ZESZYTY NAUKOWE WYŻSZEJ SZKOŁY PEDAGOGICZNEJ W BYDGOSZCZY P r o b le m y M a te m a ty c z n e 1983/84 z . 5/6
NORBERT ROBY
U n i v e r s i t é d e M o n t p e l l i e r I I
SUR UN FONCTEUR L IÉ AUX PUISSANCES D IV ISÉ E S DE DEGRÉ 4 D 'U N MODULE
Som m aire ; P o u r t o u t m od u le u n i t a i r e M s u r un an n ea u com m uta-t i f u n i uta-t a i r e A e t t o u t e n t i e r B ÿ O , s o i t P n ( * 0 l a c o m p o s a n te hom ogène d e d e g r é n d e l ’ a l g è b r e d e s p u is s a n c e s d i v i s é e s
P
( M ) . S o i t Г (M ) l e s o u s -m o d u le d eP
(m ) e n g e n d r é p a r l e s é lé m e n t s d e l a fo r s ie x ^ * ^ x £ M ). Dans C l ] , A . P r ó s z y ń s k i a d é f i n i l e m o d u le q u o t i e n t : P (m)= f ( м ) / Й ( м ) , On s e p r o p o s e ■V II n n i c i d ' e x p l i c i t e r qu and M e s t u n e somme d i r e c t e f i n i e d e m o d u le s m o n o g è n e s . L* é t u d e d e d a n s l e c a s g e n e r a l a é t é p o u r s u i v i e dan s Г и З , e s s e n t i e l l e m e n t l o r s q u e 1 * anneau A e s t n o é t h é r i e n . M a is on n ’ y t r o u v e d e d é t e r m i n a t i o n e x p l i c i t e qu e d a n s d e s c a s /V b i e n p a r t i c u l i e r s . L a d é t e r m i n a t i o n c o m p lè t e d e p ^ (M ) quand M e s t u n e somme d i r e c t e f i n i e d e m o d u le s m on ogèn es a é t é f a i t e d a n s n o t r e a r t i c l e c i t é l l l l ] , D É F IN IT IO N : P o u r 1 ’ an n eau A , n ou s d é s ig n o n s p a r b „ ( r e s p . b , 1* i d é a l e n g e n d r é p a r l e s é l é m e n t s : a - a ( r e s p . a - a ) où a p a r c o u r t A . L ’ o b j e t d e c e t a r t i c l e e s t d e d é m o n t r e r l e r é s u l t a t s u i v a n t : THEOREME î S o i t j . I j » » * » » I n J a n s y s tè m e f i n i d ’ id é a u x d e A. P o s o n s t n M = ф A / I p ; p=1 U = Ф A / I ♦ I ♦ b ; V = ф A / l +1 + b - ; V = ф А/ I +I +I r + bp^ q
4
p<q
p<:q<r
A l o r s on a : ^ (m)ï С ф У ф W ф ï . C o r o l l a i r e .p . 1 2 7) q u e D ( i ) ( n > o ) d é s i g n e \> i d é a l d e A e n g e n d r é p a r IX l e a e le m e n t s i “^ où 1 i o f i n e t i ê. I , S i n 2 1, D ^ (I ) e a t e n g e n d r é é g a le m e n t p a r l e s e le m e n t s - d i ° , a v e c i £ I e t d<T = n . P o u r c e s d eu x s y s t è m e s d e g é n é r a t e u r s , i l s u f f i t d ’ a i l l e u r s q u e 1 d é c r i v e un s y s t è m e d e g é n é r a t e u r s d e I . P o u r un m o d u le m on ogèn e M d e g é n é r a t e u r e e t d/a n n u la t e u r I , on s a i t a l o r s ( c f . L i v ] , p r o p . 8 , p . 