Teoria grup w fizyce

R

YSZARD

G

ONCZAREK

TEORIA GRUP W FIZYCE

Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej Wroc³aw 2003

Recenzent Lucjan Jacak

Opracowanie redakcyjne i korekta Alina Kaczak

Projekt ok³adki

Zofia i Dariusz Godlewscy

© Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, Wroc³aw 2003

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ Wybrze¿e Wyspiañskiego 27, 50-370 Wroc³aw

ISBN 83-7085-745-0

SPIS TREŒCI

Wstêp . . . 5

1. Pojêcia podstawowe . . . 6

2. Morfizmy grup . . . 16

3. Grupy permutacji . . . 19

4. W³asnoœci grup symetrycznych . . . 24

5. Grupy klasyczne . . . 29

6. Ogólne w³asnoœci grup . . . 34

7. Podgrupy i ich w³asnoœci . . . 40

8. Grupy obrotów . . . 44

9. Grupy ci¹g³e . . . 46

10. Ca³kowanie na grupie Liego. . . 52

11. Grupy operatorowe . . . 55

12. Reprezentacje grup . . . 61

13. Wyznaczanie reprezentacji grup . . . 66

14. Reprezentacje unitarne . . . 73

15. Relacje ortogonalnoœci . . . 81

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji . . . 89

W

STÊP

Pojêcie grupy odgrywa fundamentaln¹ rolê we wspó³czesnej fizyce. Wynika to z faktu, ¿e w³asnoœci symetrii uk³adów, w których rozpatrywane s¹ poszczególne zjawiska fi-zyczne, tworz¹ grupê, a odpowiadaj¹ce im prawa fizyki staj¹ siê niezmiennicze wzglê-dem tej grupy. Podstawowy aparat matematyczny stosowany do badania tych zagadnieñ stanowi¹ metody teorii grup. Sama teoria grup jest bardzo rozleg³¹ i abstrakcyjn¹ dzie-dzin¹ matematyki, co powoduje wykorzystanie jej w zagadnieniach fizyki, narzuca po-trzebê selektywnego wyboru materia³u. Dlatego zdefiniowanie podstawowych pojêæ, wykazanie istniej¹cych zwi¹zków i ograniczeñ oraz poznanie metod stosowanych w ba-daniach grup i ich reprezentacji powinno dostarczyæ istotnych elementów wiedzy dla osób interesuj¹cych siê zagadnieniami fizyki wspó³czesnej.

Niniejszy podrêcznik stanowi zebranie materia³u wyk³adanego od wielu lat przez autora podrêcznika studentom kierunku fizyka Wydzia³u Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wroc³awskiej i powsta³ przy ich wspó³udziale.

6

1. P

OJÊCIA

PODSTAWOWE

Operacja zamkniêta, definicja grupy i okreœlenie jej w³asnoœci, grupy cykliczne i abelowe, rz¹d grupy, tabele mno¿enia grupowego, przyk³ady grup sk³adaj¹cych siê z kilku elementów, podgrupy

Definicja – Operacja zamkniêta

Niech G oznacza zbiór elementów i niech a, b ∈ G, wówczas dowolna operacja np. • „kropka” zdefiniowana na elementach zbioru G nazywa siê operacj¹ zamkniêt¹, je¿eli dla ka¿dej pary a, b ∈ G zachodzi a • b ∈ G.

Operacja • czêsto jest okreœlana jako „mno¿enie” i mo¿e ona oznaczaæ zwyk³e mno-¿enie liczb, ale tak¿e np. mnomno-¿enie macierzowe, dodawanie, dodawanie modulo, sk³a-danie (superpozycjê) itp. Z tego powodu symbol • jest czêsto zastêpowany przez · lub po prostu pomijany.

Definicja – Grupa

Grup¹ nazywamy parê {G, •}, tj. zbiór elementów G i operacjê zamkniêt¹ •, która spe³nia nastêpuj¹ce warunki:

1. £¹cznoœci, tzn. je¿eli a, b, c ∈ G to (a • b) • c = a • (b • c).

2. Istnieje element jednostkowy e taki, ¿e dla ka¿dego a ∈ G zachodzi a • e = e • a = a. 3. Dla ka¿dego a ∈ G istnieje element odwrotny a–1 _{taki, ¿e a}–1 _{• a = a • a}–1 _{= e.} Stwierdzenie. Podan¹ definicjê mo¿na ograniczyæ, zastêpuj¹c warunki 2 i 3 warunkami lewostronnymi, prawostronnymi lub mieszanymi, mo¿na np. uwzglêdniæ jedynie wa-runki prawostronne, tj.:

2'. Istnieje element jednostkowy prawostronny e taki, ¿e dla ka¿dego a ∈ G zachodzi  a • e = a.

3'. Dla ka¿dego a ∈ G istnieje element odwrotny prawostronny a–1 _{taki, ¿e a • a}–1 _{= e} zapewnia spe³nienie warunków lewostronnych, a zatem ogó³u warunków podanych w definicji grupy.

7

Dowód . (Symbol • zosta³ pominiêty)

Nale¿y pokazaæ, ¿e je¿eli ae = a i aa–1 _{= e, to ea = a i a}–1_{a = e. Poniewa¿ a}–1 _{∈ G,} zatem (a–1₎–1 _{∈ G jest odwrotny do a}–1_{, z czego wynikaj¹ nastêpuj¹ce relacje:}

a a e a a e a a a a a a a a a a a a a a a e a a a e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ] ) ( [ ) ( ) ( ] ) ( [ ) ( ] ) ( [ ) ( ) ( ) ( − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = = = = = = = =

czyli z warunku aa–1 _{= e wynika relacja a}–1_{a = e, a ponadto jedynka prawostronna jest} równa jedynce lewostronnej, gdy¿

ea a a a a aa a a a ae a= = ( −1 )=( −1) =( −1 ) =

Stwierdzenie. Udowodniona w³asnoœæ jest s³uszna dla grup, ale nie musi byæ s³uszna dla ogólnych operacji liniowych.

LEMAT. Dla ka¿dego elementu grupy a ∈ G zachodzi (a–1₎–1 _{= a} Dowód . _a=ae=a[a−1_(a−1₎−1_]=(aa−1_)(a−1₎−1_=e(a−1₎−1_=(a−1₎−1

Definicja – Grupa abelowa lub przemienna

Grupa {G, •} jest grup¹ abelow¹ zwan¹ tak¿e przemienn¹, je¿eli dla ka¿dej pary a, b ∈ G spe³niony jest zwi¹zek a • b = b • a.

Definicja – Rz¹d grupy

Rz¹d grupy G – to liczba elementów grupy oznaczana jako n. Je¿eli n jest skoñczone (n < ∞), to grupa jest skoñczonego rzêdu, je¿eli n = ∞ to grupa jest nieskoñczonego rzêdu.

Okreœlanie w³asnoœci grup – przyk³ady

PRZYK£AD 1

Grupa jednoelementowa jest najprostsz¹ mo¿liw¹ grup¹, która tak¿e musi spe³niaæ wszy-stkie warunki grupy. Poniewa¿ grupa powinna mieæ element neutralny, wiêc G = {e}, a dla dowolnej operacji • zachodzi e • e ∈ G oraz e–1 _{= e i e}–1 _{∈ G. Realizacj¹ takiej} grupy jest para, której zbiór jednoelementowy zawiera liczbê 1, a • oznacza zwyk³e mno-¿enie liczb.

8

Definicja – Tabela mno¿enia dla grupy

Tabela mno¿enia dla grupy podaje wszystkie operacje mno¿enia elementów grupy. PRZYK£AD 2

Grupa dwuelementowa G = {e, a}, • oznacza mno¿enie na grupie.

Poniewa¿ s¹ s³uszne relacje: e • e = e i a • a ∈ G, wiêc a • a = e albo a • a = a. Je¿eli a • a = a, to (a • a) • a–1 _{= a • a}–1 _{= e, z czego wynik, ¿e a • (a • a}–1_{) = e, wiêc} a • e = e i a = e, co jest sprzeczne z za³o¿eniem o elementach grupy, gdy¿ a ≠ e, a zatem a • a = e.

Elementem odwrotnym a–1 _{jest e albo a. Gdyby a}–1 _{= e, to a}–1 _{• a = e • a i e = a,} czyli sprzecznoœæ, a zatem a–1 _{= a.}

Tabela mno¿enia dla grupy dwuelementowej e a

e e a a a e

Na przyk³ad G = {1, –1} (e = 1 a = –1) i • oznacza mno¿enie liczb. 1 –1

1 1 –1 –1 –1 1

Na przyk³ad G = {0, 1} oraz • oznacza dodawanie modulo 2, tj. a ⊕₂ b ≡ (a + b) (mod 2) jest reszt¹ z dodawania po wy³¹czeniu liczby podzielnej przez 2, czyli parzy-stej.

0 1

0 0 1

1 1 0

Na przyk³ad G jest zbiorem permutacji w zbiorze dwuelementowym, wówczas per-mutacja to¿samoœciowa jest jedynk¹ grupy e, a perper-mutacja przestawiaj¹ca elementy zbioru jest drugim elementem grupy a

( )

a,b →e

( )

a,b oraz

( )

_{a,b →}a

( )

_{b,a →}a

( )

_a,b

9

Elementy e i a spe³niaj¹ relacje okreœlone w pierwszej tabeli. Operacja kropka • mo¿e zarówno oznaczaæ np. mno¿enie, dodawanie modulo, jak i sk³adanie permutacji, co ozna-cza, ¿e ogólne w³asnoœci i relacje miêdzy poszczególnymi elementami s¹ spe³nione w ka¿dym przypadku realizacji danej grupy.

Definicja – Izomorfizm

Dwie grupy nazywamy izomorficznymi, je¿eli istnieje jednoznaczna odpowiednioœæ miêdzy elementami tych grup zachowuj¹ca dzia³anie grupowe. Dla grup izomorficznych G z operacj¹ • i G' z operacj¹ ×, gdzie elementom grupy G odpowiadaj¹ tak samo ozna-czone, ale z primami elementy grupy G', dla dowolnej pary elementów grupy G zacho-dzi relacja (a • b)' = a' × b'.

