Over den invloed der zelfinductie in telephoongeleidingen

OVER DEN INVLOED DER

ZELFINDUCTIE IN TELEFOONGELEIDINGEN.

O V E R DEN I N V L O E D

DER ZELFINDUCTIE IN

TELEFOONGELEIDINGEN.

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN

G R A A D VAN D O C T O R IN

DE T E C H N I S C H E W E T E N

-SCHAP AAN DE T E C H N I S C H E

H O O G E S C H O O L T E DELFT.

E V E R T S , CL,

SENAAT T E \ERDEI)IGEN, OP VRIJDAG 10 APRIL

1908 DOOR N I C O L A A S K O O M A N S , W . L ,

INGENIEUR DER TELEGRAFIE, GEBOREN T E D E L F T .

V O O R W O O R D .

Het is mij een behoefte, te dezer plaatse mijn dank nit te spreken aan allen, die, hetzij door hun onderwijs, hetzij doordat ik met hen mocht omgaan of samenwerken, mijn kennis hebben gevormd. Gaarne had ik enkelen hunner hier met name genoemd. De ge-dachte echter, dat ik door sommigen te verzwijgen, deze wellicht onrechtmatig zon verongelijken, heeft mij hiervan doen afzien. Ten opzichte van den Hoogleeraar f. A. Snijders C.f.z., c.i. meen ik te dezen een uitzondering te mogen en te moeten maketi, zijn vriendelijken steun heb ik daartoe te zeer ondervonden.

Wat meer in het bijzonder dit proefschrift betreft, ben ik in de eerste plaats den dank verschuldigd aan mijne superieuren, die wel verlof hebben willen geven om datgene, wat ik ambtshalve verrichtte ten eigen nutte te gebruiken.

Zéér erkentelijk ben ik voorts aan de enkelen, die mij bij de samenstelling meer onmiddellijk met hun hulp hebben gesteund.

Ten slotte blijf ik mijn promotor den Hoogleeraar C. L. van der Bilt, c.i. dankbaar voor de aangename wijze, waarop ik met hem mocht samenwerken.

Pag.

I n l e i d i n g i H o o f d s t u k I, De invloed der zelfinductie in electrische

geleidingen 7 H o o f d s t u k II. Proefnemingen betreffende de uniforme

ver-meerdering van de zelfinductie in kabelgeleidingen . . . 29 H o o f d s t u k III. Inleiding tot de theorie van PUPIN . . . 33

H o o f d s t u k IV. Theorie van PuPiN 39 H o o f d s t u k V. Proeven en metingen op gepupiniseerde

geleidingen in Duitschland 53 H o o f d s t u k VI. Proeven en metingen op gepupiniseerde

geleidingen in Nederland 56

De telefonie, hoewel nog jong, heeft in den korten tijd van haar bestaan een hooge vlucht genomen en neemt thans in de zwakstroomtechniek een eerste plaats in.

Slechts 25 jaar is het geleden, dat zij haar intrede deed, aanvankelijk bescheiden in korte verbindingen, snel zich uit-breidend tot stedelijke netten. Toestellen en inrichtingen tot het geven van doorverbinding, ofschoon nog heden ten dage gestadig verbeterend, getuige de centraalbureelen met gemeen-schappelijke batterij, waren reeds spoedig dermate voldoende, dat deze een onbegrensde vlucht gedoogd zouden hebben, ware het niet, dat andere oorzaken deze belemmerden. Hiermede wordt gedoeld op de electrische eigenschappen van de geleidingen; deze toch maken het spreken over lange afstanden onmogelijk, desgelijks het correspondeeren over kabelverbindingen, tenminste, wanneer deze den betrekkelijk korten afstand van eenige tientallen kilometers te boven gaan.

De electrische eigenschappen van een geleiding zijn, zooals bekend is, weerstand, zelfinductie en capaciteit. Van deze drie nu is de capacTteit de meest hinderlijke.

De zelfinductie n.l. is, aangezien de telefoongeleidingen immer van koperdraad worden gemaakt, te verwaarloozen gering, terwijl ') H e t ligt in de bedoeling dezer inleiding, den lezer door een korte uiteenzetting op te voeren

tot h e t h e d e n d a a g s c h e s t a n d p u n t .

Vele belangrijke proefnemingen, welke in het meer aanvankelijke stadium d e r telefonie zijn g e d a a n , worden hier dan ook stilzwijgend voorbijgegaan. Een meer volledige verzameling van deze proefnemingen, verrijkt met het aandeel, dat de N e d e r l a n d s c h e a d m i n i s t r a t i e in deze heeft g e h a d

is te vinden in „ T e l e p h o o n v e r b i n d i n g e n over groote a f s t a n d e n " door A. E . R. CoLLEXIE.— '

doorsnede kan worden verkleind. Bovendien beperkt zich deze invloed tot energieverlies in den vorm van Joule'sche warmte, waarvan slechts het gevolg is een verzwakking van het geluid, zonder dat dit in zijn aard wordt gewijzigd. De capaciteit, die mede verzwakkend werkt, heeft echter tevens de eigenschap om wisselstroomen met hooge frequentie, dus de hooge tonen, het sterkst aan te grijpen.

Om het gevaar hiervan in te zien, zij er aan herinnerd, dat men aan een toon onderscheidt sterkte, hoogte en timbre.

Het timbre wordt beheerscht door het aantal, de hoogte en de sterkte der boventonen. Hoe meer boventonen, hoe helderder een geluid, hoe duidelijker een gesproken woord.

De dragende toon van een zanger en de heldere verstaanbaar-heid van een redenaar wordt verkregen, door het vormen van den toon voor in den mond en het richten van den toonstraal tegen het harde gehemelte, d. i. door het versterken der boventonen. Deze nu worden door de capaciteit gedoofd. Dit heeft natuurlijk tengevolge, dat, indien men telefoneert langs een geleiding met hooge capaciteit, de ontvanger andere geluiden weergeeft dan door den spreker zijn geuit.

Vooral doet zich dit verschijnsel zeer sterk bij kabels voor, waarbij uit den aard der zaak de jieen- en teruggaande geleider dicht bij elkander liggen en tot verkrijging van onderlinge isolatie door diëlectrische stoffen als guttapercha, gummi e. a. gescheiden zijn, stoffen, wier diëlectrische constanten alle grooter zijn dan die van lucht. Ieder die wel eens over een eenigszins langen kabel getelefoneerd heeft, zal dan ook ervaren hebben, dat de zoogenaamde kabeltoon dof en klankeloos is.

Teneinde het bovenstaande euvel te verhelpen zijn vele pogingen aangewend. Aan de capaciteit moest de invloed worden ontnomen en het lag dus voor de hand, dat men er naar streefde kabels te

fabriceeren met geringe capaciteit. Dit laatste zou op de meest eenvoudige wijze te bereiken zijn, indien men den heen- en terug-gaanden leider verder uit elkander legde. Deze oplossing is evenwel door kostbaarheid ondoelmatig.

Beter kan die capaciteitsvermindering in het diëlectrische isoleer-materiaal worden gezocht

In deze richting is gewerkt en het resultaat is geweest de thans algemeen gebruikelijke telefoonkabels met lucht en papierisolatie, welke een diëlectrische constante K ^ i hebben en bovendien aan alle te stellen eischen voldoen; zij laden en ontladen zich vlug en hebben een hoogen specifieken isolatieweerstand. Op deze wijze is de capaciteit per K.M. tot ongeveer 0.04 M.F. verkleind. Deze papierkabels evenwel, hoe bruikbaar ook voor de stedelijke netten, laten zich nog steeds niet voor langere afstanden gebruiken. Vermits het verkrijgen van een nog grootere capaciteitsver-mindering onmogelijk bleek te zijn, richtte zich het onderzoek naar een anderen kant, en, zooals gebleken is naar dien kant, al waar de oplossing, zij het dan ook na vele teleurstellingen, kon worden gevonden.

Aan de volgende pogingen lag ten grondslag het idee om door verhooging van de zelfinductie den invloed der capaciteit te verminderen.

Alvorens nu nader op deze pogingen in te gaan, wil het mij gewenscht voorkomen reeds in deze inleiding een en ander over de algemeene strekking van het bovenstaande denkbeeld op te nemen. Een vermoeden tot de juistheid van het vorenbedoelde idee geeft de formule:

r=]/j,^+(^pL-^J,

de bekende betrekking voor de impedans of den schijnbaren weer-stand van een keten, aangedaan met een capaciteit C, een Ohmschen weerstand 7? en een coëfficiënt van zelfinductie L, wanneer n.l. in

dien keten een wisselstroom wordt onderhouden, waarvan de frequentie gelijk is aan « = — . Immers wanneer Z = o, — en dit is, zooals reeds werd opgemerkt, bij een gewone leiding nagenoeg het geval, — dan brengt de C, naar gelang harer grootte, een meer of minder belangrijk aandeel in den schijnbaren wisselstroom-weer-stand bij, hetgeen tot verzwakking van de stroomsterkte aanleiding geeft. Het aanbrengen van zelfinductie in den keten maakt een opheffing van de capaciteitswerking mogelijk. In het bekende geval n.l. van resonans, waarbij pL = -y,, is de impedans gelijk aan den Ohmschen weerstand en is dus van verzwakking geen sprake meer.

Tevens is in dit geval nog iets anders ten voordeele veranderd, n.l. de phaseverschuiving tusschen de oogenblikkelijke waarden van de electromotorische kracht en de stroomsterkte. Deze phase-verschuiving is in het vooropgestelde geval:

"f = i>g tg — ^ —

en heeft dus bij de gewone geleiding een zekere waarde, hetgeen voor de telefoonstroompjes schadelijk moet zijn, aangezien de phase-verschuiving niet constant is, maar verandert met de p en dus afhankelijk is van de frequentie ; mitsdien ondergaan de verschillende tonen, naar gelang hunner hoogte, een verschillende verschuiving, hetgeen een vervorming van het gesprokene ten gevolge hebben moet.