1 3 6 ) qu e M Гп 1 ГП(М ) ^ A / D n ( l ) , 1 ’ i som o rp h ia m e a s s o c i a n t e à l a o l a s s e d e 1 m odu lo ( i ) . Noua e n t r e p r e n o n s m a in t e n a n t l a d é m o n s t r a t io n du t h é o r è m e . P o u r o om m en cer, M d é s i g n e un A -m o d u le e t I un i d é a l d e A a b s o lu m e n t q u e lc o n q u e s . L e amie 1 s S o i t l e m o d u le p = P 3( M ) / I Г 3 ( м ) 0 - P 2 (m) /d2 (i ) P 2 (m) Ф m/d3 (i )m So i e n t l e s a p p l i c a t i o n s c a n o n iq u e s s u 3 s Г 3( м ) r 3( M ) / i P 3 (M ) U2 S r 2 (M ) - » P 2 (m) /d2 (i ) P 2 (m) u 1 s M m/d3 (i )m S o i t H l e s o u s - m o d u le d e P e n g e n d r é p a r l e s é lé m e n t s du t y p e où a <£. A, X é. M . P o s o n s Q = P/H . A l o r s e n a s (2) Г \ ( М ф A / I ) a Ф Q P r e u v e s N o to n s e un g é n é r a t e u r d e A / l . I l e x i s t e un is o m o r
-17 phiarne ( e f . f v j , t h . I I I 4 , p . 2 6 2 ) s Pu( n ф а/ i ) - ( \ ( м ) ф [ Г 3 (м ) <g> A /ij ® f r 2 (M) ® P2(a/i ) ] ф ł Ф Г м ® P3 (a/i ) J ® r ^ U / i ) . q u i , p o u r i l M e t a e A, a s s o c i e l e s é lé m e n t s : , JU3 . IU] 1 3] 2 Г2З _ L2I 3 ж. Г3J ( x + a e ) e t x + a x ® e + a x ® e + a x ® e + u lu] • - fui L e m odu le П ^ ( М ф А / 1 ) c o n t i e n t en p a r t i c u l i e r x ( f a i r e a = 0 ) , a i n s i q u e e ( - f a i r e x = О e t a = 1 ) . En o u t r e : P3 (M) $ А / Х ^ Г 3 ( м ) / 1 P 3 (M ); Г 2 (М) ® Г2 (а/1 ) si s ? ( m ) / D _ ( i ) Г _ ( м ) ; M ® P , ( a / I ) 2 : M / D - ( i ) m . L e lemme 1 e n résult é. 2 * * i i Nous a l l o n s M a in te n a n t o p é r e r u n e r é d u c t i o n « u r l e s y s tè m e d e s g é n é r a t e u r s d e H d é f i n i e au lemme 1 . Ьешве 2 : L e m o d u le H e s t e n g e n d r é p a r l 1 e n s e m b le d e s é lé m e n t s d e l ’ un d e s t y p e s s u i v a n t s , ou x é M e t a & A : «*?) u 3( , Û J ) e u2( x ^ ) + u 1( x ) t p ) ( а 2- а ) и 2 ( х ^ 2 Ъ ! r ) ( » 3- * ) « , ( * > P r e u v e : S o i t b € A. Dans ( i ) , r e m p la ç o n s x p a r b x : (3) a b 3 u 3 ( x ^ 3^ ) + a 2b 2U2 ( x 2 ^ )+ a 3b и ^ х З & Н . Dans ( 1 ) , f a i s o n s a s 1 s ( é ) и 3 ( х 13Ъ + и 2 ( х 12Ъ + u ^ x J t H . C e c i m o n tr e qu e l e s é lé m e n t s du t y p e o t ) s o n t d a n s H. M u l t i p l i o n s ( U ) p a r a b 3 e t r e t r a n c h o n s d e ( 3 ) 5 (3) а Ь 2 ( а - Ь ) и 2 ( х ^ 2 Ъ + a b ( a 2- b 2 ) u 1 ( x ) <t H . E ch a n g eo n s a e t b dan s ( 5 ) t ( 6 ) a 2b ( b - a ) u 2 ( x ^ 2^ )+ a b ( b 2- a 2 ) u 1( x ) é H . A jo u t o n s (5) e t ( 6 ) : ( 7 ) a b ( a - b ) ł u 2 ( x t 2 ^ )€ H .
