Waarschijnlijkheidsrekening bij automatische telefonie

AAN MIJN VADER EN AAN DE NAGEDACHTENIS MIJNER MOEDER

WAARSCHIJNLIJKHEIDS-REKENING BIJ

AUTOMATISCHE TELEFONIE.

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN .DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL TE DELFT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS J. C. DIJXHOORN, W. I., HOOGLEERAAR IN DE AFDEELING DER W E R K T U I G -BOUWKUNDE, SCHEEPSBOUWKUNDE EN ELECTRO-TECHNIEK, VOOR EEN COMMISSIE UIT DEN SENAAT

TE VERDEDIGEN OP

VRIJDAG 22 NOVEMBER 1918, 'SNAMIDDAGS TE 3 UUR, DOOR

URSUL PHILIP LELY

ELECTROTECHNISCH INGENIEUR, GEBOREN T E DELFT.

U I T Ö E V E S S - M A A T S C H A P P I J „ S - G R A V E N H A Ö E "

•''•^ • ' ' L » A N VAN M E E R D E R V O O R T 3 0 - D E N H A A G , ' '

I N H O U D .

Pag.

INLEIDING 9

HOOFDSTUK I. Beschrijving der systemen 13

HOOFDSTUK II. Theorie der stagnatiekansen 26 HOOFDSTUK III. Benaderingsformule voor Ws etc. . . . 27

HOOFDSTUK IV. Berekening van het aantal lijnen van een bundel voor de stagnatiekansen 0,01,

0.001 en 0,0001 33 HOOFDSTUK V. Benaderde berekening van Va 39

HOOFDSTUK VI. Over de veranderlijkheid der grootheid a 47 HOOFDSTUK VII. Over den duur der volbelastingen . . . 49 HOOFDSTUK VIII. Rendement van een bundel.

Belastings-factor van de telefoniste 51

HOOFDSTUK IX. Proeven 55

HOOFDSTUK X. Meting der stagnatiekansen 64

HOOFDSTUK XI. De gespreksduur . 78

HOOFDSTUK XII. Plaatselijke verkeersrichting. Locaal

ten-dens factor en Trunkverkeer 95 HOOFDSTUK XIII. Meting van den duur der volbelasting 104

HOOFDSTUK XIV. Voorbeeld van berekening 107 HOOFDSTUK XV. Over de theorieën van: SPIECKER,

Gaarne richt ik bij het verschijnen van mijn proefschrift een woord van dank aan allen, die invloed oefenden op mijne weten-schappelijke vorming.

In de eerste plaats breng ik U mijnen weigemeenden dank,

Hooggeleerde SCHUH, voor de welwillendheid, waarmede Gij als

mijn Promotor hebt willen optreden; het was U nooit te veel mij met Uw voorlichting te dienen Uwe opmerkingen en raad-gevingen waren voor mij van zeer groote waarde.

Ook breng ik U mijnen dank, Hooggeleerde SNIJDERS. Telkens

bij het samenstellen van dit proefschrift dacht ik terug aan mijnen studententijd, voornamelijk toen ik onder Uwe welwillende leiding aan de scriptie voor mijn eindexamen werkte.

Het beste, wat ik echter in mijnen studententijd heb ontvangen, dank ik aan U, geliefde Schoonvader. Moge de stoffelijke wereld ons telkens nopen met de methoden en middelen der wetenschap in hare geheimen door te dringen, zoodat we steeds meer gaan beseffen de groote waarde eener wetenschappelijke vorming, Gij hebt mij, door mijn oog te openen voor den persoon van Jezus Christus, een geestelijke wereld binnengeleid, waar binnen alleen de diepste vragen van het menschelijk hart haar beantwoording vinden.

U, Vader, dank ik voor alles, wat Ge voor mij zijt geweest en de gedachte stemt mij gelukkig, dat mijn promotie voor U een oorzaak van groote vreugde is.

Vervolgens breng ik een woord van dank aan de Directie van den Gemeentelijken Telephoondienst van 's-Gravenhage, met name

aan U, hooggeachte VAN LIER, die mij in zoo groote mate

ge-legenheid tot arbeid gaaft. Gij vestigdet het eerst mijn aandacht op de vraagstukken van het telefonisch verkeer, die ik in dit proefschrift heb behandeld, en steldet mij in staat tot het doen van de noodige proeven.

En dan denk ik daarbij met dankbaarheid aan mijnen bekwamen

hoofdopzichter, den heer NEHER, van wiens helderen, practischen

blik ik zooveel hulp heb mogen ondervinden. Ook mijn academievrienden mijn hartelijken groet!

E R R A T A .

Pag. 28. Regel 2 van boven, staat w lees Wx . Pag. 35. Regel 6 van boven, staat V lees Va .

Pag. 84. In figuur 17 is de kromme L als benadering voor de . kromme J geteekend. Dit is niet juist. Zij is de benadering van een kromme, welke men verkrijgt door J over 0,1 minuut naar links te verschuiven. Deze kromme heeft dan betrekking op de gespreksduren der doorkomende gesprekken, verminderd met den afvraagtijd der telefoniste. Op pag 88 leze men dan ook deze kromme in plaats van die der doorkomende gesprekken; immers de gemiddelde waarde der laatste is 1,96 minuut, terwijl die der andere 1,86 minuut is, hetgeen in de berekening voor L werd ingevoerd.

INLEIDING.

De stormachtige ontwikkeling der telefoonbedrijven in de grootere steden doet vermoeden, dat meer en meer de automatische telefooncentralen ingevoerd zullen worden. Het aantal aangeslotenen neemt dermate toe, dat het op den duur niet mogelijk zal zijn, met de tot nog toe algemeen in zwang zijnde handsystemen een correcte bediening te verzekeren en tevens de noodige economie te betrachten.

De decentralisatie, waartoe men in alle grootere steden nood-gedrongen over moet gaan, om aan de groote financieele lasten der uitgestrekte kabelnetten te ontkomen, is oorzaak dat de auto-matiseering steeds meer nooazakelijk is.

Immers tengevolge van de decentralisatie verandert het verkeer in de telefooncentrales ten eenen male van karakter. Het grootste gedeelte ervan wordt trunkverkeer, dat zich van de eene centrale naar de andere beweegt

Dit trunkverkeer nu is een bron van ellende bij alle hand-systemen. De bediening door telefonisten heeft nadeelen, voort-spruitende uit het overgeven der nummers; de wachttijden voor de abonné's worden groot; de kans op het maken van foutieve verbindingen neemt sterk toe, daar aan de meeste verbindingen twee telefonisten te pas komen; de werkwijze wordt voor de telefoniste steeds gecompliceerder; om kort te gaan: met de handsystemen is en blijft het verbindingsverkeer een pijnlijke zaak.

Decentralisatie leidt dus bij handsystemen tot ongewenschte moeilijkheden. Bij automatische schakelinrichtingen echter kan men zonder bezwaar decentraliseeren.

het geheele telefoonnet te beschouwen als aangesloten op één enkele centrale. De voordeden der decentralisatie, te weten de besparing aan kabel, worden behouden, de nadeelen echter geheel ondervangen.

De automatische systemen zijn verre van eenvoudig, in de eerste plaats wat betreft het electrische schakelschema, in de tweede plaats wat betreft het groepeerlngsschema. Het laatste is betrek-kelijk lastiger te begrijpen dan het eerste, misschien wel omdat men gewoon moet raken aan de eigenaardige gedachtengangen, welke daaraan ten grondslag liggen.

In de literatuur wordt over het groepeerlngsschema nauwelijks gerept; men gaat meestal van de ouderwetsche idee uit, dat een systeem beschreven en duidelijk gemaakt kan worden alleen door de bespreking van het electrische schakelschema. Hierin vergist men zich toch. Want zonder het groepeerlngsschema is het elec-trische schema niet te lezen. Beide moeten worden bestudeerd.

In het eerste hoofdstuk worden de hoofdzaken van een (half) automatische centrale beschreven, voor zoover in deze dissertatie noodig. Hierbij wordt ter verduidelijking ingevoerd het begrip van den gesprekkenstroom, een begrip waarmede men in de praktijk van zelf vertrouwd raakt; in de literatuur is het echter niet bekend. De banen der gesprekkenstroomen zijn bundels van lijnen. Deze bundels kunnen niet ten allen tijde alle verkeer 'verwerken; af en toe zal het aantal lijnen te gering zijn om den stroom ongehinderd door te laten. Er heeft dan stagnatie plaats. De bedoeling van deze dissertatie is nu, te berekenen hoe groot de kansen voor stagnatie zijn (Hoofdstuk II).

Om tot eenvoudige formules te geraken, is een grensgeval inge-voerd van oneindig veel abonné's, die oneindig weinig spreken. Dit is geschied in hoofdstuk III.

In hoofdstuk IV wordt de bundelsterkte in afhankelijkheid van de belasting berekend voor gegeven stagnatiekansen (0,01, 0,001 en 0,0001). De pogingen, om voor de afhankelijkheid van het aantal lijnen van de intensiteit van het verkeer een wiskundige uitdrukking te vinden, zijn mislukt.

Op de stagnatiekansen heeft invloed het niet gelijk zijn van de verkeersintensiteit op de verschillende bundels. Deze invloed heeft een vergrooting van de stagnatiekansen ten gevolge. De benaderingsformules zijn ten gevolge hiervan met des te meer succes te irebruiken (Hoofdstuk VI).

11

Over de berekening van den duur der volbelasting wordt niets nieuws gegeven. Het resultaat is reeds door anderen bekend gemaakt. Pogingen, om dezen duur voor veranderlijke gespreks-duren te berekenen, zijn niet gelukt (Hoofdstuk Vil).

