Theoretisch beschouwingen bij het analyseren van logboekgegevens

T E C H N I S C H E H O G E S C H O O L D E L F T

A F D E L I N G DER MARITIEME TECHNIEK

L A B O R A T O R I U M V O O R S C H E E P S H Y D R O M E C H A N I C A

T h e o r e t i s c h e b e s c h o u w i n g e n b i j

a n a l y s e r e n v a n l o g b o e k g e g e v e n s .

i r . J . G e r r i t s m a

R a p p o r t n r 4 1 - P

7 november 1952

P u b l i c a t i e : " S c h i p e n Werf"

Delft University of Technology S h i p H y d r o m e c h a n i c s L a b o r a t o r y IVIekelweg 2

2 6 2 8 C D D E L F T T h e N e t h e r l a n d s P h o n e 0 1 5 - 7 8 6 8 8 2

* S C H I P B N W E R F

1 4 - D A A G S T I J D S C H R I F T , G E W I J D A A N S C H E E P S B O U W , S C H E E P V A A R T E N H A V E N B E L A N G E N O R G A A N V A N D E V E R E E N I G I N G V A N T E C H N I C I OP S C H E E P V A A R T G E B I E D D E C E N T R A L E B O N D V A N SCHEEPSBOUWMEESTERS I N N E D E R L A N D H E T I N S T I T U U T V O O R S C H E E P V A A R T E N L U C H T V A A R T H E T N E D E R L A N D S C H S C H E E P S B O U W K U N D I G P R O E F S T A T I O N I N „ S C H I P E N W E R F " IS O P G E N O M E N H E T M A A N D D L A D „ D E T E C H N I S C H E K R O N I E K " R E D A C T I E : I r . J. W . H E I L w . i . , ir. G . D E R O O I J s. i . , P r o f . i r . L . T R O O S T en G. Z A N E N Redictie-adrci;

Hecmraadssingel 194, Rotterdam, Telefoon J2200 E R E - C O M I T É :

A . F . B R O N S I N G , O n d - D i r t c K u r J t r N . V . S t o o m v . . r c - M j . i . c l i i p p i i „ N t j c r l i n d " , A m m r d . m i N . W . C O N I J N . D„tc,n, Wtrl

„ G u i t o " F i r m » A . F . S m u l d e n . S c h i e d i m j i r . hl. H . D A M M E , D i r t c t e u r der N . V . Werkspoor. A m i t e r d i m ; J . W . B . E V E R T S , L i d t i n de R i . d v . o B e i l u o r der K o n i n H l i k e r i k e i ï i . r t M m i c h i p p i j , A m i t r r d j m i P . G O E D K O O P D z r . , D i r e c t e u r N e d e r L i i d i c h e D o k - en S c h e < p i b o u « - M > . I i c h . p p i i ( . . o . ( . ) , A m i t e r d i m ; M . C . K O N I N G , l i d T , n de R . i d der KoA. P i k e i ï n r c M i / . . A m . i e r d i m ; Prot. i r . B . C . K R O O N , H o o | l e r i . r i i n de T e c h n i i c h e Hooseiehooli W . H C H Y , D i r e c l e u r der H o l l i n d - A m e r i k i L i j n , R o l I e r d > m | C . P O T . D i r e t i e u r der N . V . E l e c t r o t e t h n . I n d u i . r i e v/h W . Slikkerveer; V A N D E R V O R M . Directeur der N . V . S c l i e e p v j r r t U Steenkolen M j i t s c l i j p p i j , R o t t e r d a m ; i r . H . L I N G , C o m m i i i ï r i i der N . V . Koninklijke M i u i c l i j p p i j ,,De Schelde", V l i i i i n g e n ; S. V A N W E S T , Directeur der f^. T e r f - M i j t i c h i p p i j „ W i l t o n - F i j t n o o r d " , S c h i e d i m .

J u r - A b o n n c n i e n t (bij vooruiibct j l i n g ) / 16.—, buiten N e d e r l i n d / 20,—. lone nummert / I , — U I T G E V E R S ; W Y T - R O T T E R D A M

Poitrekenins J « < l ! , Telefoon ISIIO « l i j n e n ) , Pieter de H o o c h ^ e s I I I

ï n B c i t u u r D E M O N -imit Ec C o . , C . W E S S E -. V -. D o k - en M E D E W E R K E R S : J . B A K K E R , i r . V . D A R A K O V S K Y . i r . L . W. B A S T . i r . V . V A N B E E -L E N , P r o f . D r . i r . C . B . B I E Z E N O , W . V A N D E R B O R N . Prof. D r . i r , W . r . B R A N D S M A . i r . A . H . T E N B R O E K . i r . B . E . C A N K R I E N , P. P . D E D E C K E R , i r . C . A . P. D E L L A E R T , L . F . D E R T , J . P. D R I E S S E N , G . F I G F . E , i r . V . G E R R I T S E N . T H . V A N D E R G R A A F , J . F . G U G E L O T , F . C . H A A N E B R I N K . V . A . H O E K , r. I N T V E L D , P r o f . i r . H . E . J A E G E R , i r . J . J A N S Z E N , F . A . A . J A S P E R S E , i r . M . C . D E J O N G . i r . C . K A P S E N B E R G , J . V A N K E R S E N . P r o f . D r . i r . J . J . K O C H , i r . H . J . K O O Y J r . , i r . W . K R O P -H O L L E R , i r . W . -H . K R U V I T , Prof. i r . A . J . T E R L I N D E N . M r . G . J . L Y K L A M A S N I J E H O L T , F . C . M A T Z I N G E R , D r . i r . V . M . M E I J E R , i r . J . C . M I L B O R N , J . J . M O E R K E R K , i r . A . J . M O L L I N G E R . D r . i r , W . J , M U L L E R . A . A . N A G E L K E R K E , I n g . L . V A N O U W E R K E R K J . M . L z n . , i r . J . S. P E L , J . C . P I E K , i r . K . V A N D E R P O L S . B . P O T , M r . D r . i r . A . W . Q U I N T , i r . \ V , H , C , E . R Ö S I N G H , i r . j . R O T -G A N S , i r . D . T . R U Y S , C , J . R I J N E K E , i r . W . P. -G . S A R I S . i r . R . F . S C H E 1 . T E . M A D E H E E R E , i r . A . M . S C H I P P E R S , D r . P . S C H O E N M A K E R , i r . R . S . M I D , i r . H . C , S N E T H L A G E , I n g . C , A , T E T T E L A A R , P r o f . i r . E . J . F . T H I E R E N S . C . V E R M E Y , C . V E R -O L M E , i r . J , V E R S C H -O -O R , I n g . E . V L I G , A , H , H , V -O E T E L I N K , H , D E V R I E S . I J , L , D E V R I E S , J , W , W I L L E . M S E N , i r . J , H . W I L -T O N , M r . J . W I -T K O P , P r o f . i r . C . M . V A N W I J N G A A R D E N , i r . A . H . I J S S E L M U I D E N .