In het geval van resonans, bij inschakeling van zelfinductie is de phaseverschuiving gelijk o; dit is de bovenbedoelde tweede verandering ten goede door de zelfinductie bewerkstelligd.

Evenwel volge terstond, dat zooals bekend is, resonans slechts, gegeven een bepaalde L en een bepaalde C, voor één bepaalden toon mogelijk is en wel voor dien toon, welke een wisselstroom in het leven roept, wiens periode gelijk is aan de eigen periode

van den electrischen stroomkring. Uit pL = —;, volgt n.l., voor /

pL

substitueerend -—, waarin T de periode voorstelt, T = 2 T K Z C Dit is tevens de bekende waarde voor de eigen periode van een stroomkring.

Deze laatste bijvoeging zou het voordeel van de ingelaschte zelfinductie weer heel wat twijfelachtiger maken, ware het niet, dat de vooropgezette formules inderdaad niet op de kabeltelefonie toepasselijk zijn. Eenige alinea's te voren werd gesproken van een geleiding aangedaan met capaciteit; ware er toen nader gepreciseerd, dan had de bijvoeging moeten worden gemaakt: in sjerie of parallel? Stilzwijgend werden de uitdrukkingen op serie-schakeling betrekking hebbend gebruikt, terwijl eigenlijk de wijze, waarop de capaciteit in een kabel voorkomt een parallel-schakeling is, en dan nog wel in het bijzonder een zoodanige, dat deze capaciteit over den geheelen geleider verdeeld is, in den geest zooals onderstaande figuur aangeeft.

t T T T T T T T T I

De zaak op deze wijze opvattende komt men tot geheel andere betrekkingen tusschen de electrische grootheden.

Toch is uit het voorgaande wel eenig inzicht te gewinnen aan-gaande de tegengestelde neigingen van zelfinductie en capaciteit, mits de noodige voorzichtigheid worde betracht en men niet voor zekerheid aanziet, wat slechts vermoeden zijn kan. Voor deze voorzichtigheid pleite ten overvloede nog dit. Ware de gebruikte formule inderdaad toepasselijk dan zou, aangenomen Z = o, door vergrooting van de capaciteit alle bezwaar uit den weg te- ruimen zijn, vermits de grootte van de condensans —-^ kleiner wordt met

het vergrooten van de C. Dat in deze inleiding toch kortelings de algemeene wisselstroomformule werd besproken, vindt zijn oor-zaak in het feit, dat bij vluchtige beschouwing vaak deze formule wordt gehanteerd, waarbij dan voor de hand liggend schijnt, wat noodwendig verder op moet worden gezocht. ')

Dichter bij de werkelijkheid zijn de betrekkingen, behoorende bij het geval van een inductieven weerstand, geshunt door een capaciteit.

Om nu langs dezen benaderden weg niet eveneens te verdwalen is het meer aangewezen den meer algemeenen opzet ter hand te nemen.

1) In h e t b e k e n d e werk „ D a s Electrische K a b e l " van D r . P H I L . C . BAUR komt n.l. in het hoofd-s t u k „ T h e o r i e der T e l e p h o n k a b e l " op p a g . 93 een b e hoofd-s p r e k i n g en zelfhoofd-s eenige getallen-voorbeelden op deze formule g e g r o n d voor.

HOOFDSTUK I.

D e invloed der zelfinductie in electrische geleidingen.*)

Zij van een geleiding C de capaciteit per lengte-eenheid, L de zelfinductie per lengte-eenheid en R de weerstand desgelijks per lengte-eenheid.

Neemt men op deze geleiding een punt O aan, van waaruit de afstand x gerekend wordt positief naar den generator toe en negatief daarvan af.

Zij in een punt x, de stroomsterkte op een bepaald oogenblik

V^Tft/CUZOf

i en de spanning aldaar e, zij verder, teneinde den opzet algemeen

te maken en den isolatietoestand van den kabel mede in de beschouwing te betrekken, G de conductans in de stof, welke den geleider omgeeft ook per lengte-eenheid. Veronderstellen we verder, dat i en e beide sinusoïdaal met den tijd veranderen, dan kan, gegeven de bovengenoemde eigenschappen van den geleider, worden bepaald in welken toestand de verschillende punten van den geleider verkeeren.

1) In de hiernavolgende b e r e k e n i n g e n is in afwijking met de wijze, w a a r o p PuriN in „ t h e T r a n s -actions of t b c American I n s t i t u t e of Electrical E n g i n e e r s iSgg" en in „the T r a n s a c t i o n s of the A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l Society J u l i 1900" het o n d e r w e r p behandelt van de meer uitvoerige STElNMETZ-methode, zie S T B I N M E T Z .,Alternating C u r r e n t P h e n o m e n a " pag. 167—193 gebruik g e m a a k t , edoch met eenige tcekenverschillen, v o o r t s p r u i t e n d e uit de keuze van een ander coördi-n a t e coördi-n systeem, icoördi-n decoördi-n geest, zooals geschied is icoördi-n het artikel vacoördi-n CÏEOBG S E I B T E.T.Z. 1902 „ E l e c t r i s c h e D r a h t w e l l e n mit B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r Marconischen W e l l e n t e l e g r a p h i e " .

Bij de volgende becijfering zal van de symbolische methode,

zooals deze door STEINMETZ is aangegeven, worden gebruik

ge-maakt, terwijl tevens diens schrijfwijze zal worden gevolgd.

£ = E cos (p--\'i E sin qj is dus de afbeelding van een sinusoïdaal

veranderende spanning, waarvan een oogenblikkelijke waarde gelijk is aan e; E is de maximumspanning, cp het argument en j = ] / — i het symbolisch teeken, hetwelk aangeeft, dat E sin qp de vertikale projectie is van de E op een rechthoekig assenstelsel.

Twee vergelijkingen geven aan de wijze, waarop de / en de E zich wijzigen bij een verplaatsing dx n.l.

dE = I {R-\-i pL) dx,

de afbeelding van het feit, dat het spanningsverlies gelijk is aan de stroomsterkte vermenigvuldigd met den impedans en

dI=E[G-{-ipC)dx,

waaruit af te lezen is, dat hetgeen aan het eeiie einde van dx meer inkomt, dan aan het andere einde uittreedt, eensdeels gediend heeft voor de lading van dat stukje dx, terwijl het overig gedeelte is afgevloeid tengevolge van de gebrekkige isolatie; immers deze beide gedeelten tezamen vormen een stroompje ter sterkte dl, welk stroompje gelijk is aan de spanning vermenigvuldigd met de admittans van den weg door het diëlectricum.

We hebben dus twee differentiaal-vergelijkingen:

dl

dE

^ = IiR+ipL).

Deze beide vergelijkingen gedifferentieerd geeft:

d^I dE

Deze twee vergelijkingen gesubstitueerd in de beide voorgaande geeft: d'^E ^=E^G + -:^pC){R + ipL) (1) dU ^=I^[G-\-]pC){R-\-]pL). (2)

De twee laatste vergelijkingen zijn volkomen symmetri.sch, zoo-dat we bij integratie tenslotte zullen vinden, zoo-dat de 7 en de i? op dezelfde wijze van x afhangen; alleen zullen in de betreffende vergelijkingen de constanten onderling verschillen, en dit verschil zal in het algemeen zoodanig zijn, dat phaseverschillen optreden, aangezien de constanten van symbolischen aard zijn.

Lossen wij deze twee lineaire differentiaal-vergelijkingen van de tweede orde op de gewone wijze op, dan is de uitkomst van den vorm:

Kx — Kx / , \

E=K^e -^-K^e , . ^3)

daar de eerste afgeleide van E naar x ontbreekt. Hierin is 7 : = V{G-^\pC){R ^\pL).

Splitsen we dit in een reëel en in een imaginair gedeelte en stellen we daarbij K= oc -\- j [3, dan volgt uit de vergelijking

y{G-}-jpC) (R^ipL) = a-\-j(3voor

cc = J / T I V(pT7c^)W+7^)+G-^—j>' CL I

(4)

en de reëele gedeelten en de imaginaire gedeelten onderling aan elkander gelijk stelt.

Worden nu de constanten K^ en 7^2, die symbolisch en dus complex zijn, gesplitst, aldus:

^ 1 = Il + j ^1

en daarna deze waarden in (3) ingevoegd, dan is hiervan de uit-komst :

(K + j fl) X — ( ï -I- I (3) X

^ = ( > 1 , + j ^ , ) ^ +(>12+J52)^ • (5) Voert men de symbolische vermenigvuldiging met j uit, daarbij

in het oog houdende, dat wegens de keuze j = V—I, dit tot be-teekenis heeft een phase-vermeerdering van 90°, dan krijgt men:

r- " ^ 1 / 3 " , ^ « x j l ^ x - F — ) — « X — i ( 3 x h = -/\.^e e °]_e e "" '^^e e

-\-Thans wederom tot den gewonen analytischen vorm overgaande, daarbij bedenkende, dat

e = cos p X -\-) sin p x

voorstelt een sinusoïde met phasehoek l3x, dan is het eindresultaat het volgende:

e ^= yii e sin (pt + p x) -'T o^ e sin I pt -f p x-] 1 +

-|->l2^ sin (/if—l3x)-{-^2^ sin tpt—(3 x-\—j. (6) Ware ter oplossing niet de vergelijking (i), maar de vergelijking (2) ter hand genomen, dan had men, zooals bereids is opgemerkt, een analoog, slechts in constanten verschillend, resultaat verkregen, aldus:

i ^ p^e sin (pt -f- ,3 a;) -(- ""i ^ sin Ipt -\- (3x -]

+ P2e "'' sin (pt — l3 x) -^ <T2 e '" sin (pt — (3 x -\-~) . (7)

De constanten p^, p^, «•, en o-^ verschillen van -/i^, vjj; ^1 ^n ^2' doch zijn niet onafhankelijk van deze, wat uit de neergeschreven betrekkingen tusschen E en 7 nader blijkt. Om dat verband te bepalen dient men dan ook de toevlucht tot deze betrekkingen te nemen.