Stwierdzenie. Grupy izomorficzne s¹ jednakowego rzêdu. Grupy o tym samym rzêdzie nie musz¹ byæ izomorficzne.

Stwierdzenie. Wszystkie grupy dwuelementowe s¹ izomorficzne.

Stwierdzenie. Ustalenie wartoœci tabeli mno¿enia na grupie dokonuje siê drog¹ elimina-cji sprzecznych relaelimina-cji. Dla wielu grup mog¹ istnieæ ró¿ne, nie wykluczaj¹ce siê wzaje-mnie mo¿liwoœci, okreœlenia mno¿enia na grupie.

PRZYK£AD 3

Grupa trzyelementowa G = {e, a, b}, • oznacza mno¿enie na grupie. Eliminacja sprzecznych relacji:

a • b ∈ G, zatem

     = • b a e b a

Gdyby a • b = a, wówczas po pomno¿eniu przez a–1_{•, tj. (a}–1 _{• a) • b = a}–1 _{• a,} otrzymuje siê e • b = e, czyli b = e, czyli sprzecznoœæ. Podobnie w pozosta³ych przy-padkach       = ⇒ = ⇒ = • æ sprzecznoœ æ sprzecznoœ e a b e b a e a b       = • ⇒ = ⇒ = • ⇒ = ⇒ • = • ⇒ = • ⇒ = = • b a a b e a a a a a b a b a a a e b a e a a a sprzecznoœæ æ sprzecznoœ 2 1. Pojêcia podstawowe

10       = ⇒ = • ⇒ = • ⇒ = ⇒ • = • ⇒ = • ⇒ = = • æ sprzecznoœ æ sprzecznoœ 2 e b b b b b a b b a a b b a b b e b b e b b b

Dla elementów grupy e, a, b zachodz¹ zatem relacje a2 _{= b oraz a}3 _{= a • b = e, co} pozwala przedstawiaæ grupê trzyelementow¹ w postaci G = {e, a, a2_{}, gdzie a}3 _{= e.} Tabela mno¿enia dla grupy ma postaæ:

e a b

e e a b

a a b e

b b e a

Przyk³ad realizacji grupy – pierwiastki jednoœci. Poniewa¿ _1=e2πi _{, wiêc} 3 2 3 1 1 i e π = , a wiêc 1 , , 3 2 6 3 3 4 2 3 2 2 3 2 = = = = = = = π π π ⋅ π π i i i i i e e a e e b a e a oraz 1, , 3 . 4 3 2         = π πi i e e G

Stwierdzenie. Zawsze istniej¹ grupy postaci G = {e, a, a2_{, a}3_{, a}n–1_{}, gdzie a}n _{= e. S¹ to} np. grupy n pierwiastków n-tego stopnia z jednoœci, gdzie

1 , 1 , 2 2 2 = = =         = =_e π _{a e} π _e π _e a i n n i n n i

Stwierdzenie. Zawsze istniej¹ grupy dowolnego skoñczonego rzêdu n.

Stwierdzenie. Dla dowolnej grupy G i dowolnego elementu a ∈ G mo¿na utworzyæ ci¹g

a

0

_{= e, a}

1

_{= a, a}

2

_{, a}

3

_{, …, a}

i

_{,… Je¿eli istnieje n < ∞, takie ¿e a}

n

_{= e, to element a}

jest skoñczonego rzêdu n

. W przeciwnym przypadku rz¹d elementu a jest nieskoñ-czony.

Stwierdzenie. Elementy e = a0_{, a}1_{, a}2_{, a}3_{, ..., a}n–1 _{s¹ ró¿ne, gdy a jest rzêdu n (a}n _{= e).}

11

Dowód. Nie wprost

Niech ai _{= a}j_{, gdy 0 ≤ i < j ≤ n – 1. Wówczas} i₍ i₎−1₌ j₍ i₎−1 a a a

a , a zatem e = aj–i

dla

0 < j – i < n.

LEMAT. (a • b)–1 _{= b}–1 _{• a}–1 _{dla dowolnych a, b ∈ G .}

Dowód. e = (a • b)–1 _{(a • b) = (b}–1 _{• a}–1_{) • (a • b) = b}–1 _{• (a}–1 _{• a) • b = e} LEMAT.

( )

a

−1 −1

=

a

Dowód.

( )

a

−1 −1

•

a

−1

=

a

•

a

−1

=

e

Definicja – Grupa cykliczna rzêdu n

Gdy wszystkie elementy grupy G

{

₁₄₂₄₃

}

n

b a e, , ,...

= mo¿na zapisaæ w postaci G = {e, a, a2_, a3_{, ..., a}n–1_{} oraz a}n _{= e, wówczas grupa G nazywa siê cykliczn¹ i jest rzêdu n.}

Stwierdzenie. Wszystkie grupy 1-, 2-, lub 3-elementowe s¹ wy³¹cznie cykliczne. PRZYK£AD 4

Grupa czteroelementowa G = {e, a, b, c}, • oznacza mno¿enie na grupie.

Stwierdzenie. Dla grup 4-elementowych istniej¹ dwie nieizomorficzne formy ich reali-zacji, gdy¿        ⇒ = ⇒ = ⇒ = c b e a a a a e a2 2 sprzecznoœæ Za³o¿enie 1. a2 _{= b, wówczas}         = ⇒ = • ⇒ = ⇒ = • ⇒ = = • ⇒ = ⇒ = • ⇒ = • e e a c c a c c a a c a a b c a b e c a c a a c a æ sprzecznoœ æ sprzecznoœ æ sprzecznoœ 2 2 1. Pojêcia podstawowe

12 oraz         = ⇒ = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ • = ⇒ = ⇒ = c e a a a b a b e b e a a a a c b c a c a a e a e a æ sprzecznoœ æ sprzecznoœ æ sprzecznoœ 2 3 3 2 3 2 3 3 3

zatem a4 _{= e oraz}

_a

3

₌

_a

2

_•

_a

₌

_b

_•

_a

₌

_a

_•

_b

₌

_c

_{. W tym przypadku grupa}

} , , , {_{e a b=a}2 _c=a3 =

G jest grup¹ cykliczn¹. Tabela mno¿enia ma postaæ: e a b c

e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b

Za³o¿enie 2. a2 _{= a prowadzi do sprzecznoœci: a = e.}

Za³o¿enie 3. a2 _{= c jest równowa¿ne za³o¿eniu 1, gdy¿ element c nie jest w ¿aden} sposób wyró¿niony w stosunku do elementu b. W tym przypadku grupa G

₌

{

_e

,

_a

,

_c

₌

_a

2

,

_b

₌

_a

3

}

_{jest tak¿e grup¹ cykliczn¹.}

Za³o¿enie 4.

a2 _{= e}

_{prowadzi do nastêpuj¹cych mo¿liwoœci}

        ⇒ = ⇒ = • ⇒ ⇒ = ⇒ = • ⇒ ⇒ = ⇒ = = • ⇒ = • c e a b b a b e b a b a a a b a e b a e b a æ sprzecznoœ æ sprzecznoœ æ sprzecznoœ 2

oraz

       ⇒ = ⇒ = • ⇒ ⇒ = ⇒ = • ⇒ ⇒ = ⇒ = = • ⇒ = • æ sprzecznoœ æ sprzecznoœ æ sprzecznoœ 2 e a c c a c b e c a c a a a c a e c a e c a 1. Pojêcia podstawowe

13

Analogicznie mo¿na wykazaæ, gdy¿ nie ma innych mo¿liwoœci, ¿e b • a = c oraz c • a = b. Uwzglêdniwszy, ¿e c2 _{= (b • a) • (a • b) = (b • (a • a)) • b oraz a}2 _{= e,} otrzymuje siê relacjê b2 _{= c}2_{, która prowadzi do nastêpuj¹cych mo¿liwoœci}

        ⇒ = ⇒ = = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = æ sprzecznoœ æ sprzecznoœ 2 2 2 2 2 2 2 2 e c c c b c e b b b b a c b a e c b e b Za³o¿enie 4a. b2 _{= c}2 _{= a}

Po pomno¿eniu a = b2 _{przez a i wykorzystaniu podanych zwi¹zków otrzymuje siê} e = (a • b) • b = c • b oraz e = b • (b • a) = b • c. W tym przypadku tabela mno¿enia dla grupy ma postaæ:

e a b c e e a b c a a e c b b b c a e c c b e a

Po dokonaniu wzajemnie jednoznacznej zamiany elementów a i b (a ↔ ) powy¿szab tabela uzyskuje postaæ

e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b

która jest identyczna z tabel¹ mno¿enia dla grupy otrzyman¹ przy za³o¿eniu, ¿e a2 = b, zatem przyjmuj¹c, ¿e a2 _{= e oraz b}2 _{= c}2 _{= a otrzymuje siê grupê cykliczn¹.}

Za³o¿enie 4b. b2 _{= c}2 _{= e}

Po pomno¿eniu a • b = c i b • a = c przez b i wykorzystaniu podanych zwi¹zków otrzymuje siê kolejne relacje: a = c • b oraz a = b • c. W tym przypadku tabela mno¿e-nia dla grupy ma postaæ

14 e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e

w której na diagonali znajduje siê zawsze element neutralny e. Tabeli tej nie mo¿na po-przez zamianê zmiennych sprowadziæ do postaci uzyskanych dla grupy cyklicznej. Stwierdzenie. Grupa o relacjach podanych w powy¿szej tabeli nie jest grup¹ cykliczn¹. To tzw. czterogrupa.

Stwierdzenie. Dla grupach czteroelementowych istniej¹ dwie ró¿ne, nieizomorficzne ich formy. S¹ to grupa cykliczna i czterogrupa. Obie grupy s¹ abelowe (przemienne). Stwierdzenie. Wœród mo¿liwych grup dowolnego rzêdu n zawsze istniej¹ grupy cykliczne. Grupy cykliczne s¹ abelowe. Je¿eli liczba elementów grupy jest liczb¹ pierwsz¹, to gru-pa mo¿e byæ tylko grup¹ cykliczn¹.