F a is o n s Ъ s 1 : ( 8 ) a ( a - 1 ) 2 u2 (x^ ) € H C h in g e o a s , d a n s ( 8 ) , a en 1 - a : ( 9 ) а 2 ( 1 - а ) и 2 ( х [2 Ъ е H A jo u t o n s ( 8 ) e t ( 9 ) : ( 1 0 ) ( a 2 - a ) u 2 ( x [ 2 J ) € H A i n s i , l e s e le m e n t s d e t y p e ß ) s o n t d a n s H. On d é d u i t d e ( Ю ) q u e , p o u r t o u t с £ A e t t o u t n ÿ 2 , on a : c nu _ ( x 1’2 '3 )= о u _ ( x ^23 )m o d u lo H. [21 Dans l a r e l a t i o n ( 5 ) l e t e r m e c o n t e n a n t u 2 ( x ) e s t d o n c d a n s H; on en d é d u i t : ( 1 1 ) a b ( b 2- a 2 ) u 1( x ) € . H . F a is o n s ( 1 2 ) ( a " 5- a J u ^ x î é H . A i n s i , l e s é lé m e n t s d e t y p e f } s o n t a u s s i d a n s H . I n v e r s e m e n t , m odu lo l e s é lé m e n t s p ) e t y-) , t o u t l e s g é n é r a t e u r s ( l ) d é f i n i s au lemme 1 s o n t p r o p o r t i o n n e l s aux é lé m e n t s d e t y p e o f ) ; c e l a d é m o n tr e l e lem m e. Lemme 3 s Q u e ls qu e s o i e n t x , y , z d a n s M e t a d a n s A on a : (1 3) и 3 ( х Г 2 ] у ♦ x y C 2 l) + u 2 ( x y ) 6 H ; ( ï b ) u ^ ( x y z ) f e H; ( 1 5) ( a 3. a ) u 3 ( x ^ ) É H i ( 16) ( a 2 - a ) u 3 ( x ^ y J e H P r e u v e : (13 ) s ’ o b t i e n t à p a r t i r d e ( 1l) e n y r e m p la ç a n t x p o u r x + y ; (1*4) s ' o b t i e n t à p a r t i r d e (1 3 )е п y r e m p la ç a n t y p a r y + z ; (1 5) s ' o b t i e n t en m u l t i p l i a n t (* 4 ;p a r ( a ^ - a ) , en t e n a n t co m p te d e ( l 2 ) e t d e (1 0) . Dans (1 3) , r e m p la ç o n s x p a r a x s
/ ( 17) a 2 u ^ x ^ y ) + а и 3 ( х у * " 2Ъ + a u 2 ( x y ) ć H . A l o r s , ( l 6 ) s ’ o b t i e n t en m u l t i p l i a n t ( 1 3 ) р а г ei e t en r e t r a n c h a n t d e ( 1 7 ) . Lemme k : On a ( 1 в ) ь 3 . Г 3( м) /1 Г3(М) С H ( 1 9 ) b 2 . r 2 ( M ) / D 2 ( i ) r 2 ( M ) c H ( 2 0 ) b 3 . M / B 3 ( l ) M C H P r e u v e s ( l 8 ) p r o v i e n t d e ( l 5 ) , O ^ ) e t ( l ^ ) i e n re m a rq u a n t qu e Г ( м ) /1 Г3( м ) e s t e n g e n d r é p a r l e s é lé m e n t s d e 11 un d e s t y p e s : « 3 < « 0 1 ) » “ 3 ( * l2 y ) » u 3( x y z ) ; ( l 9 ) e t ( 2 0 ) p r o v i e n n e n t du lemme 2
,
e n r e s ia r q u a n t qu e n 2 ( M ) / D 2 ( l ) r 2 ( M ) e s t e n g e n d r é p a r l e s é lé m e n t s du t y p e u 2 ( x ^ 2 "* ) [ c a r même u 2 ( x y ) = u 2 ((x + y / 2 ] - x L 2 y ^ ) l e t qu e M/D3 ( I ) e s t c o n s t i t u é d e s é lé m e n t s u 2 ( x ) . Lesuse 5 : S o i t l e m o d u le Г3 ( м ) / (1+ ь 3 ) Г3 ( м ) $ Г2 ( м ) / (1
