Randstoringen bij axiaal-symmetrisch belaste omwentelingsschalen

IBC

MEDEDELINGEN

ORGAAN VAN RET

INSTITUUT T.N.O. VOOR BOUWMATERIALEN EN -CONSTRUCTIES

Redacteur: Jr. A. L. Bouma - Postbus 49, Delft

JAARGANG 6 NO.1 JANUARI 1958

RANDSTORINGEN

BIJ

AXIAAL-SYMMETRISCH

BELASTE OMWENTELINGSSCHALEN

I THEORIE

In dit artikel wordt allereerst de theorie van de axiaal-symmetrisch belastc cilinderschaal, die analoog is met de theorie van de elastisch ondersteunde ligger, kort gememoreerd. Voor een serie basisgevallen worden eenvoudige formules afgeleid. Het begrip meewerkende breedte wordt ingevoerd, hetgeen

in veel gevaUen tot een sneUe oplossing leidt.

De toepassing van deze formules wordt geWustreerd aan de hand van een aantal voorbeelden: buizen onder overdruk of voorspanning, reservoirs of silo's en ook cilindrische ton- of shedschalen, waarbij geen axiale symmetrie aanwezzg IS.

Het toepassingsgebied van de afgeleide formules behoift echter niet beperkt te blijven tot cilindrische schalen. Zoals bekend past men b.v. bij het be-rekenen van de randstoringen in bolschalen de benaderingsmethode van Geckeler toe. Deze gaat uit van een vereenvoudigde dijferentiaalvergelijking, die in feite de dijferentiaalvergelijking is van een axiaal-symmetrisch belaste cilinder. De rechtvaardiging van deze benaderingsmethode Zigt in het feit, dat de randstoringen zich sleehls over een smalle zone nabij de rand uitstrekken. De afgeleide formules kunnen daarom ook bij bolschalen worden gebruikt.

De toepassing op bolschalen wordt aan de hand van de volgende voorbeelden toegelicht: een bolschaal bij temperatuursverhoging en een bolschaal onder eigen gewicht, waarbij over de wringingsstijfheid van de randbalk verschil-lende onderstellingen worden gedaan.

Toepassing van deze benaderingsmethode op andere omwentelingsschalen zoals kegels, hyperbolo'iden enz. zal in veel gevaUen mogelijk zijn.

De theorie van de axiaal-symmetrisch belaste cilinderschaal is analoog met die van de elastisch ondersteunde ligger.

Wordt een ligger met constant traagheidsmoment I, belast door een ver-deelde belasting q(x), over zijn gehele lengte, elastisch ondersteund, waarbij

Fig. 1 a. b. c. d.

de tegendruk evenredig is met de doorbuiging van de ligger, dan luidt, zoals bekend, de differentiaalvergelijking voor de doorbuiging w:

d4_w

EI-+kw = q dx4

waarin: EI

=

de buigingsstijfheid van de ligger k = de beddingconstante

. . . (I)

Bij een cilindrische schaal met straal a en constante wanddikte t, axiaal-sym-metrisch belast door een verdeelde belasting Z per eenheid van oppervlak

(zie fig. l), heeft een radiale verplaatsing w naar binnen een rek Cy in

omtreks-riehting tengevolge, welke gelijk is aan de rek in radiale richting C2

=

w a Hierdoor ontstaat een kracht in omtreksrichting Ny, in het vervolg ring-kracht genoemd, welke gelijk is aan:

(2) Wordt uit de cilinderschaal een ligger met breedte gesneden (zie fig. 1), dan werken op de zijvlakken de kraehten Ny (zie fig. Ie) volgens (2). Deze krachten Ny hebben een radiale component (zie fig. ld):

Ny w

-

=

-Et- . . . (3)

a a2

De beschouwde ligger wordt als het ware elastisch ondersteund door de rest van de eilindersehaal, waarbij de tegendruk evenredig is met de radiale ver-plaatsing. Deze tegendruk vermindert dus de radiale belasting Z en in analogie met vergelijking (1) luidt dus de vergelijking voor de axiaal-symmetriseh be-laste cilinderschaal:

d4w Et

K-+-w=Z

dx4 _a2 . . (4)

waarbij: K

=

de buigingsstijfheid van de eilinderschaal

jJ = de dwarscontractieeoef:ficient.

Deze vergelijking laat zich ook schrijven als: d4w 12 (1-y2) 12 (1-y2)

dx4

+

a2t2 w

=

Et3 Z . . . (5)

Wordt in vgl. (1) E1 k . en III vgl. (4) Et/a 2

-y-

of • III vgl. (5) 12 (1-a2t2 y2) gelijk

ge-over in:

dan gaan de gereduceerde vergelijkingen voor beide gevallen

d4w

-+4A4_{w = 0}

dx4 . . . (6) waarvan de oplossing luidt:

w

=

e-'\X{c1 cos AX

+

C2 sin Ax}+e-HX{c3 cos AX c4 sin AX} . . . (7)

Voor de particuliere integraal kan, indien de vierde afgeleide naar X van de belastingsterm gelijk nul is, wat bij praktische toepassingen in het algemeen het geval za1 zijn, gesteld worden:

bij de elastisch ondersteunde ligger: q W=-k . . . (8) bij de cilinderschaal: a2 w

= -

Z of Ny

= -

aZ . . . (9) Et

hetgeen de oplossing voor de membraanspanningstoestand is, waarbij geen buiging van het schaaloppervlak voorkomt.

De oplossing (7), die de invloed van de randvoorwaarden weergeeft en daarmee bij de cilinderschaa1 de storingen van de membraanspannings-toestand, be staat uit twee gedempte golven, waarbij de amplitude van de eerste afneemt in positieve x-richting, terwijl de amplitude van de tweede af-neemt in negatieve x-richting, dus aangroeit in positieve x-richting. Is de cilinder in positieve x-richting oneindig lang, dan zouden de beide laatste termen in (7) aanleiding geven tot oneindig grote verplaatsingen op oneindig grote afstand, hetgeen bij eindige belastingen niet in overeenstemming met de werkelijkheid zou zijn. De in deze termen voorkomende constant en C3 en C4 zijn dus nul. De beide eerste termen geven op oneindig grote afstand een verplaat-sing gelijk nul. De constanten C3 en C4 zijn dus bepaald met behulp van de randvoorwaarden op oneindig grote afstand, de constanten C1 en C2 moeten

nog worden bepaald met behulp van de randvoorwaarden voor de nader te beschouwen rand.

Et

Nu is bij cilinderschalen de "beddingconstante" zeer groot. De elas-a2

tische ondersteuning is dus zeer stijf, zodat de golven snel worden gedempt. Dit houdt in, dat cilinderschalen in de praktijk meestal als oneindig lang mogen worden beschouwd en dat voor het onderzoek van de storingen in de schaal kan worden volstaan met het in rekening brengen van de beide eerste termen uit vergelijking (7), welke dus een gedempte golf voorstellen die van de beschouwde rand uitgaat.

Dikwijls heeft het voordelen deze uitdrukking te schrijven in de volgende vorm, waarbij een faseverschuiving w wordt ingevoerd:

w = A e~AX sin(Ax+w) . . . (10) welke uitdrukking uit (7) is afgeleid door te stellen: C1 = A sin w, C2 = A cos w.

De oplossing van de differentiaalvergelijking (4) c.q. (5) voor de axiaal-sym-metrisch belaste cilinderschaal, waarvan in het volgende zal worden uitge-gaan, luidt dan:

a2

w=-Z+Ae~AXsin(Ax+w) . . . (11)

Et

De ringkracht Ny kan hieruit worden afgeleid met behulp van vergelijking (2).

Door differentieren wordt achtereenvolgens gevonden:

dw a2 _d ~AX _. - = - - Z-AA V2 e sm(}.x+w-n/4) . . . (12) dx Et dx a2 _d2 - K - - Z - K 2,:(2 A e~AX sin(Ax+w-nI2) . . . . (13) Etdx2 a2 _d3 = - K - - Z

+

K 2A3 _{V2 A} e~AX _{sin(Ax+w-3n/4) . . . (14)} Et dx3

Wordt de particuliere integraal buiten beschouwing gelaten, dan blijkt het dw

verloop van w, - , Mx en (Lx gelijkvormig te zijn, waarbij een opvolgende dx

grootheid steeds een faseverschuiving van n/4 vertoont.

Gezien de analogie tussen de vergelijking voor de elastisch ondersteunde ligger en de axiaal-symmetrisch belaste cilinderschaal kunnen voor de cilin-derschaal tal van oplossingen worden ontleend aan overeenkomstige bekende gevallen voor de elastisch ondersteunde ligger.