PRZYK£AD

Przyk³adem realizacji czterogrupy jest grupa symetrii prostok¹ta C_2v, która zawiera zbiór wszystkich przekszta³ceñ prostok¹ta zmieniaj¹cych jego po³o¿enia w przestrzeni R2_{. Grupê C}

2v = {e, a, b, c} tworz¹ nastêpuj¹ce elementy symetrii: 1. e – przekszta³cenie to¿samoœciowe,

2. a – obrót o k¹t 180° wzglêdem osi OZ, 3. b – odbicie wzglêdem osi OX,

4. c – odbicie wzglêdem osi OY.

Elementy a2 _{= b}2 _{= c}2 _{= e definiuj¹ przekszta³cenia to¿samoœciowe, natomiast z³o¿enie} dwóch elementów odbicia daj¹ obrót: b • c = a. Ponadto a • b = c i a • c = b.

Definicja – Podgrupa

Zbiór elementów H zawarty w w grupie G (H ⊂ G ) nazywamy podgrup¹ grupy G, gdy 1. e ∈ H,

2. a, b ∈ H, to a • b ∈ H, 3. a ∈ H, to a–1 _{∈ H,}

tzn. H jest grup¹ zawart¹ w grupie G. PRZYK£AD

W czterogrupie G = {e, a, b, c} zbiory H₁, H₂ i H₃ tworz¹ podgrupy:

15 c c e c c e H b b e b b e H a a e a a e H = = = = = = = = = − − − 1 2 3 1 2 2 1 2 1 , }, , { , }, , { , }, , {

Stwierdzenie. W ka¿dej skoñczonej grupie G, ci¹g elementów {a, a2_{, a}3_{,..., a}n _{= e}, gdzie} n jest rzêdem elementu, a ∈ G stanowi podgrupê cykliczn¹ grupy G.

Stwierdzenie. Je¿eli grupa G jest rzêdu n i sk³ada siê z elementów G={a1,a2,...,an}, to w ci¹gach a₁⋅a_i,a₂⋅a_i,...,a_n⋅a_i (a_i∈G) oraz aj⋅a1,aj⋅a2,...,aj⋅an (aj∈G)

ka¿-dy element mo¿e wystêpowaæ tylko jeden raz.

Dowód. Nie wprost

Niech a_k ≠ a_l oraz a_k⋅a_i =a_l⋅a_i ⇒(a_k⋅a_i)⋅a_i−1=(a_l⋅a_i)⋅a_i−1⇒a_k =a_l, czyli sprzecznoœæ.

Wniosek. W tabelach mno¿enia dla grupy w ka¿dym rzêdzie i w ka¿dej kolumnie dany element mo¿e wystêpowaæ tylko jeden raz.

Stwierdzenie. Przedstawione badania relacji grupowych – to badania indukcyjne. Mog¹ byæ one prowadzone dla grup 5, 6,... rzêdu, ale jest to ma³o pouczaj¹ce, a same badania szybko siê komplikuj¹. Wyj¹tek stanowi¹ grupy, których rz¹d jest liczb¹ pierwsz¹. Gru-pa rzêdun = 5 jest tylko cykliczna. Dla zbioru 6 elementów istnieje kilka mo¿liwoœci utworzenia grupy. W zbiorze tych grup istniej¹ grupy nieabelowe (nieprzemienne), ale istnieje tak¿e grupa cykliczna.

Stwierdzenie. Grupy nieskoñczonego rzêdu mog¹ byæ przemienne np. grupa liczb ca³-kowitych z operacj¹ dodawania, gdy¿ dla dowolnych a i b, a + b = b + a, e = 0 oraz a–1 _{= –a, lub nieprzemienne, jak np. grupa macierzy unitarnych (U • U}–1 _{= E) z} opera-cj¹ mno¿enia macierzowego, gdy¿ w ogólnoœci U₁ • U₂ ≠ U₂ • U₁.

16

2. M

ORFIZMY

GRUP

Odwzorowania grup – morfizmy. Homomorfizm, epimorfizm, monomorfizm, izo-morfizm, endoizo-morfizm, automorfizm. J¹dro homomorfizmu

Odwzorowania zbioru X w zbiór Y za pomoc¹ funkcji f wyra¿a siê nastêpuj¹co f : X → Y. Wówczas X jest dziedzin¹, Y – przeciwdziedzin¹, a Im f = {f(x), x ∈ X} = f(X) = Y₀ ⊂ Y tworzy tzw. obraz. Zbiór f–1_(Y

0) = {x ∈ X, f(x) = Y0} to tzw. przeciwobraz. Pojêcia te staj¹ siê istotne przy definiowaniu odwzorowañ o szczególnych w³asnoœciach i pozwalaj¹ okreœliæ nastêpuj¹ce ich rodzaje:

f f–1 przeciwobraz X – dziedzina Y – przeciwdziedzina obraz

Rysunek. Elementy odwzorowania

• Odwzorowanie zbioru „na” zbiór nazywa siê surjekcj¹ lub odwzorowaniem surjek-tywnym.

• Ró¿nowartoœciowe odwzorowanie zbioru w zbiór „1÷1” to injekcja lub odwzorowa-nie injektywne.

• Ró¿nowartoœciowe odwzorowanie zbioru na zbiór (surjekcja i injekcja) to bijekcja lub odwzorowanie bijektywne.

• Ponadto z³o¿enie dwóch odwzorowañ nazywa siê superpozycj¹ odwzorowañ. f

17

Stwierdzenie. Formalne ujêcie w³asnoœci obiektów matematycznych okreœla siê termi-nem kategorii, który mieœci w sobie pojêcia obiektów i morfizmów (przekszta³ceñ). W kategorii zbiorów obiektami s¹ zbiory, a morfizmami ich odwzorowania, w kategorii grup natomiast obiektami s¹ grupy, a morfizmami poni¿ej zdefiniowane przekszta³ce-nia.

Definicja – Homomorfizm

Odwzorowanie f : {G, •} → {G', ×}, które zachowuje dzia³anie grupowe nazywa siê homomorfizmem, co oznacza, ¿e je¿eli a, b ∈ G oraz

f

:

a

→

a

,'

f

:

b

→

b

'

, to

zachodzi relacja:

(

a

•

b

)

'

=

a

'

×

b

'

.

Definicja – Endomorfizm

Endomorfizm to homomorfizm grupy w siebie. Definicja – Epimorfizm

Epimorfizm to homomorfizm surjektywny, czyli „na” tj. grupy na grupê. Definicja – Monomorfizm

Monomorfizm to homomorfizm injektywny, czyli „1÷1” tj. ró¿nowartoœciowy. Definicja – Izomorfizm (por. s. 9)

Izomorfizm to homomorfizm bijektywny, czyli ró¿nowartoœciowy i „na”, wówczas ka¿demu elementowi jest przyporz¹dkowany dok³adnie jeden element, a rzêdy obu grup s¹ jednakowe.

Definicja – J¹dro homomorfizmu

J¹drem homomorfizmu f nazywamy zbiór Ker f = {a ∈ G, ¿e f(a) = e', gdzie e' jest jedynk¹ grupy G'}.

Stwierdzenie. Je¿eli j¹dro epimorfizmu Ker f = {e}, to epimorfizm jest izomorfizmem. Dowód. Nie wprost

Niech dla jakichœ a, b ∈ G oraz a ≠ b zachodzi równoœæ f(a) = f (b). Wynika st¹d, ¿e

f

(

b

•

a

−1

)

=

f

(

b

)

×

f

(

a

−1

)

=

f

(

a

)

×

[

f

(

a

)

]

−1

=

e

'

, ale j¹dro epimorfizmu jest

jed-nowartoœciowe, zatem b • a–1 _{= e, czyli b = a, a wiêc sprzecznoœæ.} Stwierdzenie. Zbiór H = Ker f jest podgrup¹ grupy G.

Dowód.

1. Operacja zamkniêta. Je¿eli a, b ∈ H, to a • b ∈ H, gdy¿

'

'

'

)

(

)

(

)

(

a

b

f

a

f

b

e

e

e

f

•

=

×

=

×

=

.

2. Element odwrotny. Je¿eli a ∈ H, to a–1 _{∈ H, gdy¿}

_f

₍

_a

−1

₎

₌

[

_f

₍

_a

₎

]

−1

₌

_e

_'

−1

₌

_e

_'

_. 2. Morfizmy grup

18

3. Element jednostkowy e ∈ H, gdy¿

[

f a

]

e e e a f a a f e f_{( )}= ₍ • −1₎= _{( )}× _{( )} −1= ′× ′= ′_. Definicja – Automorfizm

Izomorfizm grupy w siebie to automorfizm.

Stwierdzenie. Zbiór automorfizmów Aut(G) = {e_G, ϕ, ψ, χ, ...} z operacj¹ superpozycji tworzy grupê. Jest to podgrupa grupy S(G) wszystkich bijekcji zbioru G w siebie.

19

3. G

RUPY

PERMUTACJI

Grupa symetryczna i alternuj¹ca, cykle przejœcia, transpozycje, parzystoœæ per-mutacji, przyk³ady grup symetrycznych nieabelowych

Definicja – Grupa symetryczna

Grupa S(G) – grupa wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowañ n-elemen-towego zbioru G w siebie tworzy tzw. n-t¹ grupê symetryczn¹ S_n.

Stwierdzenie. Grupa symetryczna S_n to grupa permutacji n elementów w siebie i jest rzêdu n!.

Definicja – Elementy grupy S_n

Elementami grupy symetrycznej S_n s¹ ró¿nowartoœciowe odwzorowania (permuta-cje), które oznacza siê nastêpuj¹co:

}, ,. .. , , , { .. . 1 .. . 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1 n n n i m m m m m m m m m n n p _=       − = −

gdzie {m₁, m₂, m₃, ..., m_n} to pewne ustawienie zbioru pierwszych n liczb naturalnych w stosunku do porz¹dku naturalnego.

Stwierdzenie. Elementy p_i grupy symetrycznej S₆ s¹ np. postaci:         = 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 i p

W grupie symetrycznej S₆ znajduje siê 6! = 720 ró¿nych elementów p_i.

