Katedra Bankowości, Finansów i Rachunkowości Uniwersytet Warszawski
Ryszard Kokoszczyński
Paweł Sakowski
Katedra Statystyki i Ekonometrii Uniwersytet Warszawski
Robert Ślepaczuk
Katedra Bankowości, Finansów i Rachunkowości Uniwersytet Warszawski
Piotr Wójcik
Zakład Teorii Rozwoju Gospodarczego Uniwersytet Warszawski
WYCENA OPCJI NA VIX – PODEJŚCIE
HEURYSTYCZNE *
1. Wprowadzenie
Opcje na VIX są to kontrakty, w wypadku których podstawę rozliczenia stanowi wartość indeksu zmienności implikowanej z 30-dniowych opcji na indeks S&P 500. Opcje na VIX są więc instrumentami pochodnymi względem instru-mentów pochodnych. Wprowadzenie do obrotu opcji na VIX postulowano już w 1993 r., kiedy to skonstruowany został sam indeks VIX (por. [Whaley 1993]). Jednak obrót giełdowy opcjami na VIX został rozpoczęty dopiero w 2006 r. Przyczyną tak dużego opóźnienia była natura samego indeksu VIX (który miał charakter instrumentu pochodnego). Ze względu na to, że nie da się zainwestować bezpośrednio w VIX, potrzebne było wykształcenie się płynnego rynku dla
* Opracowanie zostało przygotowane w ramach realizacji projektu badawczego 2011/03/B/ HS4/02298 finansowanego przez Narodowe Centrum Nauki. Wyrażone w nim poglądy są osobi-stymi poglądami autorów, a nie instytucji, z którymi są związani.
instrumentu, który mógłby spełniać rolę instrumentu bazowego dla opcji – stały się nim kontrakty futures na VIX. Kontrakty te pojawiły się w obrocie dopiero w 2004 r., kiedy to formuła indeksu VIX poddana została istotnej modyfikacji, uwalniającej ją od ograniczeń o charakterze metodologiczno-modelowym, gdyż opartej na metodzie stosowanej przy wycenie kontraktów variance swap1.
Obecnie rynek opcji na VIX to ponad 9 mln otwartych pozycji dziennie o łącznej wrażliwości na zmianę zmienności implikowanej (tzw. vega) ok. 200 mln USD, przy zakresie cen wykonania od 70% do ponad 300% bieżącej wartości indeksu (w zależności od terminu wygaśnięcia opcji). Podobnie jak kontrakty futures na VIX, opcje umożliwiają inwestorom zabezpieczanie długich pozycji w akcjach (przede wszystkim w indeksie S&P 500 i aktywach silnie z nim skorelowanych) oraz wyrażenie kierunkowych poglądów co do kształtowania się oczekiwanej zmienności. Inaczej jednak niż kontrakty futures, opcje umożliwiają uzyskanie pożądanej ekspozycji bez konieczności ponoszenia potencjalnie nieograniczonych strat w wypadku niekorzystnej zmiany indeksu (por. np. [Moran i Dash 2007] na temat pożytków z inwestowania w opcje na VIX). Mimo zalet i wyraźnego rozwoju rynku opcji na VIX, literatura na ten temat nadal jest uboga.