De volgende basisgevallen a tim d zijn nader onderzocht.

Basisgeval a

De oneindig lange cilinder, belast door een constante radiaal gerichte lijnlast 2 P in oDltreksrichting (zie fig. 2, pag. 35)

Dit geva1 is uit symmetrie-overwegingen gelijk aan dat van:

De naar een ziJde oneindig lange cilinder, aan het uiteinde zodanig ingeklemd, dat geen verdraaiingen doch wel verplaatsingen kunnen optreden en daar belast door een con-stante radiaal gerichte lUnlast Pin omtreksrichting (zie fig. 2).

De belastingsterm Z =

o.

De constanten A en w vo1gen uit de randvoor-waarden: (12) : ( dw) - - 0 dx X~O n ' > W = -4 (15 ) 1 a2 (14) : (Qx)x~o = - P ->- A = - PV2 = P?eV2 - . . . (16) 4K?e3 Et

Substitutie hiervan in de uitdrukkingen (11) tim (14) geeft voor dit geva1 de dw

verp1aatsing w, de helling dx' het buigend moment Mx en de dwars-kracht Qx:

w =

+

PA V2

~

e-)'x sin (?ex

+;'1;)

i.

Et 4 J (17)

dw a2

- = - 2P?e2- e -Ax sin?cx.

dx Et (18)

P A . (

n)

M = - - V2 e - x sm ?ex

-x 2?e . 4 ( 19)

Qx =

+

Pe-Ax sin(

?ex-~)

(20)

Voor het verloop van de verschillende grootheden zij verwezen naar fig. 2. De maximum-verp1aatsing treedt op onder de last en bedraagt:

P?ea2

Wx~o = Et . . . (21) Ret maximum-moment, dat eveneens onder de last optreedt, bedraagt:

P

(M,,)x~o =

+

2?e . . . . . . . (22)

Wordt ingevoerd een "karakteristieke 1engte":

1 Vat

b = - = -;-;:=== ?e v3(I-v2)

. . . (23a) dan kan voor uitdrukking (22) ook worden geschTeven:

dat is het maximum-moment in een aan beide einden vrij opgelegde ligger met overspanning b, belast door een puntlast 2P in het midden.

Voor y

=

°

wordt b

=

0,76 Vat. . . . . (23b) De ringkracht Ny verloopt evenredig met w - zie vgl. (2). De belasting P

wordt in evenwicht gehouden door de radiale componenten Ny/a van deze ringkrachten over de totale lengte van de cilinder. Daar de dwarskracht

. n

Q.x

=

°

IS voor AX

=

±

"2'

wordt de belasting 2P ook in evenwicht

ge-houden door de radiale componenten Ny/a van de ringkrachten over

n n

het gebied

-"2

<

X

<

+2"'

Ret gebied buiten deze grenzen tot het

eerst-komende nulpunt in het verloop van Ny/a levert dus een teveel aan tegendruk, wat weer gecompenseerd wordt door een neerwaartse druk over een gebied van

n . . n

3 X

4

na dlt nulpunt. Een daaropvolgend gebled ter lengte

4

levert weer een teveel enz., waaruit het gedempte karakter van het verloop blijkt. Wordt nu de ringkracht Ny over een zekere breedte c aan weerszijden van de belasting

2P constant ondersteld en wel gelijk aan de maximale waarde hiervoor bij x

=

0, dan kan deze breedte c zodanig worden bepaald, dat de radiale com-ponent van de in het gebied 2c aanwezige ringkrachten juist evenwicht maakt met de belasting 2P. Ret gebied 2c wordt meewerkende breedte genoemd. De voorwaarde, waarmee deze breedte kan worden bepaald, luidt dus:

-2c

(Ny)x~o

=

2P . . . . (25a)

a

Met behulp van de formules (3) en (21) voIgt hieruit:

Et Et PAa2 2c-Wx~o = 2c - - - = 2cAP

=

2P a2 a2 Et 1 dus c

= - =

b . . . (26) A

Daar de ringkracht evenredig is met de verplaatsing, kan de voorwaarde voor het bepalen van cook met behulp van de verplaatsingen worden opge-steld. Deze voorwaarde luidt dan:

00

Wx~o C =

f

wdx . . . (27) o

Su bstitutie van de uitdrukkingen (21) en (17) en uitvoering van de integratie leidt eveneens tot de bovenvermelde uitkomst (26).

Nu de meewerkende breedte c bekend is, kan dus ook met behulp van (25a) direct de maximale waarde van de ringkracht worden bepaald:

2Pa

(Ny)x~o

=

-2b

= -Pal. . . . (25b)

Ret maximum-moment vo1gens (24) gedrukt in de maximum-verp1aatsing:

kan met behu1p van (21) worden

uit-Et2

(M"Jx~o

=

V

Wx~o

2a 3 (1 ~')J2) . . . (28)

en met behu1p van (25b) in de maximum-ringkracht:

~t

(Mx)x~o = (Ny)x~o' . . .

2V3

(1 ~')J2) . . . . (29)

en dus ook in de maximum-ringspanning (ay)x~o = (Ny)x~o/t:

~1

(Moo)x~o

=

(ay)x~o t2 • • • • • • • • • • • • (30)

2V3

(1 ~')J2)

Voor een dwarscontractiecodficient ')J = 0 wordt gevonden:

(Mx)x~o = ~ 0,289 (ay)x~o t2 • • • • • • • • • • • • • • • (31)

waardoor bij een homogene doorsnede een buigspanning wordt veroorzaakt:

(Mx)x~o

(ax)x~o =

±

1/6 t2 =

=F V3

(ay)x~o . . . (32)

Basisgeval b

De naar

een

zijde oneindig lange ciHnder, aan het uiteinde belast

door een radiaal gerichte lijnlast P in oDltreksrichting (zie fig. 3,

pag. 35)

De belastingsterm Z = O. De constanten A en w vo1gen uit de randvoor-waarden: (13) : (14) : n --J>-W=-2 (33) (34) Substitutie hiervan in (11) t/m (14) geeft voor dit geva1 de verplaatsing w,

dw

de hclling - , het buigend moment Moo en de dwarskracht Qx:

dx a2

w

=

2PA- e-AX _{sin(Ax+n/2) . . . (35)}

Et

dw a2

-

=

~2 PA2

V2 -

e-}'x sin(Ax+n/4)

dx Et (36)

p

M = ~ ~ e-AX _{sin AX}

x A (37)

Qx

=

P

V2

e-AX _sin(

AX~~)

₍₃₈₎

De maximum-verplaatsing komt voor onder de last en bedraagt: 2P}"a2

Wx~o =

-Et . . . .

(39)

Dit is tweemaal zo veel als in basisgeval a (formule 21).

n

De dwarskracht Qx

=

°

in het punt x

=

4}". Hier treedt dus het maximum-moment op dat bedraagt:

P P P

(Moo) _" = - - e-"j4 sin n/4 = - -0 456· ~lV2 = -0322 - (40)

x -TI A A' 2 ' } , .

-Et De ringkracht Ny bedraagt: NlI

= - -

w.

a De maximum-ringkracht treedt

dus op ter plaatse x =

°

en deze bedraagt:

-Et

( 41a) (Ny)oo~o = - - Woo~o = - 2PAa

a

Wordt de ringkracht Ny weer over een zekere breedte c naast de belasting P constant ondersteld en gelijk gesteld aan de maximale waarde bij x

=

0, dan kan deze breedte c weer zo worden bepaald, dat de radiale component van de in dit gebied aanwezige ringkrachten juist evenwicht maakt met de belas-ting P. De voorwaarde voor het bepalen van c 1uidt dus:

-(Ny)oo~o

c

=

P of +2P}"c

=

P . . . (42)

a

1 Hieruit voIgt: c -_{- 2)" -}- - J~b

2 • • (43)

Nu de meewerkende breedte bekend is, kan dus rechtstreeks de maximale waarde van de ringkracht worden bepaald:

Pa

(Ny)x~o

= -

lb

= -

2Pa},.. . . . (41b)

2

Het maximum-moment volgens (40) kan met behulp van (39) worden uit-gedrukt in de maximum-verplaatsing:

Et Et2

(Mx) ,,= - 0,161 - Wx~o = -0,093 Wx~o . . (44)

X~4A },.2a2 aV(l-y2) en met behulp van (41) in de maximum-ringkracht:

(Moo) n

=

+0,322

(Ny)x~o

=

+0,093

(Ny)x~o

t . . . (45)

X~TI 2},.2a

V1-

y2

en dus ook in de ringspanning (all)x~o = (Ny)x~o/t:

8 (a ) _ t2 (Mx) _"

=

+0,093 11 x-o x - -H

VI

- y 2 . . . (46) IBC-mededelingen 6 (1958) no. 1

Voor een dwarscontractiecoefficient v =

°

wordt dit:

(Mx) _n

=

+0,093 (ay)x~o t2 • • • • • • • • • • • • • • (47)

x-;u

waardoor bij een homogene doorsnede een buigspanning wordt veroorzaakt:

(Mx)x~~

(ax) _"

=

±

1/6 t24A

=

±

0,56 (ay)x~o . . . (48) X-;u

Vergelijking van de uitdrukkingen (44) tim (48) met de overeenkomstige uit-drukkingen (28) tim (32) van basisgeva1 a laat zien, dat de eerste ongeveer 1/3 bedragen (exact 0,31) van de laatste. Bij eenzelfde verplaatsing Wx~o of ringspanning (ay)x~o zijn de buigende momenten in basisgeva1 b dus over-eenkomstig kleiner dan die in basisgeva1 a.

