Voora.ro.cht I (24 Januari XS50) • • door prof,dr.J.M, Burgors .
3, toepassing van c o r r e l a t i e f u n c t i e s i n do atuOie van
hydro- of aerodynam.iache verschi;inöelön 5
4.. Tranaportporbleem •«,,. . . o c . . , 6 'ö
5. Theorie van Taylor ^ ^,, 7
6, Af s t a n d v e r g r o t i n g van .twoe deeltaes, ,, 3io Y.é OonoontrEti© «o «««....tdo. feo«i!.«.4««.4«iff»94«(iit4
12
8, 'ïransportooëfficienten ;„ , . 4 ^ 'l4 Voordraoht IX (7 J''o.brnGri 1950)
door p r o f .dr..J. LU Burgora«
, 'Aanvulling b i j par» 8;; „ ,..,.'. «<,..»,•,,,..„ ^. 16
9* Eigenschappen van de oorrelatieoóeffioient 13
XO» Vearband van de o o r r t : l a t i o o o e f f i . o i e n t net h o t
. speotïnAm van öe f u n c t i e v ( t ) , ^ 21 13.;, Verbaiid 'tuosen 'spootrurn en c o r r e l a t i e f a n c t i . e . 25
12* 'Meotinstruiiicnt met een eigen f r e q u e n t i e 29 ï°2£!Ë^ZS£l2i_JJI ^21 F e b r u a r i 1930)
door W,A. ?/elling, .
1% l a o t r o p e turbul^entio 53 14-^ J)ubbelö c o r r e l a t i e s (géwone, c o r r e l a t i e s ) 55
15. O o r r e l a t i e t e n s o r en d i s s i p a t i e , •,., , 3 9
16, O o r r o l a t i e tussen snelheid en ciimk 44 17^ We pas sing van de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n 44
IQ, T r i p i e c o r r e l a t i e a 46 19ï Toortplantingsïverg6li:jking voor de c o r r e l a t i e ..^ 50
l£Hïl;IS2^JEI (7 Maart. 1950) door W._A, W e l l i n g ,
20, Het u i t s t e i - v e n van t u r b u l e n t i e met d,e, t . i j d 51
21, Hot u i t s t e i - v o n van de' w e r v e l s t e r k t e 53 22» Experimentele methoden voor l.iot onderzoek der
. t u r b u l e n t i e c , 54 22a,' V e r g e l i j k i n g e n voor h o t gedrag van een g l o e i d m a d 56 22b/ Bepaling van u> « y u^^' \ , . . . 5 B
•22d. Meting van dubbele o o r r e l a t i e s » ^ 6 1 22e.. Meting van drievoudige c o r r e l a t i e s . ^. *,« w . , « , 63 22f« D i f f e ^ r e i r b i a t i e van het t u r b u l e n t i e - s i g n a a l ''64
lHiI§ZS:?iïLI ïföaii't .1950) ' , ' • ' ' . . , . • . . , . door i r . J . O , Hinze.
-23» V e r s c h i l . i n .overdrachtscoëfficienten. Experimentele
r e s u l t a t e n es«»9sei.p«.s,«»c,o»8,e<,,t,s^ceee»«ii»(.«.8«e 68 240 V r i j e .en n i e t - v r i je t u r b u l e n t i e . Verklaring, van .
,; v e r s c h i l _ i n . overdrachtscoëf f i c i e n t e n «' '76 24a.r V e r s o h l l / t u s s e n v r i j e en n i e t - v . r i j e ' t u r b u l e n t i e 75 24bs Analogie met de k i n e t i s c h e g a s t h e o r i e » . 79 24o« V e r s c h i l i n de mate van oyerdraoht voor. impuls j
materie, en warnrfce 8 1 " l2S.£ÈIièÉ^Jl A p r i l 1950) door p r o f . i r . J ^ T h , ïhijsse, . ' 25. $url)ulentie'-problemen .V de c i v i e l ^•ingenieur, . . . . 4 . ' 8? 26. S.trppien van o l i e d r u p p e l t j e s . . . « . . . 67 27. Hp. anorganische v e r v u i l i n g van de R i j n ,.«..,...•,..,'. 92 28. Verband met R^.^^ o . . 93 29. Problemen b i j de bodem , 93 l££ï;,S±£.2ËLlIIJ; .^^9 Apï-i^ 1950) . , , door dr«:J,J. 33ronkers,.
30.0 Zout" en zootwaterbev>?eging. Uereken.i.ngsmethoden 97 31, B i f f u s i e van zout ... . . . 1 0 1
32., B e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g voor.brak water 106 35,« ^©scheiden .zout- en aoetwaterbewoging e...II4
door i r . J . O , Schönfeld. ,. ' . ' . ' 34.0 I)e t u r b u l e n t i e i n de zout- en Kostwater-beweging \., 118 55e Be kineiBa.ti.soh-ge.o.metrische sti-tiotuur van. de t u r - .
, b u l e n t i e e«.. ... » 1 2 0
36.. De s t a t i s t i s c h e s t r u c t u u r van de t u r b u l e n t i e 127 37« De ^ remmende i n v l o e d van de dichthei.dsgradient op de
- , pntvfitóreling van.,.de - t u r b u l e n t i e . . J . . . . , . . . . 133
Ibor£3^rt_i:CII (23 Mei 1950) , • • ' , , . door prof.dr.JoM* Burgers«
59, ïheorieën over de s p e c t r a l e v e r d e l i n g van de
energie d e r t u r b u l e n t i e o c * e . « * 140 40? toepassing der bewegingsvergelijkingen, j , ^ o 142 41, Betekenis van de s p e c t r a l e o n t l e d i n g ...o«... o... , 143 42«, yiuctueronde f u n c t i e s van de .coördinaten o««.».^...» 146 45.. O n t w i k k e l i n g van Q.. ^ en R ... o . . . .... ... 147 44, Ontwikkeling, van T.^ ^ en S ... ,150.
45. ïramiforrnatie van v e r g e l i j k i n g (195) 150 46e U i t b r e i d i n g op n i e t - i s o t r o p o t u r b u l e n t i e e..^..,.,, 151
door p r o f edr«J*Ms Burger.a,.,,
47.* Hoisenborg'a ondoratol3,ing .«.e, ^... 155 4B.ê Benaderingsforrnulo voor R o , . 157 49.. .Besohouvfingen van IColmogoroff ... a . 158 5Q« iHf/eede o n d e r s t e l l i n g van Kolnïogoroff ....«o.». >... ^ 159 51^ Conclusie van R-?,toheXor ... 160
i,»{5;ioi s"! • CoJJ-pciuiutQ ^over T u r b u l e n t i e ^
f/ : ' • • . . • • • . ,
De h i e r b i j volgende • bundel o p s t e l l e n g e e f t de t e k s t m&x van'een a a n t a l voordrachten, i n h e t voorjaeir van 1950 gehouden voor' b e l a n g s t e l l e n d e n i n hydro- en aërodynamische vraagstukken5 a f k o m s t i g u i t de TeCl'misohe Hogeschool, h e t 'Waterloopkundig l a b o r a t o r i u m te" D e l f t , h e t HationHal l u c h t v a a r t - l a b o r a t o r iurn r e Amsterdam, de R i j k s w a t e r s t a a t t e den Haagj'het KonJfederlands 'Meteorologisch I n s t i t u u t t e de B i l t , h e t / C e n t r a a l l a b o r a t o r i u r a .en h.et.Centraal P r o e f s t a t i o n der Staatsmijnen In'Idmburg en de . l a b o r a t o r i a van de Koninlcl'ijke/Shell t e D e l f t en t o Amsterdam.
Ds ruime deelname bewees hoefeer het probleem d e r t u r b u l e n t i e • 'overal de aandacht ' t r e k t . • ' - : •
De voordraoht en z i jn'gehoudén door de volgende'-:spreke.rs; Prof»dr,J.M. Burgers
D.r, J.,J. Dronlters, R i j k s w a t e r s t a a t t e den Haagj . • ïr.J.O. Hinze,' Kon./Shell'Daboratoritim te' Del-ft,
IraJ<C^ Schónfeldj R i j k s w a t e r s t a a t t e den Haag, " . B:--pf . i r . J,rhe ïhijsse, V/at e r l o opkundig Laboratorium t e D e l f t , ?/.A, W e l l i n g , .assistent b i j h e t Laboratorium'voor Aejso- en
Hydrodynamica 0 • '
De v e r m e n i g v u l d i g i n g van de t e k v S t der v o o r d r a c h t e n werd verzorgd door i r ^ M . J . Bossen met medewerking van de d i e n s t van het V/aterloopkundig Laboratorium. De .wijze vmarop d i t geschiedde was eveneens een b e w i j s van de geest van samenwerking, waardoor het oolloq.uium werd ged.i-agen. • . •
Het colloqu.iuni ,was t o t ' stand gekomen a l s gevolg van een
bespreking, die, I r . J . O . Hinae met P r o f . Burgers had gehad i n h e t .najaar van 1949. De beperkte t i j d welke beschikbaar was en de
omstandigheid d a t a l l e deelnemers door v e e l ander werk waren b e l a s t j maakte' het n i e t m o g e l i j k t o t een systematische behande-l i n g van a behande-l behande-l e aspecten der t u r b u behande-l e n t i e t e komen. Van de aanvang
I I
af was daarom de opset g;lcii t e beperken t o t een reeks van Toordraohten i n l o a verband, d i e het m o g e l i j k .ouden msken Ben a a n t a l onderwerpen de revue t e l a t e n passeren. Daar iedere spreker i n de iiem:-^toegemoton t i j d eohter v r i j v e e l w i s t aan t e roeren, iè deze bundel t o c h een v r i j omvang» r i j k geheel gewerden. l a a s t de wiskundig© aspecten z i j n ook enige der experimentele kanten van het probleem t e r sprake gekomen, f e r w i j . l i n de voordrachten van I r . Blnse P r o f . I ' h i j s s e , Dr.Droiili-ers en Ir;Schcnrfeld b e l a n g r i j k e technische vraagstukken 8 i j n ' aangesneden. Gehoopt laa^ daarom worden dat de^.e verzameling aan e l k der deelnemers (en w e l l i c h t ook aan anderen die n i e t i n de gelegenheid waron te'komen) e«x b r u i k b a a r o v e r z i c h t g e e f t van v e r . s o h i l -lende aapecte» d e r moderne o n t w i k k e l i n g op d i t gebied,
• Het eohter d u i d e l i j k dat aog v e o l t e doen o^/er~ msm^ met mme op het , t e r r e i n der technische aspeoten,. '
W e l l i c h t dat h e t t e r hand nemen van deze bundei aar.leiding g e e f t t o t hot v o o r t z e t t e n van d i t - o o l l o q u i u a • - o f a l t h a n s van een dat nauw v e » n t e problemen dehanéelt . daar h e t geregeld bijeenjcomen van wetensehappeli llc6 'y^r^ . ' • kers U i t een a a n t a l M b o r a t o r i a dia, z i c h i n ïfederland on .
het gebied der s t w i n g s l e e r bewegen, aan a l l e n s r o t e ,
Te c h i l i sohe ^ Ho^e sch£ol_j__
paboratorium v o o r Aëro- en HydrodynainioaMeuwe laan. 76,-r.Prof.dr.J.M. 33urgersj van Houtenstraat 1, D e l f t .
