Zastosowanie procesu genezowania stanu maszyn w dedykowanych systemach diagnozowania

Streszczenie

WstĊpne prace nad stworzeniem dedykowanych systemów diagnostycznych ma-szyn, wykorzystujących opracowane w niniejszym artykule metody genezowania sta-nu maszyn, są juĪ obecnie w kraju prowadzone, np. w postaci analizy opracowanych procedur genezowania stanu dla wybranych układów maszyn roboczych. W artykule przedstawiono równieĪ moĪliwoĞü wykorzystania programu Matlab do implementacji metod genezowania stanu maszyn.

Słowa kluczowe: stan techniczny, genezowanie stanu maszyn, parametr diagnostyczny, techniki wirtualne

1. WstĊp

W kaĪdej fazie istnienia maszyn, w celu podjĊcia decyzji o sposobie postĊpowania z nimi, ko-nieczne jest okreĞlenie ich stanów za pomocą metod i Ğrodków diagnostyki technicznej. MoĪe to byü decyzja o ich uĪytkowaniu, podjĊciu przedsiĊwziĊü profilaktycznych (regulacja, wymiana) lub wprowadzeniu zmian podczas konstruowania i wytwarzania maszyn. MoĪliwe jest to dziĊki temu, Īe diagnostyka techniczna pozwala na udzielenie odpowiedzi na pytania:

a) jaki jest aktualny stan badanej maszyny?

b) jak oceniü przeszłoĞü maszyny na podstawie jej aktualnego stanu? c) jak przewidzieü przyszłą ewolucjĊ stanu maszyny?

Odpowiedzi na kaĪde z tych pytaĔ wymaga przeanalizowania zadaĔ pojawiających siĊ pod-czas opracowywania algorytmów diagnozowania.

Ewolucja stanu technicznego maszyn jest moĪliwa do Ğledzenia za pomocą symptomowych modeli diagnostycznych i diagnostyczno – niezawodnoĞciowych, a w połączeniu ze statystycz-nym przetwarzaniem wyników badaĔ pozwala na ocenĊ obecnego i przyszłego stanu maszyny, a moĪe i przeszłego stanu maszyny. Oznacza to, Integralnym elementem procesu diagnozowania stanu jest genezowanie stanu maszyn. ĝledzenie zmian stanu maszyny moĪliwe jest dziĊki znajo-moĞci podstaw fizycznych zjawisk zuĪyciowych, co ułatwia poznanie genezowanych wartoĞci parametrów stanu i parametrów diagnostycznych. Taka wiedza pozwala na racjonalne konstruo-wanie, wybór odpowiedniej technologii wytwarzania oraz optymalizacjĊ właĞciwoĞci eksploata-cyjnych maszyn. Wówczas stan maszyny, uwzglĊdniający jego zmianĊ w czasie, okreĞlany jest zaleĪnoĞcią [5]:

G (X(Θ), U(Θ), Z(Θ)) = Y(Θ) (1) gdzie: X(Θ) – wektor cech stanu maszyny,

Z(Θ) – wektor zakłóceĔ,

Y(Θ) – wektor wyjĞciowy zawierający sygnały wykorzystywane w diagnostyce (symptomy-sygnały diagnostyczne zorientowane uszkodzeniowo), parametry

diagno-styczne,

G – globalna funkcja odpowiedzi, Θ – czas eksploatacji maszyny. 2. Analiza metod genezowania stanu maszyn

Genezowanie dotyczy przede wszystkim pierwotnych stanów uszkodzeniowych i ma szcze-gólne znaczenie w przypadku uszkodzeĔ zaleĪnych (rozwijających siĊ). WiarygodnoĞü genezy zaleĪy w duĪym stopniu od znajomoĞci poprzednich stanów

i obciąĪeĔ obiektu.

WĞród małej iloĞci metod, umoĪliwiających genezowanie stanu maszyn, moĪna wyróĪniü dwie grupy [4]:

a) metody jakoĞciowe (genezowanie sytuacyjne na podstawie informacji zebranych z otocze-nia i metody eksperckie na podstawie relacji Ğwiadków zdarzeotocze-nia);

b) analityczne (metody symptomowe na podstawie wartoĞci parametrów diagnostycznych z przedziału czasu (Ĭi, Ĭt) [4].