Basisgeval c

De naar een zijde oneindig lange cilinder, aan het uiteinde belast door een buigend m.om.ent Mo (zie fig. 4, pag. 35)

De belastingterm Z

=

0. De constanten A en ()) vo1gen uit de randvoor-waarden:

(14) : _(Q,x)x~o =

°

-;.- ()) = -

3n

( 49)

4

(13) : (Mx)x~o = Mo -;.- A= -Mo ₍₅₀₎

KA2

V2

Substitutie hiervan in de uitdrukkingen (11) tim (14) geeft voor dit geval de verplaatsing w, de helling dw, het buigend moment Mx en de dwarskracht Q,x:

dx

-M

(3n)

w

=

KA2

V;

e-AX sin Ax +

4

dw Mo -AX • (

n)

dx = KA e sm AX+2" Mx

= MoV2

e-AX

sin(},x+~)

Q,x

= -

2?Mo e-AX _{sin Ax. .}

De maximale verplaatsing treedt op aan het uiteinde en bedraagt: Mo w - = - - -_{x-O 2K?2} De helling is hier: (51 ) (52) (53) (54) . (55) . . . , , , , . . . . (56)

Basisgeval d

De oneindig lange cilinder, plaatselijk belast door een buigend lDOlDent 2 Mo (zie fig. 5, pag. 35)

Uit overwegingen van keersymmetrie is dit geval gelijk aan dat van: De naar een ziJde oneindig lange cilinder, aan het uiteinde ondersteund en daar belast door een buigend moment Mo (zie fig. 5).

De belastingterm Z

=

O. De constant en A en w volgen uit de randvoor-waarden: ( 11) : W,FO = 0 - 7 (13) : (MaJx~o = Mo - 7 w=O 1 A = - M 2KA2 0 (57) (58)

Substitutie hiervan in (11) tim (14) geeft voor dit geval de verplaatsing w,

dw

de helling - , het buigend moment Mx en de dwarskracht Q,x:

dx Mo ' w = - - - e-AX sin AX 2KA2 (59) (60) (61 ) . . . (62) De helling cp ter plaatse van de oplegging bedraagt:

Mo Mob

. . .

2KA 2K

(dW)

cp - -dx x~O . . . (63)

De stijfheidsfactor tegen verdraaiing, dat is het moment no dig om een hoek-verdraaiing gelijk aan de eenheid te veroorzaken, bedraagt dus:

kc = 2; . . . . . . . . (64)

De dwarskracht Q,x ter plaatse van de oplegging bedraagt:

-M

(Q,",)x~o = -AMo = - b -o . . . . (65) dat is de reactie in een vrij opgelegde Iigger met Iengte b, aan een uiteinde belast door een moment Mo.

De uitkomsten van dit basisgeval d hadden uiteraard ook kunnen worden verkregen door superpositie van de basisgevallen b en conder inachtneming van de randvoorwaarden.

De formules voor de basisgevallen a

tim

d zijn met de formules voor enkele toepassingen verzameld in een tabel, die achter in dit nummer is afgedrukt. Hierbij kan worden opgemerkt, dat, voor zover het de vier basisgevallen a

tim

d betreft, bij elke volgende kolom een faseverschuiving van

-n/4

optreedt ten opzichte van de voorgaande kolom, terwijl van boven naar beneden het argument voor elke kolom per rij met

+n/4

toeneemt.

Reeds is opgemerkt, dat de storing en, die bij een cilinderschaal van de rand kunnen uitgaan, snel worden gedempt. De demping wordt bepaald door de factor e-AX, welke in de verschillende formules voorkomt. Wordt een halve golf doorlopen, dat wil zeggen, neemt AX toe met een bedrag n, dan zal de absolute waarde van de amplitude afnemen in de verhouding 1 : e-n

=

=

1 : 0,04321. Deze reductie treedt dus op over een afstand:

n V~

x=-=n-;-;==== A -\13(1-1'2) Voor een waarde l'

=

°

wordt dit:

x

=

0,76 n a

V~

Voor b.v. een verhouding tla

=

1/25 blijkt, dat over een afstand x

=

0,47 a,

dat is nog niet de helft van de straal, de absolute waarde van de amplitude voor de gedempte golf voor een willekeurige grootheid afneemt tot enkele procenten. Dit houdt dus in, dat cilinderschalen in de praktijk meestal mogen worden berekend met behulp van de formules, welke in de voorafgaande basisgevallen a

tim

d zijn afgeleid voor de oneindig lange cilinderschaal.

II TOEPASSINGEN

Met behulp van hetgeen in het voorgaande voor vier basisgevallen is afge-leid, kunnen in veel gevallen, zowel voor cilindrische schalen als voor axiaal-symmetrische schalen van andere vorm, op snelle en eenvoudige wijze de randstoringen worden bepaald, zoals uit het volgende moge blijken.

A CILINDRISCHE SCHALEN

Als toepassingen van cilindrische schalen kunnen b.v. worden genoemd: buizen, silo's, reservoirs, tunnels, schaaldaken.

Buizen Deze kunnen b.v. verkeren onder een inwendige overdruk

Po,

waar-door ter plaatse van aangebrachte verstijvingsringen een storing van de membraanspanningstoestand zal optreden. Ook kunnen zij onder voor-spanning zijn gebracht door omwikkeling met een voorspandraad met een spoed s. Is in de draad een kracht T aanwezig, dan zal op de buis een radiale

T

belasting - naar binnen worden uitgeoefend. Verstijvingsringen hebben

s·a

dan eenzelfde storende invloed. Een ander geval van storing trcedt op tijdens het omwikkelen bij de overgang van het voorgespannen naar het niet voor-gespannen gedeelte.

lSilo's Bij deze constructies kan veelal worden aangenomen, dat de druk op het wandoppervlak over het grootste gedeelte van de hoogte constant is. De uitkomsten, die voor buizen onder overdruk zullen worden afgeleid, zijn dus ook voor silo's bruikbaar. De mate van inklemming, b.v. aan de voet, bepaalt de aard en de grootte van de randstoring.

Reservoirs In dit geval zal dc druk op het wandoppervlak lineair toenemen.

Daar de storing in de membraanspanningstoestand, b.v. ter plaatse van de aansluiting van het wandoppervlak aan een funderingsplaat, zich slechts over een geringe hoogte zal uitstrekken, kunnen ter vereenvoudi-ging met een goede benadering de uitkomsten, die voor buizen onder overdruk zullen worden afgeleid, ook bij reservoirs worden toegepast, waarbij in de formules voor de (constante) radiale belasting

Po

de druk ter plaatse van de aansluiting kan worden gesubstitueerd. De mate van inklemming bepaalt de aard en de grootte van de randstoring. In werkelijkheid is de situatie dan iets

gunstiger, omdat de belasting naar boven toe afneemt. Om een indruk te geven over de nauwkeurigheid van deze benadering zij vermeld, dat bij een volledige inklemming aan de voet het werkelijke maximale storingsmoment gelijk is aan het op de bovenbeschreven wijze verkregen moment,

vermenig-l-b .

vuldigd met een correctiefactor -1-' waarin b de karakteristieke lengte (23)

en l de afstand van de inklemming tot het punt waar de belasting nul zou zijn (de drukhoogte) voorstelt. Een belasting op het wandoppervlak ten gevolge van een voorspanning kan op dezelfde wijze in rekening worden gebracht.