+ь2 ) Г2 (м ) ф м/ ( 1 + ь 3 )м S o i e n t l e s a p p l i c a t i o n s c a n o n iq u e s : v 3 i Г 3 (М ) - ^ . Г 3 ( М ) / ( 1 + b 3 ) ^ ( M ) ; v 2 : Г'2 ( м ) - > П2 ( м ) / ( 1 + b 2 ) P 2 ( M ) ; v 1 г M M / (I + b 3 )M S o i t H # l e s o u s m o d u le d e P * e n g e n d r é p a r l e s é lé m e n t s du * y p a ( 2 1 ) v 3 ( x C3 l )+ г 2 ( х М ) + v / x ) où x M » A l o r s , p o u r l e m o d u le Q d é f i n i au lemme 1 on a : Q — P ' /h' 19On a en e f f e t Q = P/H . O r , en v e r t u du leaoae Д, p o u r f a i r e l e q u o t i e n t d e P p a r H on p e u t com m en cer p a r f a i r e l e quotient d e P pa r i e s o u s module ь3Р3( м ) /1 /ч3( м ) ф b2r2(M )/ D2( i ) P 2(M ) ф b3 m/d3( i ) m , o b t e n a n t a i n s i l e n o d u le : Г3( м ) / (1* ь3) Р3( м ) ф P2( m ) / ( d2( i ) + ь2)Г ^ м ) $ m / (d3( i ) + b 3 )M I l n e r e s t e p lu e e n s u i t e q u 'à f a i r e l e q u o t i e n t d e c e d e r n i e r n o d u le p a r l ' i m a g e d e H , l a q u e l l e , d 'a p r è s l e lemme 2 , e e t e n g e n d r é e p a r l 'im a g e d e s é lé m e n t s d e t y p e oc) . Or on a : Lemme 6 : i ) D2( l ) + b2 = I + b2 i i ) D3( l ) + b3 = I + b3 i ü ) d2( i ) + ь3 = I + b3 P r e u v e : P o u r t o u t e n t i e r m e 0 , s o i t b ' l ' i d é a l e n g e n d r é p a r l e s é lé m e n t s a™ -a ; s o i t n £ m , De Dn ( l ) c l , on d é d u i t D ( l ) + b C l + b , n ' -m —m R é c ip r o q u e m e n t , p o u r t o u t i £ I , on a : i = ( i - i ) + i ^ b m+Dn ( 1 ^» d 'o ù l ' i n c l u s i o n i n v e r s e . Donc : D ( l ) + b = I + b . n -m -m Du lemme 6 r e s u i t e q u e l e m o d u le - q u o t ie n t d e P c o n s i d é r é c i - d e s s u s e s t é g a l à P ' j l e s é lé m e n t s d e t y p e <*?) d e H o n t p e u r im a g e l e s é lé m e n t s du t y p e C2 1 ) » d o n c l ' i m a g e d e H e s t H '* L e lemme 5 en r é s u l t e . R e l a t i v e m e n t au m o d u le H ', l e s p o i n t s ( l 3 ) , ( l * 0 e t ( l6)d u le s s e e 3 e n t r a î n e n t l e s s u i v a n t s :
Lemme 7 : Q u e ls q u e s o i e n t x , y , z da n s M e_t a dans A on a i (
2 2
