Modelowanie procesw wzrostu w skali makroskopowej

Fizyka, technologia oraz modelowanie

wzrostu kryształów

Stanisław Krukowski i Michał Leszczyński Instytut Wysokich Ciśnień PAN

01-142 Warszawa, ul Sokołowska 29/37 tel: 88 80 244

e-mail: stach@unipress.waw.pl, mike@unipress.waw.pl

Zbigniew Żytkiewicz Instytut Fizyki PAN

02-668 Warszawa, Al. Lotników 32/46 E-mail: zytkie@ifpan.edu.pl

Wykład – 2 godz./tydzień – wtorek 9.15 – 11.00 Interdyscyplinarne Centrum Modelowania UW

Budynek Wydziału Geologii UW – sala 3075

http://www.icm.edu.pl/web/guest/edukacja

Modelowanie procesów wzrostu – obraz makro

• Modelowanie - metody

• Modelowanie - zagadnienia i procesy fizyczne

Stanisław Krukowski

Modelowanie procesów wzrostu – zagadnienia

• Modelowanie w skali makroskopowej

- obrazowanie procesów transportu podczas wzrostu kryształów (masy, energii pędu)

- wyznaczanie naprężeń w strukturach niejednorodnych - wyznaczanie własności elektrycznych układów

elektronicznych

- wyznaczanie własności optycznych układów elektronicznych • Modelowanie w skali atomowej

- wyznaczanie struktury i morfologii kryształów

- wyznaczanie charakterystycznych własności energetycznych dla stanów równowagowych

- wyznaczanie charakterystycznych własności energetycznych dla procesów kinetycznych

Modelowanie procesów wzrostu – metody

• Modelowanie w skali makroskopowej

- metoda skończonej różnicy - metoda skończonej objętości - metoda elementu skończonego

• Modelowanie w skali atomowej - metoda Monte Carlo

- metoda dynamiki molekularnej - metody ab initio - DFT

Prawa zachowania – ciecz ściśliwa

• 6 zmiennych: 3 składowe prędkości, gęstość ciśnienie, temperatura

• 5 równań ruchu + równanie stanu

( )

[

]

_[

_{( ) ( )}

_]

0 t , r v t , r div t t , r = ρ + ∂ ρ ∂ r r r r

(

) ( )

[

( )

]

(

( )

) ( )



=

(

κ

∇

( )

)

+

ε







∇

⋅

+

∂

∂

ρ

ρ

v

r

,

t

T

r

,

t

div

T

r

,

t

r

t

t

,

r

T

t

,

r

T

,

C

_v

r

r

r

r

r

r

(

,

T

)

0

p

p

=

ρ

=

( )

( )

(

v

( )

r

,

t

) ( )

v

r

,

t

p

( )

r

,

t

v

( )

r

,

t

( ) ( )

r

,

t

f

r

,

t

t

t

,

r

v

t

,

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

ρ

+

∆

µ

+

−∇

=









∇

⋅

+

∂

∂

ρ

Prawa zachowania – ciecz nieściśliwa

• 5 zmiennych: 3 składowe prędkości, ciśnienie, temperatura

• 5 równań ruchu • Równanie dodatkowe:

( )

[

v r,t

]

0 div r r =

(

)

[

( )

]

(

( )

) ( )



=

(

κ

∇

( )

)

+

ε







∇

⋅

+

∂

∂

ρ

ρ

v

r

,

t

T

r

,

t

div

T

r

,

t

r

t

t

,

r

T

T

,

C

_{v o o}

r

r

r

r

r

o

ρ

=

ρ

( )

₍

_{( )}

_{) ( )}

_{( )}

_{( )}

₍

_{) ( )}

t

,

r

f

T

T

t

,

r

v

t

,

r

p

t

,

r

v

t

,

r

v

t

t

,

r

v

o T o o

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

−

β

ρ

+

∆

µ

+

−∇

=









∇

⋅

+

∂

∂

ρ

Warunki brzegowe - prędkość

• Powierzchnie ciał stałych – bez krystalizacji i reakcji chemicznych – powierzchnia materialna - (brak poślizgu) :

( )

r

,

t

0

v

r

r

=

• Powierzchnie ciał stałych – krystalizacja (powierzchnia niematerialna) oraz brak poślizgu:

( ) ( )

r

,

t

t

r

,

t

0

v

r

r

⋅

r

r

=

n t

( ) ( ) ( )

[

( )

]

( )

( ) ( ) ( )

r

,

t

[

u

r

,

t

c

r

,

t

D

c

( )

r

,

t

]

n

( )

r

,

t

t

,

r

n

t

,

r

c

D

t

,

r

c

t

,

r

v

t

,

r

s , i l , i s , i s l , i l , i l , i l

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

⋅

∇

−

ρ

=

⋅

∇

−

ρ

( )

r

,

t

t

r

r

- wektor styczny do powierzchni

( )

r

,

t

Warunki brzegowe - temperatura

• Powierzchnie ciał stałych – doskonały kontakt cieplny :

( )

r

,

t

T

( )

r

,

t

T

_l

r

=

_s

r

• Powierzchnie ciał stałych – krystalizacja (powierzchnia niematerialna):

(

) ( ) ( )

(

) ( ) ( )

[

]

( )

( )

( )

( ) ( )

[

T

r

,

t

T

r

,

t

r

,

t

u

r

,

t

H

]

n

( )

r

,

t

Q

t

,

r

n

t

,

r

v

t

,

r

T

,

C

t

,

r

v

t

,

r

T

,

C

s s s l l s s s s , v l l l l , v

+

⋅

ρ

+

∇

κ

−

∇

κ

=

⋅

ρ

ρ

−

ρ

ρ

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

H - ciepło krystalizacji

Warunki brzegowe – kategorie matematyczne

• Warunek Dirichleta

( )

r

,

t

_s

( )

r

,

t

l

r

r

ϕ

=

ϕ

• Warunek Neumanna

( ) ( )

r

r

,

t

⋅

n

r

r

r

,

t

=

f

_s

( )

r

r

,

t

ϕ

∇

• Warunek mieszany

( ) ( )

[

r

,

t

n

r

,

t

]

G

[

( )

r

,

t

]

f

( )

r

,

t

F

∇

ϕ

r

⋅

r

r

+

ϕ

r

=

_s

r

Warunki brzegowe – interpretacja fizyczna

• Warunek Dirichleta– temperatura, koncentracja: założenie o równowadze lokalnej z inna fazą.

( )

r

,

t

T

( )

r

,

t

T

_l

r

=

_s

r

• Warunek Neumanna – ustalone przepływy, np. szybkość krystalizacji, rozpuszczania

( ) ( )

r

,

t

n

r

,

t

R

( )

r

,

t

C

D

∇

r

⋅

r

r

=

r

• Warunek mieszany – szybkość krystalizacji w funkcji przesycenia

( )

r

,

t

C

( )

r

,

t

C

_l

r

=

_s

r

• Warunek Dirichleta– składowa styczna prędkości znika

( ) ( )

r

,

t

t

r

,

t

0

v

r

_l

r

⋅

r

r

=

( ) ( )

_













 −

=

σ

=

⋅

∇

eq eq

C

C

C

k

k

t

,

r

n

t

,

r

C

D

r

r

r

Metody rozwiązywania równań ruchu –

techniki przybliżania

( )

(

)

φ

+

















∂

φ

∂

Γ

∂

∂

=

∂

φ

ρ

∂

+

∂

ρφ

∂

q

r

r

r

v

t

_{j j j} j

• Zastąpienie pola skalarnego jego reprezentacja w

węzłach siatki

• Narzucenie odpowiednich warunków brzegowych

• Reprezentacja otrzymanego wyniku – aproksymacja

przez funkcje, np. funkcje sklejane (spline functions)

Generacja sieci – preprocessing

• Sieci regularne (strukturalne)

• Sieci blokowo-regularne (blokowo-strukturalne)

• Sieci złożone

• Sieci nieregularne

Sieci regularne (strukturalne)

• Linie należące do tej samej rodziny nie przecinają się

• Linie należące do różnych rodzin przecinają się tylko raz

Sieci regularne – sieci w których można wprowadzić

układ współrzędnych

Przykłady sieci regularnych, ortogonalnych, jedno- i dwu-wymiarowych

Przykład sieci regularnej, nieortogonalnej,

dwuwymiarowej, zaprojektowanej do obliczania przepływu pomiędzy dwoma przesuniętymi rurami

Sieci blokowo-regularne (blokowo -strukturalne)

Przykład sieci blokowo-regularnej, nieortogonalnej, dwuwymiarowej, zaprojektowanej do obliczania przepływu w kanale wokół obiektu o przekroju cylindrycznym. W sieci tej węzły brzegowe są uzgodnione.

