Index of /rozprawy2/10462

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Katedra Techniki Cieplnej i Ochrony Środowiska. Rozprawa doktorska. WPŁYW WARUNKÓW CHŁODZENIA ORAZ PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ WYBRANYCH METALI NA WSPÓŁCZYNNIK WYMIANY CIEPŁA. W PROCESIE CHŁODZENIA NATRYSKIEM WODNYM mgr inż. Agnieszka Cebo-Rudnicka Promotor: dr hab. inż. Andrzej Buczek, prof. AGH. Kraków 2011.

(2) SPIS TREŚCI Wykaz oznaczeń ......................................................................................................................... 3 1. Wstęp .............................................................................................................................. 6 2. Charakterystyka procesu chłodzenia .............................................................................. 7 3. Charakterystyka parametrów wpływających na wymianę ciepła podczas chłodzenia natryskiem cieczy .................................................................................................... 10 4. Cel i teza pracy ............................................................................................................. 15 5. Metody identyfikacji współczynnika wymiany ciepła ................................................. 16 6. Zagadnienie odwrotne dla równania przewodzenia ciepła ........................................... 17 7. Model matematyczny i numeryczny wymiany ciepła i przemian fazowych ............... 20 7.1. Pole temperatury........................................................................................................... 20 7.2. Przemiany fazowe w stali ............................................................................................. 30 8. Analiza wpływu błędu obliczeń numerycznych i danych wejściowych na rozwiązanie brzegowego zagadnienia odwrotnego dla równania przewodzenia ciepła .............. 33 8.1. Analiza wpływu błędu obliczeń numerycznych ........................................................... 33 8.1.1. Ocena dokładności obliczeń numerycznych rozwiązania bezpośredniego równania przewodzenia ciepła ................................................................................................ 34 8.2. Analiza wpływu błędu danych wejściowych zadawanych w rozwiązaniu odwrotnym38 8.2.1. Wpływ błędu pomiaru temperatury .............................................................................. 38 8.2.1.1. Błąd zabudowy czujnika ......................................................................................... 38 8.2.1.2. Błąd układu pomiarowego ...................................................................................... 45 8.2.2. Wpływ błędu oznaczenia ciepła właściwego, przewodności cieplnej oraz gęstości.... 54 9. Charakterystyka materiałów przyjętych do badań ....................................................... 64 10. Opis stanowiska i metodyka badań eksperymentalnych .............................................. 68 10.1. Przykład zastosowania przyjętej metody badań i obliczeń .......................................... 70 11. Badanie wpływu ciśnienia wody, odległości dyszy rozpylacjącej od chłodzonej powierzchni, gęstości strumienia wody, temperatury początkowej próbki oraz przewodności cieplnej na współczynnik wymiany ciepła podczas chłodzenia natryskiem wodnym ................................................................................................ 81 11.1. Wpływ ciśnienia wody na współczynnik wymiany ciepła ........................................... 82 11.2. Wpływ odległości dyszy rozpylającej od powierzchni chłodzonej na współczynnik wymiany ciepła ....................................................................................................... 87 11.3. Wpływ gęstości strumienia wody na współczynnik wymiany ciepła .......................... 91 11.4. Porównanie wyników badań własnych z danymi literaturowymi ................................ 95 11.5. Wpływ temperatury początkowej próbki na współczynnik wymiany ciepła ............... 97 11.6. Wpływ przewodności cieplnej materiału na współczynnik wymiany ciepła ............. 103 12. Podsumowanie i wnioski ............................................................................................ 115 Literatura ............................................................................................................................... 118 Spis rysunków ........................................................................................................................ 123 Spis tablic ............................................................................................................................... 128.

(3) WYKAZ OZNACZEŃ WIELKOŚĆ FIZYCZNA. SYMBOL a A1, A2. JEDNOSTKA. współczynnik wyrównania temperatury. m2 s. Pole powierzchni pobocznicy i osłony walca. m2. Cij. macierz pojemności cieplnej. cp. ciepło właściwe. J kg  K. d32. średnica Sautera. m. Dv. wyznacznik macierzy przekształcenia współrzędnych cylindrycznych do współrzędnych naturalnych elementu. -. E. energia aktywacji konieczna do przemiany fazowej. F. funkcja uwzględniająca wpływ składu chemicznego stali (C, Mn,..). G. gęstość strumienia cieczy. Gi. wektor obciążenia cieplnego. Gz. wielkość ziarna. H L0 x  , H L1 x  funkcje kształtu wielomianu Hermita k. współczynnik przenikania ciepła. -. J mol. kg m2  s. -. W m2  K. Kij. macierz przewodności cieplnej. -. l. długość walca / grubość płyty. m. Ls. stała (dla boku elementu na którym zadawane są warunki brzegowe Ls  1 , w pozostałych przypadkach Ls  0 ). -. N. gęstość strumienia kropli. 1 ms. Ni. liniowe funkcje kształtu. -. qM. gęstość strumienia ciepła. W m2. R. promień walca. m. 3.

(4) r, z, θ. współrzędne cylindryczne. J mol  K. RT. stała gazowa. sp. grubość warstwy powietrza. m. funkcja opisująca zmiany prędkości przemiany w funkcji objętości przemienionej. -. temperatura bezwzględna. K. temperatura bezwzględna pobocznicy i osłony walca. K. t. temperatura. °C. tp. temperatura powierzchni. °C. t0. temperatura początkowa. ºC. tot. temperatura otoczenia. ºC. tw. temperatura wody. ºC. temperatura zmierzona w wybranych punktach ciała. ºC. temperatura obliczona numerycznie w wybranych punktach ciała temperatura obliczona z równania analitycznego w wybranych punktach ciała. ºC. tM. temperatura początku przemiany martenzytycznej. ºC. u. prędkość kropli. m s. macierz jednostkowa. -. odwrotność macierzy drugich pochodnych (hesjanu). -. współczynniki, które zastępują funkcje kształtu wielomianu Hermita. -. X. ułamek nowej fazy dla przemian dyfuzyjnych. -. x. odległość punktu pomiaru temperatury od powierzchni chłodzonej. m. Z. maksymalny zakres pomiarowy przyrządu pomiarowego. S(X) T T1, T2. t ppom ,i   t num p ,i   t an p ,i  . V0, I Vk w1, w2, w3, w4. b       d    n 1. -. k. k. n 1. k. ºC. gradient funkcji celu. -. kierunek poprawy procesu optymalizacyjnego. -. 4.

(5) α. współczynnik przejmowania ciepła. αm. współczynnik Koistinena i Marburgera. αr. współczynnik przejmowania ciepła przez promieniowanie. ΔH. entalpia przemian fazowych. Δo. błąd odczytu wskazania. Δpmax. W m2  K W m2  K J m3. maksymalny błąd bezwzględny pomiaru. Δt. średni błąd obliczeń temperatury. K. Δta. temperatura przechłodzenia austenitu. K. Δzmax. maksymalny błąd bezwzględny przyrządu. δα. błąd względny obliczeń współczynnika przejmowania ciepła. %. Δτ. krok czasowy. s. ε1, ε2. emisyjność powierzchni walca i osłony walca. εz. emisyjność zastępcza. ζ. zmienna pomocnicza. -. λ. przewodność cieplna. W mK. λpow. przewodność cieplna powietrza. W mK. ξ1, ξ2, ξ3. współrzędne lokalne elementu. -. ρ. gęstość. kg m3. σ. napięcie powierzchniowe. N m. τ. czas. s. Φ. norma błędu (funkcja celu). -. punkty na krzywej wrzenia /chłodzenia. -. K1, K2. 5.

(6) 1. WSTĘP W celu szybkiego odbioru ciepła z chłodzonych powierzchni w procesach chłodzenia stosowanych w wielu nowoczesnych technologiach, występuje potrzeba stosowania dużych gęstości strumienia ciepła. Wśród różnych sposobów chłodzenia jednym z najbardziej efektywnych jest proces chłodzenia z zastosowaniem natrysku cieczy. Pozwala on na uzyskiwanie gęstości strumienia ciepła rzędu 107 W/m2 [25] co sprawia, że jest stosowany w wielu dziedzinach przemysłu m.in. mikroelektronice, inżynierii kosmicznej, a także w elektrowniach nuklearnych oraz medycynie [48]. W metalurgii żelaza chłodzenie przy pomocy natrysku wodnego stosuje się w procesie ciągłego odlewania stali, przeróbki plastycznej na gorąco oraz przy obróbce cieplnej – hartowaniu. Właściwy dobór parametrów wpływających na wymianę ciepła podczas chłodzenia ma istotny wpływ na jakość półproduktów stalowych i gotowych wyrobów. Umożliwia również konstruowanie algorytmów optymalizujących procesy produkcyjne, w których niezbędne jest stosowanie chłodzenia wodnego. Narzędziem wspomagającym procedury optymalizacyjne jest numeryczna symulacja procesu wymiany ciepła danej technologii. W tym, także wymiany ciepła w obszarze stosowanego systemu chłodzenia. Poprawne przeprowadzenie takiej symulacji jest możliwe przy znajomości warunków brzegowych wymiany ciepła – zwłaszcza zaś, znajomości współczynnika wymiany ciepła. Określenie tego parametru w procesie chłodzenia natryskiem wodnym należy do zadań trudnych, ponieważ współczynnik wymiany ciepła jest zależny od szeregu czynników. Głównie od parametrów opisujących fizyczne zjawiska procesu chłodzenia oraz właściwości chłodziwa. Duża dynamika procesu chłodzenia powoduje, że warunki brzegowe wymiany ciepła stymulowane są przez szybkość przewodzenia ciepła w chłodzonym materiale. A zatem pośrednio na proces chłodzenia mają także wpływ właściwości chłodzonego materiału. W pracy dokonano m.in. przeglądu i analizy najczęściej badanych parametrów, wpływających na wymianę ciepła podczas chłodzenia natryskiem wodnym. Przeprowadzono także, przegląd sposobów identyfikacji współczynnika wymiany ciepła. W części badawczej przedstawiono metodykę wyznaczania współczynnika wymiany ciepła. Do obliczeń wykorzystano rozwiązanie brzegowego zagadnienia odwrotnego dla równania przewodzenia ciepła. Obliczenia przeprowadzono wykorzystując własne kody numeryczne. Danymi do obliczeń były wyniki pomiaru temperatury wewnątrz próbek chłodzonych natryskiem wodnym.. 6.

