Dynamika relatywistyczna. Nieinercjalne ukady odniesienia.

Pełen tekst

(1)Dynamika relatywistyczna. 9.. 9-1. Dynamika relatywistyczna. Zasada zachowania pędu mówi, że w układzie odosobnionym zawierającym n cząstek ich całkowity pęd obliczony w chwili t0 i pęd w dowolnej chwili późniejszej t są jednakowe:. ! ! pc (t0 ) = pc (t ) Dla składowej x oznacza to w szczególności, że n. n. 1. 1. ui - predkosci poczatkowe   U i - predkosci koncowe. ∑ mi ⋅ uix = ∑ mi ⋅ Uix. Jeżeli zmienimy układ odniesienia na poruszający się z prędkością v w kierunku osi x, to po uwzględnieniu transformacji Galileusza otrzymamy n. n. 1. 1. ∑ mi ⋅ (uix − v) = ∑ mi ⋅ (U ix − v ) n. n. 1. 1. ∑ mi ⋅ u'ix = ∑ mi ⋅ U 'ix Zasada zachowania pędu jest prawdziwa we wszystkich układach odniesienia. Według teorii względności prędkości transformują się inaczej i powinniśmy zapisać n uix − v U −v ∑ mi ⋅ vuix = ∑ mi ⋅ ixvU ix 1 1 1− 2 1− 2 c c n. W ogólnym przypadku równania (1) i (3) nie mogą być równocześnie spełnione. Usunięcie tej sprzeczności wymagało zmodyfikowania definicji pędu relatywistycznego. Pęd cząstki o masie własnej m0 wynosi. ! p=. ! ⋅u. m0 1− u. 2. c2.

(2) Dynamika relatywistyczna. 9-2. u  p E − x 2  c ;  p' x = u2  1− 2  c  p' z = pz ;  p' y = p y ;  E + u ⋅ px E ' =  u2 1− 2  c  . Transformacja Lorentz’a dla pędu-energii.. E jest całkowitą energią relatywistyczną cząstki swobodnej:. E=. m0 ⋅ c 2 1 − uc. 2 2. Jest to definicja Einsteina energii cząstki swobodnej.. Tak zdefiniowany pęd jest zachowany w każdym układu odniesienia. Obliczymy teraz przybliżoną wartość energii relatywistycznej cząstki swobodnej poruszającej się z małą prędkością u<<c. Skorzystamy przy tym z wzoru przybliżonego:. (1 + x ) a ≅ 1 + a ⋅ x;. | x |<< 1. Dla małych prędkości (u<<c) energia relatywistyczna praktycznie równa. E=. m0 ⋅ c 2 1−. u2 c2. = m0 ⋅ c 2 (1 − u 2 ) 2. c. − 12. ≅ m0 ⋅ c 2 (1 +. u2 2c 2. ). m0 ⋅ u 2 E ≅ m0 ⋅ c + 2 2. się klasycznej energii kinetycznej, jeżeli dodać do niej stały składnik m0·c2.. E0 = m0 ⋅ c 2. nazywa się energią spoczynkową cząstki. Hipoteza Einsteina, że ze spoczywającą cząstką swobodną o masie własnej m0 jest związana energia m0·c2, została sformułowana w 1905 roku i została potwierdzona doświadczalnie..

(3) Dynamika relatywistyczna. 9-3. Relatywistyczną definicję pędu najczęściej uważa się również za określenie względności masy. Masa cząstki poruszającej się jest większa od jej masy własnej (spoczynkowej). m(v ) =. m0 1 − vc2 2. definicja masy relatywistycznej. Przy takiej definicji masy pęd relatywistyczny i energia całkowita wynoszą. ! ! p = m⋅v. E = m ⋅ c2. Relatywistyczna energia kinetyczna jest określona podobnie jak klasyczna, jako przyrost energii cząstki związany z jej ruchem z prędkością v i wynosi:. Ek = E − E0 Ek = ( m − m0 )c 2 =. (. c2 c2 −v 2. ). − 1 ⋅ m0 ⋅ c 2. Poprzednio już sprawdziliśmy, że przy takiej definicji energia kinetyczna relatywistyczna pokrywa się z klasyczną dla prędkości v<<c..