Prof .dr.D.J J'\ Broer, P r o f . Schoe malcer s t r a a f 57, D e l f t . , I r . . D . v v d , P u t t e j .Jaagpad 48, D e l f t ,
D.rs» . J , I j . V e r s t e r , Oranje Plantage 36, D e l f t . G., Alberda^, Wijnhaven 12, D e l f t . .
J.O van Dam.j P r i m u l a s t r a a t 36 j -Den Haag^ ,
J..A, Steketee, Oude D e l f t 89^ D e l f t . , - , • H,M. van Danalg^ Tweeroolentjesvaart 34i. '..D^lfte
-.W, Schaf f e r s ^. Holensstraat 24a, .Hotterdam.. W.A. Welüngf, Hugo de a r o o t s t r a a t 6, D e l f t . , H.IeydenSf Parkweg 76j Vlaardingen.
SoJ, Vellenga, van M e r l e n s t r a a t 104,? Ben Haag, labo.ratorium vooi^JJeodesie, Kanaalweg 4? D e l f t . '
W, Baarda^ van l e i j d e n s t r a a t 14^ Voorburg» " ' '
£S£2^3£SliiiEJ15l£?LAË12£^ Hieuwè laan 76, D e l f t . A.J«¥^ Dapj Mijnbouwstraat 1, D e l f t . :. . • laboraterlura .voor Technisoho Ph^ysicaj Mijnbouwple.in, 11^ D e l f t .
l ^ o f e i r . H, XramorSj van Leeuwenho.eksingel '1.5,. D e l f t s P.rof.dr.J.A. P r i n s , KanaaIweg 2d, D o l f t .
I^^ïê^i'£.1:i'^!E»I££ïl..ZMM K a n a a l s t r a a t .10, D e l f t . I r . J ' . Boel, So end a s t r a a t 3, .Delft. . • , ',
O^H. aerlaoh, V o o r s t r a a t -79$ D e l f t . .'... .•. 'Waterloopkundig l a b o r a t o r i u m . Raam 61. D e l f t , =. ..,
Pr.of.ir.J.ïh. T h i j s s e ^ Ooievaarlaan 22, Den Ha,ag. Ir,.l,.J.. Bossen^ Hoornbruglaan 90^ R i j s w i j k . Z«H. I r ^ H s J . Schoemaker, j n i i a n a l a a n 149? D e l f t . . . . Ir^ïi., van Beek, Laan van lünsweert 18, U t r e c h t . IroB^W, B i j k e r , Hof van .Delftlaan 89Ag D e l f t . Ir.ïïsJ,. van der Burg, Oranje Plantage. 47> D e l f t , Ir.H.O. P r i j l i n k , Kanaalweg 17, D e l f t .
Ir.tP. .Gerritsen, Steegoversloot 52, Dordrecht» Ir^J-.C^ de Goede, Essenburgaingel 147^, Rotte.rdam^ Ir«,V/.P. .Hooning, van der Heimstraat 33^ Delft» J.JP,. GregoriuG, Hof van D e l f t laan 26 ^ DDlft,^ •H.J/Jh« Span, Hof van D e l f t l a a n 1^ D e l f t s
« V I I »
K o n l n l j l J J k ^ J ^ Be Bilt« R.R." V i e r h o u t , 'Par'klaan 83, B i l t h o v e n , . . • ,• Minea^aal yeohiioXo^isoh . I n s t i t u u t , Oo st singe 1 209» 1ft«
Xr^O, van der Gaag, Vrijenbansekado 2, D e l f t s . • . , ,
SXoterweg 145.?. Aitisterdaji) • Ir.G« Koning^ Nieuwe Hilversuraseweg 1 1 , 33ussurfl«
Dr.R. .'.Oiiiïï/ianj 'Bronkhorststraat 25"^"^^\ Amaterdara Z^
-iTjhJ^., Hendal, •Amsteldijk Hoord 103 33^ Ouderkerk .a/d iljnste: Dra. H J / i j k e r , •ReVinkeleskade 23, Aro;3terdara 2. . .
lon^^^Shell^^^ Badhuisweg 3, Amate.rdara N, Frofé.dr.Ii.J, OoaterXioff, ïhorbeokestraat 16,, I/eid^ne
l)r»,'H*A.6 Lauvïerier, l i n d e s t r a a t 2, Den Haag, Kir
Brs.JèJ^van'Deemterp M a r i o t t e p l e i n 53 \ Arnsteröarii Oost» Kon^ S h e l l ' l a b o r a t or iujn, P r o e f s t a t i o n D e l f t . Droekrnolenwag 20, „ „ . _ . , „ . . _ „ „ „ _ „ . , ™ _ _ ^ . . .Delft,
Ir..J.O« Hinae^ ïhiereskade 116^ R i j s w i j k Z.H.
Drt,ir.B.CT«van der Hegge g i j n e n ^ van lieeu'werilioöksingel 16, M-JkG^gter^aat, van. Hogenhoucklaan 60, Den Haag».
.Iï%JeB. S c h i j f 5 van d e r A a s t r a a t 114, Den Haag, DrsJ^J". Droïücers,. : S t a l p o r t s t r a a t 152, De.n Haag«
Ir,.We Notenboom, Zuiderpark 3, Groningen. . IroJeO» Sohonfóldj' van der Aaot'raat 39? Dsn Haag*.
£EHMê!ii...,iE^SEÏ^££'ËJ^^ .Lutterade^ Ir..d.Cf» Theron ESilder, Dr«Nolenslaan 40, G-oleen.,
Drs.^A.L. de Gelder, WoXkenkoekoeksheim, S t e i n ( l i m b n r g ) . Ee.ösD. Cohen, ICeizorsgracht 746, Amsterdam 0.
Dr,2*Ié Slawsky^ Rooseveltlaan 244, Amsterdam. , . 4216-3^^ S t r e e t , Washington D.C.
.. .•;:Ben soherpe ' d e f i n i t i e van ,itnrbuléhtie" i s -iöoeilijk so t o formuleren,- dat z i j a l l e g e v a l l e n d u i d e l i j k omgrenef;,ïooh h e e f t
iedereen'een'beeld van^hetgeen^met de term wordt bedoeld. • Men noeat een s t r o m i n g - t u r b u l e n t , wannéér z i j éen zodanig ónregel-matig karakter-'toont, dat h e t u i t g e s l o t e n s c h i j n t t e gsijn -hot v e l d i n a l l e d e t a i l s a l s f u n c t i e ' v a n de t i j d t e b e a o l i r i j v e n en men «ijn t o e v l u c h t moet nemen t o t s t a t i s t i s c h e -nisthodon. 10e toöpa.s.sing'.van•:.de^.e,.•methoden v e r l a n g t echter d a t temidden van de onregelmatigheden'toch een zekere •permanentiö'ican worden op-gemarlrb, zodat h e t m o g e l i j k wordt over gemiddelden t e sproken, die een o n v e r a n d e r l i j k karalrber Vertonen, .Wanneer men'het bo-'
g r i p „onregeljmtige velden"^ volkomen algemeen neemt, ^,al ©en d e r g e l i j k e permanentie i n ^ vele g e v a l l e n afi'^ezig a i j n . Men kan dan de s t a t i s t ' i s o h e methodes o f i n ' t geheel n i e t . toepasson, of s l e o h t s b i j benadering. Er moet dus' steed.^ worden nagegaan,- wat aon i n d i t opaloht kan bereiken,.- • •
Het. ifpermanente k a r a k t e r " der v e r s o K i j n s e l e n , d a t a l s gronör BlAg voor'de toepassing' van ' s t a t i s t i s o h e methoden moet dienen, kan op v e r s c h i l l e n d e manieren t o t uiting'komen?•
(a) i n ' h e t -verloop iü- de t i j d r een zeker p a t r o o n kan t e l t o . s v-iBQx^:- opnieuw v e r s c h i j n e n , z o a l s men dat b i j v , vind'iJ b i j <io
turbulent© etromiïig van een v l o e i s t o f of. een gas door oen buis^ wanneer-de • g©middel,de 'önelheid onvera.nde.i'd-wordt gehoudeni
(b) ±a de n l l m t e t: doordat op e en • bepaald t i j d s t i p h e t v e l d over onbegrensd g r o t e a f standen pverial dezelfde gemiddelde strwotuwr vt3rtoönt; . . '
(c) doorda'b men een bepaalde • p r o e f zeer v e l e malen h e r h a a l t ; 1) Een u i t v o e r i g o v e r z i c h t van de probleriien d e r turbulent^!. s t r o -ming-is 'gegeven d o o r 11, G%_j^arï^ "ïurbulonce i A l l y and Enemy"';^ Report .BPM 564 S, Pree.Cs t a t i o n B o l f t (194Ö), H i e r i n i s ook een u i t g e b r e i d e l i t e r a t u u r l i j s t opgenomen*
- 2 • • • • • met t e l k e n s 30 goed m o g e l i j k d e z e l f d e b e g i n t o e s t a n d .
Welk'kenmerk-men k i e s t om h e t ,.al of . n l o t permanent© k a r a k t e r t e be o o r d e l e n ^ moet i n i e d e r geval op zl&hzQ'jS IA/orden u i t g e m a a k t .
Wanneer men t e deen h e e f t met p e r m a n e n t i e i n de loop-' van de t i j d , t r e e d t de vraag ©p naar de frcigjiant|,.g^ v/aa.r-• jnedo'een -Zeker p a t r o o n mjjj o f meer h e r h a a l d wordt^. G-eaiea ' het"''onregelmatige k a r a k t e r 'van het veld,' a a l er nooj.t ,
van'0'on 'ezaöte h e r h a l i n g sprak© z i j n i de t i j d s c h a a l voor , " • hörhalin'g'zal da-arom grote perioden kiamen bovattv^n v o o r .
'•'bepaalde, langsiaam f l u c t u e r e n d e onrogelmatighedei-i, -on, ;• , perioden van kox-^te duur voor andere, a n e l wisselende ka-,r r a k t e r t r e k l c e n , ' • • ., •• '. ---^ ^-r, • •• •• ' - ••'Ëvenzo -zal'men s p r e k e n van een söha^,_van_d5^nil^^^^
j ^ y i j g ^ ^ ' s t r u c t u u r , dooh ook d a a r b i j naast elk"ahder kimnon., •' vinden een grove 'sohaal voor kenmerken d i e over g r o t e
afstanden langzaam .vea-anderen-, en een f i j n e r e sohaal . Toor d e t a i l s . ' • •. • --. •• • . .