Przykład sieci blokowo-regularnej, nieortogonalnej, dwuwymiarowej, zaprojektowanej do obliczania przepływu wokół skrzydła. W sieci tej węzły brzegowe nie są

uzgodnione.

• Sieci w której segmenty (bloki są regularne). Cała siec nie

Sieci złożone (sieci typu Chimera)

Przykład sieci złożonej, dwuwymiarowej, zaprojektowanej do obliczania przepływu w kanale wokół obiektu o przekroju cylindrycznym. W sieci tej brzegi są

dopasowane. Wypełnione kółka oznaczają elementy brzegowe w których wartości są otrzymywane poprzez interpolację

• Odmiana sieci blokowo-regularnych w których pewne

Sieci niestrukturalne

• Sieci pozwalające wypełnić dowolny obszar przestrzeni, np.

sieci trójkątne.

Przykład sieci nieregularnej, dwuwymiarowej, zawierającej elementy trójkątne i czworokątne

Metody rozwiązywania równań ruchu

( )

(

)

φ

+

















∂

φ

∂

Γ

∂

∂

=

∂

φ

ρ

∂

+

∂

ρφ

∂

q

r

r

r

v

t

_{j j j} j

• Metoda skończonej różnicy – finite difference method

• Metoda skończonej objętości – finite volume method

• Metoda elementu skończonego – finite element

method (MES)

Metoda skończonej różnicy

• Euler XVIII w. – zastąpienie pochodnych różnicami

wartości w węzłach siatki

(

)

( )

i i i i i r i r r r r 0 r lim r i ∆ φ − ∆ + φ → ∆ =       ∂ φ ∂

• Backward difference scheme(BDS)

( )

(

)

( )

(

i 1

)

r

( )

i r i 1 i i r_{j j} − − _j φ − − φ ≈         ∂ φ ∂

Przybliżenia

• Central difference scheme(CDS)

( )

(

)

(

)

(

i 1

)

r

(

i 1

)

r 1 i 1 i i r_{j j} + − _j − − φ − + φ ≈         ∂ φ ∂

• Forward difference scheme(FDS)

( )

(

)

( )

(

i 1

)

r

( )

i r i 1 i i r_{j j} + − _j φ − + φ ≈         ∂ φ ∂

Metoda skończonej różnicy – reprezentacja

wyższych pochodnych (paraboliczna)

• Interpolacja przez parabolę przechodzącą przez punkty r_j(i-1), r_j(i), r_j(i+1):

( )

(

)

[

( )

]

(

)

[

(

)

]

( )

{

[

(

)

]

[

( )

]

}

(

)

( )

[

r i 1 r i

]

r

( ) (

i r i 1

)

i r 1 i r i 1 i r 1 i i r 1 i i r _{j j j j} 2 j 2 j 2 j 2 j j ∆ + + ∆ ∆ ∆ + ∆ − + ∆ φ + + ∆ − φ − ∆ + φ =         ∂ φ ∂

• Pochodne rzędu drugiego, np. CDS przez punkty r_j(i-1/2), r_j(i+1/2):

(

)

(

)

( )

(

i 1

)

x

( )

i r i 1 i 2 1 i r_{j j} + − _j φ − + φ ≈         + ∂ φ ∂

(

)

( )

(

)

( )

i x

(

i 1

)

r 1 i i 2 1 i r_{j j} − _j − − φ − φ ≈         − ∂ φ ∂

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) ( )

[

(

)

]

(

) (

[

)

( )

]

( ) (

[

)

(

)

]

(

)

(

)

[

r i 1 r i 1

]

[

r

(

i 1

)

r

( )

i

]

[

r

( )

i r

(

i 1

)

]

