Nieinercjalne ukady odniesienia

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html

HTTPS://EPORTAL.PWR.EDU.PL/COURSE/VIEW.PHP?ID=16236

Miejsce konsultacji: pokój 27 bud. A-1; Terminy podam na stronie internetowej! Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak, prof. uczelni

Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

Wykład FIZYKA I

INERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA

 Układy inercyjne (inercjalne) - układy, do których odnosi się I zasada dynamiki Newtona: przyspieszenie odosobnionego punktu materialnego równe jest 0 gdy nie działa na nie żadna siła.

 Wniosek: Dwa inercyjne układy odniesienia mogą się poruszać względem siebie tylko ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym (na razie bez dowodu).

 Rozpatrzymy dwa układy odniesienia, z których jeden (x,y,z) uważamy za nieruchomy, podczas gdy drugi (x’,y’,z’) porusza się ruchem postępowym z prędkością u.

Założenie:

W chwili t=0 początki obu układów oraz ich osie się pokrywają (r₀=0).

TRANSFORMACJE GALILEUSZA

 Związek między położeniem punktu materialnego w obu układach:

(w układzie kartezjańskim: układ trzech równań)

Są to tzw. transformacje (przekształcenia) Galileusza.

Uzupełniamy je jeszcze równaniem:

 Związki między prędkościami i przyspieszeniami:

Stąd również:

Równania Newtona dla punktu materialnego (i układów punktów materialnych) są jednakowe we wszystkich inercjalnych układach odniesienia – są to tzw. niezmienniki przekształcenia Galileusza.

 Mechaniczna zasada względności (zasada względności Galileusza):

Jednostajny prostoliniowy ruch układu jako całości nie ma wpływu na bieg zachodzących procesów mechanicznych.

t

u

r

r







'





'

t

t



u

v

v







'





a





a



'

'

F

F







INERCYJNE UKŁADY ODNIESIENIA



Ziemia nie jest układem inercyjnym. Wykonuje ruch

obrotowy wokół swej osi a ponadto obiega Słońce po elipsie.

 W pewnych przypadkach można zaniedbać efekty nieinercyjności układu odniesienia, związanego z Ziemią (np. ze względu na duży okres obiegu wokół Słońca, można traktować ruch Ziemi po orbicie wokółsłonecznej jako postępowy, jednostajny).



Istnieją jednak zjawiska, które można wytłumaczyć tylko wtedy, gdy

przestanie się zaniedbywać „odstępstwa od inercyjności” układu:

•obrót płaszczyzny wahań wahadła (wahadło Foucault) •odchylanie się na wschód ciał swobodnie spadających

•podmywanie jednego z brzegów rzek płynących wzdłuż południków •„skręcenie” kierunku wiatrów w niżach i wyżach na obu półkulach

KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO

 Rozpatrzmy ruch punktu materialnego M względem dwóch kartezjańskich układów współrzędnych:

•x, y, z – inercyjny; przyjmiemy, że jest nieruchomy;

ruch ciała względem tego układu nazwiemy ruchem bezwzględnym •x’, y’, z’ – nieinercyjny, porusza się dowolnie

względem pierwszego układu; ruch ciała względem tego układu nazywamy ruchem względnym

 Położenie punktu M w układzie inercyjnym

wyrażone przez położenie w układzie nieinercyjnym:

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

r

r

x

i

y

j

z

k

r

r





















KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO

 Biorąc pod uwagę zależność między wektorami i : możemy napisać:

gdzie to prędkość ruchu postępowego ruchomego układu współrzędnych.



Prędkość punktu M względem nieruchomego (inercyjnego) układu

współrzędnych nazywamy prędkością bezwzględną:

k

dt

dz

j

dt

dy

i

dt

dx

dt

r

d

v





ˆ



ˆ



ˆ





r



r



'

'

'

dr

dr

dr

dr

v

u

dt

dt

dt

dt







 

u

'

r

r

r











KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO

 Układ nieinercyjny może się poruszać zarówno z prędkością postępową (zmiany w wartościach x’, y’ i z’) jak i obrotową (zmiany położenia wersorów

w czasie), więc: ' ˆ , ' ˆ , ' ˆ _{j k} i

ˆ

ˆ

ˆ

'

