Eine drei-dimensionale singularitäten - methode zur berechnung der oszillierenden hydrodynamischen grossen für die gekoppelte tauch- und stampfschwingung eines fahrenden schiffes in einer ebenen längslaufenden welle

Hamburg, Oktober 1969 LCHNISC Laboratorium voor

Scheep3hydroh,

ft.rch;ef Mekelweg 2, 2628 _{CD DeIft} 15- ib87 _{Fa* O15183}

INSTITUT FUR SCHIFFBAU DER UNIVERSITXT HAMBURG Bericht Nr. 261

Eine dreidimensionale Singu1aritten - Methode zur Berechnung der oszillierenden hydrodynami-schen Größen für die gekoppelte Tauch- und Stampfschwingung eines fahrenden Schiffes In einer ebenen l.ngslaufenden Welle

von

Für das Vertrauen, welches mein verehrter Lehrer1

Herr Professor Dr.-Ing. O. GRIÏi in mich gesetzt

hat, indem er mir die Bearbeitung eines Themas

überließ, dessen Behandlung ohne seine richtung=

weisenden Vorarbeiten auf dem Gebiet der Schiffs=

schwingungen im Seegang unverleichlich viel

schwerer gewesen wäre, möchte ich an dieser Stelle

meinen aufrichtigen Dank sagen.

Die zum Teil hoffnungslos erscheinenden Zwischen=

stadien bei der numerischen Behandlung des vor=

gelegten Problems mit Hilfe elektronischer Rechen

anlegen konnten nur überwunden werden, weil mir

sowohl am Rechenzentrum des DEUTSCHEN ELEKTRON

SYNCHEOTON in Hamburg als auch am DEUTSCEN

RECHENZENTRUM in Darmstadt die Benutzung der

Rechenanlagen in einem Umfange gestattet wurde

der weit über das übliche Iiaß hinausging.

Bei den Leitern dieser Institutionen und ihren

Mitarbeitern, die so entscheidend zum Gelingen

dieser Arbeit beigetragen haben, möchte ich mich

auf das herzlichste bedanken.

Dank gebührt auch der DEUTSCHEN FORSCHU1GSGEi'iEINSCHAFT,

deren finanzielle Unterstützung in der Schlußphase

dieser Arbeiten deren erfolgreichen Abschluß

2.

o

Inhalt des HAUPI'-TEILS

Se it

Begründung und Przisierun der Aufgabenstellung I

Festlegung des Koordinaten-Systems und einige einlührende Bemerkungen zum mathematischen Strömungs-iviodel 5

Allgemeine Formulierung der Randbedingungen 9

Entwicklung der speziellen Potential-Ansätze 33 Bestinmuns der Singularitten-1ntensitten mit Hilfe eines sreziellen Verfahrens zur näherungsweisen Erfüllung der

KörDer-Randbedingungen am Schiff 48

Der lineare Anteil der hydrodynamischen Druckverteilung auf der Schiffsoberflche infolge reiner Potentialströ= mung bei den einzelnen BewegungsThlien und die daraus

resultierende Vertikaikraft-Verteilung ... 66 Berechnung der gekoprelten Tauch- und Stampfschwingung

des Schiffes, der Deformationen der Wasserobeflche am Schiff und der Relativbewegung zwischen letzterer

und der schiffafesten Wasserlinie =o 72

Darstellung von Rechenergebnissen für die in /2/ benutzte

Form eines Theries 60r - Schiffes 75

Nachwort 91

Schrifttum 94

Bildfolge

Inhalt des ANHANGS

A Einzelheiten über die numerische Abschötzung der in den Körper-Randbedingungen und in den Ausdrücken für den

oszillierenden hydrodynamischen Druck benötigten Gröfen

des stationären Störströmungsfeldes I

Numerische Auswertung der Einflußfunktionen der das

Ausstrahlungsfeld erzeugenden Singularitten 4

Analytische Darstellung der Einflußfunktionen der das

Nahfed erzeugenden Singularititen 44

Eingabe der Schiffsform in das Rechenprogramm 52

3

4

I

'1. Berründun und Präzisierung der Aufgabenstellung

Die rein theoretische Behandlung der Tauch- und Stampfbewegun= gen eines in einer regelmäßigen Velle fahrenden Schiffes vrur= de in den vergangenen Jahren, soweit es die Bestimmung der bei diesen Bewegungen auftretenden hydrodynamischen Vertikal=

kräfte betrifft, in der Regel auf der Grundlage einer soge= nannten istrip_theoryl durchgeführt.

Dabei wird das Schiff in seiner Längsrichtung gedanklich in einzelne Sektionen aufgeteilt und für jede dieser Sektionen eine ebene Umströmung in Ebenen senkrecht zur Schiffs-Längs= achse angenommen, wobei natürlich auch die Querschnittsände= rung innerhalb der Sektion vernachlässigt und ein unendlich langer Zylinder mit dem Querschnitt der Sektions-Mitte be= trachtet wird.

Lie potentialtheo.retische Behandlung dieser zweidimensionalen oszillierenden Querschnitts-Umströmi.ng enthält weder den Ein= f luß der Fahrtgeschwindigkeit des Schiffes noch den Einfluß der vor allem an den Schiffsenden stark ausgeprägten Dreidi= mensionalität des oszillierenden Strömungsfeldes.

Die mit Hilfe dieser Methode mögliche Berechnung hydrodynami= sche.r Kräfte in Schwingungsrichtung eines spant-ähnlichen Profils (üblicherweise Lewis-Spanten) liefert darin für jede Sektion eine über die Sektionslänge gleichmäßig verteilte hydrodynamische Streckenbelastung.

Beim gedanklichen Grenzübergang zu unendlich vielen ini'ini= tesimal kleinen Sektionslängen kann man auf diese Weise eine über die Schiffs länge kontinuierlich verteilte1 stetig verän= derliche hydrodynamische Vertikalbelstung konstruieren.

Lie üblicherweise zugrundegelegte linearisierte potential= theoretische Behandlung der hier betrachteten ebenen oszil= lierenden Querschnitts-Uxiströmung gestattet es, das resultie rende Ströniungsfeld als Superosition gedanklich getrennt be= handelter Einzel-Strömungsfelder (Tauchen in glattem Wasser, Stampfen in glattem Wasser, vertikal fixiertes Schiff in erregender Welle) zu betrachten.

Für eine beliebige unendlich kurze Schiffs-Sektion läßt sich dann für jeden der eben genannten gedanklich getrennten Um= strömungsfälle eine vertikal gerichtete oszillierende Relativ=

2

bewegung zwischen dem Spiegel and der Glattwasser-Schwimmebene des Sektions-Querschnittes bestimmen.

Jeder dieser vertikalen Relativbewegungen sind, dann über die zeitlichen Ableitungen eine zeitlich veränderliche Geschwin= dikeit und eine zeitlich veränderliche Beschleunigung zuge=

ordnet.

Lie dabei auf eine Sektion auSgebrachte vertikale hydrodyna= mische Streckenbelastung ist aus zwei Anteilen zusammengesetzt, von denen der eine proportional der Beschleunigung und der an= dere proportional der Geschwindigkeit der jeweiligen vertika= len Relativbewegung ist.

Der beschleunigungs-proportionale Anteil kann in jeder ein= zelnen Sektion als Produkt aus einer gleichmäßig verteilten sogenannten hydrodynamischen Massenbelegung und der dort herrschenden Vertikalbeschleunigung gedeutet werden.

1it Hilfe der hypothetischen Vorstellung, daß die 'beschleu= nigungs-proportionalen hydrodynamischen Vertikaikräfte in den einzelnen Sektionen als Folge dort aufgebrachter zusätzlicher physikalischer Massen auftreten, die sich bei Fahrt des Schif= fes relativ zwn Schiff in Längsrichtung verschieben und sich entsprechend der nderung von Spantform und vertikaler Rela= tivbewegung verändern, kann über Impulsänderungs-Betrachtun= gen ein zusätzlicher oszillierender hydrodynanìischer Vertikal= kraft-Anteil ausgewiesen werden, der proportional zui Fahrt= geschwindigkeit V ist.

Die forñale Ableitung dieser Fahrtgeschwindigkeits-Korrektur liefert für alle drei betrachteten Bewegungsfälle eine zu= sätzliche Verteilung oszillationsgeschwindigkeits-proportio= naler hyd.rodynamischer Vertikaikräfte über die Schiffslänge. Bei der Stampfbewegung tritt nach diesem Formalismus aufe.r= dem noch ein Korrekturglied au!, welches als Ánderung der örtlichen hydrostatischen Rückstellkräfte gedeutet werden

k a

nfl.

Au! dem zuvor geschilderten Wege wird - wenn auch in sehr. unbefriedigender und zweifelhafter Weise- wenigstens ver=

sucht, auch bei Anwendung einer einfachen ustrip_theory eine Absch'itzung des Einflusses der FahrteschwindigIceit des Schif= fes au. dìe oszillierenden hydrodynamischen Vertikaikräfte

-3-durchzufübien. Eine Korrektur, die der tatsächlich vorhandenen Breidimensionalität der oszillierenden Schiffskörperumströmung k'ecbnung trägt, wird nicht vorgenommen.