Hoofdstuk VIII handelt over het rendement der bundels. Het is economisch, de bundelsterkte zoo hoog mogelijk op te voeren. Aan het slot van dit hoofdstuk zijn enkele dingen gezegd over de groepeering der telefonisten in een halfautomatische centrale. Een ploeg van samenwerkende telefonisten kan men beschouwen, in wiskundig opzicht, als een bundel. De psychologische factoren, welke hierbij een rol spelen, worden aangeroerd en er wordt gewezen op de technische inrichtingen, welke hiermede rekening trachten te houden.

In hoofdstuk IX volgt de beschrijving der proefnemingen. De hier beschreven fotografische methode is nieuw en niet van belang ontbloot voor de verschillende onderwerpen, in deze dissertatie behandeld.

De meting der stagnatiekansen, in het Xe hoofdstuk vermeld, is geschied met behulp van de fotografische methode. Een in bedrijf zijnde automatische centrale stond niet te mijner be-schikking.

De meting der gespreksduren, in het Xle hoofdstuk beschreven, leverde resultaten, tot nog toe weinig bekend De eigenaardige gedaante der waarschijnlijkheidskromme voor de gesprekken liet zich niet verwachten. Van een constanten gespreksduur, waar veel mede wordt geschermd, is geen sprake. Gewezen wordt op den eigenaardigen invloed der „in-gespreks".

In het Xlle hoofdstuk wordt een en ander vermeld over de plaatselijke verkeersrichtingen. De wijze van meten is nieuw; de invoering der locaal-tendensfactoren eveneens; sommige eigen-aardige verschijnselen kunnen daarmede verklaard worden, bijv. het zich concentreeren van het verkeer op de grootste centrale. Voor de berekening der automatische netten is dit van veel belang; vandaar dat ik gemeend heb hierover het een en ander te moeten zeggen.

De meting van den duur der volbelasting (Hoofdstuk XIII) geeft resultaten, die ongeveer kloppen met de theorie

Het voorbeeld van berekening (Hoofdstuk XIV) is voor den lezer die naar de practische toepassing van de gegeven theorie vraagt. Het aantal lijnen der bundels is grooter dan dat, hetwelk

de fabrieken berekenen, wat zich wel laat verklaren. De ver-schillen zijn echter niet groot. Wat hier wordt berekend, zijn grenswaarden, welke niet behoeven te worden overschreden.

In het laatste hoofdstuk (XV) wordt ten besluite het een en

ander over andere theorieën gezegd. Op de theorie van SPIECKER

werd hier voortgebouwd; de idee van de intensiteitsvariaties (LUBBERGER) werd ook hier ingevoerd; de eindresultaten zijn

HOOFDSTUK I. BESCHRIJVING DER SYSTEMEN.

Ten einde van de werkingswijze der automatische systemen zich een juist begrip te vormen, moet men vertrouwd worden met het begrip van den gesprekkenstroom, welke een telefoon-centrale binnenstroomt.

Deze stroom vloeit door de centrale langs allerhande wegen; ten slotte verlaat zij, geheel omgezet, waarbij een zeker gedeelte van de stroomsterkte te loor ging, het telefoongebouw.

De binnenvloeiende stroom splitst zich in tal van kleine ver-takkingen, welke, voortdurend weer samen vloeiende, zich op nieuw verdeden. In deze verhandeling zijn de beginselen neer-gelegd, volgens welke men als het ware de afmetingen der stroom-beddingen bepalen kan.

Duidelijkshalve beschouwen we eerst het stroomschema van een handcentrale.

De abonné's zijn gesplitst in groepen van ±170; deze groepen monden uit bij een schakdtafel, waaraan de telefoniste gezeten is, welke belast is met de doorschakeling.

Zij heeft eenige koorden, gewoonlijk 18, tot haar beschikking,

waarmede zij in staat is de doorverbinding, welke de abonné aan-vroeg, tot stand te brengen. In haar bereik zijn alle nummers, waar-mede aansluiting verzocht kan worden.

Om een duidelijk stroomschema te maken voor zulk een hand-centrale denke men zich de hand-centrale in twee deden gesplitst; het eerste deel bevat slechts abonné's, die oproepen, het tweede degenen, die opgeroepen worden (multipelvdd); alsdan heeft men een bepaalde stroomrichting; van het eerste deel stroomt alles naar het tweede. De gesprekkenstroom wordt nu gedwongen zich over de schakel-organen, dat zijn verbindingskoorden, te bewegen. Van een bundel

van 170 lijnen, komende van de abonné's, moet deze stroom zich

concentreeren op een bundel van 18 koorden. Van dezen bundel van 18 koorden divergeert de stroom en vertakt zich onmiddellijk over de 10000 abonné's, die kunnen worden opgeroepen. Fig. 1 moge een en ander verduidelijken.

(170 ^ B O M f H É L U H E M ) ( i 7 0 flSonMÉLijnEn k BUMDELSTERKTE IS LIJMEn ( 18 KOORDEM ) flFVRflflcSKOORD TE5TKOORD ( 18 KOORDEPI Fig. I.

Schema der gesprekkenstroom in een handcentrale.

BUMDELSTERKTE 1 LIJM a a 1-_1 u n: I 1/)

J

lOOOO / ^ B O M M E ' S BUMDELSTERKTE l 7 0 L U n E M ( i 7 0 flBOnriELUMEn ) 1 ( l 7 0 flBOMMÉLIJMEM )

II

B U M D E L S T E R K T E 18 LIJHEM ( l 8 BFVRRRGnOOROCn) ( 1 8 « F V R n n O K O O R D E M ) BunDELSTERKTE

I

I 1 LUM 1 1 I -— ^TELEF. I 1.5PREEKCIRCUITJ I BUMDELSTERKTE I 1 LIJM / • T E L E F O M I S T E '1 • K C I R C U I T J T E L E R

I

u-Fig. 2.

Schema der gesprekkenstroom-banen in een handcentrale (Bedieningsstroom).

De 18 koorden, waarmede de telefoniste in staat is de binnen-loopende gesprekken op te vangen en door te verbinden, vormen de bedding voor den gesprekkenstroom.

Van de 18 koorden is meestal maar een gedeelte in gebruik; maar het aantal is noodig om te zorgen, dat het tot de zeldzaamheden behoort, dat er meer dan 18 abonné's op 1 sectie sprekende zouden willen zijn. De waarschijnlijkheid, dat er meer dan 18 koorden noodig zijn moet zeer klein zijn (0,001) en hierin ligt de voor-waarde opgesloten waarom een aantal van 18 koorden noodig is.

De 18 koorden te zamen vormen een bundel van verbindings-organen, kortweg lijnen. De bundel vormt dus de bedding voor den gesprekkenstroom. De bundel moet zoo groot zijn, dat slechts bij hooge uitzondering het aantal lijnen te klein is, waardoor de gesprekkenstroom gedeeltelijk stagneert. Vandaar dat in deze ver-handeling steeds over stagnatiekansen der bundels wordt gesproken.

Bij een handcentrale is het stroomschema niet zoo eenvoudig als in fig. 1 is voorgesteld; men heeft nog iets anders.

De oproepende abonné's worden verbonden met de telefoniste. Deze vraagt af en verneemt het verlangde nummer; er is geen oproep die „doorkomt" tenzij deze eerst de telefoniste gepasseerd heeft.

Alle oproepen van 170 abonné's moeten verbonden worden, al is het gedurende slechts enkele oogenblikken, naar het circuit der telefoniste.

Het eenvoudigste nu, om dit in het stroomschema in te voegen, is wel een tweede stroomschema te maken. De stroomen van dit schema komen ook van den bundel van 170 abonné's, worden geconcentreerd op de verbinding naar de telefoniste en worden, na korten tijd op deze verbinding geweest te zijn, weer van het circuit geëlimineerd. De gesprekkenstroom eindigt als het ware bij de telefoniste. Om nu den toestand volkomen te overzien, moet het volledige schema gedacht worden als de superpositie der twee hiergenoemde schema's. Het laatstgenoemde schema zou men het schema van den bedieningsstroom kunnen noemen (fig. 2).

Bij elke verandering in de bundelsterkte heeft men een „schakel-trap".

In de handcentrale moet een oproep drie schakdtrappen passeeren. Eerstens van den bundel van 170 lijnen (lokaalklinken) op een lijn van een bundel van 18afvraagkoorden; dan over den spreeksleutel naar de telefoniste. Dan, na uitschakeling van het circuit

derfde-?

p

i

foniste, over een der 18 testkoorden, correspondeerende op de afvraagkoorden, naar de naar buiten voerende abonnélijnen. Elke lijn vormt een op zich zelf staande bundel.

Immers een oproep, welke uitloopt op een in gesprek zijnde lijn, wordt vernietigd (teruggewezen); er is geen tweede lijn die in plaats van de eerste kan gekozen worden. De oproepen komen dus eerst op een bundel van 18 lijnen, dan tijdelijk op een bundel van 1 lijn, welke naar de telefoniste voert, om ten slotte te eindigen op den laatsten bundel welke naar den abonné voert. Meestal bestaat deze bundel uit 1 lijn; soms echter zijn er meerdere lijnen, die dan weer op kleinere schakelborden uitkomen; dan doorloopen zij ook hier weer schakeltrappen en worden verdeeld en geconcen-treerd. Het aantal koorden hangt nu af van het aantal gesprekken en den duur van het gesprek, in een zekeren tijd gevoerd. De inrichting moet nu zoo zijn, dat over een periode van eenweek, of zoo men wil van een jaar, het aantal gestagneerde oproepen bijvoorbeeld 0,001 bedraagt van het totaal aantal oproepen. Men zal dan bij de nadere beschouwing hoofdzakelijk te maken krijgen met het verkeer in de drukke ochtenduren (het zakenuur).

Men kan dan als eisch stellen, dat het verkeer in dit uur maar voor een klein gedeelte mag stagneeren.

Naarmate een bundel meer gesprekken van denzelfden duur te verwerken heeft, zal de capaciteit vergroot moeten worden. ( Maar het is duidelijk dat een bundel ook grooter zal moeten ; zijn naarmate de gesprekken, die den bundel belasten, langer zullen duren. De belasting van den bundel is evenredig met het product van het aantal gesprekken en den gemiddelden gespreksduur.