Het beste leent zich daartoe:

dE , dE dx - . ^^^ Uit (3) volgt: dE dx ' T^ J J^^/ - K^e'

^ . R^ipL dx '

Bijaldien de vergelijking (7) en hare constanten ^,, p^, C) en (T^ zijn afgeleid uit een vergelijking voor 7, welke analoog is met de vergelijking (3) voor E, zoo heeft men:

a + (3]

^2 = P2 + ] «"2-R+ipL

Hieruit laat zich, na substitutie van TT, ^ vjj -[- j 5, en K^ = •'?2 ~l~ J ^2 en na uitwerking, waarbij tenslotte het reëele gedeelte en het imaginaire gedeelte aan elkander gelijk worden gesteld, afleiden dat:

_ {x R-^ (3 pL) vj^ — {(3 R — xpL) S^ ''' ~ R^ + / 2 X2

_ {(3R~xpL)vi, +{xR-\-(3pL)^^ •^i "~ R'-+ p'L''

^ {(3R-xpL)vi2 + {xR + ^pL)\ 2 R'-J^fL^

Zonder in volledigheid de vergelijkingen (6) en (7) te beschouwen, wil het mij toch gewenscht voorkomen nu alreeds op eenige daaruit voortvloeiende bijzonderheden te wijzen.

Zooals zich verwachten liet, zijn inderdaad E en 7 afhankelijk van X, zoodat op een bepaald oogenblik de spanning en de stroomsterkte in verschillende punten verschillend zijn; dit is vooral, wat de stroom.sterkte betreft wel opmerkelijk, bovenal daar het mogelijk is, dat in verschillende punten van den geleider de stroomsterkte zelfs tegengesteld kan zijn.

Deze verschijnselen hangen samen met het feit, dat de stroom-sterkte en ook de spanning een golfvormig beloop hebben, getuige de sinusvormen, waarin de x als veranderlijke optreedt.

Beziet men voorts de vergelijkingen (6) en (7) wat nader, dan merkt men op, dat de vormen voor e en i zijn samengesteld uit 4 sinustermen, waarvan de twee eerste zijn aangedaan

«x — ax

met den factor e en de twee laatste met den factor e ; van de twee eerste sinusoïden neemt dus de amplitude toe met het aangroeien van x, bij de laatste twee daarentegen neemt deze amplitude af.

Dit feit, gevoegd bij het volgende, dat n.l. de twee laatste sinus-oïden, gelet op de teekens staande voor de /Sx, in hun beweging

tegengesteld zijn aan de beide eerste sinusoïden, geeft aanleiding \^ om deze laatste twee golven te betitelen als teruggekaatste golven. |

De golflengte van elk der 4 golven en dus ook van de resul- ' teerende golfbeweging is —^, immers wanneer men in de 4

sinus-P

27r

verschillen, dan zijn de uitkomsten van die twee substituties gelijk.

a: X — « X

Daar, slechts afgaande op de termen e en e , een en ander is aangegeven omtrent de demping der samenstellende golven, terwijl het er op aankomt te weten, hoe zich te dien opzichte de samengestelde beweging gedraagt, zij omtrent deze laatste beweging het volgende opgemerkt.

Beschouwt men daartoe de formule (6) en herstelt men van den tweeden en van den vierden term de voorvoeging j en van het geheel den symbolischen vorm dan is:

E^ yji e (cos /3 x -f- j sin /3 a;) ~|- J, ^ j (cos |3 Ï + j sin /3 x)

+ v,2 ^ " " ^ (cos \3x—i sin /3x) + \e'"''^\ (cos /3a; — j sin ,3x).

Uitgewerkt en gesplitst in een reëel en imaginair gedeelte wordt deze vorm:

E ^ \vi^e . zospx^Vi^e cos p a; — o^e sin p

a;-|--\- o^e sin p x^ - | - j \'•IJ e sin ,J .o;—^2^ sinpx-\-'"i^ cos/J

.-c-|--|- §2 ^ cos /3 a;| • Krachtens de definitie van de symboliek is:

E,ns.x sin cp = cos [3 X {\ e -\-^2^ ) -]-sin [3x{'/n e —-/i^e ),

n " " I — « x , . ri / ^ ' ^ ». —XX

Em^:, cosip = cospxyyj^e '\r vt^e )-j-sinp.^(—o^e + ^ 2 ^ )> waarin (f voorstelt den hoek, volgens welke geprojecteerd wordt.

Hieruit volgt voor de waarde van Timax:

7?max = (9)

en voor het argument:

XX — a x a x — xx\

s\npx{vi^e —v)2^ )-|-cospa;(d, É' -[-02e '

cos pa; (vjj É? -|->52^ )-f" sin p.^ (Ö2^ — o ^ e ' Op dergelijke wijze vindt men voor de stroomsterkte analoge uitdrukkingen, n.l.:

7 m a x = ( 1 1 )

y (Pi^ -\- <^i)e " " ' + ^Pi -i- 5"2^) '^ ""^ + 2 (pi /;2 -1- «-13-2) cos 2 (3a- + 2(pi 5-2 — ^2^1) sin 2 /3a;,

- a X

^.p- ijf = sin/3.x-(/;tg —p2e ) + cos/3a;(q-,g ' + ^ 2 ^ ) / j . , ^

«X — a x — « X * ^ \

cosp.r(^j^ -\-p^e ) - ^ sin p a; ((T. é? —«TJ^ ) De vorenstaande vergelijkingen hebben betrekking op het algemeene geval van een gclijkvormigen draad, waarin een wissel-stroom wordt onderhouden.

Bij de afleiding is over de uiteinden niet gesproken.

Het eene einde moet natuurlijk met een generator verbonden zijn; verder staat het nog vrij aan te nemen, wat zich aan het andere uiteinde bevinden zal.

Verondersteld kan worden dat:

i". het andere einde vrij is; 2''. dat zich aldaar een ontvang-toestel bevindt; 3", dat het meergenoemde uiteinde met de aarde verbonden is.

Feitelijk zou het onderhavige geval, de telefoongeleiding met de telefoon aan het einde, moeten worden gerekend te behooren tot de sub 2 genoemde veronderstelling. De constanten in de formules worden echter in dat geval weinig handelbaar, reden waarom dan ook in het hiernavolgende zal worden aangenomen, dat de telefoon een verlengstuk op den kabel vormt van denzelfden uniformen aard.

Deze aanname maakt het mogelijk het geval sub 3 toe te passen, immer wanneer een generator gesloten is door een keten, dan

15

zal de spanning in het punt van dezen keten, dat diametraal gelegen is tegenover dien generator nul zijn.

In het geval dus van den gclijkvormigen kabelader, welke door een telefoon gesloten is, zal dat punt met de potentiaal o zich midden in de telefoon bevinden. Wordt dus daar ter plaatste de aarde aangelegd of liever gezegd aldaar de aarde verbonden gedacht, dan is het geval (3) van kracht.

Veronderstel, terwijl deze voorwaarde in de vergelijkingen wordt ingevoerd, dat het coördinatensysteem zoo wordt aangelegd, dat in het bewuste punt x gelijk is aan o, zoodat voor a; = o, 7?-= o.

Substitueert men dit in de vergelijking (5) zoo heeft men:

o = ^\+^-+i^[ -i-i ^-^ of

^1 = - ^ ^ 2 '

vermits de coëfiicienten van het reëele en van het imaginaire gedeelte beide nul'moeten zijn.

Substitueert men (13) in (8) dan vindt men:

Pl=P2 , ,

a-, = i T j .

Substitueert men de vergelijkingen (13) en (14) in de overige, vroeger gevonden vergelijkingen, dan vindt men de volgende vermeldingswaardigheden.

(13) gesubstitueerd in (9) en voor x dan gelijktijdig ingevoerd a; ^ O, geeft natuurlijk -Zimax = o.

(13) gesubstitueerd in (10) en tevens ingevoegd .r = o, geeft ^^(jp=—, desgelijks een vanzelf sprekend resultaat, aangezien ter plaatse a; ^ o de spanning altijd o is.

(14) gesubstitueerd in (11) geeft:

w.

Substitueert men hierin x = o, dan vindt men: 7°ax = 2 l/'T^^'^r^^.

Substitueert men dit in de vergelijking voor 7„,ax, dan ruimen de constanten p^ en <T^ hun plaats in voor een meer beteekenende grootheid.

De formule wordt dan:

•/max — y 'f e -\- e + 2 COS 2 p a; I of: TO 2 -/max J max z^ /- ^^~ 1 / ' " ' ' 1 "^'«'' , n ye -\- e -\- 2 cos 2 p a;

Vermenigvuldigt men teller en noemer met ^ ~ "", dan krijgt men :

- ax TO 2 ./max ^ -/ max — 'T r

1 / 1 —4'»x — z a x

K I + ^ + 2 ^ cos 2 p a;

Het staat natuurlijk vrij om, instede van de 7max en de I„,ax, de middelbare waarden van die stroomsterkten in de plaats te stellen.

Schrijven wij deze respectievelijk I^ en 7x.

Verder kan bij benadering voor een lange geleiding, waarvan

X groot is, voor den noemer de waarde i worden aangenomen,

daar in dat geval in dien noemer de 2" en 3" term tegen den i" kunnen worden verwaarloosd.

