Analiza odporności na przerwanie w dużych sieciach komunikacyjnych

Pełen tekst

(1)ANALIZA ODPORNOCI NA PRZERWANIE W DUYCH SIECIACH KOMUNIKACYJNYCH1 PRZEMYSŁAW KOBYLA SKI MICHAŁ KULEJ JERZY PIERONEK Politechnika Wrocławska. Streszczenie W artykule przedstawiono analiz odpornoci duych sieci komunikacyjnych na przerwanie połczenia midzy wzłami oraz zaproponowano miar odpornoci wzła na utrat połczenia z innymi wzłami. Wykorzystujc t miar zdefiniowano pojcia rdzenia i obrzea sieci, tj. wzłów najmocniej i najsłabiej połczonych z sieci. Rozwaania zilustrowano wynikami eksperymentów obliczeniowych dla sieci kolejowej PKP złoonej z ponad półtora tysica wzłów. Analiza tak duej sieci jest moliwa dziki wielomianowej złoonoci obliczeniowej zaproponowanej metody, której idea jest oparta na rozwizywaniu równa opisujcych elektryczne sieci oporników. Słowa kluczowe: optymalizacja odporna, sie komunikacyjna, układ elektryczny, opór zastpczy. 1. Wprowadzenie Badanie wpływu awarii poszczególnych elementów sieci komunikacyjnej, energetycznej, itp. na funkcjonowanie całej sieci s przedmiotem bada wielu dziedzin nauki. Stosowane metody badania odpornoci na przerwanie połcze (awarie) bazuj głównie na teorii niezawodnoci. Definiowana jest pewna miara oceny funkcjonowania sieci nazywana niezawodnoci sieci. Zakłada si przy tym, e zadane s prawdopodobiestwa awarii poszczególnych krawdzi sieci i awarie krawdzi s zdarzeniami stochastycznie niezalenymi. Jednak złoono obliczeniowa tej metody nie pozwala na efektywne obliczenia niezawodnoci dla duych sieci [6]. W niniejszej pracy do analizy odpornoci na przerwanie połcze sieci zastosowano inn miar (nie probabilistyczn) [4] opart na obliczeniach prdu w układach elektrycznych zbudowanych z oporników. Miara ta moe by uyta do analizy odpornoci duych sieci liczcych tysice wzłów i krawdzi. Wykorzystujc t miar zaproponowano miary dla wzłów sieci pozwalajce ocenia stopie powizania danego wzła z reszt sieci oraz zdefiniowano zbiory wzłów najmocniej(rdze sieci) i najmniej(peryferii) powizanych z sieci. Organizacja artykułu jest nastpujca: w czci drugiej sformułowano problem a w trzeciej podano interpretacje probabilistyczn potencjałów zwizan z błdzeniem losowym. Nastpnie w czci czwartej zdefiniowano pojcia rdzenia i peryferii oraz podano ich własnoci. Eksperymenty obliczeniowe i analiz sieci kolejowej PKP zaprezentowano w czci pitej. Uwagi kocowe i konkluzje zawarto w czci szóstej.. 1. Praca była finansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyszego (grant NN111146433)..