•'••' '' -'De versoheidonheid i n naast ellcander aanwezigs , • • t i j d s c h a l e n "en l e n g t e schalen s p e e l t b i j de s t u d i e .Tan
t u r b u l e n t e vélden'een g r o t e r o l . Teneinde h i e r o p meer -v a t t e k r i j g e n , d i e n t h e t c o r r e l a t i -v e gr dat w i j I n •" I-2 en-volgende nader z u l l e n b e z i e n *
.-••'" Met b e t r e k k i n g t o t ' de • l e n g t e s o h a l e n . z i j nog öpger. Bierkt, d a t i n de g e v a l l e n v a n - t m - b u l e n t i e , w a a r t o e w i j 'ons g u l l e n beperken en d i e z i o h o n d e r s c h e i d e n doordat •
d© bjdrtdynamisehe k a r a k t e r t r e k k e n b e h e e r s t worden door h o t g e t a l van lesnoMs.,' ook de. k l e i n s t e g e b i e d e n die- zi«h • nog homogeen bewegen, a f m e t i n g e n b e z i t t e n welke g r o o t
s i j t t t e g e n o v e r de m o l e c u l a i r e g r o o t h e d e n . D i t . v e l g t u i t • •' 'het f e i t d a t geen andere f y s i s c h e eigenschappen van h e t
stromende mediuiu e e n . r o l s p e l e n , dan de d i c h t h e i d en de. ., . ViSÓOSltolt, ' '• ••' •' •• ••• • : , •' • • . 8. Correlatie„ ' ' '..''•• • - • •..••••.'• .,'
Z i j j')(t).. een.'grootheid welke pp, omregelmatige w i j z e • van de t i j d a f h a n g t , doch desondanks .to s t a t i s t i s c h
!-nrcmeterstand. Ten einde t e bcjoordelen i n hoeverre d i t h o t geval r.! bepale men het gemiddelde var; P X I L I "^"^^r een t i j d f j i n t e r v a l
t,^ volgens de formale i
Het i s nu i n de eerste p l a a t s n o d i g dat d i t gemiddeMo t o t oen bepaalde l i m i e t nadert, v^'auneer men voor t g - t ^ stceda gro-tere waarden neemt, o n a f h a n k e l i j k van de w i j z o waarop' d i t
go-sohiodt. Men moet dus b v / steeds dezelfde lüniot vjiidoa, warmeer het beginptmt t ^ w i l l e k e u r i g wordt v e r p l a a t s t .
Wanneer d i t t i j d s g e m i d d e l d o bestaat^ i s h e t v e e l a l gemalttoê" l i j k de waarden van p j t ) . hiermede t e verminderen. S t e l düs^
q ( t ) = p ( t ) - p ... . . . ( 2 ) . Tmn i s h e t t i j d s g e m i d d e l d e van q,(t) g e l i j k aan 0:
q, ~ O ... I 5 ...«(2a) s Ken }mn vervolgens, het t i j d s g e m i d d e l d e van h e t ,kwadraat van
i i l i bepalen^ . •. ' : .' • : • '•
r - t - - t - \ - d t ( 3 ) . . A-^ , .
Ook d i t gemiddelde moet t o t een bopaalde IdJJiiet naderen, onaf-h a n k e l i j k van de keuze van onaf-h e t beginpunt t ^ , enz.. - Men kmn nog vordere bijzonderheden van de krcnirae i n besohouwing nomen, bv,, de gomiddelde waarde van het .kwadraat van de a f g e l e i d e
' t .
Opdat een grootheid .in s t a t i s t i s - h o p z i c h t een permanent karak-t e r v e r karak-t o o n karak-t , i s h e karak-t nodig d a karak-t c l d e r g e l i j k e grookarak-theden oon-Btante gemiddelden l e v e r e n ( t e r x m s t e a l l e grootheden d i e men i n G© berekeningen wenst t e g e b r u i r - n ) .
^ 4
-op een constant I n t e r v a l r n i t elkander l i g g e n en bepaal hot tiodsgeraiddelde van h e t prodnot?
^^l-^-^^Yt^-j ^
,,q.(t) g,{ttT:) d t , . . „ , . . , ( 4) 0 2 1 ).{,^Ook doze gemiddelde waarde moet weer o n a f h a n k e l i j k z i j n van he'fe beginpunt t-, , I n het algeineen kan men verwaoh-ten, d a t wanneer d i t g e l d t voor q."^, het ook z a l gelden voor g j t p ' q ^ ' l t t i j . Do verkregen u i t d r u M c n i g i s dan a l l e e n een f i m e t i e van r , en i s dus n i e t een f u n o t i e van t , :; ;. . Men noemt de verkregen u i t d r u k k i n g het c o r r e ^ l a t i e r ,
j),roJuot. S t e l t , men.' ; .
dan i s R { t ) de c o r r e l a t j 5 g o p J f ; f j ^ ^ - Met „correlatie" zondei- meer kan zowel q_Jt)"ql'-irtTT a l s R(r). worden aan-geduid.
De o o e f f i o i e n t R h e e f t voor r --" O z i j n g r o o t s t e • \marde, n l , 1. B i j de onregelmatige fu,nctieg waarmede w i j ons bezighouden en welke geen enkele exacte p e r i o d e b e z i t t e n , z a l R - O worden wanneer r o n e i n d i g g r o o t wordt<, Meestal wordt de waarde O met grote benadering reeds bareikrfc voor een e i n d i g e waarde van r . Het a l g e -mene v e r l o o p van R a l g f u n c t i e van r i s derhalve i e t a , . d e r g e l i j k s s •, . .
5
Het' 'iö m o g e l i j k dat R een o f meermalen door Ogaat, a l -vorens asymptotisoh t e v e r d w i j n e n .
1)0 kromme voor R ( r ) kan a l s grondslag worden gebrenikt ^'•oor een onderzoek naar de v e r s c h i l l e n d e t i j d s c h a l e n welke in. h e t verloop van q.(t) kunnen worden gevonden. Hierop wordt l a t e r teruggekomen. , '
Opgemerkt z i j dat i n de o n a f h a n k e l i j k h e i d van h e t t i j d s -gemiddelde van h e t beginpunt t j -van h e t t i j d s i n t e r v a l waarover wordt gemiddeld (m.a.w;- de i n v a r i a n t i e van h e t t i j d s g e m i d d e l d e ten 'opzichte van een v e r s c h u i v i n g langs de t i j d s c h a a l ) v o l g t ?
Men Jcan dus R ( r ) ook voor negatieve waarden van -'C
invoa-ren en_ h e e f t dan; . • R ( - r ) ~ R ( r ) ... ( 6 ) ,
ii.J|P.§MSsjJig..jia^^
aeyodynamjaohe, yersohl^jnselen - . Men'kan v e r s c h i l l e n d e -typen van o o r r e l a t i o s bosohouvüen^
b e t r e k k i n g hebbende op g e v a l l e n a l s de volgende:
(1) Een g r o o t h e i d kan geobserveerd worden a l s f u n c t i e van da t i j d ' i n een bepaald punt van h e t v e l d j
('2) een 'grootheid kan op een bep^aald t i j d s t i p worden bestudeerd a l s f u n o t i e van een ooördjjriaat, d i e z i o h over onbegronede a f s t a n d u i t s t r e k t ] ••
(3) men kan h e t gemiddelde.berekenen van h e t product van twee v e r s c h i l l e n d e grootheden, bv. yan twee snelheidscomponon-t e n , gedisnelheidscomponon-tsnelheidscomponon-t-'ende een zeker snelheidscomponon-t i j d s i n snelheidscomponon-t e r v a l i n eönze3.jfde p m snelheidscomponon-t geobserveerd, of ook i n v e r s o h i l l o n d e punteni e v e n t u e e l
nog met een t i j d s v e r s c h i l . , . . :; ''• A l deze d e f i n i t i e s houden verband.met de b e s o h r i j v t n g van h e t
v e l d volgons de me-bhode van J l u l e r , w a a r b i j men punten van h o t v e l d b e t r e k t op een v a s t r u i m t e l i j k ooördjjiatenstelsel en de d a a r i n ox/credende v e r s c h i j n s e l e n (waarde van een snelheidHoora-ponent, van de druk of derg. ) a l s f u n o t i e s van t be,s-tudeert,
- - 'Mem ten evenwel óok de methode van lagrang^. v o l g e n en do beweging-vgn een enkel d e e l t j e o f een enkel, voluiao--element
nagaan. Dan kunnen o o r r e l a t x e s worden berekend bv, la- h o t v e r l o o p van de s n e l h e i d van d i t d e e l t j e a l s fnnctj.e van • de t i j d , ' w a a r b i j dus h e t d e e l t j e t e l k e n s ergens anders
aam^ezig i s . ' . ' . -, • ., .
- De; i n v o e r i n g van deze oorre^^atiegroothoden i n de hydrodynamica i s h o o f d z a k e l i j k t e danken aan • £iJ;j«J?ai:lor• ( D i f f u s i o n by contj.n.ous movements, 3?roo»
2k)ndon lathom. Society 20, p . l 9 6 , 1921,* en S t a t i s t i o a l ïheory-of Ikirbulenoe, I r o o . Roy.Soo^ London A I g l , p* 421 478,'1955J A l Ü , p.SO? - 317, 1936). • , ' Wij z u l l e n thans enige voorbeelden bespreken, en gaan d a a r b i j u i t van h e t I n de t h e o r i e der tui-"bulontio zo b e l a n g r i j k e iransj^ort^rol}^^^ dat de grondslag vormt voor vermenging' en voor de u i i i v ^ i s s e l l n g ' van warmte o f
van, hoeveelheid van beweging, ' , " I h ' e e n ' s t r o m e n d e vloéistof wordt een k l e i n opper
vlafctoelement.dS gedaoht (afmetingen k l o d n t e n opaiohts -van d i e -van de gebieden d i e z i o h nog a l s homogeen beWQ-SO,n)., 21 j vX^bX de sne i l i e i d so opponent van de v l o e i s t o f i n de r i c h t i n g van do normaal op hot eleMe^rö, wolfco do r i o h t i n g van do y^as moge hebbon.- Ondersteld wordt d a t het v e l d i n s t a t i s t i s c h o p z i e h t een permanent ( s t a t i o n - ' ïmix) k a r a k t e r v e r t o o n t , en t e r vereenvoudiging z i j aan-genomen d a t h e t t i j d s g e m i d d e l d e van v de waarde n u l heef leem aan d a t de v l o e i s t o f wanneer s i j dS passeert, een eigenscïhap meevoert' (bv.,gehalte aan een opgeloste s t o f , temperatuiïr, e t c . ) , waarvan de s t e r k t e met o' wordt aan-gednid, 'Voor een waarnemer verbonden aan dS i s c een' f u n o t i e van de ' t i j d j c X H i . ^^^^ h e t t r a n s p o r t van de bedoelde eigenschap per eenheid van oppervlak gege-ven door h e t product v ( t ) . o ( t ) . Ons i n t e r e s s e e r t het'• tijdsgemidde],de h i e r v a n ^
Hat tijdögcmidde.lde z a l s l e o h t s dan van n u l ver-s o h i l l e n . wanneer de waarde vari o voox" da volume--o3.eraen-ten welke dS met een p o s i t i e v e v p.asseren, anders i s dan voor de volume-elementen welke dS met een negatieve v
" T
-passeren. Het gehalte aan de g r o o t h e i d o van een-Tolnma-element i s • a f h a n k e l i j k van de omgeving waarnrlt d i t element i s v o o r t ¬ gekomen. Waïineer h e t gemiddelde gehalte van de v l o e i s t o f een I g r a d i e n t dO/dy v e r t o o n t (bv. i n d i e z i n dat o i n de p o s i t i e v e
y - r i c h t ing toeneemt), z a l men kiinnon verwachten d a t voluwe-elementen met p o s i t i e v e v (welke dus van de negatj,ovö K i j d e l a f k o m s t i g z i j n ) , gemiddeld een lagere O;-waarde meevoeren, dan C voluaie-elementen met negatieve v. ïeneinde aan d i t verband'
een u i t d r u k k i n g té geven, werd door P r a n d t l h e t b e g r i p
J}IêM!IMMEs1§I1BÏèL ingevoerd. Ondersteld werd d a t e l k ' d e e l -t j e h e -t gehal-te zou meevoeren van een bepaalde l a a g , v^aarnJ-t , , h e t was tilosgewerkt" voordat h o t h e t element dS pas,$eerdo,
, M l l 2 £ h e e f t er op gewezen, d a t om van deze beschouwtogsv^ljze naar een meer exacte berekening t e komen, een v e r d e r gaande analyse n o d i g i s . ; ,.; • - - .