) v3( x l"3^ y ) + v3( x y L 2 ] ) + v2( x y ) e H ' ; С2 3) v3( x y z ) С H ' ; (2 * 0 ( .2- e ) v3( x r 2 ] y ) t H '. # # ^ Nous r a p p e l o n s q u e t o u s l e s r é s u l t a t s q u i p r e c e d e n t o n t é t é é t a b l i s s a n s au cu n e h y p o t h è s e p a r t i c u l i è r e s u r l e m o d u le M . A p a r t i r d e m a ln t e n e n t , n ou s en f a i s o n s u n e .21 H y p o th M » pou r 1 « s u i t » de o » t » r t l o l e s M « i t on e « о — d i r e c t s f i n i » d » m odules nonogènoa n ( 2 5 ) И * Ф \ , MA ü k / x x 1*1 S o i t e^ un g é n é r a t e u r do . 8 i On a t ( а б ) Г 3 ( м ) » ф A е ^ ф ф A • 1f 2 l * j © Ф А в1 в | ^ ® ф А e i e j e v 1 K J K J r te P r o u v e , On a un is o m o r p h is m e ( o f . I v i ) , t h . I I I U , p . 2 6 2) ( 2 7 ) Г3(М ) к ф ( М , ) ® . . . ® £ (Mn ) * («tj-t-. . .♦ * г =3 1 П
1
П
С- l l
Г « п )
= ф Аа 1 ф . . . <9 Аап ) — +'OĆ" — 3 С 10 i * » . Гы 1 La n o d u le А • ф • • • ® Aei. BU s e c o n d membre c o r r e s p o n d au a o u s -m o d u le A • ^*<3 ( ( , du p r e m i e r membre ; d ' o ù t c o m p o s it io n en « o s a « d i r e c п3 ( м ) . m л J * ' 1. . . p o u r Г3 ( М ) , une d e c o m p o s it io n en somme d i r e c t e t O K , i q u i e a t p r é c is é m e n t c e l l e q u e f o u r n i t l e lemme 8 Lesm e 9 t i ) L 'a n n u l a t o u r d e e s t D ^ I ^ ) ; i i ) P o u r i / J , 1 's i m u l a t e u r d e e | 2 ^O j e a t D2 ( l ± )+ ï j ; i i i ) P o u r i < J ^ k , 1 's i m u l a t e u r d e e ^ e ^ e ^ e s t J i ♦ х л * xk • P r e u v e : Dans 1 'is o m o r p h is m e (2 7)* l e s o u s -m o d u le A e ^ ^ ] d e Г 3( м ) c o r r e s p o n d au m od u le ( ^ ( M ^ ) ; c e l u d é m o n tr e i ) , L e sou s-B K>dule A e ^ ^ e ^ d e P3(m) c o r r e p o n d au m odu lef W ® Mj
a
a / d 2 ( i a ) ® a / i j =1 W V * I j * c e q u l d é m o n tr e i l ) .Le a o u a -m o d u le A c o r r e s p o n d au m o d u la 0 Mj ® d 'a n n u la t o u r I . + I ♦ I , d 'o ù 1 1 1 ) . P o u r l e d e g r é 2 , o n ę a « d em on tr a r a i t d e в е к е l e Lemme 10 : i ) П2( м ) = ф A e^ 2 ф А е ± е^ ; 1 1 < J 1 1 ) 1 'a n n u l a t o u r d e е ^ 2 ^ e s t Г>2 ( 1 ± ) ; i l l ) l 's i m u l a t e u r d e е^ e s t 1^ ♦ I . R e p re n o n s m a in t e n a n t l a d é f i n i t i o n du m o d u le P ' d o n n é e au lemme 5 , en t e n a n t co m p te du lemme 8 . I l v i e n t : ( 2 8 ) P '= ф A v ( e f % ф A V ( e * 2 j e )ф ф A v ( e . a [ 2 j ) ф i J 1 L < J J A J -> 1 J ® A v q (® -le 4e ir ) Ф V ( Г - ( м ) ) ф V (M )-. l<j<k 3 i J k 2 2 1 S o i t S l e s o u s -m o d u le d e P ' e n g e n d r é p a r l e s é lé m e n t s du t y p e s ( 2 9 ) ) + v2^e i 2^ + V1^e i ^ ( i = 1, . . . , n ) ; S o i t S ' l e s o u s -m o d u le d e P ' e n g e n d r é p a r d e s é lé m e n t s du t y p e ( 3 0 ) v 3 ( e i 2 l e j ) + v 3 ^e i e j 2 ^ + v 2 ^ ® ie j ^ P o s o n s e n f i n : S " = , ф A v ( e . e e ) e t T = ф A v ( e . e ^ ) . J A J К ^ . 