In weiterffthrenden theoretischen Arbeiten von GRIM und später auch von EVMAN ist; versucht worden, sowohl die Dreidimensio= nalität der oszillierenden TJmströmung des in einer längslau= renden Welle zu Tauch- und Stampí'schwingungen angeregten Schif= les als auch dessen Fahrtgeschwindiglceit mit zu erlassen.

GRIM und NEWIViAN sind dabei verschiedene Wege gegangen.

NEWMAN hat dos Problem sehr allgemein, allerdings nur für ein sogenanntes 'dünr'es" Schiff umfassend formuliert, eber kein für praktische Anwendungen brauchbares Verfahren angegeben. GRIM hat für den Grenzfall V=o praktisch verwertbare Nherungs= lösungen mit Berücksichtigung der Lreidimensionalitt der Urn strömung erarbeitet (siehe /3/).

Er flihrt dabei eine der Annahme eines dünnen Sciffes ähnliche Vereinfachung nuï bei der Berechnung der Korrekturen ein, die infolge der Dreidimensionalität der Umströmung an der cul der Basis einer einfachen strip-theoryt berechneten oszillierenden hydrodynamischen Vertikalkraftverteilung vorzunehmen sind.

Als nächstes muß nun di Frage geklärt werden, wie sich bei den in der Praxis üblichen, im allgemeinen recht völligen Schiffsformen der kombinierte Einfluß der Fahtgeschwindigkeit des Schiffes und der JJreidirnensionalität seiner oszillierenden 1Jmströmun beim Stampfen und Tauchen in einer regelrnhßigen Wel= le auf die dabei auftretenden hydrodynamischen Vertikalk.rfte auswirkt.

4

Die Beantwortung dieser Frege ist das Hauptziel der hier vore=

legten Arbeit.

Bei der potentisitheoretischen Abhand1un

dieses Problenis wird

eine reibungs- und wirbeifreie T5mströmun

und eine völlig glat=

te Oberfläche des benetzten Schiffskärpers vorausgesetzt.

Es wird weiter sngenommen, daB die von vorn oder hinten kommende

1ngs1aufende ebene Welle das Schiff nur zu einer gekoppelten

Tauch- und Stampfschwingung anregen kann, sodaß ein zur

iViittel-Lingsebene des Schiffes symmetrisches Strmungsbild vorausgesetzt

werden kann, wenn der Unterwasserteil des Schiffskörers eben=

falls symmetrisch zu seiner Iviittel-Lngsebene ist.

Die Bewegungen der Wasserteilchen in der erregenden Welle, die

dadurch angeregten Tauch- und Stampfschwingungen des Schiffes

und die infolge der Wasser-Reflexion durch den Schiffskdrper

er=

zeugten oszillierenden Störströrr.ungen sollen als so klein anre

nonmien werden, daß eine sogenannte Linearisierung des potential=

theoretischen Problems gerechtfertigt erscheint.

Mit dieser Annahme wird aber nicht die Betrachtung eines dünnen

oder schlanken Schiffes vorausffsetzt.

Wegen der für die oszillierenden Anteile der Störströmungen ver=

einbarten Linearisierung des Problems körmen bei einer regelrr;=

ßigen erregenden Welle die instationären Stör-Potentiale in ih=

rer Abhängigkeit von der Zeit als nur von einer I'requenz, nirnlich

der Begegnungsfrequenz zwischen Schiff und Welle abhängige) zeit=

lich harmonische Funktionen angesetzt werden..

Die für V=consto notwendigen1 die Dreidimensionalität der S.trö=

irung berücksichtigenden Potential-Ansätze, die schon von vorn=

herein die noch abzuleitende linearisierte Pandbedingun.g an der

freien Wasseroberfläche erfüllen, werden aus den in /3/ fLir V=o

angegebenen dreidimensionalen Ansätzen entwickelt.

Die so weiterentwickelten Ansätze erfiillen außerdem die soge=

nannte Bodenbedingung fur unendliche Wassertiefe, fur die das

hier vorliegende Problem behandelt werden. soll, und sie enthal=

ten noch unbekannte Funktionen, die allein aus den Randbedingun=

gen an der Schiffsoberfläche bestimmt werden können.

Die Körer-Randbedingungen werden zwar nur näherungsweise erfüllt,

doch es gehen in sie wesentliche Einzelheiten über die örtliche

Spantform ein, was bei Anwendung einer sogeriannt;en "slender-body

Die Dreidirnensionelität der Umströuiung und derjenige Teil des

Fahrtgeschn'indigkeits-Einflusses, der von der parallelen Rela=

tivströrnung auf die oszillierende Störströmung ausgeübt wird,

finden sowohl in den spezifizierten Potential-Ansätzen als auch

bei der Auswertung der Körper-RandhedingunRen ihre im Sinne der

linearisierten Theorie volle Berücksichtigung.

Darüber hinaus wird versucht, wenigstens über die Körper-Rand

bedingungen die zusätzliche Beeinflussung der oszillierenden

Störströmung durch die stationäre Störströinung zu erfassen.

Im Rahmen der hier vorgelegten Arbeit kann für diesen zushtzli=

chen Fahrtgeschwindigkeits-Einfluß aber nur eine grobe Abschät=

zung vorgenommen werden, weil für die Beschreibung des stationä

ren Störströmungsfeldes eine Potential-Funktion verwendet wird,

die eigentlich nur bei der Behandlung der stationären Anströmung

tiefgetauchter dünner Doppel-Körper herangezogen werden darf.

Es is

aber zu erwarten, daß auf diese Weise wenigstens ein

TJrteil über die Größenordnung dieses zuletzb erwähnten. Fahrtge=

schwindigkeits-Einflusses abgegeben werden kann.

2. Festieçung des Koordinaten-Systems und einige einführende

Beinericungen zum mathematischen Strömungs-I\odell

Die einzelnen Strömungsîelder sollen in einem

Koordinaten-ystem (O;x,y,z)

g

beschrieben werden, welches nur die reine Translationebewegung

des Schiffes mitmacht.

Wenn das Shjff unendlich dunn und außerdem keine

_{erregende Oher=}

flächenwelle vorhanden ist, dann soll die Ebene

z=o eine Flüche

konstanten Druckes (Atmosphärendruch) sein.

Tm ioordinaten-System (O;x,y,z) ecistiert

_{dann nur}

_{ie Farallel=}

strömung mit der Geschwindigkeit V

Bei Vorhandensein einer Strömungsatörung

_{inrolge des endlich}

-6-gen veranlaßt wird, ergeben sich unebene Flächen konstanten

Fliissigkeitsd.ruckes, von denen diejenige, deren Druck gleich

dem Atmosphbrendruck ist, in der extiiziten Form

(2. 1)

oder in der impliziten Form

= a -

Ç(x4y)

o

(2. 2)

im physikalischen Sinne als freie WasseroberfThche gelten soll.

Die Trenufläche zwischen Schiff und Wasser, die nahtios in

die freie Wasseroberfläche übergeht, sei analog, zu (2.2) durch

die implizite Form

-

E O

(2. 3)

gegeben.

Durch die aus F(x,y,z;t) und S(x,y,z;t) gebildete zusarnmenhän=

gende Flüssigkeitsflche wird der mathematische Raum (O;x,y,z)

in einen Ober- und Unterraurn aufgeteilt.

Das mathematische Modell des Strömungsfeldes muß nun

so be=

schaffen sein, daß es im IJnterrauni ein. von Wirbeln,

uellen,

Senken und höheren Singularitäten freies ideales

Flüssigkeits-Kont-inum beschreibt.

Es ist in allen Einzelheiten charakterisiert, wenn. eine Funktion

bekannt ist, die im gesamten Unterraum als

soge=

nannte Fotentialfunktion des Geschwindigkeitsfeldes definiert

ist.

Das Rauptchara.teristikum einer solchen Fotentialfunktion ist

die Erfüllung der sogenannten Laplace-Dgl.

+ _{+ O}

(2.4)

welche die mathematische Form der Rontinuitätsbedingung bei

Potential-Strömungen ist.

Die in einer beliebigen Richtung IT? auftretende Geschwind ig=

keitskoniponente des Strörnungsfeldes ist dann. im gesamten Unter=

-raum dureh die partielle örtlione Ableitun

LÍt sich ein solches Potential-trömungsfeld gedanklich als

Zusammensetzung mehrerer Teilfeider deuten, clanr kann ledem

einzelnen Teilfeld eine eigene Potentialfunktion zueordnet

werden. Die Potentialfunktion des resultierenden ßtröirungsfel=

dea ist dann die Summe der Potentialfunktionen der Strömungs=

teilfelder.

