Binarne macierze porównań parami Możliwości zastosowań w zagadnieniach wyznaczania oceny grupowej

Pełen tekst

(1)BINARNE MACIERZE PORÓWNA PARAMI. MOLIWOCI ZASTOSOWA W ZAGADNIENIACH WYZNACZANIA OCENY GRUPOWEJ. HANNA BURY DARIUSZ WAGNER Instytut Bada Systemowych PAN. Streszczenie Przedstawiono zmodyfikowaną postaü macierzy porównaĔ parami. Zapis binarny zastosowano równieĪ do macierzy rozkładu głosów ekspertów, co ułatwiło badanie wystĊpowania cykli w ocenie grupowej oraz sformułowanie zadania wyznaczania oceny grupowej jako zadania optymalizacji. Binarna postaü macierzy porównaĔ parami umoĪliwia teĪ prosty zapis opinii ekspertów w przypadku, gdy eksperci podają porządek czĊĞciowy obiektów. Podano przykłady obliczeniowe. Słowa kluczowe: ocena grupowa, macierze porówna parami, porzdki czciowe, warunki przechodnioci ocen. 1. Wprowadzenie W zagadnieniach wyznaczania oceny grupowej istotne miejsce zajmuj metody wykorzystujce porównania obiektów parami. W sytuacji, gdy eksperci maj oceni wiele obiektów, ich uszeregowanie we właciwej (zdaniem eksperta) kolejnoci jest trudnym zadaniem. Porównywanie jedynie par obiektów znaczco ułatwia proces oceny. Wad tego prostego sposobu oceny obiektów jest fakt, e uzyskana w ten sposób opinia eksperta moe nie by przechodnia. Naley jednak podkreli, e macierze porówna obiektów parami stanowi wygodne narzdzie zapisu opinii ekspertów, szczególnie w przypadku porzdków czciowych, [5]. W pracy przedstawiono modyfikacj definicji klasycznej macierzy porówna obiektów parami i omówiono zagadnienia, których rozwizanie moe by ułatwione w wyniku zastosowania tego podejcia. 2. Definicje Niech 2 oznacza zbiór obiektów, Oi∈2, i=1, ..., n, a .={1,...,K} zbiór oceniajcych ekspertów. Przyjmujemy, e opinie ekspertów mog mie dwojak posta. (1) Po pierwsze mog to by uporzdkowania obiektów, przy czym zazwyczaj przyjmuje si uporzdkowanie od najlepszego (w sensie wybranego kryterium/ zbioru kryteriów) do najgorszego obiektu. Obiekty równowane, ujmowane w nawiasy, umieszczane s na tej samej pozycji, np. P = {O1, (O2, O3), O4, O5}. Ten zapis jest wygodny przy zapisie porzdków liniowych. (2) Po drugie eksperci mog porównywa obiekty parami. Oceny ekspertów podane w postaci uporzdkowa mona zawsze przedstawi w postaci porówna obiektów parami, ale zadanie odwrotne nie zawsze jest realizowalne. Zakładamy, e wszystkie rozwaane relacje midzy obiektami odnosz si do przyjtego kryterium (zbioru kryteriów) ich porównywania. Dla uproszczenia zapisu w dalszych rozwaaniach to załoenie jest pomijane..

(2) 136. Oi. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. Wprowadzimy nastpujce oznaczenia: k O j , jeeli zdaniem eksperta k obiekt Oi jest lepszy od Oj,. Oi ≈ k O j , jeeli zdaniem eksperta k obiekty Oi i Oj s równowane, Oi % k O j , jeeli zdaniem eksperta k obiekt Oj jest lepszy od obiektu Oi, Klasyczna macierz porówna obiektów parami podawana przez eksperta o numerze k jest definiowana jako, [6], A k = aijk , przy czym. [ ]. 1. a =

