Przepływ cieczy lepkiej w szczelinie między powierzchniami obrotowymi: nieruchomą i drgającą skrętnie

M E C H AN I K A TEORETYCZNA

1 STOSOWANA

3, 13 (1975)

P RZ EP ŁYW CIECZY LE P KI E J W SZ C Z ELIN IE M I Ę D Z Y P OWI E R Z C H N I AM I OBROTOWYM I: N IERU CH OM Ą

I D RG AJĄ CĄ  SKRĘ TN IE EDWARD   W A L I C K I (BYDGOSZCZ)

1. Wstę p

Laminarny ustalony przepł yw cieczy lepkiej w szczelinie mię dzy wirują cymi tarczami, stoż kami oraz powierzchniami obrotowymi od dawna zwracał  uwagę  ze wzglę du na moż li -woś ci wielorakich zastosowań praktyczn ych; w pracach [1, 13, 14] szerzej omówiono lite-raturę  dotyczą cą ftego rodzaju ustalonych przepł ywów.

U stalone przepł ywy mię dzy wirują cymi powierzchniami krzywoliniowymi był y badane w pracach [4, 13, 14].

W pracach [2, 3, 7 - 12, 15] zbadan o przepł ywy wywoł ane drganiami skrę tnymi; prace [2, 3, 7, 9, 10, 12]Jzawierają  badan ia przepł ywów mię dzy pł askimi tarczami; praca [15] daje opis przepł ywu mię dzy równoległ ymi powierzchniami stoż kowymi. P race [8, 11]

int

•   . R y s . 1 •  •  • • :•  : . ' • . '. • • , , • •'

przedstawiają  opisy badań przepł ywów w szczelinach mię dzy współ osiowymi powierzchnia-m i kulistyosiowymi powierzchnia-mi, z których jedn a wykonuje drgania skrę tne. Celeosiowymi powierzchnia-m niniejszej pracy jest zba- tne. Celem niniejszej pracy jest zba-danie nieustalonego przepł ywu cieczy lepkiej w szczelinie o stał ej gruboś ci mię dzy równo-legł ymi, nieograniczonymi powierzchniami, z których górna jest nieruchoma (rys. 1), a dolna wykonuje drgania skrę tne dookoł a wspólnej osi symetrii obu tych powierzchni.

2. Równania ruchu

Obszar przepł ywu cieczy pokazan y jest n a rys. 2. D oln a, ruchoma powierzchnia opi-sana jest funkcją  R(x) oznaczają cą  prom ień tej powierzchni. G rubość szczeliny h, tj. od-legł ość mię dzy zakrzywionymi powierzchniami m ierzona wzdł uż normalnej do ruchomej

powierzchni, jest wielkoś cią stał ą . D o rozważ ań uż yjemy krzywoliniowego ortogonalnego ukł adu współ rzę dnych x, ft, y, zwią zanego z dolną  powierzchnią . P aram etram i przepł ywu są  skł adowe prę dkoś ci vx, vo,vv oraz ciś nienie/ ;. Ze wzglę du n a istnieją cą  osiową  symetrię parametry przepł ywu nie zależą  od ką ta # .

Równaniami opisują cymi przepł yw cieczy są  równanie cią gł oś ci oraz równanie N aviera i Stokesa wyraż one w przyję tym ukł adzie współ rzę dnych [5].