Bei dri in dieser Arbeit zu betrachtenden Strömungsvori.ngen

in der Umgebung und auf der benetzten Oberflche des fahrenden

und. von einer von vorn oder hinten kommenden ebenen, regelmd=

ßigen Oberflchenwelle zu Tauch- und Stampfschwingunen

ange=

regton Schiffes kann. die resultierende Potentialfunktion ini

Koordinatensystem (O;x,y,z) folgendermaßen in einzelne additive

Anteile zerlegt werden:

Potential der Paralleiströrnung

Potential der stationren Störströrnung

Potential der in.stationhren, oszilUerenden

St örströrnung

w)

()(i,?,iL) =

₊

vi)

Potential der oszillierenden Strömung in

der ungestörten, erregenden Welle

(Peletivhewegung im Koordinatensystem

(O;x,y,z))

Ç

(Xd;)

Potential der durch den Schiffakörrer

bewirkten instationren Störströniung

-w)

Die Potentialfunktionen

und

_Q

_{werden als bekannt vor=}

ausgesetzt. Einzelheiten dariiber werden später

_{noch angegeben.}

g)

Lie Aufahe besteht nun darin, sus noch abzuleitenden Rendbe=

dinunen die Fotentialfunktion

fur die durch den fah=

renden und osziliierend.en Schiffskrper bewirkten instation=

neri $törströniungcn zu ermitteln. Solche Pandbedingungen ergehen

sich z.B. an der freien Wasaeroberflche, sin benetzten Teil der

Schiffsoberfldche und an evtl. vorhandenen festen

uPeren Be=

írrenzungen des Vasserkörers, die aber in dem hier betrachteten

pall mit Ausnahme eines unendlich tief liegenden flechan Bodens

nicht vorhsnden sein sollen.

enn dann

ermittelt worden ist, dann ist das resultierende

Potential (2.

5)

voraussetzunp,sgemhß vollsthndig bestimmt.

Der resultierende Druck p,1t)

in einem beliebigen Punkt

(x,y,z) des Strömungsfeldes, z.B. auch in bewegten, in der be=

netzten Dchiffsoherf1che liegenden. Aufnunkten kann iber die

fur Fotentialströmungen geltende Forni der Bernoulli-Gleichung

IVíi t

= Lichte dea 1ediunis (hier konstant)

= Erdbeschleunigung

bestimmt werden. Die Konstante C in (2.

₇₎

_{gilt für den gesam=}

ten Tlnterraumn. Sie wird so bestirniit, daß bei reiner Parallel=

strömung, wo derPotentialansatz (2.

5)

übergeht in

?

t) -

-

T X1

aus (2.

7)

für z=o der resultierence Druck gleich dem Atiros=

rhörendruclr Ist. Unter dieser Voraussetzung eraiht sich

aus

(2.

7)

+ ì)

-+

kann mit (2. 8) statt (2.

7)

auch.

= hdromechapjScher Druck

= hydrodvnairischer Druck

(2. 7)

r

(Jxy)

+

₊

t

L )(

eschrieben werden.

. Allgemeine Formulierung der Randbedingungen

Die Randbedingungen werden zunächst für das resultierende Po= tential (2.

5)

formuliert. Dann wird versucht, unter bestimmten, noch zu besprechenden Kleinheitsannahmen aus diesen Randbedin= gungen für das resultierende Fotential sogenannte linearisierte Randbedingungen für das rein instationäre Potential

zu gewinnen. Es müssen dazu bestite Vereinbarungen getroffen werden, die sich anhand der folgenden, zunächst etwas umständ=

lich erscheinenden ausführlichen Ableitungen nach Ansicht des Verfassers am einleuchtendsten diskutieren lassen.

Es sollen unendliche Viassertiefe bei ebenem Boden und unbegrenzte horizontale Erstreckung der Flüssigkeit angenommen werden.

Daraus ergibt sich als erste die relativ einfach zu erfüllende Boden-Bedingung

//P)1

-?o O

auf die hier nicht näher eingegangen zu werden braucht.

Als zweite Randbedingung ist die aus zwei Anteilen bestehende Bedingung für die freie Oberfläche (2. 2) zu behandeln.

Aus der Bernoulli-Gleichung (2.

₉₎

ergibt sich der sogenannte dynamische Anteil dieser Randbedingung

Çt'yt)1)

Q bL t...,, u Z.. L Ç.X71) '1

r-Ç1) +

4 ₊

j

-

i

V

t

Der zweite, sogenannte kinematische Anteil der Randbedingung folgt aus der Forderung

I

-

= _ (2.

9)

lo

-O (substantielle Ableitung

i

weil durch

(Xy) =

_-

_o

eine substantielle Flüssigkeitsfläche beschrieben wird. Die Bedingung

(3. 3)

ergibt ausgeschrieben:

ptx;f),.)

₌

_[F

_F

F

Dt _{L i}

d1'

Elierin bestehen wegen der substantiell durchgeffthrten Ableitung, bei der die

Hil1Xeinzelnen Wasserteilchen betrachtet

werden, die folgenden Identititen:

-

r

X (3. 6)

r

Mit den aus (3. 4) folgenden partielLen Ableitungen

= ççy)

+

-Ç =0

),I) ) ()Çy.1L)

=0

ergibt sich aus

(3. 5)

_{die weiter spezifizierte Form der kine=} matischen Randbedingung an der freien Wasseroberfläche wie folgt:

Analog zur Aufteilung (2.

₅₎

des resultierenden Potentials in stationäre und rein instationäre Anteile kann auch fur die re= sultierende Deformation der freien Wasseroberfläche die ent= sprechende Aufteilung

vorgenommen werden.

Die beiden Einzeirandbedingungen (3. 2) und

(3. 7)

enthalten jede in sehr komplizierter Zusammensetzung stationäre und rein instationre Anteile, die sich ohne weitergehende Vereinfachun= gen nicht trennen lassen.

(3.

7)

(3. 8)

(3. 3)

(3.

4)

Grundsätzlich müssen die stationären Anteile von (3. 2) mit

den stationären Anteilen von (3. 7) und die rein instationären

Anteile von (3. 2) mit den rein instationären Anteilen von

(3. 7) zu je einer kombinierten Bedingung verknüpft werden.

Es soll nun angenommen werden, daß einmal die erregende Welle

eine kleine Wellenschräge hat und daß außerdem die durch die

erregende Welle bewirkte Tauch- und Stainpfschwingung des Schif=

fes so klein ist, daß die am Schiff reflektierten und

neu ent

stehenden komplizierten Wellensysteme zusammen mit der

erregen=

den Welle resultierende Obernlächendeformationen

ergeben,

deren Größen von der gleichen Ordnung sind wie die Deforrnatio=

nen der glatten Wasseroberfläche infolge der ungestörten erre

genden Welle.

Die Deformationen

_{sollen so klein vorausgesetzt werden,}

daß sich in jeder Vertikalen (x,y)=const. außerhalb des

_Schiffs=

körpers die Geschwindigkeitskornponenten

;j

entlang der durch

₅

und

₅

begrenzten Strecken

prak=

tisch nur linear ändern.

Ohne nun irgendwelche einschränkencen Annahmen für die Größe

der stationiiren Deformationen

_{nachen zu müssen, lassen}

sich mit Hilfe von Tay1or-Entwick1un.en die folgenden

_arproxi=

mi3tiven Identitäten angehen:

) I)

+ (Ç

iv,

t) + (-

_t)

-t. I i' )(Çy;t). ( o I) + _k,y,

_St)

C) y,

Sy,t;iL)

4 + _{('v)) + (} 'J .,

+ Ç')

_S)

5 c) Yg X vi +

Mit Hilfe der Approximationen

(3. 9)

ist es nun möglich, so= wohl in der Randbedingung

_(3.

2) a]s auch in der Randbedingung

(3. 7)

die stationären Anteile dieser Bedingungen von den rein

instationären zu trennen: + s) +

_ky,

Ç))

(3. 9)

1-Rein instatiofl-rer Anteil von

(3. 2),

ebgespelten mit Hilfe

von (3. 9):

L +

ÇIt)

_.y1ÇS)

t) 2. + s) f -

13

-+

S'

(xy))

[)

s;), + / + ) S_;) 1 ....$) _.i) + ±

+

+

[

+

₊

7 _{_7 7} 7 z-+ 1? + ₊

u

o

_(3.io)

/

Rein instationärer Anteil von (3. 7), abgespalten mit Hilfe

von (3. 9):

çS) +

Ç?y;)

_{+ Ç}

_(,Ç't)]

₊ X

-y

S;t).-

+ { c) X _-X 4 51) ) y

₇₂

-

4

c +

+

'4-

ç)

=

(3.11)

Die an der freien Oberfläche geltenden Randbedingungen (3.lo)

und (3.11) für das instationäre Potential

sind auch

dann noch sehr kompliziert und praktisch unbrauchbar für dessen

detaillierte Bestimniuzjg, wenn die stationare Deformation

L)

der vorher ebenen Wasseroberfläche bekannt ist.

Wenn man sich aber darauf beschränkt, bestimmte Anteile dieses

Potentials zu ermitteln, die unter gewissen Voraussetzungen die

wesentlichen Teile des instationären Geschwindigkeitsfeldes er=

fassen, dann lassen sich aus (3.lo) und (3.11) entsprechende

anteilige Randbedingungen für diese Teilpotentiale abspalten,

die sich gegenüber den vollständigen Randbedingungen (3.lo)

und (3.11) wesentlich einfacher verarbeiten lassen.

Uni die Zusammenhänge besser erklären zu können, soll

von dem

Geschwindigkeitspotential

einer zweidimensionalen erre=

genden Welle aaagegangen werden. Diesés Potential ist bekannt

und wird hier aus der einschlägigen Literatur zitiert. Die

er=

regende Welle soll so flach angenornrr.en werden, daß sie

_durch

eine reine Sinuswelle approximiert werden kann.