Genezowanie sytuacyjne

W przypadku genezowania sytuacyjnego przyczynĊ wystąpienia niezdatnoĞci okreĞla siĊ na podstawie oglĊdzin przeprowadzonych od razu po zaistnieniu zdarzenia. Zebrane w ten sposób dane sytuacyjne słuĪą do porównania z danymi sytuacyjnymi powstałymi w wyniku zamodelowania pew-nych uszkodzeĔ. Szuka siĊ wówczas dapew-nych odpowiadających danym sytuacyjnym zdarzenia wejĞcio-wego.

Genezowanie eksperckie

Metoda polega na okreĞleniu przyczyn zaistniałego stanu maszyny na podstawie relacji Ğwiadków danego zdarzenia. Przykładowo w przypadku wystąpienia stanu niezdatnoĞci silnika spalinowego na podstawie analizy symptomów moĪna okreĞliü przyczynĊ powstania niezdatnoĞci. Innym przypadkiem mogą byü tu równieĪ informacje przekazane przez osobĊ obsługującą daną maszy-nĊ, która moĪe dostarczyü bardzo cennych danych o zachowaniu siĊ maszyny przed uszkodzeniem. W zakładach bardzo czĊsto wykorzystuje siĊ kamery przemysłowe mogące pomóc w okreĞleniu przyczyny powstałej niezdatnoĞci.

Genezowanie symptomowe

Zakładając moĪliwoĞü rejestrowania wartoĞci parametrów diagnostycznych w czasie (Ĭi, Ĭb) oraz stanów maszyny w czasie eksploatacji (np. w trakcie eksperymentu bierno –czynnego) uzyskuje siĊ bazĊ informacji w postaci macierzy informacji: wartoĞci parametrów diagnostycznych – stany maszyny – czas eksploatacji



[2]. W chwili utraty przez maszynĊ stanu zdatnoĞci S° prawdopo-dobnie bĊdzie moĪliwoĞü stwierdzenia, na podstawie zebranych danych jak i oglĊdzin maszyny, jaka mogła byü przyczyna oraz warunki powstania stanu niezdatnoĞci maszyny.

na aproksymacjĊ oraz interpolacjĊ jako metody przybliĪania funkcji. AproksymacjĊ moĪna wyko-rzystaü w sytuacji, gdy nie istnieje funkcja analityczna pozwalająca na wyznaczenie wartoĞci dla dowolnego z jej argumentów, a jednoczeĞnie wartoĞci tej nieznanej funkcji są dla pewnego zbioru jej argumentów znane. Aproksymacja jest to przybliĪanie funkcji Y(Θ) zwanej funkcją aproksy-mowaną inną funkcją Ya(Θ) zwaną funkcją aproksymującą. Z wielu metod aproksymacji, na pod-stawie badaĔ własnych [4] zostały wybrane: aproksymacja Ğredniokwadratowa punktowa wielo-mianowa oraz aproksymacja trygonometryczna.

Aproksymacja Ğredniokwadratowa punktowa wielomianowa

Dane są punkty czasowe Θ1, …, Θi, …, Θj, …, Θb parami róĪne czyli dla i≠ j ⇔ Θj≠ Θj oraz dane są wartoĞci parametrów diagnostycznych w tych punktach y1, …, yi, …, yb, gdzie y=f(Θi), i=1, …, b. Zadaniem aproksymacji jest wiĊc znaleĨü wartoĞci współczynników a0, a1, …, am wielomianu Ym (Θ) stopnia m-tego postaci:

Ya =

¦

=

Θ

=

Θ

m j j j m

a

Y

0

)

(

, (2)

aby błąd Ğredniokwadratowy był najmniejszy czyli:

eG =

¦

¦

=

−

=

Θ

=

n i m j j i j i a a a n

B

₀

y

₀

a

2 ,..., ,

(

)

min

1 0 (3)

Zadanie aproksymacji Ğredniokwadratowej punktowej sprowadza siĊ wiĊc do rozwiązania m+1 równaĔ o m+1 niewiadomych.