N E G E N T I E N D E J A A R G A N G Overnemen van artikelen enz. is zonder toestemming van de uitgevers verboden 7 N O V E M B E R 19S2

T H E O R E T I S C H E B E S C H O U W I N G E N B I J H E T

A N A L Y S E R E N V A N L O G B O E K G E G E V E N S

D O O R

I r ] . G E R R I T S M A

I . I n h o u d w a a r u i t m e n g e m a k k e l i j k ( 2 ) a f l e i d t . I n d i t a r t i k e l w o r d t een a f l e i d i n g gegeven v a n de f o r m u l e s , Verder is A — — = ^' — "i*^ welke g e b r u i k t k u n n e n w o r d e n b i j het analyseren v a n logboek- nD nD

gegevens (zie y i l no. 1 en 2 ) . ^£ A = A' ( 1 — <{,) ( 3 )

Enige statistische methoden w o r d e n i n ' t k o r t behandeld en

toegelicht aan de hand van voorbeelden. w a a r i n A ' = — ( 4 )

nO

I I . H e t vermogen dat door de schroef opgenomen w o r d t

^ , . , , , , Substitutie van ( 2 ) en ( 3 ) i n ( 1 ) g e e f t : O m een schatting te k u n n e n maken v a n het vermogen, dat

door de schroef opgenomen w o r d t , k a n m e n u i t g a a n van de p, ^ = a„ a , A ' ( l — 'I') + a.A'- ( 1 — 41)- -f- . . .

Kiii-A-karakteristiek van de schroef. I n f i g u u r 1 is, voor een (U.IN)

concreet geval, een dergelijke k r o m m e getekend. + a i i A ' " ( l — <!/)" ( 5 ) Deze K „ i - k r o m m e kan met elke gewenste graad van n a u w - /^s y o | g f .

k e u r i g h e i d door de volgende f o r m u l e w o r d e n benaderd. ' ^ • K,„ = a„ - f a.A

+

a,A= - f a„A" ( 1 ) ^ ' = iHÏ " ^ ' D = ^' ~ D

w a a r i n ai ( i = O, 1, . . . n ) constant is. .. , • V o o r de k r o m m e van f i g u u r 1 b i j v . , bleek een 3e graads pa- '"'"^ ^ " ^"'S"^'

rabool een v r i j w e l v o l k o m e n aanpassing te geven, over het A P K _ 1 - / , _ , w i _ A\ U 4- „ / 1 <. -1 = gehele gebied van A , dat door de k r o m m e bestreken w o r d t ^ (0,1N)» - + '•'>('• D ^

(zie V voorbeeld 2 ) . ' H \ ' / H \ n F o r m u l e ( 1 ) w o r d t n u verder u i t g e w e r k t . ( ^ ^ ' * ' ) ' ( D J + • • + ^ ~ ' ~ ' * ' ) " l ^ o j W e k u n n e n n l . s c h r i j v e n : ^ , v , . r 1 1 1 F o r m u l e ( 7 ) k a n n o g i n de volgende v o r m geschreven K " - ^ = P O T ^ ( 2 ) ^ ^ ^ ^ w a a r i n P = , ' ' ' ' ^ ^ ' ' ' ' + ^ ' ' '

gjjjvin 75 A P K • w a a r i n N = aantal o m w e n t e l i n g e n per m i n u u t ;

immers A P K = dus M = ^ schijnbare slip i n % .

608

i S C H I P EN W E R F

K . _VS.« p B « n > n D S C H R O E F G E G E V E M S 15= 6 . 6 0 ^ Fy-p = OAbi Hy= 7 . 3 o q m d „ / 0 . 1 6 9 Fig. 1

. . - n a „ ( l - ^ ) " g ) " >

+ . . . + a„ H D n (n 2! H D H + 3a:,(l

-" ( • - • > • g

+

'} + ) Ö + a . ( l = + . . . a . ( l - 4 ) "

+

O n d e r dienstomstandigheden zal de scheepsschroef slechts een k l e i n gedeelte v a n de K i „ - k r o m m e b e s t r i j k e n ; d i t gedeelte is i n f i g u u r 1 aangegeven.

I n d i t i n t e r v a l , dat voor de p r a c t i j k voldoende g r o o t is, b l i j k t de K m - k r o m m e slechts o n b e l a n g r i j k v a n een rechte l i j n af te w i j k e n . Soms is het belastingsgebied v a n de schroef groter

( b i j v . b i j sleepboten).

O o k k a n de K m - k r o m m e voor sommige schx'oeven een v r i j sterke k r o m m i n g v e r t o n e n ( m e n zie de systematische schrocf-serie-diagrammen v a n W a g e n i n g e n ) .

I n die gevallen zal een benadering met cen 2e graads parabool voldoende n a u w k e u r i g z i j n .

V o o r het meest voorkomende geval, de benadering door een rechte l i j n , w o r d t de f o r m u l e :

^ ^ ' ^ = c A + c ( 9 )

w a a n n Cj

(O, I N ) '

1 ƒ ,1 , n H 1 207:pD*H

D e afgeleide f o r m u l e z u l l e n we i n het v e r v o l g aanduiden m e t de naam: regressieformule.

I I I . Toepassing v a n de regressieformule op de gegevens v a n t a n k p r o e v e n

a. Het bepalen van de regressieforw ule indien voorlstuwings-en overbelastingsfiroevvoorlstuwings-en beschikbaar zijn

W e veronderstellen, dat de c o ë f f i c i ë n t d en de t e r m c van f o r m u l e ( 9 ) constant aangenomen mogen w o r d e n . H i e r b i j w o r d t de eventuele variatie i n 'i/ dus verwaarloosd; het ver-kregen resultaat zal u i t m a k e n o f deze aanname geoorloofd is.

D e c o ë f f i c i ë n t Ci en de t e r m c k u n n e n m e t de methode van de kleinste k w a d r a t e n bepaald w o r d e n .

V o o r het bepalen v a n de r i c h t i n g s c o ë f f i c i ë n t Ci v a n de re-gressieformule, is het n o d i g dat voldoende spreiding v a n de schijnbare slip voorhanden is; deze eis w o r d t i n V nader bekeken.

B i j een overbelastingsproef ( w a a r b i j meestal t o t een over-bclastingsgraad van ± 1,8 gevaren w o r d t ) is steeds voldoende spreiding v a n de schijnbare slip voorhanden o m de analyse te doen slagen.

M e t behulp v a n de gegevens van negen uitgevoerde t a n k -proeven ( v o o r alle negen schepen is een v o o r t s t u w i n g s - en een overbelastingsproef u i t g e v o e r d ) is voor elk van die schepen de regressieformule bepaald.

D e resultaten v a n de berekeningen z i j n verzameld i n tabel 1. I n V is é é n geval als voorbeeld geheel u i t g e w e r k t ( v o o r -beeld 1).

T A B E L 1 A P K

ciS, -)- c of A P K = 10-5 _HvD<(c.

_s.

_{4- c')}

(O.IN)' ciS, -)- c of (O.IN)' = 10-5 HvD<(c.

s.

4- c')

schroe- C l c eegevciia R F 0/ 10 C l ' c' 1 1 0,19 1.3,1 22 0,993 0,93 1,40 94 2 1 0,00043 0,0412 13 0,991 0,39 0,90 8S 3 1 0,0047 0,480 12 0,981 0,69 0,87 89 4 1 0,12 5,79 20 0,996 0,70 1,67 84 5 1 0,023 2,27 14 0,997 0,3 0 0,89 87 6 2 0,072 2,91 23 0,994 0,J9 3,04 122 7 2 0,015 0,468 16 0,966 1,65 3,87 118 8 2 0,14 4,82 32 0,994 1,22 3,93 134 9 2 0,11 4,51 19 0,992 0,97 3,30 136

Opmerking: voor de betekenis van R en F zie V .

O m een i n d r u k te k r i j g e n van de gevonden a f w i j k i n g e n is i n f i g u u r 2 de regressielijn van schip 1 getekend. D e aangegeven p u n t e n stellen de g e b r u i k t e gegevens v o o r . .

