Dynamika relatywistyczna –

(1)

Dynamika relatywistyczna –

zasady dynamiki w Szczególnej Teorii Względności

Elementy Ogólnej Teorii Względności

(2)

Z III zasady dynamiki

:

Stąd całkowita zmiana pędu obydwu ciał w czasie Dt:

Czyli:

Prawo (zasada) zachowania pędu

Rysunek obok przedstawia zderzające się niesprężyście kulki. Kulki mają te same wartości mas i prędkości. Po zderzeniu, zgodnie z zasadą zachowania pędu, prędkość

„zlepionych” kulek jest równa zeru. Ale co się stało z początkową energią kinetyczną kulek?

(3)

Zasada zachowania pędu w fizyce klasycznej

Dwa ciała o jednakowych masach m i przeciwnie skierowanych prędkościach lecz o jednakowych ich wartościach v, w układzie poruszającym się (K’), zderzają się niesprężyście.

Zasada zachowania pędu w obu układach

– w układzie K’ , powstałe ciało ma masę 2m i prędkość 0.p ' + p ' =mv - mv =₁ ₂ 0

–

w układzie K pęd ciał po zderzeniu wynosi 2mv

₀

natomiast przed zderzeniem

( ₀ ) ( ₀ ) ₀

p + p = m v +v +m v - v = mv₁ ₂ 2

To znaczy, że w fizyce klasycznej zasada zachowania pędu jest spełniona w obydwu układach inercjalnych.

(4)

Zasada zachowania pędu w fizyce relatywistycznej

Dwa ciała o jednakowych masach m i przeciwnie skierowanych lecz o jednakowych wartościach prędkości v, w układzie poruszającym się (K’), zderzają się niesprężyście.

Zasada zachowania pędu w obu układach

– w układzie K’ , powstałe ciało ma masę 2m i prędkość 0.

p ' + p ' =mv - mv =₁ ₂ 0 –

w układzie K pęd ciał po zderzeniu wynosi 2mv

₀

natomiast przed zderzeniem

   

   

   

2 2

0 0 0

0 0

2 2

v v v

v +v v - v v - c c

p + p = m v v +m v v = m v v = mv v v mv

c c c c

02 2

1 2 2 2

0 0

2 2

2 2 1-

2 2

1+ 1- 1- 1-



Czy to znaczy, że w fizyce relatywistycznej zasada zachowania pędu nie jest spełniona?

(5)

Pęd relatywistyczny:

m₀ – masa lub masa spoczynkowa ciała wyznaczona, gdy ciało się nie porusza albo porusza się z małą prędkością (tj. prędkością dużo mniejszą od prędkości światła)

Możemy również napisać p=mv, gdzie:

m – masa relatywistyczna wyznaczona, gdy ciało porusza się z prędkością v.





  

 

p = m v m v - v

c

0 0

1

2

  

  m= m

- v c

0

1

2

Gdy rośnie prędkość, rośnie też masa m, czyli rośnie bezwładność ciała. Gdy prędkość rośnie do prędkości światła to masa m rośnie do nieskończoności.

(6)

Druga zasada dynamiki

Wniosek. Jeżeli ciało ma masę spoczynkową m₀ różną od zera to jego prędkość nigdy niemoże osiągnąć prędkości światła!

Klasyka (Newton):

Stąd:

Fizyka relatywistyczna (Einstein)

( )

v mv

F ma m

t t

D D

  

D D

F p

t

 D D

W fizyce relatywistycznej masa ciał również zależy od prędkości czyli od czasu, gdy prędkość się zmienia. Pod wpływem działania siły rośnie prędkość ale też masa m, czyli rośnie bezwładność ciała to znaczy podatność na działanie siły. Gdy prędkość v rośnie do prędkości światła to masa rośnie do nieskończoności.

(7)

Analogia do spadającego ciała

Na spadające ciało działa siła grawitacji i siła oporu powietrza rosnąca wraz ze wzrostem prędkości. Można jednak zbudować model, w którym działa jedynie siła grawitacji a siłę oporu zastępujemy rosnącą masą (bezwładnością) ciała. Innymi słowy ośrodek nadaje (dodatkową) masę ciału.

v Fop

Fg

Jeżeli cząstki, takie jak elektron, mają masę, to uzyskują ją dzięki oddziaływaniu z wypełniającym równomiernie cały Wszechświatpolem Higgsa. Można sobie wyobrazić, że pole to stawia opór ruchowi elektronów natomiast nie stawia oporu fotonom.