(7) 2. CHARAKTERYSTYKA PROCESU CHŁODZENIA Wśród różnych chłodziw stosowanych w procesach chłodzenia najtańszym i najczęściej stosowanym jest woda. Wymiana ciepła w procesie chłodzenia natryskiem wodnym jest zjawiskiem bardzo złożonym i ma charakter zbliżony do wymiany ciepła podczas wrzenia na powierzchni zanurzonej w cieczy [8, 11, 13, 78, 88]. Zjawisko wrzenia jest trudne do opisu matematycznego, przez co brak jest rozwiązań analitycznych tego problemu. W literaturze spotkać można tylko zależności opisujące korelację danych eksperymentalnych [3, 37, 94]. W procesie chłodzenia natryskiem wodnym, na skutek zetknięcia się wody ciekłej z gorącą powierzchnią metalu, następuje zmiana stanu skupienia wody w parę wodną. Ilość ciepła przekazana do ośrodka chłodzącego zależy od właściwości termofizycznych zarówno cieczy jak i ciała stałego oraz od temperatury i chropowatości powierzchni [9, 41, 66]. Procesowi wrzenia towarzyszą duże wartości gęstości strumienia ciepła, a także bardzo duże wartości współczynnika przejmowania ciepła, przy stosunkowo niewielkiej różnicy temperatury powierzchni chłodzonej i temperatury nasycenia cieczy. Opis zależności gęstości strumienia ciepła i współczynnika przejmowania ciepła od stopnia przegrzania przy wrzeniu wody w warunkach konwekcji swobodnej nosi nazwę krzywej wrzenia i można go znaleźć w licznej literaturze dotyczącej wymiany ciepła [7, 13, 24, 94]. Do opisu procesu chłodzenia wykorzystuje się natomiast tzw. krzywą chłodzenia, która przedstawia zależność zmian temperatury powierzchni chłodzonej od czasu. Zarówno na krzywej wrzenia (rys. 3.1) jak i na krzywej chłodzenia (rys. 3.2) można wyodrębnić cztery obszary, które różnią się między sobą mechanizmem wymiany ciepła. Początek procesu chłodzenia charakteryzuje się względnie niskimi wartościami gęstości strumienia ciepła i współczynnika wymiany ciepła – jest to tzw. obszar wrzenia błonowego (rys. 3.1 i 3.2). W obszarze tym, następuje bardzo powolna zmiana temperatury. Czasem w wyniku pojawienia się na powierzchni metalu warstwy pary i utrudnionego procesu wymiany ciepła istnieje możliwość wystąpienia chwilowego wzrostu temperatury powierzchni. Zakres wrzenia błonkowego kończy się w tzw. drugim kryzysie wrzenia K2 (punkt Leidenfrosta) (rys. 3.1) [24, 94]. Chłodzenie w zakresie wrzenia błonkowego jest z powodzeniem wykorzystywane w chłodzeniu wtórnym technologii ciągłego odlewania stali, w szczególności w obszarze, w którym temperatura chłodzonej powierzchni powinna być utrzymywana na poziomie nie niższym niż 900°C.. 7.

(8) Rys. 3.1. Zależność współczynnika wymiany ciepła od stopnia przegrzania wody dla procesu ogrzewania wody w naczyniu podgrzewanym od dołu przy ciśnieniu atmosferycznym, w warunkach konwekcji swobodnej. Poniżej temperatury odpowiadającej punktowi Leidenfrosta proces chłodzenia wchodzi w obszar wrzenia przejściowego. W obszarze tym krople cieczy zaczynają efektywnie zwilżać powierzchnię, co powoduje, że szybkość wymiany ciepła rośnie a temperatura powierzchni maleje dużo szybciej niż w obszarze wrzenia błonkowego. Dolna granica tego obszaru jest wyznaczona przez maksymalną gęstość strumienia ciepła. Wartość ta nazywana jest także krytycznym strumieniem ciepła (Critical Heat Flux - CHF) i odpowiada punktowi przegięcia na krzywej chłodzenia (rys. 3.2). Natomiast na krzywej wrzenia odpowiada ona pierwszemu kryzysowi wrzenia K1 (rys. 3.1). Zakres wrzenia przejściowego jest wykorzystywany w tzw. hartowaniu martenzytycznym. W procesie tym, konieczne jest ochłodzenie przypowierzchniowych warstw wyrobu od temperatury ok. 800°C do temperatury ok. 300°C niekiedy z szybkością 1000 K/s. Wartości i przedział temperatury procesu oraz szybkość chłodzenia zależne są od gatunku obrabianej cieplnie stali.. 8.

(9) Rys. 3.2. Krzywa chłodzenia dla małego obiektu chłodzonego poprzez zanurzenie. Kolejnym etapem na krzywej chłodzenia jest obszar wrzenia pęcherzykowego, w którym szybkość wymiany ciepła stopniowo maleje wraz ze spadkiem temperatury. Powodem tego zjawiska jest fakt, że wraz ze spadkiem temperatury coraz mniej pęcherzyków pary tworzy się na chłodzonej powierzchni i proces wrzenia stopniowo zanika, a wymiana ciepła zaczyna odbywać się poprzez warstwę cieczy na zasadzie konwekcji [8, 10]. Krzywa chłodzenia przedstawiona na rys. 3.2 odnosi się do przypadku chłodzenia małego obiektu poprzez zanurzenie. Krzywa chłodzenia natryskiem wodnym ma przebieg podobny. Jedyna różnica dotyczy wielkości strumienia ciepła wymienianego z otoczeniem. Wartości strumienia ciepła w przypadku chłodzenia natryskiem wodnym są znacznie większe niż przy chłodzeniu przez zanurzenie [8]. Przyczyną tego zjawiska jest sposób w jaki ciecz wchodzi w kontakt z gorącą powierzchnią metalu.. 9.

(10) 3. CHARAKTERYSTYKA PARAMETRÓW WPŁYWAJĄCYCH NA WYMIANĘ CIEPŁA PODCZAS CHŁODZENIA NATRYSKIEM CIECZY W przemyśle metalurgicznym chłodzenie przy pomocy natrysku cieczy stosuje się w celu polepszenia oraz zoptymalizowania wydajności i jakości produktów wytwarzanych w procesach odlewania, kucia, obróbki cieplnej czy spawania [11, 21, 35-36, 75-79, 88]. Kontrola procesu chłodzenia pozwala na zmniejszenie i ograniczenie wad materiału, ilości odpadu technologicznego, czasu realizacji danego procesu oraz kosztów procesu. Parametrem, który odgrywa kluczową rolę w kontroli procesu chłodzenia jest współczynnik wymiany ciepła [11, 13, 19, 25, 36, 39, 75, 79]. Współczynnik ten wpływa na wielkość gęstości strumienia ciepła wymienianego z otoczeniem i jest w złożony sposób powiązany ze zmianami pola temperatury chłodzonego materiału. W układach chłodzenia powierzchni metali natryskiem cieczy wykorzystuje się dysze rozpylające (rozpylacze), a ich różna konstrukcja ma wpływ na parametry hydrauliczne cieczy, wydajność strumienia cieczy oraz decyduje o rozkładzie strumienia cieczy na chłodzonej powierzchni. Dysze rozpylające można sklasyfikować w oparciu o rodzaj energii użytej do rozpylania. Może to być energia ciśnienia cieczy, energia ciśnienia gazu, energia obracającego się rozpylacza bądź generator drgań [65]. Najczęściej stosowane są dysze, w których wykorzystywana jest energia ciśnienia cieczy. Energia ta zamienia się w rozpylaczu w energię kinetyczną, co prowadzi do rozpylenia cieczy. W taki sposób działają dysze ciśnieniowe (hydrodynamiczne) o wypływie prostym lub zawirowanym. Tego rodzaju dysze ze względu na rodzaj wypływu dzieli się na strumieniowe i wirowe. Dysze strumieniowe należą do najprostszych rozpylaczy i charakteryzują się tym, że dobrze rozpylają tylko przy dużych spadkach ciśnienia cieczy. Natomiast w przypadku rozpylaczy wirowych otrzymuje się dobre rozpylenie przy umiarkowanych, a nawet przy małych spadkach ciśnienia cieczy. Oba typy dysz różni także rodzaj strugi jaką uzyskuje się z danego rozpylacza. W przypadku dysz strumieniowych można otrzymać strugę o przekroju kołowym lub płaskim (wachlarzowym), zaś w przypadku dysz wirowych o przekroju kołowym lecz pustą w środku. Niekiedy w procesach metalurgicznych stosowane są także dysze pneumatyczne, w których rozpylanie odbywa się kosztem energii gazu, głównie powietrza lub pary wodnej. Ze względu na kierunek oddziaływania gazu na ciecz można rozróżnić rozpylacze o przepływie równoległym, skrzyżowanym lub zawirowanym [65]. W przypadku chłodzenia gorącej powierzchni metalu natryskiem wodnym zmiany pola temperatury chłodzonego materiału, a co za tym idzie zmiany współczynnika wymiany ciepła na powierzchni tego materiału zależą od fizyki procesu chłodzenia, właściwości chłodzonego materiału, właściwości medium chłodzącego oraz od rodzaju dyszy zastosowanej w procesie chłodzenia [62, 79]. Geometria dyszy decyduje o parametrach hydraulicznych cieczy, wydajności strumienia cieczy oraz rozkładzie strumienia cieczy na chłodzonej powierzchni. 10.