Tunnels Voor dunwandige cirkelvormige tunnelprofielen kunnen de voor buizen af te leiden formules ook bruikbaar zijn.

Schaaldaken Cilindrische ton- en shedschalen worden ondersteund door schotten of bogen. Ter plaatse van de aansluiting van de schaal aan deze ondersteuningsconstructies kunnen randstoringen worden verwacht. Of schoon de in het voorgaande afgeleide formules en ook de voor buizen in het volgende nog af te leiden uitkomsten betrekking hebben op het geval van axiaal-symmetrische schalen onder axiaal-symmetrische belasting en ton- en shedschalen dus in feite niet onder dit geval ressorteren, kan toch met behulp van deze formules op snelle wijze een indruk van de grootte van deze rand-storingen worden verkregen. De werkelijkheid zal niet veel van deze uitkomsten afwijken, daar de belasting langs de omtrek slechts weinig varieert.

1 Cilindrische schaal (buis) lDet plaatselijk een starre ondersteuning

Geval e Is een buis onder een constante radiaal naar buiten gerichte

belasting

Po

plaatselijk van cen oneindig stijf schot of een oneindig stijve ring voorzien (zie fig. 6 en 7), dan zal daar een storing van de mem-braanspanningstoestand optreden, omdat de radiale verplaatsing (naar buiten), die bij deze spanningstocstand behoort en die volgens (9) bedraagt:

-a2

w =

--Po' . . . .

Et

ter plaatse van het schot wordt ver-hinderd. Ret schot oefent hiertoe een constante radiaal gerichte lijnbelasting

2P

in omtreksrichting uit en dienten-gevolge kunnen de formules van basis-geval a worden toegepast. De maximale verplaatsing onder deze lijnbelasting is volgens (21) :

(b)

De resulterende verplaatsing ter plaatse van het schot bedraagt dus:

-a2 PAa2 Et

Po

+

Et = 0 Fig. 6 en 7 Geval e - x . . . . (a)

Hieruit voIgt de grootte van de lijnbelasting:

2P

=

2

~o

=

2 Pob . . . . (66) De uitdrukkingen voor de hellingen, de momenten en de dwarskrachten volgen uit de formules (18) tim (20) door hierin voor

2P

bovenstaande waarde te substitueren. Het verloop van deze grootheden is dus overeenkomstig met dat in fig. 2. Op de verplaatsing volgens formule (17) dient nog de verplaatsing van de membraanspanningstoestand volgens (a) te worden gesuperponeerd, zodat resulteert een verplaatsing:

. . . (67) Het verloop is dus ook overeenkomstig met dat van fig. 2, slechts de nullijn is verschoven.

Het maximum-moment volgens (22) c.q. (24), dat optreedt ter plaatse van het schot, bedraagt nu:

(M",)w~o

=

+

tP

ob2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (68),

dat is juist het inklemmingsmoment van een uitgekraagde ligger, met lengte b en een constante gelijkmatig verdeelde belasting -Po.

De maximum-dwarskracht komt eveneens voor ter plaatse van het schot en bedraagt:

Pob . . . (69) dat is juist de dwarskracht bij de inklemming van een uitgekraagde ligger met lengte b en belasting -Po'

De doorbuiging w, die ter plaatse van het schot gelijk nul is, neemt met toe-nemende afstand tot het schot snel toe, waardoor spoedig de membraan-spanningstoestand wordt bereikt. Voor de kracht Ny, die evenredig is met de verplaatsing volgens (2), geldt hetzelfde. In de membraanspanningstoestand bedraagt deze kracht volgens (9):

(c)

In dit geval is er dus nabij het schot een zone, waar de belasting

Po

niet in evenwicht wordt gehouden door de radiale componenten Ny/a van de krach-ten Ny in omtreksrichting, doch waar dit mede geschiedt door de dwars-krachten {Lx' Worden de krachten Ny over een zekere breedte c ter weerszijden van het schot gelijk nul ondersteld, waardoor dus een gei:dealiseerd verloop van Ny en (Lx wordt voorgesteld, dan blijkt, gezien de grootte van de maximale dwarskracht volgens (69), de waarde c = b te zijn. Dat is dus dezelfde waarde als de meewerkende breedte bij het basisgeval a.

Geval f Is een buis onder een constante radiaal naar buiten gerichte belasting Po aan het uiteinde van cen in zijn vlak oneindig stijf schot of een oneindig stijve ring voorzien (zie fig. 8), welke evenwel geen weer-stand tegen verdraaiing bieden, dan zal ook daar een storing van de membraanspanningstoestand optreden. De radiale verplaatsing naar buiten in de membraan-spanningstoestand, welke wederom bedraagt:

-a2

W

=

Et Po . . . (a) Fig. 8 Geval f

wordt weer teniet gedaan door een constante radiaal gerichte lijnbelasting P in omtreksrichting, die door het schot wordt uitgeoefend en ten gevolge waar-van onder deze lijnbelasting volgens basisgeval been maximale verplaatsing optreedt (39) :

2PAa2 W =

-Et (d)

Uit de voorwaarde, dat de totale verplaatsing gelijk nul is, voIgt dus:

p =

~fo

=

+

tPob . . . (70) De uitdrukkingen voor de hellingen, de momenten en de dwarskrachten volgen uit de formules (36) t!m (38), door hierin voor P bovenstaande waarde te substitueren. Ret verloop van deze grootheden is dus overeenkomstig met die in fig. 3. Op de verplaatsing volgens formule (35) dient nog de verplaatsing in de membraanspanningstoestand volgens (a) te worden gesuperponeerd, zodat resulteert een verplaatsing:

-poa2[

-AX' (

n)]

( )

W

= ---yjf

l-e sm

AX+2"

. . .

71

Ret verloop hiervan is dus ook overeenkomstig met dat van fig. 3, slechts de nullijn is verschoven.

n

Ret maximum-moment volgens (40), dat optreedt op een afstand x = 4A van het schot, bedraagt nu:

(Mx) _"

_x-v.

=

-0,161

P

Ob2

De maximum-dwarskracht komt voor naast het schot en bedraagt:

(72)

(Q,x)x~o

=

-P

= -

t

Pob. . . . (73)

De lijnbelasting P, dat is de reactie van het schot, maakt dus evenwicht met de radiale belasting Po over de bij basisgeval breeds afgeleide meewerkende breedte van tb.

2 Cilindrische schaal (buis) :met plaatseIijk een verende ondersteuning Geval g Is een buis voorzien van een niet oneindig stijf schot of van een

ring met eindige rekstijfheid en daar ter plaatse belast door een constante radiaal gerichte lijnbelasting 2P in omtreksrichting (zie fig. 9a en 9b), dan zal deze belasting voor een deel2Pc worden opgenomen door de buis en voor

een deel2Pr door de ring ofhet schot. De belasting Pr wordt evenredig

onder-steld met de verp1aatsing van het aangrijpingspunt:

2P,. = 2fwx~o . . . (74) Omdat de radiale verp1aatsing van de ring of van het schot dezelfde is als van de buis daar ter p1aatse, kan P,. met behu1p van (21) ook worden uitgedrukt in de belasting Pc. Voor de tota1e belasting wordt dan gevonden:

Aa2 2P = 2Pc+2P,. = 2Pc+2fwx~o = 2Pc+2f Pc Et =

=2Pc[1+j~:J

. . . (75) Etb Pc = - - - P = P 1

+

jA_a2 _Etb

+

_ja2 Et en dus

De formu1es (17) e.v. van basisgeva1 a blijven dus ook voor ditgeva1 bruikbaar, mits hierin P wordt vervangen door Pc v01gens formu1e (76).

Is de buis voorzien van een verstij-vingsring met een zelfde straa1 a a1s de buis, een doorsnede 2F en een elastici-teitsmodulus E' (zie fig. 9b), dan geldt voor de belasting Pr in ana10gie met

formu1e (3) : en dus I W 2P,. = 2EF·-a2 E'F j = -_{a2 •} . (na) . (78) Substitutie hiervan in (76) 1eidt tot:

Etb

Pc = Etb+E'F P. . . (79) De belasting Pr op de ring bedraagt:

E'F Pr = Etb+E'FP, . . (80) 16 . . . (76) x ~---

_---1

verende ondersteun;ng a

!:

x

I

2P

I

: ~F I

~---i

I

'1

;

lb

~~E'F

[

---1

c

~r

i

Fig. 9 Geval g IBC-mededelingen 6 (1958) no. 1

Vit deze laatste formule blijkt de reductie van de belasting op de ring 2Pr

ten opzichte van de totale belasting 2P, ten gevolge van de meewerkende breedte van de buis over een afstand b aan weerszijden van de ring. De reduc-tiefactor is dus gelijk aan de verhouding van de rekstijfheid van de ring en de som van de rekstijfheden van de ring en de meewerkende breedte van de cilinder.