Aproksymacja trygonometryczna

Aproksymacja trygonometryczna jest stosowana wówczas, gdy funkcja aproksymowana jest funkcją okresową a punkty szeregu czasowego Y = {yi(Θ)} pochodzące z obserwacji zmiany wartoĞci parametru diagnostycznego są równoodległe. Funkcja aproksymująca przyjmuje wówczas postaü: Ya =

)

2

sin

2

cos

(

)

(

1 0

Θ

⋅

⋅

+

Θ

⋅

⋅

+

=

Θ

¦

=

n

i

b

n

i

a

a

Y

i m i i

π

π

₍₄₎

gdzie: n – liczba punktów szeregu czasowego,

m – stopieĔ wielomianu trygonometrycznego, przy czym parametr m musi spełniaü



warunek: n > 2m + 1.

Zagadnienie aproksymacji sprowadza siĊ wówczas do obliczenia wartoĞci współczynników a0 oraz ai, bi (i = 1, 2, ..., m). Współczynniki te wyznacza siĊ ze wzorów Eulera – Fouriera:

°

°

¿

°

°

¾

½

Θ

=

Θ

=

Θ

=

¦

¦

¦

= = = n j j i n j j i n j j

n

ij

n

b

n

ij

n

a

n

a

1 1 1 0

2

sin

2

2

cos

2

1

π

π

i=1,2,…,m (5)

gdzie Θj (j = 1, 2, ..., n) są elementami ciągu (3.30).

Błąd aproksymacji trygonometrycznej moĪna wyraziü zaleĪnoĞcią:

e

G=

¦

=

−

=

b i i

y

y

B

1 2

)

(

(6)

gdzie: y – wartoĞü funkcji aproksymującej,

y

i

– wartoĞü funkcji aproksymowanej.

Interpolacja to metoda polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartoĞci w ustalonych punktach, nazywanych wĊzłami. Jest stosowana w zagadnieniach genezowania ze wzglĊdu na to, Īe dysponuje siĊ bardzo czĊsto skoĔczoną liczbą danych do okreĞlenia zaleĪnoĞci miĊdzy wielkoĞciami. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja [18]. Autor wybrał interpolacjĊ Lagrange’a oraz interpolacja za pomocą funkcji sklejanych.

Interpolacja Lagrange’a

Zagadnienie interpolacyjne Lagrange’a charakteryzuje siĊ wymaganiem, aby wartoĞci funkcji interpolującej równały siĊ wartoĞciom funkcji interpolowanej w n+1 punktach. ZałóĪmy, Īe znamy kilka wartoĞci funkcji Y(Θ) dla kilku argumentów Θ1, …, Θk, …, Θb, a chcemy dowiedzieü siĊ, jakie są wartoĞci dla innych argumentów. MoĪna tego dokonaü dziĊki funkcjom interpolacyjnym. Wymaga siĊ, aby ich wykres przechodził przez wĊzły interpolacji (punkty dyskretne, których współrzĊdne znamy) y(Θ1), …, y(Θk), …, y(Θb) a poza nimi przybliĪał jak najlepiej pierwowzór.

Aby znaleĨü wartoĞci funkcji w kaĪdym punkcie dziedziny, naleĪy na podstawie znajomoĞci kilku wartoĞci dyskretnych wyznaczyü wielomian interpolacyjny. Najprostszy wielomian interpolacyjny w sensie Lagrange'a przyjmuje postaü:

)

)...(

)(

)...(

)(

(

)

)...(

)(

)...(

)(

(

)

(

1 1 1 0 1 1 1 1 * n i i i i i i i n i i o b i i n

y

Y

Θ

−

Θ

Θ

−

Θ

Θ

−

Θ

Θ

−

Θ

Θ

−

Θ

Θ

−

Θ

Θ

−

Θ

Θ

−

Θ

Θ

−

Θ

Θ

−

Θ

=

Θ

+ − + − =

¦

 

(8)





Oszacowanie jest w duĪym stopniu zaleĪne od rozkładu argumentów punktów dyskretnych Θk. Oszacowanie błĊdu w tej metodzie jest nastĊpujące:



eG =

(

)

)!