' ^j^SliO£3^-iaïi_X§l2£^ • , , ' . , ,
Daartoe z i j i n de e e r s t e p l a a t s beschouwd de beweging van een e n k e l volume-elem^ent, d a t t e n t i j d e t ^= O v e r t r e k t van h o t n i v e a u YQ^ Ï^o s n e l h e i d van h e t element, opgevat a l s een f u n c t i e , • van t . IrT'de gesohiedenis van d i t element, z i j vjJX.^.Dan i s de
p o s i t i e op een t i j d s t i p " ^ 0 gegeven 'door , •.
l ' ^ „ :' 'rt. ,^ ... , • ^ : : : ; y ( t ) = yQ +\^^ v ( t ^ ) d t ^ ... ( 7 ) .
Ondersteld wordt dat ook waimaer men do s n e l h e i d v:-voor een. enkel d e e l t j e beschouwt, het- tildsg^etniddelde "hioryan .0 i s . I n , • do beweging i n y - r i o h t i n g i s derhalve geen voor.ko'ür voor h e t
ene t e k e n boven, het ander. Men ]<B.n vervlechten dat' op de diiur het d e e l t j e over steeds g r o t e r e afs'banden' z a l gaan zwerven, zodat w e l l i c h t £ gedurende lange t i j d p o s i t i e f z a l b l i j v e n , dan ged-urende zekere t i j d - n e g a t i e f , enz, , '
• ïoneinde een i n d r u k t e -torijgen van de amplitude der , [. f l u o t u a t i e a . , i s het.van belang y^, t e besohouwen. Men h e e f t i , \ y^« 2 y ( t ) . v ( t ) 2 y Q . v ( t ) t 2 v ( t } \ v ( t ^ ) d t ^ .. ( 8 ) , I - i , , JO l !. \ ^. . . • • V ' ' • ' i ^ ' » • ! . - • • ' i • ' • • " • •
» 8
-Voor de i n t e g r a a l kan'men, s o l i r i j v e n r '•• ••• •• • • ••' d t • "•
2\ , v.(t) v ( t , ) d t , , , • •
; : jo • ^- 1 , , r .
of Fmnneer' men t-j^ t - r s t e l t en r a l s nieuwe i n t e - ' g r a t i e v a r i a b e l e i n v o e r t : • • •,
2\ v ( t ) v ( t - T ) d r ...(Ba), •
^ • • Jo' • .• •
• ' Men wenst nu t e komen t o t een u i t s p r a a k over de gö-middelde waarde, van'dy "/dt en d i e van y \ Men ka.n e o h t e r , h i e r geen t i j d s g e m i d d e l d e gebruiken, daar h e t beg.inpun.t van de I n t e g r a a l voor de berekening van een t i j d s g e m i d -delde n i e t w i l l e k e m r i g v e r p l a a t s t zou kunnen wordeni
de beweging b e g i n t immers v a n u i t t — O, ..'.., , • Men kan evenwel, v e r s o h i l l e n d e vo^^urae-elementen be-schouwen, d i e h e t z i j a c h t e r elkander ( i n v o r s e h i l l e n d e • proeven) a l l e van h e t n i ' ^ a u y^ v e r t r e k k e n , of w e l d i t g e l i j k t i j d i g doen, wanneer h e t v e l d h i e r t o e do, nodige r u i m t e b i e d t (bv. doordat ze met v e r s c h i l l e n d e x- o f
z*00Ordinaten beginnen). Voor e l k element wordt de t i j d g e t o l d vanaf h e t o g e n b l i k van v e r t r e k u i t y^. Men b e p a a l t nu'een-gemiddelde over d i t ensemble van d o e l t j e s , voor een vaste waarde -van t .
Het l i g t voor de hand t e o n d e r s t e l l e n d a t ook op deze w i j z e ' v o o r het gemiddelde van v n u l z a l worden ge-vonden, b i j elke waarde van t . Voorts z u l l e n w i j onder-s t e l l e n , d a t wanneer men op deze w i j z e h e t gemiddeLlde van V b e p a a l t , h i e r v o o r een waarde wordt verlorogen welke o n a f h a n k e l i j k van 'b. i s . Deze o n d e r s t o l l i n g l i g t voor de hand, daar de beschouwde elementen hun beweging
ontlenen aan h e t i n de stromende v l o e i s t o f aanwezige v e l d , dat goaoht wordt een permanent s t a t i s t i s c h karak¬ t e r t e b e z i t t e n . {'De o n d e r s t e l l i n g zou n i e t behoeven t o gelden, wanneer e l k element op het ogenblik t ~ O waarop het van yg v e r t r e k t , een bijzo.ndcr s t o o t j e zou l o r i j g e n , Wij 'Wille.n d i t eohter u i t s l u i t e n ) .
Ken kan flan n i t (8) en (8a) a f l e i d e n t .. . / t • • , . . •.. • d F ( t T ' i r r F T r dT ( 9 ) . db Q • S c h r i j f nn w e e r t v T t ) ~ ( t r ; ? J v2,R('r) ... r. . ( 1 0 ) , Het l i g t nn weer voor de hand t e o n d e r s t e l l e n dat
^ p ^ j " " ^ j | r ~ j y . n i e t a f h a n k e l i j k i s van t , evenals d a t met v*^ en V het geval was^ I n d i t geval i s R u i t s l u i t e n d een f u n o t i e van 1 . • • •
1)6 ( g r o o t s t e ) t i j d s d u u r (r^„™) voor welke R(a")_^ nog een p o s i t i e v e waarde h e e f t , g e e f t aa.n hoe l a n g g e D j i d d e l d een deel-t j e i n een r i c h deel-t i n g doorgaadeel-t zonder dadeel-t de s n e l h e i d 'viin deel-teken omJceert. Als'maat voor deze t i j d s d u u r neemt men oo'k w e l de grootheid', . ' . . . • '
/oo '
-' • ^^z. ,. " • •welke het opperv3.ak der R(r)-krorome v o o r s t e l t ' . Dan kan men*.
beschouwen a l s maat voor de 'afstand d i e een volume-element gero.iddeld i n één r i o h t i n g a f l e g t . LDit i s dus een maat voor de gezoohte ,1'vrije weg", d . i , dus voor i e t s van de aard van
£E.§Jldtl,'s vermenglngsweg.
ï'Oriaule (9) wordt thans ' , .
/ t • • • • • • . 2 j | . " 2, v^ j ^ R('r) d r ... (12) w a a r u i t door d i f f e r e n t i a t i e : ' . • • ' ; 2 ' " ^/ ~ 2 v^ . R ( t ) .
Beschikt men o'ver voldoende nauwkeurige waarnemingen van y , dan kan men met behulp van deze formule R.(t2 vinden
( v e r g e l i j k : A . ^ . ^ I g a i n s k e ^ ^ Bddy D i f f u s i o n , Indus t r i a l and Engineering Chemistry 16, p. 220, 1944).
10
-a) I s t aeor I c l e i n , dan I s - R I t ) . voor r ^ t p r a o t i s o l i • = 1. Men vindt' dus: • . • .
• |_ " 2v t en y - Y" t t oontanto, • b) I s t zeer groot, dan wordt
d
d"b ^' y^ " 2v^ T' en y^ 2v^ T. ( t ~ constant 6. Voordat wi'j naar' het' t r a n s p o r t p r o b l e e m van I £ terugke¬
ren, w i l l e n w i j nog ( i n a a n s l u i t i n g b i j 21aylor) ;bweê„ deelt,j.e_s beschouwen, welke t e g e l i j k u i t 'bwee zèer d i o h t b i j e e n gelegen 'punten v e r t r e k l i e n . De beweging van'het 'ene z i j aangedu.id met a f stand'r en snelheid u, d i e van
het andere met a f s t a n d y. en s n e l h e i d v, w a a r b i j '£,' u, V a l l e op dezelfde r i o h t i n g betreklcing hebben,
Besohoiiw, dan de a f stand., a.. = x -• y tussen de dee.lt j o s o n d e r l i n g en bereken: • . , , ' ^ a ^ . ^ l ^ (x™y)2 . . 2 ( x . y ) (x^y).=. ' ' : '^'t p • V r . . . . 1 .... - 2\ ' i u(t') •^v(t) U n ( t ^ ) v ( t . ) [^dt . /O t , . . j i ' .. . .. • .. • . . . 2 j ^ u ( t ) u(t^.) d t ^ t 2^^^ . v ( t ) v.(t^) d t ^ .
