1
mod
mod 2
mod 2
t E
t E
t t
E E
E
a bω ω
ω
ω ω
−
=
=
=
−
=
−
)]
) cos((
1 2 [ 1
)]
) cos((
1 2 [ 1
2 1
2 1
t E
E
t E
E
b a
ω ω
ω ω
−
−
=
− +
Energia przepływa
=
z jednego do drugiego wahadła z częstością dudnień
Zagadnienie energii w układzie drgań sprzężonych
E
bE
aB
mod(t) A
mod
(t)
t
t
Ψa
Ψb
1 dudnienie
)]
) cos((
1 2 [ 1
)]
) cos((
1 2 [ 1
2 1
2 1
t E
E
t E
E
b a
ω ω
ω ω
−
−
=
− +
=
Przepływ energii pomiędzy wahadłami W mechanice kwantowej energia jest
„skwantowana” - pomiędzy różnymi stopniami swobody przepływa
prawdopodobieństwo posiadania energii wzbudzenia…(F.C. Crawford)
Cząsteczka amoniaku jako przykład słabo sprzężonych oscylatorów
NH
3H
H N H
H
H :N H
Dwa położenia azotu względem płaszczyzny wyznaczonej wodory.
H
H
H N
A (stan podstawowy) B (stan wzbudzony)
)]
) cos((
1 2 [ 1
)]
) cos((
1 2 [ 1
2 1
2 1
t E
t E
b a
ω ω
ω ω
−
−
=
− +
=
( ) / 2 2 10 Hz
2 =
2−
1≈ ⋅
10= ω π ω ω π
ν
dud dudMaser amoniakalny (emitujący mikrofale) – prekursor lasera…
Inny przykład oscylacji – układ mezonów K0…
The first maser Charles H. Townes (left), winner of the 1964 Nobel Prize for Physics, and associate James P. Gordon in 1955 with the first maser.
Bettmann/Corbis
http://www.britannica.com/EBchecked/topic-art/601072/92025/The-first-maser-Charles-H-Townes-winner-of-the-1964