Pierwsza propozycja sposobu wyceny opcji na zmienność implikowaną przed-stawiona została przez R.E. Whaleya [1993], który był również pomysłodawcą konstrukcji samego indeksu VIX. Proponował on mianowicie potraktowanie kontraktu terminowego na indeks VIX jako instrumentu bazowego w modelu F. Blacka [1976]. Jednak znaną wadą modelu Blacka jest założenie o stałości zmienności, co nie da się praktycznie pogodzić z empirycznymi obserwacjami zachowania się tego parametru. W literaturze przedmiotu można znaleźć inne podejścia umożliwiające rezygnację z tego założenia przy zachowaniu możliwości wyprowadzenia wzorów na cenę opcji w postaci analitycznej. Przykładem może być propozycja A. Grünbichlera i F.A. Longstaffa [1996], którzy wykorzystali dość prosty proces stochastyczny (podobny do procesów rozważanych przez J. Hulla i A. White’a [1987] czy S.L. Hestona [1993]) w roli narzędzia opisu dyna-miki indeksu zmienności implikowanej. Oba te podejścia – Blacka oraz Grün-bichlera i Longstaffa – nie są jednak wolne od zasadniczej słabości, polegającej na odrębnym traktowaniu problemu wyceny opcji na VIX oraz analizy ewolucji indeksu S&P 500. Podejście takie może dawać w efekcie obciążenie wrażliwości
1 Informacje na temat metod wyceny kontraktu variance swap można znaleźć np. w [Dupire
2004, Demeterfi i in. 1999, Carr i Madan 2001]; konstrukcja indeksu VIX przedstawiona jest szcze-gółowo w [CBOE 2003]. Autorzy opracowania [Jabłecki i in. 2014] omawiają w dość przystępnej formie historię indeksu VIX oraz jego związek z metodą wyceny kontraktu variance swap.
ceny opcji na ryzyko zmiany zmienności implikowanej (tzw. vega)2. Dopiero Demeterfi i in. [1999] oraz P. Carr i D. Madan [2001] dokonali przełomu w tym zakresie. Ich prace pokazały, jak można w stosunkowo prosty i zarazem wolny od założeń modelowych sposób uzyskać pozycję w zmienności za pomocą statycznej replikacji. Zaproponowane przez nich rozwiązania stały się podstawą modyfikacji indeksu VIX [CBOE 2003], a także przyczyniły się do rozwoju teorii wyceny opcji na zmienność w sposób zapewniający spójność cen instrumentów pochod-nych i kosztów ich replikacji [Gatheral 2008, Sepp 2008, Lin i Chang 2010, Cont i Kokholm 2013].
Naszym zamiarem jest pokazanie kilku prostych „reguł kciuka” – tj. intuicji empirycznych, mających jednak pewne podstawy teoretyczne. Ułatwiałyby one analitykom i inwestorom ocenę kwotowań rynkowych, pokazując w syntetyczny sposób najważniejsze charakterystyki powierzchni zmienności z opcji na VIX. Najważniejsze z tych reguł są następujące:
1) zmienność implikowana opcji po cenie (ATM) na VIX jest silnie skorelo-wana z uśmiechem zmienności opcji na S&P 500;
2) zmienność implikowana opcji ATM na VIX zmniejsza się wykładniczo wraz z terminem wygaśnięcia opcji;
3) uśmiech zmienności opcji na VIX może być adekwatnie opisany popu-larnym modelem zmienności stochastycznej SABR [Hagan i in. 2002].
Powyższe reguły pozwalają na kwotowanie ceny (wyrażonej w zmienności implikowanej) opcji na VIX o dowolnym terminie i cenie wykonania, które daje w efekcie wartość zbliżoną do rynkowej. Proponowane przez nas proste reguły opierają się na obserwacjach empirycznych, a nie na ścisłej logice bezarbitra-żowej, nie mogą więc być substytutem bardziej formalnych modeli. Ułatwiają one jednak interpretację i analizę danych rynkowych, co pozwala na uczynienie z nich ważnego elementu budowy portfela i oceny strategii inwestycyjnych.
2. S&P 500, VIX i opcje na oba indeksy
Indeks S&P 500 (oznaczany dalej SPX) to oczywiście indeks 500 najwięk-szych spółek notowanych na giełdzie nowojorskiej (NYSE lub NASDAQ), VIX zaś jest miarą oczekiwanej zmienności na rynku akcji wyznaczoną na podstawie cen opcji na SPX. VIX był początkowo wyliczany jako średnia arytmetyczna zmienności implikowanych z 8 najbardziej płynnych kontraktów, 4 typu call i 4 typu put [Whaley 1993]. Jego obecna konstrukcja oparta jest na statycznej 2 Zjawisko zmienności zmienności jest szczególnie ważne przy strategiach dynamicznej
replikacji pozycji opcyjnych oraz przy wycenie bardziej egzotycznych instrumentów pochodnych (por. np. [Sepp 2008]).