(3) 0. − 1. jeeli Oi. k. Oj. jeeli Oi ≈ O j .. k ij. (1). k. jeeli Oi % k O j. W pracy [2] omówiono propozycje rozszerzenia tej definicji na przypadek obiektów nieporównywalnych, m.in. podane przez Litvaka [7] oraz Cooka i in. [4]. Przyjmiemy oznaczenie Oi ⊥ k O j , jeeli zdaniem eksperta k obiektu Oi nie mona porównywa, w sensie przyjtego kryterium (zbioru kryteriów), z obiektem Oj. Wprowadzimy binarn macierz porówna parami B = [bij] zdefiniowan nastpujco (dla uproszczenia zapisu indeks k oznaczajcy numer eksperta został pominity).. Jeeli. Oi O j. Oi ≈ O j ,

(4). Oi % O j. O ⊥ O j i. bij = 1, b ji = 0 to. bij = 1, b ji = 1 bij = 0 , b ji = 1. bii = 1 .. ,. (2). bij = 0 , b ji = 0. Macierz B okrela relacj binarn ( , ≈, ⊥) na zbiorze obiektów 2. Przykład 1. Piciu ekspertów podało uporzdkowania czterech obiektów (bez obiektów równowanych). P1 : P4 :. O2, O4,. O1, O1,. O4, O3,. O3 O2. P2: O1, O2, O4, O3 P5: O1, O3, O2, O4. P3: O3, O2, O1, O4 (3). Zgodnie z definicj (2) binarne macierze porówna obiektów parami maj posta: B1 O1 O2 O3 O4 B4 O1 O2 O3 O4. O1 1 1 0 0 O1 1 0 0 1. O2 0 1 0 0 O2 1 1 1 1. O3 1 1 1 1 O3 1 0 1 1. O4 1 1 0 1 O4 0 0 0 1. B2 O1 O2 O3 O4 B5 O1 O2 O3 O4. O1 1 0 0 0 O1 1 0 0 0. O2 1 1 0 0 O2 1 1 1 0. O3 1 1 1 1 O3 1 0 1 0. O4 1 1 0 1 O4 1 1 1 1. B3 O1 O2 O3 O4. O1 1 1 1 0. O2 0 1 1 0. O3 0 0 1 0. O4 1 1 1 1. (3). Korzyci wynikajce z zastosowania binarnej macierzy porówna obiektów parami s dwojakie..

(5) Hanna Bury, Dariusz Wagner Binarne macierze porównaĔ parami. MoĪliwoĞci zastosowaĔ w zagadnieniach wyznaczania oceny grupowej.. 137. Po pierwsze – uwzgldnienie w definicji macierzy porówna parami przypadku obiektów nieporównywalnych umoliwia analiz porzdków czciowych obiektów zarówno w ocenach ekspertów, jak i w ocenie grupowej [2], [3]. Po drugie – dotycz zagadnie zwizanych z badaniem przechodnioci. Stosujc t macierz mona w prosty sposób sprawdzi przechodnio opinii podawanych przez ekspertów, jak równie oceny grupowej. Ponadto, mona łatwo wykry istnienie cykli w ocenie grupowej. W zagadnieniach zwizanych z wyznaczaniem oceny grupowej na podstawie porówna parami zapewnienie przechodnioci otrzymanego rozwizania stanowi istotny problem. Cook i in. [5] zastosowali algorytm podziału i ogranicze do wyznaczenia oceny grupowej metod mediany Kemeny’ego dla uporzdkowa czciowych. Przyjli oni załoenie, e w opiniach ekspertów mog wystpowa obiekty nieporównywalne, natomiast obiekty równowane wyłczyli z rozwaa. Przyjcie zapisu binarnego macierzy porówna obiektów parami umoliwia okrelenie warunku przechodnioci szukanego uporzdkowania i sformułowanie zadania wyznaczania oceny grupowej jako problemu optymalizacji dyskretnej [3] z uwzgldnieniem zarówno równowanoci, jak i nieporównywalnoci obiektów. Wiadomo, e wyznaczanie mediany Kemeny’ego jest zadaniem NP – trudnym, dlatego moliwo uproszczenia tego zadania jest warta zainteresowania. 3. Macierze rozkładu głosów ekspertów 3.1. Zakładamy brak obiektów równowanych w ocenach ekspertów Niech lij oznacza liczb ekspertów, którzy uznali, e obiekt Oi jest lepszy od obiektu Oj. Współczynniki lij wyznaczaj tzw. macierz rozkładu głosów ekspertów [8] O1 O2 On. L=. O1. −. l12. l1n. O2. l21. −. l2 n. . . . ln 2 . −. . . On. ln1. , gdzie lij + lji = K;. i, j = 1,…,n.. (4). Macierz rozkładu głosów ekspertów LB (z zastosowaniem binarnych macierzy porówna parami) definiujemy analogicznie, jak klasyczn macierz rozkładu głosów ekspertów L. Niech lB ij oznacza liczb ekspertów, których zdaniem Oi Oj. Na podstawie (2) mamy bijk = 1 , jeeli Oi k O j . K. Std l B ij = bijk .. (5). k =1. Przykład 2. Dla uporzdkowa podanych w przykładzie 1 macierze rozkładu głosów ekspertów maj posta:. L=. O1 O2 O3 O4. O1 0 2 1 1. O2 3 0 3 1. O3 4 2 0 3. O4 4 4 2 0. (6).