U i t tabel 1 k a n de volgende conclusie g e t r o k k e n w o r d e n : D e aanname, dat het verband tussen Km en A lineair is, en de aanname, dat c, en c constant z i j n , b e ï n v l o e d e n de gevonden waarden voor A P K slechts onbetekenend.

V e r g e l i j k e n we de constanten Ci en c van de verschillende schepen met elkaar, dan b l i j k e n deze sterk te k u n n e n v a r i ë r e n . I n v e r b a n d m e t f o r m u l e ( 9 ) k a n m e n , o m deze sterke va-riatie op tc h e f f e n , de f o r m u l e ook als v o l g t s c h r i j v e n :

A P K

^ Ö ; ^ = 1 0 - ™ ' ( c , ' S » + c ' ) ( 1 0 ) D e constanten C i ' en c' w o r d e n dan als i n tabel 1 is aange-geven.

B i j al deze berekeningen is de gemiddelde v i r t u e l e spoed ge-b r u i k t ; hierop w e r d ook de SB gege-baseerd ( v o o r de ge-bepaling van deze spoed zie V I I no. 3 ) .

D e vraag k a n n u gesteld w o r d e n o f de afgeleide rcgrcssie-• v e r g e l i j k i n g z i j n geldigheid behoudt i n d i e n de diepgang

i S c H i p E N W E R F

₅₀₉ D o o r variatie v a n de diepgang achter z a l :

1. '!/ v a r i ë r e n ;

2. de K m - k r o m m e y a n v o r m veranderen indien de i n d o m p e l i n g van de schroef te klein w o r d t .

O m de gevolgen v a n deze variaties q u a n t i t a t i e f te onderzoeken z i j n voor een enkelschroef t u r b i n c s c h i p normale v o o r t -stuwingsproeven en overbelastingsproeven uitgevoerd b i j ver-schillende diepgangen.

Tabel 2 geeft een o v e r z i c h t van de uitgevoerde proeven. T A B E L 2

No. Aard van de proef Aard van de proef Diepgang Snelheid

in m in knopen I V o o r t s t u w i n g s p r o e f 9,18 9 — 12,5 9,18 11,0 I I _{7,J0 9,5 — 13} Overbelastingsproef 7,50 11,25 I I I V o o r t s t u w i n g s p r o e f 6,00 1 0 — 1 3 Overbelastingsproef 6,00 11,5

D e diameter van de schroef is 5,639 m ; berekend w e r d dat

Hv = 6,113 m . H i e r o p is, b i j de berekeningen, de schijnbare

slip gebaseerd.

Tabel 3 geeft de voor de verschillende toestanden geldende regressie-vergelijkingen. T A B E L 3 A P K (0, I N ) ' = C j S, + c No. ct c e aanfal ^ :ecevens F 7o T m I I I I I I I + I I + I I I 0,088 0,092 0,080 0,078 5,02 5,00 5,37 5,31 17 19 20 56 0,992 0,994 0,998 0,976 0,47 0,66 0,46 1,45 9,18 7,50 6,00 6,00—9,18

U i t deze tabel b l i j k t , dat verandering van de diepgang i n -vloed h e e f t op de c o ë f f i c i ë n t e n v a n de regressievergelijking. H e t verschil tussen de v e r g e l i j k i n g e n voor de toestanden I en I I is echter gering.

W e z u l l e n n u i n de eerste plaats nagaan o f de verandering van de c o ë f f i c i ë n t e n ccn belangrijke invloed h e e f t op de be¬

,. A P K

p a h n g van

Daartoe w o r d t i n de vier gevonden v e r g e l i j k i n g e n v a n tabel 3 gesubstitueerd: Ss = 10 % en S» = 20 % .

D e met de v e r g e l i j k i n g I + I I - f I I I gevonden waarde voor

A P K

w o r d t vergeleken met die volgens de v e r g e l i j k i n g e n I , I I en I I I . De resultaten z i j n verenigd i n tabel 4.

T A B E L 4

s. = 10 Vo S, = 20 Vo

Vergelijking A P K afwijking A P K afwijking

Vergelijking (O.IN)» in 7 . • (O.IN)' ln V. i + i i + i i i 6,09 0,0 6,87 0,0 I 5,90 — 3,1 6,78 - 1,3 I I 5,92 — 2,8 6,84 - 0,4 I I I 6,17 + 1,3 6,97 + 1,5 B i j Sa = 20 % b l i j k e n de verschillen g e r i n g te z i j n ; b i j S, = 10 % z i j n ze iets groter.

V o o r het beschouwde schip l i g t de slip onder dienstomstan-digheden i n de b u u r t v a n 20 % (Sa gebaseerd op H v ) .

Onze conclusie w o r d t :

Zolang de schroef voldoende ondergedompeld is, h e e f t va-riatie v a n de diepgang achter, b e t r e k k e l i j k w e i n i g invloed op de u i t k o m s t -van de regressievergelijking.

Ondanks deze conclusie is onderzocht o f i n v o e r i n g v a n de diepgang als verklarende variabele, nog v e r b e t e r i n g k a n brengen. H e t is m o e i l i j k o m de invloed van T k w a l i t a t i e f vast te stellen, doch statistisch w e r d vastgesteld, dat i n het geval van het beschouwde schip, de volgende f o r m u l e een redelijke verbetering g e e f t :

A P K

(O.IN)' = c& + e T - ' + c ( 1 1 )

Passen we deze f o r m u l e toe op de proeven I + I I + I I I dan geeft d i t als resultaat;

A P K

(O, I N ) ' = 0,085 S, + 3,74 T - ' + 4,66

aantal gegevens = 5 6 R = 0,992

F = 0,72 %

0. Het bepalen van de regrcssieformule indien alléén een voortstuwingsproef beschikbaar is

Bij een normale v o o r t s t u w i n g s p r o e f varieert de schijnbare

slip w e i n i g . I n dat geval is te verwachten dat de r i c h t i n g s -c o ë f f i -c i ë n t Cl van de regressievergelijking niet n a u w k e u r i g te bepalen is met de, i n het voorgaande, beschreven methode.

U i t tabel 1 b l i j k t , dat de t e r m CiS> b e t r e k k e l i j k k l e i n is ten opzichte van dSa + c; b i j v . v o o r schip 1 is b i j S,= l'i %:

c,Sa = 0,19 X 15 = 2,85 c = 13,10 A P K ^ , , (OjN)3 = C i S a - f c = 15,95 d u s c , S » = 1 7 , 9 % A P K ( O N ?

-I n d i e n we dus de c o ë f f i c i ë n t c, schatten, dan zal een even-tuele f o u t i n de s c h a t t i n g b e t r e k k e l i j k w e i n i g invloed hebben op de te bepalen waarde v a n 7 7 ^ 5 ^ ; b i j v . een f o u t van 10 %

(O.IN) i n c, geeft b i j = 15 % een f o u t v a n 1,8 % i n U i t ( 9 ) b l i j k t d a t : — 20;r[jD'H A P K ( O . I N ) ' 60' X 75 a i ( l - t ) betekent d i t , b i j bekende W i l l e n we dus Ci schatten dan

schroef a f m e t i n g e n een schatting v a n a , ( l — ' ! ' ) .