(2) 192. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. 2. Sformułowanie problemu Niech modelem sieci (komunikacyjnej, transportowej, telekomunikacyjnej lub kolejowej) bdzie nieskierowany graf (multigraf) G=(U,E). Graf G składa si ze zbioru wzłów (wierzchołków) U, reprezentujcych punkty sieci (np. stacje kolejowe dla sieci kolejowej) oraz zbioru krawdzi E bdcego zbiorem dwuelementowych podzbiorów zbioru U. Krawd reprezentuje połczenie midzy pewnymi punktami sieci. Zbiór U zawiera wyróniony wzeł s oraz inny wzeł t róny od s. Załoymy, e wzły s ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do n, tj. U={1,…,n}. Zbiór krawdzi grafu G oznaczymy jako E= { e1 , e2 ,…, em } przy czym krawd e bdziemy dalej pamita jako uporzdkowan par (i,j), gdzie i, j U, i < j. Krawdzie grafu G mog ulega przerwaniu np. zerwanie linii wysokiego napicia w sieci energetycznej czy zamknicie odcinka drogi z powodu wypadku w sieci komunikacyjnej itp. Moe to spowodowa przerwanie komunikacji pomidzy wybranymi wzłami s i t lub tylko utrudni komunikacj midzy nimi. Komunikacja midzy tymi wzłami istnieje, gdy istnieje przynajmniej jedna droga od wzła s do wzła t składajca si tylko z funkcjonujcych krawdzi tzn. takich, które nie zostały przerwane. Jedn z miar oceniajcych odporno sieci na przerwanie jest niezawodno sieci, któr zaproponowano w teorii niezawodnoci. Niezawodno sieci jest definiowana jako prawdopodobiestwo istnienia przynajmniej jednej drogi w grafie od s do t składajcej si tylko z funkcjonujcych (tj. takich, które nie uległy przerwaniu – awarii) krawdzi. Zakłada si, e prawdopodobiestwa awarii (przerwania) poszczególnych krawdzi s zadane i zdarzenia te s stochastycznie niezalene. Metody dokładne wyznaczania niezawodnoci s nieefektywne obliczeniowo i nie mona ich zastosowa do analizy odpornoci sieci duych rozmiarów (setki i tysice wzłów) [5]. W niniejszej pracy proponujemy inn miar odpornoci na przerwanie komunikacji pomidzy dwoma ustalonymi wzłami s i t w sieci. Miar t nazywamy s-t odpornoci i oznaczamy przez Robs,t(G). Bazuje ona na metodzie obliczania obwodów elektrycznych zbudowanych z oporników. Dla jej zdefiniowania załoymy, e mamy sie oporników bdcych krawdziami rozpatrywanego grafu G. Zakłada bdziemy, e jest to graf spójny (Dla grafu niespójnego zaproponowan globaln analiz sieci mona wykona dla kadej składowej spójnoci oddzielnie). Dla kadej krawdzi e E rozpatrywanego grafu zadany jest opór R(e). Wybieramy w grafie dwa wzły s, t i przykładamy napicie V= 1 Volt midzy tymi wzłami, przyjmujc vs=0 i vt=1. Stosujc odpowiednio prawa Kirchhoffa i prawo Ohma obliczamy potencjały vi, dla i U-{s,t}, rozwizujc nastpujcy układ równa liniowych po eliminacji zmiennych odpowiadajcych nateniom prdów płyncych przez krawdzie [1, 2]:. vs. v j − vi

(3) . j∈N (i ) Rij. vt. =0 = 0 , dla i ∈ U − {s, t} =1. gdzie N(i) = { j U: (i,j) E }. Powyszy układ ma tylko jedno rozwizanie, jeli w grafie G istnieje droga od s do t. Rozwizanie to pozwala wyznaczy natenie prdu I(s,t) nastpujco:.

(4) Przemysław Kobylaski, Michał Kulej, Jerzy Pieronek Analiza odpornoci na przerwanie w duych sieciach komunikacyjnych. vj. I ( s, t ) =. j∈N ( s ). Rsj. =. j∈N ( t ). 193. 1− v j R jt. oraz wyznaczy opór zastpczy Res(s,t) jako. Re s ( s, t ) =. ∆V 1 . = I ( s , t ) I ( s, t ). Miar odpornoci na przerwanie sieci Rob(s,t) definiujemy nastpujco:. Rob(s, t) = I(s, t) =. 1 . Res(s, t). Jeeli wszystkie opory krawdzi grafu s takie same tj. Re=const, dla e E, to mona przyj, e Re=1 [7] i wtedy układ powyszy sprowadza si do nastpujcego:. v. j. − N (i ) vi = 0 , dla i U-{s,t}.. j∈N ( i ). Std otrzymujemy, e. v. j. j∈N ( i ). , N (i ) czyli potencjał wzła i (vi) jest redni arytmetyczna potencjałów wzłów ssiednich tego wzła.. vi =. Rys. 1. Sie z dwoma moliwymi wariantami rozbudowy ródło: Opracowanie własne. Powysza miara, zaproponowana w pracy [4] do lokalnej oceny odpornoci sieci na przerwanie połczenia, moe zosta uyta do globalnej analizy sieci, co zostanie zdefiniowane i zilustrowane przykładem obliczeniowym w dalszej czci pracy. Poniszy przykład pokazuje zastosowanie oceny odpornoci połczenia midzy dwoma ustalonymi wzłami w przypadku analizy odpornoci w zalenoci jedynie od struktury sieci. Na rysunku 1 przedstawiono sie złoon z 21 wzłów oraz dwie wyrónione krawdzi e1 i e2, dla których zostanie zbadany wpływ ich dodania do sieci na ocen odpornoci połczenia midzy.