Alsdan is:

/o = 2 7 , ^ " . (15) Alvorens nu uit het geheele samenstel van formules de gewenschte

bijzonderheden af te lezen, zij hier ter plaatse reeds aan de hand van formule (15) geconstateerd, dat de middelbare stroomsterkte aan den ontvanger geringer is, dan die bij het afzendtoestel (substitueer x-=l, / = de lengte van den kabel). Voorts komt in

—ux

De grootte van de afname hangt af van de waarde van x, welke daarom den naam van d e m p i n g s f a c t o r gekregen heeft; hoe grooter deze x, hoe grooter de d e m p i n g.

Nu ons de verschillende algemeene vergelijkingen ten dienste staan, en tevens de meer in het bijzonder op de kabeltelefonie toepasselijke vergelijkingen zijn afgeleid, willen wij den draad van de beschouwing, zooals deze in de inleiding is achtergelaten, wederom opvatten, daarbij gebruik makende van de tusschen de becijfering gemaakte opmerkingen.

In de eerste plaats kan thans wat scherper oj) de werking van de capaciteit worden ingegaan. Welke is haar invloed?

Zij is, wanneer men de afleiding buiten rekening laat, de oorzaak voor de golfbeweging. Zonder haar was deze niet mogelijk, zonder

haar zou nimmer de overgebrachte arbeid tijdelijk als potentieele

energie in het medium kunnen worden opgehoopt. Sub.stitueert men

C=0 in de vergelijkingen (4), welke ter vereenvoudiging van G

zullen worden ontdaan, vermits deze voor een goede geleiding immer gering en voor kabels, in alle geval te verwaarloozen klein is, dan wordt het bovenstaande bevestigd, aangezien x en /3 alsdan gelijktijdig O worden. ')

Die vereenvoudigde vergelijkingen voor oc en [3 zijn:

<^ = V "2 pc (M/^xqr^ ~^L)

(16)

/3 = I/V2/C iVf L- + R^ + pL),

Wat is nu het schadelijk gevolg van deze golfbeweging ?

Het schadelijk gevolg van deze golfbeweging is gelegen in het optreden van de reeds geschetste demping, terwijl deze demping

moet worden gevreesd, dewijl zij een geluids-verzwakking uitwerkt,

1) S u b s t i t u e e r t men C = o in de o n v e r e e n v o u d i g d e vergelijkingen (4), dan worden a e n / 3 niet o. D i t is duidelijk. Immers door de afleiding zal inderdaad de s t r o o m s t e r k t e door geleden verlies o n d e r w e g op verschillende p l a a t s e n verschillend zijn.

2

welke sterker is, naarmate de frequentie van den stroom grooter en dus de toon hooger is.

Dit laatste laat zich verduidelijken uit de formule voor x. Stel hierin, aangezien voor den gewonen kabel L klein is, 7 = o; dan is:

X = V^J^JCR. (17)

Uit deze formule blijkt, dat x evenredig is met ] / / . ; de 3'''' boventoon wordt dus 2 maal zoo sterk gedempt als de grondtoon. Hiermede zijn dus de mededeelingen in de inleiding omtrent de capaciteit gedaan bewezen.

Hoewel hierboven geen aanleiding tot misverstand gegeven werd, zij er toch uitdrukkelijk op gewezen, dat daar niet is beweerd, dat de demping het directe gevolg is van de capaciteit.

Dat zou niet juist zijn, de directe oorzaak van de demping is de weerstand, samenwerkende voor zoover aanwezig met de afleiding G. Demping toch beteekent verlies van overgebrachte energie en de capaciteit doet niets anders, dan arbeidsvermogen tijdelijk in het diëlectricum ophoopen, zonder iets te doen te loorgaan.

Wanneer nu nog verder aangetoond wordt, dat een verhooging van zelfinductie de schadelijke werking van de capaciteit vermag te verzachten, dan hebben de formules in eersten aanleg hunne diensten bewezen.

Om beter den invloed van de zelfinductie te kunnen nagaan zal worden voorop gezet, dat deze op een of andere wijze zoodanig vergroot is, dat in de formules pL zeer groot is ten opzichte van R. Dit laatste is natuurlijk aanstonds bereikt, daar de / bij de telefoonstroompjes tamelijk hoog is.

De formule voor x laat zich dan door gepaste benadering tot handiger vorm vereenvoudigen.

/ R^ \ ^"^

Het hierin voorkomend binomium i -1 —^7 laat zich in een \ ' p^L^/

R'^

reeks ontwikkelen; is een kleine breuk, verwaarloost men

p'

L'-hiervan de hoogere machten bij de ontwikkeling, dan wordt dit:

V^kP^CL |(i + ' / 2 ^ ) — 1 ,

hetwelk uitgewerkt geeft:

^='\IR\/^- (18)

Uit dezen vorm is nu direct te zien, dat gegeven een bepaalde

R en een bepaalde C, door vermeerdering van L, de x kan

worden verkleind.

Wat bovendien aanstonds opvalt is, dat uit deze formule (14) / , dus het aantal perioden, verdwenen is; dit heeft tot hoogst belangrijk gevolg, dat hooge zoowel als lage tonen in dezelfde mate worden verzwakt, zoodat het timbre van het gesprokene niet wordt gewijzigd.

Hiermede is de werking van de zelfinductie aangegeven. Toch blijven er nog wel eenige belangrijke vragen over, en wel in de eerste plaats: hoe staat het met de phaseverschillen tusschen de oogenblikkelijke waarden van de stroomsterkte en de spanning en verder nog het volgende.

In de formules (6) en (7) komen 4 golven voor, waarbij er reeds op werd gewezen, dat 2 naar hun aard teruggekaatst konden worden geheeten.

Deze 4 golven zullen interfereeren en het aanzijn geven aan buiken en knoopen of beter gezegd, in aanmerking genomen de demping, plaatsen van maximum en minimum stroomsterkte en spanning. Een vraag, die uit het bovengenoemde feit voortvloeit, is deze:

Is het niet mogelijk, dat een ontvanger juist in een stroomarm gedeelte geplaatst wordt en op welke wijze moet daartegen worden gewaakt ?

Aangaande deze beide vraagpunten zij het volgende opgemerkt. Dat de phasehoeken van stroom en spanning afhankelijk zijn van de periode, dit volgt vanzelf uit de formules (12) en (10), want daarin komt p voor. In deze afhankelijkheid is juist, wegens de daaruit voortvloeiende ongelijkheid der verschuivingen, de bron voor timbre-veranderingen gelegen. Wordt er nu evenwel voor gezorgd, dat door verhooging van de zelfinductie de demping gering geworden is en pl^ groot ten opzichte van R, dan ligt het vermoeden wel voor de hand, dat de phaseverschillen tusschen stroomsterkte en spanning onafhankelijk geworden zijn van de periode. Immers in dat geval zal de watt-componente van den stroom zoo gering zijn, dat zij samengesteld met de 90° gedraaide wattlooze componcnte een resultante oplevert, die bijna samenvalt met de wattlooze.

Wordt nu de wattlooze-componente door het vcrhoogen van de frequentie nog grooter, dan zal de resultante nog iets dichter bij de wattlooze komen te liggen, maar geen merkbare richtings-verandering der resultante zal van deze verhoogiiig het gevolg zijn. De totaalstroom is bij benadering wattloos en door vergrooting van de frequentie wordt deze benadering hoe langer hoe juister. Het bovenstaande, te weten, dat tusschen stroomsterkte en spanning, voor het geval men met een inductans-geleiding te doen heeft, een phaseverschil van 90° bestaat, hetwelk onafhankelijk is van de periode, zal in het hiernavolgende met behulp van de afgeleide betrekkingen nog wat nader toegelicht worden, waarbij dan tevens het tweede nog niet beantwoorde vraagpunt ter sprake komen zal.

Hiervoor is noodig de formule (7), waarin p^ = p2 en ffj ^= a"2. De 4 daarin voorkomende golven kunnen zich onder bepaalde omstandigheden tot een tweetal staande golven vereenigen.

a x — XX

De voorwaarde hiervoor is, dat a = o en dus e en (? beide gelijk zijn aan de eenheid. Zou x inderdaad nul zijn, dan moest natuurlijk de kabel aan het ideaal beantwoorden en geen demping vertoonen, iets wat niet mogelijk is. Toch zal voorloopig worden verondersteld, dat « = o is, daarbij aannemende, dat door verhooging van de zelfinductie een en ander is tot stand gebracht.

De formule in haar vereenvoudigden vorm wordt dan:

i = p^ sin {pt -|- ^'x) + ^x •'''" (/^ 4~ ^^ '\ ) "4"

3) 4) T:

- j - /3j sin {pt — ^x) -\- (Tj sin {pt —• ^x -\ ).

Golf ') en 3) stellen zich tot een staande golf te zamen, eveneens ^) en '•\ Van '' en 3) zal dit worden aangetoond;

/3j {sin {pt -\- (3x) -f- sin {pt — px) } ^ ^j j 2 cos i3.f sin pt [ .

Deze rcsulteerende beweging is harmonisch en de halve

am-plitude 2 /3j cos /3a; is blijkbaar enkel afhankelijk van x. In den tweeden factor komt als veranderlijke enkel de tijd voor. Wanneer deze laatste factor op een zeker oogenblik nul is, dan is in alle punten gelijktijdig de stroomsterkte nul. Wij hebben dus te doen met een staande trillingsbeweging, waarvan de golflengte

2 TT

gelijk is aan —5- • P

Knoopen zullen optreden in de punten: X

buiken in de punten: X

Worden de golven ^' en •*) samengesteld, dan is hiervan op dezelfde wijze de resultante:

^ 3 2 , 3 ' 2 7T ^ ' ^ ' TT T3 • 2 TT /3 enz. enz.

2 (Tj COS (3x sin {pt -\—),

eveneens een staande golf, welke 90° in tijd met de voorgaande verschilt, maar die, wat betreft de x, met deze in gelijke phase verkeert.