Vit symmetrie-overwegingen is het behandelde geval ook gelijk aan dat van een buis, die aan een uiteinde zodanig is ingeklemd, dat geen verdraai-ingen doch wel verplaatsverdraai-ingen kunnen optreden. Deze buis is voorts aan dit uiteinde verend ondersteund en daar belast door een constante radiaal ge-richte lijnlast Pin omtreksrichting (zie fig. 9c) Van deze belasting P wordt nu een deel Pc opgenomen door de buis en een deel Pr door de verstijvingsring of het schot. Is de buis voorzien van een verstijvingsring met een doorsnede F, dan geldt voor de belasting P,,:

P = E'Fw

r a2 (77b)

waaruit dezelfde waarde volgens formule (78) voIgt voor

J.

De formules (79) en (80) zijn dus ook voor dit geval bruikbaar.

Geval h Is een buis, voorzien van een niet oneindig stijf schot of van een ring met eindige rekstijfheid, belast door een constante radiaal naar buiten gerichte belasting

Po

(zie fig. 10), dan is het duidelijk, dat dit belastings-geval te berekenen is met behulp van de formules voor basisgeval a met

in-____ x

t---

---J

~:~:-~+t~;~J

- - -- - - -

-verende ondersteuning

Fig. 10 Geval h achtneming van hetgeen boven is vermeld. De van de buis in de membraanspanningstoestand:

verplaatsing naar buiten

-a2

W = ~-Po

. . . .

Et (a),

wordt nu slechts ten dele opgeheven door een lijnbelasting 2P in tegengestelde richting ter plaatse van de ondersteuning volgens (21). Bet overblijvende ge-deelte van de verplaatsing w wordt geleverd door het schot of de verstijvings-ring, die door de tegengestelde belasting 2P een verplaatsing naar buiten onder-gaan, welke uit (74) voIgt door 2P" = 2P te stellen. Er geldt dus:

Aa2 ₁ a2 P Et +2P2f

=

E/ o waaruit voIgt: fa2 _fa2 P= Po= Pob . . . (81) fa2A

+

Et fa2 Etb

De formu1es (19), (22) en (24) voor het buigend moment in basisgeval a blijven dus ook voor dit geval bruikbaar, mits hierin voor P bovenstaande uitdrukking wordt gesubstitueerd. Is de buis voorzien van een verstijvings-ring met een zelfde straal als a als de buis, een doorsnede Fen een

elasticiteits-E'F

modulus E' ,dan geldt volgens formule (78):

f

= - . Substitutie hiervan in a2

(81) leidt dan tot: E'F

P = E'F+EtbPob . . . (82) Bij vergelijking met de uitkomst van het stijve schot, formule (66), blijkt weer een zelfde reductiefactor op te treden als in formule (80). Ook het buigend moment wordt, vergeleken met formule (68), in dezelfde verhouding geredu-ceerd. Substitutie van (82) in (24) leidt immers tot:

E'F

(Mx)x~o = E'F+Etb tPob2

• • . . . (83)

Geval j Is een buis aan het uiteinde voorzien van een niet oneindig stijf schot of van een ring met eindige rekstijfheid, die geen weerstand tegen verdraaiing bieden, en daar ter plaatse belast door een constante radiaal gerichte lijnbelasting P in omtreksrichting (zie fig. 11), dan zal deze belasting voor een deel Pc worden opgenomen door de buis en voor een deel Pr door de ring of het schot. Daar de meewerkende breedte naast het schot

of de ring thans

tb

bedraagt - zie basisgeval b - kan in analogie met de for-mules (76), (79) en (80) direct gesteld worden:

:lEtb P = 2 P. . . . (84) c tEtb+fa2 c.q. :lEtb Pc =

tEt~+E'F

P . . . . (85)

---1

en verende ondersteuning E'F

P r = tEtb

+

E'F P . . . (86) Fig. 11 Gevalj De formules (35) e.v. van basisgeval b blijven dus ook voor dit geval bruikbaar, mits hierin P wordt vervangen door Pc volgens formule (84) c.q. (85).

Geval k Is een buis aan het uiteinde voorzien van een niet oneindig stijf schot of van een ring met eindige rekstijfheid, die beide geen weerstand tegen verdraaiing bieden en belast door een constante radiaal naar buiten gerichte belasting

Po

(zie fig. 12), dan is het duidelijk, dat dit belastinggeval te berekenen is met behulp van de formules voor basisgeval b

met inachtneming van hetgeen boven is vermeld. De verplaatsing naar buiten van de buis in de membraan-spanningstoestand:

-a2

w

=

Et Po

_ x

wordt nu slechts ten dele opgeheven door een lijn- verende ondersteuning

belasting P in tegengestelde richting ter plaatse van Fig. 12 Geva1 k de ondersteuning volgens (39). Ret overblijvende

ge-deelte van de verplaatsing w wordt geleverd door het schot of de verstijvings-ring, die door de tegengesteld belasting Peen verplaatsing naar buiten onder-gaan, welke uit (74) voIgt door Pr

=

Pte stellen. Er geldt dus:

2Aa2 1 a2

P Et +p]

=

Et PO

waaruit voIgt:

fa 2 fa 2

P = fa 2 2A+EtPO = fa2+!Etb~Pob . . . (87)

De formules (37) en (40) voor het buigend moment in basisgeval b blijven dus ook voor dit geval bruikbaar, mits hierin voor P bovenstaande uitdrukking wordt gesubstitueerd.

Is de buis voorzien van een verstijvingsring met een zelfde straal a als de buis, een doorsnede F en een elasticiteitsmodulus E', dan geldt vol gens (78):

E'F

f=~.

Substitutie hiervan in (87) leidt dan tot:

E'F

P = E'F+!Etb !Pob . . . (88)

Bij vergelijking met de uitkomst voor het stijve schot, formule (70), blijkt weer een zelfde reductiefactor op te treden als in formule (86). Ook het buigend moment wordt, vergeleken met for mule (72), in dezelfde verhouding geredu-ceerd. Substitutie van (88) in (40) leidt immers tot:

-E'F

(Mx)x=i'x = E'F+!Etb 0,161 POb2 . . . (89)

3 Cilindrische schaal (buis) :met plaatselijk een verende inkle:m:ming

Gevall Een buis, aan het uiteinde verend draaibaar ingeklemd en daar

belast door een constante radiaal gerichte lijnlast Pin omtreksrich-ting (zie fig. 13), is te berekenen door superpositie van de basisgevallen b en c.

Tengevolge van de belasting P ontstaat in basisgeval b aan het uiteinde een hoekverdraaiing (36):

(dw)

a2

fPI

= -

= -

2P}.2 - .

,dx x=o Et

(e) Ten gevolge van het moment Mo ontstaat in

basis-geval c aan het uiteinde een hoekverdraaiing (56):

--P ) ( verende inklemming

Mo

fP2

=e:)

x=o

= :; . . .

(f)

De som van deze beide hoekverdraaiingen dient gelijk Fig. 13 Geva11 te zijn aan de hoekverdraaiing fPr van de inklemmingsconstructie

van het daarop uitgeoefende moment Mo:

tengevolge

fPr = - Mo1fJ' . . . (90)

waarin 1fJ de hoekverdraaiing ten gevolge van een moment ter grootte van de eenheid voorstelt.