replikacji variance swap, która korzysta ze wszystkich dostępnych opcji na SPX o określonym terminie wygaśnięcia [CBOE 2003]3. W indeksie VIX nie można zajmować pozycji bezpośrednio – tj. nie jest możliwe stworzenie instrumentu, którego wartość byłaby wyrażona poziomem VIX4. Wady takiej nie mają jednak kontrakty futures, które wprowadzone zostały w 2004 r. Rozliczane są one poprzez odniesienie do poziomu indeksu VIX w dniu wygaśnięcia kontraktu. Tak więc ceny tych kontraktów wyrażają oczekiwania uczestników rynku co do zmienności S&P 500, jaka będzie uwzględniona w cenach 30-dniowych opcji w terminie zapadal-ności kontraktu. To właśnie kontrakty futures na VIX stanowią instrument bazowy dla wprowadzonych w 2006 r. opcji na VIX. Opcje te są to opcje europejskie; rozlicza się je gotówkowo do wartości indeksu VIX w dniu wygaśnięcia (zbiega do niej także cena kontraktu futures na indeks VIX). Obecnie dostępne są opcje tylko na 6 kolejnych miesięcy, mimo to opcje na VIX są na drugiej pozycji ze względu na płynność (po opcjach na SPX) wśród opcji kwotowanych przez CBOE/CFE. Liczba otwartych kontraktów dla nich zaczyna ponadto powoli dorównywać pod względem liczby otwartych kontraktów opcjom na SPX (rys. 1).
st y 0 6 st y 1 4 st y 1 3 st y 1 2 st y 1 1 st y 1 0 st y 0 9 st y 0 8 st y 0 7 450 500 Opcje na SPX m ln k on tr akt ów ty s. k on tr ak tów Opcje na VIX VIX futures (prawa oś)
400 350 300 250 200 150 100 50 0 30 25 20 15 10 5 0
Rys. 1. Liczba otwartych pozycji w kontraktach na zmienność
Źródło: obliczenia własne na podstawie danych Bloomberg i CBOE (www.cboe.com).
3 Por. także [Jabłecki i in. 2014], gdzie historia indeksu VIX i jego związek w metodą wyceny variance swapa omówione są bardziej szczegółowo. Przedstawiamy tam również korzyści
z uwzględnienia pozycji na zmienność w portfelu.
4 Jest tak dlatego, że VIX wyraża w każdej chwili oczekiwaną zmienność S&P 500 w ciągu
kolejnego miesiąca (od tej chwili). Otwarcie na przykład pozycji w jednomiesięcznym variance swapie dałoby po tygodniu zysk na takiej pozycji równy sumie zysku (ew. straty) narosłego w ciągu tygodnia i oczekiwanej zmienności w następnych 3 tygodniach. VIX tego dnia wyrażałby zaś ocze-kiwaną zmienność w następnych 4 tygodniach.
200 150 100 50 0 Termin Spot/ cena wykonania 300 150,0 110,0 102,5 97,5 90,0 60,0 30,0 lut-14
mar-14 kwi-14 maj-14 cze-14
wrz-14 gru-14 200 150 100 200 50 0 Termin Spot/ cena wykonania 300 150,0 110,0 102,5 97,5 90,0 % % 60,0 30,0 lut-14
mar-14 kwi-14 maj-14 cze-14
wrz-14 gru-14
Rys. 2. Powierzchnia zmienności implikowanej z opcji na S&P 500 (górny panel) oraz opcji na VIX (dolny panel) na dzień 30.01.2014 r.
Źródło: opracowanie własne na podstawie danych Bloomberg i CBOE (www.cboe.com). W kon-strukcji powierzchni zmienności dla cen wykonania poniżej aktualnego poziomu S&P 500
wyko-rzystano opcje put i vice versa.