3 A J Lemme 11 . On a : (3 1) P '= S ф S '® S " ф T ф v2( P2( M ) ) ® v1 ( m ) . P r e u v e : En v e r t u d e (2 8) e t d e l a fo r m e d e s é lé m e n t s ( 2 9 ) e t (3 0) , i l e s t c l a i r qu e : P '=
s
+s'+ s " +
T + v2( P2( M ) ) + V i (m ) I l r e s t e à p r o u v e r q u e l a somme e s t d i r e c t e . S o i e n t d o n c d e s é lé m e n t s : s £ S , s ' f e S ' , s " f c S " , t f e T , Z é . v2( r2( M ) ) , z c . v ^ M ) , t e l s qu e :23 ( 3 2 ) t + Z + z = О . E c r i v o n s s • = £ ^ ± ( v 3 ( « / 3^ ) * V2 ^ ® i^ 2^ + v 1 ^ * i ^ ( ^ f c A ) S i , r e l a t i v e m e n t à l a d é c o m p o s it io n ( 2 8 ) , on o o n s l d è r e l a c o m p o s a n te d e ( 3 2 ) s u r Av ( e / - ^ ) , on o b t i e n t s Я . v _ ( e f ^ ) * 0 , 0 Cl 1 Го ■) i 1 A j A Dono A ^ e ^ ^ —3 '® i * D 'a p r è s l e lemme 9 » p o i n t i ) , on a : А -fc I + Ь ♦ D ^ ( l ^ ) , e q u i v a l e n t à ć l ♦ 1^ + b^ flem m e 6 , p o i n t ^ i i ) j . On en d é d u i t £ I 1^ ♦ b ^ e t , d e l a même m a n iè r e » £ I ♦ b 2 + D - j ^ ) . D 'o ù : ( I ♦ b 2 ) e ^ 2 j e t A 1v2 ( e ± ^2 ^ ) s 0 . E n f i n , d e 1 ♦ 1^ ♦ b j on d é d u i t î + ^3^ * i * d ' ° ù s A j ^ v ^ e ^ ) * 0 , F i n a le m e n t , on a
1
s в 0 . E c r i v o n s m a in t e n a n t t A ± J ( v j ( e f 2 ^e j ) + v 3( e 1 . jr 2 ] ) + ^ ( e ^ ) ) . ( Л ^ € А > . S i , r e l a t i v e m e n t à l a d é c o m p o s it io n (2 8) , o n c o n s i d è r e l a c o m p o s a n te d e (3 2) s u r A v 3 ( e ^ 2^ « j ) ( i ^ j ) , o n o b t i e n t s ^ i j V 3^e i 2 "*e j ^ e ° * Donc : Я ^2J /_ к C2] ij ei ej 6 (I + V ei ej • On en d é d u i t , g r £ c e au lesm ie 9 » p o i n t i i ) : \ 4 £ I . b , ♦ 0 , ( 1 , ) . I j O r (lem m e 6 ) 1 * -3 + D2 ^ Xi ^ * Jj = 1 + - 3 * *1 + XJ = 1 * ^3+ V D2(lj' D o n c , in v e r s e m e n t : X O ^ ^ \ t T X h ^ . о ^ J ij ei ej ć{1 * 5 3} ei*j et De meme (lem m e 10 , i i i ) : v 3 ( * i e jr 2 3 )= °a " + t + Z + s s O
G rè c e à (2 8) o n en d é d u i t im m é d ia te m e n t q u e s " = t = Z = z = 0 . C e o l d é m o n tre l e lemam 1 1 ,
Lemne 12 : On a s
( 3 3 ) H ' » S $ S ' ф S - $ b 2T .