20 2 2 2)(25)(34) 16 ( 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 =         = i p lub 1 2 3 )(24)(5) 163 ( 3 5 2 1 4 6 6 5 4 3 2 1 =         = j p

Takie wyra¿enie permutacji przez cykle, to rozbicie permutacji na cykle roz³¹czne. Cykle te w zale¿noœci od permutacji mog¹ byæ ró¿nej d³ugoœci. W podanych przyk³a-dach ich d³ugoœæ wynosi 1, 2, lub 3.

Definicja – D³ugoœæ cyklu

Cykl zawieraj¹cy l elementów jest cyklem o d³ugoœci l.

Stwierdzenie. Cykle jednoelementowe przekszta³caj¹ element zbioru w siebie. Stwierdzenie. Wyró¿nione cykle s¹ zamkniête i roz³¹czne.

Stwierdzenie. Dzia³anie cyklu na zbiór uporz¹dkowany naturalnie mo¿na przedstawiæ nastêpuj¹co, np.: } , , , , , { } , , , , , ){ (163 12 3 4 56 = 6 2145 3 ,

lub odpowiednio w uproszczonej formie: (163){136}={613}, co odpowiada roz³o¿eniu permutacji na cykle roz³¹czne i pominiêciu jednoelementowych (2), (4) i (5) cykli to¿samoœciowych, tj.: ) 163 ( 3 5 4 1 2 6 6 5 4 3 2 1 =         = k p

Stwierdzenie. Efekt permutacji nie zale¿y od kolejnoœci wykonywania przestawieñ w cyklu, tzn. od tego, który element cyklu jest pocz¹tkowy. Dlatego w cyklach zamkniê-tych, elementy tych cykli mo¿na przestawiaæ cyklicznie, np.: (163) = (316) = (631). Definicja – Transpozycje

Cykle dwuelementowe to tzw. transpozycje.

Stwierdzenie. Dowolny cykl mo¿na przedstawiæ jako iloczyn transpozycji, które nie musz¹ byæ roz³¹czne, np.:

(163) = (13)(16), wówczas (13)(16){136} = (13){631} = {613}

lub korzystaj¹c z równowa¿noœci cykli roz³¹cznych (163) i (316) mo¿na otrzymaæ

21

(316) = (36)(31), wówczas tak¿e (36)(31){136} = (36){316} = {613}.

Stwierdzenie. Dla cykli roz³¹cznych kolejnoœæ wykonywania dzia³añ jest nieistotna, natomiast dla cykli nieroz³¹cznych kolejnoœæ wykonywania dzia³añ jest istotna, np.:

(31)(36){136} = (31){163} = {361} ≠ {613}, zatem (31)(36) ≠ (36)(31).

Stwierdzenie. Rozk³ad cyklu na transpozycje nieroz³¹czne nie jest jednoznaczny. Istnie-j¹ zawsze ró¿ne mo¿liwoœci roz³o¿enia, np.: (163) = (13)(16) lub (163) = (631) = (61)(63). Stwierdzenie. Rozk³ad cyklu (1234...n) o d³ugoœci n na transpozycje mo¿na zawsze wy-raziæ w jednej z nastêpuj¹cych form:

(1 2 3 4 ... n) = (1 n)(1 n–1)(1 n– 2)...(1 3)(1 2), (2 3 4 ... n 1) = (2 1)(2 n)(2 n– 1)...(2 4)(2 3), . . . (n 1 2 ... n –1) = (n n –1)(n n –2)(n n– 3)...(n 2)(n 1). Definicja – Parzystoœæ permutacji

Parzystoœæ permutacji okreœla siê przez liczbê P = (–1)N_{, gdzie N to liczba} transpo-zycji, na które mo¿na roz³o¿yæ permutacjê. Gdy P = 1 permutacja jest parzysta, a gdy P = –1 permutacja jest nieparzysta.

Definicja – Permutacja

Permutacja to dowolna bijekcja f n-elementowego zbioru w siebie. Zbiór ten nie musi byæ w ¿aden sposób uporz¹dkowany, a wzajemne przyporz¹dkowanie elementów zbioru dokonuje siê jak pokazano na rysunku.

Rysunek. Odwzorowanie zbioru kilkuelementowego w siebie 3. Grupy permutacji

22

Stwierdzenie. Iloczyn dwóch permutacji zbioru n-elementowego, czyli z³o¿enie albo superpozycja dwóch permutacji, jest tak¿e permutacj¹. Operacja sk³adania permutacji zatem jest operacj¹ zamkniêt¹.

Stwierdzenie. Zbiór permutacji zbioru n-elementowego z operacj¹ superpozycji tworzy grupê sk³adaj¹c¹ siê z n! elementowów (rzêdu n!). Jest to grupa symetryczna S_n. PRZYK£ADY

Grupy symetryczne

S₁ = {e} jest rzêdu 1! = 1 i zawiera jedn¹ permutacjê parzyst¹ e, gdy¿ P = (–1)0 _{= 1,} S₂ = {e, (12)} jest rzêdu 2! = 2 i zawiera jedn¹ permutacjê parzyst¹ e oraz jedn¹ nieparzyst¹ (12), gdy¿ P = (–1)1 _{= –1. Grupy S}

1, S2 s¹ abelowe.

S₃ = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} jest rzêdu 3! = 6 i zawiera 3 permutacje parzyste e, (123) i (321), gdy¿ P = (–1)0 _{= (–1)}2 _{= 1, oraz 3 nieparzyste (12), (13) i (23), gdy¿} P = (–1)1 _{= –1. Grupa S}

3 jest nieabelowa, poniewa¿ sk³adanie jej elementów nie jest przemienne, np.: (12)(13) ≠ (13)(12), gdy¿ (12)(13) = (132) = (321), a (13)(12) = (123) ≠ (321).

Stwierdzenie. Grupy symetryczne S_n dla n ≥ 3 nie s¹ abelowe.

LEMAT. Dla dowolnych transpozycji zachodz¹ równoœci (i j) = (j i) oraz (i j)2 _{= e.} Tabela mno¿enia dla grupy S₃:

e (12) (13) (23) (123) (321) e e (12) (13) (23) (123) (321) (12) (12) e (321) (123) (23) (13) (13) (13) (123) e (321) (12) (23) (23) (23) (321) (123) e (13) (12) (123) (123) (13) (23) (12) (321) e (321) (321) (23) (12) (13) e (123)

Przyk³ady mno¿enia elementów grupy (13)(12) = (123) (12)(13) = (132)(321) (12)(23) = (21)(23) = (231) = (123) (12)(123) = (12)(231) = ₁₄₂₄₃ e ) 21 )( 12 ( (23) = (23) (12)(321) = (12)(132) = (12)(12)(13) = (13) (123)(123) = (13)(12)(231) = (13)₁₄₂₄₃ e ) 21 )( 12 ( (23) = (13)(23) = (31)(32) = (321) 3. Grupy permutacji

23

Definicja – Podgrupy trywialne

Podgrupy trywialne grupy G to ca³a grupa (H = G) oraz podgrupa sk³adaj¹ca siê wy-³¹cznie z elementu jednostkowego, H = {e}.

Stwierdzenie. Grupa S₃ ma 4 nietrywialne podgrupy: trzy dwuelementowe – {e, (12)}, {e, (13)}, {e, (23)} oraz jedn¹ trójelementow¹ – {e, (123), (321)}. Podgrupy te s¹ cy-kliczne.

Stwierdzenie. Ka¿da grupa zawiera podgrupê lub podgrupy cykliczne, które mo¿na wy-odrêbniæ w nastêpuj¹cy sposób. Je¿eli a ∈ G, to ci¹g elementów {a = a1_{, a}2_{, a}3_{, ..., a}k _{= e}} tworzy podgrupê cykliczn¹ rzêdu k. Wartoœæ k jest tak¿e rzêdem elementu a.

24

4. W

£ASNOŒCI

GRUP

SYMETRYCZNYCH

Twierdzenie Cayleya, podgrupa regularna, rozk³ad na cykle roz³¹czne, grupy, dla których rz¹d jest liczb¹ pierwsz¹

TWIERDZENIE CAYLEYA. Ka¿da grupa rzêdu n jest izomorficzna z jak¹œ podgrup¹ grupy symetrycznej S_n (rz¹d S_n = n!).

Dowód . Niech G = {a₁, a₂, ..., a_n} i niech a_i ∈ G, wówczas zbiór {a_ia₁, a_ia₂, ..., a_ia_n} zawiera wszystkie elementy grupy G, a ka¿dy element wystêpuje tylko jeden raz, gdy¿ a_ia_k ≠ a_ia_l ⇔ a_k ≠ a_l. Nale¿y zatem dokonaæ jednoznacznego przyporz¹dkowania ele-mentom grupy G elementów grupy S_n. Ustala siê nastêpuj¹ce przyporz¹dkowania:

a_i → P_ai = _       n i i i n a a a a a a a a a ... ... 2 1 2 1 a_j → P_aj = _       n j j j n a a a a a a a a a ... ... 2 1 2 1 oraz a_ia_j → P_aiaj=         n j i j i j i n a a a a a a a a a a a a ... ... 2 1 2 1

Aby udowodniæ, ¿e ustalone przyporz¹dkowanie okreœla izomorfizm grupy G we wskazan¹ podgrupê grupy S_n, wystarczy wykazaæ, ¿e spe³niona jest relacja: P_aiP_aj = P_aiaj. Po dokonaniu przestawienia elementów mo¿na wyraziæ P_ai nastêpuj¹co

P_ai = _       n i i i n a a a a a a a a a ... ... 2 1 2 1 = _       n j i j i j i n j j j a a a a a a a a a a a a a a a ... ... 2 1 2 1 .

25 Wówczas P_aiP_aj = _       n j i j i j i n j j j a a a a a a a a a a a a a a a ... ... 2 1 2 1         n j j j n a a a a a a a a a ... ... 2 1 2 1 = _       n j i j i j i n a a a a a a a a a a a a ... ... 2 1 2 1 = P_aiaj.

Stwierdzenie. Grupa S₃ szeœcioelementowa ma podgrupê trzyelementow¹ {e, (123), (321)}, która jest izomorficzna z ka¿d¹ grup¹ rzêdu n = 3.

Stwierdzenie. Grupa S₄ dwudziestoczteroelementowa ma podgrupy izomorficzne z czte-rogrup¹ i z czteroelementow¹ grup¹ cykliczn¹.