(8)

Energia kinetyczna, przypadek klasyczny

Obliczmy pracę siły wypadkowej, dla uproszczenia, załóżmy , że siła działa w kierunku ruchu i ma stałą wartość F; załóżmy też, że prędkość początkowa jest równa zeru:

2

2 2 .

F k

v v vt mv

W Fs mas m s m E

t t

   D   

D

Energia kinetyczna, przypadek relatywistyczny

( )

F k

W Fs mv s E t

  D 

D

Obliczmy pracę siły wypadkowej

Kłopot polega na tym, że trzeba uwzględnić zależność masy od prędkości, a tym samym od czasu.

Energia kinetyczna (może ktoś to udowodni?)wyraża się jako:

k 0

E = mc - m c

² ²

(9)

k 0

E = mc - m c

² ²

E = mc

²

E = m c

₀ 0 ²

Energia kinetyczna wyraża się jako różnica:

energii całkowitej

i energii spoczynkowej

Związek między masą a energią.

W mechanice relatywistycznej zmiany energii ciała powodują zmianę jego masy (relatywistycznej), dlatego też przyjęło się niekiedy wyrażać masę w jednostkach energii np. eV). Możliwe jest (np. w akceleratorze) rozpędzenie cząstki do prędkości bliskich prędkości światła tak, że jej energia kinetyczna jest wielokrotnie większa od energii spoczynkowej.

(10)

Związek między energią a pędem

Korzystając do równania na energię całkowitą:

Otrzymujemy:

2

p= mv = E v c

2

2 0

2

1 E mc m c

v c

 

      

Z definicji pędu

2 2

2 0 0

2 2

1 1

m c m c

E mc

v pc

c E

  

   

         

Podnosząc obustronnie do kwadratu i mnożąc obustronnie przez mianownik z prawej strony mamy;

 

²

2 2 4

E  pc  m c

0

a stąd

 

2 2 2 2 2

E  c m c

0

 p

(11)



₀²

E = c m c + p

² ²

Zależność energii od pędu

Hipoteza P. Diraca; mogą istnieć zarówno cząstki o energiach dodatnich jak i ujemnych.

Jeżeli cząstkom o energiach ujemnych dostarczy się energii 2E to przechodzą one do pasma energii dodatnich a w pasmie energii ujemnych powstaje „dziura” zwana antycząstką : antyproton, antyneutron, antyelektron (pozytron, pozyton) mająca tę samą masę co cząstka i, jeżeli jest naładowana przeciwny znak. Po zderzeniu cząstka i antycząstka anihilują emitując energię w postaci fotonów.

Można pokazać, że gdy (ograniczmy się do energii dodatnich) p << m₀c lub E_k = E - E₀ << E₀to:

,

2 2

2 2 0

0 0

0

m v E = m c + p = m c +

2m 2

a stąd:

.

2 0 k

E = m v

2

(12)

Dowód:

2

2 2

1

2

2 2

0 0 2

0

E = c m c p = m c p

  m c

2

2 2

1 ,

2 2 2

2 2 0 2 0

0 2 0 2 0

0 0

m c p m v

E = m c p = m c + = m c +

m c 2m c 2



Sprawdźmy od tyłu:

Jeżeli 1 czy wtedy 1 1 1 ? x    x 2 x

 

² ²

2

1 1 1

2 1 1 1

4

x x

x x x

 

   

   

Stąd:

(13)

Przypadek „ultrarelatywistyczny”

Jeżeli p >> m₀c lub E >> E₀to:



E c p

Zadanie

W wielkim zderzaczu Hadronów (LHC) protony są rozpędzane aż do energii E = 1TeV. Wykaż, że jest to właśnie przypadek ultrarelatywistyczny.

Rozwiązanie

Masa spoczynkowa protonu m_p= 1,67·10^-27 kg.

Energia spoczynkowa protonu wynosi:

E₀ = m_pc² = (1,67·10^-27 kg) · (9·10¹⁶ m²/s²)=1,50·10^-10J.