2 1 1 i r 1 i r i i r 1 i r 1 i 1 i r i r 1 i 1 i r 1 i r 2 1 2 / 1 i r 2 / 1 i r i x j j j j j j j j j j j j j j j j 2 j 2 − − − + − − + − − + φ + − + − φ + − − + φ = − − +         − ∂ φ ∂ −         + ∂ φ ∂ =         ∂ φ ∂

Metoda skończonej objętości

• Dzielimy cały obszar na objętości kontrolne (CV – control volumes)

• Całkując to równanie po objętości kontrolnej i używając twierdzenia Gaussa otrzymujemy

( )

(

)

φ +         ∂ φ ∂ Γ ∂ ∂ = ∂ φ ρ ∂ + ∂ ρφ ∂ s r r r v t _{j j j} j

(

)

φ +         ∂ φ ∂ Γ ∂ ∂ = ∂ φ ρ ∂ s r r r v j j j j

(

)

_∫

(

)

_∫

∫

ρφ ⋅ = Γ ∇φ⋅ + φ V 3 S 2 S 2 r d s r d n r d n v r r r

Różne typy sieci stosowanej w metodzie skończonej objętości: lewa – węzły sieci są ustawione na środku CV, prawa ściany CV są ustawione na środku pomiędzy węzłami

Metoda skończonej objętości – implementacja 2D

• Dla każdego elementu definiuje się węzeł w jego środku, w którym są

określone wartości pola. Implementacja metody skończonej objętości wymaga więc wyrażenia całek objętościowych i powierzchniowych przez wartości pola w tych węzłach

Definicja skończonej objętości i notacja stosowana dla sieci kartezjańskiej dwuwymiarowej

Metoda skończonej objętości – implementacja 3D

Definicja skończonej objętości i notacja stosowana dla sieci kartezjańskiej trójwymiarowej

Metoda skończonej objętości - całki

• Całki powierzchniowe • Całki objętościowe e e e e S 2 e

fd

S

f

S

f

S

F

e

≈

=

=

∫

(

)

e se ne e e S 2 e S 2 f f S f S fd F e + ≈ = =

∫

(

)

e se e ne e e S 2 e S 6 f f 4 f S f S fd F e + + ≈ = =

∫

Wartości średnie z rogów ściany Reguła Simpsona

∆Ω ≈ Ω = =

∫

Ω P P 3 P qd V q q Q

Metoda elementu skończonego (MES – FEM)

• Prawo zachowania

• Słaba (całkowa) postać prawa zachowania

0 q r r_{j j}_ + =      ∂ φ ∂ Γ ∂ ∂ φ

div

[

Γ

grad

( )

φ

]

+

q

φ

=

0

[

]

{

div q

}

0 w V d V 3 = + φ ∇ Γ ⋅ _φ

∫

w – dowolna funkcja

Używamy twierdzenia Greena

( )

[

]

{

n

w

}

d

V

[

w

q

(

w

)

]

0

S

d

V 3 S 2

_⋅

_Γ

_∇

_φ

₊

_⋅

₋

_Γ

_∇

_⋅

_∇

_φ

₌

φ

∫

∫

r

Własności metody elementu skończonego

(MES – FEM)

• Postać mocna równania jest równaniem różniczkowym, a postać słaba równaniem całkowym

• W postaci mocnej wymaga się aby funkcja była dwukrotnie różniczkowalna, natomiast w postaci słabej tylko raz

• W postaci słabej występuje dowolna funkcja współrzędnych w(r,t)

Rozwiązanie – w postaci sumy (kombinacji) funkcji interpolacyjnych - na małych częściach zwanych elementami. Elementy mogą mieć

dowolny kształt.

