Dynamika Newtonowska – trzy zasady dynamiki

Dynamika Newtonowska – trzy zasady dynamiki

II. Zasada działających niezrównoważonych sił

Gdy działające siły nie równoważą się ciało fizyczne porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do siły wypadkowej.

III. Zasada akcji - reakcji

Oddziaływanie pomiędzy dwoma układami jest zawsze wzajemne. Jeśli ciało A oddziałuje na ciało B pewną siłą to ciało B oddziałuje na A taką samą siłą przeciwnie skierowaną.

I. Zasada bezwładności

Gdy działające siły równoważą się ciało fizyczne pozostaje w spoczynku lubporusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością.

I. Zasada bezwładności

Gdy działające siły równoważą się ciało fizyczne pozostaje w spoczynku lubporusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością.

II. Zasada działających niezrównoważonych sił

Gdy działające siły nie równoważą się ciało fizyczne porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do siły wypadkowej.

W

F_W P

F

P – W F

= m a

F

= m dv/dt

F

= m d

r/dt

Równanie ruchu F

= m d

r/dt

Warunki początkowe:

r(t=t

) = r

v(t=t

) = v

r

v

III. Zasada akcji - reakcji

Oddziaływanie pomiędzy dwoma układami jest zawsze wzajemne. Jeśli ciało A oddziałuje na ciało B pewną siłą to ciało B oddziałuje na A taką samą siłą przeciwnie skierowaną.

v = v

v = 0

v = v

v = v

F

- F

Pęd i energia kinetyczna punktu materialnego

)

2 (

2 1 2

1 m m v v

E v  ^{ }







v m

p  



Pęd i energia kinetyczna punktu materialnego

Inna postać równania ruchu

F

= m d

r/dt

= m dv/dt =d(mv)/dt F

= dp/dt

Warunki początkowe:

r(t=t

) = r

p(t=t

) = p

Zasada zachowania pędu

F

= 0 => dp/dt = 0 => p = const Zasada zachowania energii kinetycznej

v = const => E

= const

Ruch punktu materialnego po okręgu

r

v Moment pędu

K = r × p

Moment bezwładności

I ^{= m r}

F

Moment siły

M = r × F

Ruch punktu materialnego po okręgu



 - przemieszczenie kątowe d - nieskończenie małe

przemieszczenie kątowe d/dt =  - prędkość kątowa d/dt = α – przyspieszenie

kątowe Moment pędu

K = I 

s r

dr = r × d

v = r ×  a = r × α Energia kinetyczna

2 2

1

I 

E



Równanie ruchu obrotowego M

= I d

α/dt

M

= I d/dt = d( I )/dt M

= dK/dt

Zasada zachowania momentu pędu

M

= 0 => dK/dt = 0 => K = const => I  = const

Układ punktów materialnych

r₁

r₂ r₃

r₄ m₁

m₂ m₂

3

m₄ r_C

Środek masy układu

4 3

2 1

4 4 3

3 2

2 1

1

m m

m m

r m r

m r

m r

r

m











 









Pęd całkowity układu p

= p

+ p

+ p

+ p

Energia kinetyczna układu E

= E

+ E

+ E

+ E

Zasada zachowania pędu

F

= 0 => dp

/dt = 0 => p

= const

Całkowity moment pędu układu K

= K

+ K

Ruch obrotowy układu punktów materialnych



r₁ r₂

m₁ m₂

Moment bezwładności

I = m

r

+ m

r

Zasada zachowania momentu pędu

M

= 0 => dK

/dt = 0 => K

= const



M

= 0 => K

= const => I



= I



I

< I

=> 

> 



I

I

Bryła sztywna

Definicja bryły sztywnej:

Ciało fizyczne w którym dowolne dwa punkty nie zmieniają wzajemnego położenia nawet pod działaniem nieskończenie dużych sił zewnętrznych.

Środek masy bryły sztywnej

x

y

z

r

dm







V V

C

dm

dm r

r









i N

i

i i

C

dm dm

1 1

r

r

Środek masy bryły sztywnej

dm =  dV

Położenie bryły sztywnej

x

y z

x’ y’

z’







x’

y’

z’

r

Ruch bryły sztywnej

x

y z

Dowolny ruch bryły sztywnej można rozłożyć na ruch postępowy jej środka masy i ruch obrotowy względem chwilowej osi obrotu

Dynamika ruchu bryły sztywnej

Momenty sił działających są względem środka masy równe zero. Można przyjąć, że ich wypadkowa zaczepiona jest w środku masy. Wpływają one na ruch postępowy bryły sztywnej lecz nie wpływają na jej ruch obrotowy.