1

(

)

(

)

(

1 ₁

_Θ

+

≤

−

Y

i

t

_n

M

n+

w

n+

t

Y

 

(9)



gdzie:

=

max

+1

(

Θ

)

≤ Θ ≤ n b a

y

M

,

w

_n+1

=

(

Θ

−

Θ

₀

)(

Θ

−

Θ

₁

)...(

Θ

−

Θ

_n

)

Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych

W dotychczasowych rozwaĪaniach funkcja była interpolowana jednym wielomianem. OczywiĞcie, jeĞli wzrasta liczba wĊzłów wzrasta równieĪ stopieĔ wielomianu interpolacyjnego imoĪe siĊ okazaü, Īe nie bĊdzie on zbieĪny do funkcji interpolowanej.

MoĪna zatem inaczej sformułowaü problem, mianowicie niech dane bĊdą wĊzły uporządkowane nastĊpująco:

b

a

=

Θ

0

<

Θ

1

<

Θ

2

<

...

<

Θ

_n−1

<

Θ

_n

=

(10) W kaĪdym z przedziałów

¢

Θ

j

,

Θ

j+1

)

j

=

0

,

1

,

2

,...,

n

−

1

funkcjĊ interpolowaną przybliĪa

siĊ wielomianem stosunkowo niskiego stopnia. Na ogół w kaĪdym przedziale wielomian bĊdzie róĪny, ale cała funkcja interpolująca powinna byü ciągła wraz z odpowiednimi pochodnymi na odcinku

¢

a,

b

²

. Zagadnienie interpolacyjne za pomocą funkcji sklejanych wymaga, aby ich wykres przechodził przez wĊzły interpolacji (punkty dyskretne, których współrzĊdne znamy) y1, …, yi, …, yb, a poza nimi przybliĪał jak najlepiej pierwowzór za pomocą odpowiednich funkcji wposzczególnych przedziałach <Θj, Θj+1).

Na przykład w kaĪdym przedziale <Θj, Θj+1) funkcja sklejana stopnia 3 przyjmuje postaü:

3 2

₍

₎

)

(

)

(

)

(

_{j j j j j j j} i

a

b

c

d

Y

Θ

=

+

Θ

−

Θ

+

Θ

−

Θ

+

Θ

−

Θ

,

j

=

0

,

1

,

2

,...,

n

−

1

(11) przy czym współczynniki

a

_i

,

b

_i

,

c

_i

,

d

_i wyznacza siĊ według odpowiednich algorytmów [4]. Oprócz opisanych wyĪej metod, moĪna równieĪ poddaü analizie metodĊ Newtona jako jedną z metod interpolacyjnych.

Interpolacja Newtona



Metody polegające na bezpoĞrednim wyznaczaniu wielomianów interpolacyjnych z danych stablicowanych nazywane są metodami ilorazów róĪnicowych. Metody te były powszechnie uĪywane zanim komputery cyfrowe stały sie powszechnie dostĊpne. Jedną z tych metod jest interpolacja Newtona.

Dany jest wielomian Lagrange’a stopnia co najwyĪej n przechodzący przez stablicowane wartoĞci funkcji f. Aby wyznaczyü iloraz róĪnicowy funkcji f naleĪy przedstawiü wielomian Lagrange’a w postaci:

Fn(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)(x − x1) + . . . + an(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1) (12) Współczynnik a0 jest równy f(x0) poniewaĪ dalsze wyrazy Fn(x) sie zerują. Analogicznie

moĪna wyznaczyüa1:

ܽ

_ଵ

ൌ

௙ሺ௫భሻି௙ሺ௫బሻ

௫భି௫బ (13)

Ogólnie, oznaczając iloraz róĪnicowy jako f[xi], otrzymuje siĊ:

݂ሾݔ

_௜

ǡ ݔ

_௜ାଵ

ሿ ൌ

௙ሾ௫೔శభሿି௙ሾ௫೔ሿ

௫೔శభି௫೔ (14)

Gdy znany jest (k − 1)-wszy iloraz róĪnicowy to moĪemy wyznaczyü k-ty z:

݂ሾݔ

_௜

ǡ ݔ െ ݅ ൅ ͳǡ ǥ ǡ ݔ

_௜ା௞

ሿ ൌ

௙ሾ௫೔శభǡ௫೔శమǡǥǡ௫೔శೖሿି௙ሾ௫೔ǡ௫೔శభǡǥǡ௫೔శೖషభሿ

௫೔శೖି௫೔ (15)