H e t is gebleken dat toepassing v a n de. zeer eenvoudige f o r mules v a n T a y l o r :

( 1 2 )

•I- = — 0,20 + 0,5 5 S voor dubbelschroefschepen "T* = — 0,05 + 0,5 5 voor enkelschroefschepen . .

n a u w k e u r i g genoeg is o m te schatten; d i t l i g t ook v o o r de h a n d daar ij; i n de f o r m u l e v o o r k o m t i n de v o r m 1 —• i^, zodat een f o u t i n <i/ een veel kleinere f o u t i n 1 — i}» tengevolge h e e f t .

O m een s c h a t t i n g van a,, de h e l l i n g v a n de K m - k r o m m e , te k u n n e n m a k e n , is deze g r o o t h e i d bepaald voor de B3 en B4 sericschroeven v a n Wageningen.

Daartoe is de gemiddelde h e l l i n g v a n de K m - k r o m m e bepaald v o o r het s t u k tussen A<,p,im„„, en 0,75 A„ptimn»i (zie f i g u u r 3 ) .

Aopiimnni k o n met de Bj,—5-diagrammen bepaald w o r d e n .

H e t bestreken gebied is ruimschoots voldoende v o o r de v e r -schillende belastingstoestanden.

De waarden v a n ai z i j n , a f h a n k e l i j k v a n H v / D en F A / F , u i t -gezet i n de f i g u r e n 4 en 5.

A l s voorbeeld zullen we van schip 1 tabel 1, de c o ë f f i c i ë n t

610

S C H I P E N W E R F

17 16 . APK 4 I 15 , • .•APK, - o . i a ' f i S . t i a . i t 14 . • VOORTSTUWIMSSPRMF O OVERBELASTiHGa PROEF V_17kM 0 10 IS ao F i ï . 2 Gegevens: dus: D = 6,604 m Hv = 7,304 m D ' H v = 1 3883 z = 4 F „ / F = 0,463 H v / D = 1,106 ^ r ' T . V V L O l t — 0,278 . we ai = — - 0,0490. _ 20 7rpD'Hv Cl = — . a i ( l - ^) = 20;t X 104.5 X 1 . ^ 3 60' X 75 60' X 75 . 0 , 0 4 9 0 ( 1 - 0,278) = 0,20 D e t e r m c v o l g t n u u i t l i e t gemiddelde v a n de waarden A P K

W e baseren ons alleen op de v o o r t s t u w i n g s p r o e f , zodat w e k r i j g e n : Berekening van c s. 7 . 5,9 6,1 6,1 6,3 6,5 7,0 7,4 7,9 8,6 .9,7 11,1 0,20 s, 1,18 1,22 1,22 1,26 1,30 1,40 1,48 1,58 1,72 1,94 ^,22 A P K ( 0 , 1 N ) ' C 14,47 13,29 14,44 13,22 14,48 13,26 14,42 13,16 14,51 13,21 14,52 13,12 14,59 13,11 14,64 13,06 14,70 12,98 14,72 12,78 14,94 12,72 Sc = 143,91 c = 13,08 a f g e r o n d c = 13,1 D e regressievergelijking w o r d t : A P K (0,1N)' = 0 , 2 0 SB + 1 3 , 1

D e gevonden v e r g e l i j k i n g is toegepast op alle waarden van Ss en ( 0 , 1 N ) ^ v a n de v o o r t s t u w i n g s - è n de overbelastingsproef, H e t resultaat is daardoor v e r g e l i j k b a a r m e t de i n tabel 1 ver-melde waarde v a n F .

W e v i n d e n n u F = 0,99 % v a n A P K .

T a b e l 1 geeft F = 0,93 % v a n A P K . H e t verschil is v r i j w e l n i h i l .

Eenzelfde berekening is gemaakt voor alle t a n k p r o e v e n v a n tabel 1.

Tabel 5 geeft de resultaten. T A B E L 5 A P K

(0,1N)' = CiS, -f- c

Cl is geschat, c is bepaald u i t de gegevens van de v o o r t s t u w i n g s

-proef. No. C l C F V. F 7 . fabel 1 1 0,20 13,1 0,99 0,93 2 0,00041 0,0416 0,58 0,39 3 0,0054 0,468 0,84 0,69 4 0,12 5,79 0,70 0,70 5 0,024 2,26 0,46 0,30 6 0,082 2,75 1,40 0,59 7 0,017 0,436 1,98 1,65 8 0,13 4,94 1,39 1,22 9 0,11 4,55 0,99 0,97

De geschatte regressievergelijkingen b l i j k e n over het alge-rneen w e i n i g verschillen te vertonen met de regressieverge-l i j k i n g e n voregressieverge-lgens de regressieverge-l e methode.

H e t u i t e i n d e l i j k e resultaat: het schatten v a n A P K u i t ( O , I N ) ' en S» is, te oordelen naar de middelbare f o u t , zeer goed.

Onze conclusie k a n dus z i j n , dat de regressievergelijking met voldoende n a u w k e u r i g h e i d u i t een normale v o o r t s t u w i n g s p r o e f bepaald k a n w o r d e n , i n d i e n geen overbelastingsproef ter be-s c h i k k i n g be-staat.

I V . H e t bewerken v a n bedrijfsgegevens

De afgeleide f o r m u l e s k u n n e n g e b r u i k t w o r d e n o m het ver-mogen dat onder dienstomstandigheden o n t w i k k e l d w o r d t te schatten. Daartoe d i e n t m e n te beschikken over een regressie-v e r g e l i j k i n g die bepaald w o r d t m e t behulp regressie-v a n een aantal be-t r o u w b a r e m e be-t i n g e n v a n hebe-t vermogen, de snelheid en hebe-t toerental.

H e t vermogen k a n b i j v . m e t een torsiemeter gemeten w o r d e n . H e t askoppel dat daarmee gemeten w o r d t bevat dan het as-koppel dat n o d i g is o m de w r i j v i n g i n de asblokken e.d. te o v e r w i n n e n .

D i t w r i j v i n g s k o p p c l k a n , i n het voor het b e d r i j f b e l a n g r i j k e gebied, constant aangenomen w o r d e n .

De regressieformu e k r i j g t dan de volgende gedaante: A P K m „ , , „ ,

( Ü ; Ï N ) - 3 = C I S B + d i N - - f C ( 1 3 )

512 i S c H i p

E N W E R F

zodat het vermogen dat n o d i g is o m de w r i j v i n g te o v e r w i n n e n g e h j k is aan 0,001 d , N p k .

Zoals i n V behandeld zal w o r d e n , is het n o o d z a k e l i j k , dat er voldoende spreiding v a n slip en toerental voorhanden is.

Deze spreiding is b i j v . als v o l g t te v e r k r i j g e n ;

M e n voert progressieve meetvaarten u i t b i j een toerental dat varieert v a n Nmnxiimim t o t ± 0 , 7 5 N

Deze meetvaarten w o r d e n uitgevoerd b i j verschillende u i t -wendige omstandigheden. D u s b i j v . met w i n d achter en i n de w i n d ; de schijnbare slip zal dan voldoende v a r i ë r e n .

B i j dubbelschroefschepen k a n de belasting v a n é é n der schroeven opgevoerd w o r d e n door de schroeven met verschil-lend toerental te laten draaien. I n dat geval w o r d t voor elk der schroeven een regressie v e r g e l i j k i n g opgesteld.

D e normale gegevens uic logboeken bezitten over het alge-meen een kleine spreiding.

I n dat geval k a n m e n eventueel de c o ë f f i c i ë n t Ci schatten zoals reeds besproken is.

O o k het vermogen, dat n o d i g is o m de w r i j v i n g te over-w i n n e n , k a n , zonder dat grote f o u t e n gemaakt over-w o r d e n , geschat w o r d e n .