PRZYK£AD 1.

Dla elementów czterogrupy G = {e, a, b, c} zachodz¹ relacje: a2 _{= b}2 _{= c}2 _{= e, ab = c,} bc = a, ca = b. Elementy grupy S₄ nale¿y wybraæ w postaci

P_e = _       c b a e c b a e , P_a = _       b c e a c b a e , P_b = _       a e c b c b a e , P_c = _       e a b c c b a e , wprowadzaj¹c cykle zamkniête wyra¿a siê je nastêpuj¹co:

P_e = e, P_a = (e a)(b c), P_b = (e b)(a c), P_c = (e c)(a b),

zatem szukany podzbiór grupy S₄ jest postaci {P_e, P_a, P_b, P_c} = {e, (e a)(b c), (e b)(a c), (e c)(a b)}. Aby wykazaæ zachodzenie relacji grupowych P_ab = P_aP_b = P_c, wykorzys-tuje siê w³asnoœci mno¿enia cykli, np.: P_aP_b = (e a)(b c) (e b)(a c) = (otrzymuj¹c po przekszta³ceniach) = (e c)(a b) = P_c.

PRZYK£AD 2.

Dla czteroelementowej grupy cyklicznej G = {e, a, b = a2_{, c = a}3_{}, gdzie a}4 _{= e,} elemen-ty grupy S₄ nale¿y wybraæ w postaci

P_e = _       c b a e c b a e , P_a = _       e c b a c b a e , P_b = _       a e c b c b a e , P_c = _       e a b c c b a e wówczas odpowiadaj¹ im nastêpuj¹ce cykle:

P_e = e, P_a = (e a b c), P_b = (e b)(a c), P_c = (e c b a)

26

Aby wykazaæ zachodzenie relacji grupowych, ponownie wykorzystuje siê w³asnoœci mno¿enia cykli.

Stwierdzenie. Permutacja na n-elementach daje siê przedstawiæ w formie cykli o d³ugo-œciach 1, 2, 3, 4, ... lub n.

Stwierdzenie. Permutacje wystêpuj¹ce w dowodzie twierdzenia Cayleya nie pozostawiaj¹ ¿adnego elementu permutowanego zbioru na swoim miejscu z wyj¹tkiem permutacji to¿samoœciowej P_e.

Podgrupy regularne i ich w³asnoœci

Definicja – Podgrupa regularna

Podgrupa grupy S_n nazywa siê podgrup¹ regularn¹, je¿eli jej ka¿dy element, z wyj¹t-kiem elementu P_e, przestawia wszystkie elementy permutowanego zbioru. Na przyk³ad

        1 4 3 2 4 3 2 1

jest permutacj¹ regularn¹, a _       3 4 2 1 4 3 2 1

nie jest permutacj¹ regularn¹. Stwierdzenie. Podgrupa S_n izomorficzna z grup¹ n-elementow¹ jest podgrup¹ regularn¹, co wynika z konstrukcji dowodu twierdzenia Cayleya, gdy¿ gdyby permutacja

P_ai = _       n i i i n a a a a a a a a a ... ... 2 1 2 1

pozostawia³a jakiœ element na swoim miejscu, wówczas np. a_j = a_ia_j, ale st¹d wynika, ¿e a_i = e, wiêc sprzecznoœæ.

LEMAT. W podgrupie regularnej permutacji ¿adne dwa elementy podgrupy nie prze-kszta³caj¹ danego elementu zbioru w inny, ale taki sam element.

1 4 5 2 3 1 3 4 2 5

Rysunek. Przyk³ad przekszta³cania zbioru piêcioelementowego przez permutacjê regularn¹ 4. W³asnoœci grup symetrycznych

27

Dowód . Nie wprost

Niech p₁, p₂ (p₁ ≠ p₂) s¹ ró¿nymi permutacjami pewnej podgrupy regularnej R. Przyj-muj¹c, ¿e dzia³aj¹ one tak na pewien element a, ¿e p₁a = b oraz p₂a = b, z faktów, ¿e p₁, p₂ ∈ R oraz p₁–1 _{∈ R, wynika, ¿e p}

2p1–1b = b, czyli ¿e permutacja regularna p2p1–1 pozostawia element b na swoim miejscu, a zatem p₂p₁–1 _{= e, a st¹d p}

2 = p1, co stanowi sprzecznoϾ.

LEMAT. Cykl (a₁, a₂, ..., a_l) o d³ugoœci l musi spe³niaæ to¿samoœæ: a a a l e

l l = 4 4 3 4 4 2 1, ,..., ) ( 1 2

oraz zachodzi relacja, ¿e a a a l e

l l ≠ ' ) ..., , , (₁1_{4 24}2 _{4 34} gdy l’ < l.

LEMAT. Je¿eli element podgrupy regularnej da siê roz³o¿yæ na cykle roz³¹czne, to cykle te musz¹ mieæ tê sam¹ d³ugoœæ.

Dowód. Niech cykl 2 2 1 1 1 1 1 1 l l l l l l

a

a

a

a

p

=

(

,...,

)

(

₊

,...,

₊

)

, gdzie l =l₁+l₂ oraz l₁< l₂wówczas

=         = + + 1 2 2 1 1 1 1 1 ( ,..., )( ,..., ) 1 1 l l l l l l l l _{a a a a} p 1 2 2 1 1 1 1 1) ( ,..., ) ,..., ( _{1 1} l l l l l l l l a a a a + + = 1 2 2 1 1 ,..., ) ( ₁ l l l l l a a e + + a zatem elementy a1,...,al₁ nie ulegaj¹ przestawieniu, podczas gdy elementy al1+1,...,al1+l2

ulegaj¹ przestawieniu, czyli zachodzi sprzecznoœæ z podstawowymi w³asnoœciami ele-mentów podgrupy regularnej R, gdy¿ p_∈R_⇒ pl1 _∈R, a permutacja p nie przesta-l1

wia ¿adnego z elementów

a

1

,...,

a

l1.

Stwierdzenie. Cykl o d³ugoœci l umo¿liwia utworzenie podgrupy cyklicznej rzêdu l o elementach l al a p1=( 1,..., ) , j l l j a a p =( 1,..., ) oraz p a a l e l l l =( 1,..., ) =

TWIERDZENIE. Ka¿da grupa G rzêdu n jest grup¹ cykliczn¹, je¿eli n jest liczb¹ pierwsz¹.

Dowód

Grupa G jest izomorficzna z jak¹œ podgrup¹ regularn¹ R grupy S_n. Podgrupa R za-wiera jedynie elementy, które stanowi¹ jeden cykl d³ugoœci n, gdy¿ n jest liczb¹ pierw-sz¹, a elementy podgrupy R mog¹ byæ podzielne wy³¹cznie na cykle roz³¹czne o jedna-kowej d³ugoœci oraz element jednostkowy e, który jest iloczynem n cykli o d³ugoœci 1. Niech ponadto R = {p₁ = e, p₂, p₃, ..., p_n}. Dowolny element p ∈ R, ró¿ny od e, odpo-wiada pewnemu cyklowi o d³ugoœci n, co pozwala wygenerowaæ podgrupê cykliczn¹ R₁ = {p, p2_{, p}3_{, ..., p}n_{} = e} zawieraj¹c¹ n elementów.}

28

Poniewa¿

p

∈

R

, wiêc

p

i

_∈

R

_{, czyli}

R

R₁ ⊂ . Ale rz¹d grupy R₁ wynosi n, zatem

podgrupyR₁ i R maj¹ jednakow¹ liczbê elementów oraz wszystkie elementy podgrupy R₁ nale¿¹ do R. Wynika st¹d, ¿e R₁ = R oraz R jest grup¹ cykliczn¹.

PRZYK£AD

Dowolna grupa trzeciego rzêdu jest izomorficzna z jak¹œ podgrup¹ R grupy S₃, która zawiera 6 elementów. T¹ podgrup¹ jest R = {e, (123), (321)}, która jest cykliczna, gdy¿ R = {(123), (123)2_{, (123)}3_{} = {(123), (321), e}.}

Stwierdzenie. Dla du¿ych n liczba ró¿nych mo¿liwych grup jest na ogó³ du¿a, ale gdy n jest liczb¹ pierwsz¹, wóczas istnieje tylko jedna mo¿liwoœæ utworzenia grupy i jest to grupa cykliczna.

Stwierdzenie. Gdy rz¹d grupy jest liczb¹ pierwsz¹, wówczas ka¿dy element p grupy, z wyj¹tkiem e, generuje ca³¹ grupê G = {p, p2_{, p}3_{,..., p}n_{= e} i jest rzêdu n oraz p}k _{≠ e,} gdy k < n.

Definicja – Grupa alternuj¹ca

Wszystkie permutacje parzyste zbioru n-elementowego tworz¹ podgrupê A ⊂_n S_n, która jest rzêdu n!/2. Jest to tzw. grupa alternuj¹ca.

PRZYK£AD

Grupa S =3

{

e,(12),(13),(23),(123),(321)

}

i podgrupa permutacji parzystych – grupa alternuj¹ca A =₃

{

e,(123),(321)

}

.

29

5. G

RUPY

KLASYCZNE

Grupy symetrii, grupy punktowe, grupy klasyczne, grupy ortogonalne, unitarne, specjalne ortogonalne, specjalne unitarne (unimodularne), parametry grupy, grupy nakrywaj¹ce, przyk³ady

Definicja – Grupa symetrii

Grupa symetrii to zbiór przekszta³ceñ symetrii wraz z operacj¹ superpozycji. Definicja – Grupy punktowe

Grupy symetrii skoñczonego rzêdu, w których przy przekszta³ceniach symetrii za-chowuje siê jeden niezmieniony punkt, nazywamy grupami punktowymi.

Definicja – Grupy klasyczne

W grupach (nieskoñczonego rzêdu) przekszta³ceñ przestrzeni afinicznych, euklide-sowych, oraz unitarnych, podgrupy pozostawiaj¹ce niezmieniony jeden ustalony punkt (np. pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych) nazywamy grupami klasycznymi.