1

Rys. 2 Rys. 3

Aby otrzymać odpowiednią  postać tych równań rozważ my przedstawiony n a rys. 3 element powierzchni ograniczają cej przepł yw z zaznaczonymi liniami i = const oraz

rj =  const tworzą cymi ortogonalną  siatkę . Wektorowe równanie rozważ anej powierzchni

moż na przedstawić w postaci:

r0 =

Poł oż enie dowolnego pun ktu przestrzeni — leż ą cego w odległ oś ci C mierzonej wzdł uż normalnej — okreś la wektor

Kwadrat elementu dł ugoś ci ł uku w ortogonalnym ukł adzie współ rzę dnych f, r\ , f jest równy

ds2

 =  (dr)2

 =

ir

Zakł adają c, że współ rzę dne f i r/  pokrywają  się  z liniami krzywiznowymi powierzchni oraz stosują c wzory Rodrigues'a [17]:

8n

dn 1 dr0 drj ' R₂ drj mamy (2.1) ds2  =

PRZEPŁ YW CIECZY LEPKIEJ W SZCZELINIE ₃₄₃

gdzie i?x> - ^2 oznaczają odpowiednie promienie krzywizny powierzchni. D la powierzchni obrotowej przedstawionej n a rys. 4 w ukł adzie współ rzę dnych X, Y, Z równanie wektorowe przyjmuje postać [16] (2.2) r0 =  lR(x) COS § +JR(x) sin &+kZ(x). Rys. 4 Podstawiając (2.2) do (2.1) i przyjmując i =  x, rj = otrzymamy po prostych wyliczeniach (2.3) cis2  =   | 1 + - ;

£ =

  y ,

przy czym J ?x, R2 > i?.

Wracając do przepł ywu stanowią cego temat pracy zauważ my, ż ey < / j; przy zał oż eniu, że h Ą R wyraż enie okreś lają ce kwadrat elementu liniowego w ukł adzie współ rzę dnych

x, • &,.)> moż na zapisać w postaci:

(2.4) c/ s2

 =  clx2

+Rz

d&2 Z atem współ czynniki Lamego bę dą równe*)

Posł ugując się nimi m oż na przedstawić równania ruchu cieczy lepkiej w przyję ty m do roz-waż ań ukł adzie współ rzę dnych krzywoliniowych dla osiowej symetrii w postaci

(2.5)

_ *

o/

d§x R' 5)' i? 1 dp ?'2 ć >2 #x R! dvx R" _ R_ dy2 + ~R~dx~~ ~R~Vx  ~ R2 *' *) W przypadku, gdy równanie (2.2) dane jest w postaci 7-0 = współ czynniki Lamego są równe

dvo dvo Sv

0

 R'

(2 6) +  v

d

2

v d

2

v

0

 R' dv, R" R'

2

dv

y

 dv

y

 dv

y

 1 dp

1 d(Rv

x

) dv

y

 _

gdzie przecinkiem oznaczono operację róż niczkowania wzglę dem zmiennej x.

Warunki brzegowe dla skł adowych prę dkoś c

i są nastę pują ce

:

v

x

 =  Vy =  0, v

o

 = Riae

int

. dla y =  0,

(2 9)

w

x

 =  Wj, =  w

0

 =  0 dla ;' =  /z.

Poczynione wyż e

j zał oż enia, że ń < i?(x) moż na wykorzystać do oszacowania wielkoś ci

poszczególnych skł adników równań (2.5) -  (2.7). W tym celu rozważ my pewien przekrój

szczeliny okreś lony współ rzę dną x • » X (przy czym zakł adamy, że i?(£ ) > A). P rę dkość

obwodowa w tym przekroju jest Vo =  O(V

₀

), a prę dkość promieniowa jest v

_x

 =  01 Fo- =

[18], gdzie oznaczono dla uproszczenia V

o

 — mR(L).

Z równania cią gł oś c

i wynika, że v

y

 =  O\ V

0

—- x-  . Wprowadzając powyż sze oszacowa

\  -K /

nia do równań (2.5) -  (2.7) i pomijając w każ dym z nich czł ony mał e wyż szeg

o rzę du

Sprowadzimy je do postaci

( 2. 10)  - s -  rr- 1>o =  —  ^ r —+ V  - , , ,

(2.12)

dt Q dy dy2

3. Cał ki równań ruchu

Rozwią zań równań ruchu (2.10)-  (2.12), przy zał oż eniu h -  const, bę

dziemy poszu-kiwać w postaci zależ noś c

i funkcyjnych speł niają cych równanie cią gł oś c

i (2.8), mianowicie:

(3.1) v

0

 =  Ra>e

ir

G(t]),

(3.2) RKufidFto.*)

n

« « (2R'

z

+RR")m

2

h _. .