_{In einem ort=}

15

-fiIbrten Koordinatensystem (O;x,y,z) dui'ch die Beziehung X

7

-Darin bedeuten:

= Kreisfreguenz der Orbitaibewegung

2.

o _Wellenzahl

Co _{Ausbreitungs- bzw. Phasengeschwindigteit der}

Welle über Grund = Fhasenlage der Welle

Zuni Potential (3.13) gehört die hier nicht nöher abgeleitete bekannte Oberflchendeformation

w) Ç

t;)

= h

(0txy)

-Mit den Abkürzungen

ì1Xi)

_{)cCDSX. -ty'-1:}

y

verbunden Ist, lautet das Potential dieser sogenannten linea= risierten Welle: 1tXy)

_csZ

_s(

₌ h = Wellenamplitude X = Vvellenlönge = Erdbeschleunigung Lauf richtung (3.12) (3.13)

(3.15)

und 16 -w,TV

We

= L)

-

W S ) L)0.

-

_{o s =}

L)0-(iYcos)

= Begegnungsfrequenz co

ergeben sich ini Koordinatensystem (O;x,y,z) die Darstellungen

w)

= .c.cp(-

).s

(r(x7)

_-

₄

Ç(X1f)

_cS

_- t

Die Eegegnungsfrequenz (> kann je nach Größe des dimensions= losen Paramete

y

/1

(3.19)

und der Laufrichtung ). auch negative Werte ahnehmen.

Es ist nun üblich und für viele Ableitungen nützlich, eine positive Begegnungsfrequenz

=

IL)j

L)0 ₁

einzuführen und sowohl Potential als auch alle abgeleiteten Größen in der komplexwertigen Formulierung

Aw)

y,;t) _ex

'W) Ç Ai-w)

Ç

lxy)t)

1X)

betrachtet werden sollen, ergeben sich für die komplexwertigen örtlichen Amplituden aus (3.17) und (3.21) _{bzw. aus (3.18) und} (3.22) die Ausdrücke

(3.16)

(3.2o)

(3.21)

( .22)

zu schreiben. Da in dieser Arbeit nur die speziellen Lauf= r ichtungen

00

0(Ç)(4) X e) G

ç')

i)) 0 17 z

Das Potential

(3.21) muß

nun zusammen mit der Oberflchen= deformation

(3.22)

im Grenzfall

o _¡

: o

die Oberflichenrandbedingungen

(3.lo)

und

(3.11)

erfüllen. Nach einigem Nachdenken erkennt man, daß diese Randbedingungen auch bei Fehlen eines Störkörpors und damit eines stationären Störströmungsfeldes nur näherungsweise erfüllt werden. Das Fotential

(3.21)

müßte eigentlich im Sinne

M

(3.27)

erweitert werden, damit die Randbedingungen (3.lo) und (3.11) exakt erfüllt werden können. Durch

(3.21)

wird nur das erste Glied der Reihe

(3.27)

erfaßt. Die weiteren Glieder hängen aber über die Randbedingungen

(3.lo)

und (3.11) von dem ersten Glied ab. Für das erste Glied kann man aus (3.17) und (3.18) die folgenden Größenordnungsbetrachtungen herleiten:

o

e(i)

ç

A w) Sw)(x) )

O()

= ₌

..U(i)

I

o o c)

y

(1) U(1) C

on

-

_{R) U()}

I

csX).)

(),(Z. -.-o 2

(3.28)

z

(oS9() - ¡'Sr(4).Sh,

(OS X. +

x]

(3.24)

(3.25)

(3.26)

18

-erwartet werden. Untr diesen Umstnden kann fir das Körper= Potential die Näherung

A

{

L71.

&x?(t)

(3.31)

benutzt werden.

-Für den nur nit der Kreisfrequenz _{i oszillierenden, voraus=} setzungsgemäß aber dominierenden Anteil dea instationären Potentials

Çjt)

[

(3)

+

und die dazugehörige Oberflächendeformatinn

ergeben sich dann aus (3.lo) und (3.11) über die Schreibweise (3.32) und (3.33) die folgenden. anteiligen, komplexwertig for= mulierten Randbedingungen an der freien Oberfläche:

aus (3.lo): (Zeitfaktor put) herausgeki.irzt)

A)

)

_"

":

S)

(-N +

+

] +

.r

_L

(3.34)

1iit Hilfe dieser Größenordnungsbetrachtungen kann nachgewiesen

-w)

werden, daß die Potentiale

m1

gegenuber dem Potentiàl

W)

vernachlässigbar klein sind, wenn die dellenschräge der nit t oszillierenden vielle

=

= (Y(e)

j

E ¿-'1

(3

.

29)

klein genug ist. Die Randbedingunen

(3.io) und

_(3.11)

werden dann schon durch das Potential mit guter Näherung erfüllt.

4)

Wenn die V'ellenschräge der erregenden Welle von der Ordnung ist, wenn die Taucharnplitude des oszillierenden Schiffes die Größenordnung der Vdellenamplitude und dessen Stampfarnplitude die Größenordnung der V'ellenschrge haben, dann kann auch bei nicht zu großer stationärer Störung (oszillierend im Koordinatensystem die Größenordnung

19

-aus (3.11):

(Zeitfaktor

x4) herausgekürzt)

-

Ç)c'I)

4 ';

;)

Wenn man die Glieder der Randbedingung (3.34) in der richtigen

Weise ordnet, erhält man eine Bestimrnungsgleichung für die kom=

plexwertige Amplitude der mit

LD

oszillierenden Oberflchen=

deformation:

'.S).i)

s)A) A'

+ (:T*

4)

₊

-(V

7 7 .- ¿

Es bestehen nun keine prinzipiellen Schwierigkeiten, die Glei=

chung (3.36) nach x und y partiell zu differenzieren und die

so gewonnenen Ausdrücke zusammen mit (3.36) in die Gleichung

(3.35) einzuführen. Aus (3.35) würde sich dann eine aus (3.34)

bzw. (3.36) und (3.35) kombinierte,andbedingung nur für die

komplexwertige Potentialarnplitude

ergeben. Natürlich

muß die Kenntnis von

und Ç

vorausgesetzt werden.

Dennoch ergeben sich enorme Schwierigkeiten für das Auffinden

geeigneter Fotentialfunktionen

I

wenn in (3.35) und (3.36) der Einfluß des stationren Stör=

strömungsfeldes nicht vernachlissigt werden kann.

Dieser Schritt soll daher durchgeführt werden, wobei jedoch

geklrt werden muß, unter welchen Voraussetzungen diese wei=

tergehenden Vereinfachungen zu1issig sind.

Es ist sicher, daß in den Randbedingungen an der freien Was=

seroberfl.che die Einflüsse des stationären Störströmungsfel=

des vor dein fahrenden Schiff und auch seitlich davon außer=

halb des vom sogenannten kelvin'schen Winkel eingeschlossenen

Bereiches nicht vorhanden sind. Innerhalb dieses Bereiches

_tre=

ten diese Einflüsse mehr oder weniger stark,

_{je nach Schiffs=}

form und Fahrgeschwindigkeit,

_{vor allem in unmittelbarer Nach=}

barschaft der Schiîfsenden, aber auch in

_{einem weiten Bereich}

A' _s)

= o

_(3.35)

hinter dem Schiff auf. Die stark örtlich begrenzten Effekte in der Nähe der Schiffsenden entziehen sich eier generellen Beurteilung. In größerer Entfernung hinter dm Schiff, etwa für Bereiche _{X < -L} , wird sich aber ini wesentlichen eine

in Fah.rtrichtung des Schiffes mit der Phasengeschwindigkeit

V laufende Welle ausbilden, deren Amplitude) stark von der

jeweiligen Schiffsf orna und auch von der Fahrtgeschwindigkeit abhängen wird. Diese Amplitude nimmt mit wachsenden negativen x-Werten ab.

Aus (3.17)

lassen sich dann für

s)

(SX

I

V

=

/ _'.

vi

))

i

¡

tX)

n.herungsweise die folgenden Grenzwerte ableiten:

q) x<-L S) s)

_ - o

:\ a

J

s 2o -c) s) _S) -L

>'>0

U.\AJ

Für die mit und Ç _{verbundenen Ausdrücke in (3.34) und}

(3.35) können im Geltungsbereich der Abschätzungen

_(3.37)

_die folgenden Größenordnungen abgeschätzt werden:

5)5) )

=

.V'O(i)

_a(4)1

o

J)

e)

-)

o'

'

(çì)

'X

X

7)o

Wenn nur die erregende Welle, also kein Störkörper vorhanden wäre, dann ergäbe sich statt (3.35)

i'

'rW)

= und statt (3.36)

Wenn bei Vorhandensein eines Störkörpers (3.39) noch als Approximation für _{(3.4o) noch als Approximation für} angesehen werden so]en, dann müßten Ausdrücke der _Größen=

X'z -L 21 -c;' i) X<-L S

-

(1(s) A

J

_'t)

X< -L Xc -L s) s)

i .\r. Ui)

pW) ) ç) = 0i1(X)

'V0

C0Y(i) ) s) =

_i.00

(d) J) 1X,O) \T. )i,x0)

C

y0

0tlwc)s2,c O'1)

Yo

_I

(3.38) (3..9) (3.4o)

ordnung (3.38 a) u. b)) eenüber der Erdbeschleunigung g

Ausdrücke der GröÍenordnung (3.38 c)) gegenübergh, Ausdrücke der Größenordnung (3.38 d) bis g)) gegenüber

Cx

vernach1 ssigt werden dürfen.