Voor het stroomschema naar het circuit der telefoniste geldt dit eveneens; alleen de gespreksduur is hier afhankelijk van de bedieningswijze der telefoniste en tot op zekere hoogte onafhanke-lijk van den abonné. De belasting is hier dan ook vrijwel even-redig met het aantal oproepen.

Heeft men zich aldus een duidelijk beeld gevormd van het gesprekkenstroomschema der centrale, dan kan men zonder moeite de fig. 3, welke hier voor een automatische telefooncentrale gegeven is, lezen. Voor de systemen der verschillende fabrieken geldt dit schema; de groepeeringsgetallen zijn verschillend en eventueel ook het aantal schakdtrappen.

Men moet evenwel onderscheid maken tusschen half-automa-tische en vol-automahalf-automa-tische systemen. In de eerste plaats zullen we

19

even stilstaan bij het schema van de vol-automaat van de W. E. Co. Hierbij zijn alle aangeslotenen verdeeld in groepen van 60. Van deze bundels van 60 aangeslotenen wordt het verkeer overgedragen door middel van zoekers op een veel kleineren bundel, nl. op een bundel van zeven lijnen; het verkeer wordt door middelvan deze zoekers geconcentreerd van een bundel van veel lijnen op een veel nauweren bundel.

De lijnen, afkomstig van de 7 zoekers, welke dus bundels van 7 lijnen vormen, worden te zamen vereenigd tot 60 lijnen, aange-sloten op een volgenden bundel.

Het verkeer nu van ruim 8 bundels van 7 lijnen, afkomstig van de genoemde zoekers, wordt weer opnieuw geconcentreerd op bundels van z.g. lijnen, ook door middel van zoekers.

Deze zoekers worden tweede zoekers genoemd, in tegenstelling van de ""anderen, welke eerste zoekers heeten. Bij den overgang van den eenen bundel op den anderen maakt men dus gebruik van zoekers.

Deze overgangen vormen de schakeltrappen. . .•

De concentratie, de samentrekking van het verkeer op enkele lijnen, is derhalve bij den eersten schakeltrap in de verhouding van 60 op 7. Vervolgens in de verhouding van 8,5 X 7 = 60 op 29. Door de twee achter elkaar geschakelde zoekers concentreert men

A U ^ • A U A- 60 . 60 18

derhalve in de verhouding van ^ ongev.

-De lijnen van de laatste bundels van 29 heeten de koordcircuits. Deze circuits eindigen in de apparaten noodig voor het kiezen van de abonné's.

Ten einde de kosten zoo veel mogelijk te beperken, moet men met zoo min mogelijk koordcircuits zien uit te komen. Dit kan alleen dan, als men voor geheele groepen van abonné's slechts een zeer beperkt aantal koordcircuits installeert.

Inplaats van 10000 van dergelijke inrichtingen heeft men ernu slechts 580 noodig. De kosten dezer circuits zijn hoog; vandaar dat men het aantal zoo veel mogelijk heeft trachten te beperken. Het is duidelijk, dat er niet meer dan 22 abonné's per bundel kunnen spreken, maar dat er zoo veel zouden willen spreken op hetzelfde oogenblik, behoort tot de zeldzaamheden.

De naam koordcircuit is ontleend aan de handsystemen. Hef definitieve verbindingsorgaan heet daar koord.

automa-tische systemen met een geringe toevoeging. De koordcircuits nu eindigen op Ie kiezers, welke weer opnieuw een schakeltrap vormen. Hier komt een deel van de nummerkeuze, welke op de een of andere wijze in het koordcircuit is vastgelegd, tot uiting. Bij het systeem hier beschreven kiest een Ie kiezer uit een 5-tal 2000-groepen de te kiezen 2000-groep. Men moet nu uitkomen op lijnen, welke voeren naar de 2e groepkiezers, welke de gezochte 200-groep moet kiezen.

Het zou kunnen voorkomen dat 580 abonné's uit een 2000 groep zouden zijn opgebeld en in gesprek waren. Men zou dan voor

elke groep van 2000 abonné's 580 2e groepkiezers noodig

hebben. Men heeft nu weer gezegd dat dit practisch bijna nooit zal voorkomen; met minder 2e groepkiezers voor elke 2000-groep komt men eveneens uit, als het maar tot de zeldzaamheden behoort dat er meer abonné's dan het aantal beschikbare verbindingslijnen in gesprek wenschen te komen. De kiezers moeten dus niet alleen kiezen, maar ook weer het verkeer concentreeren. De functie van een kiezer is derhalve tweeledig. Eerstens de keuze, vervolgens de concentratie.

Alle kiezers zijn nu zoo geconstrueerd, dat borstels, met de koordcircuits verbonden, contact moeten maken met de lijnen voerende naar de 2e groepkiezers. De contacten der lijnen, be-hoorende tot dezelfde 2000-groep, zijn op een horizontale rij geplaatst.

Men moet dus in een 10000-centrale op eiken kiezer 5 van die rijen hebben. Bij het kiezen wordt dus een bepaalde rij gekozen, waarmede de borstels op een of andere wijze contact zullen moeten maken. Dit is de eerste functie van den kiezer. Vervolgens zoekt, met een technisch woord, test, de kiezer die lijn uit die inderdaad vrij is. Want zooals gezegd is het aantal 2e groepkiezers voor een 2000-groep kleiner dan het aantal Ie groepkiezers en koordcircuits. Een zelfde lijn moet dus door verschillende kiezers kunnen gebruikt worden, en kan dus wel degelijk in gesprek zijn. Door de technische constructie van de Ie groepkiezers is het niet mogelijk uit meer dan 22 lijnen te laten testen. Alle lijnen voerende naar de 2e groepkiezers kunnen dus niet aan-vangen op dezelfde Ie groepkiezers. Vandaar dat men gedwongen is bundels van 22 lijnen te verdeden; en noodgedwongen ook de Ie groepkiezers. Elke groep eerste kiezers correspondeert dus op een bepaalden bundel, naar de 2e kiezers voerende.

21

De 22 lijnen der zoo juist genoemde bundels eindigen op de 2e groepkiezers.

Hier heeft weer hetzelfde plaats; gekozen moet worden eerst een rij welke correspondeert op een bepaalde groep van 2000, welke moet worden gekozen; vervolgens moet uit die rij de vrije lijn getest worden, welke voertnaar de eind-of lijnkiezers, waarop de groep van 200 abonné's is aangesloten. De functie van den 2en groepkiezer is dus eveneens tweeledig; eerst kiezen, daarna zoeken en het verkeer concentreeren. Vandaar dat de kiezers zeer veel ingewikkelder zijn dan de zoekers. Analoog met de 2e zoekers zouden we ook hier feitelijk 580 eindkiezers moeten hebben. Maar de kans, dat alle 580 2e groepkiezers een zelfde 200-groep kiezen zouden, is uiterst gering, zoo niet gelijk aan nul, want uit den aard der zaak kunnen er niet meer dan 200 abonné's van een groep van 200 gelijktijdig in gesprek zijn. Nam men 200 eind-kiezers, dan zou dit veel te duur zijn, van daar dat ook dit aantal kleiner gekozen wordt; men rekent ook hier dat slechts bij uitzonde-ring er geen doorverbindingsmogelijkheid mag wezen. Practisch komt men dan uit met ongeveer 15 verbindingslijnen naar de eind-kiezers. Deze 15 lijnen zijn aangesloten op 15 contacten, in een horizontale rij naast elkaar op de contactenbank der 2e kiezers aangebracht.

Technisch zou men echter kunnen gaan tot 22 naast elkaar ' geplaatste contacten; men hoeft den bundel naar een 2e groep-kiezer dus niet weer opnieuw onder te verdeelen en behoudt dezen bundel, bestaande uit 15 lijnen. Nu zijn we aangeland op een der 15 eindkiezers, welke uit een bepaalde groep van 200 abonné's de gezochte moet kiezen. Hier heeft slechts een een-soortige functie plaats, alhoewel op twee achter elkaar volgende manieren. Eerst wordt hier een groep van 20 abonné's uitgekozen ; dit geschiedt weer door het kiezen van de juiste horizontale con-tactenrij, op welker 20 contacten 20 abonné's zijn aangesloten.

Door het kiezen vervolgens van een bepaald nummer van een dier 20 abonné's is de eindkeuze beëindigd.

Deze abonné had eveneens bereikt kunnen worden door een anderen kiezer. Alsdan klinkt den aanvrager het bezet signaal in de ooren, waarop hij zijn oproep vernietigt. Er heeft dus een successievelijke 10-deelige keuze plaats, uitgezonderd de keuze uit het laatste 20-taI; daar heeft een 20-deelige keuze plaats. Derhalve moeten 10000 abonné's in groepen eerstens van 20,

vervolgens van 200, vervolgens van 2000 verdeeld worden. De natuurlijke verdeeling volgens 10-, 100-, 1000-tallen is verlaten. Men moet dus een mechanisme hebben, dat het normale telefoonnummer, bij hetwelk de natuurlijke verdeeling vanzelf aanwezig is, omzet in een kunstmatig nummer, hetwelk de onna-tuurlijke groepeering uitdrukt. Bijvoorbeeld het getal 5, 2, 7, 8 zou in de hier gevolgde schrijfwijze bedragen: 2, 6, 3, 18-Voor de omzetting is een mechanisme gemaakt, hetwelk de trans-latie-inrichting heet. Soms wordt gezegd dat deze translatie-inrich-ting het getal, uitgedrukt in het tientallig stelsel, omzet in eenander talstelsel. Dit is dus heel iets anders. Bij de doorrekening van een automatische centrale zal blijken, dat de keuze van deze eigenaardige groepen van 200 enz. leidt tot een grooter renden-ment der schakelaars. Dit is dan ook de reden waarom deze eigenaardige groepeering gekozen is. Want het spreekt van zelf, dat het eenige complicaties der koordcircuits met zich mede brengt. De getallen bij de gegeven voorbeelden (Hoofdstuk XV) toonen de besparing aan schakelaars duidelijk aan.