(11) Wpływ tych parametrów na wymianę ciepła podczas chłodzenia jest zagadnieniem badanym najczęściej [19-20, 25]. Ciecz charakteryzują następujące parametry hydrodynamiczne: . średnia średnica kropli tzw. średnica Sauter’a,. . prędkość kropli,.  gęstość strumienia kropli. Wpływ parametrów hydrodynamicznych cieczy na współczynnik wymiany ciepła może być badany przy zmianie jednego z nich, przy czym dwa pozostałe parametry zostają stałe. Rozważa się też równoczesny wpływ prędkości i średniej średnicy kropel przy wykorzystaniu zależności pomiędzy tymi parametrami, którą opisuje się przy pomocy liczby Webera wg następującego wzoru. We .  u 2 d 32 . (3.1). gdzie:  – gęstość cieczy, kg/m3, u – prędkość kropel, m/s, d32 – średnia średnica Sautera, m,  – napięcie powierzchniowe natryskiwanej cieczy, N/m. W wielu przypadkach badania nad wpływem parametrów hydrodynamicznych prowadzone były dla małej wydajności strumienia cieczy, która nie przekraczała 1 kg/(m2·s) [17, 33-34, 62]. Opinie na temat wpływu poszczególnych parametrów charakteryzujących ciecz zależą od tego, czy wpływ tych parametrów jest badany w zakresie wymiany ciepła przy wrzeniu błonowym [34, 75], czy też przy wrzeniu przejściowym lub pęcherzykowym [38-39]. Powszechnie uważa się, że wzrost prędkości kropel padających na chłodzoną powierzchnię powoduje wzrost wartości współczynnika wymiany ciepła, niezależnie od tego jaki charakter ma proces wrzenia cieczy na chłodzonej powierzchni. Wpływ gęstości strumienia kropli oraz ich wielkość zależy od rodzaju wrzenia. Badania przedstawione przez Fujimoto [34] dotyczyły wymiany ciepła przy wrzeniu błonowym. Prowadzono je dla bardzo małych gęstości strumienia wody ok. 10- 2 kg/(m2·s). Otrzymane wyniki wykazały, że wielkość współczynnika wymiany ciepła rośnie wraz ze wzrostem prędkości oraz średnicy kropel uderzających o chłodzoną powierzchnię. Natomiast gęstość strumienia kropel w tym zakresie wrzenia w dużo mniejszym stopniu wpływa na wielkość współczynnika wymiany ciepła. W pracach [19] i [25] przedstawiono badania nad wpływem prędkości i wielkości kropel na wartość krytycznej gęstości strumienia ciepła oraz związany z nią współczynnik wymiany ciepła. Stosowano wydajność strumienia wody znacznie przekraczającą 1 kg/(m2·s). Autorzy obu prac niezależnie stwierdzili, że w przypadku wrzenia przejściowego i pęcherzykowego, wpływ wielkości kropel uderzających o chłodzoną powierzchnię na wielkość krytycznej gęstości strumienia ciepła oraz na współczynnik wymiany ciepła jest bardzo mały. Chen [19] dowodzi, że największy wpływ na wymianę ciepła podczas chłodzenia natryskiem ma prędkość kropli, a w drugiej kolejności gęstość strumienia tych kropel. Ciofalo natomiast, w swoich badaniach [25] oprócz wpływu prędkości i wielkości kropel cieczy, uwzględnił dodatkowo 11.

(12) wpływ wydajności strumienia wody. Wykazał, podobnie jak autorzy prac [11,25,39,62], że współczynnik wymiany ciepła rośnie liniowo wraz ze wzrostem wydajności strumienia wody. Z kolei Oliveira i Sousa wskazują, że wydajność strumienia wody nie ma wpływu na współczynnik wymiany ciepła jeśli temperatura powierzchni jest wyższa niż 750ºC [64], a więc w zakresie temperatury, przy którym występuje wrzenie błonowe. Efektywność chłodzenia wzrasta wraz ze wzrostem liczby Webera. Potwierdzają to badania przeprowadzone przez Pasandideg’a–Fard’a i współpracowników [67]. Podobne wnioski wynikają z badań przeprowadzonych przez zespół Hsieh, Fan, Tsai [38-39], w których wykazano, że wraz ze wzrostem wartości liczby Webera rośnie wartość współczynnika wymiany ciepła, zarówno podczas chłodzenia wodą jak i podczas chłodzenia czynnikiem R-134a (1,1,1,2-tetrafluoroetanem). Przy wzroście prędkości kropel ich średnica maleje. Nasuwa się stąd wniosek, że także w przypadku opisu zależności wymiany ciepła od wartości liczby Webera decydujący wpływ na wielkości parametrów opisujących tę wymianę ma prędkość kropel. Zaprezentowane przez autorów wyniki badań pozwalają stwierdzić, że wartość gęstości strumienia ciepła podczas chłodzenia wodą jest o rząd wielkości większa niż w przypadku chłodzenia czynnikiem R-134a. Wskazuje to, że wybór czynnika chłodniczego wpływa w znaczący sposób na wymianę ciepła przy chłodzeniu natryskiem cieczy. Dowodzą tego także prace Lina’a i Ponnappan’a [57] oraz Puschmann’a i Specht’a [73]. W pierwszej z nich [57] wykazano, że wartość krytycznej gęstości strumienia ciepła w przypadku chłodzenia miedzianej płytki przy pomocy różnych cieczy może przyjmować wartości od 90 W/cm2 w przypadku zastosowania do chłodzenia fluoropochodnych węglowodorów (FC87 i FC-72) do 500 W/cm2 w przypadku wody. Odpowiadający tym wartościom współczynnik wymiany ciepła wynosi odpowiednio 20.6 i 84.2 kW/(m2·K). Puschmann i Specht [73] badali w jaki sposób na wymianę ciepła wpływa chłodzenie gorącej powierzchni za pomocą wody rozpylonej powietrzem. W swojej pracy autorzy dokonali podziału całkowitego współczynnika wymiany ciepła na dwie części. Pierwsza odpowiadała wymianie ciepła spowodowanej przez silny strumień powietrza, druga wywołana była przez strumień wody. Wykazano, że zasadniczy wpływ na wartość współczynnika wymiany ciepła ma ciśnienie powietrza użytego do rozpylenia wody. Przy zachowaniu stałej wydajności strumienia wody, współczynnik wymiany ciepła od wody rośnie wraz ze wzrostem ciśnienia powietrza. Zjawisko to wiąże się ze zmianą parametrów hydrodynamicznych cieczy. Krople cieczy stają się mniejsze i uzyskują większą prędkość. Najwyższa odnotowana przez Puschmann’a i Specht’a wartość współczynnika wymiany ciepła wynosiła 3 kW/(m2·K). O wymianie ciepła podczas chłodzenia natryskiem cieczy decyduje także orientacja dyszy względem chłodzonej powierzchni i kierunek sił grawitacji, a także sposób w jaki ciecz opuszcza chłodzoną powierzchnię [75]. Efekt oddziaływania sił grawitacji na proces chłodzenia natryskiem cieczy może zostać pominięty zwłaszcza w przypadku chłodzenia małych powierzchni ze względu na to, że pęd kropli opuszczających dyszę rozpylającą jest dużo większy w porównaniu z wektorem sił ciężkości [48]. Heming i jego zespół wykazali, że na wymianę ciepła przy chłodzeniu natryskiem wodnym wpływa także rozmiar chłodzonego obiektu. W swojej pracy [36] przedstawili wyniki 12.

(13) eksperymentu chłodzenia natryskiem dwóch prętów stalowych o różnych wymiarach. Na podstawie otrzymanych wyników autorzy stwierdzają, że maksymalny współczynnik wymiany ciepła odpowiadający krytycznej gęstości strumienia ciepła jest większy w przypadku pręta stalowego o średnicy Ø 40 mm i długości 120 mm (ok. 15 kW/(m2·K)) niż w przypadku pręta wykonanego z tego samego materiału ale o wymiarach Ø 20 mm x 60 mm (ok. 17.5 kW/(m2·K)). Na zaprezentowanych w pracy [36] zależnościach współczynnika wymiany ciepła od temperatury powierzchni można zaobserwować, że w przypadku pręta o wymiarach Ø 40 x 120 mm okres wrzenia błonowego jest dłuższy niż w przypadku pręta o wymiarach Ø 20x 60 mm. Natomiast po wejściu procesu chłodzenia w okres wrzenia przejściowego, wartość współczynnika wymiany ciepła rośnie znacznie szybciej w przypadku pręta o większych wymiarach niż w przypadku pręta o mniejszych wymiarach. Z kolei Tartarini i jego zespół, zwrócili uwagę na inny czynnik wpływający na wymianę ciepła przy chłodzeniu natryskiem, a mianowicie na właściwości termofizyczne materiału. W swoich badaniach [84] wykorzystali trzy materiały, różniące się właściwościami cieplnofizycznymi. Tymi materiałami były: aluminium, macor oraz stal. Macor jest to skrawalne tworzywo szklano – ceramiczne, które składa się w ok. 55 % z fluoroflogopitu. Pozostałą część stanowi szkło borokrzemianowe. Materiał ten ma zastosowanie w przemyśle lotniczym, kosmonautycznym i medycynie. Stosowane jest jako izolator lub materiał na dysze spawalnicze, a także jako uszczelniacz w urządzeniach wytwarzających próżnię. Na podstawie otrzymanych wyników badań stwierdzono, że w przypadku materiałów charakteryzujących się dużą wartością przewodności cieplnej początek procesu wrzenia następuje szybciej niż w przypadku materiałów o niskiej przewodności cieplnej. Nasuwa się stąd wniosek, że wartości parametrów termofizycznych materiału także w znaczący sposób wpływają na charakter wymiany ciepła przy chłodzeniu. Dowodem na to może być także przykład zjawiska, które występuje podczas chłodzenia gorącej powierzchni bardzo dużym strumieniem cieczy. W takim przypadku temperatura chłodzonej powierzchni gwałtownie spada, a ilość ciepła odbierana w dalszym ciągu z chłodzonej powierzchni zależy od szybkości transportu ciepła z wnętrza materiału do powierzchni. Zjawisko to odgrywa dużą rolę zwłaszcza w przypadku chłodzenia próbek o dużych wymiarach, np. stalowe odkuwki [79]. Pomimo istotnego wpływu jaki na wymianę ciepła podczas chłodzenia natryskiem wodnym mają właściwości termofizyczne chłodzonego materiału, w literaturze brakuje danych opisujących wpływ tych parametrów na wartość współczynnika wymiany ciepła. Na podstawie dostępnych wyników badań trudno jest ustalić jaki wpływ na współczynnik wymiany ciepła ma przewodność cieplna materiału. Problem ten wynika stąd, że badacze przyjmują różne założenia wstępne. Część z nich przyjmuje do obliczeń stałą wartość przewodności cieplnej, ciepła właściwego i gęstości [25, 84]. Inni zakładają zmianę właściwości termofizycznych wraz z temperaturą [11, 13, 35, 88]. Jeszcze inni nie precyzują ich opisu [19, 38-39, 62, 73]. Próba ustalenia wpływu właściwości termofizycznych na proces chłodzenia jest trudna także ze względu na to, że w wielu pracach ograniczono się do badania wpływu wybranych parametrów na jeden charakterystyczny obszar wrzenia występujący przy chłodzeniu [8, 34, 38-39, 75]. 13.