Definicja – Macierz nieosobliwa

Macierz kwadratowa n×n nad cia³em liczb rzeczywistych R lub liczb zespolonych C, nieosobliwa jest oznaczana odpowiednio jako M_n(R), gdzie mij∈ i det MR n(R) ≠ 0 lub M_n(C), gdzie mij∈ i det MC n(C) ≠ 0.

Definicja – Ogólna grupa liniowa

Zbiór macierzy M_n(R) lub M_n(C) z operacj¹ mno¿enia macierzowego tworzy tzw. ogóln¹ grupê liniow¹ GL(n,R) nad cia³em liczb rzeczywistych lub GL(n,C) nad cia³em liczb zespolonych.

Stwierdzenie. Warunek det M_n(R) ≠ 0 lub det M_n(C) ≠ 0 zapewnia istnienie macierzy odwrotnych M_n–1_{(R) lub M}

n–1(C), które stanowi¹ elementy odwrotne grupy. Element jed-nostkowy grupy przyjmuje postaæ:

30               = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L M O M L E

czyli E jest macierz¹ jednostkow¹ n×n. Ponadto spe³nione s¹ relacje M_n(R)·M_n(R)–1₌ M_n(R)–1_·M

n(R)= E lub Mn(C)·Mn(C)–1= Mn(C)–1·Mn(C)= E. Definicja – Specjalna grupa liniowa

Zbiór macierzy M_n(R) lub M_n(C) z operacj¹ mno¿enia macierzowego tworzy tzw. specjaln¹ grupê liniow¹ SL(n,R) nad cia³em liczb rzeczywistych lub SL(n,C) nad cia-³em liczb zespolonych, gdy macierze M_n(R) lub odpowiednio M_n(C) s¹ unimodularne, tj. det M_n(R) = 1 lub det M_n(C) = 1.

Stwierdzenie. Dla obu rozwa¿anych grup, gdy ograniczyæ cia³o liczb, powstaj¹ podgru-py, np.:

)

,

(

n

R

GL

→ ) , ( ) , ( Q n GL R n SL →SL(n,Q)→SL(n,Z)→E(n) gdzie: Q – liczby wymierne, Z – liczby ca³kowite.

Definicja – Grupa ortogonalna

Grupa ortogonalna lub grupa macierzy ortogonalnych O(n) jest postaci:

{

A M R A A A A E

}

n

O( )= ∈{ n( )} oraz ⋅ T = T ⋅ = Definicja – Grupa specjalna ortogonalna

Grupa specjalna ortogonalna lub grupa specjalna macierzy ortogonalnych SO(n) jest postaci:

{

( ) oraz det 1

}

)

(n = A∈O n A= SO

Definicja – Grupa unitarna

Grupa unitarna lub grupa macierzy unitarnych U(n) jest postaci:

{

A M C A A A A E

}

n

U( )= ∈{ n( )} oraz ⋅ + = + ⋅ = , gdzie A+ = (A*)T

31

Definicja – Grupa specjalna unitarna

Grupa specjalna unitarna lub grupa specjalna macierzy unitarnych SU(n) jest posta-ci:

{

( ) oraz det 1

}

)

(n = A∈U n A= SU

Stwierdzenie. Dla dowolnych macierzy kwadratowych M_n i M_n' zachodzi relacja: det (M_n· M_n') = det M_n· det M_n'. Wynika st¹d, ¿e dla macierzy ortogonalnych A ∈ O(n) det (A·AT_{) = det A · det A}T _{= (det A)}2 _{= 1, a wiêc detA=±1.}

Przyk³ady.

O(1) = {[+1], [–1]} – grupa dwuelementowa, SO(1) = {[+1]} – grupa jednoelementowa,

U(1) = {[eiϕ_{], 0 ≤ ϕ < 2π} – grupa nieskoñczonego rzêdu,}

SU(1) = {[+1]} – grupa jednoelementowa, gdy¿ eiϕ _{= 1 dla ϕ = 0,}

        < ≤       − = ϕ π ϕ ϕ ϕ ϕ 2 0 , cos sin sin cos ) 2 (

SO – grupa nieskoñczonego rzêdu

Stwierdzenie. Jednoelementowe grupy SO(1) i SU(1) s¹ izomorficzne. Elementem tych grup jest macierz 1×1 postaci: [+1].

Stwierdzenie. Grupy SU(1) i SO(2) to jednoparametrowe grupy nieskoñczonego rzêdu i s¹ izomorficzne.

[ ]

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ _i e     → ←         − _izomorfizm cos sin sin cos

Stwierdzenie. Ka¿dy element A grupy SO(3) przekszta³ceñ izometrycznych w³aœciwych jest obrotem w przestrzeni trzywymiarowej dooko³a pewnej nieruchomej osi i daje siê sparametryzowaæ przez k¹ty Eulera ϕ, ψ i ϑ, gdzie 0≤ϕ,ψ <2π oraz 0≤ϑ≤π, na-stêpuj¹co: A=Bϕ ⋅Cϑ ⋅Bψ, gdzie macierze

            − = 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ B i             − = ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 C 5. Grupy klasyczne

32

okreœlaj¹ odpowiednio obrót wokó³ osi OZ i wokó³ osi OX.

Stwierdzenie. Ka¿dy element G grupy SU(2) daje siê wyraziæ w nastêpuj¹cy sposób: ), 2 ( SU G ∈ wiêc         = δ γ β α G , gdzie α,β,γ,δ∈C         = + δ β γ α G oraz det G = 1, zatem         − − = − α γ β δ 1 G Poniewa¿ γ β γ β δ α δ α = − − = = = = − + _G 1_{, wiêc} G , co powoduje, ¿e         − = α β β α G oraz 1

detG=α2+ β2 = . St¹d wynika, ¿e elementy macierzy α =α1+iα2 i

β

=

β

1

+

i

β

2

musz¹ spe³niaæ równoœæ: 1 2 2 2 1 2 2 2 1 +α +β +β = α .

Stwierdzenie. Grupa SU(2) jest topologiczne równowa¿na, czyli homeomorficzna ze stref¹ trójwymiarow¹ S3 _{w czterowymiarowej przestrzeni R}4_.

Stwierdzenie. Ka¿da macierz G ∈ SU(2) daje siê zapisaæ w postaci:

                                      = ≡ ₊ − − − − + 2 2 2 2 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos ) , , ( _{ϕ ψ ϕ ψ} ψ ϕ ψ ϕ ψ ϑ ϕ ϑ ϑ ϑ ϑ ψ ϑ ϕ i i i i e e i e i e b c b G , gdzie           = − 2 2 0 0 ϕ ϕ ϕ _i i e e b                                     = 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ i i c _, 2 cos       = ϑ α _,

(

)

2 1 argα = ϕ+ψ ,       = 2 sin ϑ β 5. Grupy klasyczne

33

(

ϕ ψ π

)

β = + + 2 1 arg oraz 0≤ϕ<2π, 0≤ϑ≤π, −2π≤ψ <2π Macierze G mo¿na wybraæ tak¿e w postaci

        ⋅′ ⋅′ ⋅′ ⋅′ = _{− ′ − ′} ′ ′ ϕ ψ ψ ϕ ϑ ϑ ϑ ϑ i i i i e e i e i e G cos sin sin cos

przyjmuj¹c, ¿e 0 ≤ ϕ', ψ', ϑ' < 2π. W obu przypadkach det G = 1.

Stwierdzenie. Grupa SU(2) jest grup¹ nakrywaj¹c¹ dla grupy SO(3). Grupa SU(2) to grupa obrotów w³aœciwych i niew³aœciwych (obrót + inwersja) w przestrzeni trójwy-miarowej R3_.

Stwierdzenie. Grupa SO(3) jest obrazem homomorficznym grupy SU(2) przy homo-morfizmie Φ: SU(2) → SO(3) z j¹drem homomorfizmu KerΦ =

{ }

±E .

Stwierdzenie. Istnieje monomorfim grupy SO(3) w grupê SU(2), gdy¿ SO(3) jest pod-grup¹ obrotów w³aœciwych w grupie SU(2) obrotów w³aœciwych i niew³aœciwych. Stwierdzenie. Obroty niew³aœciwe, a w szczególnoœci inwersje, to przekszta³cenia orto-gonalne, dla których wyznacznik macierzy przekszta³cenia A, det A = –1. W przestrze-ni dwuwymiarowej inwersj¹ jest np. zamiana wspó³rzêdnych x → –x, y → y, wówczas

   − = 1 0 0 1 A oraz det A = –1. y → y x → –x

Rysunek. Inwersja w p³aszczyŸnie, np. x → –x oraz y → y 5. Grupy klasyczne

34

6. O

GÓLNE

W£ASNOŒCI

GRUP

Warstwy lewostronne i prawostronne, twierdzenie Lagrange’a, przyk³ady dla grup symetrycznych, relacja sprzê¿enia i jej w³asnoœci, klasy równowa¿noœci, wydzie-lanie klas równowa¿noœci, przyk³ady

Definicja – Warstwy

Niech A = {a₁, a₂, ..., a_m} bêdzie podgrup¹ grupy G. Rz¹d podgrupy A wynosi m, a rz¹d grupy G odpowiednio n oraz m < n. Ponadto niech

b

∈

G

i

b

∉

A

, wówczas

ci¹g elementów {ba₁, ba₂, ..., ba_m} tworzy tzw. warstwê lewostronn¹ podgrupy A ozna-czan¹ bA, a ci¹g elementów {a₁b, a₂b, ..., a_mb} tworzy warstwê prawostronn¹ ozna-czan¹ Ab.

Stwierdzenie. Warstwa nie jest podgrup¹, gdy¿ nie zawiera elementu jednostkowego e. Dowód. Nie wprost

Niech

_∈

_⇒

₌

_⇒

₌

−1 i i

b

a

ba

e

bA

e

ale

a

i

∈

A

⇒

a

i

∈

A

⇒

b

∈

A

−1 _{, a wiêc}

za-chodzi sprzecznoœæ, gdy¿ z za³o¿enia b ∉ A.

Stwierdzenie. Warstwa nie zawiera ¿adnego elementu nale¿¹cego do podgrupy A. Dowód. Nie wprost

Niech ai∈ i A ai∈bA⇒ai =baj ⇒b=aiaj−1, ale aiaj−1∈A, czyli b∈A, a wiêc sprzecznoœæ.