Es ergeben sich also dafir die folgenden Forderungen:

i b) r.) e) Y (.) c-Q

¿

k-0 - 22

V

C. Ji

Lie Forderungen (3.41) sind alle erfüllt, wenn

4) _X)

'f

Th

(3.41)

23

-Wenn z.B. die Bedingung

_(3.42

a)) gerade noch erfüllt wird, dann darf das Verhältnis

0

weder nach oben, noch nach unten wesentlich von I abweichen,

um (3.42

b) u. c)) einhalten zu können. Wenn z.B.

C))

oio

als ein realistisches, nicht einmal großes lViaß für die Wellen= schräge der stationären Welle _{angenommen wird und die Zahl o.1} gerade noch als ausreichend klein gegenüber I im Sinne von

(3.42)

anzusehen ist, dann dürfte für _{der Bereich} O, _2.

I

L L

L

,

-.-\S

01 0

für die Froude-Zahi, falls der gesamte Bereich '\,, ¿

erfaßt werden soll.

In der Praxis haben die Verhältnisse

I

-L2-

L L

die größte Bedeutung. Um diese bei einer _{zugelassenen Vari} ationsbreite

4

_{' 2. noch voll überdecken zu können,}

01 o

muß entsprechend

(3.44)

O2

-eingehalten werden.

Es wäre also zu wünschen, daß vor allem bei _niedrigen Fraude-Zahlen kleine Werte _{zugelassen werden dürfen. Da bei niedri=} gen Froude-Zalen der sogenannte Wellenwiderstand des Schiffes

ç) "

klein wird und deshalb auch sehr _{kleine Wellenschrägen}

'

für die stationäre Welle hinter dem Schiff zu erwarten sind,

(3.44)

zugelassen werden.

Welche Einschränkungen ergeben sich dann fur _{praktische Anwen=} dungen?

Wenn für die erregenden Wellen ein Wellenlängenbereich

vorgegeben wird, dann ergeben sich aus den Identitäten

c/L =yi

(3.43)

verwendet werden.

Die auf die geschilderte Weise aDproximierten Randbedingungen (3.45)

und (3.46)

an der freien Oberfläche sind aber immer noch der stationären Deformation Ç» zugeordnet. Es wäre von großem Vorteil, wenn diese Bedingungen bei etwa gleichbleibender A'rpro= ximationsgüte der G-lattwasserebene z=o zugeordnet werden könnten. Unter der Annahme, daß _sichA die komplexwertigen Geschwindig=

keitsamplituden und entlang einer Vertikalen (x,y) innerhalb des von =o und Ç» begrenzten Streckenabschnitts praktisch nur linear ändern, können mit Hilfe von Taylor-Ent= wicklungen an der Stelle z=o die Aproximationen

A.

_A'

_A'

+

(xy,O) +

_{C) '}

24

-kann diese Ausweitung des -Bereiches nach unten hin bei Einhaltung der Bedingung

(3.42)

zugelassen werden.

Unter den besprochenen Voraussetzungen darf also statt (3.34) bzw. (3.36) die Approximation

A' A'

A'

Y)

\

und statt (3.35) die Approximation

A _,

xÇ)

t. '

V

Çx

yiÇ ) 4 T 'J +

in die Bedingungen (3.45) und (3.6) eingeftihrt werden. Aus (3.45) ergibt sich dann:

A'

-j[. L&.

-A' A' Z

A'

4ç

[' -+ . iççJ I) ( (3.45) (3.46) (3.47) (3.48)

C)

und aus (3.46):

Für diejenigen Ausdrücke in (3.48) und (3.'#9), die die statio= nire Deformation enthalten, können die folgenden röI3en=

ordnungsbetrachtungen angestellt werden:

(&) s

[ W

O)

-. )

(

(4 ) b5 = =

U (Ç

r)

o O

-

25 -S) 1' (4 A z 4 1 S)

-o

x<L

LU

V

U(4)

A

c(

) .I)

\

s)) . -o -o o

Wenn in (3.48) und

(3.49)

die mit _{verbundenen Ausdrücke} gegenüber den übrigen als vernachlässigbar klein angesehen werden sollen, dann müssen die folgenden, _{mit Hilfe der Grö} J3enordnungsbefrachtungen (3.5o) aufstellbaren Bedingungen erfüllt sein: (3.5o) A 1XyO) _IL4) A1)

-

(3.49)

q)

))

o

und

26

-z

t1 b )S) ,;) i < '1 Co) _J o 4

r-.k,

ï

_{. .}

I

±

I / )

V1

V

1

i

jo"

_¿

_ G

Wenn also die Voraussetzungen (3.43) noch durch die etwas

weiter einschränkende Voraussetzung

(fl2

_o

¿'l()()

_o

I

erweitert werden, danr kennen statt (3.48) und (3.49) die

.Approximationen

I\.

i)

(y,o) -.

(Xy,O)] X Ct)

verwendet ijlyerden.

Entsprechend (3.44) dürften diese Approxinationen bei einem

geschätzten Neigungswert

ca5

für Verhältnisse

bei

nur für Froude-Zahien

zur Anwendung kommen.

Für die hier zu behandelnden praktischen Anwendungen bedeutet

das kaum eine Einschränkung. In anders gelagerten Fällen müs=

sen aber bei Anwendung der sogenannten linearisierten Oberfl=

chenrandbedingungen (3.53) und (3.54) die Voraussetzungen

(3.43) und (3.52) erneut hinsichtlich ihrer Gültigkeit

über=

prüft werden.

(3.51)

(3.52)

(3.53)

A _Ai

(3.54)

'

-Nach Einführung der Abkürzungen

Z

o

und

=

0I1'-X0c0sYLI

kann

man aus

(3.53) und

(3.54) die bekannte kombinierte Oberflächenra ndbedingung

A'

_z

_A'

r') _1sT

'

_I) (X,y,O) + l.t ' +

_o

fUr die komplexweçtig formulierte Amplitude des mit os=

zillierenden Anteils des instationren Potentials ableiten.

27

-±+

Als nichstes soll nun die Pandbedingung an der Schiff sober= flèche formuliert und bis zu einem der Bedingung (3.57) äqui= valenten Stand gebracht werden.

Die durch (2. 3) dargestellte TrennSlche zwischen Schiff und Wasser ist ebenso wie die daran anschlie3ende freie Wasserober=

flache (2. 2) substantielle Flüssigkeitsfläche, sodaS sich in

Analogie zu

(3 5)

die Bedingung

+

- S.

= o

SCx,y;t)

ergibt. Eine Bedingung für den Druck entfällt. Dieser ergibt sich später aufgrung der Randbedingungen (3.57) und (3.58) aus der Bernoulli-Gleichung (2.lo).

Die Gleichung (3.58) behiilt ihre Gültigkeit, wenn sie durch den Ausdruck z y

dividiert wird.

(3.55)

(3.56)

(3.5?)

(3.58)

Mit den Identitten

/ft

z

i$

X. _y r 6)

_n

C) und y .2 3 1 z. + + - P3tx;Q.

S(y;t)

folgt eus (.58) die Darstellung

44(xyt) .rczc(

28

-= Normalenveicbor _{> (3.59)}

auf S(x,y,z;t)

Wegen der schon früher erwähnten Vereinbarung, _{daß nur von} vorn, oder hinten kommende erregende Wellen zugelassen werden sollen und unter der Vo.taussetzung, daß das _{IJnterwasserschiff} symmetrisch zu seiner Mittellngsebene ist, kann bei geradem Kurs theoretisch nur eine gekoppelte Tauch- _{und Stampfbewegung}

S;t)

S0ty)

_S0)

₊

_2(t)

+ X.

(3.62)

(positiv, wenn nach uflten gerichtet)

auftreten.

Wenn der Normalenvektor für die zeitliche Mittellage

der Schioberf1che durch

44(X)

f

¡

(3.63)

ctf

,y,

;i-),'t)

_;

)(

_(3.6o)

s &

fl

29

-gegeben ist, dann bestehen wegen (3.62) zwischen den Einheits= vektoren

_(3.59

b)) und

(3.63)

_{die folgenden Beziehungen:}

9)j

- nl

)13 s' 3

j

:'

z

r)3 4 .

i)

y)

-/

(3

_'1H1=

-fl

z n3 +

??41H)

verwendet werden. Mit (3.65) erhält _{man aus (3.61):}

j

tx,1S.t)

₎

4 t73. [) +'9)(t)]

+

+

{Z

+

1)J

),'

.1

Wenn kleine Winkel Y'U) vorausgesetzt werden, dann können mit guter Naherung die Ausdrucke fl1 und 173 _gegenüber

und i vernachl.ssigt und die Approximation

(3.64)

3°

-Es tritt nun wieder das Problem auf, die rein instationären Anteile der Körperrandbedingung

(3.66)

von den stationären zu trennen.