(14) W tabeli 3.1 przedstawiono przykładowe wartości współczynnika wymiany ciepła otrzymane przez różnych autorów. Dane dotyczą chłodzenia wtórnego w procesie ciągłego odlewania stali (COS) oraz chłodzenia pasma podczas walcowania na gorąco. Na podstawie przedstawionego zestawienia można stwierdzić, że wartości współczynnika wymiany ciepła przyjmują podobne wielkości w odpowiednich procesach. Ewentualne różnice pomiędzy tymi wielkościami są wynikiem założeń wstępnych dokonanych przez autorów, np. przyjęcia różnego rodzaju dysz rozpylających wodę [79], różnych wartości wydajności strumienia wody [11, 62] i sposobu odprowadzania wody z chłodzonej powierzchni [75, 91]. Tab. 3.1. Wartości współczynnika wymiany ciepła podczas chłodzenia natryskiem wodnym według różnych autorów. Lp.. Autor. Rodzaj procesu. Współczynnik przejmowania ciepła , kW/(m2·K). 1. Buczek [11]. COS. 0.4 – 6 1 - 12. dla G = 1 kg/(m2·s) dla G = 5 kg/(m2·s). 2. Mizikar [62]. COS. 1-6. dla G < 1 kg/(m2·s). 3. 4. Sengupta [78]. Stewart [79]. COS. COS. 2–3. 0.3 – 3. 0.4 - 5. 5. Kuziak [55]. 6. Pietrzyk [68]. 7. Rivallin [75]. 8. Tseng [91]. Walcowanie na gorąco Walcowanie na gorąco Walcowanie na gorąco Walcowanie na gorąco. 6 6 15 60 6. Uwagi. maksymalny współczynnik przejmowania ciepła Wartości  zależą od rodzaju dyszy dla średniej wydajności strumienia wody dla dużej wydajności strumienia wody bezpośrednio pod natryskiem wodą bezpośrednio pod natryskiem wodą - bezpośrednio pod natryskiem wodą - w strefach przy ściance bezpośrednio pod natryskiem wodą. 14.

(15) 4. CEL I TEZA PRACY Tezę pracy stanowiło następujące stwierdzenie: . podczas chłodzenia natryskiem wodnym istnieje graniczna wartość współczynnika wymiany ciepła, a parametrem decydującym o tej wartości jest przewodność cieplna chłodzonego materiału. Określony tematem zakres oraz teza pracy wyznaczyły następujące cele pracy: . określenie wpływu parametrów chłodziwa i właściwości termofizycznych wybranych metali na współczynnik wymiany ciepła,.  określenie parametrów chłodziwa, dla których współczynnik wymiany ciepła osiąga wartość graniczną.. 15.

(16) 5. METODY IDENTYFIKACJI WSPÓŁCZYNNIKA WYMIANY CIEPŁA W zagadnieniach przewodzenia ciepła pole temperatury jest jednoznacznie określone przez równanie różniczkowe przewodzenia ciepła, warunki brzegowe oraz warunek początkowy [83]. Znajomość zależności parametrów opisujących warunki brzegowe od czasu pozwala na wyznaczenie rozkładu temperatury wewnątrz ciała poprzez rozwiązanie równania przewodnictwa cieplnego. Tego typu zagadnienia nazywane są zagadnieniami bezpośrednimi. W większości przypadków bezpośredni pomiar wielkości określających warunki brzegowe tj. gęstości strumienia ciepła, temperatury powierzchni wymieniającej ciepło z otoczeniem, współczynnika wymiany ciepła oraz temperatury otoczenia nie jest możliwy. Czasem stosuje się pośrednie metody wyznaczania tych wielkości przy wykorzystaniu odpowiednich czujników np. czujników grzejnych (aktywnych), kalorymetrycznych, cienkościennych np. Gardona [13, 83]. Jednak często zdarza się, że umieszczenie czujników na badanej powierzchni nie jest możliwe lub, że pomiar żądanych wielkości nie jest dokładny ze względu na warunki w jakich zachodzi wymiana ciepła, np. gdy powierzchnia ciała jest omywana gorącą cieczą lub parą pod wysokim ciśnieniem. W takich przypadkach łatwiej przeprowadzić pomiar temperatury w wybranych punktach wewnątrz ciała i na tej podstawie określić zmieniające się w czasie pole temperatury, gęstość strumienia ciepła na powierzchni ciała stałego lub współczynnik wymiany ciepła. Tego typu problemy noszą nazwę brzegowego zagadnienia odwrotnego dla równania przewodzenia ciepła. Identyfikację gęstości strumienia ciepła i współczynnika wymiany ciepła dokonuje się przy wykorzystaniu metod, które można podzielić na dwie zasadnicze grupy. Są to metody oparte na [13]: . ustalonym polu temperatury, do których zalicza się metody przewodnościowe i bilansu cieplnego,. . nieustalonym polu temperatury, do których należą metody ustalonego stanu cieplnego, analogowe oraz rozwiązań odwrotnych. W części eksperymentalnej prac dotyczących identyfikacji gęstości strumienia ciepła lub współczynnika wymiany ciepła w oparciu o rozwiązanie zagadnienia odwrotnego, przeprowadzano pomiar temperatury wewnątrz próbek metalowych. Kształt tych próbek przyjmowano najczęściej tak, by podczas chłodzenia dominowało w nich jednokierunkowe przewodzenie ciepła. Stosowano próbki cylindryczne [19, 77, 87], izolowane bloczki [20, 27, 39, 84], płytki [25, 33-34], a także cienkie folie [38-39, 73]. Do nagrzewania najczęściej stosowano grzejne elementy wkładkowe, czasem czujniki nagrzewanie były w piecu, bądź też przy użyciu lasera [33]. Do pomiaru temperatury próbki wykorzystywano najczęściej termoelementy, a niekiedy technikę termowizyjną [33, 73, 84].. 16.

(17) 6. ZAGADNIENIE ODWROTNE DLA RÓWNANIA PRZEWODZENIA CIEPŁA Jak wspomniano w poprzednim rozdziale, zagadnienie odwrotne pozwala na określenie nieznanych parametrów na podstawie pomiaru wielkości, które przez te parametry zostały spowodowane. W przypadku zagadnień odwrotnych dotyczących przepływu ciepła analizie podlega tzw. temperaturowa odpowiedź układu, czyli danymi do obliczeń jest temperatura lub przebiegi temperatury w wybranych punktach ciała. Biorąc pod uwagę rodzaj poszukiwanych parametrów, zagadnienia odwrotne dla równania przewodzenia ciepła można podzielić na [2, 13]: . retrospektywne – gdzie poszukiwane są warunki początkowe, a do rozwiązania problemu potrzebne są warunki brzegowe i pomiar temperatury w wewnętrznych punktach ciała,. . graniczne (brzegowe) – w których poszukuje się warunków brzegowych na podstawie znajomości warunku początkowego oraz pomiarów temperatury w wewnętrznych punktach ciała,. . współczynnikowe – w których na podstawie znanych warunków brzegowych i pomiaru temperatury wewnątrz ciała, poszukiwane są właściwości fizyczne ciała stałego np. przewodność cieplna, pojemność cieplna,. . geometryczne – które polegają na wyznaczeniu położenia i wydajności wewnętrznych. źródeł ciepła. Odwrotne brzegowe zagadnienia przewodzenia ciepła należą do klasy zagadnień źle uwarunkowanych. Oznacza to, że znacznemu wymuszeniu na brzegu ciała, w wyniku którego następuje duża zmiana temperatury powierzchni, może towarzyszyć niewielka zmiana temperatury w miejscu pomiaru. Zwłaszcza w przypadku, gdy punkt pomiaru temperatury jest znacznie oddalony od powierzchni. Niewielkie zakłócenia pomiaru w tym punkcie przenoszą się z rosnącą amplitudą na wyniki obliczeń. Może to spowodować, że otrzymane wyniki będą znacznie odbiegały od wartości rzeczywistych [13, 83]. Aby uzyskać poprawne fizycznie wyniki obliczeń konieczne jest zastosowanie odpowiednich metod rozwiązania, które pozwalają na złagodzenie skutków złego uwarunkowania problemu odwrotnego. Do rozwiązania brzegowych zagadnień odwrotnych dla równania przewodzenia ciepła można zastosować metody analityczne [5, 82]. Jednak stosowanie tych metod ogranicza się do problemów jednowymiarowych oraz do prostych form geometrycznych, w których zwykle przyjmuje się stałe właściwości cieplne materiału. Dodatkowo nie jest w nich możliwe przyjęcie większej liczby punktów pomiaru temperatury wewnątrz ciała, ani występowania więcej niż jednego wewnętrznego źródła ciepła [13]. Dużo większe możliwości w rozwiązywaniu problemów odwrotnych dają metody numeryczne. Na przestrzeni kilkudziesięciu lat powstało wiele prac, w których opracowano różnego rodzaju sposoby rozwiązywania brzegowego zagadnienia odwrotnego w oparciu o te metody. Jedną z metod odnoszących się do rozwiązania liniowych jednomiarowych 17.