De bouw van de automatische inrichting brengt met zich mede, dat de groepeering in groepen van 20 niet geschiedt door bij O te beginnen en dan maar door te tellen en zoodoende schake-laargroep na schakeschake-laargroep aan te sluiten. Er is een zeer eigen-aardige verdeeling van de nummers in groepen van 20 gemaakt; hier zal ik echter niet nader op ingaan, daar het voor den opzet der uitgangspunten voor de berekeningen niet van belang is.

Elke kiezer is geconstrueerd voor een 10-deelige keuze, de Ie kiezers evenzeer als de andere. Vandaar dat men bij dit systeem zou krijgen voor de capaciteit bij:

1 schakeltrap voor het kiezen 200 abonné's 2 schakeltrappen „ „ „ 2000 „ 3 „ „ „ « 20000 4 „ „ „ ,. 200000

Een centrale van 10.000 abonné's gebruikt Ie kiezers slechts ten deele.

Men is nu nog niet dadelijk aan deze systeemcapaciteiten gebonden. Overschrijdt men 20000 abonné's, dan krijgt men plotseling een groot dood gewicht aan schakelaars, daar. over de geheele centrale een 4e schakeltrap zou moeten worden inge-voerd. Nu is ook dit nc^ niet noodzakelijk; volgens de idee van L. NEHER kunnen nog overgangen tusschen het eene systeem en

23

het andere gemaakt worden. Het aantal schakeltrappen is dan niet gelijk bij de keuze der verschillende abonné's, maar varieert naar gelang van het nummer, dat men kiest.

Men kieze bijvoorbeeld als centrale-eenheid 400. Men moet dan twee schakeltrappen bezigen voor oproepen welke in de centrale ontstaan. Er zijn dus eindkiezers en kiezers welke hieraan voor-afgaan: de 200 groepkiezers. Van deze laatste kiezers worden slechts 2 contactenrijen gebruikt voor de keuze van de twee 200 groepen. De overige 8 contactenrijen kan men gebruiken voor oproepen naar andere centralen van dezelfde capaciteit.

De oproepen, welke de 200 groepkiezers passeerden van de eerste centrale, komen nu op de 200 groepkiezers van de tweede centrale. De capaciteit van het systeem wordt derhalve:

400 + 8 X 400 = 3600.

Aldus kan meri deze capaciteit maken:

200 + 9 X 200 = 2000 OO'/o van het verkeer over 3, 10% over 2 trappen

400 -(- 8 X 400 = 3600 897» , » 600 + 7 X 600 = 4800 87Vo „ » 800 -I- 6 X 800 = 5600 86'/» , „ 1000 + 5 X 1000 = 6000 83Vo „ , 1200 -I- 4 X 1 2 0 0 ^ 6 0 0 0 807» • , 1400 -t- 3 X 1400 = 5600 757o » ,. 1600 -t- 2 X 1600 = 4800 677o . „ 1800 + 1 X 1800 = 3600 507o „ . 2000 -^ O X 2000 = 2000 07„ „ ,

De percentages, welke het naar buiten gaande verkeer van een centrale aangeven, zijn slechts zoo, wanneer het verkeer zich over alle aangesloten centralen gelijkmatig verdeelt.

Dit nu is niet het geval. Het verkeer blijft bij voorkeur in de eigen centrale, zoodat de percentages zeer zeker lager zijn. De maximale capaciteit, die hiermede bereikt kan worden, is 6000. Is een capaciteit van 2000 te klein, die van 20000 te groot, dan kan men een systeem capaciteit van 6000 kiezen, waarmede men voor de helft met 2, voor de helft met 3 schakeltrappen uitkomt; dit is veel economischer dan het invoeren van een 3en schakel-trap voor het geheele systeem. Hetzelfde geldt voor een centrale capaciteit van 20000, waar men minstens 3 schakeltrappen noodig heeft. Ook hiermede kan men een capaciteit van 200C0 over-schrijden, door deels 3, deels 4 schakeltrappen te kiezen.

De maximale systeemcapaciteit wordt dan 60000. De centrale eenheid is dan 10000; men kan dan rekenen op een zekere locale

3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 117o 137o 147o 17Vo 20''/„ 257o 337o 507o 1007o » n » n » n n m n 2 2 2 2 2 2 2 2 2

tendens (zie hoofdstuk XI) en mag dan wel aannemen dat 1,5 X meer verkeer zich in de centrale zelf afwikkelt, dan naar de capaciteit der centralen verwacht kan worden. Het verkeer gaat dan voor ± 75 "/o over 4 schakeltrappen, dus 25 "/o van de schakelaars voor een 4en schakeltrap wordt deshalve bespaard door een systeem van centralen met 10000 aangesloten te kiezen. Maar vooral is het voordeel groot, wanneer de volle systeemcapaciteit nog niet bereikt is geworden. Heeft men bijvoorbeeld 2 centralen van 10000 aangeslotenen dan gaat er voor ongeveer 5 % van het verkeer naar buiten; men bespaart dan voorloopig 4 3 % schakelaars van den 4en schakeltrap, een besparing welke niet onbelangrijk is, al is zij slechts tijdelijk. Het verdient in gevallen aanbeveling deze capaciteiten van 60000 te kiezen, daar verschillende steden, welke tot automatiseering moeten overgaan, in de eerste 50 jaren een capaciteit van 200000 niet bereiken zullen. De volgende systeem-capaciteiten heeft men derhalve in hoofdzaak:

200, 600, 2000, 6000, 20000. 60000, 200000.

In de tweede plaats worde hier een kort overzicht gegeven van het systeem van Siemens en Halske. Men treft hierbij een verschil aan al dadelijk bij de eerste schakeltrap: er zijn geen zoekers maar voorkiezers. Elke abonnélijn heeft zijn eigen voor-kiezer (vorwahler). De voorvoor-kiezer test uit tien lijnen een niet bezette lijn. Deze lijnen zijn ieder verbonden aan een tweeden voorkiezer. De tweede voorkiezer schakelt den oproep door op een vrije lijn van 10 koordcircuits.

De schakeling is zoodanig, dat de bundelcapaciteit der koord-circuits 100 bedraagt. De koordkoord-circuits brengen den oproep naar den len groepkiezer welke evenals die van de W. E. Co. 10-deelig kiest, maar niet, zooals bij eerstgenoemde, uit 2000 groepen maar uit 1000 groepen, hetgeen samenhangt met de constructie van den eindkiezer.

Deze groepkiezers testen uit tien lijnen de vrije lijn uit. Dit is in tegenstelling met het vorige systeem, waarbij uit 22 lijnen de vrije gezocht werd. De bundelsterkte is hier derhalve 10; langs deze lijnen komt de oproep uit op den 2en groepkiezer, welke de 100-groep kiest; ook hierbij wordt weer geschakeld op een bundel van niet meer dan 10 lijnen. Ten slotte kiest de eindkiezer, ver-bonden aan laatstgenoemde lijnen, uit het 100-tal het lO-tal en vervolgens de eenheden. De systeemcapaciteiten zijn hier 100 met 1 schakeltrap, 1000 met 2, 10000 met 3 en 100000 met 4. Ook

25

hier kan men op analoge wijze als bij het vorige systeem werd aangegeven door middel van deels 4, deels 3 schakeltrappen, de capaciteit van 30000 bereiken, door middel van deels 3 en deels 2 de capaciteit van 3000, door deels 2, deels 1 de capaciteit van 300 aansluitingen bereiken. Hetzelfde geldt overigens hier wat boven werd besproken.

Heeft men half-automatische centralen, dan wordt de oproep na het inloopen op de koordcircuits, voor zeer korten tijd ver-bonden met de telefoniste.

Bij het systeem der W. E. Co. wordt uit een ploeg van 7 tele-fonisten die, welke niet bezig is, uitgekozen. Bij het systeem van SIEMENS en HALSKE uit een ploeg van 25.

De lijnen naar de samenwerkende telefonisten kan men eveneens als een bundel beschouwen (Zie hoofdstuk VIII).

De bundelsterkte is dan resp. 7 en 25.

Heeft de telefoniste het nummer van den oproependen abonné vernomen, dan drukt zij op een klaviernummer toetsen in en legt het gevraagde nummer hiermede mechanisch vast. Het mecha-nisme zorgt verder vanzelf voor het doorschakelen.

Bij het eerste systeem heeft elke telefoniste slechts één klavier, hetgeen onmiddellijk vrij komt, lang voordat de oproep geheel is doorgeschakeld; bij het tweede heeft zij twee klavieren die minder snel vrij komen. Voor de berekeningen in deze verhandeling hebben de overige verschillen, die vanuit een tdefoontechnisch oogpunt wel principieel zijn, geen diepgaand verschil. In het algemeen duren de schakeltijden en de verbrekingstijden bij het eerste systeem belangrijk langer dan die bij het laatste. Vooral heeft invloed dat een verbinding bij de inrichting volgens W. E. Co. door de telefoniste verbroken moet worden. Dit globale overzicht moge voldoende zijn om de rekenwijze te volgen.

Het stroomschema geldt voor een vol-automaat. Voor een half-automaat snijde men het schema in het midden door en teekene een schakeltrap, welke schakelt op bundels van 7.

Voor 2000 aansluitingen zijn er 7 telefonisten.

Dit laatste schema vertegenwoordigt dan het schema van den stroom der bedieningsgesprekken.

Te zamen met het eerste is het mogelijk dat we ons hiermede een beeld van een half-automatische inrichting vormen.

THEORIE DER STAONATIEKANSEN.

Door tusschenkomst van telefonisten of van schakelaars wordt het telefonisch verkeer van een zeker aantal abonné's langs een bundel met een bepaald aantal lijnen gevoerd. Het aantal lijnen van den bundel moet nu zoo groot zijn, dat slechts bij hooge uitzondering het verkeer belemmerd wordt tengevolge van een te kort aan lijnen, welke de doorverbinding moeten geven.