LEMAT. Dwie warstwy lewostronne (prawostronne) podgrupy A albo maj¹ wszystkie elementy wspólne, albo nie zawieraj¹ ¿adnego wspólnego elementu.

Dowód

Niech xA i yA s¹ warstwami podgrupy A = {a₁, a₂, ..., a_m}. Gdy warstwy

{

xa xa xam

}

35

xa_i = ya_j, gdzie ai,aj∈A oraz xai∈xA, yaj∈yA. Poniewa¿ y−1x=a_ja_i−1∈A, wiêc

ci¹g

{

y−1xa1,y−1xa2,...,y−1xa_m

}

=A, ale wówczas

{yy xa {yy xa {yy xa

{

xa xa xa

}

xA yA _{m m} e e e = =         = − _, − _,..., − _{, ,...,} 2 1 1 2 1 1 1 _{, czyli yA=xA}

Je¿eli zatem dwie warstwy maj¹ jeden wspólny element, to ich wszystkie elementy s¹ wspólne.

Stwierdzenie. Podgrupa A i jej warstwy s¹ równoliczne. Dowód. Nie wprost

A={a₁, ..., a_m} oraz xA = {xa₁, …, xa_m}. Gdyby warstwa zawiera³a mniej elemen-tów ni¿ podgrupa A, wówczas xa_i = xa_j, ale to implikuje, ¿e a_i = a_j, czyli powstaje sprzecz-noœæ.

TWIERDZENIE LAGRANGE’A

Rz¹d grupy G jest ca³kowit¹ wielokrotnoœci¹ rzêdu jej dowolnej podgrupy. Dowód

Niech podgrupa

A

⊂

G

i rz¹d podgrupy A wynosi m, a rz¹d grupy G – n oraz n < m.

Ponadto niech b₁ ∈ G i b₁ ∉ A, wówczas b₁A jest warstw¹ i niech b₂ ∈ G i b₂ ∉ A i b₂ ∉ b₁A to b₂A jest kolejn¹ warstw¹ itd. Niech b₁A, b₂A, ..., b_µ–1A bêd¹ wszystkimi otrzyma-nymi ró¿otrzyma-nymi warstwami podgrupy A. Wówczas ka¿dy dowolny element g ∈ G musi nale¿eæ do podgrupy A albo do którejœ z warstw b_iA. Poniewa¿ warstw jest µ – 1 i za-wieraj¹ po m elementów, zatem n = m + m(µ – 1), czyli n = mµ.

Definicja – Indeks podgrupy

Parametr m to indeks podgrupy A.

Stwierdzenie. Rz¹d dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzêdu grupy. Dowód

Niech a ∈ G i rz¹d elementu a wynosi m. Wówczas ci¹g {a, a2_{, a}3_{, ..., a}m _{= e}} two-rzy podgrupê cykliczn¹ rzêdu m, zatem m jest dzielnikiem rzêdu grupy G.

Stwierdzenie. Grupa, której rz¹d jest liczb¹ pierwsz¹, musi byæ cykliczna. Dowód.

Niech rz¹d grupy G wynosi n i jest liczb¹ pierwsz¹. Poniewa¿ rz¹d dowolnego jej elementu a ≠ e jest dzielnikiem rzêdu grupy, wiêc jest on równy n. Ten element a gene-ruje podgrupê cykliczn¹ {a, a2_{, ..., a}n _{= e} równoliczn¹ z G, zatem G = {a, a}2_{, ..., a}n ₌ e} jest grup¹ cykliczn¹.

36

PRZYK£AD

Grupa symetryczna S₃ = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} rzêdu 6 ma podgrupê A = {e, (12)} rzêdu 2, dla której mo¿na utworzyæ dwie ró¿ne lewostronne lub prawo-stronne warstwy. Warstwy lewoprawo-stronne utworzone przez pomno¿enie podgrupy A przez wszystkie elementy grupy S₃ nie nale¿¹ce do podgrupy A maj¹ postaæ:

(13)A={(13),(123)} (23)A={(23),(321)} (123)A={(123),(13)} (321)A={(321),(23)}

Poniewa¿ otrzymane warstwy 1 i 3 oraz 2 i 4 s¹ identyczne tj. (13)A = (123)A oraz (23)A = (321)A, zatem S₃ = A + (13)A + (23)A lub S₃ = A + (123)A + (321)A.

Stwierdzenie. Warstwy lewostronne mog¹ byæ ró¿ne od warstw prawostronnych, np. {(13),(123)} = (13)A ≠ A(13) = {(13),(321)}, gdy¿ (13)(12) = (123) ≠ (321) = (12)(13). PRZYK£AD

Grupa symetryczna S₃ = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} rzêdu 6 ma tak¿e podgru-pê rzêdu 3 B = {e, (123),(321)}, dla której mo¿na utworzyæ tylko jedn¹ warstwê {(12),(13),(23)} zawieraj¹c¹ 3 pozosta³e elementy grupy. Zatem warstwy lewostronna i prawostronna s¹ identyczne, tj. (12)B = (13)B = (23)B = B(12) = B(13) = B(23) = {(12),(13),(23)} oraz S₃ = B + (12)B.

Stwierdzenie. Podgrupa B = {e,(123),(321)} – to grupa alternuj¹ca A₃ permutacji pa-rzystych, S₃ – A₃ = (12)B – to warstwa permutacji nieparzystych, zatem S₃ = A₃ + (12)A₃. Definicja – Sprzê¿enia

Niech a, b ∈ G, wówczas element b jest sprzê¿ony do elementu a, gdy istnieje takie x ∈ G, ¿e a = xbx–1_.

LEMAT. Je¿eli b jest sprzê¿one do a, to a jest sprzê¿one do b. Dowód

b

ax

x

xbx

a

=

−1

⇒

−1

=

_{i niech}

_y

₌

_x

−1

_∈

_G

_⇒

_b

₌

_yay

−1

LEMAT. a jest sprzê¿one do a. Dowód

a = aaa–1 _{lub a = eae}–1

LEMAT. Je¿eli b jest sprzê¿one do a i c jest sprzê¿one do b, to c jest sprzê¿one do a.

37

Dowód 1 − = xbx

a i _{b= ycy}−1_{, x ∈,y G, zatem a=x(ycy}−1_)x−1_=(xy)c(xy)−1_{, a poniewa¿} G

xy ∈ , _a=(_xy)_c(_xy)−1_.

Stwierdzenie. Relacja sprzê¿enia jest relacj¹ równowa¿noœci, gdy¿ jest ona: • zwrotna b jest sprzê¿one do a

⇒

a jest sprzê¿one do b, • symetryczna a jest sprzê¿one do a,

• tranzytywna (przechodnia) b jest sprzê¿one do a i c jest sprzê¿one do b

⇒

c jest sprzê¿one do a.

Definicja – Klasy

Wszystkie elementy grupy G wzajemnie do siebie sprzê¿one tworz¹ klasê równo-wa¿noœci, zwan¹ klas¹.

Stwierdzenie. Dwa elementy nale¿¹ce do jednej klasy C musz¹ byæ tego samego rzêdu. Dowód

Niech a, b ∈ C, zatem b = xax–1_{. Niech rz¹d elementu a wynosi n, wówczas a}n _{= e} oraz am _{≠ e, gdy m < n. Poniewa¿ b}

(

_xax

)

_{xax xax xax xa}m_x

m m m₌ − ₌ − − − ₌ 4 4 4 3 4 4 4 2 1 1 1 1 1 _... , wiêc

je-¿eli m = n, to bn _{= xa}n_x–1 _{= xex}–1 _{= e, czyli b}n _{= e, natomiast gdy m < n i b}m _{= e,} wówczas e = xam_x–1 _{i a}m _{= x}–1_{ex = e, czyli a}m _{= e, a wiêc sprzecznoœæ.}

Stwierdzenie. Je¿eli rzêdy dwóch elementów grupy s¹ ró¿ne, to nie mog¹ one nale¿eæ do tej samej klasy.

Stwierdzenie. Element jednostkowy e tworzy jednoelementow¹ klasê C = {e} jedynego elementu rzêdu 1, gdy¿ jedynie e1 _{= e.}

TWIERDZENIE (o tworzeniu klasy elementów sprzê¿onych wzglêdem elementu a) Dla ka¿dego elementu a ∈ G, gdzie G = {a₁ = e, a₂, a₃, ..., a_n}, wszystkie elementy b_i = a_iaa_i–1 _{ci¹gu {b}

1, b2, ..., bn} s¹ do siebie sprzê¿one, gdy¿ s¹ sprzê¿one do a i tworz¹ klasê (elementów sprzê¿onych wzglêdem a).

Dowód

Wszystkie b_i s¹ sprzê¿one do a, gdy¿ b_i = a_iaa_i–1 _{i a}

i ∈ G, zatem bi s¹ sprzê¿one do siebie dla i = 1, ..., n, ale s¹ to wszystkie mo¿liwe elementy grupy G sprzê¿one do a, wiêc ci¹g {b₁, b₂, ..., b_n} tworzy klasê, chocia¿ nie wszystkie elementy b_i musz¹ byæ ró¿ne.

Stwierdzenie. Ka¿d¹ grupê mo¿na roz³o¿yæ na klasy. Klasy s¹ roz³¹czne.

Stwierdzenie. Dla grup abelowych ka¿dy element tworzy w³asn¹ klasê jednoelementow¹.

38

Dowód

Niech dwa elementy a, b grupy abelowej s¹ sprzê¿one. Wówczas b = xax–1_{, ale xax}–1 = xx–1_{a = a, wiêc b = a.}

PRZYK£AD

Grupa cykliczna G = {e, a, a2_{, a}3_{}, abelowa, czteroelementowa. Rzêdy jej} elemen-tów wynosz¹ odpowiednio: e – 1, a – 4, b = a2 _{– 2, c = a}3 _{– 4. Klasy {e}, {a}, {a}2_}, {a3_{} s¹ jednoelementowe.}

PRZYK£AD

W grupie symetrycznej S₃ = {e, (12),(13),(23),(123),(321)}, gdzie elementy odwrotne tworz¹ ci¹g {e,(12),(13),(23),(321),(123)}, istniej¹ klasy:

C₁ = {e} – klasa elementu jednostkowego rzêdu 1, C₂ – klasa elementów sprzê¿onych do elementu (12) e(12)e–1 _{= (12)} (12)(12)(12)–1 _{= (12)} (13)(12)(13)–1 _{= (123)(13) = (321)(13) = (32)(31)(13) = (32) = (23)} (23)(12)(23)–1 _{= (213)(23) = (321)(23) = (31)(32)(23) = (13)} (123)(12)(123)–1 _{= (13)(12)(12)(321) = (13)(31)(32) = (23)} (321)(12)(321)–1 _{= (213)(12)(123) = (23)(21)(12)(123) = (23)(32)(31) = (13)} zatem C₂ = {(12),(13),(23)} zawiera 3 elementy rzêdu 2.