20

Wordt de inklemmingsconstructie gevormd door een ringbalk met straal r

(zie fig. 140p pag. 22), dan kan de factor 1fJ op de volgende wijze worden bepaald:

In de ringbalk, die langs zijn omtrek wordt belast door een constant wringend moment Mo, ontstaat in elke doorsnede een buigend moment:

Mb=Moro' . . . (91) hetgeen op eenvoudige wijze duidelijk wordt, als men b.v. het evenwicht van een helft van de ringbalk beschouwt. Ligt een van de beide hoofdtraagheidsassen van het profiel in het vlak waarin dit buigend moment werkt, dan ontstaat in een vezel op een afstand e van de neutrale lijn een buigspanning:

Mbe Moroe

Cfb = - - = --=-~

Ib Ib · . . (92)

als Ib het traagheidsmoment van de doorsnede ten opzichte van de neutrale

lijn voorstelt. In deze vezel ontstaat dus een specifieke rek:

. . . (93) als E' de elasticiteitsmodulus is van de ringbalk, hetgeen inhoudt, daar radiale en tangentiale rek gelijk zijn, dat een vezel boven de neutrale lijn naar buiten wordt verplaatst over een afstand:

Mo '02 e

z=roE=gy-;- . . · . . (94)

wat een hoekverdraaiing van het profiel betekent ter grootte van:

- z -Mo r02

fPr

=

-e-

=

-E'I_b

=

-Mo1fJ · . . (95)

Hieruit voIgt de factor 1fJ:

r 2 1/) _ _ 0_ ~. - E'I b . . . (96) IBC-mededelingen 6 (1958) no. 1

De voorwaarde voor gelijke hoekverdraaiingen van buis en inklemmings-constructie luidt dus:

a2 ₁ -2PA2 Et +Mo KA waaruit voIgt:

P

1 . . . (97) 2A 1 +KA1p

In de formules volgens basisgeval c, hetwelk op basisgeval b moet worden

ge-superponeerd, dient dus voor Mo bovenstaande uitdrukking te worden gesub-stitueerd.

Aan het uiteinde resulteert b.v. een verplaatsing volgens (39) en (55):

wx~o

= 2PA

~:

-Mo

2~A2

= PA

~:[

2 - 1

+~A1p]

=

=

PA

:t[\:~~]

...

(98) Ook in dit geval kan een meewerkende breedte worden ingevoerd, waarvan ondersteld wordt, dat de kracht Ny over dit gebied constant is en gelijk aan de waarde aan het uiteinde, terwijl de breedte zodanig is, dat de radiale component van Ny over dit gebied evenwicht maakt met de belasting P. De kracht (Ny)x~o kan met behulp van (3) worden uitgedrukt in de verplaatsing Wx~o volgens (98):

(Ny)x~o

= -

~t Wx~o

=

-PAa[\:~~]

...

(99) De evenwichtsvoorwaarde voor het bepalen van de meewerkende breedte c luidt: en dus: PAC

[1

+2KA1p] = P + I+KA1p , waaruit voIgt: C - b [ 1

+

KA1p] _ b

[1 _

KA1p ] 1 +2KA1p 1 +2KA1p (100)

Voor 1p = 0 (inklemmingsconstructie oneindig stijf tegen verdraaiing) gaat de formule over in formule (26) van basisgeval a.

Voor 1p =

=

(inklemmingsconstructie oneindig slap tegen verdraaiing) gaat de formule over in formule (43) van basisgeval b.

de kracht Ny aan het uiteinde ten gevo1ge van een belasting P, die door de buis moet worden opgenomen, worden bepaa1d:

Pa c

Pa (1 +2KA1p)

b (1 +KA1p) . . . (101) Ook op de vo1gende wijze is het onderhavige belastingsgeva1 te berekenen. Wordt het uiteinde aanvankelijk niet verdraaibaar, doch wel verp1aatsbaar gedacht, dan kunnen de uitkomsten vo1gens basisgeva1 a worden toepast. Bij de ink1emming aan het uiteinde ontstaat in de buis dan volgens (22) c.q. (24) een buigend moment:

(M"Jx~o = !(2P)b. . . . . (g) Op de ink1emming werkt een even groot, doch tegengesteld moment:

Mpr = -tPb. . . . (102) Dit wordt, evena1s bij de methode CROSS voor liggers en raamwerken, het

pri-maire moment Mpr genoemd, waarvoor a1s tekenafspraak geldt: met de klok mee is positief. Indien de inklemming meegeeft, za1 dit moment afnemen. Rekenkundig kan het moment zodanig worden vereffend, dat buis en inklem-mingsconstructie elk een moment erbij krijgen, waarvan de grootte evenredig is met hun stijfheidsfactor tegen verdraaiing.

De stijfheidsfactor kc van de ci1inder of de buis is reeds bekend van basis-geva1 d, formu1e (64):

k

= 2!5

c b

kr van de ink1emmingsconstructie, hetzij een schot, De stijfheidsfactor

hetzij een ringba1k, IS:

1

kr = - . . . . (103)

1p

waarbij de factor 1p reeds in vergelijking (90) is gedefinieerd.

Wordt de ink1emmingsconstructie gevormd door een ringba1k met straa1 ro en een buigingsstijfheid E'Ib (zie fig. 14), dan is de stijfheidsfactor tegen verdraaiing vo1gens (96):

Fig. 14 De hoekverdraaitng van een dwarsdoorsnede van een ringbalk, die langs de omtrek wordt belast door een constant wringend moment Mo.

22

vlak waarin Mb werkt

doorsnede A~A

E'Ib

kr =

-'(,0 2

. . . (104) De vereffeningscoefficienten zijn dus:

(105)

ke

Ike

=

k +k . . . (106)

r e

Op de inklemmingsconstructie bIijft dus na vereffening een (CRoss)-moment werkzaam:

M"

=

IkrMpr . . . . (107) In de buis ontstaat bij vereffening een (CROSS) -moment:

-IkeMpr

en er wordt dus bij het vereffenen op de buis aan het uiteinde een buigend moment uitgeoefend:

Me'

=

+

lkeMpr. . . . zodat hier resulteert een buigend moment:

(108)

Me = - Mpr

+

Me' = - flrMpr = -Mr . . . . (109) Ret onderhavige geval kan dus worden opgelost door superpositie van de basisgevallen a en d, waarbij voor het randmoment Mo van basisgeval d moet worden aangehouden de waarde van het moment Me' volgens (l08), dat bij het vereffenen in de buis wordt ge'introduceerd.

Door het moment Me' ontstaat aan het uiteinde van de buis een dwars-kracht c.q. reactiedwars-kracht, welke voIgt uit formule (65) :

Mo Me' Mpr

(Q,,,Jx~o =

-T

= - -b- = - Ikc-b- =

+

ilkc P . . . . . (110)

waardoor de belasting op de buis afneemt tot:

Pc

=

P - (Q,x)x~o

=

P (l-ilke) . . . (Ill)

De momenten, verplaatsingen e.d., welke hierboven zijn uitgedrukt in P, kunnen dus met behuip van (Ill) worden uitgedrukt in Pc, dat is de werkelijke belasting, die op de buis wordt uitgeoefend.

Ten opzichte van basisgeva1 a neemt de belasting, die door de buis wordt opgenomen, dus af. Daar bij de vereffening de verp1aatsing van het uiteinde gelijk bIijft - bij basisgeval d is hier een scharnier aanwezig - verandert hierbij ook niet de waarde van de kracht (Ny)x~o. Uit de reeds eerder gegeven om-schrijving van de meewerkende breedte voIgt, dat bij de vereffening de mee-werkende breedte c dus in dezelfde verhouding afneemt a1s de belasting, die door de buis wordt opgenomen. Rieruit voIgt:

c

=

b (1- ilke) . . . (112) Uiteraard is deze formule identiek met (100), zoais gemakkelijk bIijkt.

Voor fle = 0 (inklemmingsconstructie oneindig stijf tegen verdraaiing) gaat de formule over in (26) van basisgeval a.

Voor flc

=

1 (inklemmingsconstructie oneindig slap tegen verdraaiing) gaat de formule over in (43) van basisgeval b.

Met behulp van de nu bekende meewerkende breedte is de grootte van de kracht Nyaan het uiteinde rechtstreeks uit te drukken in de belasting Pc, die door de buis moet worden opgenomen:

Pc a a 1

(Ny)x~o = - - = - Pc- - - . . . . . . (113)

c b I-tfle

4 Cilindrische schaal (buis), plaatselijk verend ondersteund en verend ingekle:md

Geval I I I Een buis, aan het uiteinde verend draaibaar ingeklemd en verend

ondersteund en daar belast door een constante radiaal gerichte lijnlast P in omtreksrichting (zie fig. 15), is door combinatie van de onder 2 en 3 verkregen resultaten te berekenen.

Uit de gevallen g en j, onder 2 vermeld, blijkt, dat de belastingen, die respec-tievelijk door de buis en door de verende ondersteuning, die hier als ringbalk wordt gedacht, worden opgenomen, zich verhouden als de rekstijfheden van de meewerkende breedte van de buis en van de ringbalk; zie formules (79), (80), (85) en (86). De meewerkende breedte van de buis wordt be:invloed door de verende inklemming op een wijze als onder 3 is afgeleid en is weer-gegeven in de formules (100) en (112).