We beschouwen nu alle gesprekken, die de verschillende abonné's met elkander zouden willen voeren. Nu en dan komt het voor, dat er een grooter aantal abonné's zou willen spreken dan inderdaad mogelijk is. Want steeds is de schakelinrichting in een telefooncentrale te klein.

Stel nu, dat er s + 1 abonné's wilden spreken, terwijl het maar mogelijk is, dat er s tegelijkertijd in gesprek zijn. De abonné, welke het laatst zijn gesprek zal willen aanvangen, ziet zich dan genoodzaakt zijn gesprek uit te stellen of op te geven

We willen nu berekenen hoe groot de kans is, dat een gesprek moet worden uitgesteld. Deze kans noemen we de stagnatiekans. Om te kunnen rekenen, moet men uitgaan van bepaalde ver-onderstellingen. In de eerste plaats wordt verondersteld, dat elke abonné evenveel en evenlang spreekt. In de tweede plaats ver-onderstellen we, dat de tijdstippen waarop de gesprekken beginnen, geheel onregelmatig verdeeld zijn, ten minste voor het zakenuur. Alsdan kan waarschijnlijkheidsrekening worden toegepast.

Het aantal abonné's, welke van denzelfden bundel gebruik moet maken, zij gelijk aan n; het aantal lijnen van den bundel gelijk aan s; het aantal gesprekken per uur, dat elke abonné voert, gelijk aan h; de duur van het gesprek in uren gemeten gelijk aan g.

We vatten nu een bepaald gesprek in het oog en vragen ons af: Hoe groot is de kans dat in het tijdsverloop g, hetwelk dezen oproep voorafgaat, er s gesprekken of meer zijn begonnen?

De abonné, welke dit gesprek voert, kan binnen dit tijdsverloop geen gesprek begonnen zijn, daar geen gesprek minder dan g uren duurt. De andere abonné's echter wel.

27

De abonné voere nu h gesprekken; deze zijn het gesprek a, het gesprek b, enz. De kans, dat het gesprek a wordt aan-gevangen in het tijdsverloop g, is gelijk aan g. Dezelfde kans geldt ook met betrekking tot het gesprek b, enz. Deze kansen hebben betrekking op verschijnselen, die elkaar uitsluiten; de kans, dat in het algemeen een der h gesprekken aanvangt gedurende het tijdsverioop g, is gelijk aan de som dezer kansen, te weten gelijk aan hg. Onderscheidde men de gesprekken naar de volgorde waarin zij gevoerd worden, bijv. het eerste, tweede, derde gesprek enz., dan zou men voor de verschillende gesprekken verschillende kansen vinden, met een som echter gelijk aan de hier genoemde. Het is dus noodig de gesprekken te onderscheiden onafhankelijk van de volgorde in tijd.

De kans, dat hij geen zijner h gesprekken laat beginnen ge-durende dezen tijd, is blijkbaar 1—hg.

De kans, dat x abonné's een gesprek aanvangen in dit tijdsverioop, n—1—X daarentegen niet, is volgens een bekende formule uit de waarschijnlijkheidsrekening:

w, = c:;_, (hg)" ( 1 - h g ) " - ' ' - ' , 1) waarin Cl_^ het aantal combinaties x aan x van n—1 elementen

voorstelt.

Worden er s gesprekken in het tijdsverioop g aangevangen, dan moet, zooals in het begin werd opgemerkt, de oproep, waarvan in deze sprake is, vertraagd worden. Evenzoo voor de gevallen dat er s + 1 of meer gesprekken worden begonnen in genoemd tijdsverloop. Voor de totale kans op stagnatie zullen we dus vinden:

Ws - ^ Ws + Ws+i -|- Ws+2 + W„_i . 2)

Men houde in het oog dat in werkelijkheid de toestand anders is dan die, welke bij deze rekening werd verondersteld. Of de oproepen moeten herhaald worden, wanneer ze gestagneerd worden, alsdan wordt h grooter; óf deoproepen moeten wachten en hoopen zich op het ongunstige tijdstip, waarop er toevallig veel oproepen samentreffen op, in welk geval men g grooter zou moeten kiezen. Men heeft veelal getracht met deze wijziging rekening te houden, maar de redeneeringen zijn meestal vaag en niet steekhoudend.

Alles wat men zeggen kan over de stagnatiekansen, zooals die in 2) geformuleerd zijn, is dit, dat de kansen waarschijnlijk iets grooter zullen zijn.

men een eenigszins andere redeneering volgen, die ten slotte op hetzelfde neerkomt.

De kans, dat op een bepaald tijdstip een abonné in gesprek is, zij gelijk aan p ; dat hij niet in gesprek is, gelijk aan 1 — p. De kans, dat op het oogenblik, dat een zekere abonné oproept, er van de andere n — 1 abonné's x in gesprek zijn, is blijkbaar:

w, = C:_, p=' (1 - p ) " - " - ' •

Een oproep zou vertraagd moeten worden, wanneer er s of meer abonné's in gesprek zouden zijn. De kans hiervoor is blijkbaar

Ws = Ws + Wsfi + Ws+2 • . . + VV„_i.

Deze uitdrukking is identiek aan de op de vorige bladzijde gevondene. Want p is uit den aard der zaak gelijk aan hg. Ook hier kan hetzelfde opgemerkt worden wat betreft de kansen bij de werkelijke toestanden, nl. dat deze kansen iets grooter zullen zijn dan hier wordt aangegeven.

De beginselen der laatste redeneering zijn door metingen gemakkelijker te controleeren dan die der eerste, daar men op eenvoudige wijze kan bepalen, hoe groot de waarschijnlijkheid is van het gelijktijdig in gesprek zijn op een bepaald tijdstip; de meting van het aantal gestagneerde oproepen daarentegen is slechts moeilijk doorvoerbaar.

HOOFDSTUK III.

BENADERINQSFORMULE VOOR W ETC.

De formule 1) kan niet bij benadering worden weergegeven

door de formule van BERNOULLI. Immers de waarden van h g,

waarmede men in de praktijk te doen heeft, zijn zeer klein;

daardoor kunnen de grootheden, welke BERNOULLI buiten

be-schouwing liet, niet meer verwaarioosd worden.

Er is echter een andere benadering mogelijk. We veronderstellen nu, dat in formule 1) n oneindig groot wordt, g oneindig klein; evenwel zoodanig, dat het product h g n een eindige waarde a behoudt:

h g n ^ a. 3) De uitdrukking 1) nadert dan tot een zeer bepaalde limiet.

Men heeft in verband met 3):

w, = c;;., (h g)" (1 - hg)"-' = c;;., [^\ i - ^

av . a

n-x-l

Voor C^^ de factoren schrijvende:

" _ ( n - l ) ( n - 2 ) . . . ( n - x ) a'' / a \"-'-'

^^~~ x! n- V n) '

waaruit men kan afleiden:

= ï - p

x ! Van het product P nemen we de natuurlijke logarithme. Deze bedraagt bij benadering:

i n 1 2 3 X , ,. /a , a2 \

l n P = : . . . (n — x — 1 ) h _{n n n " ' ' n \n 2n2/"}

Hierin zijn verwaarloosd alle grootheden, welke bij de verdere uitwerking n^ in den noemer zouden verkrijgen. Het product uit-werkende en alles met n^ in den noemer verwaarioozende, vindt men bij benadering voor In P :

,n P = - l O c + i ) _ a + ^ _ ( ^ ± J 1 _ ^ =

2n n 2n (x — a)2 -f X — 2a

zoodat men ten slotte heeft voor de benaderde waarde van w»:

g X g X (X — a)z 4 - X — 2a

Wx = : - r e'" '^ = , e"" . e ^2n . 4)

x! x! ' Men ziet hieruit, dat, wanneer n groot is, de waarde van Wx

slechts in geringe mate van n afhangt. De limiet waarde van Wx voor n ^ oneindig groot, is blijkbaar:

a"

Vx = lim Wx = " ^ e-» . 5)

n 05 X .

Deze grenswaarde is van groot belang. Immers de stagnatie-kansen blijken nu hoofdzakelijk afhankelijk te zijn van het aantal a der gesprekuren, door de abonné's gezamenlijk per uur ge-sproken. Hoe groot het aantal abonné's precies is, doetermindertoe.

Voor de grenswaarde der stagnatiekansen vinden we ten slotte: Vs = lim W s . = Vs -!- Vs+i + Vs+2 + . . . 6)

n 00

We vragen ons nu af hoe groot x is, als Vx een maximum is en hoe groot deze maximale waarde is. De gezochte waarde van x zij gelijk aan «.Alsdan heeft men deze ongelijkheden:

V„_i < V„ > V„ -(- 1 of, deelende door v,<:

V„ " ^ ' " ^ V„

Uit 5) leidt men af, dat de verhouding in het eerste lid gelijk is aan " ; die in het laatste lid gelijk aan ; dit invoerende

a a -f 1 krijgt men:

" < 1 >

a a + 1

waaruit men voor « de twee grenzen kan afleiden:

a — 1 < a < a. 7) De waarde van den maximalen term is te berekenen met

be-hulp van de formule van STIRLING, wanneer a een geheel getal

is. Er zijn dan eigenlijk twee maxinjale termen, aan elkander gelijk: Va en Va-i.

De formule van STIRLING zegt (bij benadering):

- T W ^ f l ^ ' ' • ' — - — . • ' • ^ - " " ^ , - ... i ^ . . , ~ . .,P« >li<«l<.>^MÜlWipMilll •*|lNl)i_WIIUllH||> 31

waardoor men voor Va vindt:

V, = - e - ' ' = , e - ' = , 8) a! a» e-» K 2 71 a y 2 ^ a

Ook langs anderen weg vindt men deze zelfde waarde. Immers, men kan wo, wi enz. beschouwen als de termen van de

ont-wikkeling volgens het binomium van NEWTON van den vorm

(P + q) " - ' ,

waarin p = - e n q = l — - . De grootste term van deze *^ n ^ n "

ontwikkeling is bij benadering gelijk aan -. , een waarde ^'2:7rp q (n—1)

welke voor zeer groote waarden van n gelijk wordt aan de hier-boven berekende.