_ˆ

'

_ˆ

'

_ˆ

'

'

'

'

'

'

'

'

'

dx

dy

dz

di

dj

dk

v

u

i

j

k

x

y

z

dt

dt

dt

dt

dt

dt









 

_





_{ }



_





_

_



_{ }

_

 Prędkość punktu M względem ruchomego układu współrzędnych – prędkość względna punktu M:

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

k

dt

dz

j

dt

dy

i

dt

dx

v









 Ostatni człon w równaniu, wiążącym prędkości w obu układach, jest równy:

gdzie oznacza prędkość kątową.

'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

r

dt

k

d

z

dt

j

d

y

dt

i

d

x

_





























KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO



Możemy więc ostatecznie napisać równanie, wiążące ruch

punktu w obu układach jako:

gdzie v

nazywana jest prędkością unoszenia punktu M – wyraża bowiem

prędkość bezwzględną tego punktu układu ruchomego, przez który w

danym momencie przechodzi rozpatrywany punkt M (uwzględnia zarówno

ruch postępowy układu (człon u) jak i ruch obrotowy tego układu (ale taki

wciąż „jednostajny”, ze stałą prędkością kątową



).

'

_w

_u

_w

KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO



Podobnie jak w przypadku prędkości, należy znaleźć zależności

pomiędzy przyspieszeniami w obu układach.



Przyspieszenie bezwzględne punktu M to przyspieszenie względem

(nieruchomego) inercyjnego układu odniesienia xyz:

dt

v

d

a





_



Różniczkując wyrażenie na prędkość, otrzymujemy:

gdzie:

- to przyspieszenie ruchu postępowego układu nieinercjalnego

- to przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego tego układu

'

'

dv

du

d

dr

a

r

dt

dt

dt

dt



_





  



du

a

dt









_



dt

d

'

v

   

u



r

v

KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO

albo inaczej: gdzie:

to przyspieszenie unoszenia (analogicznie jak prędkość) to przyspieszenie Coriolisa

 Pamiętając, że:

oraz uwzględniając, że:

gdzie:

- to przyspieszenie względne punktu M (czyli w układzie x’y’z’)

możemy ostatecznie otrzymać:

w

v

r

dt

r

d



_



_



_



'

'

_

_v

_a

dt

v

d



_

_



_



_



a





r



v

a

r

a

a

















'

















'



2













a

a

a

a

















'



'

r

r

a

a

































v

a





2









KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO



W przypadku układów inercyjnych, mamy:

i ostatecznie związki między wielkościami w obu układach upraszczają się do: oraz

czyli transformacji Galileusza.

0



a









0







0

v



u

a





0

a





0

v

 

u

v

a





a



 W przypadku, gdy układ ruchomy porusza się tylko ruchem postępowym (a więc nie jest inercyjny, ale się nie obraca!), mamy:

oraz w

v

 

u

v

dt

v

d

a

a

a

a











_

_

_

_

DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO



Zasady Newtona nie spełniają się w nieinercyjnych układach

odniesienia!

Przyspieszenie punktu materialnego względem nieinercyjnego układu

odniesienia nie jest bowiem równe stosunkowi wypadkowej wszystkich sił,

jakimi inne ciała działają na ten punkt, do masy tego punktu:

Zasady Newtona spełnione są bowiem dla przyspieszenia w układzie

inercyjnym:

m

F

a





_

m

F

a





_

DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO



Wyraźmy przyspieszenie względne w układzie nieinercjalnym poprzez

przyspieszenie bezwzględne oraz przyspieszenie unoszenia i Coriolisa:

C u

w

a

a

a

a















 Możemy sformułować poprawnie II zasadę dynamiki Newtona jako:

gdzie:

- to siła bezwładności unoszenia - to siła bezwładności Coriolisa

C

u

w

F

F

F

a

m















m

a

F









m

a

F









DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO



Siły bezwładności rzeczywiście działają na punkt materialny w

układzie nieinercyjnym;



Można je mierzyć (np. wagą sprężynową);



Ale nie sposób związać ich z żadnymi ciałami, od których mogłyby

pochodzić!