• Funkcje interpolacyjne powinny odtwarzać dowolną wartość pola

• Funkcje interpolacyjne powinny odtwarzać dowolny gradient pola

Funkcje interpolacyjne – wielomiany: interpolacja

liniowa

• Interpolacja liniowa

• Funkcja pola w interpolacji liniowej:

( )

i = ϕ

[

x

( )

i

]

φ

x(i), x(j) – para punktów

( )

j = ϕ

[

x

( )

j

]

φ

( )

i = α +βx

( )

i φ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

     − − φ +       − − φ = φ i x j x i x x j j x i x j x x i x φ

( )

x = φ

( ) ( )

i ui x +φ

( ) ( )

j uj x • Funkcje interpolacyjne

( )

( )

( )

i x

( )

j x j x x x u_i − − =

( )

( )

( )

j x

( )

i x i x x x u_j − − =

( )

(

x i

)

1 u

(

x

( )

j

)

0 u_i = _i =

( )

(

x i

)

0 u

(

x

( )

j

)

1 u_j = _j =

Funkcje interpolacyjne – wielomiany: interpolacja

paraboliczna

• Funkcja pola w interpolacji parabolicznej:

( )

i = ϕ

[

x

( )

i

]

φ

x(i), x(j), x(k) – trójka punktów

( )

j = ϕ

[

x

( )

j

]

φ

( )

x

=

φ

( ) ( )

i

u

_i

x

+

φ

( ) ( )

j

u

_j

x

+

φ

( ) ( )

k

u

_k

x

φ

• Funkcje interpolacyjne

( )

k = ϕ

[

x

( )

k

]

φ

( )

[

( )

]

[

( )

]

( )

( )

[

x i x j

]

[

x

( )

i x

( )

k

]

k x x j x x x u_i − − − − = u_i

(

x

( )

i

)

=1 u_i

(

x

( )

j

)

=0 u_i

(

x

( )

k

)

= 0

( )

[

( )

]

[

( )

]

( )

( )

[

x j x i

]

[

x

( )

j x

( )

k

]

k x x i x x x u_j − − − − = uj

(

x

( )

i

)

=0 uj

(

x

( )

j

)

=1 uj

(

x

( )

k

)

=0

( )

[

( )

]

[

( )

]

( )

( )

[

x k x i

]

[

x

( )

k x

( )

j

]

j x x i x x x u_k − − − − = u_k

(

x

( )

i

)

=0 u_k

(

x

( )

j

)

= 0 uk

(

x

( )

k

)

=1

Funkcje interpolacyjne – wielomiany: interpolacja

wyższych rzędów

• Funkcja pola w interpolacji wielomianowej:

( )

i = ϕ

[

x

( )

i

]

φ

x(i), x(j)..., x(k) – ciąg punktów

( )

j = ϕ

[

x

( )

j

]

φ • Funkcje interpolacyjne

( )

k = ϕ

[

x

( )

k

]

φ

( )

[

( )

]

[

( )

]

( )

( )

[

x i x j

]

...

[

x

( )

i x

( )

k

]

k x x ... j x x x u_i − − − − = u_i

(

x

( )

i

)

=1 u_i

(

x

( )

j

)

=0 u_i

(

x

( )

k

)

= 0

( )

[

( )

]

[

( )

]

( )

( )

[

x j x i

]

...

[

x

( )

j x

( )

k

]

k x x ... i x x x u_j − − − − = uj

(

x

( )

i

)

=0 uj

(

x

( )

j

)

=1 uj

(

x

( )

k

)

=0

( )

[

( )

]

[

( )

]

( )

( )

[

x k x i

]

...

[

x

( )

k x

( )

j

]

j x x ... i x x x u_k − − − − = u_k

(

x

( )

i

)

=0 u_k

(

x

( )

j

)

= 0 uk

(

x

( )

k

)

=1

( )

=

∑

φ

( ) ( )

φ_app x i u_i x

Wybór funkcji wagowej w(r,t)

(

)

[

]

{

}

_∫

[

(

)

]

_∫

∫

d r n ⋅ wΓ ∇ φ + d r w⋅q_φ −Γ ∇w ⋅∇φ_app = Rwd3r V 3 app S 2 r

• Metoda Galerkina – funkcja wagowa jest rozwiązaniem równania

( )

r,t = φ

( )

r,t =

∑

c u

( )

r,t

w r _app r _{i i} r

• Dodatkowy warunek – funkcja wagowa jest ortogonalna do reszty R:

0 r Rwd3 =

∫

Otrzymujemy równanie macierzowe na wartości pola w węzłach φ(i):

(

)

[

]

( )

[

]

{

[

_i

(

_app

)

]