(3.3) ó , -  -  - ^  — ^ — i JP(*7, T ) ;;

P RZ EP ŁYW CIECZY LEPKIEJ W SZCZELIN IE 345

dla rozkł adu ciś nień przyjmujemy

(3.4) -  -  (2R'2  + RR")co2 h2 P(r,, r)+^- Rho2 K(i), gdzie, dla uproszczenia oznaczono (3.5) i? =   ~ ; T -  nf.

Podstawiają c powyż sze wyraż enia do równań ruchu (2.10) -  (2.12) otrzymamy odpowiednio:

d2 G

(3.7)

f38^ - °

F

  =

8 P

  -

1

 ^- '

y  ' dr " dr] N tt_n2  '

W powyż szych równaniach symbolem j\T oznaczono liczbę  Reynoldsa

v

Warunki brzegowe (2.9) przyjmują  teraz postać

F = ^- =0,  0 = 1  d l a ą - 0 ,

(3- 9)

F =  - z-  =  G  =  0 dla - r, = 1.

Rozwią zanie równania (3.7) moż na przedstawić wzorem

(3.10) G = At- ź Aj, gdzie: —cha?ycosa(2 —?; (3.11) , sh a (2 — łj) sin ar, — sh to sin a (2—• »?) oraz

v

<Z> =  c h 2a - c o s2a , a2  = - *- .

Wzór (3.1) po uwzglę dnieniu (3.10) prowadzi w zapisie rzeczywistym do zależ noś ci: (3.12) v0 = Rm R e [G(rj) e

h

] =  R(o(%t cos T +  X2 sin r ) . D la mał ych liczb Reynoldsa mamy '

natom iast dla duż ych liczb Reynoldsa otrzymamy

(3.14) v„ x Rcoe- ^cas(r-  cer/).

G dy iV =  0 profil prę dkoś ci obwodowej jest prostoliniowy i okreś lony zależ noś cią (3.15) Os = Rco(l- rf).

Wynik ten pokrywa się  z rezultatami wcześ niejszych badań [13, 14] dotyczą cych przepł ywu ustalonego w szczelinie mię dzy wirują cymi powierzchniami obwodowymi. Profile prę dkoś ci

v0 dla róż nych wartoś ci liczby Reynoldsa pokazan o na rys. 5.

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Rys. 5

N aprę ż enia tarcia na zakrzywionych powierzchniach dla mał ych liczb Reynoldsa są odpowiednio równ e: n a dolnej powierzchni N>\  N . ) - — I cos x  — — sin x I, na górnej powierzchni '.Sv„ fj.Ro>

h

7iV2 D la duż ych zaś liczb Reynoldsa otrzymamy UROJ , . a o — ——- . — a (cos T —sin r ) ,

h

-  a [cos ( T -  a) -  sin ( T -  a)].

Profile naprę ż eń panują cych n a obu powierzchniach dla róż nych liczb Reynoldsa przedstawiono (dla dolnej powierzchni) n a rys. 6 i (dla górnej powierzchni) na rys. 7.

Wyraż enie

[R e(G e")]2 = 1

PRZEPŁ YW CIECZY LEPKIEJ W SZCZELINIE 347

sugeruje istnienie rozwią zania równ an ia (3.6) w postaci sum funkcji

(3.16) F(V'r ) =  x If (y}) + H(j})e2 ", K(r) — Ko + K^e2 ".