(4) Dynamika relatywistyczna. 9-4. Równoważność masy i energii Wzór Einsteina. E = m ⋅ c2 był podstawą do sformułowania zasady równoważności masy i energii (w tej sytuacji c2 służy do przeliczania jednostek). Jeżeli masa spoczynkowa układu zmniejsza się o ∆m, to wyzwala się przy tym energia w ilości. ∆E = ∆m ⋅ c 2 Wynik ten potwierdzono doświadczalnie. Przykładem może być rozpad swobodnego neutronu na proton, elektron i antyneutrino. n 0 → p + + e − + ν~e Neutron ma masę spoczynkową większą od mas spoczynkowych protonu, elektronu i antyneutrina razem o około. ∆m = 13,9 ⋅ 10−31 kg Zmierzone energie kinetyczne cząstek – produktów rozpadu neutronu wynoszą razem 1,25⋅10-13 J co zgadza się w granicach dokładności pomiarowych z wartością 2. ∆m ⋅ c 2 Innym przykładem jest zjawisko fotoelektryczne lub zjawisko Comptona, w których foton – cząstka związana z polem elektromagnetycznym – o energii. E = h ⋅ν Zachowuje się jak cząstka o masie mf i pędzie pf, wynoszących: mf =. h ⋅ν ; c2. pf =. h ⋅ν = mf ⋅c c.

(5) Dynamika relatywistyczna. 9-5. Siła w mechanice relatywistycznej Zmiana definicji pędu relatywistycznego pociąga konieczność zmiany definicji siły, jeżeli chcemy zachować formę drugiej zasady dynamiki Newtona. Siła relatywistyczna jest pochodną pędu relatywistycznego względem czasu własnego obserwatora. ! dp! F≡ dt Ponieważ przy zmianie układu odniesienia transformują się i pęd i czas, to w przypadku ogólnym siła zmienia wartość i kierunek. W szczególności okazuje się, że siły magnetyczne między prądami elektrycznymi, są wynikiem transformacji sił elektrycznych między ładunkami elektrycznymi przy przejściu do poruszającego się układu odniesienia. Jeżeli w układzie Ox na cząstkę działa siła. ! F ( Fx , Fy , Fz ). i w układzie Ox’ poruszającym się względem Ox cząstka (chwilowo) ma prędkość 0, to.    F ' x = Fx  Fy F = '  y 1− β 2   Fz F 'z =  1− β 2.

(6) Nieinercjalne układy odniesienia. 10.. 10-1. Nieinercjalne układy odniesienia. Nieinercjalnym układem odniesienia jest każdy układ, który porusza się z przyspieszeniem względem jakiegoś układu inercjalnego. Ponieważ dowolny ruch można traktować jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego, to zajmiemy się oddzielnie układami, które poruszają się z przyspieszeniem po linii prostej i oddzielnie takimi, które się obracają. Cząstka o masie m spoczywa w układzie Ox czyli wypadkowa siła działająca w tym układzie wynosi. ! Fw = 0. Układ Ox’ porusza się względem Ox ze stałym przyspieszeniem. ! a ≠0. x, y = const. dla t0 = 0 : O = O ' i v = 0  x '0 = x0  2  x ' = x'0 − a ⋅ t 2  v ' = − a ⋅ t  a ' = −a W układzie nieinercjalnym cząstka porusza się ze zmienną prędkością i ze stałym przyspieszeniem –a skierowanym przeciwnie do osi Ox’. W układzie Ox’ nie są spełnione I i II zasada dynamiki Newtona. Bardziej ogólnie można by stwierdzić, że w układach nieinercjalnych zasady te nie są spełnione..

(7) Nieinercjalne układy odniesienia. 10-2. Siły bezwładności w nieinercjalnych układach odniesienia Zasady dynamiki można „uratować” i stosować również w układach nieinercjalnych, jeżeli wprowadzi się siły bezwładności. Siły bezwładności działają wyłącznie w układach nieinercjalnych i wynikają z ruchu przyśpieszonego tych układów. Dla obserwatora znajdującego się w takim układzie są to siły jak najbardziej realne, nawet jeżeli nie potrafi wskazać ich bezpośredniego źródła. W ogólnej teorii względności (teorii grawitacji), której autorem jest Einstein, postuluje się równoważność sił bezwładności i sił grawitacyjnych. Odpowiednia zasada równoważności mówi, że lokalnie nie można w żadnym doświadczeniu fizycznym odróżnić od siebie siły grawitacji i siły bezwładności. Z zasady tej wynika, między innymi, że układem inercjalnym jest układ swobodnie spadający w polu grawitacyjnym.. W układzie Ox’ na cząstkę działa siła:. F ' x = −m ⋅ a Siłę działającą na cząstkę o masie m w układzie nieinercjalnym ! poruszającym się z przyspieszeniem a i równą:. ! ! Fb = − m ⋅ a. nazywamy siłą bezwładności..