(6) 138. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. Po dodaniu do siebie macierzy Bk otrzymujemy. LB=. O1 O2 O3 O4. O1 5 2 1 1. O2 3 5 3 1. O3 4 2 5 3. O4 4 4 2 5. (7). Warto zauway, e w przypadku, gdy eksperci podaj liniowe uporzdkowania bez obiektów równowanych, macierz LB jest identyczna (z dokładnoci do wyrazów na przektnej głównej) z klasyczn macierz rozkładu głosów ekspertów L. 3.2. Zakładamy, e obiekty równowane w ocenach ekspertów s dopuszczalne W tym przypadku definicja macierzy rozkładu głosów ekspertów L wymaga modyfikacji [1]. Niech mij oznacza liczb ekspertów, których zdaniem obiekty Oi i Oj s równowane, tzn. Oi ≈ O j oraz l ij = lij + 0.5mij .. (8). gdzie mij – liczba ekspertów, których zdaniem Oi ≈ O j Macierz rozkładu głosów ekspertów ma wic posta L = [l ij ], l ij = lij + 0.5mij Mamy równie l ij + l ji = lij + 0.5mij + l ji + 0.5mij = lij + l ji + mij = K .. (9) (10). Definicja macierzy rozkładu głosów ekspertów L B (z zastosowaniem binarnych macierzy porówna obiektów parami) zostaje zmodyfikowana, jak nastpuje: K. 1 dla bijk > b kji . (11) L B = [l B ij ] , l B ij = s k bijk , gdzie s k =

(7) dla bijk = b kji k =1. 0.5 Std L = L B (z dokładnoci do wyrazów na przektnej głównej). Przykład 3. Piciu ekspertów podało uporzdkowania piciu obiektów (obiekty równowane s ujte w nawiasach). Obok podano macierz rozkładu głosów ekspertów. P1 : P2 : P3 : P4 : P5 :. O5, O1, O5, (O1, O1,. O1, O5, O3, O2), O5,. O3, (O2, O1, O3, O3,. O2, O3), O2, O4, O2,. O4 O4 O4 O5 O4. L=. O1 O2 O3 O4 O1 0 4.5 4 5 0 1.5 5 O2 0.5 O3 1 3.5 0 5 O4 0 0 0 0 O5 2 4 4 4. O5 3 1 1 1 0. (12).