Siłę działającą można rozłożyć na składową z zerowym momentem względem środka masy (F_r) i składową z momentem maksymalnym (F_t). Wpływają one zarówno na ruch postępowy jak i obrotowy bryły sztywnej.

1

2

F₁ F₂

F_W

F_r

F_t

Dynamika ruchu bryły sztywnej

3 Siły działające się równoważą lecz ich momenty względem środka masy są różne od zera i sumują się. Wpływają one na ruch obrotowy bryły sztywnej lecz nie wpływają na jej ruch postępowy

F₁

- F₁

Siły działające równoważą się lecz ich momenty względem środka masy są różne od zera i sumują się. Wpływają one na ruch obrotowy bryły sztywnej lecz nie wpływają na jej ruch postępowy.

Wypadkowy moment sił działających jest względem środka masy równy zero lecz ich wypadkowa jest różna od zera. Nie wpływają one na ruch obrotowy bryły sztywnej lecz wpływają na jej ruch postępowy.

4 F₁

F₂

F₁  = F₂ 

Dynamika ruchu bryły sztywnej

5 Siły działające się równoważą lecz ich momenty względem środka masy są różne od zera i sumują się. Wpływają one na ruch obrotowy bryły sztywnej lecz nie wpływają na jej ruch postępowy

F₁

- F₁

Siły działające się równoważą i suma ich momentów względem środka masy jest równa zero. Nie wpływają one ani na ruch obrotowy bryły sztywnej ani na jej ruch postępowy.

a) Wypadkowa sił działających jest równa zero.

b) Wypadkowy moment sił względem środka masy jest równy zero.

F₁  = F₂  F₂

F₂

- F₂

Warunki równowagi bryły sztywnej

Ruch postępowy bryły sztywnej

x y

z

x y

z

x y

z

x y

Pęd bryły sztywnej

z p

= M

V

Energia kinetyczna ruchu postępowego

E

= ½ M

V

Zasada zachowania pędu

F

= 0 => dp

/dt = 0 => p

= const

Ruch obrotowy bryły sztywnej

Moment bezwładności względem osi obrotu



L

dm

^  ^ 

V V

dV L

dm L

I



dV L

dm L

dI 

















N

i

i i

i N

i

i

i

dm L dV

L I

1

2 1

2







I

I

I

Moment bezwładności względem różnych osi obrotu

M R

R₂ R₁

M

M R

I = M R

I = ½ M (R

+ R

)

I = ½ M R

Moment bezwładności względem różnych osi obrotu

M

M

R

h

I = ½ M R

R h

I = ½ M R

+ 1/12 Mh

Moment bezwładności względem różnych osi obrotu

L

R M

M

I = + 1/12 ML

I = ½ M R

R M

M

R

Moment bezwładności względem różnych osi obrotu

2

2 5 M R I  

2

2 3 M R

I  

Moment bezwładności względem różnych osi obrotu

a

b

a a

b

I = 1/12 M (a

+ b

)

I ^{= 1/12 M b}

Twierdenie Steinera

C

I

d M

I

d 2

M I

I _d  _C  

R

Przykład

I

½ MR

d = R

I

=

^MR

^MR

I

= ^{3/2 MR}

Główne momenty bezwładności

I

= I

I

= I

I

= I

3 2

1

0 0

0 0

0 0

I I

I

Tensor bezwładności

Moment pędu bryły sztywnej

K = I ^

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

E = ½ I ^

Zasada zachowania momentu pędu

M

= 0 => dK

/dt = 0 => K

= const

Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej

E

= ½ Mv

+ ½ I ^

Bąk symetryczny

R₃

R₃ R₁

I

= I

^

Bąk symetryczny

R₃

R₁ R₁

I

= I



I = I

I = I

Równowaga trwała

Równowaga nietrwała

Ruch rotacyjny w trzech wymiarach

 - F

F

K

y z

x

y z

K

K

M

K

x

y z

K

K

K = M t

x

y

z





Ruch precesyjny

x

y

z x

y z



 

K

K

K

Ruch nutacyjny

 K

 ^ _x ^ _y ^ _z 

   , ,

 ^I _x ^I _y ^I _z 

K   ₃  , ₂  , ₁ 



K



K

 ^I



K   0 , 0 ,





 ^ _z 

   0 , 0 ,

 ^

 



 I

K

Efekt żyroskopowy

x

y z

x

y z

Koło zamachowe

 = 



 = 0

E_K = 0

 = 0

E_K = 0

E_K = E_MAX



Efekt wirówki

 = 0   0

R

R

R

R

R

Spłaszczenie biegunowe

a c a

R R c R 