Podstawiając powyż sze wyraż enia do równania (3.6) otrzymamy dla wyznaczenia W (j)) oraz H(rj) nastę pują ce równania róż niczkowe:

, „ , N  c h 2a ( l- ??) - c o s2a ( l- r / )

/ I - i i\  177'" AVIS' . -^ ' -

 —-(3.17) J-   - i V A0-  2 0

„Bh2a(l- 0

(3.18) H'"~2iN H' = ₀

utaj przecinkiem oznaczono operację róż niczkowania wzglę dem zmiennej v\ .

' crhh/ p/ !w

z£

Warunki brzegowe (3.9) w odniesieniu do funkcji W  oraz H moż na wyrazić w postaci

?(0) = W'(0) = W(l) = W'(l) = 0,

H(0) = H'(0) = H(l) = H'{\) = 0.

Rozwią zania równ ań (3.17) oraz (3.18) okreś lone są  wyraż eniami

(3.19) W '(rj) =

 -- o -- Ł -- [(ch2a +  cos2a)(l --

 cos2a)(l-(3.20) (3.21) - sin2a] + 2 -  r\  [(ch 2a +  cos 2a) (2- rj) + 2rj\ , =   4 ^ "( c h 2 a + C o s 2 a + 2 ) - ^3

oraz (3.22) H'(i) - _ ,

2

sh]/ 2/ 5

(3.23)

j

sh]/ 2/ ? / i j c h ) / 2 >?- 1 +  ch2j8[ch)/ 2/ ?- ch)/ 2 / ?(!- r/ )] 2)/ 2/ ?M  sh}/ 2/ 9 (3.24) =  A (ch ]/ 2 ^9- 1) (ch2/ S  + 1 ) -   - ^ 2(ch j/ 2 / ?- 1) -  ]/ 2/ 9sh gdzie oznaczono sha a (

Rozwijają c powyż sze zależ noś ci w szereg potę gowy i pomijają c wyrazy zawierają ce wiel-koś ci mał e wyż szego rzę du, otrzymamy dla mał ych, liczb Reynoldsa nastę pują ce wyra-ż enia : 2 0 '

?'(

V

)

120 oraz H'(rj) H(rj) • 120 3_ 10PJV/ 20  ^ 2 W '

120

Nr?

(l-i

120

PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ W SZCZELINIE 349

N a i'ys. 8 przedstawiono graficznie przebieg zmiennoś ci funkcji W (rj) dla róż nych wartoś ci liczby R eyn oldsa; funkcja ta, jak wynika z wzorów (3.2) i (3.16), okreś la ustaloną  czę ść skł adową  prę dkoś ci vx.

Aby wyznaczyć rozkł ad ciś nień w poprzek szczeliny, wróć my do równania (3.8), które przepiszemy w postaci (3.25) Ć P i d 2 F

dF

drj N dr}2  dr ' 1,0 Ofi 0,6 0,2 / <

n

_i

i -

i-V

—.

. —

_——--  — - 0,08 - 0,04 0 0,04 0,08 0,1? 0,16, Rys. 8

U wzglę dn iają c pierwszą  z zależ n oś ci (3.16) m o ż emy przedstawić rozwią zan ie równ a-n ia (3.25) w form ie su m y

(3.26) P(n, T ) -  PL

P o podstawieniu (3.26) do (3.25) otrzymamy

(3.27) Pi -  - i

(3.28)

P'

₂

 =  l- H"- 2iH.

Cał kują c te równ an ia przy speł nieniu warunków brzegowych:

wyznaczymy zależ noś ci:

(3.29) Pi(rj) =  n

_x

- *±

_n

(X- rj)-

[ch 2a(1 ~r,) + cos2a(1 - rj)] +

(3.30)

,

 A

  [ s h ) / 2 ^ +  c h 2^ sh l/ 2^ ( l- )

_?

) _ _ 1

2/iVL shi'2/ 5 J

shj/ 2 0

H

+  sh j/ ^ ( l- J i^ l\

1

4. Uwagi koń cowe

Wzory wprowadzone w poprzednim punkcie pracy okreś lają  pole prę dkoś ci i pole ciś nień w szczelinie o stał ej gruboś ci h =  const, mię dzy powierzchniami o dowolnym kształ cie.