(8) Hanna Bury, Dariusz Wagner Binarne macierze porównaĔ parami. MoĪliwoĞci zastosowaĔ w zagadnieniach wyznaczania oceny grupowej.. 139. Binarne macierze porówna parami maj posta B1 O1 O2 O3 O4 O5. O1 1 0 0 0 1. O2 1 1 1 0 1. O3 1 0 1 0 1. O4 1 1 1 1 1. O5 0 0 0 0 1. B2 O1 O2 O3 O4 O5. O1 1 0 0 0 0. O2 1 1 1 0 1. O3 1 1 1 0 1. O4 1 1 1 1 1. O5 1 0 0 0 1. B4 O1 O2 O3 O4 O5. O1 1 1 0 0 0. O2 1 1 0 0 0. O3 1 1 1 0 0. O4 1 1 1 1 0. O5 1 1 1 1 1. B5 O1 O2 O3 O4 O5. O1 1 0 0 0 0. O2 1 1 1 0 1. O3 1 0 1 0 1. O4 1 1 1 1 1. O5 1 0 0 0 1. B3 O1 O2 O3 O4 O5. O1 1 0 1 0 1. O2 1 1 1 0 1. O3 0 0 1 0 1. O4 1 1 1 1 1. O5 0 0 0 0 1. (13). Macierz L B wyznaczona z uwzgldnieniem (11) ma posta. LB =. O1 O2. O1 5 0.5. O2 4.5 5. O3 4 1.5. O3 O4 O5. 1 0 2. 3.5 0 4. 5 0 4. O4 5 5 5 5 4. O5 3 1. (14). 1 1 5. i jest zgodna z macierz L (z dokładnoci do wyrazów na przektnej głównej). W dalszych rozwaaniach bd stosowane oznaczenia L oraz LB a sposób wyznaczania macierzy rozkładu głosów ekspertów bdzie wynikał z obecnoci obiektów równowanych lub ich braku. 4. Badanie przechodnioci ocen ekspertów oraz oceny grupowej Z uwagi na fakt, e porównania obiektów parami stanowi relacje binarne celem zaproponowanej modyfikacji macierzy porówna parami było przedstawienie opinii ekspertów w postaci odpowiednich macierzy binarnych oraz wykorzystanie tych macierzy do formułowania warunków [9], jakie powinny spełnia opinie ekspertów – przede wszystkim warunku przechodnioci. Opinia P jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz binarna B spełnia warunek [9] B*B ≤ B (15) gdzie * oznacza iloczyn boole’owski macierzy. Wyraz o współrzdnych (i, j) iloczynu boole’owskiego B*B ma posta bi1⋅b1j ∨ bi2⋅b2j ∨ ... ∨ bik⋅bkj ∨ ... ∨ bin⋅bnj (16) Std warunek (15) przybiera posta bi1⋅b1j ∨ bi2⋅b2j ∨ ... ∨ bik⋅bkj ∨ ... ∨ bin⋅bnj bij, dla i, j = 1, …, n. (17).

(9) 140. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. 4.1. Sprawdzanie przechodnioci ocen ekspertów Przykład 4. Ekspert podał swoj opini dotyczc piciu obiektów w postaci macierzy porówna parami:. A=. O1 O2 O3 O4 O5. O1 0 -1 -1 1 -1. O2 1 0 1 1 1. O3 1 -1 0 1 1. O4 -1 -1 -1 0 1. O5 1 -1 -1 -1 0. (18). Opinii tej nie mona przedstawi w postaci uporzdkowania, w zwizku z czym naley sprawdzi czy opinia ta jest przechodnia. Mona pokaza [2], e macierze porówna parami – klasyczna A oraz binarna B s powizane zalenoci B = %(A+J), (19) gdzie J – macierz, której wszystkie elementy s równe 1, czyli bij = %(aij+1) oraz dla ( aij + 1 ) ≥ 1. 1 (20) % ( aij + 1 ) =