Tak wiec wielomian interpolacyjny Newtona Fn(x) moĪna wyraziü jako:

ܨ

௡

ሺݔሻ ൌ ݂ሾݔ

଴

ሿ ൅ σ

௡௞ୀଵ

݂ሾݔ

଴

ǡ ݔ

ଵ

ǡ ǥ ǡ ݔ

௞

ሿሺݔ െ ݔ

଴

ሻ ǥ ሺݔ െ ݔ

௞ିଵ

ሻ



(16)

Błąd genezy metodą interpolacji Newtona oblicza siĊ ze wzoru:

݁

_{௝ǡ௡௘௪}

ൌ ݁

_ீ௝

ൌ ƒš

_{௞ୀଵǡ௄}

ܤ ൌ หݕ

_{௝ǡ௡௘௪}

ሺ߆

௞

ሻ െݕ

௝

ሺ߆

௞

ሻห

(17)

Oszacowanie wartoĞci parametrów diagnostycznych, za pomocą przedstawionych powyĪej metod genezowania, pozwala wyznaczyü ich wartoĞci genezowane {yj,int(Θ)}, co umoĪliwi opracowanie algorytmu genezowania stanu maszyny.

3. Zastosowanie technik wirtualnych do weryfikacji metod genezowania wartoĞci parame-trów diagnostycznych

NiezbĊdne obliczenia i wykreĞlenie wykresów dokonano w programie MATLAB R2009a. Wszystkie polecenia i funkcje niezbĊdne do uzyskania wykresów poszczególnych funkcji opisano przy analizie kaĪdej z metod.

Do weryfikacji metod wykorzystane zostały wyniki pomiarów stanowiskowych przekładni zĊbatej samochodowej. Przykładowe wyniki badaĔ zawiera tabel 1, zaĞ wyniki analizy metod genezowania wartoĞci parametrów diagnostycznych zawierają rysunki 1–8.

Tabela 1. WartoĞci otrzymanych miar procesu drganiowego dla przekładni zĊbatej samochodowej

Czas [s] Asr RMS(t) RMS(f) Wmax

0 0,063 0,080 0,132 0,250 738,6 0,051 0,064 0,107 0,234 2953,6 0,048 0,060 0,101 0,216 3174,6 0,048 0,061 0,104 0,201 4600,6 0,048 0,062 0,107 0,270 4640,6 0,050 0,064 0,111 0,245 5484,6 0,052 0,067 0,114 0,217 5551,6 0,062 0,079 0,120 0,260 6876,6 0,077 0,101 0,146 0,398 11516,6 0,207 0,276 0,465 0,984 20231,6 0,224 0,296 0,521 0,910 33082,6 0,193 0,253 0,436 0,804 34813,6 0,193 0,254 0,435 0,761 37819,6 0,226 0,292 0,492 0,932 37868,6 0,226 0,297 0,505 0,902 38813,6 0,186 0,252 0,433 0,766 39553,6 0,192 0,260 0,448 0,867 40628,6 0,192 0,257 0,451 0,796 40748,6 0,181 0,234 0,404 0,698 41383,6 0,182 0,237 0,404 0,858 ħródło: [4].



Przykładowe wyniki przedstawiono poniĪej Aproksymacja wielomianem pierwszego stopnia

Utworzono wektory x’ i y’ w procesie transpozycji wektorów podstawowych x i y. Wektor x to wektor zawierający informacjĊ z kolejnymi czasami pomiarów. Wektor y to wektor zawierający informacjĊ z kolejnymi wartoĞciami przyspieszeĔ drgaĔ.

Zbiór rzĊdnych:

x’=[0 738.6 2953.6 3174.6 4600.6 4640.6 5485.6 5551.6 6876.6 11516.6 20231.6 33082.6 34813.6 37819.6 37868.6 38813.6 39553.6 40628.6 40748.6 41383.6]'