}

S 2 i V 3 j j i V 3 u n r d q u r d j u u r d Γ ∇ ⋅∇ φ =

∫

⋅ +

∫

⋅ Γ∇ φ

∑ ∫

φ r

Równanie macierzowe

• Macierz sztywności:

(

)

[

]

( )

[

]

{

[

_i

(

_app

)

]

}

S 2 i V 3 j j i V 3 u n r d q u r d j u u r d Γ ∇ ⋅∇ φ =

∫

⋅ +

∫

⋅ Γ∇ φ

∑ ∫

φ r

f

K

φ

=

(

)

[

i j

]

V 3 ij d r u u K ≡

∫

Γ ∇ ⋅∇

• Wektor sił - wektor źródeł oraz wektor warunków brzegowych:

b s

f

f

f

=

+

- Wektor źródeł

- Wektor warunków brzegowych:

[

⋅ φ

]

≡

∫

d r u q f _i V 3 s i

( )

[

]

{

i app

}

S 2 b i d r n u f ≡

∫

r ⋅ Γ ∇ φ

Rozwiązanie problemu – rozwiązanie nieliniowego

równania macierzowego

( )

B A 1 ₀ 1 = Φ Φ −

• Metody rozwiązania – np. kolejnych podstawień (SS –succesive substitutions) – znajdujemy dowolny wektor B₀:

• Inne globalne metody, np. Newton-Raphson, Quasi-Newton

Metodą obecnie stosowaną dla rozwiązywania dużych problemów jest metoda Segregated Solver – wydzielenie kolejnej części wektora i jego zmiana. Metoda wymaga dużej liczby iteracji, ale umożliwia znalezienia

rozwiązania dla dużej liczby węzłów.

( )

B A 1 ₁ 2 = Φ Φ − Φ₂ = A−1

( )

Φ₁ B

....

( )

B

A

Φ

Φ

=

Warunki zbieżności: istnienie rozwiązania

( )

B

A

Φ

Φ

=

• W każdym kroku iteracyjnym (i) jest spełnione równanie :

( )

_{i i}

B

R

_i

A

Φ

Φ

=

+

R_i – reszta (residuum) – o normie:

2 1 2 i i

r

R

_















=

∑

• Kryteria zbieżności:

Względnej wartości miary reszty

( )

ε ≤ φ o i R R

Względnej zmiany rozwiązania w dwu kolejnych krokach

ε ≤ φ φ − φ ₊ i i 1 i

Rodzaje zbieżności

• Asymptotyczną zbieżność procedury rozwiązania równania klasyfikuje się według reguły:

k – wykładnik zbieżności: k=1



zbieżność liniowa, k=2



paraboliczna

Łatwe spełnienie kryterium reszty

Łatwe spełnienie kryterium względnej zmiany k 1 i i i 1 i+

−

φ

≤

V

φ

−

φ

−

φ

Przykład 1 : izotermiczny wymuszony przepływ – mieszacz gazu

( )

[

v r,t

]

0 div r r =

( )

₍

_{( )}

_{) ( )}

_{( )}

_{( )}

t

,

r

v

t

,

r

p

t

,

r

v

t

,

r

v

t

t

,

r

v

o

r

r

r

r

r

r

r

r

r

∆

µ

+

−∇

=









∇

⋅

+

∂

∂

ρ

• Równania ruchu: stała gęstość cieczy:

• Warunki brzegowe – znika prędkość na powierzchni ciał stałych:

( )

r,t 0

vr_s r = _{v = 1000 mm/s}

Izotermiczny wymuszony przepływ: błąd rozwiązania

• Duży przepływ – wysoki błąd rozwiązania

Michał Pawłowski – praca magisterska WF PW (Fidap)

Konstrukcja mieszacza

MOVPE

Wyniki CFD (Fidap) - zaproponowano nową konstrukcję mieszacza – M. Pawłowski (PW)

Wzrost temperatury lasera niebieskiego – przewodnictwo ciepła

Stanisław Krukowski (Fidap)

• Równania zmiany temperatury: obszar poza strefa wydzielania ciepła

Złącze p-n 10µ 400µ 80µ 400µ 500µ To W

• Równania zmiany temperatury: strefa wydzielania ciepła

• Warunki brzegowe: diamentowy chip

• Warunki brzegowe: reszta

( )