(10) dla ( aij + 1 ) < 1. 0 Binarna macierz porówna obiektów parami ma posta:. B=. O1 O2 O3 O4 O5. O1 1 0 0 1 0. O2 1 1 1 1 1. O3 1 0 1 1 1. O4 0 0 0 1 1. O5 1 0 0 0 1. (21). Warunek przechodnioci macierzy B mona przedstawi graficznie: O1 O1. O2. O3. O4 ⊗. O5 O1%O4. O2 O3 O5. O4%O5. ⊗. O4 ⊗. O5%O1. Rys. 1. Graficzna interpretacja warunku przechodnioĞci Symbol ⊗ oznacza, e dla danego elementu macierzy B nie jest spełniony warunek (15) B*B B. Posta graficzna warunku przechodnioci pozwala łatwo stwierdzi, czy w opinii podanej przez eksperta istnieje cykl. Z rysunku 1 wynika, e w rozpatrywanym przykładzie istnieje cykl O1% O4 % O5 %O1.

(11) Hanna Bury, Dariusz Wagner Binarne macierze porównaĔ parami. MoĪliwoĞci zastosowaĔ w zagadnieniach wyznaczania oceny grupowej.. 141. 4.2. Badanie przechodnioci oceny grupowej Analiza macierzy rozkładu głosów ekspertów pozwala na wyznaczenie oceny grupowej spełniajcej reguł wikszoci. Stwierdzenie obecnoci lub braku cyklu w istotny sposób upraszcza t analiz. Wprowadzimy pojcie binarnej macierzy rozkładu głosów ekspertów BL. lij ≥ l ji 1 (22) blij =

(12) w przeciwnym razie 0. Macierz binarna BL dla uporzdkowa podanych w przykładzie 1 ma posta O1 1 0 0 0. O1 O2 O3 O4. BL=. O2 1 1 1 0. O3 1 0 1 1. O4 1 1 0 1. (23). Warunek przechodnioci macierzy BL mona przedstawi graficznie: O1. O2. O3. O4. O1 O2. ⊗. O3. ⊗. O4. ⊗. Z macierzy rozkładu głosów ekspertów wynika, e obiekt O1 jest zwycizc w sensie Condorceta oraz, e istnieje cykl O2 % O3 % O4 % O2: O2 (24) O3 O4 Dla małej liczby obiektów wystpowanie cyklu w ocenie grupowej mona sprawdzi bezporednio. W przypadku wikszej liczby obiektów jest to kłopotliwe i zastosowanie binarnych macierzy porówna parami ułatwia t analiz. Przykład 5. Dziewiciu ekspertów podało uporzdkowania siedmiu obiektów (w nawiasach ujto obiekty równowane). Macierz rozkładu głosów ekspertów podano obok. P1 : P2 : P3 : P4 : P5 : P6 : P7 : P8 : P9 :. O7, O3, O4, O3, O3, O2, O3, O1, O2,. O1, (O4, (O1, O4, O4, O3, O4, (O3, O3,. O3, O5, O2, (O5, O5, (O1, O7, O4, O4,. O4, O7), O5), O6, O2, O4, O6, O5, O6,. O2, (O1, O6, O7), O1, O6), O2, O7), O1,. O5, O2), O3, (O1, O7, O7, O5, (O2, O5,. O6 O6 O7 O2) O6 O5 O1 O6) O7. L=. O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7. O1 0 5.5 6 6.5 4.5 3.5 4. O2 3.5 0 6 7 4.5 2.5 5. O3 3 3 0 1.5 1.5 1 1.5. O4 2.5 2 7.5 0 1 0.5 2. O5 4.5 4.5 7.5 8 0 3.5 4.5. O6 O7 5.5 5 6.5 4 8 7.5 8.5 7 5.5 4.5 0 3.5 5.5 0. (25).