Zbiór wartoĞci: a) dla parametru Asr;

y’=[0.063 0.051 0.048 0.048 0.048 0.050 0.052 0.062 0.077 0.207 0.224 0.193 0.193 0.226 0.226 0.186 0.192 0.192 0.181 0.182]'

y’=[0.080 0.064 0.060 0.061 0.062 0.064 0.067 0.079 0.101 0.276 0.296 0.253 0.254 0.292 0.297 0.252 0.260 0.257 0.234 0.237]’

c) dla parametru RMS(f);

y’=[0.132 0.107 0.101 0.104 0.107 0.111 0.114 0.120 0.146 0.465 0.521 0.436 0.435 0.492 0.505 0.433 0.448 0.451 0.404 0.404]’

d) dla parametru Wmax;

y’=[0.250 0.234 0.216 0.201 0.270 0.245 0.217 0.260 0.398 0.984 0.910 0.804 0.761 0.932 0.902 0.766 0.867 0.796 0.698 0.858]’

Zapis wielomianu w postaci macierzy: A=[x ones(size(x))]

Obliczenie współczynników funkcji aproksymującej: c=(A' *A)\(A' *y)

a) dla parametru Asr;

c = 0.000003809691271 0.056859439197397 b) dla parametru RMS(t);

c = 0.000005085984184 0.072914650297059 c) dla parametru RMS(f);

c = 0.000008887703313 0.119387710674189 d) dla parametru Wmax;

c = 0.000015182879086 0.266834767698409 Wzór funkcji aproksymującej:

a) dla parametru Asr;

f(x) = 0.000003809691271x + 0.056859439197397 b) dla parametru RMS(t);

f(x) = 0.000005085984184x + 0.072914650297059 c) dla parametru RMS(f);

f(x) = 0.000008887703313x + 0.119387710674189 d) dla parametru Wmax;



Rysunek 1. Przebieg funkcji aproksymującej wielomianem pierwszego stopnia dla Asr ħródło: Opracowanie własne.

Obliczenie wartoĞci błĊdu Ğredniokwadratowego: r=y-A*c

R2=1-(norm(r)/norm(y-mean(y)))^2 a) dla parametru Asr;

R2 = 0.749200545648822 b) dla parametru RMS(t); R2 = 0.748702618865103 c) dla parametru RMS(f); R2 = 0.752617472578996 d) dla parametru Wmax; R2 = 0.704182859937405

Aproksymacja wielomianem trzeciego stopnia RównieĪ w tej metodzie utworzono wektory x’ i y’. Zbiór rzĊdnych:

x’=[0 738.6 2953.6 3174.6 4600.6 4640.6 5485.6 5551.6 6876.6 11516.6 20231.6 33082.6 34813.6 37819.6 37868.6 38813.6 39553.6 40628.6 40748.6 41383.6]'

Zbiór wartoĞci: a) dla parametru Asr;

y’=[0.063 0.051 0.048 0.048 0.048 0.050 0.052 0.062 0.077 0.207 0.224 0.193 0.193 0.226 0.226 0.186 0.192 0.192 0.181 0.182]' b) dla parametru RMS(t); y’=[0.080 0.064 0.060 0.061 0.062 0.064 0.067 0.079 0.101 0.276 0.296 0.253 0.254 0.292 0.297 0.252 0.260 0.257 0.234 0.237]’ c) dla parametru RMS(f); Czas, s Czas, s

y’=[0.132 0.107 0.101 0.104 0.107 0.111 0.114 0.120 0.146 0.465 0.521 0.436 0.435 0.492 0.505 0.433 0.448 0.451 0.404 0.404]’

d) dla parametru Wmax;

y’=[0.250 0.234 0.216 0.201 0.270 0.245 0.217 0.260 0.398 0.984 0.910 0.804 0.761 0.932 0.902 0.766 0.867 0.796 0.698 0.858]’

Zapis wielomianu w postaci macierzy: A=[x.^3 x.^2 x ones(size(x))]