Wanneer a geen geheel getal is, vindt men een kleine afwijking. Zij a een geheel getal, zoodanig dat:

a = a — k, waarin k een positief getal is kleiner dan 1.

De formule van STIRLING gebruikende, vinden wij:

a" , {a + kY e-"-" o! a" e-" I' 2 ^ a

k\"

1 + "^

a / y 2 TT a

Als a betrekkelijk groot is, kunnen we den eersten factor gemakkelijk benaderen. We nemen daartoe de natuurlijke loga-rithme van den factor en benaderen deze:

, „ ( , + M- = „ , „ ( , + it) = <.(k _ k>

\ al \ al \ a 2 a^

2a.

Hieruit volgt voor v„:

_ k>

k - " " - k 1 e 2" v„ = e " 2a e " — _{y 2n a y2 TT a}

waarvoor ook al weer bij benadering kan gezet worden: v . = ' - ( l - J ^

Schrijft men « ^ a — k, dan wordt de. benaderde waarde:

i2^(a-k) \ 2 ( a - F k )

1 / k (1 — k) ' l +

i 2^ a - 2 ^

De corrigeerende factor is gelijk aan 1 voor k = O en k =^ 1. Dit komt ook uit met het feit, dat voor k = O of =: 1 geldt V,. ^ Va = Va-i. De corrigeerende factor is een maximum voor k = 0,5 en bedraagt dan 1 -\- ^—.

o a

De formule van STIRLING is op zich zelve ook een benadering.

De betrekkelijke fout, welke men maakt, is grooter naar mate x kleiner is. De juiste formule is deze:

X — X +

x! = y 2 ^ X . x e '^'' ^ ' ' ^

waarbij i> tusschen O en 1 ligt. Verwaarloost men den term met §; dan maakt men een fout van ten hoogste gelijk aan— „ „, daar x minstens gelijk aan 1 is. De fout in den exponent van e is dus hoogstens gelijk aan — ^ ^ = (ongeveer) — 0,003. Met een relatieve fout van minder dan 0,003 zal men dus kunnen stellen:

X ! = x" e-'' e'^^ / 2 ^ x.

De factor e'^" is tot nog toe verwaarloosd. Deze in rekening brengende, vindt men voor den maximalen term bij benadering:

iY^a ^ ^

2a

12aj

Al deze correcties zijn van dien aard, dat men ze bij het practisch gebruik achterwege kan laten. De relatieve fout is ten hoogste gelijk aan — TT^', daar a gelijk is aan 1 of grooter, maakt men geen

1 ^ a

groote fout wanneer men in alle gevallen voor den maximalen term aanhoudt, en deze correctie niet mederekent.

y 2^a

Bij de toepassingen in de praktijk is de waarde van v» steeds grooter dan die van Ws; want s is dan altijd zoo groot, dat in 4) de laatste factor kleiner dan 1 is; door met Vs te rekenen inplaats van met Ws schat men de stagnatiekansen hooger dan deze inderdaad zullen zijn en rekent daardoor veilig.

HOOFDSTUK IV.

BEREKENING VAN HET AANTAL LIJNEN VAN EEN BUNDEL VOOR DE STAGNATIEKANSEN 0,01, 0,001 EN 0,0001.

Het aantal lijnen van de bundels moet nu zoo groot zijn, dat de kansen op stagnatie een gegeven waarde hebben. Zooals werd aangetoond, zijn de stagnatiekansen slechts functies van s en a; heeft men de grootte der stagnatiekansen vastgelegd, dan bestaat hiermede een zeer bepaalde betrekking tusschen s en a. De waarden van s en a, welke stagnatiekansen geven van resp. 0,01,0,001 en 0,0001, zullen nu worden berekend. De functie:

a = f(s)

wordt dus punt voor punt berekend voor Vs = constant. Deze berekeningen doet men het beste door middel van op-eenvolgende benaderingen. Eerst wordt bij een zekere waarde van s een zoodanige waarde van a gekozen, dat Vs bijna de ge-wenschte waarde heeft. Dan wordt aan a een klein bedrag h toegevoegd,zoodat daardoor Vs vrijwel de gezochte waarde verkrijgt. Het bedrag h vinden we bij benadering met behulp van de reeks van TAYLOR. Men heeft:

h <? V s , a h ' (^'Vs a Vs,a+h=Vs.a + y - ^ ^ + ^ — - ^ e n z .

Vs,a + h moet gelijk aan de gestelde waarden t. w. 0.01,0,001, 0,0001, wezen. Vs,a is bekend, de afgeleiden zijn het eveneens. Men kan dan h bij benadering spoedig berekenen.

Ten einde de verschillende afgeleiden te bepalen, berekenen we eerst de afgeleide

Deze is gelijk aan: c l V s . a , da ' a ^ e -dVs.a S^! _ a ^ ~ ' _ a __ ^ ^

d a ~ da ~ ( s — 1 ) ! s!

= V s _ i , a — V s , a -Volgens definitie is:

Dit differentieerende, vindt men:

<? V s . a d V s , a I <JVs + l , a . t? V s - h 2 , a

a a ~ a a da da

hetgeen, tengevolge van de zoo juist gevonden formule voor

<3 V s , a . • ' , overgaat in: da ^ , - — ' = V s - i , a - V s , a + V s , a - Vs + i,a + V,+ i,a - V s + 2 , a + da = V s l , a

-Voor de tweede afgeleide vindt men:

a'Vs.a V s - 2 , a — Vs-da^ Voor de derde: c ' ^ V s , a _ n I - T - o - — V s - 3 , a — ^ V s - 2 , a i " Vs - 1, a, d a^ enz.

Deze waarden in de reeks van TAYLOR invoerende, vinden we:

h h^

Vs,a h = Vs,a + . V s - i , a + y , (Vs_2,a — V s _ l , a ) + . • • • Verwaarloost men de termen met h^-'en hoogere machten van h, dan is een eerste benadering:

. V s , a + h — V s , a Vs — l , a

De waarden a = f (s) zijn nu te bepalen door successievelijk probeeren en benaderen. De weg is omslachtig.

TABEL

voor a = f(s) bij V» =^ constant.

s Vs = 0,01 Vs = 0,001 Vs = 0,0001 1 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100 a = 0,01 0,15 0,82 1,78 2,90 4,13 11,2 26,0 43,5 60,7 78,2 a = 0,001 0,045 0,43 1,11 1,97 2,96 8,96 23,4 39,0 55,2 71,8 a = 0,0001 0,014 0,23 0,71 1,41 2,26 7,44 20,6 35,2 50,8 67,0

35

De tabel geeft eenige waarden van s en a, die bij elkander behooren. Ook is van deze tabel een grafische voorstelling gemaakt (tig. 4).

Bovendien is een grafiek van Vs gemaakt als functie van s voor verschillende constante waarden van a. Het kan aangetoond worden, dat Va ongeveer gelijk is a a n ^ + v — = - ( z i e Hoofdst.V).

^ ^ i27ia

1

Voor groote waarden van a is V ongeveer gelijk aan -^. De krommen gaan dus dicht langs de punten s = a e n V a = y . Om groote duidelijkheid te verkrijgen is niet Va zelve, doch veeleer de logarithme er van als ordinaat uitgezet (fig. 5).

Het interesseert ons ten laatste, in hoeverre de krommen s = f (a) naar rechts moeten worden verschoven, wanneer niet Vs maar W , bij een zekere n een constante waarde hebben moet Hiervoor is een uitdrukking te vinden, welke, hoewel een ruwe benadering, toch in staat stelt er een oordeel over te vellen.

Als ruwe benadering kan men stellen:

(s — a)2 + s — 2a

Ws = Vs e 2n

We willen nu zoeken naar de toename die a ondergaat, wanneer n niet meer oneindig groot is, of, daar het eenvoudiger is te rekenen met p ^ , wanneer p niet meer gelijk is aan o. ^

Voor Ws heeft men dan: '••

(s — a)2 + s — 2a

Ws = Vs e '" p

Daar Ws constant moet blijven, heeft men, differentieerende: , ^ ^ W s _ ^ p d a - f ^ ^ - - > ' d p = da c?p ^ ( s - a ) 2 - f - s - 2 a (s - a ) 2 - | - s - 2a / , , x

da ' ^ ' " l 2a« 2

_ v e - ' " ' ^ ' ^ ' ' ( ^ ^ ^ + ^ : : i 2 a

Vs,a e 2 a ° P-_ ( s - a ) 2 - f s - 2 a

lO 20 3 0 «ïo 5 0 60 70 80 so too Fig. 4.

!»fyffWy«ir7i^|^tMW" P il[jny^^lji . <} -i ^ 3 7

(s - a)^ + s - 2 a d a ^'•" 2 a

dp <?V^a , „ \ s ( s - f 1) 1

+ v

da • -'- i 2a^ 2 s,a

Wanneer s groot is t. o. v. a, kan men bij benadering Vs uit-drukken in Vs . Immers dan heeft men bij benadering:

Vs = V s + -Vs + -^ Vs + . .

s^ " ' s—a

1V s

Voorts is — = Vs Deze waarden i n v o e r e n d e in de uitdruk-<f)a a

I • d a . , ,

king voor , vindt men: d p

s (s — a)* -+- s — 2 a da s — a 2 a

d p s s _ , s ( s + ^ ) I j ' a " ^ s - a ' 2a« ' 2 ^ ^

Nu hebben we altijd te doen met kleine waarden van p; alsdan kan men stellen bij benadering

s (s — a)* -f s — 2 a , , a . —„-^ s — a 4-1 — — d a s — a 2 a s — a d p ~ s^ ~ 2

a

Is bijvoorbeeld bij s = 10, a =2,96, Vs = 0,001, dan zal a bij een toename van p ^ o tot p ^ - moeten toenemen met

1 0 - 2 . 9 6 + 1 - A " ! - , , ,

Ai= -2 - S O - " ' " '

dus met een gering bedrag; ten opzichte van a is dit een verschil van 4''/o ongeveer. De grenskromme a =: f (s) voor n = 00 zal dus niet veel verschillen van de kromme, waarbij n niet oneindig groot is of p niet gelijk is aan o. Het is duidelijk, dat de waarde, voor A a gevonden, slechts een ruwe benadering is. Toch is het voldoende om zich een oordeel over de ver-schillen te kunnen vormen.