(18) zagadnień odwrotnych jest metoda, w której wykorzystuje się transformację Laplace’a. W pracy [18] znalazła ona zastosowanie w połączeniu z metodą elementów skończonych. Autorzy wykazali dużą skuteczność tej metody w przypadku identyfikacji stałej temperatury powierzchni bądź strumienia ciepła na brzegu. Natomiast w pracy [17] w celu wyznaczenia temperatury powierzchni i gęstości strumienia ciepła podczas chłodzenia natryskiem wodnym wykorzystano transformację Laplace’a w połączeniu z metodą różnic skończonych oraz metodą najmniejszych kwadratów. Otrzymane wyniki porównano następnie z wynikami eksperymentalnymi i wynikami otrzymanymi w wyniku zastosowania kroczącej metody aproksymacji funkcyjnej (sekwencyjnej specyfikacji funkcji), będącej odmianą metody Gaussa–Newtona [23]. Otrzymano dużą zgodność wyników, zwłaszcza w przypadku gdy poszukiwanym parametrem była temperatura powierzchni. Metoda ta służy do rozwiązywania zagadnień liniowych, w których właściwości termiczne są stałe. W większości procesów technologicznych, w których poszukiwane są warunki brzegowe, wymiana ciepła ma charakter nieliniowy, niestacjonarny i często nie można jej sprowadzić do zagadnienia jednowymiarowego. Nieliniowość procesów wymiany ciepła jest związana z zależnością właściwości termofizycznych od temperatury [6, 13]. Metodologia rozwiązania tego typu problemów opiera się na założeniu, że źle uwarunkowany problem odwrotny jest problemem optymalizacyjnym, który warunkowo spełnia założenia zagadnienia dobrze uwarunkowanego [61]. W algorytmie obliczeń problem optymalizacji sprowadza się do określenia minimum normy błędu (funkcjonału), którym jest suma kwadratów odchyleń temperatury obliczonej i zmierzonej. Pierwszym krokiem rozwiązania jest numeryczne obliczenie temperatury w punkcie odpowiadającym punktowi pomiaru temperatury. Obliczona numerycznie wartość temperatury wykorzystana jest później w procedurze optymalizacyjnej. Obliczenia powtarzane są odpowiednią ilość razy. Za każdym razem zmienione zostają założenia wstępne, aż do momentu gdy osiągnięty zostanie warunek opisany przez tzw. kryterium stopu. Do rozwiązywania brzegowych zagadnień odwrotnych przy wykorzystaniu procesu optymalizacji opracowanych zostało wiele metod. Wśród nich wyróżnić należy metodę regularyzacji wprowadzoną przez Tichonowa [89]. W tym przypadku w równaniu opisującym funkcjonał optymalizacyjny pojawia się dodatkowy iloczyn, który służy czasowej regularyzacji parametru opisującego poszukiwany warunek brzegowy (np. gęstość strumienia ciepła). Dodatkowy człon równania zawiera tzw. parametr regularyzacyjny, który dobiera się przy pomocy błędu określonego na podstawie danych początkowych np. na podstawie błędu pomiaru temperatury zmierzonej w wewnętrznym punkcie ciała [89, 61]. Algorytm do potrzeb rozwiązywania zagadnień odwrotnych przewodzenia ciepła w oparciu o metodę regularyzacji opracował m.in. Alifanow [2]. Zaproponowana przez niego metoda nosi nazwę regularyzacji iteracyjnej. W procedurze obliczeń konieczne jest w tym przypadku rozwiązanie oprócz problemu bezpośredniego jeszcze dwóch dodatkowych problemów, którymi są tzw. problem wrażliwości i tzw. problem sprzężony. Problem wrażliwości rozwiązywany jest w celu określenia wielkości kroku w kierunku spadku, natomiast problem sprzężony rozwiązuje się do określenia gradientu funkcjonału [81]. Następnie do rozwiązania zagadnienia 18.

(19) optymalizacyjnego stosowana jest metoda gradientów sprzężonych. Ten schemat rozwiązania jest stosowany najczęściej w brzegowych zagadnieniach odwrotnych [4, 22, 26, 40, 46-47, 81]. Innymi metodami służącymi do rozwiązywania nieliniowych brzegowych zagadnień odwrotnych są metody kroczące, które po raz pierwszy zastosowano w latach 60-tych XX wieku [80]. W metodach tych całkowity przedział czasu dzieli się na kilka mniejszych, w których wyznacza się gęstość strumienia ciepła poprzez minimalizację normy błędu. W schemacie rozwiązania zaproponowanym przez Beck’a [5] norma błędu zawiera współczynniki wrażliwości definiowane przez pierwszą pochodną temperatury w rozważanych punktach ciała i chwilach czasu względem gęstości strumienia ciepła. W metodach kroczących poszukiwana gęstość strumienia ciepła może być zastąpiona krzywą schodkową, a więc w poszczególnych przedziałach przyjmuje stałą wartość. Można też w poszczególnych przedziałach aproksymować ją funkcją pierwszego lub wyższego rzędu. Taka metoda nosi nazwę kroczącej metody aproksymacji funkcji i została opracowana przez Beck’a [6]. W przypadku, gdy linia trendu poszukiwanego parametru w rozpatrywanym przedziale wykazuje złożoną funkcję nieliniową, można ją aproksymować funkcją łamaną złożoną z wielomianu pierwszego lub drugiego stopnia. Można też zastosować funkcję sklejaną złożoną z wielomianu trzeciego stopnia lub funkcję, która spełnia wymogi funkcji sklejanej [13]. Metoda funkcji aproksymującej jest wykorzystywana często w połączeniu z różnymi formułami angażującymi do rozwiązania problem wrażliwości i problem sprzężony. W pracy [49] zastosowano metodę funkcji aproksymującej w połączeniu z metodą gradientów sprzężonych do rozwiązania trójwymiarowego, nieliniowego odwrotnego zagadnienia przewodzenia ciepła. Poszukiwana gęstość strumienia ciepła została aproksymowana funkcją liniową dla czasu oraz wielomianem trzeciego stopnia dla przestrzeni. W algorytmie rozwiązania odwrotnego zagadnienia przewodzenia ciepła do rozwiązania bezpośredniego najczęściej stosuje się metodę elementów skończonych [11-13, 22, 46-47]. Niekiedy wykorzystuje się metodę różnic skończonych [6, 36, 50, 60] lub metodę elementów brzegowych lub metody objętości skończonej [49]. Podejmowane także były próby wykorzystania sieci neuronowych [64].. 19.

(20) 7. MODEL MATEMATYCZNY I NUMERYCZNY WYMIANY CIEPŁA I PRZEMIAN FAZOWYCH 7.1. Pole temperatury Model matematyczny wymiany ciepła zastosowany w pracy opisuje wymianę ciepła pomiędzy obiektem chłodzonym a czynnikiem chłodzącym. Obiektem chłodzonym był metalowy walec. Jego powierzchnia boczna i jedna podstawa otoczone były ekranem. Bezpośredni kontakt z czynnikiem chłodzącym miała zatem tylko druga podstawa walca [14]. Nieustalone pole temperatury w walcu opisuje równanie Fouriera – Kirchhoffa 1   t r , z, ,    t r , z, ,  1   t r , z, ,   (t ) r   (t )  2  (t )      r r  r z   z   r    t r , z, ,   q v   t  c p t  0 . (7.1).   0; 0  r  R; 0  z  l.. Rozwiązanie równania (7.1) jest możliwe po określeniu warunków jednoznaczności którymi są: . warunek początkowy opisujący wyjściowe pole temperatury ciała. t r, z, ,   t r, z,  dla .  0 ,. (7.2). warunki brzegowe, które mają postać:. . t r  R, z,  ,   R    t p  t R, z,  ,   0 , r   . . t r , z  0,  ,   z  0    t p  t r , z  0,  ,   0 , z   . . t r, z  L,  ,   l    t p  t r, L,  ,   0 . z   . . . . . . . (7.3). (7.4). (7.5). Wymiana ciepła między osłoniętą powierzchnią walca i ekranem odbywała się poprzez promieniowanie oraz przewodzenie ciepła przez warstwę powietrza znajdującego się między walcem i ekranem. Współczynnik przenikania ciepła można wyznaczyć z równania 1 sp 1   . k p r. (7.6). Współczynnik wymiany ciepła przez promieniowanie opisano równaniem.  r   z  5.675  10 8  A1 T14  T24 . gdzie  z . 1 .  1 A1  1   1   1 A2   2 . (7.7) (7.8). 20.

(21) Układ równań różniczkowych (7.1), (7.3)-(7.5) rozwiązywano przez dyskretyzację obszaru walca metodą elementów skończonych [96]. W modelu wymiany ciepła zaniedbano przewodzenie ciepła w kierunku obwodowym. Zastosowano metodę reszt ważonych, która pozwoliła na przekształcenie równania (7.1) do układu równań algebraicznych. Zakładając liniową zmianę temperatury w czasie Δτ należącym do przedziału (τ0 ,τ0 + Δτ) oraz stosując schemat Galerkina [13, 59, 69] otrzymuje się układ równań algebraicznych: Aij  0  t j  0     Bi   ,. (7.9). który pozwala na wyznaczenie temperatury próbki tj w węzłach elementów po czasie  . W układzie równań (7.9) oznaczono: Aij  0  . 1 1 Cij  0   K ij  0  , 2 3. (7.10). 1 1 1  1  B j     Cij  0   K ij  0 t  0   Gi  0   Gi  0    . 6 6 3  2 . (7.11). gdzie Kij jest macierzą przewodności cieplnej, Cij – macierzą pojemności cieplnej, Gi – wektorem obciążenia cieplnego. Dyskretyzacja pola temperatury była wykonana we współrzędnych cylindrycznych w płaszczyźnie r, z. Wektor obciążenia cieplnego Gi oraz macierze przewodności i pojemności cieplnej Kij , Cij dla jednego elementu czterowęzłowego mają postać: 4. 2. s 1. k 1. . . 4. Gi   Ls  N i  k t ak  q k D kf r k   N i qvk r k Dvk ,. (7.12). 4  N N j N i N j  4 s 2    L  N i N j k D kf r k , K ij   k r k Dvk  i  z z  s 1 k 1 k 1  r r. (7.13). k 1. 4. Cij    k c k t N i N j Dvk r k .. (7.14). k 1. gdzie r k jest współrzędną cylindryczną w obszarze elementu w punkcie całkowania metodą Gaussa, Ls jest stałą (dla boku elementu na którym zadawane są warunki brzegowe Ls  1 , w pozostałych przypadkach Ls  0 ), Ni są liniowymi funkcjami kształtu, Dv jest wyznacznikiem macierzy przekształcenia współrzędnych cylindrycznych r, z do współrzędnych naturalnych elementu ξ1, ξ2. Współrzędne cylindryczne r, z są związane ze współrzędnymi naturalnymi ξ1, ξ2 elementu równaniami: 4. r 1 ,  2    N i ri ,. (7.15). i 1 4. z 1 ,  2    N i zi ,. (7.16). i 1. gdzie przez ri, zi oznaczono współrzędne cylindryczne węzłów elementu. Liniowe funkcje kształtu dla elementu czterowęzłowego mają postać: 21.