Dlatego nie można do nich stosować III zasady dynamiki Newtona.

 Siły bezwładności są więc dla każdego ciała układu siłami zewnętrznymi. Dlatego:

W nieinercyjnych układach odniesienia nie mają zastosowania zasady zachowania pędu, momentu pędu i energii.

NIEZWYKLE WAŻNE

SIŁY BEZWŁADNOŚCI



Przypadek I:

Układ porusza się ruchem postępowym z przyspieszeniem

0



a



W tym przypadku:

przyspieszenie unoszenia: przyspieszenie Coriolisa:

Na ciało działa więc tylko:

- siła bezwładności unoszenia:

Przykład: winda wznosząca się lub opadająca ruchem jednostajnie przyspieszonym w kierunku pionowym (nie uwzględniamy ruchu obrotowego Ziemi). Zawiesimy w niej ciało o masie m na dynamometrze (wadze sprężynowej). 0

a

a







0



a



a

m

F









SIŁY BEZWŁADNOŚCI



Przypadek I:

Układ porusza się ruchem postępowym z przyspieszeniem

0

0



a



W tym przypadku:

przyspieszenie unoszenia: przyspieszenie Coriolisa:

Na ciało działa więc tylko:

- siła bezwładności unoszenia:

Przykład: winda wznosząca się lub opadająca ruchem jednostajnie przyspieszonym w kierunku pionowym (nie uwzględniamy ruchu obrotowego Ziemi). Zawiesimy w niej ciało o masie m na dynamometrze (wadze sprężynowej). 0

a

a







0



a



a

m

F









SIŁY BEZWŁADNOŚCI

a



T



g



R



P



- Na ciało działają dwie siły przeciwnie skierowane: ciężar ciała oraz reakcja dynamometru . Wypadkowa tych sił nadaje ciału przyspieszenie . Z II zasady dynamiki:

A siła, która działa na dynamometr (i którą on wobec tego wskaże):

g

m

P







R

g

m

a

m













g

a



m

R

T

















g

m

P

a







_

_

Jeśli uwolnimy ciało, będzie się ono poruszać pod działaniem własnego ciężaru, czyli spadać swobodnie z przyspieszeniem:

0

a



g



T



R



P



F



 Obserwator ruchomy (w windzie):

„ciało jest nieruchome, więc działające na niego siły się równoważą”

gdzie: jest siłą bezwładności (unoszenia), której istnienie obserwator czuje wszak również na sobie! Biorąc pod uwagę kierunki tych sił i ich wartości:

a stąd, jak poprzednio, siła, która działa na dynamometr:

u F

0







R

F

P







0







R

m

a

g

m









g

a



m

R

T

















Jeśli uwolnimy ciało, będzie się ono poruszać pod działaniem dwóch sił: oraz i uzyska

przyspieszenie: P  u F 0 a g m F P a_w u         

SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Przypadek II:

Układ obraca się jednostajnie z prędkością kątową i porusza się ruchem jednostajnym ze stałą prędkością . 0





v





r

'



a



















v

a





2









Na ciało działają więc następujące siły bezwładności:

- siła bezwładności unoszenia:

liczbowo równa: i skierowana od osi obrotu na zewnątrz – nazywana siłą odśrodkową bezwładności;

- siła bezwładności Coriolisa:

skierowana prostopadle do płaszczyzny, wyznaczonej przez i .



r

'



m

a

m

F































m

F







m

v

F





2













_v



SIŁY BEZWŁADNOŚCI



Siła odśrodkowa bezwładności

związana jest z obrotem poruszającego się układu.



Przykłady zastosowań:

- pompy odśrodkowe

- separatory (np. centryfuga w analizie medycznej)

- odśrodkowy regulator Watta



Ale też – konieczność równoważenia sił odśrodkowych przy projektowaniu

szybko wirujących (i o dużych masach, a ściślej: dużych momentach

bezwładności!) części maszyn.



Siła odśrodkowa bezwładności może też stanowić „namiastkę” siły

grawitacyjnego przyciągania Ziemi w statkach (stacjach) kosmicznych.



Siła Coriolisa

związana jest z ruchem postępowym ciał w układzie obracającym się

.