-(' f 1
2 .•^u(t). ..v(t-,) t , v ( t ) u(t., ) l d t . , Joi ^ rj
r of met t ^ = t - t ; ' •• ' ' 2\ u ( t ) u ( t r ) d r 2\ v ( t ) v ( t r ) d r ' -.'n ,/0 ,/'0 - 2I, ' J u ( t ) v ( t - - ' a ' ) ^ - v ( t )u(t--''0'M't'. ' ' ' . . ' ' De e e r s t e e n t w e e d e intfigr*,qp1 Hr^h^hr-n e l k b e t r e k k i n g op de b e w e g i n g van slecht's - een'- d o o l t j e .•''Zij " V o r s o h i l l G n" 11
n i e t van fie i n t e g r a a l (9) welke i n h e t v o r i g e probleem op'feratx. Wanneer jion nu weer een groot a a n t a l paren van d e o l t j o a
bo-fjchouwt, waarbij- de leden van e l k paar t e n tijdé t - O v a i m i t tweö zeer n a b i j gelegen punten v e r t r e k k e n , en vervolgons h e t gemiddelde neemt over d i t ensemble van paren, dan .kan mon voor, net gemiddeJ.de van de som der eerste twee i n t e g r a l e n s c t e l j v o n i
4 v^ \ R ( r ) d r ,
)o
Een v o e l m o e i l i j k e r probleem vormt de derde i n t e g r a a l ^ . vfaarin producten voorkomen van de s n e l h e i d van h e t ene d e e l t j e met de snelheid van h e t andere. Daar de d e e l t j e s van u i t zeer n a b i j gelegen punten z i j n vertrolcken, z u l l e n a a n v a n k e l i j k .hun
snelheden b i j n a g e l i j k z i j n geweest. G e l e i d e l i j k aan zuXlen do d e e l t j e s echter i e t s u i t elkander geraakt kunnen z.i.jn, zodat
tussen de snelheden i n toenemende mate v e r s c h i l optrad. Men ken vermoeden dat de gemiddelde vaarden van de.produoton u ( t } rit-^n; en v ( t ) u ( t ~ T ) voor n i e t t e g r o t e r nog w e l p o s i t i e f z u l l e n
z i j n , zodat men z a l vinden:
teneinde t o b een verdere s c h a t t i n g t e komen, h e e f t Taydrrc
a l s o n d e r s t e l l i n g ingevoerd: . ' . . '
V V -v
Dq e e r s t e f a c t o r van h e t tweede l i d i s n i e t s anders dan de reeds ingevoerde -grootheid R('t) en i s dus een maat voor h e t behouden b l i j v e n van een zeker verband i n de s n e l h e i d van eon enkel deea.t j e ; de tweede f a c t o r s t e l t een nieuy?e g r o o t h e i d voor, welke oen maat geeft voor h e t bestaan van een verband
(op het t i j d s t i p t ) tussen'de snolheden i n f-woo punten van h e t v o i d , d i e op een zekere a f s t a n d van elkander z i j n gelegen. Wanneer men deze a f s t a n d met n aanduidt, zou men kunnen onder-s t e l l e n dat h i e r v o o r een c o r r e l a t i o - o oÖf f i o l e n t S(r)) b e onder-s t a a t , welke gevonden zou moeten worden door vele paren, van doefiJjea
'te besohouwën d i e op een a f s t a n d r\ u i t elïoander z i j n ' geXisgen, oji^ilor neemt dan voor n i n - deze formule de waar-««\/a2. . , . , ; ^ •
Op deze w i j z e kan een u i t d n f l d c i n g worden verkregen voor de gomiddelde v^aarde van de derde integï'aal en een v e r g e l i j k i n g worden opgesteld t e r berekening van a^. D i t z i j n eohter a l l e n hj'-pothese'n, V/ij z u l l e n daarom op de verdere u i t w e r k i n g h i e r v a n n i e t ingaan. De b e d o e l i n g walg
s3,eohts. even een b l i k t e werpen op een der problemen,,
welke v e r s c h i j n e n b i j de onregelmatige beweg:ixj,gen . •..
(random motions) van d e e l t j e s . •,
Oonoentratle... • .;; Wij keren t e r u g naar h e t t r a n s p o r t p r o b l e e m . Daartoe
z i j o n d e r s t e l d d a t een volujue™element gedurende z i j n be« weging u i t z i j n omgeving i e t s ,kan opnemen. Wanneer h e t element z i o h op h e t t i j d s t i p t b e v i n d t op h e t n i v e a u z , z a l h e t daar omgeven z i j n door volume-elementen met
ver-s c h i l l e n d e c o n c e n t r a t i e ver-s waarvan h e t gemiddelde, O, onder s t e l d mag worden een f u n o t i e van x t e z i j n , d i e w i j t e r vereenvoudiging o n a f h a n k e l i j k van de t i j d aannemen. Dan z a l de aanjjassing van de c o n c e n t r a t i e c, i n h e t d e e l t j e • aan de o o n o e n t r a t l e i n de omgeving i n h e t eenvoudigste
geval v o o r g e s t e l d Irannen worden door een v e r g e l i j k i n g .
H
= k (O - o) (13)waarin k een adaptatie-coëfficiënt v o o r s t e l t , waarx'-an de g r o o t t e a f h a n k e l i j k i s van f y s i s c h e constanten en van de afmetingen van h e t volume-element. Ter vereenvou-d i g i n g alweer nemen w i j , voor k een constante waiarvereenvou-de aan.
Gedmrende z i j n beweging komt h e t d e e l t j e t e l k e n s i n andere niveau's. I n v e r g e l i j k i n g (13) i s dus de oonoen-' t r a t i e 0^- geen constante, dech een groo-bhe-id d i e w i s s e l t naar de p l a a t s waar het d e e l t j e z i c h bevnndi;. Men moet dus C s c h r i j v e n a l s -functie van x, en vervolgons y, a l s f u n o t i e van t opvatten, bepaald door de beweging van h e t d e e l t j e . Gemakshalve nemen w i j voor G, een l i n e a i r e f u n O t i
13
-vyaniieer men Ö a l s een f u n c t i e van t bosohouvvt, wordt do. I n t e g r a a l van'(13) gesohreven ( z i e aan h o t s l o t van deze § ) • .
f-OO
o ( t ) - k j ^ e" O(t-x-) , , ( 1 4 ) ^
Wij nemen, voor t ' het t i j d s t i p waarop het d e e l t j e ds;):>a0" eoert, en t e l l e n . d e afstanden ; i v a n u i t gS, Terder s c h r i j v e n w i j
• C - 0(0) t
H
y (15)waar ÖJOJ de gemiddelde c o n c e n t r a t i e i n h e t niveau y.«, O. voor-«telt (dus t e r p l a a t s e van'dS), t e r w i j l dO/dy^ da g r a d i e n t i,s van C. I n formule (15) moet voor y. de waardo op h e t t i j d s t i p t
worden genomen. Men h e e f t n u l ' . • "
. r ' ' . ' J O . , • ' • •
(Huir y de weg i s , welke h e t d e e l t j e nog i n het t i j d s i n t e r v a l van
•i t o t t moet afleggen om i n dS te.komen (dat i s om h e t n i v e a u y « O t o b e r e i k e n ) . Daarmede wordt; • o ( t ) ~ k \ .dr e O k r 0(0) ^« f d r ^ v ( t " r - j ^ ^ " • J
Ail£..iiMLvan.,fpa^^ s c h r i j f t verg, (13): i n da vormi ||-'t.ko « k C
Vermenigviadig beide leden mot e"^^, dan k o m t ' l i n k s 3
«a5ruit door i n t e g r a t i e r t kï" ! kt^, ° e ^- ö(t,) e ^ d t , t c^ ö °, r 1 O , Ia de i n t e g r a a l r e c h t s i s t . a l s intogratia-vuriabèlo gesolrr
van om geen \''ervi;isseling t e v e r k r i j g e n met t . I n verband hiermede i s ook C a l s f u n c t i e van t gesohrevon. Onder-s t e l d ' i a d a t op hf/'c t i j d Onder-s t i p t ^ de g r o o t h e i d o de waard© O a b e z i t ,
. . .
.TJeelt men beide leden van de v e r g e l i j k i n g door e , dan ' v i l g t .
• ' - k ( t - - t , ) - k ( t " t ^ ) c 5= k-.y , O ( t ^ ) e ^, d t ^ t OQ e • " ;
. Weemt men t ^ ' v e r i n h e t verleden,dan i s t - t ^ een groot p c ^ s i t i e f bedrag en de l a a t s t e term van de formula .nadert t o t "nul. Om dezelfde reden mag men i n de i n t e g r a a l t ^ deer - oo vervangen, .
Derhalve:
:. . ~k(t-^t-,)
0 = k\ 0(t^.) e d t ^ . j - CO
S c h r i j f t men thans t ^ t - r , dan i s de i n t e g r a a l om t e z e t t e n In ,-co , 0 = k\ O ( t - T ) e"^^'"' d r . ) 0 8,^ Voor h e t t r a n s p o r t ^ n r a a ^ i s n o d i g h e t preduott roo r ' v ( t ) o ( t } ^ k\ do; e"^^^ 0 ( 0 ) . v ( t ) - ™ ' d r , v ( t ) v ( t " r . . • ] 0 • I . d.y:Q f (IT).. Wij beschouwen .nu een groot a a n t a l d e e l t j e s , a l l e op h e t moment'v^aa.rop z i j h e t element dS jjasseren. Voor d i t ensero.ble bepalen w i j h e t gemidde.lde, w a a r b i j dus
VOOI" e l k dee3;tje h e t t i j d s t i p t h e t ogenblik i s
waar-op h e t dS .passeert. V<ij kunnen dan v^feer o n d e r s t e l l e n dat oo.k b i j deae w i j z e om h e t gemiddelde t e nemen,
v ( t ) g e l i j k aa.n n u l woi-dt (deze o n d e r s t e l l i n g was reeds i n % 4 ingevoerd). Verder z u l l e n w i j o n d e r s t e l l e n dat
15
-O
z i c h weer l a a t u i t d r u k k e n a l s r'\lli%^).
De formule i e v e r t dan voor h e t gesoobto gemiddQIds I f C t n ^ r t l - ^ k § , d r e - l ^ - ^ j ^ d'ï;^^ R ( T ^ ) .
,Men kan.de"dubbele i n t e g r a a l door raiddel van partiölQ integi-atie a l s , v o l g t omzetten: ,
k^' ' di; e"^"^!^ dT^ R ( r ^ )
^ a C» rOD
A . da- e"'^'^ ïiVx).
a ~ O • y O
De eerste 'terra h i e r v a n v e r d w i j n t aan beide grcenzen. Er b l i j f t dus:
• /-co • • ,.
Men kan nu . ^fco , . '
D - v2 da e" R ( a ) .... ..(19) Jo . a l s een diffusie-coè'ff i o i e n t ' opvatten .en s c h r i j v e n ?
v ( t ) . c ( t ) - D,|^- (20) ö U i t de formule v o l g t dan, jri^verband met (13.a), 'dat
• , D. v ^ T
en dus ook •'-tZ^ " ' ' ' ' • ' ', , • D<f^ y v^ , 1 . . ( 2 1 ) , Het v e r s c h i l is'des t e groter,.naarmate k g r o t e r i s
( s n e l l e u i t w i s s e l j n g ) . I s k z e e r - k l e i i i (langzame u i t w i s s e l i n g )
^ • , ^ . . . .
dan wordt . r--^- ' D »»-^\/ V . D , • • .
