Mała cukiernia
Ile jest 10-kombinacji ze zbioru A = {3 · a, 4 · b, 5 · c, 6 · d}?
Inaczej : ile jest rozwiązań równania x1 + x2 + x3 + x4 = 10 w liczbach całkowitych, spełniających warunki 0 � x1 � 3, 0 � x2 � 4, 0 � x3 � 5, 0 � x4 � 6?
10-kombinacji ze zbioru B = {∞ · a, ∞ · b, ∞ · c, ∞ · d} jest N =
13 3
.
Policzymy ‘złe’.
Niech Z1 będzie zbiorem rozwiązań, w których x1 � 4; analogicz- nie definiujemy Z2, Z3, Z4.
Wtedy N − |Z1 ∪ Z2 ∪ Z3 ∪ Z4| odpowiada na nasze pytanie.
|Z1∪Z2∪Z3∪Z4| policzymy, stosująć zasadę włączeń i wyłączeń.
|Z1| =
9 6
, |Z2| =
8 5
. . . .
1
Nieporządki
Definicja. Nieporządkiem na danym zbiorze nazywamy permutacje jego elementów bez punktów stałych.
Liczba nieporządków
Twierdzenie. Liczba Dn nieporządków na zbiorze n- elementowym wynosi
Dn = n!
1 − 1
1! + 1
2! + . . . + (−1)n 1 n!
.
3
Ciąg Fibonacciego, czyli o rozmnażaniu królików
x0 = 1, x1 = 1, xn = xn−1 + xn−2
4
Wzór jawny
x0 = 1, x1 = 1, xn = xn−1 + xn−2
Pierwszy pomysł (genialny): Niech xn = qn, q �= 0. Wtedy qn = qn−1 + qn−1
q2 = q + 1 q1 = 1 −√
5
2 q2 = 1 + √ 5 2
Drugi pomysł (także genialny): Każde rozwiązanie reku- rencji jest postaci
xn = c1q1n + c2qn2
Wystarczy dobrać stałe c1, c2: c1 + c2 = 1
c1q1 + c2q2 = 1