Naturalnym punktem wyjścia do wyceny opcji na VIX jest klasyczny model Blacka-Scholesa (por. [Black i Scholes 1973, Merton 1973, Black 1976]). Kluczowe założenie tego modelu mówi o tym, że zmienność opisująca dyfuzję cen instru-mentu bazowego jest nieodłączną cechą tego instruinstru-mentu, a nie parametrów kontraktu opcyjnego. Oznacza to, że niezależnie od terminu opcji i cen wykonania
związane z nimi zmienności powinny być zawsze takie same – i to dla każdego instrumentu bazowego.
Rys. 2 pokazuje, jak dalekie od rzeczywistości jest jednak to założenie. Zmien-ność implikowana opcji na SPX i VIX nie jest bowiem stała, jak zakładał F. Black, ale zmienia się w zależności od poziomu ceny wykonania (strike) i terminu do zapadalności kontraktu, tworząc powierzchnię o złożonym kształcie. Ta zależ-ność zmienności implikowanej od terminu i ceny wykonania opcji powoduje, że model Blacka-Scholesa nie może być właściwym narzędziem do wyceny opcji na SPX czy VIX. Fakt ten spowodował pojawienie się bardziej zaawansowa-nych metod wyceny (por. [Gatheral 2008, Cont i in. 2013, Lin i Chang 2010]). Warto jednak zauważyć, że model Blacka-Scholesa stosowany jest nadal, tyle że głównie jako wygodny sposób kwotowania cen. Wzajemna jednoznaczność odwzorowania pomiędzy cenami opcji a ich zmiennościami implikowanymi, a także łatwość ustalenia pozostałych parametrów modelu zastosowanego do przypadku opcji europejskich doprowadziły bowiem z czasem do wykształcenia się na rynku praktyki podawania cen opcji właśnie w jednostkach zmienności implikowanej. Dlatego też chcemy pokazać, na podstawie intuicji mających pewne oparcie w modelach teoretycznych, kilka empirycznych prawidłowości dotyczą-cych kształtowania się zmienności implikowanej opcji na VIX. Prawidłowości te pozwolą na podanie ceny opcji na VIX (w jednostkach zmienności implikowanej) dla dowolnego terminu i ceny wykonania.
3. Prosty model wyceny opcji na VIX
Modele zmienności stochastycznej zaproponowane przez S.L. Hestona [1993] i J. Hulla [Hull i White 1987]5 stanowią zgrabne teoretyczne wyjaśnienie wspo-mnianej wcześniej empirycznej zależności implikowanej zmienności od ceny wykonania i czasu do wygaśnięcia opcji. Ich dużą popularność tłumaczy zapewne możliwość odzwierciedlenia typowych własności stóp zwrotu, jak ich powrót do średniej (mean reversion) czy tendencja koncentracji dużych i małych stóp zwrotu (volatility clustering). Jabłecki i in. [2014] pokazują, że w modelach zmienności stochastycznej uśmiech zmienności instrumentu bazowego jest proporcjonalny do parametru określanego mianem „zmienności zmienności”.
Dla naszego badania oznacza to, że możemy oczekiwać, iż uśmiech zmien-ności w opcjach na SPX będzie skorelowany ze zmienzmien-nością zmienzmien-ności SPX. Dodatkowo, sama zmienność zmienności powinna być skorelowana ze zmienno-ścią implikowaną VIX. Pozwala to ostatecznie – na podstawie ogólnego modelu
teoretycznego – na formułowanie testowalnej hipotezy, że zmienność implikowana VIX jest skorelowana z uśmiechem zmienności SPX.