Het verla'egen r e s u l t a a t l a a t z i o h aldus I n t e p r e t e r e n . V/ij hebben reeds gezien dat de door (11b) g e d e f j n i c e r d e g r o o t h e i d li a l s een jnaat zou kutnien dienen voor ï^andrtljj. vcrmengingaweg 'fl^ÊÏ2xJ^JL.JMiSMA ondersteD.den d a t de diffusie-oo^éfficient voor a l l e i n aanmerking 'komende processen - u i t w i s s e l i n g van
16
-steeda gegeven zou zión_dpor de u i t d r u l r i c i n g ;
^ a n d t l ^ V ^ ' ^ ^' • • • ^ • ( z i e l5,„lïandil., Ueber d i e a u s g e b i l d e t e ïilorbulenz, -Proo, 2nd, Ini'ern.Congress A p p l i e d Meohanios, Z i b i o h 1926,
P» . ^3 r Sohmidt.. Der Jlassenaiistauscïi i n f r e i e r L u f t und verwandte Erscheinungen, Hambinrg 1923; §^^Qo]AsX%Mh
Modern Developments i n P l u i d Dynamics, Oxford 1958) . v o l .
I , p. 205), :,. • . . ;
U i t form.ule (21) v o l g t evenwel d a t de werfcelijlco diffusiecoëfficient k l e i n e r zou kunnen z i j n , w£\nneer een zeer s n e l l e u i t w i s s e l i n g tussen element en omgevii:^g zou-bestaan. D i t i s odïbegirijpelijk, daar b i j o n e i n d i g s n e l l e u i t w i s s e l j r i g het element steeds dS z a l passéren met h e t gehalte 0 ( 0 ) en dus n i e t s z a l overbrengen^
¥u mag men verwachten d a t in*een stromende v l o e i " s t o f •iiüpuls-uitwisseling s t e r k beïrrvloed woi"dt door
dJ'Ukfluctuaties, en ongeveer i n h e t z e l f d e tempo z a l gaan. a l s de processen d i e h e t v e r l o o p van v ( t ) beïnvloeden. M o g e l i j k zou dus
' •'^impuls ^ ^ P r a n d t l kunnen z i j n .
Warmte- en s t o f n i t w i s s e l i n g - z u l l e n v e r m o e d e l i j k . merkbaar langzamer verlopen en me.n z a l w e l mogen aamaemem
-• -• -• ' -• -Warmte " ^ ^ t o f " -•'^Prandtr
•••»-v\aXing bi.l.»L§«i. ~ ^en einde een o o r d e e l t e v e r k r i i g o n om¬ , .-jc de g r o o t t e van de c o e f f i c i e n t ic , z i j .de d i f f u s i e be~ 'w.oavvd van u i t de omgeving naar een b o l v o r m i g vo3_ujne-element • s t r a a l R. Deze v^/.rdt beheerst door de v e r g e l i j k i n g r •
2 2 2
do ::r O g?..„0 d_C , 0^0 s • ' •
öx ay az^
welke b i j bolvormige symmetrie overgaat i n t
2
at ^ ^3^2 r ar^ I A ; .
Hier i s a de c o e f f i c i e n t van de m o l e c u l a i r e d i f f u . s i e . ÏÏanneer men i n p l a a t s van d i f f u s i e de warmte-geleiding bs-iiChouwt, i s :
warmt e ge1e i d ings c o e f f i c i e n t d i c h t h e i d x s o o r t e l i j k e warmte h i j u i t w i s s e l i n g van beweging i s : ,
a ~ kinem. wrijvingscoöffioient = v ,
2
'I'laiij-jecr men (A) v e r m e n i g v u l d i g t met 411: r dr en i n t e g r e e r t
van r " O t o t r - R. v o l g t :
dTiR-^ ,do s - ^ ,132 „ ,ao N
gemiddeld r = R lieera nu a l s s c h a t t i n g :
/9p i ' Q '• .0- ' • ^ r = R " K ,
(C a l s t e voren: gemiddelde c o n c e n t r a t i e i n de omgeving), dan v o l g t voor de c o e f f i c i e n t k u i t ferm. ( 1 3 ) :
R
De waarde van k hangt dus s t e r k a f van R.
uien zoxx nu a l s k l e i n s t e waarde van R kumen aamiemen d i e v.aarde w a a r b i j de u i t w i a s e l i n g van beweging door w r i j v i n g zo
18
-Dan i s :
. . = 3 v l . . (22) mm' , Elementen met k l e i n e r e ' R z u l l e n t e s n e l hun i n d i v i d u a -l i t e i t v e r -l i e z e n , om b e -l a n g r i j k mee t e dragen i n het t r a n s p o r t , E i j n z i j s l e c h t s i n beperkt a a n t a l aanwezig
en i s voor de meerderheid der elemr/ntsn ^y''^-^p^>. ^^'^'^ z a l gemiddeld genomrsn k k l e i n z i j n t , o , v , 1/0?. De i n
-teg)raal i n (19) z a l dan n i e t v e e l k l e i n e r u i t v a l l e n dan v^- . , .
I n gassen v e r s c h i l l e n de waarden van a voor d i f f u s i e en w a r m t e g e l e i d i n g n i e t s t e r k van .v. Zo h e e f t men voor l u c h t b i j gewone temperatuur en druk
V ^7 • 0,145 ora"/seo warmtegeleiding: , a - 0,2
d i f f u s i e van 0^ a '^^ 0,18 f , . d i f f u s i e van H^O a ^' 0,21
d i f f u s i e van OOg • a = 0,15.
Men z a l dus enige v e r s c h i l l e n tussen de t u r b u l e n t e transportcoëfficienten kunnen verwachten, doch geen g r o t e .
I n water i s a f l i n k wat k l e i n e r dan v| ds verhouding 0 • •pp ^ ( g e t a l van P r a r i d t l ) 12,6 b i j O G
. 7,0 b i j 20" C. De diffusieooéifficienten voor opgeloste s t o f f e n
i n water z i j n van de orde 10"5, en dus van do orde 1000 x • k l e m e r dan v (0,018 -0, 0 1 ) , ' , .
Enige gegevens over de verhouding der c o e f f i c i e n t D •van formule (20) b i j v e r s c h i l l e n d e processen z i j } i t e
vinden i n X.,. Rrandtl,. PÜhrer durch d i e Strömungslehre (Braunschweig 1943) p.lOS. (1947, p. ?)
• B i j een nadere analyse'der vermongingsproblomen b l i j k t ook h e t geometrisch k a r a k t e r der oraregolmatige be-wegingen (met name h e t type van de wervolbebe-wegingen)
i n v l o e d t e hebben. 2iio b.v, o^t..JéS>2êj:i}lSi^:ii.> Modern Developments i n F l u i d Dynamics ( a f f o r d 1938), V o l , 1,
V/amie.ör t o r b e k o r t i n g vyordt gesohreven? v.^ - v ( t ) j
v ( t 't- r ) , dan i s de o o r r e l a t i o - c o e f f i c i e n t Rd;) voor de snelheid { a l s f u n c t i e van t besohouv^d), volgens (5) g o d e f i n i -eord door: ^ ,
V 2 *" " ^ ^ ^ '^^''^ a) ~ V , R ( r ) ,
w a a r b i j ondersteld i s dat v ' o n a f h a n k e l i j k i s van t^, . Reeds i s vermeld dat R een oven f u n c t i e i s van ' r t
R(«a-) «= R (1:) ... [ z i e ( 6 ) 1 . luBö_heeft nuj. % 9) Daar » 1 ^ y T O - T T m y - I I . 4 . ( 2 3 ) I t - ( V 2 )
"
I t = °volgt
zodat: 1 ? ^2 d t ^ 1 d t f.1.1. i- ^ ,,2 dR • ^2 d t " ^ d r Men kan vervolgens beschouwenav, dv dv dv^ , dv, .
Öt d t d t dT d r ^2^'^ d r ^ . . . . K P / . Kon neemt h i e r i n r ~,0, dan wordt verkregen: •
/ ( , . : . { 2 6 ) . «•^ ^ = 0
oi;t?lt men voor k l e i n e waarden van r :
20
m f) en
dan z i j n derhalve met de R-larormne t?voo t i j d s d u r e n gode^-f i n i e e r d , n , l . * CO R(a) d r z i a (11a)'" 0 - i en '1^ - i i i n \ / v - o o r r• - 0 ( 2 8 ) . '0 r Immera, fjorm .(26) w o r d t ; dv\ 2 V -'•0 (26a).
T e r w i j l T een maat i s voor do langste samenhang, i s een maat voor de s n e l s t e veranderingen d i o i n h e t v e r l o o p van v ( t ) t o t n i t i n g komen. .. ... •
Men kan eveneens.afleiden? ^^^2 .„ -^2 d^R ^- dt"^ da ? 2 d f - ' d t "2 2 fC^Y^•" ^ „2 /d^Rs dt'^ d'-r r O
Wanneer h e t vérloop' van v ( t ) ' l a n g s oD-ootrisoho weg kan SiS'doïL,&PSönomen, l£„cio]£.,een d i r e c t e meting van
(dv/dt)"^ en van (d'^v/dt'^ )'^ t e vorwezonlij.kon.
.11 snelheidsverdelin-g a l s f u n o t i o van de r u i j n t e l i j k e c o o r d i n a t e bostndeert, bv. de oomponento n a l s f n n o t i o van de ooordlnaat
kan men een oorrelatieoóeffioient S(ii) invoeron, g c d e f i n i eerd door
u ( y ) u ( y t x\) « \\ S{ri) l)an v o l g t analoog aan (26)
( § ) ' • - ^ a2 ( %
,dt) T) « 0
De.ae g r o o t h e i d i s van belang i n verband met h e t energie-v e r l i e s door de inwendige w r i j energie-v i n g .
Üi, Vcï:band_van^de^oOTT^^
Beschouwing op grond van de formules van d© F o u r i e r -analyse. (Zie de toevoeging aan h e t sl«t van deze § ).
Men kan een f u n o t i e f ( t ) v o o r s t e l l e n door m i d d e l van een i" our i e r - i n t e g r a a l t
r.oo . ' 1 " f ( t ) =\ -dw.j I-j^(w) oos wt -t l 2 ( w ) s i n wt l , .
^0 [ _ . ;
mits f ( t ) en f ( t ) ' ^ beide .eindige i n t e g r a l e n l e v e r e n voor h o t fsebied van - co t o t T OO i, I n d a t geval v i n d t men de f u n o t i e s
d t f ( t ) cos wt
Ig(w) i \ d t f ( t ) s i n wt. / - -00
Vfanneer men t e doen h e e f t met een f u n c t i e v ( t ) met h e t .5n § 1 beschouwde permanente s t a t i s t i s c h e k a r a k t e r , z i j n .boven staande formules n i e t r e c h t s t r e e k s t o e t e passen. Men kan z i o h echter behelpen, door z i c h t e beperken t o t een g r o o t , doch e i n d i s t i j d s i n t e r v a l van - O t o t t O, en.,daarbuiten v ( t ) door O
u i t de , . r+ co co 00 •Jt 1 •00
22
-t e vervangen, ;Oan g e l d -t de f o r m u l e i
(' ' 1
• v ( t ) ^ \ dw 3 I-, (w) oos wt t lo(v/) si^a wt . ., , (A)
j O ] t ^ r
voor a l l e t binnen de grenaen .O , t ö , vaameer I ^ en I g berekend z i j n u i t dé formules;
I._^(w) = M d t v { t ) oos wt
r t 0 [
l2( w } « d t v ( t ) s i n wt ^
I_(w) en lo(vv) z i j n daaarbtj tevens • f u n c t i e s van 0 f
o„a« neemt hun a b s o l u t e waarde moty 0 toe»
• Men vorme nu? • . . . . , ., v { t ) v ( t f r ) ~\ dw, ] dw^ l-{w )ï, (w^) cos w , t ,
oos WgC'fc K-Og d r i e analoge termen.
