Analiza jakościowa równania Duffinga

(1)

Analiza jakościowa równania

Duffinga

Autorzy:

Vsevolod Vladimirov

(2)

(1)

(2)

(3)

(4)

Analiza jakościowa równania Duffinga

Autor: Vsevolod Vladimirov

W r. 1918 G. Duffing wyprowadził równanie, opisujące drgania rdzenia sprężystego, podwieszonego w silnym polu magnetycznym (zob. Rys. 1):

Równanie to jest równoważne układowi hamiltonowskiemu

z funkcją Hamiltona

Rysunek 1: Rdzeń sprężysty, drgający w polu magnetycznym

Przeanalizujemy energię potencjalną

Ponieważ , więc ekstrema funkcji mogą się znajdywać w punktach . Badanie

drugiej pochodnej pozwala orzec że w punkcie jest maksimum lokalne, natomiast w punktach znajdują się minima

lokalne. Konsekwentnie, w punkcie płaszczyzny fazowej znajduje się siodło, natomiast w punktach znajdują

się środki. Przebieg zmienności funkcji jest przedstawiony na Rys. 2.

V(X) X - 1,5 - 1,0 - 0,5 0,5 1,0 1,5 - 0,2 - 0,1 0,1 0,2 0,3

Rysunek 2: Wykres energii potencjalnej układu (2)

Funkcja ma dwa minima lokalne (zwane jamami potencjalnymi). Dąży ona asymptotycznie do gdy . Na Rys.

2 przedstawione są również poziomice funkcji . Na Rys. 3 przedstawione są trajektorie fazowe odpowiadające tym poziomicom. Trajektorie okresowe otaczające środki odpowiadają poziomicom leżącym wewnątrz jam potencjalnych; trajektorie homokliniczne, bi-asymptotyczne do siodła, odpowiadają poziomicom przechodzącym przez maksimum lokalne (pogrubione linie przerywane na Rys. 2; poziomicy najwyżej położonej odpowiada trajektoria okresowa otaczająca oba środki.

= x − .

x¨

x

3

{ = y,

x˙

_{= x −}

y˙

x

3

H(x, y) =

y₂2

+ ( − 2) .

x2 4

x

2

V (x) = ( − 2) .

x2 4

x

2

(x) = x(x − 1) (x + 1)

V

′

_{V (x)}

_x

₀

_{= 0,}

_x

_±

_{= ±1}

x

0

x

±

= ±1

(0, 0)

(x, y)

(±1, 0)

V (x)

+∞,

|x| → ±∞

= H(x, y)

H

0

(3)

- 1,5 - 1,0 - 0,5 0,5 1,0 1,5 X

- 0,5 0,5

Y

Rysunek 3: Portret fazowy układu (2)

Interpretacja fizyczna omawianych rozwiązań jest następująca: ruchy okresowe dookoła punktów środkowych odpowiadają sytuacji, gdy rdzeń dokonuje małych drgań wokół jednego ze stabilnych punktów równowagi, które w obecności pola magnetycznego rdzeń posiada, gdy jest on odchylony od pionu w kierunku jednego z biegunów magnesu. Duże trajektorie okresowe otaczające oba środki odpowiadają dostatecznie dużym odchyleniom początkowym rdzenia. Trajektorie homokliniczne odpowiadają ruchom granicznym, oddzielającym małe lokalne drgania od dużych.

Omówione rozwiązania wyczerpują wszystkie możliwe ruchy rdzenia wyprowadzonego z położenia równowagi w polu magnetycznym.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:31:26

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=6d89f8c945e5add366dfb7de99ad05ca