D i t vermogen w o r d t algemeen aangenomen op ± 3 % v a n het gemiddelde b e d r i j f s v e r m o g e n .

K e n t m e n ongeveer het toerental b i j d i t vermogen ( b i j v . u i t de bedrijfsprognose) dan v o l g t de c o ë f f i c i ë n t d , u i t ;

w r i j v i n g s v e r m o g e n = 0,001diN.

Zoals reeds b i j de behandeling v a n de tankregressievergelijk i n g besprotankregressievergelijken is, tankregressievergelijk a n het invoeren van de diepgang als v e r -klarende variabele i n sommige gevallen een v e r b e t e r i n g geven.

D e bedrijfsregressievergelijking zal i n het algemeen v e r -schillen v e r t o n e n met de tankregressievergelijking. Enkele v a n de m o g e l i j k e oorzaken z u l l e n w è de revue laten passeren.

D e c o ë f f i c i ë n t Ci en de t e r m c bevatteq de grootheden a», a,

en 4' (zie f o r m u l e ( 9 ) ) .

ao en a, z i j n a f h a n k e l i j k v a n de K m - k r o m m e ; het is dus te v e r w a c h t e n dat i n d i e n de K m - k r o m m e n voor de scheepsschroef en de modelschroef verschillend z i j n , ook ao en a i aan v e r a n -d e r i n g on-derhevig z i j n .

Een verschil i n de K m - k r o m m e k a n de volgende oorzaken hebben:

1. Schaaleffect; hierdoor zal v n l . ao b e ï n v l o e d w o r d e n , de h e l

-l i n g v a n de k r o m m e (dus a i ) za-l w e i n i g aan schaa-leffect ' onderhevig z i j n .

2. Stampen en slingeren v a n het schip; door deze bewegingen ontstaan loodrecht op de translatiebeweging v a n het schip, snelheidscomponenten, die de gemiddelde i n s t r o o m r i c h t i n g i n de schroef periodiek v a n r i c h t i n g doen veranderen. O o k zal door stampen de i n d o m p e l i n g V a n de schroef v a -r i ë -r e n . H e t l i j k t aannemelijk dat hie-rdoo-r de K m - k -r o m m e be-ï n v l o e d zal w o r d e n .

H e t resulterende e f f e c t zou men w e l l i c h t k u n n e n bestuderen ( i n d i e n dergelijke proeven m o g e l i j k z i j n ) met behulp v a n over-belastingsproeven i n k u n s t m a t i g opgewekte golven, o f m e t v r i j v a r e n d e schroefproeven w a a r b i j aan het schroefmodel een beweging w o r d t gegeven die overeenkomt m é t het stampen v a n een schip.

De i n v l o e d van de diepgang is b i j het bespreken v a n de t a n k -proeven reeds ter sprake gekomen.

H e t is d u i d e l i j k , dat b i j een kleine diepgang achter, de be-wegingen v a n het schip relatief een grotere invloed z u l l e n hebben.

Verschil i n het volgstroomgetal (door schaaleffect, aangroei-i n g , verschaangroei-il aangroei-i n daangroei-iepgang, enz.) h e e f t eveneens aangroei-i n v l o e d op Caangroei-i en c; immers zowel i n Ci als i n c k o m t het volgstroomgetal voor i n de v o r m 1 — '!/. O m b i j v . de i n v l o e d v a n de aangroeiing (die een verandering v a n 'l' tengevolge h e e f t ) op de v e r g e l i j k i n g te k u n n e n vaststellen, k a n het daarom aanbevolen w o r d e n o m i n de t i j d tussen twee d o k k i n g e n een aantal regressie v e r g e l i j k i n g e n op te stellen.

U i t de bovenstaande o p m e r k i n g e n kan opgemaakt w o r d e n dat het wenselijk is o m naast de genoemde gegevens v a n snel-heid, toerental en vermogen te beschikken over gegevens die een i n d r u k geven onder welke omstandigheden gemeten w o r d t , dus b i j v o o r b e e l d :

diepgang achter

de mate w a a r i n het schip stampt en slingert het aantal dagen dat het schip u i t het d o k is.

D e m o g e l i j k h e i d bestaat n u o m een redelijke s c h a t t i n g te m a k e n v a n het onder dienstomstandigheden o n t w i k k e l d e ver-mogen i n d i e n de snelheid ten opzichte v a n het water en het toerental (en dus de schijnbare s l i p ) bekend z i j n .

D i t dienstvermogen k a n men v e r g e l i j k e n met het vermogen volgens de v o o r t s t u w i n g s p r o e f b i j dezelfde snelheid en diep-

gang-U i t deze beide vermogens v o l g t dan het toeslagpercentage op APKlank.

U i t enige analyses v a n toeslagen bleek dat, voor een bepaald schip, het gemiddelde toeslagpercentage toeneemt b i j a f n e m e n -de snelheid. D i t zal o.a. het gevolg z i j n v a n het f e i t dat een bepaalde weersgesteldheid relatief meer toeslag eist b i j een kleine snelheid dan b i j een grote snelheid.

O m een i n d r u k te k r i j g e n v a n de v e r d e l i n g v a n de toeslagen kan men deze o v e r z i c h t e l i j k rangschikken i n een zg. f r e q u e n t i e -tabel (zie f i g u u r 6 ) .

D e „ m e e s t v o o r k o m e n d e " toeslag voor een bepaald snelheids-i n t e r v a l k a n b snelheids-i j v . berekend w o r d e n door het r e k e n k u n d snelheids-i g ge-middelde v a n dc toeslagen i n de b e t r e f f e n d e k o l o m te bepalen.

H e t r e k e n k u n d i g gemiddelde h e e f t echter als nadeel dat het sterk b e ï n v l o e d k a n w o r d e n door enkele sterk a f w i j k e n d e toe-slagen (zie V I I no. 2 en de discussiebijdrage v a n D r C o n n i n 1).

Een betere grootheid is daarom de „ w a a r s c h i j n l i j k s t e waarde", welke met behulp v a n waarschijnlijkheidspapier bepaald k a n w o r d e n . ' ' ' )

D i t papier h e e f t een zodanige v e r d e l i n g dat de integraal v a n de Gausskromme een rechte l i j n w o r d t .

H e t g e b r u i k v a n d i t h u l p m i d d e l w o r d t u i t v o e r i g besproken en toegelicht i n V I I no. 2.

Als voorbeeld v o l g t hier de bepaling v a n de w a a r s c h i j n l i j k s t e toeslag voor een concreet geval.

Voorbeeld 12 k n . < V < 12,5 k n .

Toeslag Frequentie 2 Frequentie Frequentie 2 Frequentie

% Frequentie 2 Frequentie 7 . 7 . 15 < 20 1 1 0,63 0,63 20 < 25 2 3 1,27 1,90 25 < 30 11 14 6,96 8,86 30 < 35 25 39 15,82 24,68 35 < 4 0 47 86 29,75 54,43 40 < 4 5 39 125 • 24,68 79,11 45 < 50 17 142 10,76 89,87 50 < 55 13 155 8,23 98,10 55 < 60 3 158 1,90 100,00 S = 158 2 = 100,00 %

De waarden v a n S f r e q u e n t i e i n % z i j n uitgezet op waar-schijnlijkheidspapier, zie f i g u u r 7. D o o r deze p u n t e n is een l i j n gestrookt; het s n i j p u n t van deze l i j n en de l i j n S f r e q u e n t i e =

50 % geeft de w a a r s c h i j n l i j k s t e toeslag ( i n d i t geval 39,5 % ) . .