Wederom treden dus knoopen op in de punten:

TT 3 T " = ^ ' ^ ' • • • ^ " ^ -buiken in de punten: TT 2 TT a; = O, ^, - : r • • • enz. P P

Houdt men dezelfde redeneering voor de spanning, daarbij bedenkende, dat vjj = — vjj en Sj = — ^j, dan vindt men:

•) ') Tt 3)

e = '^j sin {pt -f /3a;) + Jj sin {pt -f- (3x -| ) — >)i sin {pt — (3x) —

— Si sin ( / / — / 3 a ; + ^ ) .

Aangezien golf 3> en •>) hier van het negatieve teeken voorzien zijn, zal men eenigszins gewijzigde uitdrukkingen verkrijgen, zooals bij uitvoering van de samenstelling blijkt, n.l.

e ^ vi^ 12 sin ,3a; cos pt ^ -[~ ^1 {2 sin (3x cos (// -| ) } .

Ook hier komen dus wederom de twee staande golven voor den dag, wier knoopen gelegen zijn in de punten:

Z 2 7t

a; = O, -5, ^ - , . . enz. P P

Wat den knoop a; ^ o betreft, deze liet zich verwachten, aan-gezien dit als onderstelling aan de formules ten grondslag ligt.

De buiken bevinden zich in de punten: T: ^ TT

a; = --5, —^ . . . enz.

2/3 2/3

bijzondere punten met elkander, dan blijkt, dat op de plaatsen waar zich van de stroomsterkte een buik bevindt, zich juist van de spanning een knoop voordoet en omgekeerd. Spanning en stroomsterkte verschillen dus, zooals vermoed werd, 90° in phase, wat hun plaats betreft.

Het phaseverschil ten opzichte van den tijd is ook eenvoudig te bepalen, en wel aldus:

Stelt men van de stroomsterkte de twee staande golven te zamen, 2 Px cos (3x sin pt -\- 2 a-^ cos (3x sin {pt -| ), dan is de resultante:

]/ (2 Px cos /3a;)' + (2 a-j cos (3x)^ sin {pt -|- -^p),

waarin de phase-verschuiving bepaald is door: 2 ff-, cos I3x (T,

tgw = —! L^ = J-. 2 Px cos pa; px

De twee staande golven van de spanning opgeteld, geeft iets dergelijks, n.l.

2 vji sin (3x cos pt — 2 ^j sin ,3a; sin pt. De resultante is:

y (2 Vjx sin /3a;)'' -j- (2 ^, sin (3xY sin {pt 4- <ip),

'/, waarin tgcp ^ — r^^.

De symmetrische verwisseling van den sinus en den cosinus, die bovenstaande formules te aanschouwen geven, wijst reeds op 90° als uitkomst.

Om nu — tot een vorm te verwerken, waarin -/j, en S, voor-zei

komen, zal worden gebruik gemaakt van de vormen (8), die het onderling verband aangeven.

Met behulp hiervan schrijven we neer:

3-1 _ {13R —xpL) >)| 4- {xR 4- (3pL) §,

Bedenkende, dat x = o en R te verwaarloozen gering is ten opzichte van pL, vindt men:

T, pL §, §1

Px pL-A^ Vi\

Het gevonden resultaat van de beide phasehoeken naa.st elkander schrijvende, heeft men dus:

tgW^ ^entgip = —^.

Deze beide tangenten, welker teekens tegengesteld en welker

waarden réciproque zijn, behooren bij hoeken, welke 90° in grootte verschillen.

Deze phase-verschillen van 90° en de interferentie tot staande golven bestaan alleen, wanneer, zooals verondersteld werd, x = 0 is. Is dit niet zoo, hetgeen wel altijd het geval zal zijn, dan zullen geen vaststaande knoopen en buiken optreden, maar plaatsen van maximum en minimum stroomsterkte en spanning. De phase-ver-schillen zullen dan ook niet precies 90° en onafhankelijk van de frequentie zijn. Evenwel bij de zelfinductie-verhooging is het bovenstaande het doel, waarnaar wordt gestreefd.

De reden, waarom in de vorenbedoelde beschouwing ook knoopen en buiken werden opgenomen, is de volgende.

Op de ontvangplaats, waar de spanning nul is, vertoont de stroomsterkte een buik, hetgeen als een gelukkige omstandigheid moet worden aangemerkt, aangezien de telefoon natuurlijk het sterkst zal aanspreken, wanneer de stroom-variaties maximum zijn.

Evenwel zou men zich kunnen denken, dat zich op de verbruiks-plaats een stroomknoop bevond. Immers een spanning nul zullen wij hebben in het electrische midden van de geleiding; wordt er nu niet gezorgd, dat men de telefoon in de nabijheid van het midden aanbrengt, dan zou deze nalatigheid met geringere geluidsterkte kunnen worden gestraft. Het is dus van belang, aangezien de telefoon uit den aard der zaak in het meetkundige

midden wordt aangebracht, te zorgen, dat de beide geleidingen ook electrisch aan elkander gelijk zijn.

Tevens zij erop gewezen, dat de afleiding mede een element is, hetwelk excentriciteit kan te weeg brengen, daar in den vorm voor j3 ook G optreedt, terwijl de golflengte gelijk is aan

2 TT

Dat excentriciteit door afleiding zeer licht ontstaat, waarbij het dan alleen nog maar van omstandigheden afhangt, of deze werkelijk door de verplaatsing van den stroombuik tot geluidsverzwakking aanleiding geven kan, is, naar het mij voorkomt wel, uit de opgedane ervaringen met de duplex-telefonie hier te lande te concludeeren.

Het in Nederland toegepaste duplex-systeem is schematisch voorgesteld in de onderstaande figuur. Door deze schakelingswijze is het mogelijk, dat met hehulp van het tweetal dubbellijnen /| en /,, 3 paar personen met elkander kunnen correspondeeren:

Y

/ /

ui

's

6

i". A met / ? ; 2". C met D en f. E met F.

Door de personen E en F wordt dan van de dubbellijnen /, en 7 als enkellijnen gebruik gemaakt.

Deze inrichting heeft echter, ondanks de vele voorzorgen, welke getroffen werden, nimmer practisch voldaan, behoudens enkele zeer weinige uitzonderingen.

Waaraan deze mislukking moet worden geweten, laat zich uit het voorgaande gemakkelijk begrijpen, daar de geheele inrichting haar doel mist, wanneer zich in de punten i geen spanningsknoop bevindt, vermits in dat geval onmiddellijk mede luisteren van

de personen onderling zal optreden. In dat geval zullen toch onderlinge spanningsverschillen tusschen de punten i stroomen veroorzaken in de zich tusschen deze punten bevindende telefoontoestellen E en F, zoodat in Z' en 7" kan worden verstaan, wat van A naar B en van C naar D wordt gesproken.

Zooals hierboven werd aangeduid, zal de spanningsknoop zich verschuiven, wanneer de isolatie van de geleidingen, welke de dubbellijn samenstellen, onderling verschilt.

Aangezien, naar het mij wil toeschijnen, aan geen andere oorzaken de mislukking kan worden toegeschreven, moet hieruit volgen, dat deze verschuiving van den spanningsknoop geen denkbeeldig iets is.

Ter beoordeeling van dit laatste zij vermeld, dat bij den aanleg van de duplex-installaties nauwlettend wordt zorg gedragen, dat de weerstand der enkele geleidingen onderling gelijk is, terwijl de transformator-klossen zuiver in het electrische midden worden afgetakt.

Moge ten slotte nog betreffende de voortplantingssnelheid een en ander worden opgemerkt.

Zooals op pag. I2 bij de discussie van de vergelijkingen (6) en (7) werd aangegeven, bedraagt de golflengte van de rcsul-teerende golfbeweging, alsmede van de samenstellende golven ~ . In aanmerking nemende, dat /3 = ] / ' / j / C ( K / ^ Z ^ - f 7?^ 4 - / 7 ) , blijkt hieruit, dat de voortplantingssnelheid in het algemeen afhankelijk is, niet alleen van de capaciteit en de zelfinductie, maar tevens van de frequentie. Immers de golflengte X = v T.

1 2 TT

Hierin stelt ï'de voortplantingssnelheid voor en 7 ^ ^ — = — de periode van den wisselstroom, welke door de geleiding wordt overgebracht.

In deze vergelijking de waarde van de verschillende factoren invoegende, vindt men:

Hieruit blijkt de bovenvermelde afhankelijkheid, vermits in deze vergelijking p voorkomt.

Thans kan een dergelijke redeneering worden gehouden als bij de phase-verschuiving, die desgelijks van de periode afhankelijk was, want ook het feit, dat de voortplantingssnelheid van de frequentie afhangt, zou voor het duidelijk telefoneeren een beletsel kunnen zijn.

Wanneer toch voor de microfoon een klank wordt voortgebracht, dan zal door de ongelijke snelheden, waarmede de verschillende samenstellende tonen worden overgebracht, in den telefoon-ontvanger een, zij het dan ook weinig, verschoven klankgeluid worden weergegeven.

Dit zou, met de reeds besproken phase-verschuiving, een tweede oorzaak kunnen zijn, waaraan het gebrekkige van de kabeltelefonie kan worden geweten.

Het eigenaardige van dit verschijnsel is nu, dat ook dit euvel, door het inbouwen van zelfinductie wordt opgeheven.

