Dynamika odwzorowań w niskich wymiarach: entropia, mieszanie i chaos
Przedmiotem badań niniejszej rozprawy jest chaotyczność definiowana w różny sposób oraz dynamika na jednowy-miarowych continuach ze szczególnym uwzględnieniem prze-kształceń odcinka. Rozważana jest entropia topologiczna, istnienie par Li-Yorke’a, ω-chaos oraz chaos dystrybucyjny. Głównymi wynikami tej pracy są:1.twierdzenia związane z odcinkiem łukowo rozspajającym (patrz wniosek 3.8) oraz entropią przekształceń ciągłych zdefiniowanych na przestrzeni typu sin 1/x. W szczególności, badane są własności takie jak tranzytywność i mieszanie oraz ich wpływ na ograniczenie entropii (twierdzenia 3.15 oraz 3.19);
2.konstrukcja (twierdzenie 4.5) rozszerzenia podprzesunięcia na m symbolach do mieszania bez par DC3;
3.odpowiedzi (patrz wniosek 5.7, twierdzenie 6.1 i twierdzenie 7.6) na pytania postawione przez Koćana w pracy [Z. Koćan, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 22, article id: 125025 (2012)], a mianowicie:
(1).Czy istnienie nieprzeliczalnego zbioru ω-splątanego i implikuje chaos dystrybucyjny?
(2).Czy istnienie nieprzeliczalnego zbioru ω-splątanego pociąga za sobą istnienie przeliczalnego zbioru LY-splątanego?
(3).Czy chaos dystrybucyjny impliku-je istnienie nieskończonego zbioru LY-splątanego? 4.aktualizacja techniki przedstawionej przez Minca i Transue tak, aby uzyskać pozytywną odpowiedź na pytanie czy mieszający homeomorfizm pseudołuku może pochodzić od odwzorowania odcinka, które nie jest dokładne (twierdzenie 8.10).
The thesis presents the study of chaos defined in various way and dynamics on one-dimensional continuas, in particular, the transformations of the interval. Topological entropy, existence of Li-Yorke pairs, ω chaos, and distributional chaos are considered. The main results of the thesis are:
1.theorems on dynamics on spaces to with arcwise disconnec-ting interval (e.g. Corollary 3.8) and entropy of continuous maps defined on the space sin 1/x. In particular, properties such as trans- ivity and mixing are considered, and lower entropy bounds in the class of these maps (Theorems 3.15 and 3.19);
2.extension of shift on m symbols without DC3 pairs to mixing shifts w till the same property (Theorem 4.5);
3.answers (Corollary 5.7, Theorem 6.1, and Theorem 7.6) to the Koćan’s questions form the article [Z. Koćan, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 22, article id: 125025 (2012)]. i.e.
(1)Does the existence of an uncountable ω-scrambled set imply distributional chaos? (2)Does the existence of an uncountable ω-scrambled set imply existence of an infinite LY-scrambled set?
(3)Does distributional chaos imply the existence of an infinite LY-scrambled set? 4.update of the Minc-Transue’s technique in such a way to get the positive answer to the question of whether this method can result with a topologically mixing but not exact map (Theorem 8.10).