H e t berekenen van de toeslag voor elk geval is een t i j d r o v e n d w e r k , dat echter n u t t i g k a n z i j n i n d i e n m e n de i n v l o e d v a n weer en aangroeiing w i l bestuderen. H e t is pok m o g e l i j k o m per snelheidsinterval, het w a a r s c h i j n l i j k s t e toerental te bepalen (zie ook V I I no. 2 ) . M e t de snelheid en het toerental is daarna het vermogen met de regressieformule te bepalen, waarna de toeslag v o l g t u i t de v e r g e l i j k i n g met het t a n k v e r m o g e n .

S C H I P E N W E R F

513 TOESLAG PERCEKTOE S N E L H E I D IN KNOPEN TOESLAG PERCEKTOE 10<10.5 10.5<11 1K.11.5 11.5<lt ENZ. 0 < 5 5 < 10 1 0 < 1 5 15 < 20

, 8 0 < a 5

Fig. C

V . Afleiding van enige formules uit de correlatierekening

V o o r een uitgebreide behandeling v a n de correlatierekening w o r d t verwezen naar de i n de l i t e r a t u u r l i j s t vermelde leer-boeken.

Volledigheidshalve v o l g t hier voor enige eenvoudige gevallen dc a f l e i d i n g van de door ons gebruikte f o r m u l e s .

De meervoudige correlatie

Gegeven z i j n N stellen waarnemingen van de variabelen Y ,

X l , X J , . . . . Xu. H i e r b i j is Y de te verklaren variabele en X l , X . j , . . . . Xl. de verklarende variabelen.

Gevraagd w o r d t , u i t de v e r g e l i j k i n g ;

• Y«- = b„ - f b i X i + h,X, + b„X„ . . . . ( 1 )

de constanten b„, b j , ba b„, z ó te bepalen, dat de som v a n de k w a d r a t e n van de verschillen tussen de gemeten waarden Y en de door de regressievergelijking ( 1 ) gegeven waarden Y , zo k l e i n m o g e l i j k is. D e voorwaarde w o r d t dus: N - N S ( Y - Y ' - ) ' ' = 2 moet m i n i m a a l z i j n . . . . ( 2 ) 1 1 H i e r i n is dus Y — Y«- = S. N

( N . B . I n het v e r v o l g w o r d t S aangeduid met S.) 1

Voorwaarde ( 2 ) w o r d t i n verband met ( 1 ) ; Sa= = S ( Y - b„ - b i X i - b . X . moet m i n i m a a l z i j n I n v e r g e l i j k i n g ( 3 ) w o r d t gesubstitueerd;

SY

b„X„) = Y = . y + Y X l = X l

4-

X l Xu = : Xu

-\-

Xn D i t g e e f t : Sï= = S ( y Y = X l = Xu =

N

SX,

N

SX„

N

h i e r i n is: b„' — b i X i — b j X j — moet m i n i m a a l z i j n . buXu)^ ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) b„' = b„ 4 - b i X , 4- b , X ; 4- buXu - Y

Beschouwen we bo', b i , b^ bn als lopende c o ö r d i n a t e n

dan leidt de eis:

= m i n i m a a l , t o t de volgende voorwaarden:

i ( S S ' ) j_ S (SS'') _ S ( S S ' ) _ 8 (S8^)

5 b o ' s b i ~ ' ' ' " T b r ~ ' ' ' " " ; T b r = 0. (6)

I n verband met ( 5 ) geeft d i t ; S ( y - b „ ' — b j X , b . x , -S ( y - b„' — b i X i b.,x., -S ( y - b „ ' — b i X i b , x , -S ( y - b „ ' — b j X i — b j X , — — b„x„) = O — b n X i , ) X i = O — b„Xi,)x2 = O — bnXn)Xu = O ( 7 ) U i t ( 4 ) v o l g t ; S y — O, immers y = Y — Y dus S y = S ( Y - Y ) = S Y - S Y o f S y = S Y - N Y = S Y - S Y = O Evenzo is; S x , = O

Sx2

= O Sxu = O

De v e r g e l i j k i n g e n ( 7 ) k u n n e n dus als v o l g t geschreven w o r d e n : S b „ ' = O dus b„' = O en S y x i = b . S x r 4- b . S x i X , 4- . b„SxiX„ b i S x i X , + b . S x r + b u S x . X u y x u = b , S x , x „ 4- b o S x , Xu 4" b „ S x u ' S y x ( 8 ) Deze v e r g e l i j k i n g e n staan bekend onder de naam; n o r m a a l -v e r g e l i j k i n g e n . U i t de n o r m a a l -v e r g e l i j k i n g e n z i j n de regressie-c o ë f f i regressie-c i ë n t e n b l , b» bu op te lossen.

Daarna v o l g t ;

b„ = Y - b i X i - b . X j - - b „ X „ . . , . ( 9 ) O m het gevonden resultaat te k u n n e n beoordelen w o r d t de c o r r e l a t i e - c o ë f f i c i ë n t R g e b r u i k t .

Deze is als v o l g t gedefinieerd; 1 — H i e r i n is: ( 1 0 )

N

/IE

N

-de standaard deviatie van de reeks S

de standaard deviatie v a n de reeks y ( 1 1 ) Is SS= = O, dan voldoen alle stellen waarnemingen, Y , X i ,

X2 X u aan de regressievergelijking ( 1 ) . H e t v e r b a n d

tussen de grootheden Y , X „ X , Xu is f u n c t i o n e e l . Is SS= = Sy= dan o n t b r e e k t het verband tussen de variabelen volgens ( 1 ) geheel. W e z u l l e n n u de f o r m u l e voor R u i t w e r k e n . Daartoe s c h r i j v e n w e : 28= = S ( y - b i x i - b , x , - - b u x „ ) = = % ( y — b i X i — bzXa — buXu) — b i S x i ( y — b i X i — bjXa — b „ x „ ) — b,Sx2(y — b , X i — b j x , — b„Xn) — b „ S x u ( y — b i X i — b^xa — b „ x „ ) . . . . ( 1 2 ) I n v e r b a n d m e t de n o r m a a l v e r g e l i j k i n g e n ( 8 ) w o r d t d i t : S8= z= S y ( y - b i X i - b , X , - bnXu) , , . ( 1 3 ) F o r m u l e ( 1 0 ) ; as' R- = ,1 — — w o r d t ; O y '

R= =

1 S y ( y — b i X i — b j X , — buXu)

R=

b i S y X i 4- b . S y x . + 4 - b u S y X u o f R = l / b i S y X i 4 b . S y x , 4 -S y = 4- b u S y X u _{( 1 4 )}

5 H

S C H I P Ü N W E R F

S93 93

/

gs / 1 75 >

t

so LU

t

so LU / t

/

ï ^ g IP Ui 0£ U¬ W 5 % J \S\ Ll O H 1 H 01 :a: ri _j z •n o.t (

/

/

O «n < 1 3 2' . 3 T O E S 3 3 LAGPE RCEN 0 <!: T A G E 0 S Fig. 7

M e n k a n bewijzen dat steeds:

R=

=S 1 dus — R SS 1

I n het geval van de meervoudige correlatie w o r d t alleen be-tekenis toegekend aan de positieve w o r t e l zodat

O R 1.

H o e meer de waarde R = 1 benaderd w o r d t , hoe beter de aanpassing aan het veronderstelde verband volgens ( 1 ) is.