0 T t t , r T C_p + κ∆ = ∂ ∂ r

( )

ρ ⋅ = ∆ κ + ∂ ∂ j T t t , r T C_p r o T T = 0 T j_q = −κ∇ = r

Ewolucja czasowa temperatury w laserze

CBW PAN

Złącze p-n 10µ 400µ 80µ 400µ 500µ To W Moc cieplna W = 12 W 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 ∆ T time (µs)

Konwekcja naturalna – przepływ galu w procesie

krystalizacji GaN

• Równania ruchu

• 5 zmiennych: 3 składowe prędkości, ciśnienie, temperatura

• 5 równań ruchu • Równanie dodatkowe:

( )

[

v r,t

]

0 div r r =

(

)

[

( )

]

(

( )

) ( )



=

(

κ

∇

( )

)

+

ε







∇

⋅

+

∂

∂

ρ

ρ

v

r

,

t

T

r

,

t

div

T

r

,

t

r

t

t

,

r

T

T

,

C

_{v o o}

r

r

r

r

r

o

ρ

=

ρ

( )

₍

_{( )}

_{) ( )}

_{( )}

_{( )}

₍

_{) ( )}

t

,

r

f

T

T

t

,

r

v

t

,

r

p

t

,

r

v

t

,

r

v

t

t

,

r

v

o T o o

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

−

β

ρ

+

∆

µ

+

−∇

=









∇

⋅

+

∂

∂

ρ

Konwekcja naturalna – przepływ galu w procesie

krystalizacji GaN

Paweł Strąk (Fidap) • Warunki brzegowe T1 T2 T3 T4 r z

( )

r,t 0 vr_s r =

( )

r,t T T = _s r - z pomiarów

Konwekcja naturalna – przepływ galu w procesie

krystalizacji GaN

Paweł Strąk (Fidap)

Temperatura

Konwekcja w galu (Fidap)

v_max = 0.96 mm/s _v max= 3.57 mm/s T2 T5 T2 T4 T6 T4 T2 T3 T4

N

₂

Konwekcja w galu (Fidap)

v_max = 0.96 mm/s _v

max= 3.57 mm/s

Teoria sprężystości

• Równania równowagi: f_i – siła objętościowa

• Prawo Hooke’a: tenor naprężeń σ_ij oraz odkształceń u_ij:

• Tensor odkształceń i wektor odkształceń

• Równania teorii liniowej sprężystości

0

f

r

_j i ij

=

+

∂

σ

∂

kl ijkl ij

=

s

u

σ

      ∂ ∂ + ∂ ∂ = k l l k kl r u r u 2 1 u 0 f 2 r r u r r u s _i k j l 2 l j k 2 ijkl + =         ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂

Elastyczne naprężenia w laserze GaN - Abaqus

• struktura 2-warstwowa

• struktura pełni naprężona

• prawo Wegarda dla stałych sieci

• Zagadnienie sprężyste anizotropowe bulk n-GaN AlGaN http://www.simulia.com/

Zakrzywienia w

Zakrzywienia w

struktury GaN/

struktury GaN/

AlGaN

AlGaN

-

-

MES

MES

h = 1 µµmµµ h = 50 µµmµµ h = 180 µµmµµ Podłoże: Grubość H = 60 µµµµm Wymiary – 1cm x 1cm

Promienie krzywizny powierzchni

0 2000 4000 6000 8000 10000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 Radius[mm] 437,0 438,4 439,8 441,1 442,5 443,9 445,3 446,6 448,0 0 50 100 150 200 250 300 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 H sub=60 mikron ra d [mm] h[mikron]

Dobra zgodność z wynikami teorii Stoney’a-Clyna dla materiałów izotropowych

Stoney formula(dla h/H<0,05)

(

)

3 H h fH 6 R 1 + = = κ 2 H f 6 R 1 = = κ E_layer = E_substrate f – misfit h – layer thickness H – substrate thickness Clyne formula

Podzi

Podzi

ę

ę

kowania dla ICM UW

kowania dla ICM UW

• Za możliwość korzystania z oprogramowania

komercyjnego Fidap (ANSYS Inc.) oraz Abaqus

(Dassault Systèmes)

• Wykorzystanie komputerów w ramach grantu