(5) 194. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. wzłami o numerach 1 i 21. Niech G oznacza sie z rysunku 1 bez krawdzi e1 i e2, natomiast G + ei sie G powikszon o krawd ei, dla i = 1, 2. Gdy analizujemy odporno połczenia w zalenoci jedynie od struktury sieci, naley przyj na krawdziach jednakowe opory równe np. 1 . Wówczas otrzymujemy nastpujce oceny odpornoci: Rob(G) = 0.328, Rob(G + e1) = 0.352, Rob(G + e2) = 0.334. Wikszy przyrost miary odpornoci połczenia wystpuje po dodaniu krawdzi e1, dlatego w przypadku podejmowania decyzji czy dobudowa połczenie e1 czy e2, naley zdecydowa si na dołczenie e1. W przypadku koniecznoci uwzgldnienia długoci krawdzi proponujemy za opór przyj długo krawdzi. Tak definicj mona uzasadni w nastpujcy sposób. Załómy, e jednostk odległoci mona pokona z pewnym prawdopodobiestwem p. Wówczas prawdopodobiestwo pij moliwoci przejechania krawdzi (i, j) o długoci dij wynosi pdij. W pracy [4] zaproponowano, aby w przypadku danych prawdopodobiestw pij istnienia krawdzi (i, j) przyjmowa za jej opór warto Rij = -ln pij (przez analogie do obliczania niezawodnoci sieci). Wówczas wszystkie opory Rij= dij (-ln p) s przemnoone przez ten sam stały czynnik - ln p, a zatem z liniowoci układów złoonych z oporników mona pomin go pozostawiajc sam długo dij. 3. Interpretacja probabilistyczna Potencjały wyliczone dla wzłów sieci oporników posiadaj bardzo ciekaw interpretacj probabilistyczn zwizan z zagadnieniem losowego błdzenia [3,7]. Poza wzłami s i t, gdzie potencjały przyjmuj odpowiednio warto 0 i 1, wartoci potencjałów vi wyliczane s jako rednie waone potencjałów w wzłach ssiednich N(i):. vi =. j∈ N ( i ). 1 Rij 1. k ∈ N ( i ) Rik. vj. Rozpatrzmy nastpujce zagadnienie losowego błdzenia. Losowe błdzenie rozpoczyna si w w le i U a nastpnie przechodzi si do wzłów ssiadujcych z biecym wzłem, przy czym prawdopodobiestwo przejcia z wierzchołka i do j jest równe pij. Wzły kocowe s i t s odpowiednikami stanów pochłaniajcych: • po dojciu do wzła s pozostajemy w nim (pss=1), • po dojciu do wzła t pozostajemy w nim (ptt=1). Symbolem pi, dla i U, oznacza bdziemy prawdopodobiestwo tego, e w losowym błdzeniu rozpoczynajcym si w w le i U osigniemy wzeł t. Prawdopodobiestwa te mona wyliczy z nastpujcych zalenoci rekurencyjnych: ps=0, pt=1,.