Is R zeer k l e i n , dan betekent d i t nog niet, dat er geen cor-relatie bestaat tussen dc beschouwde variabelen; het is m o g e l i j k dat een ander mathematisch model ( b i j v . een logarithmisch v e r b a n d ) een betere b e s c h r i j v i n g geeft.

V o o r hut veel voorkomende geval v a n de enkelvoudige lineaire regressie w o r d e n de volgende f o r m u l e s u i t het n d i m e n -sionale geval afgeleid.

De regressievergelijking is dan Y'* = b„ + b , X i S y x i — b i S x r _ Sy.x, en de n o r m a a l v e r g e l i j k i n g o f verder is b„ = Y — b i X i en R ^ y x ,

Kromlijnige regressie (enkehiondig)

A l s regressie v e r g e l i j k i n g kiezen we n u een parabool van de n° graad:

Y'> = b„ -h b i X - I - b,X= + + b „ X "

A n a l o o g aan de vorige a f l e i d i n g k r i j g e n we als voorwaarde: S3' = S ( y — b i X — b j x ' — — b „ x " ) ' moet m i n i m a a l z i j n . D i t leidt t o t de volgende v e r g e l i j k i n g e n . S y x = biSx= + b , S x ' + b „ S x " + ' Syx-' = biSx= + b,Sx* + b „ S x " + ' S y x " = b i S x " + ' + b , S x " + ' + b„Sx=" w a a r u i t b j , b j bn op te lossen z i j n . Verder v o l g t b» u i t : b„ = Y - b , X - b , X ' - - b „ X " Een maat voor de strooiingen o m de regressielijn is de cor-relatie-index welke op dezelfde w i j z e als R gedefinieerd w o r d t n a m e l i j k :

A n a l o o g aan het reeds afgeleide geval k r i j g e n we

, ^ l / b . S y x + b,Syx= + + bnSyx"

F

S y '

O o k hier is p maximaal g e l i j k aan 1. Hoe dichter p b i j deze waarde l i g t , hoe beter de aangenomen regressievergelijking voldoet.

G e e f t b i j v . een 2e graads parabool geen voldoende aanpas-sing dan k a n een 3e graads parabool g e b r u i k t w o r d e n . Een bezwaar van de methode is, dat men n u alle c o ë f f i c i ë n t e n bi opnieuw berekenen moet. D i t bezwaar k a n ondervangen w o r -den i n d i e n m e n g e b r u i k m a a k t v a n orthogonale p o l y n o m i a . H i e r v o o r w o r d t verwezen naar V I I no. 6.

Opmerkingen

1. U i t de afleidingen b l i j k t , dat men i n vele gevallen v a n een reeks getallen X moet bepalen:

Sx= w a a r i n x = X - X M e n k a n dus eerst X bepalen: X = en daarna x = X — X

en h i e r u i t x ' en S x ' .

Deze methode is omslachtig en soms o n n a u w k e u r i g , daar X niet i n een ongelimiteerd aantal decimalen u i t g e d r u k t k a n w o r d e n .

M è t de meeste rekenmachines die tegenwoordig i n g e b r u i k z i j n k a n m e n van een reeks getallen tegelijk de som v a n de k w a d r a t e n en de som i n één b e w e r k i n g berekenen. M e n k a n dan o.a. v a n de volgende rekenschema's g e b r u i k maken, die een grote besparing aan rekenwerk geven, n l . :

S x ' =

sx= - ( f > !

Evenzo voor twee reeksen X en Y :

S x y = S X Y - ~

H e t bewijs v a n deze f o r m u l e s is eenvoudig en b l i j f t hier achterwege.

Verschillende methoden die aan de voorgaande v e r w a n t z i j n , worclen toegepast indien men niet over een reken-machine beschikt die t e g e l i j k e r t i j d S X en S X ' berekent. H i e r v o o r w o r d t verwezen naar V I I no. 5.

2. D e c o r r e l a t i e c o ë f f i c i ë n t is een maat voor de aanpassing aan de regressievergelijking.

D i t w o r d t aan de hand van enige f i g u r e n voor het geval van 1 o f v a n 2 verklarende variabelen nader toegelicht.

S C H I P E N " W E E T

515

Fie. 8

Eén verklarende variabele: Y * = Z>o + biX^.

I n f i g . 8a is een p u n t e n v e r z a m e l i n g getekend, w a a r v a n 2S-w e i n i g verschilt van S y ' (zie de d e f i n i t i e v a n R . ) , 2S-w a t zich u i t i n een lage c o r r e l a t i e c o ë f f i c i ë n t .

H e t is d u i d e l i j k dat men i n dat geval w e i n i g o f geen waarde aan de r i c h t i n g s c o ë f f i c i ë n t b i k a n hechten.

D i t geval doet zich voor b i j het bepalen van de regressie-v e r g e l i j k i n g u i t de gegeregressie-vens regressie-van een regressie-v o o r t s t u w i n g s p r o e f . D e schijnbare slip varieert daar zeer w e i n i g . D a a r o m is voor dat geval de methode o n t w i k k e l d w a a r b i j C i u i t de f o r m u l e

A P K

J ^ - ^ = CiS. + c geschat w o r d t .

O m dus een betrouwbare schatting van b , en bo te k u n n e n maken, is het nodig dat S y ' voldoende groot is ten opzichte v a n SS' (zie f i g . 8 b ) .

Twee verklarende variabelen: Y'' = bo + b^Xi + b^Xi Een analoog geval k a n zich voordoen b i j twee verklarende variabelen. V e r t o n e n de gemeten waarden een te kleine spreiding ten opzichte van de a f w i j k i n g e n v a n de regressie-v e r g e l i j k i n g e n ( f i g . 8c) dan k a n w e i n i g o f geen waarde gehecht w o r d e n aan de bepaalde bo, b , en bz.

Er doet zich hier nog een m o e i l i j k h e i d v o o r ;

Bestaat tussen de verklarende variabelen X , en X j een hoge correlatie (z.g. i n t e r c o r r e l a t i e ) dan moet het resultaat evenzeer g e w a n t r o u w d w o r d e n . ( O n d e r hoge correlatie tussen X , en Xz w o r d t verstaan: hoog ten opzichte v a n de totale c o r r e l a t i e c o ë f f i c i ë n t , zie ook V I I no. 4 ) .

Immers dan liggen dc meetpunten gegroepeerd o m een l i j n

die i n het te bepalen v l a k l i g t , zie f i g . 8d. O o k dan z i j n bo, b l en b , niet juist te bepalen.

O m i n het geval van twee verklarende variabelen een schat-t i n g v a n bo, b l en bz schat-te k u n n e n m a k e n moeschat-t dus aan de volgende voorwaarden voldaan z i j n .

1. X l en Xz moeten voldoende spreiding bezitten. 2. D e correlatie tussen X i en X , mag i n het algemeen niet

hoger z i j n dan de correlatie tussen Y en X i , Xz. Een andere w i j z e o m het gevonden resultaat te beoordelen is de „ m i d d e l b a r e f o u t " .

Deze w o r d t als v o l g t berekend: middelbare f o u t

= 1/

~ ' N

-w a a r i n N = het aantal -waarnemingen

p = het aantal vrijheidsgraden.

V o o r het enkelvoudige geval is p = 2; voor twee v e r -klarende variabelen is p = 3 enz.

D e middelbare f o u t k a n u i t g e d r u k t w o r d e n i n % v a n de gemiddelde Y , dus; F =

-|/_

N

S S ' X 100 %

V o o r een uitvoerige behandeling v a n de afleidingen w o r d t verwezen naar de diverse handboeken op d i t gebied. D e hier gegeven afleidingen moeten beschouwd w o r d e n als een eerste i n l e i d i n g op het gebied van de correlatierekening.