Deze u i t d r u k k i n g wordt geintegi'eerd van - t o t t , w a a r b i j 0^"^ Ö . Daar onze form'ules . v ( t ) O geven,
v.orivn t bu'5'hfin hp.t ^'ebl'^d O + O komt j s de l u t e -g r a a l van h e t l i n i c e r l i d -g e l i j k t e s t e l l e n aan;
(2 0 - t ) . .THTTvft t r J « (2 O - r ) , R(a-),
w a a r b i j o n d e r s t e l d i s dat O z e e r groot i s t„o»v. do i n
aanmerking komende waarden van r , ,
I n h e t r e o h t e r l i d v i n d t men langs eleraontairo weg;
d t cos w-j^t.oos Wg ( t 4- r ) w
s i n (w.j- Wg) O^.öos WgT s i n (w-j t v/^) O.j,cos WpT ^ ' ' l ~ ^'2 ^^1 ''^ ^''2
Hu wordt i n leerboeken over Fourier-analjfse bewezen dat
" 23
/-co sin(w,- Wp)-a.
l i s \ ^^^1 -"'l. 1 " 2
^ 7C.I-^^(W2') COS WglTJ
t e r 7 / i j i ' :
V^-co ) 0
Wamieor men mi oofc de andere te.men van do m'^o^caal op overeenkomstige w i j z e behandelt, wordt vorlcr-ogen?
(2
e
- -c) v^ R ( r )~ % \ dw
00
003 Wg'ï,
O u
We knnnon h i e r i n voor Wg s o t o i j v e n w. Vorder s n l l o n vii4 otellen?
1^ (w)2 t IgCw)^ - -O ^
) ~ l i m s V O (2.9)»
(idmneer -9 onbepaald a a n g r o e i t i s % tegenover 2 ^ t e
vorwaar-l o z e n . Men l e t t e e r op, dat w i j eerst-^l^^ o n e i n d i g groot hebben l a t o n worden, e n daarna pas 6-, om steeds <^i^^ "^o houden).
Aldus wordt verkregen ?
Y" H('v) SS TC \ dw P(w) cos wr , c.. ( 3 % ) ^
J o
H i e r u i t 'volgt - op grond van de formules dor
Foxü-ioranaly-f5O-als omkering' ' .
F(v/) - 2 V ] d r R('x) cos vrc (30b)
/ O
Men noemt de f u n o t i e P(w) de aDco^tra^e^ van v, 'u'annoer men ' . • • ' •
(vy) oos wt t I g (w) s i n wt • v e r b i n d t t o t :
24
-^(X^ 'f- I ^ ) . oog (wt " fazehoek)
wordt h e t d u i d e l i j k d a t P(w) samenhangt met h o t quadraat van de amplitude der a f z o n d e r l i j k e t r i l l i n g s c o m p o n o n t e n . • De fazehoek z i t e r n i e t i n . De d e f i n i t i e van P(w) i n (29) a l s l i m i e t i s eohter minder bevredigend» B-^arom i s h o t van belang u i t (50b) t e z i e n d a t 5'(w) ook gevonden kan worden u i t de oorrelatieooöfficient. De o o r r o l a t i e
-kromme l e v e r t dus voldoende gegevens om h e t spaotrimi van •^^2. '^^ Icmxnen vinden.
ïoevoeginK b i j § 1 0 . - Men v e r g e l i j k e voor h o t :volgGnd0 bv
Kt^TSM.APJtii " Slwl2Sill£' •'Diffö-Bntial-Crleiohungen der Physik (Braimsohweig 1925)> I , P.155 on v l g . r<f
E«'f, V,liittaker and G^LJfetsoïi., Modern A n a l y s i s (Cambridge 1920), § 9 . 7 .
Het b e w i j s d a t form. (4) j u i s t i s , wanneer I ^ en I g door form,(B) z i j n bepaald, wordt gegeven met behulp van een dèrgolijke knnstgreep a l s verderop i n deze § i s gebezigd.
• Men s c h r i j f t i n (B) ruimere grenzen - en,*-*' (>j met • ^ , war geen ;u:3.vji.Beu iieexu, «aa* J U ^ A J . uv.-v.-i:- Y S. ^, •
• n u l moet b l i j v e n vervangen, wanneer t b u i t e n h e t gabled - #^ 4' # komt. Verder a o h r i j v e men t ^ i n p l a a t s van t en s u b s t i t u e e r t vervolgens (g.) i n (A). D i t g e e f t na een
k l o i n d h e r l o i d l n s i •
v ( t ) - \ dw\ d t ^ v ( t ^ ) cos w ( t ^ - t ) .
. \ ) o
• Men i n t e g r e e r t nu e e r s t naar w, dooh sloohts_ t o t oen e i n d i g e grote waarde J \ , en v i n d t dan;
, \ s i n A ( t ^ t )
v ( t ) « l i m M y( t ^ ) .
j.i->oj j - 0^,., : ^• 'ïïu i s volgens de z.g. i n t e g r a a l s t e l l i n g van D i r l o h l e t {v.Misea - Dra.nk, p,154) de l i m i o t w a a r d o
25
•.m doze i n t e g r a a l g e l i j l c aan zodat de f o r M i l o inderdaad l ^ r ' l a ^ n i t i t e i t wordt^ - Het veicruirnen van de oorsprordceliólco in.-'"rrattieg r e n z e n van ^ e , t © t o t - t 10 toogapast, offi
^ ^ j ^ verzekeren dat t steeds good M m e n h e t i n t e r v a l , - 'O^j i4gt on n i e t op do randen ervan,-.kan konion.
Voor par, 10 . moge verder verwezen worden naar
c j f a j l o r , The spaotrum of tnrbiaonoo, EroOoRoy. .öooiöty
" London èJM, 19381 . •
Boiohov, 1'analyse, s p e c t r a l e de l a tebulenoe, IftroOeAoad, , Sciences Amsterdam ^11, p„ 1065, 1948p
on voor par. n-l?» aaar
iJi^ Bprgers, S p e c t r a l a n a l y s i s o f an i r r e g u l a r f u n o t i o n , BfOé, . Aoad.Soienoes Arastorclam 5 1 , p,1073j 194S| on
Toorts.naar . .
.I'-. Tohen, Mean value and c o r r e l a t i o n problems ornnootod w i t h . t h e motion of s m a l l particDr>s ('.Delft 1947}, Oh,5 (p-86 en v o l g , ) ,
, M:^n ten h s t v e r t e n d ^ t u s s o ^
op goheol andere w i j z e .toeMohtoji, n-,!. door IJA boaohouwtog t o neDon hoe men met behulp van een meot-app^araat^, d a t op dim bopaalde freciuentie i s afgestemd, do amplitude van do over-eenkomstige componenten i n de f i m c t i e vJtjL kan moton.
Tor i n l e i d i n g z i j e e r s t bosohouwd een meting met een appa-ra.'.\t, dat geen eigen.freq.uentio b e z i t , , dooh w o l aon dcmpiJig
s^ndorhevig i s , . ' . 2 i j daartoe o n d e r s t e l d d a t de aa.nwijzing 0 van h o t m.oot"
aTjporaat samenhangt met do waarde v,(t,).. volgens do formule j
^ t a I I ^ A , v ( t ) , ( 5 1 ) .
2 OU
is oen evenredigheids c o e f f i c i e n t , '.vanncer v o.naf h a n k e l i j k i j n van t , zou men hebben ^ ^ Av ( s t a t i s c h e i j k i n g ) . I e V Vürandorlijk, zodat ook jó moet' verandoren, dan i s oon woor-:nm<Xa (d;Vdt) t e overwinnen, waarin a do d o m p i n g s0 o o f fi o i o n t is (dimensie; d i e van een t i j d ) .
Evenals i n h e t geval van v e r g , (13) ( s i o par.X), i» dc i n iyraal van (31).to s c h r i j v e n ;
to-26
'00
0
Teneinde 0venwel T; t o kunnen gebruiken voor hek t i j d s -i n t e r v a l -i n de O o r r e l a t -i s f o r m u l e s , z a l -i k f s o h r -i j v o n a l a i n t e g r a t i e v a r i a b e l e , z o d a t i •
a v ( t - f ) e"^/^'' d f .
'O
Men berekent nu:
g roo /co ^ ^ , ^ ( t ) | ) { t + r ) df,\', d f ^ v ( t - f.Jv(t'K-^f^)er^^^i^^^'2^/^
(r J O -^Jo ^
Hot t i j d s g e m i d d e l d e ( b i j vaste r ) h i e r v a n wordts t o rco
^ T - r ; J ( t t ^ T « % \ • d f a )0
2_ ^ ^ d f g v(t-"f^)v(ttr.-.fg)ö" ^^1 ( f . t f \ J / a '00 "00
I n een diagram met coördinaten f-j__, ^2 bronge mon r /
- f„ 3. nu hulppassen aan voor X « f g t f ^ en |.t - f g - f-j^. Do . i n t e g r a t i e naar f-j en f g kan vervangen worden door oen naar X en i.).. Men bedenke d a a r b i j d a t de l e n g t e s o h a l o n langs de nieuwe assen l / \ / 2 maal k l o i n o r z i j n dan lang gtó
en fr, -'assen; i n verband daarmede moet d f ^ dfr, worden iv'.ngen door dX dt..i. Men lorijgri: nu;
^ - — O v^ \ dx\ du, :a(a i.t} e'"
-2a^ • j o j ~ X '00 /X . f ^ r é,^ v ^ l dX djx R ( r [x) t H {% -2^-^ ^0 /O «X/a
of wanneer men thans e e r s t naar X i n t e g r e e r t van i.i t o t OD (gösti-ppelde s t r o o k i n de f i g n u r ) ; ' • ,
i l j . \ djxl dX H ( r t \i) t R ( r - iJ,}| o" '^^''^ ^
20- j O • ' j>i - a . • ' •
4- v^ l d|i R ( r t tO «(i: ~ ^x) I e" 1"'^^ . . , . , , . , . . , ( 3 2 ) . Neemt men % ^ O dan v o l g t :
^ . i o . '
U i t de l a a t s t e f o r a u l e b l i j k t dat h e t gemiddelde quadraat vnn de aanwijzing van -het meetinstrument (een g r o o t h e i d d i e Kön b i j bepaalde m e e t - o p s t e l l i n g e n r e c h t s t r e e k s kan a f l e z e n ) , bfdialve van h e t gemiddelde Icwadraat van v en van de s t a t i s c h s
i j k f a c t o r A, nog afhangt van de oorre3,atie«integ3raal^
Heeft het meetapparaat.slechts een zeer gering© demping (tl zeer k l e i n ) , dan d a a l t e"^^'^ zeer s n e l t o t n u l , zódfrb b i j
i u aanmerking komende waarden van [x nog R(|0 1 lean worden ^••'^toid. Dan i s
/co
diJ. R(.L) e" 1,
f<2 2 ""'2'
':.oaat a l l e e n de s t a t i s c h e i j k i n g s f a c t o r een r o l s p e e l t , en do resterende demping geen i n v l o e d meer h e e f t .