Veronderstelt men hier, evenals dit bij de afleiding van de formule (i8) geschied is, dat door het invoeren van zelfinductie

ph zoo groot geworden is, dat R ten opzichte van dezen term

kan worden verwaarloosd, dan gaat de laatstgenoemde betrekking voor V over in:

I

In deze betrekking is / , en daarmede de frequentie, verdwenen. Hieruit kan dus worden afgeleid, dat voor een inductans-geleiding, de voortplantingssnelheid onafhankelijk is van de frequentie. Hoe het gesteld is met een gewone telefoongeleiding, hiertoe kan men geraken, indien men analoog met de wijze, waarop dit in de formule (17) geschiedde, pL verwaarloost ten opzichte van R. Alsdan verkrijgt men voor de voortplantingssnelheid de volgende betrekking:

Uit deze formule blijkt, dat in dit geval de voortplantings-snelheid wel degelijk afhankelijk is van de frequentie, en wel met dien verstande, dat de voortplantingssnelheid met de frequentie toeneemt. Tevens kan hieruit worden afgeleid, welken invloed de verschillen in de voortplantingssnelheden, bij een leiding van bepaalde lengte, zullen hebben. Alvorens hiertoe over te gaan geven wij deze formule de volgende gedaante:

Voegt men hierin: de capaciteit in M.F. per K.M. en de weer-stand in Ohms per K.M., dan vindt men de snelheid in K.M. per secunde.

Veronderstel thans, dat men heeft een kabelgeleiding van 400 K.M. lengte, waarvan de capaciteit per K.M. 0,04 M.F. bedraagt en de weerstand 20 11, dan zal de voortplantingssnelheid voor een wissel-stroom van 100 perioden ongeveer 40000 K.M. per secunde zijn, voor één van lOOO perioden ruim 125000 K.M.

Hieruit volgt, dat de afstand van 400 K.M. door den stroom van 100 perioden zal worden afgelegd in 0,01 secunde en door den stroom van lOOO perioden in 0,0032 secunde. Het verschil tusschen beide is 0,0068 secunde, overeenkomende, voor een stroom van 1000 perioden, met bijna 7 trillingen.

P r o e f n e m i n g e n betreffende de uniforme vermeerdering v a n de zelfinductie in kabelgeleidingen.

Vele pogingen zijn in den loop van den tijd aangewend, om door uniforme verhooging van de zelfinductie de telefonische gemeen-schap langs kabelgeleidingen te verbeteren, in den geest, zooals in het vorig hoofdstuk werd behandeld. Van deze pogingen zullen de voornaamste in de volgende regelen kortelings worden besproken.

In het algemeen werd bij de proefnemingen als geleidingsmateriaal het koper gebruikt, daar dit den geringsten ohmschen weerstand bezit; verder werd de koperader met ijzer bewikkeld. De ver-schillende wijzen, waarop zulks geschieden kon, gaf tot vele, in geringe onderdeden van elkander afwijkende constructies aanleiding.

Het kabelwerk R H E I J D T ') omwikkelde eerst den koperader met

twee dunne ijzerdraden, en daarna dit samenstel, teneinde de aders onderling te isoleeren, met papier. De werking van het ijzerdraad is dan tweeledig: het houdt ten eerste het papier uit elkaar, en bevordert dus de lucht-isolatie en vermindert de capaciteit, terwijl het verder een verhooging van de zelfinductie tengevolge heeft. De uitkomsten waren evenwel niet bemoedigend. Prof. Dr.

BREISIG verrichtte aan een kabel van 17 K.M., volgens

boven-bedoelde constructie uitgevoerd, een reeks van metingen, en vond de volgende waarden:

capaciteit zelfinductie draaddikte 2 m.M. zonder ijzer 0,087 M.F. 0,000296 H.

„ „ „ met „ 0,085 M.F. 0,000410 H. 1) E. T . Z. i g o i p a g . 1046.

Dit beteekent dus ongeveer een zelfinductie-toename van 38,5 "/(,. Een kabelverbinding van deze constructie heeft de Firma, in opdracht van de Deutsche Reichspost, tot stand gebracht tusschen Dusseldorf en Elberfeld. De opleveringsproeven van dezen kabel

zijn mede door Prof. Dr. BREISIG bijgewoond en beschreven.

Met het slot van diens rapport, waarin de uitkomst als een stap in de goede richting wordt aangemerkt, kan gereedelijk worden ingestemd.

K R A R U P heeft eenige proefnemingen gepubliceerd, die hij nam

op een zelfinductie-kabel, welken hij construeerde, door een koper-ader stijf aaneengesloten met zeer week ijzerdraad te omwikkelen. ^) Toch vermocht ook deze, blijkens zijne proefnemingen, geen belang-rijke zelfinductie-verhooging tot stand te brengen. Wel heeft hij in enkele gevallen een 9 a lo-voudige verhooging verkregen, echter ten koste van geringere practische uitvoerbaarheid. Toch zijn van dit kabeltype nog eenige uitvoeringen voorhanden. ^) In den aanvang van 1903 werden namelijk van Laaland naar Fehmarn en van Helsingör naar Helsingborg kabels van het Kraruptype gelegd. De eerstgenoemde kabel had een lengte van 19,3 K.M., en was 4 aderig; de kopergeleidingen waren met ijzerdraad van 0,3 m.M. dikte omwonden. De tweede kabel had een lengte van 5,3 K.M. en was eveneens 4 aderig; de ijzerdraad omwikkeling van de koperen geleidingen was hier van 0,2 m.M. dikte. ^)

1) E. T . Z. 1902 pag. 344.

^) E. T . Z. 1903 pag. 746 en het weekblad van het Deensche I n s t i t u u t van Ingenieurs „ I n g e n i ö r e n " J903 pag. 121.

•') W A L S Ö E , die deze kabels (zie noot 2, pag. 30) beschrijft, v e r k l a a r t , dat door de v e r k r e g e n verhooging v.in de zelfinductie de geluidsoverdraging belangrijk is verbeterd en dat de k a b e l s a a n de gestelde v e r w a c h t i n g volledig hebben voldaan.

Deze u i t s p r a a k meen ik e c h t e r te moeten betwijfelen, tenzij ik aanneem, dat de v e r w a c h t i n g e n niet hoog g e s p a n n e n waren.

D e o n d e r h a v i g e kabels, vooral die v a n 5,3 K.M., zijn naar het mij voorkomt, te kort om een w a a r n e e m b a r e v e r b e t e r i n g op te leveren, t e meer, daar de koperdoorsnede der aders, welke gevormd w o r d t door 7 i n e e n g e d r a a i d e d r a d e n van 1,35 m.M. dikte, tamelijk hoog is.

W a t voor het overige de mededeelingen van W A L S Ü S betreft, met name de zeer g e w a a g d e ver-gelijking tusschen de K r a r u p - m e t h o d e en de P u p i n - m e t h o d e , deze is naar mijne meening voldoende door de h e e r e n D O L E Z A L E K en E B E L I N G weerlegd. E. T . Z. pag. 875.

Dat langs den, in de twee genoemde proefnemingen geschetsten weg, weinig te bereiken viel, hadden reeds de uitgebreide

proef-nemingen aan het kabelwerk F E L T E N en GuiLLAUME uitgewezen. ')

Het gold namelijk een proefneming op het gebied van onder-zeesche telegraafkabels. Deze kabels, welker isoleermateriaal uit guttapercha bestaat en die dus uit den aard der zaak een hooge capaciteit bezitten, bieden natuurlijk aan een groote telegrafcer-snelheid dergelijke moeilijkheden, als bij de telefoonkabels besproken zijn. Om deze moeilijkheden te overwinnen had men toen eveneens steun gezocht bij de zelfinductie. Dienaangaande werden, met medewerking van de Deutsche Reichspost, proeven aan genoemd kabelwerk genomen, waarbij de koperdraad werd omwonden met ijzerdraad volgens open spiralen. Er werd echter geen hoogere zelfinductie-vermeerdering bereikt dan het 1,57-voudige der oor-spronkelijke waarde.

Op afdoende wijze is het vraagstuk van het geleidelijk verhoogen van de zelfinductie behandeld door de heeren F. DoLEZALEK en

A. EBELING ^) in opdracht van de Firma SIEMENS en H A L S K E ,

A. G. Zij wijzen erop, dat, wanneer een koperader met ijzer wordt omgeven, een verhooging van de capaciteit hiervan het gevolg is, aangezien de metallieke doorsnede van den ader wordt vergroot. Het aangebrachte laagje tusschen het koper en het ijzer, dat uit den aard der zaak dun moet zijn, kan n.l. wat betreft zijn invloed op de capaciteit practisch worden weggedacht. Die vergrooting van de metaaldoorsnede beteekent niet alleen een vermeerdering van het ladingsoppervlak, maar tevens een meerdere evenwijdigheid en toenadering van de naar elkander toegekeerde zijden van den heen- en teruggeleider. Dit bezwaar zou weliswaar te verminderen zijn door het dikker maken van den scheidingswand; echter maakt dit den kabel nog zwaarder, dan deze door de aangebrachte

1) E.T.Z. 1899 p a g . 843. -) E.T.Z. 1903 p a g . 770.

ijzerlaag reeds is. Bedoelde verhooging van de capaciteit, in verband met den door de kosten aangewezen begrensden afstand der geleiders, stellen aan de verhooging van de zelfinductie vrij vlug een betrekkelijk lage maximum grens. Een en ander wordt in bovengenoemd artikel door becijfering en proefneming nader opgehelderd.

De aangehaalde proefnemingen en vooral dit laatste artikel toonen duidelijk het ondoelmatige van de uniforme verhooging aan. Het behoeft dan ook geen verwondering te wekken, dat deze weg thans geheel is verlaten en men tegenwoordig op geheel andere wijze naar verhooging der zelfinductie streeft.

HOOFDSTUK III.

Inleiding tot de theorie van P u p i n .