Przedstawione tutaj wyniki są  zgodne z wynikami cytowanych wcześ niej prac. Podsta-wiają c we wzorach (3.1) -  (3.4) odpowiednie zależ noś ci dla R(x) otrzymać moż emy prze-pł ywy w szczelinie mię dzy tarczami, stoż kami, bą dź też powierzchniami kulistymi.

Z postaci otrzymanych rozwią zań wynika, że dla przyję tego modelu przepł ywu profile prę dkoś ci i ciś nień w dowolnym przekroju poprzecznym szczeliny są  niezależ ne od kształ tu powierzchni wywoł ują cych ruch cieczy.

Z przytoczonych wykresów dla skł adowych prę dkoś ci v0 oraz vx wynika, że ze wzrostem liczby Reynoldsa przepł yw «zbliż a» się  do drgają cej powierzchni, n a której zaczyna się pojawiać warstwa przyś cienna.

Otrzymane w pracy rozwią zania — zgodnie z zał oż eniem, że h <ś R — zachowują swoją  waż ność dla dowolnego kształ tu szczeliny jedynie w duż ych odległ oś ciach od osi obrotu. W przypadku szczególnym, gdy — począ wszy od pewnej wartoś ci x = I — takiej, że jeszcze h < R(l) zachodzą  zależ noś ci R{x) » x, R'(x) X 1, tzn. gdy dla 0 s$ x < / powierzchnie tworzą ce szczelinę  tylko nieznacznie róż nią  się  od pł aszczyzn, rozwią zanie zachowuje swoją  waż ność również w pobliżu osi obrotu. Bowiem dla R(x) =  x, R'(x) = 1, a rozwią zanie pokrywa się  z wynikami uzyskanymi w pracy [2] dla przepł ywu mię dzy drgają cymi skrę tnie pł askimi tarczam i.

Literatura cytowana w tekś cie

1. JI. A. flopOMAH , rudpodtmaMwiecKoe conpomuejieuue u menAOOmdaua epaufawiauxcn me/ i, M ocraa 1960. i 2. S. ROSENBLAT, Flow between torsionally oscillating disks, J. Fluid. Mech, 2, 8 (1960). 3. S. DATTA, Hydromagnetic flow between torsionally oscillating discs, Bull. Acad. Polon. Sci., S6r. Sci techn., 11- 12, 12 (1965). 4. K. W. Me ALISTER, W. RICE, Through/ lows between rotating surfaces of revolution, having similartiy solutions, J. Appl. Mech., Trans. ASME, Series E, 4, 37, (1970).

PRZEPŁ YW CIECZY LEPKIEJ W SZCZELIN IE 351

6. A. SZANIAWSKT, Przepł yw lepkiej cieczy nieś ciś liwej w szczelinie stoż kowego ł oż yska ś lizgowego, Prace

IP P T 15/ 1970. 7. R. C. CHANAUD, Observations of oscillatory radial flow between a fixed disk and a free disk, J. Acoust. Soc. Amer., 47 5, (1970) 2. 8. H . F . KORM AN , L. R . KOVAL, Energy dissipation in an oscillating spherical cumulus filled with a viscous fluid, ATAA Journ al, 7, 9 (1971). 9. C . JACOBS, T ransient motions produced by disks oscillating torsionally about a state of rigid rotation, Quart. J. Mech. an d Appl. M ath., 2, 24 (1971).

10. J- M. PIAU, Ecoulement radial non stationaire entre line paroi fixe, of line paroi oscillante; stabilite des

paliers a air, C . R . Acad. Sci., 22, 273 (1971).