(22) 1 (7.17) 1  1i1 1   2i 2 ; i  1,2,3,4 . 4 Pochodne funkcji kształtu względem współrzędnych cylindrycznych opisują równania: Ni . N k N k  J k11 , r 1. (7.18) N k N k  J k21 . z  2. Wyznacznik macierzy przekształcenia współrzędnych elementu ma postać.  r   Dv  det  1  z  1. r   2   z  .  2 . (7.19). W przypadku boku elementu wyznacznik Df przyjmuje postać. Df . 2 N l   k lk . 1 k 1 1. (7.20). Układ algebraicznych równań liniowych (7.9) był rozwiązywany metodą eliminacji Gaussa. Do wyznaczenia współczynnika wymiany ciepła αl, który występuje w warunku brzegowym (7.5), wybrano rozwiązanie zagadnienia odwrotnego dla równania przewodzenia ciepła. W rozwiązaniu tym wykorzystano aproksymację średniokwadratową. Metodyka obliczeń polegała, na przyjęciu ogólnej postaci funkcji aproksymującej zależność współczynnika wymiany ciepła od czasu. Zadaniem obliczeń było określenie szczególnej postaci tej funkcji. Za funkcję aproksymującą przyjęto funkcję sklejaną, która w zadawanych przedziałach była złożona z wielomianów Hermita [13]. W dowolnym czasie τ należącym do przedziału <b, c> wielomian Hermita opisuje równanie 2   df       f      H L0   f  L   H L1   L 1   d  L . gdzie  .  b cb. .. (7.21). (7.22). Funkcje H L0   i H L1   są wielomianami trzeciego stopnia: H 10    1  3 2  2 3 H 20    3 2  2 3.     . . H 11      2 2   3 b  a  H 21. 3. . 0   1. (7.23).   2 b  a . Jeżeli w przedziale <a, b> zadanych będzie (n+1) punktów x0, x1, …, xn, to punkty xi, i=0, 1, ..,m określają podział przedziału <a, b> na m podprzedziałów. W przedziale <a, b> można wówczas utworzyć funkcję sklejaną, która będzie zbiorem n funkcji opisanych wielomianem Hermita 22.

(23)  df  m     f  m   H10  m  f  m,i   H11  m   d m  i  df  m    .  H 20  m  f  m,i 1   H 21  m   d m  i 1. (7.24). Spełnione muszą być wtedy warunki ciągłości funkcji sklejanej – wartość sąsiadujących ze sobą w każdym węźle funkcji i jej pochodnej muszą być jednakowe [13]. Na przykład dla pierwszego wewnętrznego węzła xi=1, wielomiany Hermita określone na podprzedziale m=1 i m=2 mają postać: - podprzedział m = 1, a = x0 ≤ x ≤x1.  df 1    df 1     H 20 1  f 1, 2   H 21 1   f 1   H 10 1  f 1,1   H 11 1   d1 1  d1  2 ,. (7.25). - podprzedział m = 2, a = x1 ≤ x ≤ x2.  df 2    df 2     H 20 21  f 2, 2   H 21 2   f 2   H10 2  f 2,1   H11 2   d2 1  d2 2 .. (7.26). Z warunku ciągłości funkcji sklejanej w węźle xi=1 wynikają równania: f 1, 2   f  2,1 . (7.27). ,.  df 1    df  2         d1  2  d 2 1 .. (7.28) Podstawiając (7.26) i (7.27) do (7.25) wielomian Hermita w podprzedziale m = 2 spełniający warunki ciągłości funkcji sklejanej ma postać.  df 1     f  2   H 10  2  f 1, 2   H 11  2   d1  2  df  2     H 20  21  f  2, 2   H 21  2   d 2  2. (7.29). Identyfikacja funkcji sklejanej sprowadzała się do określenia wartości funkcji f(ξ).  df     we wszystkich węzłach przedziału <a, b>. i jej pochodnej   d  Celem aproksymacji średniokwadratowej była minimalizacja normy błędu opisanej równaniem n. k. . . pom    t num p ,i    t p ,i  . 2. (7.30). p 1 i 1. num gdzie: t ppom ,i  , t p ,i   - zmierzona i obliczona temperatura w wybranych punktach ciała,. p – liczba punktów pomiarowych, i – liczba kroków czasowych. Temperaturę. t num p ,i  . obliczono z rozwiązania bezpośredniego metodą elementów. skończonych. Ilość i położenie węzłów przedziałów aproksymacji współczynnika wymiany 23.

(24) ciepła αl wynikała z kontroli wartości średniego błędu dopasowania temperatury zmierzonej i obliczonej. 1 n t   nk i 1. k.  t    t   . j 1. num i, j. pom i, j. (7.31).. Do minimalizacji normy błędu wykorzystano metodę zmiennej metryki [30-31, 53-54, 71]. Należy ona do gradientowych metod minimalizacji bez ograniczeń. W tego rodzaju metodach minimum funkcji określa się wzdłuż kierunków poszukiwań. Kierunki poszukiwań są na bieżąco ustalane na podstawie informacji o wartościach i zmianach gradientu w punktach generowanych przez algorytm. Stąd też metodę tę zalicza się do metod kierunków poprawy [30, 53]. Ogólna idea algorytmu metody zmiennej metryki polega na konstrukcji ciągu macierzy, które stanowią przybliżenie odwrotności macierzy drugich pochodnych (hesjanu) funkcji celu. Metoda zmiennej metryki jest podobna do metody Newtona, gdzie w każdej iteracji oblicza się macierz odwrotną hesjanu, dlatego też metoda zmiennej metryki nazywana jest metodą quasi-newtonowską. Przebieg każdej iteracji metody zmiennej metryki można przedstawić następująco: 1. Mając dany punkt a następnie. d  n 1. k . na. w   , wyznacza się gradient funkcji celu b    w   , k. n 1. k. n 1. jego. podstawie. generuje. się. n 1. kierunek. k. poprawy.    . k.  Vk   w1n. 2. W wyniku minimalizacji w tak otrzymanym kierunku otrzymuje się punkt. w  n 1. k 1. .. Działanie to jest powtarzane dla każdej iteracji. 3. W pierwszej iteracji stosuje się macierz jednostkową Vk = V0 = I. W następnych iteracjach macierz Vk oblicza się stosując następujący schemat: a. wyznacza się wektory:. s   w    w  n k 1. n 1. k. n 1. k 1. oraz. r . n k 1.     w .   w1n. k. n 1. k 1. b. następnie oblicza się nową macierz. korzystając ze wzoru Vk  Vk 1  Vk .. Poprawkę ΔVk można wyznaczyć ze wzoru zaproponowanego przez DavidonaFletchera-Powella (DFP) lub w metodzie Broydena-Fletchera-GoldfarbaShannona (BFGS) [30, 53, 71].. d    n 1. 4. W przypadku gdy kierunek. k. nie jest kierunkiem poprawy przeprowadzona. zostaje tzw. odnowa, rozumiana jako podstawienie macierzy jednostkowej, co prowadzi do. użycia. kierunku. największego. spadku. d    w   . n 1. k. n 1. k. Odnowa. przeprowadzana jest także w przypadku, gdy od ostatniej odnowy wykonano n iteracji. 5. Kryterium zakończenia procesu minimalizacji funkcji celu (kryterium stopu) polega.  w   w n. na sprawdzeniu warunku. i 1. k 1 i. k i.   , gdzie ε jest założoną dokładnością. 24.

(25) obliczeń. W pracy funkcją celu była norma błędu opisana równaniem (7.30). Przyjęto również dodatkowe kryterium stopu polegające na sprawdzeniu liczby wykonanych iteracji. Minimalizacja była zatrzymywana jeżeli wykonano m  5  n iteracji, gdzie n odpowiada sumarycznej ilości współczynników wielomianu Hermita, które zostały użyte do aproksymacji współczynnika przejmowania ciepła we wszystkich założonych przedziałach czasu. Poniżej przedstawiono przykładowy wynik działania algorytmu optymalizacyjnego zastosowanego do identyfikacji współczynnika wymiany ciepła. Rozważano w nim wymianę ciepła pomiędzy płytą mosiężną i otoczeniem. Zadawane w rozwiązaniu odwrotnym pole temperatury w płycie obliczono numerycznie, przy wykorzystaniu metody elementów skończonych. W obliczeniach założono, że jedna z powierzchni płyty jest izolowana względem otoczenia zewnętrznego q (l, τ) = 0. Natomiast druga powierzchnia oddaje ciepło do otoczenia zgodnie z prawem Newtona, ze współczynnikiem przejmowania ciepła zmieniającym się zgodnie z równaniem α (τ)= exp (10 sin (0.4τ)), W/(m2·K). (7.32) Pozostałe dane do obliczeń były następujące: . grubość płyty l = 20 mm,. . przewodność cieplna mosiądzu λ = 0.159 t +105, W/(m·K),. . ciepło właściwe mosiądzu cp = 0.0004 t 2 + 0.1023 t +377.37, J/(kg·K),. . gęstość ρ = 8600 kg/m3,. . temperatura początkowa płyty t0 = 550ºC.  temperatura otoczenia tot = 20ºC Symulowane numerycznie wyniki obliczeń temperatury w wybranych trzech punktach płyty w przedziale czasu [0,15 s] przedstawiono na rysunku 7.1. Wykorzystując rozwiązanie zagadnienia odwrotnego obliczono współczynnik przejmowania ciepła na podstawie temperatury zadawanej tylko z jednego punktu, znajdującego się najbliżej powierzchni, na którą oddziaływało wymuszenie brzegowe (2 mm). Zależność poszukiwanego współczynnika wymiany ciepła od czasu aproksymowano wielomianem Hermita. Zależności (7.25) nadano postać.     f    w1 H10    w2 H11    w3 H 20    w4 H 21  . (7.33). 25.