HOOFDSTUK V.

BENADERDE BEREKENING VAN Va. In het vorige hoofdstuk werd gezegd, dat:

Vs = — ^ \- - ^ h

s! ^ ( s - h l ) ! ^ • • • voor s ^ a bij benadering gelijk is aan — + — j ^ : = .

2 3y 271 a

De bedoeling van dit hoofdstuk is hiervan het bewijs te leveren. Beschouwen we daartoe de functie van x:

, yX Y " -I- 1

z = F(x) = e - . ( - ^ , + 5 i L _ . , + , ,

In de eerste plaats worde aangetoond, dat z voor oneindig groote waarden van x tot de limiet nadert.

Brengt men —| buiten haakjes, dan komt er:

x" / , , X if2

^ ^

"x!

V + x + 1

+ ( x +

1) (x

+ 2 )

+

- - " - ( 1 + - ^ + , ' . +

x!

' + 5 (' + ^)(> + ^)

We merken op, dat de reeks tusschen haakjes convergeert voor alle eindige waarden van x. Immers de verhouding van twee op eenvolgende termen is kleiner dan . ; deze reeks heeft dus

termen, welke kleiner zijn dan de meetkundige reeks met de reden - , welke reeks voor alle eindige waarden van x convergent is.

' + x

Met behulp van de formule van STIRLING herieidt men:

1 — /> / 1 1

V2.X \ ,^1 , + M i + r

waarbij ^ een grootheid is, die tot nul nadert, wanneer x onbe-paald toeneemt; men kan gemakkelijk aantoonen, dat, voor alle

1 _ -"

positieve waarden van n en x, > e " is; voor de

alge-1 + "

_x

meene term Ap van de reeks 10):

' " ^ ^ ( - ' ) ( - ^ • • ( • + ! ) ' "

zal dus deze ongelijkheid bestaan:

1 _ ^ _ p

Ap > e ' >< . e " . . . e ", of eenvoudiger:

_p (p +-J) A p > e 2x . Stelt men p =^ q— 1, dan is

q (q - 1)

Bc, > e 2"

de q''^ term van de reeks in 10): Het tweede lid deelende door +

-"-e 2", h-"-et g-"-e-"-en groot-"-er is dan 1, krijg-"-en w-"-e: _ I l

Bq > e ^-. Voor z vinden we nu volgens 10):

z = , - ^ (B, + B2 + . . . . + Bq + . . . ) >

y 27tx

1 i9' ' ^ q^ > ,, . ( e ~ ^ + e ~ ^ + . . . + e " 2 x + . . . ) .

)/2 7rx ^ ' Men kan gemakkelijk aantoonen, dat

q , 1

/• _ q2 _ q2

Je

2x dq </ e

2x_ ,2)

q

waaruit men voor z deze ongelijkheid kan afleiden:

2 3 q f 1 z > — ( /e 2 ' ' d q + / e ^^ dq+ . . + e 2''üq + .. \/2 7l X \ I I I I 1 "2 q 1 — ^ ," _ q2 of: z > —^- e 2x £jq 13) 1 2 71 X f

41

1 I f -3' f q'

Je 2x dq < 1, of: — 1 -|_ /e 2^ dq < O,

o ö waardoor uit 12) volgt:

t l o 1 of w e l : 1 - 1^ / /• _ 1 1 \ • z > - - - 1 + e 2xdq . 1/2 TT X \ ,/ |/2 7rx o / e - ^ ' ^ Uit de integraalrekening is bekend, dat Ie dx = - yyr; hier-uit leidt men af voor de integraal, die zich hier voordoet, de waarde

71 X

f

of:

. Voor z vinden we dus

] — {)• I AI TlX

z > , - 1

2

z >(1 - <»( - ^ J = . + i ). 14)

j/2 7rx 2

Zoeken we vervolgens de bovenste grens, waarbeneden z zeker moet liggen. Beschouwen we daartoe den algemeenen term 11) van de reeks 10). We vormen het product van de twee uiterste factoren van den noemer ( 1 + 1 ( 1 + ) en merken op, dat dit product kleiner is dan alle producten van twee factoren, welke symmetrisch liggen ten opzichte van het begin en het einde. Het product uitwerkende, besluiten we tot de ongelijkheid:

(i + M(i-fP) = i + p+A + p ^ > i + p. .

\ xl \ xl X x '^ x Is p even, ,dan kan men ^ dergelijke producten vormen; voor den noemer N bestaat dan de ongelijkheid :

p^

P ) 2

• N > 1 + ,

\ X /

A ' < r — p ^ ,

' + x l '

-Verder heeft men:

p

1 ^ / dp

p — I

Analoog met boven volgt hieruit voor z:

z < ' - ' > . / • + / • "P . V 15)

/ 2 „ ï ( 1 + p ) ;

X o _ p D 2

We ontwikkelen ( 1 -|- ) in een reeks, welke convergeert voor alle waarden van p kleiner dan x :

p \ - 2 _ , p2 , 1 p . ( p + 2)p2 1 p . ( p + 2).(p + 4)p^ 1 -I- - = 1 —

^ X / 2x ' 2! 2=^x2 3! 2^ x^ waarin elke term kleiner is dan de voorgaande, wanneer p kleiner is dan Vx. Dan kan men stellen:

Dan geldt ook :

V X > X y X

,+ P)-' dp<j e-'^dp+l J^dp,

O 0 0 of, in sterkere mate :

Vx o. Vx

1 + ^ ) " ' dp < j e " '^dp + j 2^[' dp,

o 0 0 waaruit volgt: l^x _ n / 1 2 ' .16' o

Voorts heeft men :

43

dan vindt men 0>

1 / 2 dz

p

/ , ^ - U T / InB Z' InB / x '

Voor InB kan men stellen:

waardoor we vinden: 00

' y r \ ' " ^ |/x)' ' 2yi,

In verband met 15), 16), 17) en 18) krijgen we nu:

• z < J ^ (^^¥^ + 1^+ ' l

l/2 7rx ^ 2 16 1 _ •^ 2 y x waaruit volgt: , z < ( l - ^)(\+^' 17)

Y-V<, V -

^«)

2

Hierin is '&'' een grootheid, welke tot nul nadert, wanneer x zeer groot wordt. Vergelijken we 14) en 19) dan zien we, dat:

( l - ^ ) ( j + ^ ' ) > z > ( l -^) ( ^,.i^-H !

\ ^ / y2 7rx ^ Het blijkt, dat z tusschen twee waarden ligt opgesloten, die des te minder van elkaar gaan verschillen, naar mate x grooter wordt. Door x maar groot genoeg te kiezen, kan men de twee grenzen willekeurig dicht bij elkaar brengen; aangezien «?'totnul nadert, wanneer x onbepaald toeneemt, kunnen we besluiten, dat de limiet van z wordt:

1- 1

hm z 2 X ^ = : OO

Nu deze limietwaarde bepaald is, zullen we de functie z verder analyseeren. We beschouwen z als functie van twee veranderlijken a en t, aldus:

; a' a' +' a' + 2

z - - f ( a , t ) - ( ^ , + ( t - M ) . + (t + 2 ) ! + • • • ) '-'• Voorloopig onderstellen we, dat t slechts geheele waarden kan bezitten. Stelt men a - t x, dan gaat deze functie over in de reeds vermelde functie:

z : f (x, x) F (x).

We vervangen nu z door een functie z, welke identiek is aan z f (a, t) voor alle geheele waarden van t; overigens heeft de functie z een continu verioop voor alle niet geheele waarden van t; straks zal z precieser gedefinieerd worden.

Bepalen we nu de afgeleide van z naar x; daarvoor is noodig eerst

d z :'^^ d a + '^^,dt 20)

da dt

dz

te bepalen, waaruit voortkomt wanneer a t x wordt gesteld.

Voor vindt men gemakkelijk (t geheel getal):

d a

n t —I

~ (t n . - ^ - 21)

da da (t - 1)!

Voor de berekening van moet eerst de functie z precieser

ge-di

definieerd worden. Men heeft:

, t a t ' 1 a*^-2 t ! ' (t + 1)! ' (t + 2) at + i , a*+2 z. f ( a , t ) (_;-+^^-^_,^,+^^ ^ ^^, zt+. f ( a , t + l ) ( ( t + i ) , ^ ( , + 2 ) ! -2* —' a' a' + ' zt_, - U a , t - l ) = ( ^ ^ _ ^ ^ , + ^, + ^^_^jy^, waaruit men afleidt deze betrekkingen:

a* a* ~ '

z t - i ^ — e - » -, -f zt e n z t - i + e-%, ^p^-, + zt . Evenzoo leidt men af

^t42

! +

af: — e zt e n z t -t! 1 e

" - \ t

(t+1)!

- 1 ) !

+ z,

45

a a «-2 a j t - l

en z,_3 - + e ^^_^ -\~ e j - ^ + z,.

Is a — t en past men de benadering volgens STIRLING toe:

-f?! a

+''"^>«—draC^rhi+^-^i+i z 1 + a 1 , 1 /, , , 1 + - ^ + z, en z,_2 = (1 + ] _ I + z^, r2 7ia }27ra Is a zoo groot, dat men = 1 — kan stellen, dan

• + a

kan men voor z de parabolische functie invoeren, die voor h ^ ± 1 en h ± 2 moet gelijk zijn aan zt + i en zt + 2".