Obliczenie współczynników funkcji aproksymującej: c=(A' *A)\(A' *y)

a) dla parametru Asr;

c = -3.685595389296667e-015 -1.174548560731721e-011 1.051420837788371e-005 2.393041313444681e-002

b) dla parametru RMS(t);

c = -0.000000000000004 -0.000000000047557 0.000014584816615 0.027386102837849 c) dla parametru RMS(f);

c = -0.000000000000009 -0.000000000019506 0.000024271848326 0.043558128441851 d) dla parametru Wmax;

c = 0.000000000000003 -0.000000001181684 0.000060914310141 0.082299609254671 Wzór funkcji aproksymującej:

a) dla parametru Asr;

f(x) = -3.685595389296667e-015x3 _{-1.174548560731721e-011x}2 _{+ 1.051420837788371e-005x +} 2.393041313444681e-002 b) dla parametru RMS(t); f(x) = -0.000000000000004x3 - 0.000000000047557x2 + 0.000014584816615x + 0.027386102837849 c) dla parametru RMS(f); f(x) = -0.000000000000009x3 _{- 0.000000000019506x}2 _{+ 0.000024271848326x +} 0.043558128441851

d) dla parametru Wmax;

f(x) = 0.000000000000003x3 _{- 0.000000001181684x}2 _{+ 0.000060914310141x +} 0.082299609254671



Rysunek 2. Przebieg funkcji aproksymującej wielomianem trzeciego stopnia dla Asr ħródło: Opracowanie własne.

Obliczenie wartoĞci błĊdu Ğredniokwadratowego: r=y-A*c

R2=1-(norm(r)/norm(y-mean(y)))^2 a) dla parametru Asr;

R2 = 0.881216711221601 b) dla parametru RMS(t); R2 = 0.881629662335208 c) dla parametru RMS(f); R2 = 0.882996326529793 d) dla parametru Wmax; R2 = 0.840725607180264 Interpolacja

Interpolacja Lagrange’a pierwszego stopnia

Tak samo ja w przypadku wszystkich aproksymacji naleĪy utworzyü wektory x i y. Zbiór rzĊdnych:

x=[0 738.6 2953.6 3174.6 4600.6 4640.6 5485.6 5551.6 6876.6 11516.6 20231.6 33082.6 34813.6 37819.6 37868.6 38813.6 39553.6 40628.6 40748.6 41383.6]

Zbiór wartoĞci: a) dla parametru Asr;

y=[0.063 0.051 0.048 0.048 0.048 0.050 0.052 0.062 0.077 0.207 0.224 0.193 0.193 0.226 0.226 0.186 0.192 0.192 0.181 0.182] b) dla parametru RMS(t); y=[0.080 0.064 0.060 0.061 0.062 0.064 0.067 0.079 0.101 0.276 0.296 0.253 0.254 0.292 0.297 0.252 0.260 0.257 0.234 0.237] Czas, s

c) dla parametru RMS(f);

y=[0.132 0.107 0.101 0.104 0.107 0.111 0.114 0.120 0.146 0.465 0.521 0.436 0.435 0.492 0.505 0.433 0.448 0.451 0.404 0.404]

d) dla parametru Wmax;

y=[0.250 0.234 0.216 0.201 0.270 0.245 0.217 0.260 0.398 0.984 0.910 0.804 0.761 0.932 0.902 0.766 0.867 0.796 0.698 0.858]

OkreĞlenie przedziału argumentów funkcji interpolującej: xi=0:41383.6

Wyznaczenie wartoĞci funkcji interpolującej: yi=interp1(x,y,xi,’linear’)



Rysunek 4. Przebieg funkcji interpolującej Lagrange’a pierwszego stopnia dla Asr ħródło: Opracowanie własne.

Interpolacja funkcjami sklejanymi

W przypadku interpolacji funkcjami sklejanymi naleĪy utworzyü wektory x i y. Zbiór rzĊdnych:

x=[0 738.6 2953.6 3174.6 4600.6 4640.6 5485.6 5551.6 6876.6 11516.6 20231.6 33082.6 34813.6 37819.6 37868.6 38813.6 39553.6 40628.6 40748.6 41383.6]

Zbiór wartoĞci: a) dla parametru Asr;

y=[0.063 0.051 0.048 0.048 0.048 0.050 0.052 0.062 0.077 0.207 0.224 0.193 0.193 0.226 0.226 0.186 0.192 0.192 0.181 0.182] b) dla parametru RMS(t); y=[0.080 0.064 0.060 0.061 0.062 0.064 0.067 0.079 0.101 0.276 0.296 0.253 0.254 0.292 0.297 0.252 0.260 0.257 0.234 0.237] c) dla parametru RMS(f); Czas, s Czas, s

y=[0.132 0.107 0.101 0.104 0.107 0.111 0.114 0.120 0.146 0.465 0.521 0.436 0.435 0.492 0.505 0.433 0.448 0.451 0.404 0.404]

d) dla parametru Wmax;

y=[0.250 0.234 0.216 0.201 0.270 0.245 0.217 0.260 0.398 0.984 0.910 0.804 0.761 0.932 0.902 0.766 0.867 0.796 0.698 0.858]