In analogie met de formules (79), (80), (85) en (86) kunnen dus de uit-drukkingen voor het deel van de belasting Pc, dat door de buis wordt opge-nomen en voor het deel van de belasting P" dat door de verende ondersteu-ning wordt opgenomen, direct worden opgesteld:

24

Etb[ 1 + KA1fJ]

P

=

1+2KA1fJ P

e Etb [ 1 + KA1fJ] +E'F 1 +2KA1fJ (l-tfle) Etb p . . Pc

=

--'---'----(l-tfle) Etb+E'F E'F Pr

=

P.

Etb[ I+ KA1fJ] +E'F 1+2KA1fJ . . . (114) (115 ) (116) w

---1

I

E'F Pr

=

P . . . (117)

(l-tfle) Etb+E'F Fig. 15 Geval m

Is het deel van de belasting Pc, dat door de buis wordt opgenomen, bekend, dan kunnen op een van de beide onder 3 beschreven wijzen de buigende momenten en andere grootheden worden bepaald.

Ret geval van de verende inklemming en de verende ondersteuning komt ook bij koepelschalen voor. Ret betreffende voorbeeld van een bolschaal zal dan ook op de hier aangegeven wijze worden opgelost.

Wordt bij de buis met dezelfde randvoorwaarden de belasting gevormd dOOT een constante gelijkmatig verdeelde radiaal gerichte belasting

Po,

dan kan dit geval op eenvoudige wijze, met behulp van hetgeen hieTboven is afgeleid, wor-den berekend op de wijze als reeds bij de gevallen h en k is gedaan.

5 Ton- en shedschalen

Voor het optreden van randstoringen nabij de gebogen rand en van ton- en shedschalen (zie fig. 16) zijn verschillende oorzaken aan te wijzen.

Bij de berekening van een cilindrisch schaaldak wordt de belasting in lengte-richting ontwikkeld in een reeks van FOURIER, waarvan meestal slechts de

eerste term in de berekening wordt betrokken (zie fig. 17). Riermee wordt aan bepaalde randvoorwaarden voldaan, met name is de radiale verplaatsing w gelijk nul, terwijl ook de kracht Ny en de rek Ey bij de ondersteuning gelijk

nul worden. De in werkelijkheid nabij de ondersteuning aanwezige be-lasting qo zal echter een kracht Ny willen veroorzaken en daarmee een rek Ey.

Dc grootte hiervan kan met voldoende nauwkeurigheid met behulp van de membraantheorie worden bepaald. De grootste waarde van Ny komt dan voor in de top van de schaal en bedraagt:

( lIS) als a de straal voorstelt, waardoor aldaar een spanning zou optreden:

ay = - qo aft. . . . (119)

r=:

';'b I I

C:LLJ

I

~~---~

I·

.\

Fig. 17 Fig. 16 De meewerkende breedte nabij de onder-steuningen van ton- en shedscha1en.

De door de schaal uitgeoefende belasting zal in de ondersteuningsconstructie vervormingen doen ontstaan. In het bijzonder zal dit het geval zijn bij bogen, die op normaalkracht en buiging worden belast. Als gevolg van de krachts-werking in de boog zullen ter plaatse van de aansluiting van de schaal aan de boog spanningen ay' in omtreksrichting in de boog optreden. Deze spanningen, die op elementaire wijze, b.v. met de methode CROSS, kunnen worden bepaald, zullen in het algemeen niet gelijk zijn aan de volgens (119) berekende span-ningen in de schaal, doch hiermee een verschil in spanning ayv vertonen. Boog en schaal vormen evenwel een monoliet en de vervormingen van de boog zul-len ook aan de schaal worden meegedeeld, m.a.w. ter plaatse van de aanslui-ting aan de boog zal in de schaal een extra spanning ayv worden teweeg-gebracht. Deze extra spanning ayv veroorzaakt een rek eyv in omtreksrichting en daarmee een radiale verplaatsing w, tengevolge waarvan buiging in langs-richting zal optreden, op de wijze zoals bij de basisgevallen a en b is beschre-yen. Wordt afgezien van het feit, dat hier geen axiale symmetrie aanwezig is, dan kunnen de voor deze basisgevallen afgeleide formules worden toegepast en kan b.v. het maxim ale buigende moment rechtstreeks worden uitgedrukt in de spanning ayv '

Is de schaal aan een uiteinde zgn. vrij opgelegd, waarbij de ondersteunings-constructie slap wordt ondersteld tegen verplaatsingen loodrecht op zijn vlak, dan kunnen de formules volgens basisgeval b worden toegepast. Is de schaal aan een uiteinde ingeklemd, dan kunnen de formules volgens basisgeval a worden toegepast. Dit laatste is bij benadering ook het geval, als het een tussenondersteuning van het schaaldak betreft.

Bedraagt de spanning ayv b.v. -60 kgjcm2, de schaaldikte t b.v. 7 cm, dan wordt voor de maximale waarde van het storingsmoment bij verwaarlozing van de dwarscontractiecoefficient gevonden:

volgens basisgeval a, formule (31): Mx

=

-0,289 ay

J2

=

+ 850 kgcmjcm. volgens basisgeval b, formule (47): Mx = +0,093 aYv t2 = -274 kgcmjcm. Deze momenten zijn zeker niet verwaarloosbaar klein en hiervoor zal, zij het over kleine lengte, wapening moeten worden bijgelegd.

De spanning ayv ' die door de boog in de schaal wordt ge'introduceerd ter plaatse van de aansluiting, zal in de schaal vrij snel afnemen op de wijze als bij de basisgevallen a en b is aangegeven, waarbij een meewerkende breedte kon worden ingevoerd ter grootte van respectievelijk b aan weerszijden van de ondersteuning en

tb

aan een zijde (zie fig. 16). Bij de berekening van de bogen en daarmee dus van de spanning ay ' ter plaatse van de aansluiting van

de schaal mag bij de bepaling van het profiel deze meewerkende breedte worden meegerekend.

Andere oorzaken van een verschil in rek ey tussen schaal en

ondersteunings-constructie, zoals verschillen in krimp of in temperatuur, kunnen op de bovenaangegeven wijze eveneens in rekening worden gebracht.

B BOLSCHALEN (koepels)

Zoals bekend, wordt bij praktische toepassingen het randstoringsprobleem voor axiaal-symmetrisch belaste bolschalen (zie fig. 18) meestal opgelost volgens de benaderingsmethode van GECKELER. De methode is gebaseerd op het feit, dat de krachten en momenten, die door een aan de rand aangrijpend even-wichtssysteem van krachten en momenten in de schaal worden opgewekt, snel afnemen met toenemende afstand tot de rand, op een wijze zoals dit ook bij de cilindrische schaal het geval is. Dit houdt in, dat in de differentiaal-vergelijkingen de lagere afgeleiden van bepaalde grootheden klein zijn ten opzichte van de hogere.

Worden deze lagere afgeleiden verwaarloosd, dan resulteert dit in de beide differentiaalvergelijkingen voor de hoekverdraaiing X van de

meridiaandoor-snede en de dwarskracht q *) : / Et -X = 0 . . . (120) a2 ' d4_q Et K -

+

-q

=

0 . . . (121) ds4 _a2

waarin de coordinaat s wordt ge-meten langs de meridiaandoorsnede.

Daar bij de lagere afgeleiden cotg rp als factor voorkomt, is de

verwaar-lozing hiervan en dus de toepassing Fig. 18 van de methode slechts geoorloofd

bij niet te kleine waarden van de openingshoek rp.

De vergelijkingen (120) en (121) zijn geheel analoog met vergelijking

~'"t?~/ c,V/ be;.

&!/

/

Bij de benaderingsmethode van GECKELER voor de axiaal-symme-trisch belaste bolschaal wordt deze in feite vervangen door een cilinder-schaal met dezelfde straal, die in het beschouwde punt van de rand aan de bolschaal raakt.