W pierwszym kroku weryfikacji tej hipotezy oszacowaliśmy prostą regresję liniową zmienności implikowanej z opcji na VIX względem uśmiechu zmienności implikowanej w opcjach na SPX. Zmienność implikowaną VIX sparametryzo-waliśmy jako interpolowaną jednomiesięczną zmienność implikowaną ATM. Uśmiech zmienności SPX (SPX skew) zdefiniowaliśmy zaś jako różnicę jedno-miesięcznych zmienności implikowanych z opcji o cenach wykonania odpowia-dających 90% i 120% ATMF, które wydają się dość płynne. Estymacja regresji została dokonana przy użyciu danych dziennych z serwisu Bloomberg za okres od stycznia 2010 r. do końca grudnia 2013 r. Wyniki przedstawia rys. 3. Jako referen-cyjny przyjęliśmy termin 1M, co wymagało interpolacji obserwowanych na rynku zmienności implikowanych o różnych terminach do wygaśnięcia. SPX skew jest zdefiniowany jako różnica jednomiesięcznych zmienności implikowanych dla poziomów strike 120% i 90% względem ATMF. Oszacowana metodą najmniej-szych kwadratów zależność ma postać VIX 1M IV = 4,1434 × SPX skew + 36,039 przy R2 = 0,6649. Dopasowanie modelu wydaje się dość dobre (R2 = 0,66), w szczególności w relacji do obserwowanego na rynku spreadu bid-ask. Przy-kładowo, 30 grudnia 2013 r. przewidywana przez model wartość VIX ATM IV wyniosła 0,59 wobec 0,54 na rynku, przy spreadzie ask-bid ok. 6 pkt proc.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 5 10 15 20 25 30 Z m ie nn ość imp li ko wa na VI X 1 M SPX 90–120 skew (pkt proc.)
Rys. 3. Zależność zmienności implikowanej VIX od uśmiechu zmienności SPX (styczeń 2010–grudzień 2013)
Źródło: opracowanie własne na podstawie danych Bloomberg.
Tak oszacowany model pozwala na przybliżoną wycenę opcji na VIX, ale jesteśmy ograniczeni do przypadku opcji o terminie 1M i o cenie wykonania równej kursowi terminowemu. Jeśli chcemy dokonać wyceny dowolnej zwykłej
opcji na VIX, to konieczne jest sparametryzowanie całej powierzchni zmienności, co oznacza powiązanie uśmiechu zmienności SPX ze zmiennościami implikowa-nymi o innych terminach i dla innych poziomów ceny wykonania.
Wychodząc od ogólnego modelu teoretycznego zmienności stochastycznej, autorzy pracy [Jabłecki i in. 2014] pokazują, że zmienność implikowana ATM w dowolnym terminie wyraża się następującym równaniem:
σ (t) = Σ + [σ1M(t) – Σ] × e (1M – t) λ, (1)
gdzie Σ jest długookresową wartością średnią, a λ szybkością, z jaką σ(t) zbiega do Σ. Oszacowania Σ i λ zostały wyznaczone na podstawie minimalizacji błędu średniokwadratowego z dopasowania równania (1) do szeregów czasowych zmien-ności implikowanej VIX ATM 1M, 2M i 3M od stycznia 2010 r. do końca grudnia 2013 r. (dane dzienne). Oszacowane wartości wyniosły Σ = 0,45 i λ = 3,8. Średni błąd oszacowania (w wartości bezwzględnej) wyniósł 2,3 pkt proc. dla zmienności 2M i 2,7 pkt proc. dla zmienności 3M, czyli mniej niż średni spread ask-bid. Rys. 4 przedstawia wartości empiryczne trzymiesięcznej zmienności impliko-wanej na tle wartości wyliczonych z modelu.