Wyrażając energię spoczynkową protonu w elektronowoltach (1 eV= 1,6·10^-19J) otrzymujemy:

E₀ = (1,50·10^-10J) / (1,6·10^-19)=0,94·10⁹eV ≅ 1GeV=0,001 𝐸.

(14)

Jeżeli m₀= 0 to dokładnie:

E = c p

Jeżeli spowodujemy zderzenie tak rozpędzonego protonu a drugim, poruszającym się naprzeciw, to okaże się, że energia kinetyczna protonów częściowo zamieni się na energię spoczynkową jednej lub kilku czy kilkudziesięciu zupełnie nowych cząstek – przeważnie nietrwałych. Masa spoczynkowa nowo powstałych cząstek to jak gdyby “zamrożona” energia cząstki, która była w ruchu.

Cząstki bez-masowe

Przykładem takich cząstek są poruszające się z prędkością c fotony.

Pęd fotonu wynosi więc:

f

E hf hc

  

f f

E hc h

p ^ c ^  c ^ 

(15)

Foton jest cząstką bezmasową (jego masa spoczynkowa wynosi zero)!

Relatywistyczna masa fotonu

2 f f

E h

m ^ c ^ c 

Obliczmy jego hipotetyczną masę spoczynkową:

2 2

0_f _f 1 v^f _f 1 c 0

m m m

c c

   

       

Istnieją dwa rodzaje cząstek: cząstki mające masę (spoczynkową), takie jak elektrony , protony czy neutrony, które nigdy nie osiągną prędkości światła oraz cząstki bezmasowe takie jak foton (jego masa spoczynkowa wynosi zero), które mogą się poruszać tylko prędkością światła.

(16)

Grafit – pospolity i szeroko rozpowszechniony minerał składa się z warstw grafenu

Grafen – pojedyncza warstw grafitu Za badania grafenu Andriej Gejm i Konstantin Nowosiołow z uniwersytetu w Manchesterze otrzymali w 2010 Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki.

Grafen jest bardzo dobrym przewodnik ciepła oraz elektryczności; również w graficie przewodzenie odbywa się wzdłuż warstw grafenowych.

(17)

W grafenie elektrony są swobodne tak jak w metalu ale prędkość przepływu elektronów, jest bardzo duża i wynosi 1/300 prędkości światła w próżni c.

Dla zwykłego metalu energia wyraża się wzorem:

2 2

2 2 , mv p E   m

przy czym wzór na energię kinetyczną jest wzorem klasycznym, gdyż v << c. W odróżnieniu od zwykłego metalu elektrony w grafenie mają liniową zależność energii od pędu

' , E  c p

gdzie c’ jest równe 1/300c. Zależność energii od pędu jest taka jak dla cząstek, które nie mają masy spoczynkowej np. fotonów.

E

py

px

2 2

x y

p  p  p

(18)

Zderzenia relatywistyczne:

W mechanice relatywistycznej do opisu zderzeń i rozpadów cząstek stosujemy obie zasady zachowania:zasadę zachowania pędu izasadę zachowania energii.

W fizyce klasycznej w zderzeniach niesprężystych i rozpadach stosujemy zasadę zachowania pędu natomiast mówimy, że zasada zachowania energii nie jest spełniona, gdyż jej część (lub całość) zamienia się na energię wewnętrzną ciał.

Zadanie

Elektron i pozyton zbliżają się do siebie z prędkościami o jednakowych wartościach lecz przeciwnych zwrotach.

Po zderzeniu następuje ich anihilacja, z dwóch cząstek powstają w wyniku zderzenia dwa fotony .

a) Po zderzeniu i anihilacji elektronu i pozytonu powstają dwa fotony poruszające się wzdłuż tej samej prostej i mające przeciwne zwroty prędkości. Wyjaśnij dlaczego.

b) Zakładając, że energia kinetyczna zderzających się cząstek jest dużo mniejsza od ich energii spoczynkowej (przyjmij p = 0), oblicz długości fal powstających fotonów.

(19)

Rozwiązanie

b) Z zasady zachowania energii całkowitej mamy przy założeniu, że energia zderzających się cząstek jest równa ich energii spoczynkowej oraz, że powstające dwa fotony mają identyczne energie mamy:

2 2

2 ,

el poz f

m c  m c  E

2

_el 2

2 hc , m c ^ 

  

34

12

31 8

6, 6 10 Js

2, 4 10 m.