C₃ – klasa elementów sprzê¿onych do elementu (123) e(123)e–1 _{= (123)}

(12)(123)(12)–1 _{= (321)}

Pozosta³e kombinacje musz¹ prowadziæ do tego samego wyniku, gdy¿ klasy s¹ roz-³¹czne, zatem C₃ = {(123),( 321)} zawiera 2 elementy rzêdu 3.

Stwierdzenie. Dla grup permutacji S_n podzia³ na klasy jest zgodny ze struktur¹ cykli.

39

PRZYK£AD

Klasy grupy S₄ Liczba Rz¹d – rz¹d grupy 4!=24 elementów elementu

C₁ = {e} 1 1 C₂ = {(12),(13),(14),(23),(24),(34)} 6 2 C₃ = {123),(124),(134),(234),(321),(421),(431),(432)} 8 3 C₄ = {(12)(34),(13)(24),(14)(23)} 3 2 C₅ = {(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)} 6 4        razem 24

Uwaga. W rozwa¿aniach jest stosowany tak¿e symbol C_k(n), który oznacza, ¿e kla-sa C_k zawiera n elementów.

40

7. P

ODGRUPY

I

ICH

W£ASNOŒCI

Podgrupy sprzê¿one, podgrupa inwariantna, grupa prosta, grupa ilorazowa, j¹-dro homomorfizmu jako podgrupa inwariantna, wyszukiwanie podgrup inwariant-nych w grupach symetryczinwariant-nych

Stwierdzenie. Je¿eli H jest podgrup¹ grupy G, to zbiór H' = aHa–1_{, gdzie a ∈ G, jest} tak¿e podgrup¹ grupy G.

Dowód.

Niech

x

,

y

∈

H

⇒

xy

∈

H

oraz

axa

−1

,

aya

−1

∈

H

'

, nale¿y zatem pokazaæ, ¿e

a(xy)a–1 _{∈ H. Poniewa¿ (axa}–1_)(aya–1_{) = ax(a}–1_a)ya–1 _{= a(xy)a}–1_{, wiêc a(xy)a}–1 _{∈ H.} Pozwala to stwierdziæ, ¿e

– dzia³anie grupowe jest operacj¹ zamkniêt¹ w H', – element jednostkowy e∈H⇒aea−1=e∈H',

– dla ka¿dego axa–1 _{∈ H' istnieje element odwrotny, którym jest ax}–1_a–1 _{∈ H', gdy¿} (axa–1_)(ax–1_a–1_{) = ax(a}–1_a)x–1_a–1 _{= a(xx}–1_)a–1 _{= aa}–1 _{= e.}

Stwierdzenie. Gdy a ∈ H to H' = aHa–1 _{= H, wówczas jest to odwzorowanie podgrupy} H w siebie, czyli automorfizm.

Dowód

x ∈ H i a ∈ H

⇒

axa

−1

∈

H

⇒

H

'

=

aHa

−1

=

H

Definicja – Podgrupa sprzê¿ona

Podgrupa H' = aHa–1_{, gdzie H ⊂ G i a ∈ G, nazywa siê podgrup¹ sprzê¿on¹ do} pod-grupy H w grupie G.

Definicja – Podgrupa inwariantna

Je¿eli aHa–1_{= H dla ka¿dego a ∈ G, to H nazywa siê podgrup¹ inwariantn¹ lub} nie-zmiennicz¹.

41

Stwierdzenie. Dla podgrupy grupy inwariantnej z warunku H' = aHa–1_{, a ∈ G wynika,} ¿e Ha = aH, H zatem jest podgrup¹ inwariantn¹ wtedy i tylko wtedy, gdy jej warstwy lewostronne i prawostronne utworzone dla dowolnych a ∈ G s¹ identyczne.

Stwierdzenie. Jedynka {e} i ca³a grupa G s¹ zawsze podgrupami inwariantnymi, try-wialnymi.

Dowód

Dla ka¿dego a ∈ G jest spe³niona relacja aea–1 _{= e, wiêc a{e}a}–1 _= {e}. Dla ka¿dego a, b ∈ G aba–1 _{∈ G, wiêc aGa}–1 _= G.

PRZYK£AD

Podgrupa A = {e, (12)} grupy S₃ = A + (13)A + (23)A nie jest inwariantna, gdy¿ war-stwy lewostronne i prawostronne s¹ ró¿ne, np. (13)A ≠A(13).

Podgrupa B = {e, (123), (321)} grupy S₃ = B + (12)B jest inwariantna, gdy¿ warstwy lewostronne i prawostronne s¹ równe dla wszystkich elementów grupy S₃.

Definicja – Grupa prosta

Grupa prosta – to grupa nie posiadaj¹ca nietrywialnych, tj. ró¿nych od {e} i G, pod-grup inwariantnych.

LEMAT. Podgrupa H grupy G jest inwariantna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ca³e klasy grupy G, tzn. je¿eli H zawiera 1 element jakiejœ klasy, to zawiera tak¿e wszystkie pozosta³e elementy tej klasy.

Dowód.

I. Je¿eli H jest inwariantna, H = aHa–1_{, a ∈ G, to H zawiera ca³e klasy:}

Dla ka¿dego zatem x ∈ H i a ∈ G axa–1_{∈ H, ale elementy axa}–1 _{otrzymane dla} wszy-stkich a ∈ G tworz¹ klasê C i C ∈ H, czyli H zawiera zawsze pe³ne klasy.

II. Je¿eli H zawiera ca³e klasy, C ∈ H, to H jest inwariantna:

Ka¿de x ∈ H nale¿y do jakiejœ klasy C, wiêc

C

⊂

H

, ale klasa C zawiera wszystkie

elementy postaci axa–1 _{otrzymane dla wszystkich a ∈ G, zatem je¿eli x ∈ H, to tak¿e} dla wszystkich a ∈ G wszystkie elementy postaci axa–1_{, które tworz¹ klasê C, nale¿¹ do} H, czyli C ⊂ H. Ale to jest s³uszne dla dowolnego x ∈ H, które musi nale¿eæ do jakiejœ klasy. St¹d, je¿eli

x

∈

H

⇒

x

∈

C

_{i wszystkie axa}–1_{∈ C ⊂ H, co oznacza, ¿e dla} ka¿-dego a ∈ G aHa–1_{= H, czyli H jest inwariantna.}

Definicja – Mno¿enie warstw

Mno¿enie warstw wyra¿a siê nastêpuj¹co:

{

z x y x aH y bH

}

bH

aH⋅ = = ⋅ , gdzie ∈ , ∈ , natomiast gdy a ∈ H i b ∈ H, wów-czas aH =bH =H i H⋅H =

{

z=x⋅y, gdzie x∈H,y∈H

}

=H.

42

TWIERDZENIE. Zbiór sk³adaj¹cy siê z podgrupy inwariantnej H i wszystkich jej ró¿nych warstw sam stanowi grupê zwan¹ grup¹ ilorazow¹ grupy G, któr¹ oznaczamy G' = G/H. Dowód

aH = Ha dla wszystkich a ∈ G, poniewa¿ H jest inwariantne, ponadto: – H jest elementem jednostkowym w grupie ilorazowej, gdy¿

( )

aH ⋅H =a⋅

( )

HH =aH oraz

( ) ( )

aH Ha H

( )

aH H a

( )

HH aH H⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ,

– mno¿enie warstw jest warstw¹, czyli jest to dzia³anie zamkniête, gdy¿

( )( ) ( )

aH bH =a Hb H =a

( )

bH H =ab

( )

HH =abH,

a abH jest warstw¹, jako ¿e ab ∈ G,

– ka¿da warstwa aH ma element odwrotny a–1_{H, gdy¿} H eH HH aa H aHa−1 = −1 = = ,

zatem a–1_{H jest elementem odwrotnym do aH w grupie ilorazowej.} PRZYK£AD

Grupa S₃ = {e, (12), (13), (23), (123), (321)}, jej podgrupa inwariantna B = {e, (123), (321)} oraz warstwa (12)B={(12), (13), (23)} pozwalaj¹ utworzyæ grupê ilorazow¹ S₃/B = {E, A}, gdzie E = B oraz A = (12)B. Jest to grupa dwuelementowa, a zatem A2 _{= E.} Uwaga. Elementy grup ilorazowych oznaczamy du¿ymi literami tj. E, A, B, C,... Stwierdzenie. Grupê ilorazow¹ mo¿na traktowaæ jako homomorfizm grupy G w G' = G/H. TWIERDZENIE. Przy ka¿dym homomorfizmie f grupy G w G’, tj. f(G) = G', j¹dro ho-momorfizmu Ker(f) = H tworzy podgrupê inwariantn¹ w G.

Dowód

Dla ka¿dego b∈ H=Ker

( )

f ⇒ f(b)=e'∈G', ponadto dla ka¿dego b ∈ H i a ∈ G element aba–1_{∈ H, gdy¿ f(aba}−1_{)= f(a)f(b)f(a}−1_{)= f(a)e′f(a)}−1_{= f(a)f(a)}−1_=e′,

zatem H = aHa–1 _{i jest podgrup¹ inwariantn¹.}

Stwierdzenie. Przy ka¿dym homomorfizmie f : G → G', je¿eli

a

' G

∈

'

i

a

' e

≠

'

to

ist-nieje warstwa np. aH, gdzie H = Ker(f), taka ¿e f(aH) = a', tzn. ca³e warstwy s¹ prze-kszta³cane w jeden element.