Dazu wird nun wieder analog zum Vorgehen bei der Randbedingung für die freie Oberfläche angenommen, daß sich die Geschwindig= keitskomponentén

-

V

_{. 4}

4.

entlang vertikaler Linien (x,y) = const. innerhalb der durch

und

_{1Sdx,y)+S'/x;tJ}

_{begrenzter Strecken}

_{praktisch nur}

linear ndern, sodaß die Approximationen

-

_S(X1))

+ '(1t)

Ys5Lcy;i);t) -

Si) 4.

S4x)

(Xy,_S'sy)

ix

7 _y

e

verwendet werden dürfen.

Es werden nun, wie schon früher vereinbart, von dem ìnstatio= nären Störströmungsfeld nur die mit der Frequenz

J

oszil= lierenden Anteile (3.32) betrachtet. Von der oszillierenden Bewegung des Schiffskörpers braucht dann auch nui der mit der Frequenz oszillierende Anteil

xP

Sqx)

₂

_-.

(3.68)

2

_'Z

p

innerhalb des entsprechenden Anteils der Randbedingung _(3.66) berücksichtigt zu werden. Fur diesen Anteil von

_(3.66)

ergibt sich dann nach Elimination des Zeitfaktors _{die folgende} komplexwertige Formulierung:

'14'k1y) 31 -A

_A

= _{+ (x,S0)].} fl4(X1y) _S). ;. _(3.69)

Da vor allem an den Schiffsenden unmittelbar auf der Außenhaut des Schiffes die Komponenten der stationären Störströmung so= wie deren Gradient in z-Richtung nicht generell als klein an=

gesehen werden können, darf die Randbedingung (3.69) nicht weiter vereinfacht werden, falls nicht kleine Fahrtgeschwin= digkeiten oder/und dünne Schiffe betrachtet werden.

Vie später gezeigt wird, ergeben sich dadurch auch keine prin= zipiellen Schwierigkeiten. Al1erdins muß das Störströmungs= feld für die zeitliche Mittellage der Schiffsaußenhaut bekannt sein.

Um Mißverständnissen vorzubeugen, sei bemerkt, daß die Rand= bedingung (3.69) eine Bedingung an der jeweiligen Momentan= lage der Schiffsaußenhaut ist. Mit Hilfe der Linearisierung (3.67) wird sie aber ausgedrückt durch Potentialgrößen und deren Ableitungen, die für die zeitliche Mittellage der Au= ßenhaut gelten.

Sowohl die Randbedingung (3.57) an der freien Oberfläche als auch die Körper-Randbedingung (3.69) erlauben es, für den mit der Frequenz w oszillierenden Anteil des instationären Strö= mungsfeldes die folgenden gedanklichen Aufteilungen vorzuneh= men:

i

-.4)

i Jz4

iZ,3

A) Ai

d\

A)

AA) ¡

SÇ +?'

s As.. i) 2) '\3) A = )ç. L) I (3.7o) 'rL) _A) QCI

[A.

[, S0ix,y)

S1x (x>l

Die Fallunterscheidung j=1,2,3 hat dann die folgende Bedeutung:

Das Schiff fährt mit konstanter Fehrtgeschwindigkeit

_V

vertikal fixiert senkrecht zur Kanunrichtung einer regel mäßigen Oberflächenwelle. Der stationären Strömung und der oszillierenden Strömung i der ungestörten erregen= den Welle überlagert sich dann eine zusätzliche oszil=

-r.( ₄₎

lierende Störströmung ' , die i erster Näherung mit

der Frequenz schwingt, mit der die aufeinanderfolgenden Wellenkäinme eine schiffsfeste Querebene passieren.

Das Schiff fährt mit konstanter Fahrtgeschwindigkeit _in ursprünglich glattem Wasser und füht dabei reine _Tauch=

schwingungen 1) _{mit der Frequenz aus, die}

auch für j1 charakteristisch ist. Das entstehende oszil= lierende Storstromungsfeld wird durch ' beschrieben.

.j=3: wie j=2, wobei statt der Tauchschwingung die reine _Stanipf=

schwingung betrachtet wird. Das entstehende oszillierende Störströmungsîeld wird durch beschrieben.

Mit diesen Vereinbarungen lassen sich aus den Randbedingungen (3.57) und (3.69) für den mit der Frequenz L) oszillierenden gesamten instationären Anteil des Potentials die folgenden Randbedingungen für die gesuchten Körper-Potentisle

gewinnen: 32 -'14(xjy) .c1'r« fK,1) _\T

j;cì

A1,

(X,y,û) +

A'

rK,) =

"jI

(x,y,o) -4-

= Q

AX s) -,5)' Aj) n1

j.sX) +

'1 iX%S ))j.S4X) + A +

-

TcÂC

',

_{Ç0) - -} -- =1

4o---

---(3.71) (3.72) (3 .73)

-

33 -.

14 _{Entwicklung der speziellen Potential-Ansätze}

Das bisher durch das Potential gekennzeichnete statio= näre St3rströmungsfe1d wird als bekannt vorausgesetzt. Es ist

nicht unbedingt erforderlich, daß eine entsprechende Potential-Funktion gegeben sein muß, wenn nur das Geschwindigkeitsfeld und dessen partielle Ableitungen nach z für die Punkte, in de=

nn die Körper-Randbedingung

_(3.73)

numerisch ausgewertet wer=

den soll, gegeben ist.

Um den für diese Untersuchungen notwendigen erheblichen nume rischen Aufwand noch in erträglichen Grenzen zu halten, soll im Rahmen dieser Arbeit der Einfluß des stationären Störströ= mungsfeldes auf die instationäre Druckverteilung am Schiff nur grob abgeschätzt werden.

Für diese Abschätzung wird daher ein stationäres Störströmungs= feld zugrundegelegt, welches sich in der Umgebung eines dünnen Schiffes ausbilden würde, wenn die Ebene z=o eine feste, glatte Wand wäre. Dieses Potential ist ±i z.B. in /6/ in modifizierter

Form behandelt worden.

Wenn die zeitliche Iviittellage der Schiffsoberfläche inì Halb= raum _>o durch die für die teuerbordseite des Schiffes gültige Gleichung

- - -

[x?

_X

x]

O - - -.

rLtl

_{\_} - -

]

beschrieben wird, dann kann eine sogenannte Intensitätsfunktion

-.

iJ L---1

-1

G(.

y ( -Ç)

+

das Potential in der Integral-Form

4 Ç Ç

G(

_, Ç &i o 2. geschrieben werden. (4. 2) 4 (4. ₃₎

()LZ

_(Ç

(4. 4)

m

Uy) -

tLU L

-angegeben und nach Einführung von Integrationsva.riablen mit Hilfe der Funktion

- 314

-gewonnen, worin

y

fur

irgendeine der Variablen x,y,z steht. Die Darstellungen (4. 4) und (4.

₅₎

können

nur

über numerische Integrationen für zahlenmäßig vorgegebene .Aufpunkte (x,y,z) ausgewertet werden. Einzelheiten darüber sind im _ANHANG zu

f i nd en.

Das Problem besteht nun zunächst darin, einen geigneten An= satz fur die komplxwertige Potential-Amplitude ' zu finden.

Aufgrund der physikalischen Natur der hier behandelten Schwin= gungsvorgnge ist es erforderlich, daß das mathematische Mo4ell des Strömungsfeldes auch solche Ansitze enthö.lt, die ein vom

Schiff ausgestrahltes Feld fortschreitend er Wellen beschreiben

könne n.

Die bisher von einer Reihe von Autoren gemachten

Erfahrungen

haben gezeigt, daß sowohl

für

den Fall V=o

als such für

den

Fall V=const. > o das mathematische Modell für das sogenannte Ausstrahlungsfeld

durch

ein Potential der Form

E5(x,y.t.

(A)

/ ',1'

_L

beschrieben werden kann, wenn dieses

die gegenüber (3.72) ino=

difizierte Randbedingung für die freie Wasseroberfläche

(Ir,, /L44+o'L

)(x,y,o)

.

-

+

s -t1

_o 74)xx iA) 'A

j

(4. 5)

(4. 6)

(4. 7)

(4. 8)

Die in dieser Arbeit benötigten einfachen und höheren partiel= len Ableitungen des Potentials (4. 4) werden in der Form

T(

Ç) * G

t-o

z.

erfüllt. Dabei ist wegen

_(3.53)

in (4.

₇₎

(A)

[.

L)

_V.

(A X

Für die kornplexwertige Amplitude des sogenannten

Körper-Potent i ais

(J)

wird nun nach der .für dieses Problem im Fell V=o erfolgreichen, von GRIM entwickelten Methode der Reihenansatz

.!.

k,i)

q2 t)c,y,) ₌

_{> 4) (X,y,2)}

(ß _h

repräsentiert werden sollen.

Für den Fall V=o sind von

GRIM die folgenden Ansätze entwik=

kelt

und

z.B. in

/3/

veröffentlicht worden:

-z

A (A) ç

'A

L'

(0) _/4->O (0)

i

LO) A s

(Xy) z

I.