9,1 10 kg 3 10 m/s

el

h



 m c  _ ^ ^   ^

 

a) Jeżeli przed zderzeniem elektron i pozyton zbliżają się do siebie z prędkościami o jednakowych wartościach lecz przeciwnych zwrotach to ich całkowity pęd wynosi zero. Po zderzeniu i anihilacji elektronu i pozytonu sumaryczny pęd powstających fotonów również musi wynosić zero. Nie może więc powstać jeden foton lecz dwa identyczne poruszające się wzdłuż tej samej prostej i mające przeciwne zwroty prędkości.

czyli

a stąd

(20)

Ogólna Teoria Względności (OTW)

– w wersji (bardzo) popularnej

Ogólna Teoria Względności będąca indywidualnym osiągnięciem A. Einsteina, powstała w 1915 r. Jest ona z jednej strony uogólnieniem Szczególnej Teorii Względności na układy nieinercjalne, a z drugiej uogólnieniem Teorii Grawitacji I. Newtona.

Prawo grawitacji (powszechnego ciążenia)

(21)

Masa bezwładna a masa grawitacyjna

Przyspieszenie w polu grawitacyjnym

Przyspieszenie jest takie samo dla wszystkich ciał, pod warunkiem, że masa grawitacyjna jest równa masa bezwładnej.

Czy masa m występująca w tym wzorze (masa grawitacyjna), to ta sama masa co w II zasadzie dynamiki (masa bezwładna)?

2 2

F

g

mM M

a G m G g

r

m r

   

Wykazana eksperymentalnie równość tych mas stanowi podstawę OTW.

(22)

Czarna dziura to obiekt astronomiczny, który tak silnie oddziałuje grawitacyjnie, że żaden rodzaj materii ani energii nie może jej opuścić, formalnie wtedy v_esc = c.

Prędkość ucieczki (druga prędkość kosmiczna)

2

0 0, 2

mvesc

GmM

 R    2

esc . v GM

 R stąd:

Masywne gwiazdy w końcowym etapie ewolucji odrzucają zewnętrzne warstwy materii i zapadając się mogą tworzyć czarne dziury, gdy ich promień zmaleje do:

2

g

R GM

 c

p

E G mM

  r

Z prawa powszechnego ciążenia wynika, że energia potencjalna masy m w polu grawitacyjnym masy M jest dana wzorem:

Niech masa M jest masą gwiazdy, od której chce się oderwać masa m. Z zasady zachowania energii obliczamy jaką prędkość v_esc(prędkość ucieczki) trzeba jej nadać:

(23)

Jeśli masa zapadającej się części gwiazdy jest dostatecznie duża to powstaje „czarna dziura”. Załóżmy, że masywna gwiazda o masie 20·10³⁰kg w wyniku ewolucji stała się czarną dziurą. Oszacuj wartość jej promienia R_g – tzw. promień grawitacyjny.

Zadanie

Rozwiązanie

2 .

esc

v GM

 R Wartość prędkości ucieczki obliczamy ze wzoru:

Dla v_esc= c mamy:

11 2 2 31

3 16

2 (6,67 10 Nm /kg )(2 10 kg)

29,6 10 m 30 km.

9 10 m/s Rg

   

   



Gdyby Słońce stało się czarną dziurą to jej promień wynosiłby około 3 km?

Po podstawieniu

2

2 2

g .

g

GM GM

c R

R c

  

(24)

Mniejsza masa m orbitująca w zniekształconej przestrzeni przez większą masę M.

Według OTW za obserwowane zjawisko grawitacji odpowiedzialne jest zakrzywienie przestrzeni (a właściwie czasoprzestrzeni – co to znaczy?) wokół masy M.

(25)

Zakrzywienie przestrzeni staje się coraz bardziej zauważalne przy coraz większych masach. Gdy gęstość masy osiąga poziom krytyczny, tworzy się czarna dziura i tkanina czasoprzestrzeni zostaje rozdarta.

Czarne dziury

(26)

Orbity gwiazd krążących wokół masy w centrum naszej galaktyki (Galaktyki, Drogi Mlecznej). Z ich kształtu wynika, że w centrum Drogi Mlecznej znajduje się czarna dziura o 4 milionach mas Słońca.