" 28
-. 0 zodat
^ _^^2 | , ^2 . • . , , . , . ( 3 4 1 1 ) , De s t e r k e demping v e r k l e i n t dns de a a n w i j z i n g . Eohter h e l p t een grote waarde van de o o r r o l a t i e door middel van de o o r r e l a t i e d u u r ï welke i n de t e l l e r voorkomt, (K.B.^ Pormnle (34h) mag s l e o h t s g e b r u i k t wox-den a l a a g r o o t i s
t , o . v . 'ï, zodat t / a k l e i n e r i s dan 1 ) ,
Ben merkwaardig r e s u l t a a t i n h e t geval van grote dem-p i n g i s nog dat form. (32) thans voor grote waarden van
r l e v e r t :
D i t v o l g t wanneer men opmèrlct d a t :
(a) ! ^ d i i l U r 4- e" '^/^ - J " ^ dtx^^ Rd.-^) e"^ ^ ^ l " ^'^^."^, het-.welk naar O gaat, aangezien R(!i^) v e r d w i j n t wanneer 1 ^ f o o t genoeg w r r d t ;
(b) • dixR(r ^ ti) e" ^^/^ diig Rdi^) o"^^^2'^" '^^^^
-wat b i j £$:!?ote % en grote a vervangen mag worden door -"t 00
di^o R(P.o) === 20} e*
•I O U .
00
Men v i n d t dan i n de a a n w i j z i n g van het meetinstrujiient een mate van corre3--atie, welke b i j toenemende r afneemt volgens de f a c t o r e" , welke u i t 3 l u . i t e n d beheerst wordt door de demp i n g a f a c t or a;, gx^ote demping g e e f t dus
29
'7
""'"'onderstel thans dat b i j v e r a n d e r i n g van de a a n w i j z i n g , i n -het meetinstrument n i e t s l e c h t s een weerstand a ( d p / d t ) moet worden over^vonnen, dooh ook de t r a a g h e i d van een massö d i o
versneld moet worden, waarvoor nodig z i j '"g" ^ / d t }. Met wederom A a l s s t a t i s c h e i j k f a o t o r z a l daS de waarde van 0 bepaald worden door de. v e r g e l i j k i n g
0 a 1$ •+ " 4 ^ ^^'4 = A . v ( t ) e (35) ^'^ ra^ dt"^
Ter vereenvoudigingr/an sommige formules z i j gasolrreven? a « 2p/m ( o n d e r s t e l d wordts p < ^ 1 ) . J)o o p l o s s i n g van (35), zoals men deze i n leerboeken kan vinden, l u i d t j
^'^^^ dt3^v(t^) e''''''^"\^ s i n t m y i " p ^ ( t " t 3 ^ ) l . i; S c h r i j f h i e r i n : t ^ t - f ; v e r d e r m y i - p , « W| dan gaat.do formule over i n : ' . • , • • r o D . . . ^ ( t ) - \ d f v ( t . - f ) e" s i n wf.
VW
^0 • . .Men berekent weer: ' • •
2 p f 00 foo • .
. S L i ' d f , : d f , 7('-BrirrTrmrï-T e^I^^^^^\'''^^2^ sto. wf^ s i n wfg.
Het product der beide s i n u s f i m o t i e s i s g e l i j k aan •^-•^003 w( f 2 - f-^) " cos w( f 2 t *
«ij s t e l l e n weer: f ^ t f ^ = Xj f g - f-j^ - [i. Men v t o l b dan, .met Gen analoge procedure a l s i n de v o r i g e par. i s toegepaste
2 2 /^o) /tX
,ü(tT/T(T+T)'- J - i — v^ V dp;R(a--i.L ) e^i^'"^ 4(l-p'^) ^0 ) - ^ \
» 30
-4 d-p^-4;)
-praX dtü dX |R(a-}[.i) + R('i:-Hi.)
O Jix
(cos wil " cos WA) , l u i s
^Q-praX ^Q^3 - oos wX) j.,~p •
pm üos(wii-e)^
w a a r i n e bepaald i s door;
s i n e p; oos e -\/ 1 - p Het r e s u l t a a t wordt nu:
2
R('C'hJ')+ R(T;-P'). > pmsjb
4P\/1°P ' ^ oos(wiJ. e) . . . ( 3 6 )
Neemt men v o o r e e r s t r ~ O, dan v o l g t :
^ J P i L , , ^ dll R(ii)e"ï'"'^ oos (wp. c) _ , . . . ( 3 7 )
2py/^p' /O
Re eigenfreciuentie van h e t meet-instmiaent v o l g t op 1 T iv-ivi.w vnor de v r i n e
ae ooiieijiatj W A J ^ Ö WJ^-U a« v w ^ . c j o ^ ^ i j . . — — o • — •
-t r i l l ' i r i g e n ?
1 d^^ ^ m
en b l i j k t t e 2 i j n
my 1 - p"
• a i d ars t e l n m d a t de demp tog van h e t meetinstrument zeer k l e i n z i j , en w e l zo, d a t pm k l e t o i s en d a t voor die waarden van ii w a a r b i j R(m-) nog i e t s betekent, e ' door 1 mag worden vervangen,, Ran v o l g t d a t :
O rco
. ^ 3 L . _ -f \ ti[x R{[i) COB (wti - e ) .
"
2 J ^ ,,A f g e z i e n van de f a z e v e r s c h u i v i n g bepaald door e, d i e b.Lj k l e i n e e i^eer w e i n i g z a l betekenen blijkü h e t gemidöoixle
cniadraat van de a a n w i j s i n g van het meetinstrnment v r i j v i e l , be-t^aald t e worden door de f m o t i e P (w), die w i j .ia^par.10 reetfe
leerden kemien a l s de s p e c t r a l e fnn.otie van v ( t ) [ ^ r i e -(30b) | . Deze spectrale f u n c t i e t r e e d t h i e r op a l s bepalende gicoothoid . TOor de a a n w i j z i n g van het meetinstrument, zodati, . , , •:;
Ap l/l-p^
i V /
Nu i s het waar dat de f a c t o r nog de grootheden on £ bevat. Men kan dientengevolge n i e t zeggen, dat wamieer mon ra verandert om de_,afstemming van het meetinstrument t e w i j z i g e n , de waarde van 0^ evenredig z a l z i j n met F(w). Om d i t t e b e r e i -ken moet men het meetinstDrnment met b i j z o n d e r e
oomponsatie-i n r oomponsatie-i c h t j j oomponsatie-i g e n v o o r z oomponsatie-i e n , welke de f a c t o r _A c o r r oomponsatie-i g e r e n met een bepaalde f u n c t i e van de eigen'freCLuentie. ' • • . • '
Maar wel i s t e z i e n , dat wanneer men ;de afstemming onver-anderd l a a t , en het i n s t r u m e n t J ^ a t reageren op 2 S ™ M I l : M l & . funoties-• ^ ( t ) , de a a n w i j z i n g 0 • evenredig z a l z i j n mer de waarde van P ( w ) ( b i j dezelfde f r e q u e n t i e ) voor die v e r s o h i l l o n
-de f u n c t i e s v ( t ) . • ' . , '
ÏÏog'een ander meriOTaardig r e s u l t a a t l<a.n men a f l e i d e n u i t ' (36),'wanneer men T; ZO groot maakt dat R ( r ) . p r a c t i s c h n u l i s , ' zodat eek R(rtix) Q,,l.I)an gaat ( 3 6 ) over i n r •
-^ p e T m t t T f - -Jï'-^irr-^--^,:- v-^ \ dii R(r-pO e"^^^ cos(w!i - e ) ,
of met [i - t- T:
• - • . . oos(w!X2 t w r - e ) . . '
Kan e'"^'^^-'-^2 d o o r 1 w o r d e n v e r v a n g e n e n s c h r i j f t m.enj
32
-dein völtrfe mot g r o t e benaderingi .
; : ,• • • ••4P\/I"P'"' • •
33e far'cor oos (wr-ft) l e e r t d a t ^ ( t ) t e n naaste b i j een p e r i o d i e k e f u n o t i e i s met freqn.Gntie w. De f a c t o r • "^e"^™'^''' doei;'zien d a t dè óorrelatio m:lnder u i t g e s p r o k e n
wordt wanneer h e t i n t e r v a l r groot wordt, en d a t z i j t e n -s l o t t e • v e r d w i j n t . . • •
, . , .Da aaiOTijzing j ^ ( t ) van h e t meetinstrument i s dus . benaderd harmonisch j op den dmrc i s e r een onregelüiatig .verlopen van de faze,^ . • , .
Men lean met evenveel r e c h t zeggen, dat h e t moét-instrument de componenten met d© f r e q u e n t i e i i . i t de f u n o t i e v ( t ) " u i t f i l t r e e r t " ^ a l s d a t ze deze u i t de on¬ r e g e l m a t i g e f u n c t i e v ( t ) ' z e l f produceert. D i t i s dezelfd© I w e s t i e a l s de oude s t r i j d v r a a g i produceert een spectros-coop'de klemden u i t h e t w i t t e l i c h t , o f z i j n deze reeds, In. het w i t t e l i c h t aanwezig ? -1 • .
Teng.lptte z i j opgeraerkt d a t de u i t v ( t ) a f g e l e i d e • f u n o t i e v^ R ( t ) , naar u i t h e t voorgaande gebleken i s ,
zeer be3..angrijka eigenschappen van v ( t } i n z i o h veronigd.% Het spreekt v a n z e l f d a t z i j v e e l minder g e e f t dan v^(t)." men kan v ( t ) er n i e t u i t t e r u g k r i j g e n . De f m o t i e v''R(t)
s t e l t derhalve een zeer p r a c t i s c h e condensatie van h e t f e i t o m n a t e r i a a l voor,
Blz. 9 r e g e l 8: van t moet zijn?___van 2- • form. 11b moet z i j n : 1 ~\jy'^\
blz.14 form.17 .... .e^^-'^j O(0) ^ . . . . v ( t - r - j _ } ^ blz.15 form.20 v ( t ) . o ( t ) "moet z i j n : v f t l T o T T r .