(6) Przemysław Kobylaski, Michał Kulej, Jerzy Pieronek Analiza odpornoci na przerwanie w duych sieciach komunikacyjnych. pi =. p. ij. 195. p j dla is, it.. j∈ N (i ). Gdy za prawdopodobiestwa pij przyjmie si nastpujce wartoci: 1 Rij , pij = 1 R k ∈N ( i ) ik. wówczas prawdopodobiestwo osignicia wzła t w losowym błdzeniu rozpoczynajcym si w w le i U bdzie dokładnie równe potencjałowi vi w tym w le. Przykład 1. Rozpatrzmy sie oporników przedstawion na rysunku 2 z dwoma wyrónionymi wzłami kocowymi s i t.. Rys. 2. Przykładowa sie oporników ródło: Opracowanie własne. Dla wzłów tej sieci policzono potencjały, przy czym poza wzłami kocowymi s one rednimi arytmetycznymi potencjałów w wzłach ssiednich, poniewa wszystkie oporniki maj jednakow rezystancj (potencjały przedstawiono na rysunku 3). Rysunek 4 przedstawia graf przej w losowym błdzeniu odpowiadajcym rozpatrywanej sieci. Przy łukach podano prawdopodobiestwa przejcia kadym z nich podczas wyboru dokonywanego za kadym razem w kolejnych wzłach. Jak łatwo sprawdzi prawdopodobiestwa osignicia wzła t przy powyszym błdzeniu s dokładnie równe potencjałom przedstawionym na rysunku 3.. Rys. 3. Potencjały dla sieci oporników z rysunku 2 ródło: Opracowanie własne..

(7) 196. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. Interpretacja probabilistyczna ukazujca równowano potencjałów i prawdopodobiestw osignicia wierzchołka kocowego t w losowym błdzeniu potwierdza słuszno zastosowania oporników w analizie odpornoci sieci na przerwania, poniewa prawdopodobiestwa dotarcia do wzła t s tym wiksze, im sie jest bardziej urównoleglona i im cieki s krótsze.. Rys. 4. Prawdopodobiestwa przej w losowym błdzeniu ródło: Opracowanie własne. 4. Poj cia rdzenia i peryferii Zdefiniowany wska nik Rob(i, j) odpornoci połczenia dowolnych dwóch wzłów mona zastosowa zarówno do oceny odpornoci powizania pojedynczego wzła jak i całej sieci. Definicja 1. Niech i U bdzie dowolnym wzłem w sieci. Symbolem Rob(i) oznacza bdziemy ocen odpornoci wizła i wyliczan z nastpujcego wzoru: Rob(i ) = min Rob(i, j ) . j∈U −{i}. Zgodnie z powysz definicj, uznajemy, e wzeł jest tak silnie połczony z sieci jak najsłabiej połczony jest z którym pozostałych wzłów. Podobnie mona zdefiniowa ocen odpornoci całej sieci przyjmujc za jej ocen, warto oceny najsłabszego połczenia. Definicja 2. Symbolem Rob(G) oznacza bdziemy ocen odpornoci sieci G na utrat spójnoci wyliczan z nastpujcego wzoru: Rob(G ) = min Rob(i ) . i∈U. W sieci nie kady wzeł jest jednakowo silnie połczony z pozostałymi. Pewne wzły charakteryzuj si wysok odpornoci na utrat połczenia. Najsilniej połczone wzły stanowi zbiór, który bdziemy nazywa rdzeniem sieci. Definicja 3. Symbolem Core(G) oznacza bdziemy rdze sieci bdcy zbiorem wzłów sieci G najsilniej połczonych z pozostałymi wzłami: Core (G ) = {i ∈ U : ∀ Rob(i ) ≥ Rob( j )} j∈U. Na potrzeby analizy sieci, pojcie rdzenia mona rozmy przyjmujc, e im odporno wzła na utrat połczenia z sieci jest wiksza, tym w wikszym stopniu naley od do rdzenia. Definicja 4. Niech MinRob i MaxRob bd odpowiednio najmniejsz i najwiksz wartoci Rob(i), po wszystkich wzłach i U. Wówczas symbolem Core(G), dla 0 1, oznacza bdziemy, przy rosncym , coraz cilejsze rdzenie:.

