Ćwiczenie 4b: Przepływ cieczy lepkiej w rurze o zmiennym przekroju.

(1)

Ćwiczenie 4b: Przepływ cieczy lepkiej w rurze o zmiennym przekroju.

17 maja 2016

W ramach projektu należy znaleźć rozkład funkcji strumienia ψ(x, y) oraz wi- rowości ζ(x, y) dla przepływu cieczy lepkiej w układzie jak na rysunku 1. Ciecz wpływa z lewej strony do rury, która zmienia następnie swój przekrój, a wypły- wa z prawej przez rurę o niewielkim przekroju. Kropki na rysunku oznaczają brzeg, krzyżyki to obszar roboczy w którym poszukujemy rozwiązania.

Parametry wspólne dla obu zadań:

nx = 400, ny = 200, j1 = 0, j2 = 50, ∆x = ∆y = ∆ = 0.01, T OL = 10⁻¹⁰, ρ = 1.0, µ = 1.0.

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

WE WY

0 1 2 i1 i2 n_x

j1=0 j2

ny

A B

C

D E F

^x^x ^x^x ^x^x ^x^x ^x^x ^x^x

j1=0 j2

Rysunek 1: Schemat siatki używanej przy poszukiwaniu ψ i ζ.

1

(2)

1 Schemat relaksacyjny

Aby znaleźć ψ(x, y) oraz ζ(x, y) należy znaleźć rozwiązanie układu równań róż- niczkowych:

∇²ψ = ζ (1)

∇²ζ = ρ µ

(∂ψ

∂y

∂ζ

∂x−∂ψ

∂x

∂ζ

∂y )

(2) gdzie: ρ jest gęstością płynu a µ jest jego współczynnikiem lepkości. Układ rów- nań (1-2) rozwiążemy metodą relaksacji na siatce. Czyli poszukujemy ψ(xi, yj)→ ψi,j oraz ζ(xi, yj)→ ζi,j. Parametry siatki: i = 0, 1, . . . , nxoraz j = 0, 1, . . . , ny. Przepis relaksacyjny dla funkcji strumienia

ψi,j= ψi+1,j+ ψi−1,j+ ψi,j+1+ ψi,j−1− ∆²ζi,j

4 (3)

oraz wirowości ζ_i,j

ζi,j = ζi+1,j+ ζi−1,j+ ζi,j+1+ ζi,j−1

4

− ∆²ρ 4µ

[(ψi,j+1− ψi,j−1

2∆

) (ζi+1,j− ζi−1,j

2∆

)

−

(ψi+1,j− ψi−1,j

2∆

) (ζi,j+1− ζi,j−1

2∆

)]

(4) Ponieważ (1) jest równaniem Poissona, dla schematu (3) możemy wykorzystać całkę funkcjonalną

S =

∫ ∫ dxdy

(1

2(∇ψ)²− ψζ )

= ∑

i

∑

j

∆² 2

[(ψ_i+1,j− ψi−1,j

2∆

)2

+

(ψ_i,j+1− ψi,j−1

2∆

)2]

− ∆²ζi,jψi,j(5)

do monitorowania jakości rozwiązania. Układ równań różnicowych (3) i (4) ite- rujemy równocześnie do momentu aż zostanie spełnieniony warunek

Sit+1− Sit

Sit

< TOL (6)

gdzie Sitjest wartością całki (5) w iteracji it.

2 Warunki brzegowe

2.1 WB dla funkcji strumienia ψ

Dla funkcji strumienia przyjmiemy warunki brzegowe typu Dirichleta.

2

(3)

Wejście/Wyjście:

ψ0,j= ψnx,j= Q 2µ

[y_j³ 3 −y²_j

2 (yj1+ yj2) + yj· yj1· yj2

]

, j = j1, . . . , j2

Krawędź A: ψ_i,j₂ = ψ_0,j₂, i = 1, . . . , i₁ Krawędź B: ψi₁,j = ψ0,j₂, j = j2, . . . , ny

Krawędź C: ψi,n_y = ψ0,j₂, i = i1, . . . , i2

Krawędź D: ψi₂,j = ψ0,j₂, j = j2, . . . , ny

Krawędź E: ψi,j₂ = ψ0,j₂, i = i2, . . . , nx− 1 Krawędź F: ψi,0= ψ0,j₁, i = 1, . . . , nx− 1

Wielkość Q w powyższych równaniach jest gradientem ciśnienia wymuszającym przepływ lepkiej cieczy.

2.2 WB dla wirowości ζ

Dla wirowości warunki brzegowe Dirichleta narzucamy na wejście i wyjście a na pozostałych krawędziach dajemy warunki typu von Neumanna.

Wejście/wyjście:

ζ0,j = ζn_x,j = Q

2µ(2 yj− yj1− yj2) , j = j1, . . . , j2

Krawędź A: ζ_i,j₂= (ψ_i,j₂₋₁− ψi,j2)· 2/∆², i = 1, . . . , i₁− 1 Krawędź B: ζ_i₁_,j = (ψ_i₁_+1,j− ψi1,j)· 2/∆², j = j₂+ 1, . . . , n_y− 1 Krawędź C: ζ_i,n_y =(

ψ_i,n_y₋₁− ψi,ny

)· 2/∆², i = i₁+ 1, . . . , i₂− 1 Krawędź D: ζi₂,j = (ψi₂−1,j− ψi₂,j)· 2/∆², j = j2+ 1, . . . , ny− 1 Krawędź E: ζi,j₂= (ψi,j₂−1− ψi,j₂)· 2/∆², i = i2+ 1, . . . , nx− 1 Krawędź F: ζi,j₁ = (ψi,j₁+1− ψi,j₁)· 2/∆², i = 1, . . . , nx− 1

Na przecięciu krawędzi A-B oraz D-E dajemy średnią z dwóch sąsiednich wę- złów:

ζi₁,j₂ = (ζi₁−1,j2+ ζi₁,j₂+1)/2 ζ_i₂_,j₂= (ζ_i₂_+1,j₂+ ζ_i₂_,j₂₊₁)/2

3 Zadania do wykonania

1. Przepływ w rurze o stałym przekroju (Poiseuille’a)

Jeśli przyjmiemy: i1 = 125 oraz i2 = 126 wówczas wyeliminujemy górną wnękę. Wówczas funkcja strumienia i wirowości powinny mieć taki prze- bieg jak na wejściu. Należy znaleźć rozkład ψ oraz ζ wykorzystując sche- mat relaksacyjny (3-4). Na starcie przyjąć ψ = 0 oraz ζ = 0 w obszarze ro- boczym (krzyżyki) oraz Q =−500. Po zakończeniu relaksacji, narysować:

3

(4)

ψ(0, y),ψ(2, y), ζ(0, y) i ζ(2, y), składową poziomą prędkości u = ^∂ψ_∂y|x=2

(wykorzystać centralny iloraz różnicowy) oraz wykres konturowy ψ(x, y).

(50 pkt)

2. Przepływ w rurze z wnęką

Tworzymy wnękę ustawiając: i₁= 125 oraz i₂= 275. Wykonać relaksację zgodnie z (3-4) dla Q = −10, −100, −500, −1000. Na starcie przyjąć ψ = 0 oraz ζ = 0 w obszarze roboczym (krzyżyki). Dla każdej wartości Q sporządzić wykres konturowy funkcji strumienia ψ(x, y). Dla Q =−1000 dodatkowo wykonać wykres mapę wirowości ζ(x, y) ustawiając kolor biały jako 0. (50 pkt)

4