Przedstawione powyżej wyniki pozwalają powiązać obserwowany na rynku uśmiech zmienności SPX ze zmiennością implikowaną VIX ATM o dowolnym terminie. Dla pełnego sparametryzowania powierzchni zmienności VIX potrzebny jest więc jeszcze opis zależności zmienności implikowanej VIX od ceny wyko-nania. Zależność taka może być wyrażona za pomocą modelu uśmiechu zmien-ności SABR [Hagan i in. 2002], który przedstawia dynamikę kontraktu termino-wego fT (t) następującymi równaniami:
d fT(t) = [fT(t)]βσ(t)TdZT(t) (2)
σ(t)T = ηTσ(t)TdWT(t) (3)
dZT(t) dWT(t) = rdt, (4) gdzie η oznacza zmienność zmienności, a r jest stałym współczynnikiem kore-lacji procesów dZ i dW. Nachylenie krzywej zmienności jest w modelu opisane parametrami β i r. W szczególnym przypadku, gdy β = 0, SABR redukuje się do modelu Bacheliera dla instrumentu bazowego (ze zmiennością stochastyczną), a dla β = 1 otrzymujemy lognormalną dynamikę instrumentu bazowego znaną z modelu Blacka-Scholesa.
Jedną z ważniejszych zalet modelu SABR jest możliwość analitycznego wyprowadzenia wzoru na uśmiech zmienności jako funkcji ceny wykonania. Kalibracja modelu SABR to znalezienie takiego zestawu parametrów σ, β, r oraz η, aby dla danych T oraz f(t) wartości zmienności implikowanych wyliczo-nych z modelu SABR różniły się możliwie najmniej od wartości obserwowa-nych na rynku. Autorzy pracy [Hagan i in. 2002] pokazują jednak, że dla tych
samych danych można skalibrować uśmiechy z różnymi wartościami β. Oznacza to, że oszacowanie tego ostatniego parametru powinno być niezależne od samej kalibracji. Istnieją argumenty teoretyczne sugerujące, że zmienność powinna mieć rozkład zbliżony do lognormalnego. Uwzględniając dodatkowo stabilność rozwiązań numerycznych, jesteśmy skłonni przyjąć, że β = 0,999. Inne analizy numeryczne wskazują, że r nie zmienia się istotnie w zależności od terminu opcji i wynosi ok. 0,7; wartość η wydaje się zaś zmniejszać potęgowo z T jak ~0,5T –0,75. Te ostatnie wyniki są zbliżone do uzyskanych przez J. Gatherala [2008].
0 0,2 0,4 0,6 Zm ien no ść i m pl ik ow an a 0,8 1 1,2 1,4
23-lut-10 23-lut-11 23-lut-12 23-lut-13
VIX ATM IV 3M VIX ATM IV 3M model
Rys. 4. Wartości empiryczne VIX ATM 3M IV i dopasowane na podstawie modelu
Źródło: opracowanie własne na podstawie danych Bloomberg.
Łącząc wszystkie otrzymane dotychczas wyniki, możemy oszacować wartości zmienności implikowanych dla dowolnego terminu i poziomu strike. Inaczej mówiąc, otrzymane wyniki pozwalają wycenić dowolną opcję na VIX. Rys. 5 przedstawia obliczone w ten sposób teoretyczne wartości zmienności implikowa-nych opcji na VIX dla dwóch różimplikowa-nych dat (6.06.2013 r. i 31.12.2013 r.) i dwóch terminów (odpowiednio 104 dni i 50 dni). Jak widać, ceny teoretyczne są w obu wypadkach zbliżone do kwotowań rynkowych.
4. Podsumowanie
Celem niniejszego opracowania było znalezienie kilku łatwych do zastoso-wania w praktyce i jednocześnie ugruntowanych w teorii heurystycznych reguł, które umożliwiłyby parametryzację powierzchni zmienności VIX. Reguły takie, przedstawione tu przez nas, opierają się na związku uśmiechu zmienności
S&P 500 ze zmiennością VIX. Mimo swej prostoty reguły te pozwalają na otrzy-manie cen zbliżonych – z dość dobrą dokładnością – do kwotowań rynkowych. Zdajemy sobie oczywiście sprawę, że proponowane przez nas rozwiązanie nie może zastąpić pełnego formalnego modelu wyceny opcji na VIX. Jest ono raczej rodzajem praktycznego i prostego narzędzia obliczeniowego, które na podstawie cen bardziej płynnych instrumentów (opcje na SPX) przybliża ceny instrumentów
0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 - 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Cena wykonania
IV bid IV ask IV model
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 - 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Cena wykonania Zm ien no ść i m pl ik ow an a Zm ien no ść i m pl ik ow an a
Cena wykonania podana w jednostkach k/100. Uwaga: IV bid, IV ask i IV model oznaczają odpowiednio: zmienność implikowaną bid, ask i teoretyczną, obliczoną na podstawie modelu.