De in het vorige hoofdstuk bedoelde nieuwere methode om de zelfinductie in kabels te verhoogen, bestaat hierin, dat men klossen of spoelen van gewonden draad, in de geleiding schakelt, welke klossen dan meestal tot hoogere opvoering van de zelfinductie van ijzeren kernen voorzien zijn. Het spreekt wel van zelf, dat op deze wijze een veel betere inductieve geleiding kan worden verkregen, en het zal menigen lezer dezes reeds bevreemd hebben, dat niet eerder deze zoo voor de hand liggende richting werd gevolgd. Evenwel, hoe deze weg ook voor de hand mocht liggen, de . moeilijkheden, die daarbij overwonnen moesten worden, lagen minder voor de hand, en het moet dan ook aan deze laatste omstandigheid worden geweten, dat de eerste proefnemingen in deze richting mislukten. Deze mislukking was zoo volledig, dat de ingeschakelde klossen, in stede van verbetering te geven, in sommige gevallen de geluidsoverbrenging bepaald verminderden. Het opgeven, om aldus de zaak op te lossen, zou niet hebben kunnen uitblijven, indien niet PuPiN de resultaten van zijne proeven hat gepubliceerd. Deze had bedoelde aangelegenheid aan een volledig onderzoek onderworpen. Daarbij werd hij geleid door een mechanisch voorbeeld, dat hem de vermoedelijke reden openbaarde van het mislukken der hiervoor besproken proefnemingen. Met de resultaten van zijne proeven heeft hij den grond gelegd voor een definitieve oplossing.

Die mechanische parallel, welke PuPIN zulke goede diensten bewees, zal hier worden herhaald om als inleiding voor zijne

inzichten te dienen. Hij vergeleek n.l. de golfbeweging, zooals deze zich in den kabel voordoet, met het trillen eener snaar, en de wijze, waarop zich de spreekarbeid bij een kabel van het eene einde naar het andere einde voortplant, met de wijze, waarop zich een trillingsarbeid door een snaar van het begin naar het einde voortbeweegt. Ook bij zulk een snaar, zal de energie, welke bij het begin aan de deeltjes wordt medegedeeld niet zonder verliezen, door die snaar naar het einde worden overgebracht, daar wrijvings-verliezen, die zich in warmte omzetten, noodzakelijk zullen optreden.

Deze wrijvingsverliezen, welke ook hier de trilling trachten te dempen, zullen grooter zijn naarmate de snelheid der zich bewegende deelen grooter is. Wil men dus een bepaalde hoeveelheid arbeid met zoo gering mogelijk verlies overbrengen, dan zal men er naar moeten streven om de snaar een groote massa per lengte-eenheid te doen hebben. Immers een hoeveelheid arbeidsvermogen van beweging '/2 '^^^ ^^'^ zelfs bij geringe snelheid groot zijn, wanneer slechts m een hooge waarde bezit. Men heeft dus niets anders te doen, dan de snaar te verzwaren, hetgeen eenvoudig uit te voeren is. Evenwel moeten wij om de analogie met den kabel volledig te maken, veronderstellen, dat moeilijkheden zich tegen een gelijkmatige verzwaring verzetten, zoodat een puntsgewijze ver-dikking moet worden nagestreefd. Men denke zich dus, dat op bepaalde afstanden van de snaar, kogeltjes worden bevestigd. Edoch, nu treden bezwaren voor de golfbeweging op, tenminste, wanneer geen voorzorgen worden in acht genomen. Worden namelijk de kogeltjes op onregelmatige afstanden aangebracht, of zijn deze zelve van ongelijke zwaarte, dan zal terugkaatsing kunnen optreden. Deze terugkaatsing zal grooter zijn, naarmate de vorenbedoelde onregelmatigheden ernstiger zijn. Door deze terugkaatsing zal de golf-voortplanting worden belemmerd en gestoord.

Dat het bovenvermelde voorbeeld van de snaar werkelijk als parallel voor den kabel gelden kan, is duidelijk, wanneer men

bedenkt, dat massa met zelfinductie en stroomsterkte met snelheid kan worden vergeleken. Van deze voorstelling wordt vaak gebruik gemaakt bij het populariseeren in andere deelen der electrotechniek. Een hoeveelheid arbeidsvermogen '/2 L i"^, dat zich langs een kabel voortbeweegt, heeft natuurlijk ook verliezen in den vorm van Joule'sche warmte te duchten. Deze verliezen zullen grooter zijn, naarmate i grooter is. Heeft men dus een bepaalde hoeveelheid energie langs den kabel over te brengen, dan zal men dit met

het oog op deze verliezen zoo economisch mogelijk doen, wanneer

men Z groot maakt, hetgeen dus hierop neerkomt, dat men den kabel door zelfinductie verzwaart.

Zooals men zien kan is de overeenkomst tusschen de snaar en den kabel inderdaad treffend, en het vermoeden ligt dan ook wel voor de hand, dat de oorzaken, welke de mislukking der eerste pogingen tot het invoeren van de spoelen veroorzaakten, van analogen aard zijn, als de invloeden, die bij een verzwaarde snaar de geregelde arbeidsoverbrenging belemmeren. Een reeks van vernuftig in elkaar gezette proeven heeft deze inzichten bewezen.

ö *^^'!^'',\''

l

m

i

L

PuPiN verrichtte deze proeven in zijn laboratorium met behulp van een kunstmatigen kabel, die evenals een werkelijke kabel

gelijkmatig over zijn geheele lengte van weerstand en capaciteit voorzien was. Hij bereikte dit, door de geleiders te doen bestaan, uit dunne stanniolreepjes, welke hij op geparaffineerd papier plakte, zooals de bijstaande figuur nader aangeeft. De teruggeleider bestond eveneens uit stanniolreepjes, die op dezelfde wijze aan den achter-kant van het papier geplakt werden. De heen- en teruggeleider vormden op deze wijze een condensator van 0,074 M.F., terwijl de weerstand 9 II bedroeg. Zulk een blad papier vertegenwoordigt dus een kabel van ongeveer i Eng. mijl lengte. Door meerdere dergelijke met stanniol beplakte papieren achter elkaar te schakelen kon hij dus een kabel verkrijgen van vele mijlen lengte, terwijl hij tevens in staat was om in dien kabel op bepaalde afstanden spoelen te schakelen. Die spoelen bracht hij zoodanig aan, dat het hem mogelijk was om willekeurig een aantal te kunnen in- of uitschakelen. Met behulp van deze inrichting toonde hij aan, dat door op regelmatige wijze spoelen in te schakelen, een groote verbetering van de telefonische gemeenschap kan worden verkregen.

Verder over deze proeven uit te wijden heeft, naar het mij voor wil komen, geen nut. Hierboven toch is op voldoende wijze het principe aangegeven. Overigens zijn de proeven, zooals PuPIN die publiceerde, merkwaardig genoeg om aan belangstellenden ter lezing aan te bevelen. ')

Deze proeven en resultaten heeft PuPIN ook getracht in theoretische becijfering te volgen. Daartoe heeft hij in zijn geschrift een hoofdstuk opgenomen over niet-uniforme geleiders met punts-gewijze ingeschakelde zelfinductie en capaciteit, waarin hij eenige regels heeft vastgelegd om door middel van berekeningen tot de grootte en den afstand van de spoelen te geraken. In dit hoofdstuk

^) Deze proeven worden door T U P I N uitvoerig beschreven in „the T r a n s a c t i o n s of the American I n s t i t u t e of Electrical E n g i n e e r s " van 1900. Een beknopt uittreksel van deze proeven is te vinden in d e E.T.Z. i g o i pag. 700 v a n d e h a n d van D r . B R E I S I G en in d e „ E l e c t r i c i a n " vol. X L V p a g . 599.

37

behandelt hij niet alleen de parallel-schakeling, hetgeen voor het kabelvraagstuk toepasselijk is, maar ook de serie-schakeling.

Het hoofddoel van deze becijfering is, om theoretisch uit te maken in hoeverre een niet-uniforme geleider met een uniformen geleider gelijk te stellen is. Hoewel de berekening van PuPIN in het volgende hoofdstuk zal worden behandeld, zal hier ter plaatse reeds de uitkomst worden vermeld.

Het bovenbedoelde theoretische resultaat is het volgende: E e n u n i f o r m e g e l e i d e r v e r h o u d t z i c h , w a t b e t r e f t de g o l f l e n g t e e n d e d e m p i n g , t o t e e n n i e t - u n i f o r m e n

ge-Tt . TT

l e i d e r m e t h e t z e l f d e z e i f i n d u c t i e - t o t a a l a l s — : sin —,

n n

waarbij n voorstelt het aantal spoelen per golflengte. Aan de hand van deze formule kan, wanneer bovendien de noodige ervaringscoëfficienten ten dienste staan een project voor een kabel of een bovengrondlijn worden gemaakt. Als toelichtend voor-beeld voor dit laatste, diene de volgende aan PuPIN ontleende planberekening.

Men wenscht een bovengrondlijn van 4800 K.M. lengte te bouwen. Als ervaringsfeit mag worden aangenomen, dat het wenschelijk is, dat xl= 1,5. Deze 1,5 moet volgens opgave gelijk zijn aan de waarde, die ten deze voor de beste lijn New-York—Chicago is uitgerekend. Hij geldt voor 1500 perioden.

Voor de geprojecteerde lijn is dan 4800 x = 1,5, zoodat fl; = 0,00031 moet zijn bij 1500 perioden. Als leidingsdraad worde gekozen draad van 3 m.M. dikte, hebbende een weerstand van 2.5 II per K.M.. De weerstandsvermeerdering door de inbouwing der spoelen wordt dan door PuPiN op 0,375 ^ begroot, zoodat dus de weerstand der lijn per K.M. 2,875 ^ wordt. De keuze van de wijze van bevestiging van de lijn brengt met zich mede, dat men over een zekere capaciteit per K.M. zal beschikken, In dit voorbeeld wordt aangenomen, dat de capaciteit 0,006 M.F. per K.M.

bedragen zal. De zelfinductie van de geleiding kan worden verwaar-loosd tegenover die van de spoelen. Berekent men de benoodigde zelfinductie uit de formule (i8), welke wij om haar geschikt te maken voor berekeningen in de gegeven eenheden schrijven in den vorm:

dan vindt men, dat de zelfinductie per K.M. 0,127 Henry moet bedragen. Berekent men de golflengte uit de formule

10^

~ T500 V^flö'

welke eveneens voor de aangegeven eenheden geschikt is, dan vindt men voor A, ruim 24 K M . Wenscht men een overeen-stemming met de uniforme geleiding van ^/^ °/Q te bereiken, dan moet men — zie pag. 52 — 15 spoelen per golflengte plaatsen; m. a. w. de spoelen moeten dan een onderlingen afstand hebben van 1,6 K.M. Hiermede is dus de weerstand en de zelfinductie van iedere spoel bepaald, desgelijks de onderlinge afstand der spoelen.