P re u v e i &> v e r t u du leaaae 11 11 a u f f i t d e p r o u v e r que
(3 U ) H ' « S ♦ S % S " ♦ b 2T On a : S C H ' o a r l e a g é n é r a t a u r e (2 9) de S aon t de l a form a (2 1) ( leaaae 3) S 'c . H ' c a r l e a g é n é r a t e u r s ( 3 0 ) d e s ' a o n t d e l a fo r m a (2 2 )(le m m e 7 ) S* С H ' e t b 2T с H ' g r a c e au mène l a m e 7* I l r e s t e do n o à d é m o n t r e r l ' i n c l u a i o n d e H ' dan a l e a eo o n d membre d e ( 3 * 0 « Un é lé m e n t z q u e lo o n q u e d e H ' a ' é c r i t : (le m n e 5) * * = 5 Ло( [ ^ ( x p 1 ) * v 2 ( x J 2 'î ) * ' v 1( * oC)J . (x^éM ; A ) . On p e u t d a i l l e u r s , p o u r s i m p l i f i e r , s u p p o s e r qu e
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Cosmra I * b 2 + 1^ + D2 ( l j ) = 1^ + I j + I + b 2 (lem in e 6 )o n a e n f i n ( 3 6 ) T / b 2T ^ ф À / I± + I ♦ I ♦ b 2 . i < J D ' a p r è s l e l e m e ( 1 0 ) on a a u s s i , e t d e l a menie m a n iè r e : ( 3 7 ) v 2 (i^ ( M ) ) = ф A • f * V ( l + b 2 ) e ^ 2 J $ ф A ei e j / ( l + b 2 ) e i e J C r ® A/D2 ( I 1 ) + I + b 2 ф 'ф ? ^ A / I + I ± + I j ♦ b 2 a v e c d ' a i l l e u r s : D2 ( l ^ ) + I ♦ b 2 = 1^ + I ♦ b,_ E n f in s ( 3 8 ) v ^ M ) « 2 Aei / ( l + b 3 ) e i 2 A / ^ + 1 + b . j . En p o r t a n t l e s r é s u l t a t s d e (3 6) , ( 3 7 ) e t (3 8) dan s (3 5) (lem m e 1 3 > , e t d e l à d a n s (2) (lem m e l ) f on o b t i e n t l e Lamme : P o u r l e m o d u le M = A / l , 6Б • • • Ф А/ I e t l ' i d é a l I , — — — — — — 1 n — — — — on a : ^ ( М ф A / l ) с : Г \ . ( м ) ф ф
A /4
+ I + I + b ф ф A /l + 1 + 1 + Ь 4 4 K J 1 i C j i ~2 ф Ф A / I ♦ I + b ф Ф А/ I , + I + b L С A p a r t i r d e l à , l a d é m o n s t r a t io n p o u r r é c u r r e n c e du THEOREME e s t Im m é d ia t e , REFERENCES [ I ] PRÓSZYŃSKI A , , Some f u n c t o r s r e l a t e d t o p o ly n o m ia l t h e o r y , Fundam enta M a th em ati c a e X C V I I I , 1 9 7 8 , p . 2 1 9 -2 2 9 .[ I I ] PRÓSZYŃSKI A , , Some f u n c t o r s r e l a t e d t o p o ly n o m ia l t h e o r y , I I , c o l , s u r l e s fo r m e s q u a d r a t i q u e s ( l 9 7 7 , M o n t p e l l i e r ) B u l l , S o c ,M a t h , F r a n c e , M ém o ire 3 9, 1979 , P . 12 5 -1 2 9 [ I I I ] ROBY N . , S u r un f o n c t e u r l i é au x p u is s a n c e s d i v i s é e s d e d e g r é 3 , P r o b le m y M a te m a ty c z n e z . 5/6 1 986 s s . 5-1 4 [I V ] ROBY N . , S u r l ' a l g è b r e d e s p u is s a n c e s d i v i s é e s d 'u n m odu le m o n o g èn e , R e v i s t a d e l a U n io n M a t e m a t ic a A r g e n t i n a , V olum en 2 4, Numero 4t 1 9 6 9 , P , 1 2 7 -1 41
27
[ V ] ROBY N . , L o i s p o ly n ô m e s e t l o i s f o r m e l l e s en t h é o r i e d e s m o d u le s ,Ann. S o i e n t . E c . Norm . Sup. , 3e s é r i e , t . 8 0 ,
1963, P . 2 1 3 - 3 48
O FUNKTORZE ZWIĄZANYM Z PODZIELONYMI POTĘGAMI STOPNIA 4 M O D U Ł U
S t r e s z c z e n i e
N ie c h P n (M )o z n a c z a s k ła d o w ą je d n o r o d n ą s t o p n i a n
a l g e b r y z p o d z ie lo n y m i p o t ę g a m i П( м) i n i e c h ^n ( M) b ę d z i e podmoduł em ^ ( m ) gen erow a n ym p r z e z w s z y s t k i e p o d z i e l o n e p o t ę g i x ^ ( x ć. М ). A u t o r o b l i c z a m oduł i l o r a z o w y ^ ( m ) w
p r z y p a d k u , g d y M j e s t s k o ń c z o n ą sumą p r o s t ą m odułów c y k l i c z n y o h .