Analiza szybkość gwiazd krążących po orbitach na obrzeżach Galaktyki świadczą z kolei, że w naszej galaktyce oprócz zwykłej materii znajduje się tzw. Ciemna Materia.

Czarna dziura w centrum Galaktyki

(27)

Ogólna teoria względności (OTW) – 1915 r.

Nie można odróżnić sił bezwładności działających podczas ruchu przyspieszonego od sił grawitacyjnych (A. Einstein)

Zasada równoważności

(28)

Grawitacja w OTW

x ct

y S

x ct

y S

g

Czasoprzestrzeń w układzie inercjalnym Czasoprzestrzeń zakrzywiona

Czasoprzestrzeń zakrzywiona przez sferyczne pole grawitacyjne

gdzie:

     

² ² ²

2 2 2

( ) - - -

S c t x y z

D  D D D D

 

²

  

²



²

2 2 2 2

( ) - / - [ - sin ]

S Kc t r K r   

D  D D D D

2

1- 2GM 1- R^g

K  rc  r

- promień grawitacyjny (Schwarzschielda)

2

g

R GM

 c

(29)

Efekty OTW

Poczerwienienie grawitacyjne

Soczewkowanie grawitacyjne

(30)

Ruch Peryhelium (np. Merkurego)

Ze wzoru na interwał, dla dwóch zdarzeń w tym samym punkcie czasoprzestrzeni raz w pobliżu masy M a raz daleko od niej mamy:

Grawitacyjne opóźnienie zegarów

2 2 2 2 2 2

( ) ( ') 1- R^g ( ')

c t Kc t c t

r

 

D  D   D

 

2

g

R GM

 c

(31)

Z powyższego wzoru wynika np. wzór na opóźnienie zegarów na powierzchni Ziemi w stosunku do tych znajdujących się na pokładzie samolotu czy satelity. Oznaczając przedział czasu na powierzchni satelity przez t_s, a na Ziemi przez t_Zmamy:

- 1 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2

g

g g g g

Z s Z

Z g Z s Z s

s

R

R R R R

t t R

t R R r R r

r

   

        

  

 1- ^g _Z 1- ^g _s

Z s

R R

t t

R  r 1 1-

2 2

g g

Z s

R R

t t

R r

  

2

- 1 1

Z s z

Z Z s

t t GM

t c R r

 

   

 

(32)

GPS- Global Positioning System

System składa się z trzech segmentów.

Kosmicznego: 24 satelity (+ 6 zapasowych) na wysokości 20000km; każdy wysyła sygnał w dwóch częstotliwościach L1 (1575,4 MHz) i 1227,6 MHz.

Naziemnego: składa się z 12. stacji nadzoru rozmieszczonych równomiernie na równiku.

Użytkownika: setki tysięcy użytkowników wojskowych i setki milionów cywilnych.

(33)

Dla poprawnego działania systemu GPS kluczowa jest synchronizacja czasu naziemnego i na satelitach.

Współpraca trzech segmentów

(34)

Ze wzoru na opóźnienie zegarów na powierzchni Ziemi w stosunku do tych znajdujących się na wysokości h nad nią oblicz względną względne opóźnienie czasu dla satelity GPS okrążającego Ziemię na wysokości 20 000 km. a następnie oblicz to opóźnienie w ciągu 24 h. Jakiej drodze przebytej przez falę EM odpowiada to opóźnienie?

Zadanie

Rozwiązanie

Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy:

2 7

10

8 2

- (10m/s )(2 10 m)

5,3 10 . (3 10 m/s) (1 20 / 6, 4)

Z s

Z

t t t

  

  

 

Dla t_Z = 24 h mamy t_Z -t_s 5,3 10 ^¹⁰24 3600s = 4,6 10 s.  ^⁵ co odpowiada drodze przebytej przez falę EM równej

5 8 4

( _B - _A) (4,6 10 s)(3 10 m/s)=1,4 10 m=14 km.

L  t t c   ^  

 

2 2

- 1 1 1 1

1 /

Z s z

Z

Z Z Z

t t GM gh

gR c

R R h h R c

t c R R h

   

          

Dynamika relatywistyczna –