(13) 142. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. Zasada wikszoci jest spełniona dla lij 5 >. 9 . 2. Binarna macierz BL ma posta. BL=. O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7. O1 1 1 1 1 1 0 0. O2 0 1 1 1 1 0 1. O3 0 0 1 0 0 0 0. O4 0 0 1 1 0 0 0. O5 O6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1. O7 1 0 1 1 1 0 1. O1 O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7. O2 ⊗. O3. O4. O5 O6. O7 ⊗. ⊗. (26). Z analizy macierzy BL wynika, e obiekt O3 jest zwycizc w sensie Condorceta. Ponadto macierz BL nie jest przechodnia, wystpuje cykl O1 % O2 % O7 % O1. 5. Porzdki cz ciowe. W dotychczasowych rozwaaniach zakładano, e eksperci porównuj ze sob wszystkie obiekty. W praktyce, np. w rankingu projektów naukowo-badawczych ocenianych w sensie przyjtego zbioru kryteriów [5], zdarza si, e nie wszystkie pary obiektów mog by porównywane bd , e eksperci podaj uporzdkowania wybranych obiektów. Sytuacje takie mog mie miejsce wówczas, gdy zbiór obiektów jest niejednorodny lub gdy eksperci podaj uporzdkowania tylko najwaniejszych – ich zdaniem – obiektów. Przykład 6 Dziewiciu ekspertów podało nastpujce uporzdkowania zbioru siedmiu obiektów. Eksperci pity i siódmy podali uporzdkowania podzbiorów piciu obiektów, ósmy ekspert podał uporzdkowanie podzbioru szeciu obiektów, przy czym uznał, e obiekty O6 i O7 s nieporównywalne w sensie przyjtego kryterium (zbioru kryteriów). P1 : P2 : P3 : P4 : P5 : P6 : P7 :. O1, O2, O7, O6, O1, O5, O3,. O5, O1, O6, O1, O4, O1, O5,. O3, O5, O1, O7, O6, O6, O2,. O7, O4, O5, O3, O3, O2, O4,. P8 :. O3,. O2,. O5,. O4. P9 :. O5,. O3,. O1,. O4,. O2, O7, O2, O5, O5 O4, O7. O4, O3, O3, O2,. O6, O6, O4 O4. O7,. O3. (27) O6. O6,. O7 O7,. O2.

(14) Hanna Bury, Dariusz Wagner Binarne macierze porównaĔ parami. MoĪliwoĞci zastosowaĔ w zagadnieniach wyznaczania oceny grupowej.. 143. Binarne macierze porówna parami dla wybranych uporzdkowa czciowych maj posta B5 O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7. O1 1 0 0 0 0 0 0. O2 0 1 0 0 0 0 0. O3 1 0 1 1 0 1 0. O4 1 0 0 1 0 0 0. O5 1 0 1 1 1 1 0. O6 1 0 0 1 0 1 0. O7 0 0 0 0 0 0 1. B7 O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7. O1 1 0 0 0 0 0 0. O2 0 1 1 0 1 0 0. O3 0 0 1 0 0 0 0. O4 0 1 1 1 1 0 0. O5 0 0 1 0 1 0 0. O6 0 0 0 0 0 1 0. O7 0 1 1 1 1 0 1. B8 O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7. O1 1 0 0 0 0 0 0. O2 0 1 0 0 0 0 0. O3 0 1 1 0 0 0 0. O4 0 1 1 1 1 0 0. O5 0 1 1 0 1 0 0. O6 0 1 1 1 1 1 0. O7 0 1 1 1 1 0 1. (28) Macierz rozkładu głosów ekspertów, wyznaczona na podstawie binarnych macierzy porówna parami jest nastpujca. O1 O2 O3 LB= O4 O5 O6 O7. O1 9 1 1 0 2 2 1. O2 5 9 4 1 6 4 4. O3 6 4 9 3 5 4 5. O4 7 7 6 9 8 3 3. O5 5 2 4 1 9 3 2. O6 5 3 4 5 5 9 3. O7 5 4 3 5 6 3 9. O1 O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7. O2. O3. O4. O5. O6. O7. ⊗ ⊗ ⊗. (29). ⊗ ⊗ ⊗. Analiza przechodnioci macierzy LB wskazuje na wystpowanie dwóch cykli O2 O4 O6 O2 oraz O3 O4 O7 O3 W przypadku porzdków czciowych, gdy nie definiuje si macierzy rozkładu głosów ekspertów, macierz LB umoliwia rozpatrzenie zalenoci midzy obiektami. Naley jednak zwróci uwag, e dla niektórych par obiektów nie obowizuje zaleno i mamy lij + lji < K. Uwzgldnienie w definicji binarnej macierzy porówna obiektów parami (2) przypadku nieporównywalnoci obiektów Oi ⊥ Oj rozszerza zakres analizowanych relacji midzy obiektami na przypadek porzdków czciowych zarówno w opiniach ekspertów, jak i w ocenie grupowej [3]. 6. Zadanie optymalizacji Niektóre zagadnienia zwizane z okrelaniem oceny grupowej na podstawie porówna parami, np. wyznaczanie mediany Kemeny’ego, mog by formułowane jako zadania optymalizacji [3]. Aby rozwizanie takiego zadania było poprawne, powinno mie charakter uporzdkowania, tzn. powinno spełnia okrelone warunki, zwłaszcza warunek przechodnioci. Przy zastosowaniu klasycznej macierzy porówna parami zapewnienie przechodnioci rozwiza jest utrudnione. Wprowadzenie binarnych macierzy porówna parami dziki zalenociom (15) i (17) w znacznym stopniu ułatwiło sformułowanie i rozwizanie tego problemu.. 6IRUPDWRZDQR&]FLRQND1LH 3RJUXELHQLH3ROVNL 8VXQLĊWR15 8VXQLĊWR17 6IRUPDWRZDQR&]FLRQND1LH 3RJUXELHQLH3ROVNL.