PuPiN geeft een drietal van dergelijke vraagstukken, waarvan er hierboven slechts één werd overgenomen, daar hieruit voldoende de strekking van het door hem gevonden resultaat blijkt.

HOOFDSTUK IV. T h e o r i e van P u p i n . ' )

De onderstaande figuur geeft de schematische afbeelding van een puntsgewijze met zelfinductie belasten kabel, hetgeen wel geen nadere toelichting behoeven zal.

De ingeteekende condensatoren stellen voor de capaciteit van de stukken geleiding begrepen tusschen twee spoelen. Deze capaciteit is dus hier in punten geconcentreerd gedacht.

G G o O

In den geleider zijn 2 n spoelen (weerstand R en zelfinductie Z) aangebracht, die onderling aan elkander gelijk zijn, terwijl hunne coëfiicienten van zelfinductie door Zj, Zj, L^ . . . Li, aangeduid worden.

Tevens komen in de leiding 2 {n—i) gelijke condensatoren voor Cj, C2, Cj^. . . . Cn_i, die zich onderling op gelijken afstand van elkander bevinden en met de aarde verbonden zijn.

Uit de figuur merken we nu op, dat de strooinloop bestaat uit

2 n — 2 samenstellende circuits. Indien n oneindig groot was,

1) H e t feit, d a t in g e e n enkel werk over telefonie, noch in eenig tijdschrift, d e theorie van PüPiN werd opgenomen, terwijl de „ T r a n s a c t i o n s of the American I n s t i t u t e of Electrical E n g i n e e r s " in ons land onbekend zijn, deed mij besluiten deze theorie op te nemen, te meer d a a r de publicaties van PupiN zelf van zoodanigen vorm zijn, d a t deze van practische per.ionen, of zelfs van weten-schappelyk onderlegde ingenieurs, meer d a n gewone i n s p a n n i n g vereischen.

Bedoelde a m e r i k a a n s c h e verhandelingen gewerden mij door de vriendelijke tusschenkomst van de F i r m a S I E M E N S en H A L S K E , waarvoor ik te dezer plaatse mijn d a n k uitspr-^ek.

dan zouden we met een lijn te doen hebben voorzien van gelijk-matig verdeelde zelfinductie en capaciteit. De vraag, die in het hierna volgende besproken wordt, is deze: in hoeverre is een geleiding, waarbij « een eindige grootte heeft, gelijk te stellen met een uniformen geleider, en welke rol speelt de grootte van het aantal spoelen n ? Bij de berekeningen, die hiertoe moeten leiden, is van het meest algemeene geval uitgegaan, vermits het gever- en ontvang-station mede in aanmerking genomen zijn.

Stel d a t :

Zjj, R^ en C^ de zelfinductie, de weerstand en de capaciteit van den gever voorstellen, en

Z', R, C' de gelijksoortige grootheden zijn voor den ontvanger. ') Stel verder, dat .TJ, X2, X3. . . . .T,, de stroomsterkten zijn in de respectieve spoelen Zj, L^, Z 3 . . . . Z„,

Px, 7*2, 7 * 3 . . . . P „ ^ , de potentiaal-verschillen der respectieve

condensatoren Cj, C2, C^ . . . . Cn—i,

P^ en P' de potentiaal-verschillen der condensatoren C^ en C',

?i> ^2' ?3 • • • • s»—t de stroomsterkten in de respectieve conden-satoren Cx, C2, C^. . . . Cn-j, en

Zi?ip' de electromotorische kracht, welke door den gever wordt geproduceerd.

Tusschen bovenstaande grootheden kunnen door toepassing van de eerste wet van KiRCHHOFF een aantal betrekkingen worden neergeschreven:

— »Cj iï/0 ^ 0 — •*'0 ~ ^"i . . . . e n z ,

verder de vergelijkingen:

en eindelijk door de tweede wet van KiRCHHOFF nog de vol-gende n differentiaal-vergelijkingen:

1) W e g g e l a t e n is èn bij den gever èn bij den o n t v a n g e r een parallel geschakelde capaciteit. D a t hierdoor de opzet minder algemeen zou zijn is slechts schijnbaar. Immers deze capaciteiten zouden dan moeten worden g e t e e k e n d in de belde m i d d e n s van de geleiding (het midden van den o n t v a n g e r en het midden van den g e v e r ) . D a a r nu echter op deze plaatsen zich spanningsknoopen bevinden, zouden die capaciteiten toch geenerlei werking vertoonen,

(Z„ -f 2 Z ) ^ - f (;?„ + 2R)xx + 2Px + P, = Ee^vt L -^ + Rx2 + P2-Px^O 1^ Cl-U/ii — I ( I ) dt RXn-r + P„-i — P„-^ = 0 dx„ (Z'-f- 2 Z ) - ^ + {R + 2 i?)a;„ — 2 P „ _ , + P' -.= o. •il at

Wanneer een stationaire toestand is ingetreden, dan zullen alle stroomen, evenals de stroom van den gever harmonische functies van den tijd zijn, zoodat zij kunnen worden voorgesteld als volgt:

Xx = Ax i?'P' X2 = A^ ^'P' . . . . enz., waarin Ax, A2.. • . A^

complexe grootheden zijn.

Differentieeren we de vergelijkingen (i) naar t, ten einde de potentiaal-verschillen P j , P j , enz. te kunnen elimineeren.

df^ ^ dt^ dt ' dP, . i — r _dt <^^a;n_i dzn ^ , dP^_^ L —„ h R—T,— 4- dP.-df^ dt (Z' + 2 Z ) ^ + (7?' + 27') dt dXn dt dt dPr, = 0 dt

Bepalen we nu de eerste en tweede afgeleide van .TJ, X2,X^.... X^,

naar t, dan is:

a;i = ^ i ^ l p ' X2 _{y i j - ? ' " ' • •} dxx ~dt ' d'^x ~df--ipxx -p-'xx dx2 ~di d'^x. = J/^2 2 ; „ = ^ „ , ? ; p ' dXn dt ••=- ipXn df-'~--p'x2 dhc^ dfi = —/a;„. dP^

Verder is a-j ^= C^ —r^ en x,i C ,dP

Substitueeren we dit nu in de bovenstaande differentiaal-ver-gelijkingen, dan is:

- (Z„ -f 2 L)p^ Xx + (ie„ + 2 7?) j/a;i + 2 ^ -t- 1 ^ = TTJ/^'P' -Lp-^X2^RlPx2^^-^ = o - Lp-' x„-, + ie j/a;„_, + - ^ — ^ p - = o - (Z' + 2 Z ) / 2 a;„ + (7" + 2 R) ipx, — 2 - ^ +^' = °' of: Cxx{p'L+ipR) + | : j _ o = i j / C Z ^ ' P ' + ^ ^ ^ -g r , ipRpCxx 2C„ 2 CX2 ( - / 2 ^ + j ^ i?) + ^2 _ ^j = o Cx,,-, (—/2 z + j / i?) + | „ _ , — ^„_3 = o Ca;„ ( - / 2 Z + j / ^ ) -4- o - 1 „ _ , = — Xn ( — ^ - ^ + 2C' ipR'C

Stelt men nu ter bekorting:

h=C{-p'L-{-ipR) (2)

A. = Z , - ^ (3)

B^^ipCEei^^- V2 C ( - / ^o + iP Ro) ^1 = ^o - ^o ^1 (4)

7?, = i j / C ^ ^ J p ' (5) ^o = V 2 C ( - / ' ^ o + J / ^ o ) (6)

^, = f (-/^Ai+j/7") (8)

hxx -)- f 1 — o = D ^H + f 2 — ^1 = o

hx,, 4- o — ^n_, = — hx x^.

Uit deze vergelijkingen kunnen ^ j , |^2 enz. worden geëlimineerd, daar | j = a;, — 2:2 en ^2 = 2^2 — ^3 enz.,

zoodat: (/^ -(- \)Xx + 0 X2 = D {h + 2) :?;2 — a;, — a-3 = O (9) {h -\- 2\ .^•„^, —• Xj,^^ — a;„ = o {h + i) .Tn — a;n_i — O = — hxX„. '

Om nu de algemeene vergelijking voor de stroomsterkte te verkrijgen moeten de verg. (9) worden opgelost.

Aangezien dit resultaat ten slotte moet worden vergeleken met de verkregen resultaten bij den uniformen geleider, zal het wenschelijk zijn om dit resultaat, en de voorbereidingen daartoe, zooveel mogelijk in dezelfde banen te houden, als waarin de voorgaande berekeningen betreffende den uniformen geleider werden geleid. In deze bereke-ningen werd als oplossing voor de daarin voorkomende differen-tiaal-vergelijkingen de volgende vorm gebezigd:

ij=Kxe''''-\- K2^'^''

Deze vorm kan nu ook hier worden toegepast, hoewel in gewijzigden zin. Hier toch is van een continu veranderende a;-waarde geen sprake, daar de stroomsterkte in ieder deel der spoel dezelfde is, en slechts van spoel tot spoel verandert.

De X zal dus hier meer de beteekenis krijgen van een nummering en dus met geheele getallen moeten opklimmen.