516

S C H I P E N W E R T

Voorbeelden

1. Enkelvoudige correlatie

A f l e i d i n g v a n de regressieformule u i t de gegevens v a n een n o r m a l e voortstuwingsproef + een overbelastingsproef.

, , , . A P K

H e t gezochte verband is ^.^y c,S, + c.

Stel A P K (O.IN)» = Y en S, = X , . A P K (O.IN)' Y X , A P K * (O.IN)" 8 3236 224 14,47 5,9 14,2 5 - 44 3626 251 14,44 6,1 14,30 — 37 4032 278 14,48 6,1 14,30 - 57 4474 310 14,42 6,3 14,34 — 29 4999 345 14,51 6,5 14,38 - 38 5602 386 14,52 7,0 14,48 — 15 6255 429 14,59 7,4 14,56 - 9 6975 476 14,64 7,9 14,65 — 2 7810 531 ' 14,70 8,6 14,79 + 43 8816 599 14,72 9,7 15,00 + 169 10183 682 14,94 11,1 15,27 + 231 5535 407 13,60 3,0 13,70 + 4 1 6237 443 14,10 5,6 14,21 + 58 6975 476 14,64 7,9 14,65 — 2 7745 512 15,13 10,1 15,08 — 24 8549 549 15,56 12,2 15,49 - 45 9385 589 15,95 14,2 15,88 — 32 10244 629 16,28 16,1 16,2 5 — 23 11115 670 16,59. 17,8 16,57 — 13 12008 710 16,92 19,4 16,89 — 16 12912 751 17,19 20,9 17,18 — 10 13 8 59 792 17,51 22,3 17,45 — 39 aantal gegevens 22.

D e bewerkingen z i j n uitgevoerd met een rekenmachine die de som v a n de k w a d r a t e n en de som v a n een reeks getallen i n é é n b e w e r k i n g u i t v o e r t . S Y = = 5092,2232 S Y = 333,90 Sy= = SY= -22 = 24,53 12 S X ' = 3090,37 i : X = 232,1 Sx= = SX= - = 641,71 S Y X = 3647,199 S x y = S X Y - = 124,554 Y =

f

= 15,18

— SX

X = = 10.6 R = S x y v / S x ' . S y ' 22 b = Y - a X = 13,12 0,993 S 3 ' = 104113 A P K = 7753 F =

]/

104113 X 100 = 0,93 % . D e f o r m u l e w o r d t : A P K (0,1N)--= 0,19 S, + 13,1

N . B . I n d i t geval is 3 berekend u i t het verschil tussen A P K en APK'--.

2. Kromlijnige regressie

Benadering van een K m - k r o m m e door een 3e graads parabool. Stel lO^Kn, = Y

10 A X H e t gezochte verband is

Y'-- = b„ - f b , X ' + b,X= + hJC

De bewerkingen z i j n uitgevoerd met een rekenmachine die van een reeks getallen de som van de k w a d r a t e n en de som i n één b e w e r k i n g u i t v o e r t . A a n t a l gegevens = 12. Y

X

• X'

X'

Y * 588 0 0 ' 0 588 561 1 • 1 1 561 532 2 4 8 532 500 3 9 27 500 463 4 16 64 463 422 5 25 125 422 377 6 36 216 377 326 7 49 343 326 270 8 64 512 269 206 9 81 729 207 136 10 100 1000 137 61 11 121 1331 60 • S Y

₌

4442 Y = 370,2 S X

₌

66 X = 5,5 SX-'

₌

506 X ' = 42,2 S X "

₌

43 56 X ' = 363,0 S X ^

₌

39974 • S Y X = \7676

sx-''

=

381876 S Y X ' = 109640 S X "

₌

-i749966 S Y X ' = 799554 S x ' S X ' - ( S X ) ' _ 12 143 S x ' S X ' -S X -S X ' 1573 S x ' S X ' -12 1573 Sx^

₌

sx* -

( S X ' ) ' 12 16016 S x ' = S X '

= sx°

-i^yx •JYX S y x ' = S Y X ' -S X ' -S X ' 12 ( S X ' ) ' 12 S Y S X 12 S Y S X ' = 198198 = 2168738 - y x S Y X ' 12 S Y S X ' 12 6755 = — .77664,3 = — 812892 De regressievergelijkingen l u i d e n ; S y x = b,Sx= -f- b , S x ' 4 - b3Sx* S y x ' = b , S x ' - f b,Sx* - f b3Sx° S y x ' = b i S x ' + b , S x ' - f baSx' . H i e r u i t v o l g t b l = — 24,98 b , = 1,23 b3 = — 0,078 b„ = Y - b , X i - b z X ' - b s X ' = 587,7

iScHip

E N W E R F

617

dimensie

D e f o r m u l e w o r d t :

Y * = 587,7 - 24,98 X - 1,23 - 0,078 X ' o f

. Km = 0,05877 - 0,02498 A - 0,0123 A= - 0,0078 A '

I n de tabel z i j n de Y'^waarden, volgens de gevonden f o r -mule vermeld.

D e verschillen met de uitgangswaarden z i j n uiterst gering. V I . N o m e n c l a t u u r

betekenis

askoppelconstante van de schroef

snelheidsgraad

snelheidsgraad b e t r o k k e n op v het aan de schroef toegevoerde vermogen

het, ter plaatse van de m e t i n g toe-gevoerde vermogen

askoppel v a n de schroef

aantal omwentelingen van de schroef aantal omwentelingen van de schroef gemiddelde intreesnelheid i n de schroef

snelheid van het schip ten opzichte van het water

snelheid van het schip ten opzichte v a n het water

spoed van de schroef

gemiddelde virtuele spoed v a n de schroef Km - M r^D'n' A = V e nD A ' = V A P K 27:Mn 75 p k APK,,, p k M k g m n sec~' N m i n ~ ' V c msec~ v msec" V k n H m m D P Ss '• V 1 -nil dimensie betekenis

m diameter van de schroef k g m " ' sec' dichtheid v a n het water

gemiddeld volgstroomgetal schijnbare slip % schijnbare slip m diepgang aantal schroefbladen o p p e r v l a k - v e r h o u d i n g v. de schroef c o r r e l a t i e - c o ë f f i c i ë n t % middelbare f o u t b l o k c o ë f f i c i ë n t o f a f w i j k i n g standaard deviatie v a n de reeks y w a a r i n N het aantal gegevens is V I I . L i t e r a t u u r l i j s t

1. Prof. Ir f . W. Bonebiikker: T h e application of statistical methods to the analysis of service performance data. N o r t h - E a s t Coast Inst, of E n g . and Shipb., 9 M r t . 1951.

2. Dr hig. Giiii/he Lchiiiaiiii: Neue statistische Methoden z u r A u s -wertung der Relsergebnisse von Seeschlffen. S c h i f f b a u 1 — 15 J u h 1938.

3. ƒ. A. van Aken: Methoden voor het bepalen van de virtuele spoed. Polytechnisch tijdschrift, 3 Mei 1949. Publicatie no. 80 van het N . S . P .

4. Dr J. G. Stridiron: Handboek der bedrijfseconomische statistiek. 5. Weergeven van waarnemingsreeksen. O n t w e r p normaalblad

V 1047.

6. Dr J. B. D. Derkscn: Inleiding tot de correlatierekening. Leiden

1935. S. T z F a / F R F 3