(8) Przemysław Kobylaski, Michał Kulej, Jerzy Pieronek Analiza odpornoci na przerwanie w duych sieciach komunikacyjnych. 197. Core(G) = {i U: Rob(i) MinRob + (MaxRob-MinRob)}. Rodzina zbiorów Core(G) posiada nastpujce własnoci, dla dowolnych 0 1 2 1: Core(G) = Core1(G) ⊆ Core2(G) ⊆ Core1(G) ⊆ Core0(G) = U. Przykład 2. Rozpatrzmy sie o strukturze regularnej kraty o 25 wzłach i 40 krawdziach. W sieci tej przyjmujemy na kadej krawdzi opornik o rezystancji 1. Na rysunku 5 przedstawiono tak sie oraz zaznaczono coraz cilejsze rdzenie dla wartoci parametru =0.0, 0.2, 0.3, 0.4, 0.6 i 1.0. W sieciach spotykanych w praktyce moe zdarzy si, e cisły rdze nie bdzie znajdowa si w geometrycznym rodku sieci. Bdzie to wida na przykładzie sieci Polskich Kolei Pastwowych omawianych w punkcie prezentujcym wyniki eksperymentów obliczeniowych. Pojciem przeciwnym do rdzenia sieci s jej peryferia.. Rys. 5. Coraz cilejsze rdzenie dla sieci o strukturze regularnej kraty ródło: Opracowanie własne. Definicja 5. Niech MinRob bdzie najmniejsz wartoci Rob(i), po wszystkich wzłach i U. Wówczas symbolem Per(G) oznacza bdziemy peryferia sieci bdce zbiorem punktów najsłabiej połczonych z cał sieci: Per(G) = { i U: Rob(i) = MinRob}. Przyjta w definicji wska ników Rob(i) i Rob(G) operacja minimum, która zgodna jest z zasad, e „łacuch jest tak odporny jak jego najsłabsze ogniwo”, moe by w pewnych zastosowaniach zbyt restrykcyjna. Mona wówczas zastosowa zamiast niej inn t-norm (operacja minimum nazywana jest t-norm Gödla). 5. Wyniki eksperymentów obliczeniowych dla duych sieci Eksperymenty obliczeniowe były przeprowadzone na danych o 1793 stacjach Polskiej Kolei Pastwowej tworzcych sie o 1869 krawdziach midzy bezporednio połczonymi stacjami (nie s to kompletne dane o całej sieci PKP). Za warto rezystancji oporników łczcych wzły przyjto odległo w kilometrach midzy ssiadujcymi stacjami. Dla kadej pary stacji została policzona ocena odpornoci połczenia midzy nimi, przy czym do rozwizania układów równa zastosowano bibliotek LAPACK (algebra liniowa) [2]..