 Przykład:

Ziemia jako obracający się, nieinercyjny układ odniesienia (ruch dobowy, z zachodu na wschód, z okresem 24 godziny). E W N S h

Swobodny spadek ciała z wieży: następuje odchylenie miejsca upadku względem pionu, wyznaczonego przez siły grawitacji, o pewną wielkość , największą na równiku, zerową na biegunie.





v



F



SIŁY BEZWŁADNOŚCI



Obserwator nieruchomy (inercyjny):

Siła przyciągania ziemskiego nadaje ciału przyspieszenie, skierowane do środka Ziemi. Jest ona prostopadła do prędkości początkowej ciała (w ruchu obrotowym), więc nie zmienia wartości tej prędkości. Tymczasem podstawa wieży ma mniejszą prędkość liniową (bo ma tę samą prędkość kątową):

E W  0

v



v



P



P



v



v





R

h



R

h

v

v

















i dlatego ciało spadnie na Ziemię na wschód od wierzchołka wieży.



Obserwator ruchomy (nieinercyjny):

Na ciało działają siły: przyciągania ziemskiego , siła odśrodkowa i siła

Coriolisa . Siły i powodowałyby pionowe spadanie, ale siła Coriolisa , prostopadła do kierunku prędkości początkowej spadania, powoduje ruch ciała po paraboli i przesunięcie punktu upadku na wschód.

v E W

P



F



F



P



F



F



F



F



_P



SIŁY BEZWŁADNOŚCI



Podobieństwo istniejące pomiędzy siłami bezwładności

i siłami grawitacyjnymi: obie są proporcjonalne do mas

punktów

materialnych

i

nadają

im

jednakowe

przyspieszenie względne.

Wobec tego działanie sił bezwładności na punkt

materialny można zastąpić działaniem równoważnego im

pola ciążenia!



Zasada równoważności ruchu:

Ruch ciała względem nieinercjalnego układu odniesienia jest

równoważny jego ruchowi względem układu inercyjnego. Ten ruch

zachodzi pod wpływem wszystkich ciał rzeczywiście współdziałających z

danym ciałem a także pod wpływem jakiegoś dopełniającego pola

ciążenia.

Nie jest to stwierdzenie identyczności sił bezwładności i grawitacyjnych!

(Zmiany pola „równoważnego” powinny rozchodzić się w przestrzeni z

prędkością nieskończenie wielką).

1. Nieprawdą jest, że w ruchu jednostajnym po okręgu: A. siła styczna jest różna od zera.

B. przyspieszenie dośrodkowe zależy od prędkości ciała poruszającego się po okręgu.

C. częstość kołowa jest odwrotnie proporcjonalna do okresu obiegu okręgu. D. prędkość liniowa zależy od iloczynu częstotliwości i promienia okręgu.

2. Obserwator kręci się na karuzeli. Prawdą jest, że:

A. siły działające na obserwatora w układzie odniesienia związanym z Ziemią nie równoważą się.

B. W układzie związanym z Ziemią na obserwatora działają trzy siły: grawitacji, odśrodkowa i naprężenia liny na której zawieszone jest siodełko. Wszystkie te siły równoważą się.

C. w układzie związanym z Ziemią na obserwatora działa siła odśrodkowa związana z ruchem karuzeli.

D. w układzie związanym z karuzelą na obserwatora działają cztery siły siły: grawitacji, dośrodkowa, odśrodkowa i naprężenia liny na której zawieszone jest siodełko. Wszystkie te siły równoważą się.

3. Aby ciała na równiku były w stanie nieważkości, prędkość kątowa Ziemi musiałaby być równa

A. B. C. D.

4. Stan nieważkości, który odczuwa kosmonauta, w statku kosmicznym, lecącym po orbicie kołowej z wyłączonymi silnikami wokół Ziemi

A. powstaje w wyniku zrównoważenia się siły bezwładności działającej na kosmonautę i siły ciężkości.

B. powstaje z powodu dużej odległości od Ziemi.

C. powstaje w wyniku zrównoważenia się siły dośrodkowej i siły ciężkości kosmonauty. D. jest wynikiem wyjścia statku poza atmosferę Ziemi.