(8) Nieinercjalne układy odniesienia. 10-3. Obracający się układ odniesienia.  x = r ⋅ cos β   y = r ⋅ sin β  x ' = r ⋅ cos( β − α )   y ' = r ⋅ sin( β − α ).  x ' = r ⋅ cos( β − α ) = r (cos β cosα + sin β sin α ) = x ⋅ cosα + y ⋅ sin α   y ' = r ⋅ s in( β − α ) = r (sin β cosα − cos β sin α ) = − x ⋅ sin α + y ⋅ cosα  x' = x ⋅ cosα + y ⋅ sin α   y ' = − x ⋅ sin α + y ⋅ cosα.  x = x'⋅ cosα − y '⋅ sin α   y = x '⋅ sin α + y '⋅ cosα. Układ O’ obraca się jednostajnie wokół osi z: α = ω ⋅ t.  x' = x ⋅ cosωt + y ⋅ sin ωt   y ' = − x ⋅ sin ωt + y ⋅ cos ωt W chwili t=0 oba układy współrzędnych pokrywają się. W układzie O porusza się punkt M(x,y)..  x = x0  y = v ⋅t. v = ω ⋅ x0. Położenie punktu jest tak dobrane, że w chwili t=0 jego prędkość względem O’ wynosi 0 (punkt chwilowo nie porusza się)..

(9) Nieinercjalne układy odniesienia. 10-4. 1o w chwili początkowej.  x = x0  y = 0.  x ' = x0   y' = 0. 2o w chwili nieco późniejszej t > 0 ale ω ⋅ t << 1. v = ω ⋅ x0. v' = 0. ∆x' = 12 (ω 2 ⋅ x0 )t 2 ∆y ' = − 12 (ω 2 ⋅ x0 ⋅ t ⋅ ω )t 2.  x = x0   y = v ⋅ t = ω ⋅ x0 ⋅ t.  x ' = x ⋅ cos(ωt ) + y ⋅ sin(ωt )   y ' = − x ⋅ sin(ωt ) + y ⋅ cos(ωt ) sin x ≈ x. | x |<< 1. cos x ≈ 1 − 12 x 2. | x |<< 1.  x ' = x0 ⋅ (1 − 12 ω 2 ⋅ t 2 ) + v ⋅ t ⋅ ω ⋅ t = x0 + 12 (ω 2 ⋅ x0 )t 2   y ' = − x0 ⋅ ω ⋅ t + v ⋅ t ⋅ (1 − 12 ω 2 ⋅ t 2 ) = − 12 (ω 2 ⋅ x0 ⋅ t ⋅ ω )t 2.

(10) Nieinercjalne układy odniesienia. 10-5.






(16) Nieinercjalne układy odniesienia. 10-11. Ruch w kierunku osi Ox’ jest jednostajnie przyspieszony. x' = x0 + 12 (ω 2 ⋅ x0 )t 2 = x0 + 12 a ⋅ t 2 z przyspieszeniem ar = ω x0 2. Przyspieszenie odśrodkowe. Odśrodkowa siła bezwładności. ! ! Fr = m ⋅ ω 2 ⋅ r. ! ! ar = ω 2 ⋅ r. działa na każde ciało w układzie obracającym się. Prędkość końcowa w tym ruchu i prędkość średnia wynoszą:. v ' x = ω 2 ⋅ x0 ⋅ t. v ' x = 12 ω 2 ⋅ x0 ⋅ t. Ruch w kierunku osi Oy’ jest też przyspieszony. y ' = − 12 (ω 2 ⋅ x0 ⋅ t ⋅ ω )t 2 = − 12 ( 2 ⋅ v ' x ⋅ω ) ⋅ t 2 = − 12 a ⋅ t 2 średnie opóźnienie. ac = −2ω ⋅ v ' x Przyspieszenie Coriolis’a. Siła Coriolis’a bezwładności. ! ! ! FC = −2 ⋅ m ⋅ ω × v. ! ! ! ac = −2ω × v. działa na ciała poruszające się w układach obracających się.. ! ! ! a ×b = c cx = a y bz − a z by c y = a z bx − a x bz cz = a x by − a y bx. ! i. ! j. ! k. ax. ay. az. bx. by. bz.

(17)