(15) 144. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. Przykład 7. Siedmiu ekspertów podało nastpujce uporzdkowania zbioru szeciu obiektów (obiekty równowane ujto w nawiasach). P1 : P2 : P3 : P4 : P5 : P6 : P7 :. O1, O4, (O2, (O3, (O1, O5, (O1,. O5, O1, O5), O6), O2, (O1, O2,. (O4, O2, (O1, O4, O6), O6), O4),. O6), O3, O6), O5, O4, (O2, O5,. O2, O6, O3, O2, O5, O3), O6,. O3 O5 O4 O1 O3 O4 O3. (30). Macierz rozkładu głosów ekspertów L ma posta. L=. O1 O2 O3 O4 O5 O6. O1 O2 O3 O4 O5 O6 0 4 6 4.5 4 4.5 3 0 5.5 3.5 3.5 3.5 1 1.5 0 3 2 1.5 2.5 3.5 4 0 4 2.5 3 3.5 5 3 0 4 2.5 3.5 5.5 4.5 3 0. O1 O1 O2 O3 O4 O5 O6. O2. O3. O4. O5. O6. (31) ⊗ ⊗ ⊗. Analiza przechodnioci macierzy L wskazuje na istnienie cyklu O4 O5 O6 O4 W dziedzinie porzdków liniowych ocena grupowa wyznaczona jako mediana Kemeny’ego to: O1, O1,. O2, O2,. O5, O6,. O6, O4,. O4, O5,. O3 O3. (32). Dla porzdków czciowych ocena grupowa jest inna i ma posta O5 O1,. O2. O3. (33). O6, O4. Odległoci [3] kadego z uporzdkowa (32) oraz (33) od zbioru uporzdkowa podanych przez ekspertów s takie same. Naley podkreli, e przyjcie okrelonej postaci oceny grupowej – czy to w postaci porzdku liniowego lub czciowego z obiektami równowanymi bd bez – naley do osoby odpowiedzialnej za przeprowadzenie ekspertyzy. Przykład 8. Dla uporzdkowa z przykładu 6 ocena grupowa (wyznaczona metod mediany Kemeny’ego) to: O2 O1,. O5. O4 O3. (34) O6 O7. Jeeli przyjmiemy, e obiekty nieporównywalne nie mog wystpowa w ocenie grupowej mediana Kemeny’ego przybierze posta:.