^t+h ~ 2^ + a h + y h^.

Want a h + j ; h^ geven voor h = + 1 en h + 2 de tegengestelde waarden van die voor h = — l e n h = : — 2 ; even machten kunnen niet voorkomen.

Men berekent dan door substitutie enz.

a ^= -, 1 + . en y r -— [/2?ra 6a/ ^ 6a | / 2 7 r a , We bepalen nu '^ = ^ : dt êh . — - - a + 3y h«. öt ^

We namen aan, dat a - t was; dan moet dus h o gesteld worden; derhalve :

di \J27i^ 6a

Voor — vinden we boven de uitdrukking (t a in 21) stellende):

da

da da i 271 a

Voor den differentiaal d z vindt men nu, volgens 20): d z = ^ , ^ - d a - - . J _ - (l + ^ ) dt.

y 2 ^ a y 2 : r a ^ a / Stelt men nu a = t = x , dan komt er:

d z

d x 6 X [/ 2:7r X 61' 2 TI

Integreerende vindt men het verband tusschen z en x:

z"=—i=-x^T-f C = ^ ^ - | - C.

Zy 2n 3[/27rx

We definieerden z zóó, dat voor alle geheele waarden van x z ^ z was. Derhalve heeft men voor alle geheele waarden van x:

1

+ C.

1 3 | / 2 7 r x

Bewezen werd, dat voor x oo z nadert tot de limiet ^ . Volgens

deze formule is de limiet van z gelijk aan C. Derhalve is C = y. heeft dus (bij benadering):

Men

1

+

1 3 )/ 2 71X ' 2

voor alle geheele waarden van x. Deze benadering geeft veel nauw-keuriger resultaten, dan men oppervlakkig verwachten zou. Bere-kenen we nu z voor kleine waarden van x. Volgens definitie is:

X X + I X X T ï + ( x + 1 ) 1 " ^ • • of, zooals gemakkelijk is in te zien:

1 x _ 1 X I '^

^ (x-^ÏÏT

Hiermede kan men de exacte waarde van z berekenen en vindt dan voor z: 1

14-^-1-X X X X X X X X X 1 2 3 4 5 6 8 10 20 Exact: 0,632121 0,593994 0,576810 0,566530 0,559507 0,554320 0,547039 0,542070 0,529743 Benaderd: 0,632981 0,594031 0,576777 0,566490 0,559471 0,554289 0,547016 0,542051 0,529735 Verschil : — 0,000860 — 0,000037 -f 0,000033 + 0,000039 + 0,000036 + 0,000031 + 0,000023 + 0,000019 + 0,000007 De benadering volgens de formule is dus zeer bevredigend.

HOOFDSTUK VI.

O V E R D E V E R A N D E R L I J K H E I D D E R G R O O T H E I D A .

De aanname, dat elke abonné slechts eenmaal per uur oproept, is onjuist. Sommige abonné's spreken veel, anderen daarentegen weinig of in het geheel niet.

De grootheid a, welke een maat is voor het verkeer van een zekere groep abonné's, is voor elke groep verschillend. Elke waarde van a heeft een zekere waarschijnlijkheid.

Men zou nu de stagnatiekans voor een zekere waarde van a kunnen vermenigvuldigen met de waarschijnlijkheid van deze waarde; en door dan een sommatie uit te voeren van al deze gecom-bineerde kansen voor de verschillende waarden van a, zou men komen tot een stagnatiekans, die grooter is (schrijver heeft dit voor verschillende gevallen berekend) dan die, welke men be-rekenen zou door voor a eenvoudig een gemiddelde in te voeren.

Eenvoudiger komt men echter tot dezelfde uitkomst door de volgende redeneering.

Op de centrale zijn aangesloten k abonné's; deze abonné's zijn verdeeld in f groepen van r abonné's. Het aantal gesprekken door de k abonné's per uur gevoerd zij gelijk aan m. Dit aantal kan men vrijwel als een constante beschouwen. Alle gesprekken duren even lang en wel: g uren.

De kans dat in de g uren, voorafgaande aan het oogenblik, waarop een zeker gesprek begonnen zal worden, een bepaald gesprek der m — l overigen begonnen zal worden door een abonné van een bepaalde groep van r abonné's, is gelijk aan:

1

g

T-De kans, dat dit gesprek gedurende dit tijdsverioop niet wordt aangevangen door een der abonné's van diezelfde groep, is blijkbaar:

De kans, dat in het tijdsverioop g van de m—1 gesprekken er X begonnen worden door personen van dezelfde groep, terwijl de overige gesprekken óf niet begonnen worden óf door abonné's van een andere groep, is klaarblijkelijk:

. = c;_.(f-)-(.-?)"-•--.

m 2

Stelt men -r-- — b, dan is deze kans bij benadering : bx (x-b)2 + x-2 b

Ux ~ , e - ' ' e 2m x!

De grootheid b is gelijk aan het gemiddelde aantal gesprekuren per uur door de groep van r abonné's gesproken; deze groot-heid is dus identiek met a, welke vroeger werd gebruikt.

Het verschil tusschen Us en Vg is veel geringer dan dat tusschen Ws en Vs; immers m is van dezelfde grootte-orde als k; m is dus van de grootte-orde nf, terwijl n in de eerste formules optrad. Verschillen Wx en v, bijv. lO'/o en is f gelijk aan 100, dan ver-schillen Us en Vs slechts

0,17o-De waarden van Vs leveren dus de kansen gerekend over de geheele centrale; hierbij wordt verondersteld, dat de groepeering der abonné's in de verschillende groepen zonder eenige

HOOFDSTUK VII.

O V E R D E N D U U R D E R V O L B E L A S T I N G E N .

Het probleem dat nu moet worden opgelost is dit: Hoe lang duurt de toestand van het in gesprek zijn van s lijnen. De ge-spreksduur is weer een constante en gelijk aan g.

Veronderstel dat het gesprek, dat het laatst wordt begonnen, begonnen wordt op het tijdstip t - o. Dit gesprek wordt beëindigd op een tijdstip t — g. Alle overige gesprekken moeten na t o en vóór t = g beëindigd worden. Overigens kan men niets met zekerheid zeggen omtrent het tijdstip van beëindiging van één der gesprekken. Hieruit kan men besluiten dat de kans, dat een zeker gesprek beëindigd wordt tusschen de tijdstippen t en t + dt, gelijk is aan — . Alsdan bedraagt de kans, dat het einde van een gesprek valt tusschen o en g, gelijk is aan:

• ƒ! ••

o

wat ook inderdaad zoo zijn moet.

De kans, dat eerst na den tijd t een gesprek beëindigd wordt, is blijkbaar gelijk aan:

g f t

Dat een der s-1 gesprekken, welke beëindigd zullen worden tusschen t = o en t - g, eindigt tusschen t en t + dt, terwijl tevens de s—2 overige gesprekken eerst beëindigd zullen worden na afloop van dezen tijd, zal een kans hebben van :

A l I M M t \ » - 2 d t

d p = ( s —1) (1 -zooals wel gemakkelijk zal zijn in te zien.

De gemiddelde duur van de volbelasting zal de gemiddelde waarde van t bedragen; deze gemiddelde waarde bedraagt:

. . / . d p - / ( s - i ) ( , - ; p . . ; v

Stelt men 1 ~ z , dus t g — g z en dt g dz, dan wordt deze integraal overgevoerd in:

1

m ( s - l ) g f z=-2(i _ z) dz - ^ .

o

Voor de gemiddelde waarde van m vinden we den gespreks-duur gedeeld door het aantal lijnen, wat zich trouwens ook wel verwachten liet.

De oproepen zullen dus in geval van stagnatie het langste moeten wachten voor bundels met een gering aantal lijnen.

HOOFDSTUK VIII.

RENDEMENT VAN EEN BUNDEL. BELASTINGSFACTOR VAN DE TELEFONISTE.

Het rendement van een telefoonaansluiting is niet hoog. Het rendement kan gelijk gesteld worden aan het tijdsgedeelte ge-durende hetwelk een lijn in gebruik is; men kan dan spreken van een dag-rendement, dat met den dag varieert, of ook van een uur-rendement, dat met het uur varieert, of ook wel van een jaar-rendement.

Het dag-rendement van het telefoonnet is niet hoog. Spreken de abonné's 10 X per dag gedurende '/M ""••, dan is elke lijn

voor opbellen en opgebeld worden te samen 2

_{'^ • 3Ü=I}

_uur

2 1 in gesprek. Het dag-rendement van een lijn is derhalve o X ^ ^ =^ 0,03 of 3 %. Hierbij moet nog een zekere kabelreserve in rekening worden gebracht, zoodat het dagrendement ongeveer op 2 "/o gesteld kan worden. Het jaarrendement is door de feestdagen nog iets lager. De automatische telefonie heeft de bedoeling het rendement van het kabelnet omhoog te drijven door het verkeer om te zetten in overwegend trunkverkeer en hierdoor aan kabelnet te besparen. Dit is mogelijk, omdat zelfs gedurende het drukste uur het uurrendement van een telefoonaansluiting laag is. Dit rendement is in het zakenuur niet hooger dan 6 a 7 %. Door automatiseering is men in staat dit rendement op te voeren. Boven 40 % zal men practisch nooit kunnen komen.

In de grootere steden is automatiseering, om economisch te blijven werken, een gebiedende eisch. Want alleen bij automatische telefooncentralen is een ver doorgevoerde decentralisatie mogelijk; door de decentralisatie is men in staat het verkeer op enkele bundels te concentreeren. Bovengenoemd percentage kan men derhalve tot het 6 a 7-voudige opvoeren, met een hieraan gepaard gaande besparing aan kabellengte. Natuuriijk gaan met het toenemen van de decentralisatie de centrale kosten omhoog, maar de be-sparingaan kabel is zoo groot, dat over het algemeen de