()

₍₎

L Lo5 (K)ì)

(1V-

+ 3 -

35

-(4 -)

(4. 9)

(4.'lo)

(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)

verwendet, worin ti

und des Nahfeld

'=o (A) durch die NI

A'

(Xy,)

das Ausstrahlungsfeld

-)

nur

durch das eine Glied

(4.11)

restlichen Glieder

(4.12)

J

Die durch die sogenannten Singularitäten-Typfunktionen (4.15) und (4.16) charakterisierten, die Potentiale (4.13) und (4.14)

erzeugenden Singularitäten sind auf der Achse (y=o,z=o) ent= sprechend den Intensitätsverteilungen

-(. - - - - i ->

statt (4.

7):

Eo

Analogie zu (4.13) und (4.14) die Ansätze 36

-1,

J(-ç,71.,)

_o

(ø)

statt

(3.72):

O

Die Hilfsfnnktionen , die zur Erfüllung der Bedin=

gungen (4.2o) und (4.21) z.B. in z ungerade Funktionen sein können, sind dann durch die folgenden Ausdrücke definiert:

¿

a nge ordnet.

Es soll nun gezeigt werden, wie die allgemeine Form der Ansätze von GRIM beibehalten und ihre Erweiterung für den Fall V=consto allein durch die Erweiterung der Singularitäten-Typfunktionen erreicht werden kann.

Mit den allgemeinen Ansätzen (4. 9) bis

(4.12)

4nd noch nicht näher spezifizierten Intensitätsverteilungen

j(

k) können in

A'

f

_(t).

7;f)

J

J

()

-)O 1) _L L A C \ ¡() J

1)

_(%i) L

z-gewählt werden. Da nur die Singularitäten-Typfunktionen

die Variablen x,y,z enthalten und die Randbedingung

(3.72) bzw.

(4.

7)

an der freien Oberfliche aüch für additive Anteile der Fotential-.Amplituden gilt, ergeben sich die folgenden Pandbe= dingungen für die in (4.18) und (4.19) stehenden Singulari= täten-Typfunkti onen:

(4.17)

(4.18)

I-I (X,y,1,,u)

[rne.1 Vc,e)]

in die Forni

kO) ,y,11u')

Vb)

o O

umgewandelt werden kann. X)y1 jp) (.D) = 37 -+ ¿ O)X À0. _)X)

rv

li

t1e) t..).y -Ì (.o)J /

Als erstes soll num die Erweiterung für die Singu1aritten-Typ-Funktion

f(X4111)

vorgenommen werden:

Für V=o ist der Integral-Ausdruck

(4.15)

gültig, der mit Hilfe der Variablen-Transformation

tfl = c.(OSe

k

= c1,

und der Funktional-Determinente

(ose Sj1)9

c.

N cos [- .cos]. COS

(4.22)

(4.24)

(4.25)

H _(n) 1L

xoY

+ ; n ?1

Bei Verwendung der Identitt

Htx

Y ;/(') 10) 1 1 Ix-j,y1,,L4)

=-

'I (V ci,st o) (Ct(o53) (OS

sv) dI

= o

.]}(.27)

00

Macht man nun

für

die Singularitäten-Typ-Funktion des Ausstrah= lungsfeldes im Fall V=const o _{den allgemeineren Ansatz}

-

38

-S QcoB)

s(.se)

d o

tir

Al

- \(%p[ ¿(.os

_b.sine)].

d13

exp(-

.(XF[(X)(O

+S?7&

o 'i

Ç'(je;v; Lp)

4

dann ergibt sich für die Hilfsfunktion

Hx-y)

(0) J /

ji

'V

zjst

o) (4.22) die Form

(4.26)

(A.28) z1-V t'

= _{[t-). cos&} y.sn e].J.

+ 4

-$(4.29)

lNemi die Funktion

,1,jk)

_{die Randbedingung}

_{(4.2o) erfiil=}

len soll und bekannt ist, daß diese Bedingung

_{durch die}

kann

statt _(11.25) auch o

00 _2ir

fI x(-).Qp1)os

s9J

tI

o O

gescbiieben werden.

Bildet man aus der Form

26.)

die Hilfsfunktion ('4.22) für

39

-Form (4.27) erfüllt wird, dann liefert eine einfache Verleichs= betrachtung zwischen (4.27) und (4.29) die gesuchte unbekannte Funktion und damit die für V=const.o erweiterte

Singularitten-Typfunkt ion

- .epC-

.xp

[(x-cos9 y]

(4.30)

c1(4+t cs-'pY.os)+

J

(Vu»is. to)

o O i /

Diejenigen additiven Integrand-Anteile, die mit dem Faktor verbunden sind, können bei der Integration bezüg= lich e keine Beitrüge liefern, weil über den Bereich o, Zn-integriert wird und sich die Beiträge aus den einzelnen Qua=

dranten gegenseitig aufheben. Die mit dem Faktor

cJS (s(v)Oc/)

verbundenen Anteile des Integranden sind ini 1. und 4. Quadran=

ten symmetrisch zu ûo , im 2. und

3.

Quadranten symmetrisch

zu . Statt (4.3o) darf daher

) -

(4.31)

(0) / _-Tr (Vo'is _o)

4+cG -W(0)

4

-geschrieben werden.

Die Erweiterung der für V=o geltenden Singularitäten-TyDfunk= tionen (4.16) der Nahfeldpotentiale für den Gebrauch bei

V=const.o

kann, einem Vorschlag von EGGERS folgend, mit Hilfe der nachstehenden Uberlegungen vorgenommen werden:

Die Singularitäten-Typfunktion für eine einfache Quelle oder Senke lautet

(4.32)

(4.33)

¼?. ₄

t

Diese Funktion erfüllt die Laplace-Dgl.

'j',<

.i-j

=0

y)'

außerhalb des

Punktes

(x=,y=o,z=o).

Funktionen, die aus (4.32) dadurch hervorgehen, indem darauf Differential-Operetoren angewendet werden, die die einfachen

40

-Differential-Operatoren , ind in beliebigen Summen-,

Differenz- oder Produkt-Kombinationen enthalten, erfüllen

ebenfalls die Laplace-Dgl. außerhalb des Punktes (x=,y=o,z=o), da dort die Funktion (4.32) beliebig häufig stetig differen= zierbar ist. Man kann nun nachweisen, daß die Singularitäten-Typfunktionen (4.16) für die sogenannten Nahfeldpotentiale iuFall V=o

mit

_{Hilfe spezieller Differential-Operatoren aus} (4.32) entwickelt werden können. Für n=1 gilt nämlich

'1 =

(x-Ç)+

-'1

= _ç

+

[k-v

+y

+]

_E-

_{- -. ]}

/

-

]

3/1 (4.34)

Im Fall V=const.,o muß statt

_(4.35)

die Hilfsfunktion

H -)

4) =

-

¿

₎

_(4.37)

Für

Vo muß entsprechend (4.23) aus der Singularitäten-Typ= funktion (4.34) die Hilfsfunktion

z (

_(4.35)

gebildet werden, die wegen des in (4.34) angegebenen Bildungs= gesetzes auch in der Form

1.4)

k

-(

-)(

4)

4

_l_

-. -Vf z) (4.36) darstellbar ist.

Die Form (4.36) läßt sofort erkennen, daß die Hilfsfunktion

keine in z ungerade Funktion ist. Das Gleiche gilt

(4)

auch für die Hilfsfunktionen

J21)

n

.

Wie in der Bedingung (4.21) vorgeschrieben, werden diese Funktionen für z=o zu Null.

41

-eine in z ungerade Funktion sein. Analog zu (4.36) erreicht

man das durch den Ansatz

. ( + ;.2v.

(i

₊ - Ì 4 Ö J k>

_{(x_f+y?4}

¿

sodaß sich

fur

die Singu1aritten-Typfunktion die für V=const.o erweiterte Form

,; ( 4 k- y,?) k i

-2

+ Z f?? 7tx_ £)2#y?

+o

3(x- )

r

3+

[---W--

-(X-i)

2.

-

3(+X0)

4.

[----

_[---

_j

z

-;.

° / L _J

(X0Y)

ergibt.

Wenn die Typfunktioen für die Nahfeld-Singu1aritten höherer

Ordnung dem Bildungsgesetz

-i)

n 2, 3,

(4.4o)

gehorchen, daim sind auch die Hilfsfunktionen

I-ft1)

Z1)

ungerade Funlcbionen in z, sodaß die Randbedingung an der freien Oberflche ( ('+.21) in Verbindung mit _{(4.23) ) für die mit}

(4.39) und (4.4o) gebildeten Potentiale _{erfüllt ist.}

Sowohl die Singularitäten-Typfunktion (4.31) für das Aus= strahlungsfeld als auch die durch (4.39) und (4.4o) _definier=

(4.38)

ten Singularithten-Tîpfunktionen film das Nahfeid sind schon früher von GRIM gefunden worden.

Aus der im ANHANG vorgenommenen Behandlung der Funktion

) für das Ausstrahlungsfeld ist zu erkennen, daß

I I.

die im Integ.ralausdruck (4.31) vorgeschriebene Integration beziilich q über den Bereich O

9' ° nur für Werte z >o noch mit einem vertretbaren Rechenaufwand durchgeführt werden kann, weil sich im Falle z>o mit bestimmten Reihenentwick= lungen arbeiten läßt, die im Fall z=o keine Gültigkeit haben. Auch. bei rein numerischer Behandlung der Integrationen ist

der Zeitvorteil erheblich, wenn ein exponentielles Abklingen der Integrandfunktion für wachsende Werte q vorhanden ist.