(4) voor de cilindrische schaal, waarbij de belastingsterm buiten beschouwing kan dw worden gelaten. Wordt voorts bedacht, dat met grote benadering geldt: X = - ,

ds

dan is het duidelijk, dat voor het oplossen van het randstoringsprobleem van de bol-schaal ook kan worden uitgegaan van de gereduceerde vergelUking (4) c.q. verg. (6) Hierin stelt w dan voor de radiale verplaatsing, terwijl de coordinaat x wordt gemeten langs de meridiaandoorsnede. De vergelijking (120) gaat immers bij integratie over in de gereduceerde veiogelijking (4); de hierbij optredende integratie-constante is nul. Van de oplossingen, die voor de cilindrische schaal zijn afgeleid, kan dus ook bij de bolschaal gebruik worden gemaakt. Bij deze oplossingsmethode wordt de bolschaal in feite vervangen door een *) Zie b.v.: GIRKMANN, K., Flachentragwerke. 4e druk, pag. 435 ... 436. Wien, Springer verlag 1956.

cilinderschaal met een even grote straal. Laat men deze cilinderschaal in het beschouwde punt van de rand raken aan de bolschaal (zie fig. 18), dan wordt de fysische achtergrond van deze benaderingsmethode duidelijk. Enerzijds immers is de afstand, waarover de storing zich van de rand af uitstrekt, in het algemeen slechts gering, anderzijds vallen de meridiaandoorsneden van bolschaal en cilinderschaal over het eerste gedeelte van de rand af gemeten vrijwel samen, zodat het gedeelte van de meridiaandoorsnede van de bolschaal, waar de storing zijn invloed doet gelden, bij benadering kan worden vervangen door de meridiaandoorsnede van de aan de bolschaal rakende cilinderschaal met een even grote straal. Verwaarloosd worden dus de invloed van de kromming van de meridiaandoorsnede bij de bolschaal en de invloed van de afnemende breedte van een strip, die tussen twee naburige meridiaandoor-sneden op de bolschaal kan worden gedacht. Bij de cilinderschaal bezit een dergelijke strip immers een constante breedte.

Met een aantal voorbeelden zal de toepassing van verschillende van de af-geleide formules worden toegelicht.

1 TeDlperatuurspanningen in een boIschaaI

Ondersteld wordt, dat een verschil in temperatuurstijging van to optreedt tussen een bolschaal en de bijbehorende randbalk (zie fig. 19). Was de schaal los van de randbalk, dan zou de schaal ter plaatse van de randbalk een relatieve verplaatsing naar buiten ondergaan:

Wt

=

as

=

aatO . . . .

waarin a de uitzettingscoefficient is.

. . . . (122)

Voor het terugbrengen van deze verplaatsing zijn op de schaalrand een dwarskracht Q,x en een moment Mx nodig. Wordt de randbalk oneindig stijf tegen wringing ondersteld, dan kunnen de formules van basisgeval a worden toegepast. Bij verwaarlozing van de dwarscontractiecoefficient jJ wordt dan door

substitutie van bovenstaande uitdrukking voor de verplaatsing W in (28)

voor het maximale moment gevonden:

Et2 Et2

(Mx)x~o

= 2

_a

V

₃ Wx~o

= 2V3

ate . . (123) De maximale kracht Ny in omtreksrichting, werkend volgens de raaklijn aan een parallelcirkel, bedraagt in overeenstemming met (2) :

Et (Ny)x~o

= -

-w

= -

EtatO (124) a Met b.v. E = 3.105 _{kg/cm2, t = 7 em,} a

=

10-5 en to

=

15 ° wordt gevonden: MXmax

=

637 kgcm/cm Nymax

=

-315 kg/em 28

Fig. 19 Relatieve verplaatsing van een bolschaal t.o.v. de bijbehorende rand balk t.g.v. een onderling temperatuurverschil.

2 Bolschaal belast door eigen gewicht g

Voor de afmetingen zij verwezen naar fig. 20.

De membraanspanningen volgen uit de volgende formules: *) ga

N=

_'P I +cos cP Nv = - ga [cos cP _ I ] I +cos cp (125) . (126) Bij een eigen gewicht g = 200 kg/m2, waaraan eventueel het gewicht van een

dakbedekking, een dakisolatie en een sneeuwbelasting kan worden toegevoegd, wordt ter plaatse van de aansluiting aan de rand balk gevonden:

(N'P)'P~'Po

=

33,7 kg/cm --'i>- ((J'P)'P~'Po

=

4,20 kg/cm: } (h)

(Nv)'P~'Po - 8,24 kg/cm --'i>- ((Jv)'P~'Po - 1,03 kg/cm

De verticale component van (N'P)'P~'Po wordt opgenomen door de onder-steuning van de randba1k en wordt verder buiten beschouwing gelaten. De horizon tale component veroorzaakt in de randbalk een trekkracht:

To

= -

(N'P)'P~'Po cos CPo ro

=

48600 kg . . . (i)

Wordt de randbalk los gedacht van de schaal, dan zal de balk door de trek-kracht To een verplaatsing naar buiten

onder-gaan. De gaping, die op deze wijze tussen schaal en randbalk ontstaat, moet weer worden op-geheven, waartoe op randbalk en schaal een gelijk doch tegengesteld gerichte horizon tale kracht Hen een gelijk doch tegengesteld moment M moeten worden aangebracht. Met behulp van vormveranderingsvoorwaarden, die betrek-king hebben op de horizontale verplaatsing en de hoekverdraaiing, kunnen M en H worden opgelost. Zijn deze bekend, dan is ook de uit-eindelijke spanningsverdeling bekend, evenals de uiteindelijke verplaatsing naar buiten van de randbalk. Uiteraard is deze laatste nu kleiner

~

~'" . / / .?J) / . . . r - - Vo H T COSTo = 2100 iliOD ~ 0,725

geworden: schaal en randbalk komen naar ~

elkaar toe. Daarmee is echter ook de rek en dus ~V' Fig. 20 de spanning in de randbalk kleiner geworden. Toch moet de kracht

To

worden opgenomen. Dat k~m, omdat in de schaal een meewerkende zone ontstaat, waarin de krachten Ny c.q. Nv in omtreksrichting meehelpen de totaal benodigde kracht *) GIRKMANN, K., Flaehentragwerke. 4e druk. Wien, Springer 1956. TIMOSHENKO, S., Theory of plates and shells. New York, Me. Graw Hill 1940. PUCHER, A, Lehrbueh des Stahlbeton-baues. 2e druk, p. 232. Wien, Springer verlag, waara an ook de afmetingen van het eerst-volgende voorbeeld zijn ontleend.

To te leveren. Men vergelijke hiermee de overeenkomstige belastingsgevallen g, j en 1 bij de cilinder.

Wordt ondersteld, dat de randbalk volkomen wringingsslap is, dan kunnen de formules van basisgeval b worden toegepast. De meewerkende breedte be-draagt dan

ib.

Met de gegeven afmetingen wordt, bij verwaarlozing van de dwarscontractiecoefficient 'V, gevonden:

V~

b = {13 = 116 em . . . (j) Het oppervlak Ftot van de doorsnede, die de trekkracht To moet opnemen, is dus als voIgt te berekcnen:

betondoorsnede van de rand balk : 25 X 30 em 2 ₌ 750 em 2

ideele doorsnede van de wapening Fst

=

27 cm2 *),

met n = 10: 10 X 27 cm2

=

_{270 cm}2

meewerkende zone in de schaal:

i

bt = 58 X 8 em 2 = 464 em 2

Ftot

=

1484 cm2

Met behulp hiervan voIgt voor de trekspanning in het randlid en in de schaal ter plaatse van de aansluiting:

To 48600 kg

ay = a = - = = +32,7 kg/cm2 • • • • • • • • (k)

v Ftot 1484 cm2

Deze spanning in de rand balk, of ook de verplaatsing naar buiten die crmee correspondeert, veroorzaakt buigende momenten in de schaal. De maximale waarde hiervan kan eenvoudig berekend worden met behulp van formule (47). Bedacht dient echter nog te worden, dat in de membraanspanningstoestand de schaal ter plaatse van de aansluiting aan de rand balk iets naar binnen gaat (zie fig. 20), overeenkomend met de spanning in omtreksrichting:

av = - 1,03 kg/cm2 (druk).

De totale verplaatsing naar buiten ten opzichte van de membraanspannings-toestand komt dus overeen met een spanning in omtreksrichting:

ay = av = (32,7+1,03) kg/cm2 = + 33,7 kg/cm2

Het maximale moment op een afstand

inb

van de rand, bedraagt dus volgens (47):

0,093 ay t2

=

+

201 kgcm/cm (1 )

Het verloop van de verschillende grootheden als gevolg van de randstoring komt overeen met dat in fig. 3.

Opgemerkt zij nog, dat de reeds vermelde wapening van de rand balk in staat moet zijn de totale trekkracht To op te nemen. Met b.v. een toelaatbare spanning ast = 1800 kg/cm2 voIgt voor de benodigde hoeveelheid wapening:

48600

Fst = 1800 cm2

=

_{27 cm}2 _{• • • • • • • • • • • • • • • • (m)}

*) Zie uitdrukking (rn)