(16) Hanna Bury, Dariusz Wagner Binarne macierze porównaĔ parami. MoĪliwoĞci zastosowaĔ w zagadnieniach wyznaczania oceny grupowej.. 145. O1, O5, O2, O3, O4, O6, O7. (35) Uporzdkowanie (34) jest blisze (w sensie przyjtej definicji odległoci [3]) od zbioru uporzdkowa podanych przez ekspertów ni uporzdkowanie (35). 7. Podsumowanie W pracy przedstawiono moliwoci zastosowania binarnych macierzy porówna parami do wyznaczania oceny grupowej. Przyjta definicja uwzgldnia trzy relacje midzy obiektami: cisłej preferencji, równowanoci i nieporównywalnoci. W znanych autorom pracach zazwyczaj uwzgldniane s dwie z tych relacji – cisłej preferencji i równowanoci lub nieporównywalnoci. Przyjta definicja binarnej macierzy porówna zapewnia zgodno wyników uzyskiwanych za pomoc klasycznych i binarnych macierzy porówna parami. Szczególn uwag zwrócono na badanie przechodnioci ocen ekspertów oraz oceny grupowej. Zastosowanie twierdze odnoszcych si do relacji binarnych znaczco upraszcza wyznaczanie oceny grupowej metod mediany Kemeny’ego jako rozwizania zadania optymalizacji dyskretnej. %LEOLRJUDILD [1] Bury H., Wagner D., Group judgement with ties. A position-based approach, Operations Research and Decisions, 42009, pp. 17–26, Wrocław, 2010. [2] Bury H., Wagner D., Ocena grupowa dla porządków czĊĞciowych. Wyznaczanie odległoĞci, Studia i Materiały Polskiego Stowarzyszenia Zarzdzania Wiedz, no. 22, Bydgoszcz 2009, str. 43–52. [3] Bury H., Wagner D., The Kemeny median for partial rankings. Binary pairwise comparisons matrix approach, to appear in: K. T. Atanassov, W. Homenda, O. Hryniewicz, J. Kacprzyk, M. Krawczak, Z. Nahorski, E. Szmidt, S. Zadrony Eds., Developments in Fuzzy Sets, Intuitionistic Fuzzy Sets, Generalized Nets and Related Topics. Volume II: Applications, EXIT, Warszawa, 2010. [4] Cook W.D., Kress M., Seiford L.M., Information and preference in partial orders: a bimatrix representation, Psychometrika, vol. 50, no. 2, pp. 197–207, 1986. [5] Cook W.D., Golany B., Penn M., Raviv T., Creating a consensus ranking of proposals from reviewer’s partial ordinal rankings, Computers & Operations Research 34, pp. 954–965, 2007. [6] Kemeny J.G., Snell L.J., Preference Ranking: An Axiomatic Approach. In J.G. Kemeny and L.J. Snell, Mathematical Models in the Social Sciences, New York, Ginn, 1962. [7] Litvak B.G., Ekspertnaja informacija. Mietody połuczienija i analiza, Radio i Swjaz, Moskwa,1982. [8] Nurmi H., Comparing voting systems, Kluwer, Dordrecht/ Boston/ Lancaster, Tokio, 1987. [9] Ross K.A., Wright C.R.B., Matematyka dyskretna, wyd. 2, PWN Warszawa, 1999..

(17) 146. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. APPLICATION OF BINARY COMPARISON MATRICES FOR DETERMINING GROUP JUDGEMENT Summary In the paper a modified pairwise comparisons matrix is presented. The binary notation is also applied to outranking matrix, which enables one the investigation of the presence of cycles in experts’ and group judgment as well as formulation of the problem of determining the group judgment as an optimization problem. The binary form of the pairwise comparisons matrix makes also possible a convenient description of experts’ ranking when given as partial orders. Some numerical examples are given. Keywords: group judgement, pairwise comparisons matrix, partial orders, transitivity conditions.. Hanna Bury Dariusz Wagner Instytut Bada Systemowych PAN e-mail: Hanna.Bury@ibspan.waw.pl Dariusz.Wagner@ibspan.waw.pl.

(18)