Es ist daher ratsam, statt der durch (4.31) gekennzeichneten, in der Achse (y=o,z=o) angeordneten, pulsierenden Druc1ertei lung, die aus einer pulsierenden Quell-Senken-Verteilung her= vorgeht, wenn die singuilme Achse der letzteren in die Ebene z=o verschoben wird, eine pulsierende Quell-Senken-Verteilung auf der Achse (y=o, z=f o) zu wählen.

Die dafiir anzusetzende Singularitäten-Typfunktion lautet:

0 '1 '1

j

LiL4

-

+

+ (-

+

(f)2

l. co

r

jL

t+I)9]

a[(x_).ccs@ +#.si&]

(zcse

-(1+2.Loe

C C

42

-Versuchsrechnun.gen mit verschiedenen Achslagen f haben gezeigt, daß bei dem gewählten Typ eines 'series 6o'-Schiffes die Achs= lege im Bereich _{o.4T<f<o.8T variiert werden konnte, ohne} daß sich für die letztlich allein interessierende hydrodyna= mische Druclwerteilung wesentliche Unterschiede ergaben.

Die in den Bïldtafeln mitgeteilten Ergebnisse wurden mit f=o.6T berechnet. Lber die Verhältnisse hei fo.4T können keine An= gaben gemacht werden, weil die numerischen Fehler _{dann nicht} genügend klein gehalten werden konnten, _{urn die vorhandenen} Abweichungen in den Enderebnissen eindeutig nur der Achsver= schiebung zuordnen zu können.

Die Erfüllung der Laplace-Dgl.

10

/4

L 0xX (o)yy (M)1j

läßt sich für die

Form (4.41) leicht bestätigen.

Um auf relativ einfache Weise den

Nachweis erbringen

zu können,

daß auch die durch (4.2o). mit (4.22) formulierte Randbedingung für die freie Wasseroberfläche erfüllt ist, verwendet man am besten die mit Hilfe einer speziellen LäpÏace-Transforrnatio4 gewonnenen Identitten 21T

'°

ti _ (x-)ty1 f)L o und.

zçî-Qxp- (-)]

4

\J {[(ose

+y.se]

/

o

mit deren Hilfe sich (4.41) als Doppel-Integ.ral über einen

resultierenden Integranden darstellen lií3t,

und

wo die Erfül=

lung der oben genannten Randbedingung schon am Integranden nach=

zuweisen ist.

Bei den praktischen Anwendungen wird nun wieder von der Identi= tt der Ausdrücke (k.o) und (4.3l) Gebrauch gemacht.

Es ergibt sich dann aus (4.41) die bei diesen Untersuchungen verwendete Singularitten-Typ-Funktion 4 '1 + -i (x-i y12,p) =

(j

I

-

Vx-

y

+(+fl

V(o'st O)

co i

(x-+yL#(flZ

o o

die sich beim Grenzübergang

f-

_{von der uisprünglich für}

gewählten Funktion (4.31) nur durch den Faktor 2 _{unterscheidet.}

[x

_{-(+Ç )]}

tx +y. e]

-

43 -ç (IO cos(/'sI'n&.I1)

(4.42)

9,Z.(Ost -9, (4

. (Ose

_y.Y.cose) +

44

-Es muß nun untersucht werden, in we)cher V'eise sich die noch unbekannten Intensitts1unktionenB () bestinunen lassen und

'n)

wie die bisher ausgearbeiteten Potential-Ansätze noch weiter spezifiziert werden können.

Es wird kaum gelingen, die FunktionenB(,) in analytischer Form anzugeben.

Auf grund der Vorstellungen über die Wirkungsweise derartiger Singularitäten in einer Parallelströmung kann aber angenommen werden, daß die Intensitätsfunktionen nur innerhalb des Raumes, der im Realfall vom Schiffskörper eingenommen wird, _{von Null} verschieden sein können.

Es ist bekannt, daß auch mit Hilfe diskretwe.rtiger oder stuí'en= f örinig veränderlicher Intensitätsfunktionen geeigneter Singu=

laritäten-Typen innerhalb einer äußeren Anströmung glatte ge= schiossene Strornflächen erzeugt werden können, die die Singu= laritäten umschließen.

Starke örtliche Beulungen der Strornflächen müssen nur erwartet werden, wenn die letzteren infolge sehr schwacher Singularitä= ten-Intensitäten in unmittelbarer Nachbarschaft der singulären Stellen liegen und durch Intensitätssprünge stärker beeinflußt werden können.

Bei dem hier behandelten Problem, wo der Einfluß der f.eeien Wasseroberfläche berücksichtigt wird, kann die Vorstellung

einer völlig geschlossenen Stroinfläche, die ein endlich gropes Volumen umschließt, sowieso fallengelassen werden.

Die durch die freie Wasseroberfläche und die benetzte Schiffs= oberfläche gebildete zusammenhängende Fläche kann durch eine Stromfläche ersetzt werden, die nur nach unten hin geschlossen sein muß.

Bei dem in dieser Arbeit eingeschlagenen Weg sollen Singulari= täten auf zwei in der vertikalen Mittel-Längsebene des Schif= fes parallel verlaufenden horizontalen Achsen verteilt werden. Die zu erzeugend den Schiffskörper in seiner Wirkung ersetzen= de Stroimflche ist dann mit Ausnahme der allernächsten Ume= bung der äußersten Schiff senden immer so weit von den singu= lären Achsen entfernt, daß eine zugelassene sprunghafte Ande= rung der Intensitäten der einzelnen Singularitäten-Typen nicht die Erzeugung einer mit starken örtlichen Beulen behafteten Stromf'läche zur Folge haben muß.

Eine zugelassene sprunghafte Änderung der Intensitätsfunktio= nen

B)

kann im Gegenteil das

-

45

-flexibel machen, sodaß die Skala der damit zu erfassenden

Schiffsformen größer sein kann, wenn nur die Körper-Randbedin= gungen in eindeutiger, zwingender Weise in die Rechnungen ein= geführt werden können.

Die Anzahl der Stufen innerhalb der Singularitäten-Belegungs= länge muß nur entsprechend groß und evtl. von unterschiedlicher Breite sein, unì eine zusätzliche Anpassungsnaöglichkeit _an

Schiff sf ori und Anströmungscharakter _{zu haben.}

Wie aus den im AiANG abgehandelten Einzelheiten ersichtlich wird, kann aber der rein numerische Aufwand erheblich herabge=

setzt werden, wenn die Singularitäten-Belegungslänge, die der Einfachheit halber gleich angenommen wird, die theoretisch

aber auch kleiner sein kön.nt, in M gleich große Strecken der Länge "2d" aufgeteilt und der Ansatz

Xel

Xm+CI

B

(4)

gewählt wird.

Bei der Anwendung dieses Ansatzes kann durch programmtechni= sche Vereinfachungen noch viel Rechenzeit gespart werden, _wenn die einzelnen Größen des Strömungsfeldes direkt nur für die Querebenen xx berechnet werden müssen, die entweder in den

Intervallgrenzeii oder in den Intervall-Mitten liegen und deren Abstand untereinander gleich der gewählten Intervalibreite

"2d" ist.

Wenn von dieser Beschränkung aus kommerziellen Gründen Ge= brauch gemacht wird, dann lassen sich natürlich auch die Kör=

per-Randbedingungen, mit deren Hilfe die noch unbekannten In= tensitätswerte bestimmt werden sollen, nur für diese Quer= ebenen xxr aufstellen und zu einem Gleichungs-System für die

LB verarbeiten.

Da die Körper-Randbedingungen die benetzte Oberfläche des Schiffes möglichst gleichmäßig erfassen sollen, andererseits

aber eine gewisse Unsicherheit der gewählten Ansätze für die äußersten Schiff senden vorliegt, sollen die Querebenen _X=XJ in den Intervall-Mitten angenommen werden:

(x -x

'\

(r-m)

(4.44)

r ₎

Bei der Behandlung des hier vorgelegten Problems für den Fall V=o hat GRIIVi die Erfahrung gemacht, daß die Potential-Reihe

X1))

tY)

flD

bei normalen Schiîfsformen schon nach den ersten vie.r Gliedern abgebrochen werden darf.

Bei den mißig großen Froude'schen Zahlen, für die diese Unter= suchungen gedacht sind, wird sich an diesem Verhalten kaum et was ndemn.

Es wird. also möglich sein, die komplexwertige Potential-Ampli= tude durch die endliche Reihe

4A.

A

r)

i, i)

-P'zO

zu approximieren und sie mit Hilfe des Ansatzes (4.43) in der Form A

NM.

X))

51 B»,y,)

h=O 'Y=l a nzugeben. Die Funktionen 'ç) +A

-I

(-Ç1

(xi,)

(Om) to) -cl und

-46-ç-i- d

= JX_')d

t1)1Th) _(ìfl) / -d

können dann al _{sogenannte Einulußîunktionen begriffen werden,} die angeben, wie sich eine Singularititen-Eelegung _{vom Typ !mn} ini Intervall m" auf irgendeinen Punkt _{) des Ströirungs}

(4.45)

(4.46)

(4.47)