Rys. 5. Zmienności implikowane teoretyczne na tle rynkowych dla opcji na VIX 31.12.2013 r. z terminem 19.02.2014 r. (górny panel) oraz dla opcji na VIX 6.06.2013 r.
z terminem 18.09.2013 r. (dolny panel)
Źródło: opracowanie własne na podstawie danych dotyczących cen rynkowych zaczerpniętych z systemu Bloomberg.
mniej płynnych. Z tej perspektywy naturalnym zastosowaniem zaproponowanej powyżej metody byłaby parametryzacja powierzchni zmienności i wycena opcji mniej płynnych, np. uruchomionych 4 lata temu opcji na europejski indeks zmien-ności VSTOXX.
Literatura
Alexander C. [2008], Market Risk Analysis, t. 3, Wiley & Sons, London.
Black F. [1976], The Pricing of Commodity Contracts, „Journal of Financial Economics”, nr 3(1).
Black F., Scholes M. [1973], The Pricing of Options and Corporate Liabilities, „The Jour-nal of Political Economy”, vol. 81, nr 3.
Carr P., Madan D. [2001], Towards a Theory of Volatility Trading [w:] Option Pricing,
Interest Rates and Risk Management, Handbook in Mathematical Finance,
Cam-bridge University Press, CamCam-bridge.
CBOE [2003], The CBOE Volatility Index, VIX, Chicago Board Options Exchange. Cont R., Kokholm T. [2013], A Consistent Pricing Model for Index Options and Volatility
Derivatives, „Mathematical Finance”, nr 23(2).
Demeterfi K., Derman E., Kamal M., Zou J. [1999], A Guide to Volatility and Variance
Swaps, „The Journal of Derivatives, Institutional Investor Journals”, nr 6.
Dupire B. [2004], A Unified Theory of Volatility [w:] Derivatives Pricing: The Classic
Collection, red. P. Carr, Risk Books.
Gatheral J. [2008], Consistent Modeling of SPX and VIX Options, Bachelier Congress. Grünbichler A., Longstaff F.A. [1996], Valuing Futures and Options on Volatility,
„Jour-nal of Banking and Finance”, nr 20(6).
Hagan P.S., Kumar D., Lesniewski A.S., Woodward D.E. [2002], Managing Smile Risk, „Wilmott Magazine”, September.
Heston S.L. [1993], A Closed-form Solution for Options with Stochastic Volatility with
Applications to Bond and Currency Options, „Review of Financial Studies”, nr 6(2).
Hull J., White A. [1987], The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities, „The Journal of Finance”, nr 42(2).
Jabłecki J., Kokoszczyński R., Sakowski P., Ślepaczuk R., Wójcik P. [2014], Volatility as
an Asset Class. Obvious Benefits and Hidden Risks, Peter Lang, Frankfurt am Main.
Lin Y.N., Chang C.H. [2010], Consistent Modeling of S&P 500 and VIX Derivatives, „Journal of Economic Dynamics and Control”, nr 34(11).
Merton R.C. [1973], Theory of Rational Option Pricing, „The Bell Journal of Economics and Management Science”, vol. 4, nr 1.
Moran M.T., Dash S. [2007], VIX Futures and Options: Pricing and Using Volatility
Products to Manage Downside Risk an Improve Efficiency in Equity Portfolios, „The
Journal of Trading”, Institutional Investor Journals, vol. 2, nr 3.
Sepp A. [2008], VIX Option Pricing in a Jump-diffusion Model, „Risk Magazine”, April. Whaley R.E. [1993], Derivatives on Market Volatility: Hedging Tools Long Overdue,
