Dopasowanie funkcji do wyników pomiarów. Część 2. 1 Dopasowanie funkcji do wyników pomiarów. Część 2.
Do wyników pomiarów
{
x
i,
y
i}
została dopasowana zależność)
(x
f
y
=
z pewnymi parametrami
{
a
0,
a
1,...,
a
m}
. Rezultatem dopasowania sąwektor wartości parametrów
a
oraz macierz kowariancji parametrówε
. Może nas teraz interesować wartośćy
0 wielkościY
odpowiadającapewnej wartości
x
0. Taka sytuacja może wystąpić, jeżeli pomiary}
,
{
x
iy
i wykonano w celu, np. wykalibrowania jakiegoś przyrządupomiarowego. Wtedy zależność
y
=
f
(x
)
jest używana do ustalenia wartościy
0 odpowiadającejx
0 (lub odwrotnie). Oczywiście)
(
00
f
x
y
=
ale ponieważ wartości parametrów
a
k są obarczone niepewnościami, tonależy jeszcze wyznaczyć niepewność
u
(
y
0)
wartościy
0.Wykorzystując ogólną postać reguły propagacji niepewności możemy zapisać:
∑∑
∑
= ≠ = =
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
m i m i j j a a j i m i a i j i ia
f
a
f
a
f
y
u
0 0 2 0 2 0 2)
(
σ
σ
albo wykorzystując elementy macierzy kowariancji
ε
∑ ∑
∑
= = + =
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
m i m i j ij j i m i ii ia
f
a
f
a
f
y
u
0 1 0 2 0 22
)
(
ε
ε
Ponieważ parametry
a
k mogą być skorelowane, to musimy tym razemuwzględnić wyrazy zawierające kowariancje między nimi.
W przypadku wyznaczania wartości
x
0 dla ustalonejy
0 postępujemypodobnie, z tym, że korzystamy z funkcji
x
=
g
( y
)
, gdzie funkcja 1−
=
f
g
jest funkcją odwrotną dlaf
, i zastępując pochodne cząstkowei
a
f
∂
∂
odpowiednimi pochodnymi ia
g
∂
∂
.Dopasowanie funkcji do wyników pomiarów. Część 2. 2 Przykład.
Pomiary spadku potencjału wzdłuż drutu oporowego z prądem mają służyć do wykalibrowania prostego przetwornika położenie – napięcie. Pomiary napięcia mają być przeliczane na odpowiadające im położenie ruchomego elementu połączonego z suwakiem ślizgającym się po drucie oporowym.
b
ax
x
f
U
=
(
)
=
+
.Funkcją odwrotną jest
a
b
U
a
a
b
U
U
g
x
=
(
)
=
−
=
1
−
.Pochodne cząstkowe względem parametrów
{ b
a
,
}
wynoszą)
(
1
1
2 2g
U
a
a
b
a
U
a
g
=
−
+
=
−
∂
∂
a
b
g
=
−
1
∂
∂
Potrzebne nam jeszcze będą wartości kowariancji między parametrami
a
ib
.Układ równań określających minimum
χ
2 ma w tym wypadku postać y x waS
S
bS
+
=
xy xx xaS
S
bS
+
=
=
xx x x wS
S
S
S
α
, 2 x xx w xx x x wS
S
S
S
S
S
S
−
=
=
∆
∆
∆
−
∆
−
∆
=
w x x xxS
S
S
S
ε
. Zatema
b
U
x
=
0−
0
∆
−
+
∆
+
∆
=
w xxS
xa
x
S
a
S
a
x
x
u
02 2 2 2 0 0 22
1
)
(
∆
−
∆
+
∆
=
∆
−
∆
+
∆
=
w xx x w xxS
xx
S
S
x
a
S
a
x
S
a
S
a
x
x
u
02 02 0 2 2 2 0 02
1
2
1
)
(
Dopasowanie funkcji do wyników pomiarów. Część 2. 3 Jeżeli wartość
U
0 też pochodzi z pomiaru i obarczona jest niepewnością( )
U
0u
, to uwzględniając, żea
U
x
1
0 0=
∂
∂
, niepewnośću
( )
x
0 musimy powiększyć do( )
0 2 0 2 0 02
1
)
(
x
S
S
x
S
u
U
a
x
u
w xx x+
∆
−
∆
+
∆
=
W przykładzie rachunkowym mieliśmy