11. C .  r

. JlAflAEB, CmamimecKoe xapaxmepucmuKu mópudnoto c$epuuecKoio zaweoio noduiunuuKa c eufipy-loią eu noeepxHocmhw, C 6 . n a y1 !. T p. t

Iejia6H H ca<. n o jia r exu . H H - TBJ 1971'J Bwn . 101.

12. ABD U L ALEEM K H AN  MOI- ID , Hydromagnetic flow of an electrically conducting fluid due to unsteady

rotation of a porous disk over a fixed disk, I n dian J. P ure and Appl. M ath., 4, 3 (1972).

13. E . WALI C KI , Przepł yw cieczy lepkiej w szczelinie mię dzy wirują cymi powierzchniami obrotowymi, M ech.

Teor. i Stos., 1, 12 (1974).

14. E . WALI C KI , Przepł yw cieczy lepkiej — o zmiennej lepkoś ci — w szczelinie mię dzy wirują cymi  powierzch-niami obrotowymi, Zeszyty N aukowe AT- R w Bydgoszczy, M echanika 8 (1975).

15. E. WALIC KI, Przepł yw cieczy lepkiej mię dzy drgają cymi skrę tnie powierzchniami stoż kowymi, Zeszyty

N aukowe AT- R w Bydgoszczy, M echan ika, 8 (1975).

16. E . KARAŚ KIEWICZ, Zarys teorii wektorów i tensorów, P WN , Warszawa 1971. 17. A.  I I . HoPflEH, T eopun noeepxnocmeU, MocKBa 1956.»

18.  H . A. C JI E 3KH H , ffunaMUKa ex3K0& oicudKocmu, M ocKBa 1955.

,P e 3 IO M e

T E ^I E H H E BJ I 3K 0H  JKH flKOCTH  B U IEJIH  M E)K£ ,y flBYM H n O B E P XH O C T a M H  BPAILTEHHW  H 3 KOTOP BIX OflH A HEiTOflBEDKHA

A BTOP Afl COBEPfflAET K P YT H JI t H LI E KOJIEBAH H H

B pa6oTe paccMaTpHBaeTCH  Te^ien n e BJI3KOM JKH AKOCTH B mejiH  iwe>KAy napajiJiera>HHMH  KP H BOJI H -HeJł HbliWH  nOBepXHOCTHMH  BpaiHeHHH  C BepTHKaJlŁ HOM OCWO CHMMeTpHH, npHMeiWj BepXHHH  nOBepXHOCTb

a H H H tH aa co Bepm aeT KpyTH ^bH we KOJie6anH H .

aflaiH  ripH MenaioTCH  jiH H eapH 3OBannwe ypaBH eu n n flBH H <enH H  BH3Koił  IKMAKOCTH ,D(JIH ocecH MiweTpH yecKoro Te^eH H n B cucTeM e KP H BOJI H H C H U LI X KoopflH H ar x, &, y cBH3aHHbix c wmaitik noBepxH OCTbio.

I I oJiyqeH bi (bopM yn w onpeflejiH ioiU H e TaKHe n apaM eT pw TeiieHHH  i<ai< KOiwnoHeHTbi CKOpocTH  vx,

VQ, vy H  flaBJieH ne p.

S u m m a r y

VISCOU S F LU I D  F LOW T H R O U G H  I N  A SLOT BETWEEN  TWO SU RF ACES OF  REVOLU TION : ON E O F  TH E M  F I XE D  AN D  T H E OTH ER ON E — TORSION ALLY OSCILLATIN G

Laminar flow of an incompressible viscous fluid is considered in a slot between two parallel surfaces of revolution having vertical axis of symmetry: the upper one. is fixed and the lower one — torsionally oscillating. The linearized equations of motion of the viscous fluid flow for axial symmetry are written in the intrinsic curvilinear orthogonal coordinate system x, &, y linked with the lower surface. As a result, the formulae defining the velocity components vx, vo, vy and pressure/ ) have been obtained.

AKADEMIA TECH N ICZN O- ROLN ICZA, BYD G OSZCZ