OkreĞlenie przedziału argumentów funkcji interpolującej: xi=0:41383.6

Wyznaczenie wartoĞci funkcji interpolującej: yi=interp1(x,y,xi,’spline’)



Rysunek 5. Przebieg funkcji interpolującej funkcjami sklejanymi dla Asr ħródło: Opracowanie własne.

4. Wnioski

W chwili obecnej jest kilka metod genezowania stanu maszyn, które moĪna wykorzystaü wpraktyce. Za najbardziej przydatną metodĊ przyjĊto genezowanie symptomowe, wykorzystujące rejestrowane w trakcie eksploatacji maszyny zmienne wartoĞci parametrów diagnostycznych. Rozpatrzono moĪliwoĞü wykorzystania w obszarze genezowania wartoĞci parametrów diagnostycznych: metody aproksymacyjne (Ğredniokwadratowa punktowa wielomianowa, trygonometryczna) i metody interpolacyjne (Lagrange’a, funkcji sklejanych oraz metoda Newtona).

W przypadku metod aproksymacyjnych metoda trygonometryczna jest zupełnie nieprzydatna ze wzglĊdu na to, iĪ powinno siĊ ją stosowaü tylko do funkcji okresowych. Analizując metodĊ wielomianową moĪna stwierdziü, Īe im wyĪszy stopieĔ wielomianu tym funkcja przybliĪająca dokładniej odwzorowuje rzeczywisty przebieg funkcji.

Biorąc pod uwagĊ metody interpolacyjne, najdokładniejszą z nich okazała siĊ metoda interpolacji funkcjami sklejanymi. Bardzo pomocny podczas weryfikacji metod okazał siĊ pakiet

Matlab, który jest Ğrodowiskiem do wykonywania obliczeĔ naukowych i inĪynierskich, oraz do tworzenia symulacji komputerowych.

Przeprowadzenie weryfikacji opracowanych metod genezowania stanu wymaga ich implementacji i przeprowadzenia odpowiednich badaĔ wybranych układów maszyn, w celu uzyskania zbioru stanów i zbioru wartoĞci parametrów diagnostycznych. Aby wyznaczyü ten zbiór proponuje siĊ jako kryterium wyboru przyjąü najwiĊksze wartoĞci wag oraz metodĊ korelacji wartoĞci parametru diagnostycznego ze stanem i czasem eksploatacji maszyny, jak równieĪ metodĊ pojemnoĞci informacyjnej parametru diagnostycznego.

Bibliografia

1. BĊdkowski L.: Elementy diagnostyki technicznej, WAT, Warszawa 1991.

2. Cempel Cz.: Redukcja zbioru danych w diagnostyce maszyn, Zagadnienia Eksploatacji Ma-szyn, nr 4/1980, Warszawa 1980.

3. Tylicki H.: Redukcja informacji diagnostycznej w rozpoznawaniu stanu maszyn. Diagnostyka, vol. 26, Olsztyn, 2002.

4. Wilczarska J.: Genezowanie stanu technicznego w procesie eksploatacji maszyn. Rozprawa doktorska. Bydgoszcz, 2008.

5. ĩółtowski B., Cempel C.: InĪynieria diagnostyki maszyn. Warszawa: Polskie Towarzystwo Diagnostyki Technicznej, Instytut Technologii Eksploatacji, 2004.

APPLICATION PROCESS GENESIS STATE MACHINES DEDICATED SYSTEMS IN DIAGNOSES

Summary

Preliminary work on a dedicated machine diagnostic systems, developed using the methods in this article genesis state machines are already being conducted in the country, such as analysis procedures developed for selected genesis state systems of working machines. The article also presents the possibility to use Matlab to implement the methods genesis state machines.

Keywords: condition, state genesis machines, diagnostic parameter, the virtual technology

Joanna Wilczarska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy e-mail: asiulazol@utp.edu.pl