(26) 600 2 mm 4 mm 6 mm. Temperatura, oC. 500. 400. 300. 200 0. 4. 8 Czas, s. 12. 16. Rys. 7.1. Temperatura w wybranych punktach płyty mosiężnej. Wielomiany H 10   , H 20   , H 11   , H 21   wyznaczono ze wzorów (7.23). Zmienną pomocniczą ξ wyznaczono ze wzoru. .  i  0 , . k i 0.    k   0 ,. gdzie τ0, τk – czas na początku i końcu danego przedziału. Współczynniki w1, w2, w3, w4 były poszukiwane w rozwiązaniu zagadnienia odwrotnego. Wstępnie przyjęto tylko jeden wielomian w całym przedziale czasu (τ0 = 0, τk = 14 s). Uzyskane rozwiązanie traktowano jako pierwsze przybliżenie. Współczynniki wielomianu Hermita podano w tabeli 7.1. Wyniki obliczeń współczynnika przejmowania ciepła i błąd obliczeń współczynnika przejmowania ciepła przedstawiono na rysunkach 7.2 i 7.3. Średni błąd dopasowania temperatury zadawanej do rozwiązania odwrotnego i obliczonej w wyniku obliczeń odwrotnych dla poszukiwanego współczynnika przejmowania ciepła, wyznaczony wg wzoru (7.31), wyniósł ok. 38.3 K. Otrzymany wynik obliczeń pierwszego przybliżenia wskazuje na duży błąd rozwiązania (rys. 7.3). Błąd ten wynika z błędu aproksymacji pierwszego przybliżenia. Tab.7.1. Współczynniki wielomianu Hermita, I przybliżenie Współczynniki. Przedział czasu, s. w1. w2. w3. w4. 0-15. -4066.74. 6854.19. 6479.33. 5549.07. 26.

(27) rozwiązanie wg wzoru (6.32) I przybliżenie. 25000 20000 15000 10000 5000 0 -5000 -10000 0. 2. 4. 6 8 Czas, s. 10. 12. 16000. Błąd obliczeń współczynnika wymiany ciepła, W/(m2·K). Współczynnik wymiany ciepła, W/(m2.K). 30000. 12000. 8000. 4000. 0. -4000. -8000. 14. 0. Rys. 7.2. Współczynnik wymiany ciepła obliczony dla temperatury zadawanej z punktu odległego o 2 mm od powierzchni na którą działało wymuszenie brzegowe, I przybliżenie. 2. 4. 6 8 Czas, s. 10. 12. 14. Rys. 7.3. Bezwzględny błąd obliczeń współczynnika wymiany ciepła, I przybliżenie. W celu zwiększenia dokładności rozwiązania, zastosowano funkcję sklejaną złożoną z wielomianów Hermita. Położenie węzłów tej funkcji ustalono na podstawie zmian pierwszej pochodnej temperatury po czasie, temperatury zmierzonej w punkcie położonym najbliżej powierzchni, na którą oddziaływał nieliniowy strumień ciepła (2 mm) (rys. 7.4). W drugim przybliżeniu przyjęto cztery przedziały czasu (0, 2.5 s), (2.5, 4.5 s), (4.5, 7 s), (7, 15 s). Wartości współczynników funkcji sklejanej obliczone w drugim przybliżeniu podano w tabeli 7.2. Tab. 7.2. Współczynniki wielomianów Hermita w funkcji sklejanej, II przybliżenie Współczynniki. Przedział czasu, s. w1. w2. w3. w4. 0-2.5. -1 064.00. 5 979.30. 9 104.37. 18 799.70. 2.5-4.5. 9 104.37. 18 799.70. 26 648.51. -4 765.20. 4.5-7. 26 648.51. -4 765.20. -350.87. -253.78. 7-15. -350.87. -253.78. -387.98. -318.35. 27.

(28) 200. 150. t/. 100. 50. 0. -50. -100 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Czas, s. Rys. 7.4. Pochodna temperatury po czasie dla punktu znajdującego się 2 mm od powierzchni na którą działało wymuszenie brzegowe. Na rysunku 7.5 przedstawiono wyniki obliczeń współczynnika wymiany ciepła. Dla porównania podano także wynik pierwszego przybliżenia oraz wynik rozwiązania opisanego równaniem (7.32). Uzyskane wyniki wskazały, że aproksymacja współczynnika wymiany ciepła za pomocą funkcji sklejanej spowodowała około pięciokrotne zmniejszenie błędu obliczeń współczynnika przejmowania w stosunku do wyników otrzymanych za pomocą przybliżenia pierwszego (rys. 7.6). Średni błąd obliczeń temperatury w drugim przybliżeniu wyniósł ok. 3.3 K. Uzyskano zatem wyraźne zwiększenie dokładności rozwiązania numerycznego w stosunku do przybliżenia pierwszego. Zdecydowano jednak jeszcze zwiększyć liczbę przedziałów, zagęszczając je w zakresie, gdzie występował największy błąd obliczeń współczynnika przejmowania ciepła (trzecie przybliżenie). Przyjęto następujące położenie węzłów: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 12; 14 s. Obliczone w tym przybliżeniu współczynniki funkcji sklejanej podano w tabeli 7.3. Na rys. 7.7 porównano wyniki obliczeń uzyskane w trzecim przybliżeniu z obliczonymi z równania (7.32) . Przyjęcie funkcji sklejanej w większej liczbie przedziałów, spowodowało znaczne zwiększenie dokładności rozwiązania. Błąd obliczeń współczynnika wymiany ciepła w trzecim przybliżeniu zmniejszył się prawie dziesięciokrotnie w stosunku do rozwiązania otrzymanego w drugim przybliżeniu (rys. 7.8). Średni błąd dopasowania temperatury także uległ wyraźnemu zmniejszeniu i osiągnął bardzo małą wartość 0.044 K. W kolejnych testach, w których do obliczeń zadawano temperaturę z większej liczby punktów oddalonych od aktywnej powierzchni płyty, przy zachowaniu liczby węzłów i ich położenia jak w przybliżeniu trzecim, osiągnięto nieznaczne zmniejszenie średniego błędu dopasowania temperatury. Norma gradientu funkcji celu w momencie zakończenia obliczeń dla pierwszego przybliżenia wynosiła ok. 205.6. W kolejnych przybliżeniach przyjmowała ona coraz mniejsze wartości i wynosiła odpowiednio 1.687 i 2.745·10-4 dla drugiego i trzeciego przybliżenia.. 28.

(29) rozwiązanie wg wzoru (6.32) I przybliżenie II przybliżenie. 20000. 15000. 10000. 5000. 0. -5000 0. 4. 8 Czas, s. 12. 3000. Błąd obliczeń współczynnika wymiany ciepła, W/(m2·K). Współczynnik wymiany ciepła, kW/(m2.K). 25000. 2000. 1000. 0. -1000. -2000. 16. 0. Rys. 7.5. . Współczynnik wymiany ciepła obliczony dla temperatury zadawanej z punktu odległego o 2 mm od powierzchni na którą działało wymuszenie brzegowe. 2. 4. 6 8 Czas, s. 10. 12. 14. Rys. 7.6. Bezwzględny błąd obliczeń współczynnika wymiany ciepła, II przybliżenie. Tab. 7.3. Współczynniki wielomianów Hermita w funkcji sklejanej, III przybliżenie Współczynniki. Przedział czasu, s. w1. w2. w3. w4. 0-1. -2.88. 56.41. 52.40. 201.40. 1-2. 52.40. 201.40. 1 293.43. 3 343.32. 2-3. 1 293.43. 3 343.32. 11 147.15. 16 784.82. 3-4. 11 147.15. 16 784.82. 21 966.86. -2 923.12. 4-5. 21 966.86. -2 923.12. 8 855.67. -15 325.84. 5-6. 8 855.67. -15 325.84. 764.75. -1 563.33. 6-7. 764.75. -1 563.33. 19.21. 39.90. 7-8. 19.21. 39.90. -2.40. 39.53. 8-9. -2.40. 39.53. -1.01. 13.20. 9-10. -1.01. 13.20. -0.50. 2.05. 10-12. -0.50. 2.05. -0.04. 0.68. 12-14. -0.04. 0.68. 0.26. 1.09. 29.

