Metoda Galerkina
31 pa´zdziernika 2020
1
Metoda Galerkina
Mamy jednowymiarowy Hamiltonian
H = −¯h
2
2m ∂2
∂x2 + V (x). (1)
Chcemy znale´z´c przybli˙zone rozwi ˛azanie równania własnego
HΨn(x) = EnΨn(x), (2)
z wykorzystaniem bazy funkcji liniowo niezale˙znych
Ψn(x) = N
X
i=1
cniφi(x), (3)
gdzie n to numer stanu własnego.
Baz˛e funkcji liniowo niezale˙znych mo˙zna zawsze zortonormalizowa´c tak, ˙ze przyj-miemy i˙z: hφi|φji = δij. Podstawiaj ˛ac (3) do (2) a nast˛epnie rzutuj ˛ac wynik na funkcj˛e
φj, otrzymamy równanie: N
X
i=1
hφj|H|φiicni = Encnj. (4)
W wersji macierzowej równanie to sprowadza si˛e do problemu własnego macierzy Hamiltona H o wymiarze N × N ,
Hc = Ec. (5)
Elementy macierzowe dane s ˛a przez Hji= hφj|H|φii =
R∞
−∞φj(x)Hφi(x)dx.
Poszukiwanie rozwi ˛azania równania ró˙zniczkowego w podprzestrzeni rozpi˛etej przez baz˛e funkcji zwi ˛azane z rzutowaniem na funkcje bazowe nazywane jest metod ˛a Galer-kina. W zastosowaniu do równania własnego operatora energii metoda ma charakter wariacyjny, tj. dostarcza oszacowania od góry dokładnych warto´sci energii. W znacze-niu metody wariacyjnej współczynniki cn
i to tzw. liniowe parametry wariacyjne.
2
baza
Jako baz˛e we´zmiemy funkcje własne operatora Hamiltona H0dla niesko´nczonej studni potencjału, H0= −¯h 2 2m ∂2 ∂x2+ V∞(x), (6)
gdzie V∞(x) = 0 dla x ∈ (0, L) oraz V∞(x) → ∞ dla x /∈ (0, L). Funkcje φi =
q
2
Lsin iπx
L [dla x /∈ (0, L) oraz 0 poza studni ˛a] s ˛a funkcjami własnymi H
0i
odpo-wiada im energia Ei0= ¯h 2π2i2
2mL2 , gdzie i = 1, 2, . . . , N
3
Oscylator harmoniczny
W bazie z sekcji 2 postaramy si˛e znale´z´c przybli˙zone rozwi ˛azania dla potencjału oscy-latora harmonicznego V (x) = mω2(x−L/2)2 2, w bazie funkcji własnych niesko´nczonej studni potencjału.
Elementy macierzowe Hamiltonianu w naszym przypadku całkuj ˛a si˛e analitycznie
Hji= E0iδji+ Vji, (7) oraz Vij= 2L 2i j m ω2((−1)i+j+1) π2(−i+j)2(i+j)2 i 6= j 1 24 L2(i2π2−6)mω2 i2π2 i = j (8)
4
Zbie˙zno´s´c energii
Przyjmujemy L = 100 nm, ¯hω = 10 meV, masa m = 0.067m0 (jak poprzednio).
Dokładne warto´sci własne dane s ˛a przez En = (n + 12)¯hω. Rozwi ˛aza´c macierzowy
własny (prosz˛e znale´z´c bibliotek˛e dla problemu własnego macierzy symetrycznej w j˛ezyku, w którym Pa´nstwo pracuj ˛a. Ja u˙zywam procedury dsyev z lapacka (dost˛epna dla fortrana i C).
Wyznaczy´c przybli˙zenia sze´sciu najni˙zszych warto´sci własnych w funkcji N dla N ¬ 20. (50 pkt).
5
Funkcje falowe
Narysowa´c funkcje własne dla n = 1, 2, 3 dla rosn ˛acych warto´sci N . (Dla ka˙zdego n oddzielny rysunek). (25 pkt)
6
Rola pudła obliczeniowego
Jaka jest rola rozmiaru studni w rachunku? Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prosz˛e powtórzy´c poprzednie rachunki (cz˛e´s´c 4 i 5) dla L = 20 nm oraz 200 nm. (25 pkt)