(9) 198. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. Nastpnie dla kadej stacji została policzona ocena odpornoci połczenia jej z cał sieci. Na tej podstawie wyznaczono rdze oraz peryferia. Wyniki przedstawiono na rysunku 6. Obliczone wska niki odpornoci dla wzłów sieci mieszcz si w zakresie od 0.0020 do 0.0039, co wiadczy o tym, e by moe lepiej byłoby zastosowa mniej restrykcyjn t-norm ni operacja minimum (stosunek najwikszej wartoci do najmniejszej jest mniejszy ni 2). Rdze sieci przedstawiony na rysunku 6 składa si z 29 stacji w okolicach Katowic i Krakowa. Jak wida nie s one skupione w geometrycznym rodku Polski ale wrcz przy południowych jej granicach. Najprawdopodobniej wynika to z tego, e w okolicy tej znajduje si główne zagłbie wglowe posiadajce dobre połczenia kolejowe z całym krajem. Peryferia sieci PKP stanowi dwie stacje, przy czym jedna – Chyrów – znajduje si na terenie Ukrainy a druga – Wólka Okopska – jest stacj lec przy granicy z Ukrain. Niska ocena połczenia tych stacji z pozostałymi wynika równie z nierównomiernej gstoci sieci kolejowej w Polsce (sie na wschodzie jest zdecydowanie rzadsza ni na zachodzie kraju). 6. Podsumowanie Przedstawiony w pracy sposób oceny odpornoci sieci na przerwanie opiera si na rozwizywaniu układu równa liniowych na zbiorze zmiennych równolicznym ze zbiorem wzłów sieci. Klasyczne metody rozwizuj takie układy w czasie wielomianowym, dziki czemu moliwe jest zastosowanie podejcia opartego na układach oporników do analizy duych sieci. Przedstawiono wyniki eksperymentu obliczeniowego na rzeczywistych danych o sieci PKP. W pracy zdefiniowano pojcia rdzenia i peryferii sieci jako zbioru wzłów, odpowiednio, najsilniej i najsłabiej połczonych z sieci. Dalszych bada wymaga analiza moliwoci zastosowania innych t-norm w definicjach oceny odpornoci wzła i całej sieci. Zastosowany w pracy operator minimum moe by zbyt restrykcyjny w konkretnych zastosowaniach. Globalna analiza odpornoci sieci moe pomóc w wykrywaniu rejonów wymagajcych modyfikacji (np. modernizacja) oraz rejonów strategicznych odgrywajcych kluczow rol w systemie komunikacji a zatem wymagajcych szczególnego nadzoru i utrzymania..

(10) Przemysław Kobylaski, Michał Kulej, Jerzy Pieronek Analiza odpornoci na przerwanie w duych sieciach komunikacyjnych. 199. Rys. 6. Stacje stanowice rdze i peryferia sieci PKP ródło: Opracowanie własne przy uyciu Google maps. %LEOLRJUDILD [1] Alexander Ch.K., Sadiku M.N.O.: Fundamentals of Electric Circuits, McGraw-Hill Companies Inc., 2004. [2] Anderson E., Bai Z., Bischof C., Blakford S., Demmel J., Dongara J., Du Croz J., Greenbaum A., Hammarling S., McKenney A., Sorensen D.: LAPACK Users Guide, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 1999. [3] Doyle P.G., Snell J.L.: Random Walks and Electric Networks, Mathematical Association of America, 1984. [4] Kobylaski P., Kulej M., Pieronek J.: Evaluation of robustness of connectivity in the large undirected networks. In: Information systems architecture and technology: service oriented distributed systems: concepts and infrastructure (Grzech A., i in, Eds.), Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Seria Biblioteka Informatyki Szkół Wyszych, str. 219–321, Wrocław 2009. [5] Kuo W., Zuo Ming J.: Optimal Reliability Modelling. Principles and Applications, Jon Willey&Sons Inc., 2003. [6] Shrier D.R.: Network Reliability and Algebraic Structures, Oxford Science Publication, 1991. [7] Tetali P.: Random Walks and the Effective Resistance of Networks, Journal of Theoretical Probability, Vol. 4, No. 1, 1991..

(11) 200. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. ROBUST ANALYSIS OF CONNECTIVITY IN LARGE COMMUNICATION NETWORKS Summary This paper addresses the problem of analysis of connectivity in case of failures of edges in networks. The measure of robustness of connection of a node with the others nodes has been proposed. Using this measure the definition of a core and periphery of the networks are introduced. The results of analysis are illustrated with computational experiments on the Polish Railways Network, which consists of over 1700 nodes. Effective evaluation of such large networks is possible due to the polynomial time complexity of the proposed method. Described method is based on the analysis of currents in electric circuits consist of resistors. Keywords: robust optimization, communication network, electric circuit, effective resistance. Przemysław Kobylaski Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Michał Kulej Jerzy Pieronek Instytut Organizacji i Zarzdzania Politechnika Wrocławska e-mail: przemyslaw.kobylanski@pwr.wroc.pl michal.kulej@pwr.wroc.pl jerzy.pieronek@pwr.wroc.pl.

(12)