(30) Błąd obliczeń współczynnika wymiany ciepła, W/(m2·K). Współczynnik wymiany ciepła, W/(m2·K). 25000 rozwiązanie wg wzoru (6.32) III przybliżenie. 20000. 15000. 10000. 5000. 0 0. 2. 4. 6 8 Czas, s. 10. 12. 14. Rys. 7.7. Zależność współczynnika wymiany ciepła obliczona dla temperatury zadawanej z punktu odległego o 2 mm od powierzchni na którą działało wymuszenie brzegowe. 250. 200. 150. 100. 50. 0. -50 0. 2. 4. 6 8 Czas, s. 10. 12. 14. Rys. 7.8. Bezwzględny błąd obliczeń współczynnika wymiany ciepła, III przybliżenie. 7.2. Przemiany fazowe w stali Podczas hartowania stali, zależnie od szybkości zmian temperatury w objętości chłodzonego materiału (stopnia przechłodzenia), mogą występować przemiany fazowe dyfuzyjne i bezdyfuzyjne. Te pierwsze obejmują przemianę austenitu w ferryt/perlit oraz, przy utrudnionej dyfuzji, austenitu w bainit. Przemianom fazowym towarzyszy efekt cieplny, który powinien zostać uwzględniony w modelu numerycznym przy identyfikacji współczynnika wymiany ciepła. Pominięcie tego efektu cieplnego może mieć wpływ na wynik brzegowego rozwiązania odwrotnego. Model matematyczny przemian fazowych oparto na równaniu Avramiego (w literaturze często określanym równaniem Johnsona-Mehla-Avramiego-Kołmogorova) o postaci [1,42,76,95]. . X i    1  exp  A  t  . B  t . . (7.34). gdzie X i   jest zależnym od czasu przemiany  ułamkiem objętości i - tej fazy (ferrytu/perlitu lub bainitu), t jest temperaturą, A i B są parametrami charakterystycznymi dla danego gatunku stali. Przemianą bezdyfuzyjną jest przemiana austenitu w martenzyt. Przebiega ona w stosunkowo niskiej temperaturze, a więc wiąże się z dużą szybkością chłodzenia, co eliminuje mechanizm dyfuzji w tym procesie. Ułamek objętości martenzytu opisano równaniem Koistinena i Marburgera [92]. X M t   1  exp   M tM  t . (7.35). gdzie X M t  jest ułamkiem objętości martenzytu,  M jest współczynnikiem Koistinena i Marburgera, t M jest temperaturą początku przemiany martenzytycznej. Parametry A i B obliczono z równań: 30.

(31) A t    B t  . ln 1  X s .  sB t . lnln 1  x s  / ln 1  xk  ln  s /  k . (7.36) (7.37). gdzie: Xs - początkowy udział nowej fazy, np. 0.005 (ze względów rachunkowych Xs>0), Xk – końcowy udział nowej fazy, np. 0.999 (ze względów rachunkowych Xk<1), s – czas początku przemiany dla danej temperatury, k – czas końca przemiany dla danej temperatury. Czas początku i końca przemiany obliczono dla danej temperatury z wykorzystaniem wykresu CTPc, który podaje we współrzędnych temperatura - logarytm czasu wartości temperatury początku i końca danej przemiany w warunkach izotermicznych. W modelu numerycznym identyfikacji współczynnika wymiany ciepła dla stali, w części obejmującej rozwiązanie równania nieustalonego przewodzenia ciepła, uwzględniono efekty cieplne przemiany fazowej (jeśli występowała ona w danej chwili i temperaturze). Efekty cieplne były obliczane i uwzględniane w obliczeniach pola temperatury w każdym kroku czasowym. Występujące w równaniu (7.34) parametry A i B wyznaczono zgodnie z algorytmem, którego idea jest przedstawiona na rysunku 7.9.. Rys. 7.9. Schemat algorytmu obliczeń ułamka nowej fazy podczas przemiany dyfuzyjnej. ti – aktualna temperatura procesu, i – krok czasu obliczeń numerycznych, i – czas jaki upłynął od początku przemiany dyfuzyjnej (czas chłodzenia do temperatury ti). Algorytm wymagał śledzenia temperatury w objętości chłodzonego obiektu. W chwili gdy była równa lub niższa od temperatury początku danej przemiany, wówczas z zależności (7.36) i (7.37) wyliczane były parametry A i B, a z równania Avramiego ułamek perlitu lub bainitu.. 31.

(32) Czas jaki upłynął od początku przemiany dyfuzyjnej obliczano z zależności  ln 1  X i 1   i   i    A t   . 1 / B t . (7.38). gdzie: Δτi jest krokiem czasu w numerycznych obliczeniach temperatury chłodzonej próbki, Xi-1 - ułamek danej fazy obliczony do chwili τi-1. Powyższy algorytm wymagał utworzenia numerycznej postaci wykresu CTPc dla danego gatunku stali, która określała zależność temperatury początku i końca przemiany perlitycznej, bainitycznej i martenzytycznej od czasu. Gęstość źródła ciepła podczas tworzenia nowej fazy j oblicza się z równania. q   j H j. X j t . (7.39)  gdzie ΔHi jest entalpią tworzenia fazy j. Efekty cieplne przemiany perlitycznej oraz bainitycznej obliczono wykorzystując zależności opisane odpowiednimi równaniami.. 32.

(33) 8. ANALIZA WPŁYWU BŁĘDU OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH I DANYCH WEJŚCIOWYCH NA ROZWIĄZANIE BRZEGOWEGO ZAGADNIENIA ODWROTNEGO DLA RÓWNANIA PRZEWODZENIA CIEPŁA Dokładność obliczeń współczynnika wymiany ciepła zależy od dokładności modelu matematycznego i numerycznego opisującego badane zjawisko, dokładności opisu właściwości termofizycznych badanego materiału i precyzji wykonania eksperymentu (przygotowanie próbek, zastosowane czujniki i układy pomiarowe). Poniżej przeprowadzono analizę wpływu błędu obliczeń numerycznych oraz błędu danych wejściowych na wynik obliczeń współczynnika wymiany ciepła.. 8.1. Analiza wpływu błędu obliczeń numerycznych Podstawowymi błędami obliczeń numerycznych są błędy aproksymacji. Błędy te związane są np. z konieczności przejścia od równań różniczkowych do równań różnicowych w metodzie różnicowej. Innymi błędami pojawiającymi się podczas obliczeń wykonywanych przy wykorzystaniu maszyn cyfrowych są błędy będące wynikiem samych działań numerycznych. Zalicza się do nich [32]: . błędy wejściowe – występujące wówczas, gdy dane liczbowe wprowadzone do pamięci lub rejestrów maszyny cyfrowej odbiegają od dokładnych wartości danych np. dane wejściowe są wynikami pomiarów wielkości fizycznych, mierzonych z pewnymi błędami pomiaru, czy też jeśli przy wprowadzaniu danych wejściowych następuje wstępne zaokrąglanie, którego przyczyną jest skończona długość słów binarnych, reprezentujących liczby w maszynie,.  . błędy obcięcia – powstające podczas obliczeń w wyniku zmniejszania liczby działań, błędy zaokrągleń – pojawiają się w trakcie obliczeń i nie można ich uniknąć. Istnieje jednak możliwość ich zmniejszenia poprzez umiejętne ustalenie sposobu i kolejności wykonywania działań.. Poprawność wyników obliczeń numerycznych pola temperatury można ocenić, symulując pomiary temperatury wynikami analitycznego rozwiązania Fouriera-Kirchhoffa. Niestety istnieją pewne ograniczenia tej metody. Mianowicie, stosując wyżej wspomniane równanie, możemy symulować pomiary temperatury tylko dla prostych form geometrycznych, a warunki jednoznaczności rozwiązania nie mogą być nieliniowe. W przypadku wykorzystania do obliczeń numerycznych wyników pomiarów eksperymentalnych, ocena błędu obliczeń numerycznych nie jest możliwa ze względu na to, iż wyniki te są obarczone błędami związanymi z dokładnością wykonania eksperymentu. Procedura oceny dokładności obliczeń numerycznych możliwa jest przez porównanie pola temperatury ciała, wyznaczonego przy pomocy rozwiązania ścisłego i numerycznego dla identycznych warunków jednoznaczności rozwiązania. Wyniki te zadawane są następnie 33.

(34) w obliczeniach numerycznych jako wyniki pomiarów. Symulują więc wyniki eksperymentalne. Otrzymany końcowy wynik obliczeń numerycznych wykonanych w oparciu o symulowane wyniki eksperymentalne powinien być zgodny z rozwiązaniem analitycznym.. 8.1.1. Ocena dokładności obliczeń numerycznych rozwiązania bezpośredniego równania przewodzenia ciepła Ocena dokładności obliczeń numerycznych rozwiązania bezpośredniego równania przewodzenia ciepła, dotyczyła określenia wielkości błędu obliczeń temperatury, który powstał w wyniku dyskretyzacji przestrzeni i czasu. Aby określić wielkość błędu obliczeń numerycznych rozwiązania równania przewodzenia ciepła, przeprowadzono serię testów obliczeniowych, w których zmieniano ilość elementów siatki wykorzystywanej w obliczeniach numerycznych oraz zmieniano częstość zbierania danych. Pole temperatury zadawane do obliczeń numerycznych wyznaczono z rozwiązania równania (8.1) dla płyty nieskończonej i warunku brzegowego trzeciego rodzaju [13, 16].. t x,   2 t x,  a  x 2. τ > 0; 0 < x < . (8.1). Rozwiązanie równania (8.1) dla warunku początkowego t x,0  t 0  const. dla 0 < x < l. (8.2). i warunku brzegowego trzeciego rodzaju. . t l ,    t w  t l ,  x. t 0,   t 0. (8.3). t 0,  0 x. (8.4). ma postać [94].   2 sin  n x t x,   t 0   cos  n exp   n2 Fo   t 0  t w  s  n1  n  sin  n cos  n . . . (8.5). gdzie  n są kolejnymi dodatnimi pierwiastkami równania 1 (8.6) n . Bi W obliczeniach przyjęto 10 pierwiastków równania (8.6). Tę liczbę pierwiastków równania ctg  n . (8.6) ustalono na podstawie testów kontrolnych. Ze względu na szybkobieżność szeregu w równaniu (8.5) jest ona wystarczająca do uzyskania poprawnych wyników obliczeń pola temperatury. Wyniki rozwiązania równania (8.5) porównywane były z wynikami obliczeń pola temperatury z wykorzystaniem MES. Zakres danych do obliczeń Do analizy przyjęto następujące założenia: . rozważano proces chłodzenia płyty mosiężnej o grubości l = 20 mm, (wymiar płyty podyktowany był długością próbki, która miała być użyta w planowanym eksperymencie), 34.