Przepływ cieczy i gazów

Przepływ cieczy i gazów

(czyli płynów)

Opis przepływu cieczy

Idealizacja cieczy rzeczywistej

• nieściśliwa

• nie posiada lepkości

Gazy – gdy przepływają powoli można nie brać pod uwagę ich ściśliwości i traktować je jak nieściśliwe ciecze.

Euler: znajomość prędkości przepływu w każdym punkcie cieczy o współrzędnych x, y, z

) , , ,

1

( x y z t

x

= f

υ υ

= f

( x , y , z , t ) υ

= f

( x , y , z , t )

Lagrange: znajomość losów określonej cząstki cieczy

dt dx

x

=

υ

dt dy

y

=

υ

dt dz

z

= υ

równanie toru

dt t z y x f dt

dx = υ

=

( , , , ) dt t z y x f dt

dy = υ

=

( , , , ) dt t z y x f dt

dz = υ

=

( , , , )

Linia prądu: krzywa w każdym punkcie styczna do prędkości cieczy przepływającej przez ten punkt.

Przepływ stacjonarny – układ linii prądu nie zależy od czasu, a wiec

charakteryzuje równocześnie tory przebiegane przez poszczególne cząstki...

Wiązka przylegających do siebie linii prądu tworzy „rurkę prądu”

υ

υ

S

S

W przepływie stacjonarnym masa cieczy zawarta w pewnej objętości jest stała, tzn. przez każdy przekrój poprzeczny rurki prądu w jednostce czasu przepływa taka sama masa cieczy:

const S

m = υρ =

gdzie S – powierzchnia przekroju

poprzecznego rurki (w dowolnym miejscu), υ- średnia szybkość przepływu cieczy dla

tego przekroju, ρ - gęstość cieczy Dla nieściśliwej cieczy idealnej:

const

S υ =

Jeśli podzielić cały przepływ cieczy na rurki o jednakowej (np. jednostkowej) wartości Sυ.

Szybkość przepływu (objętość na jednostkę czasu) proporcjonalna do liczby rurek, przecinających jednostkę powierzchni przekroju prostopadłego do przepływu.

∆ x

∆ y

∆ z

x

z

y

Elementarny prostopadłościan o krawędziach

∆ x , ∆ y , ∆ z

W kierunku osi x przez tylną ściankę prostopadłościanu przepływa w czasie ∆t objętość:

t z y x

V ( ) = υ

∆ ∆ ∆

Przez ściankę przednią prostopadłościanu wypływa w czasie ∆t objętość:

t z y x x

x x

V

∆ ∆ ∆ ∆

∂ + ∂

=

∆

+ ) ( )

( υ

υ

Wypadkowy wypływ wzdłuż x:

t z y x x

V

∆ ∆ ∆ ∆

∂

= ∂

∆ υ

Analogicznie wzdłuż kierunków y i z dostaniemy:

t z y y x

V

∆ ∆ ∆ ∆

∂

= ∂

∆ υ

t z y z x

V

∆ ∆ ∆ ∆

∂

= ∂

∆ υ

Dla cieczy nieściśliwej objętość cieczy wpływającej do prostopadłościanu, musi być równa objętości cieczy wypływającej z niego, zatem:

= 0

∆ +

∆ +

∆ V

V

V

= 0

⋅

∇

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂ υ υ υ υ ^r

z y

x

y z x

0 )

( )

( )

( )

( = ∇ =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂ ρυ

ρυ

ρυ

ρ υ ^r z

y x

Analogicznie dla cieczy ściśliwej byłoby:

Hydrodynamiczne równanie ciągłości

Przyspieszenie elementu cieczy

Równanie Newtona dla elementu o jednostkowej objętości można zapisać w postaci:

f a

r r

=

ρ ⋅ ^a – przyspieszenie elementu cieczy f - siła na jednostkę objętości

ρ - gęstość

Jakie siły mogą działać na element cieczy?

• pochodzące od ciśnienia, a właściwie zmiany ciśnienia na przestrzeni elementu cieczy

x x p p ∆

∂ + ∂ p

∆ x

Biorąc pod uwagę trzy kierunki gęstość siły wyniesie:

z y x x

F

p ∆ ∆ ∆

∂

− ∂

=

∆

z y x

x p x

p

F

= − + ∆ ∆ ∆

∆ [ ( ) ( )]

x f p

V F z

y x

F

x x

x

∂

− ∂

=

∆ =

= ∆

∆

∆

∆

∆

Wypadkowa siła wzdłuż x:

Siła wzdłuż x na jednostkę objętości (gęstość siły):

z p p y

p x

f p  = − ∇



 





∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

= r

r

,

,

• zewnętrzne siły zachowawcze działające na odległość

(siła grawitacji, siła Coulomba) - można je opisać za pomocą potencjału ϕ(x,y,z) na jednostkę masy:

ϕ ϕ ρ

ϕ

ρ ϕ  = − ∇



 





∂

∂

∂

∂

∂

− ∂

= r

r

) , , , , (

) , , , (

) , , (

z z y x y

z y x x

z y f

x

• zewnętrzne siły niezachowawcze

• „wewnętrzne” siły niezachowawcze np. siła lepkości (prowadzi do występowania naprężeń ścinających w

przepływającej cieczy)

f r

Sumując przyczynki od różnych czynników dostajemy:

f

p a

r r r r

+

∇

−

∇

−

= ρ ϕ

ρ

Zajmijmy się teraz przybliżeniem nielepkiej cieczy („sucha woda”…)

ϕ ρ

ρ r = − ∇ r − ∇ r p

a

Spróbujmy znaleźć przyspieszenie a elementu cieczy. Z pozoru jest to łatwe…

A υ ^r ∆ t B ) , , ,

( x y z t

υ ^r υ ^r + ∆ υ ^r

tor cząstki

∂ t

∂ υ ^r

- szybkość z jaką prędkość zmienia się w pewnym ustalonym punkcie przestrzeni (x,y,z)

) , , ,

( x y z t υ ^r

Jak zmienia się prędkość wybranej cząstki cieczy?

Jeśli element cieczy, w czasie ∆t przemieści się od punktu A do punktu B, to przesunie się o υυυυ_x∆∆∆∆t w kierunku x, υυυυ_y∆∆∆∆t w kierunku y i υυυυ_z∆∆∆∆t w kierunku z.

Prędkość cząstki chwili t w punkcie (x, y, z)

υ ^r ( x , y , z , t )

Prędkość cząstki w chwili t+∆∆∆∆t

υ ^r ( x + υ

∆ t , y + υ

∆ t , z + υ

∆ t , t + ∆ t )

Z dokładnością do wyrazów

pierwszego rzędu:

t

t t t z

t y t x

z y x

t t

t z

t y

t x

z y

x

z y

x

∂ ∆ + ∂

∂ ∆ + ∂

∂ ∆ + ∂

∂ ∆ + ∂

=

=

∆ +

∆ +

∆ +

∆ +

υ υ υ υ

υ υ υ υ

υ υ

υ υ

r r

r r r

r

) , , , (

) ,

, ,

(

Stąd zmiana prędkości cząstki przy przejściu z punktu A do B:

t z

y x

a t

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∆

= ∆ υ υ

υ υ υ υ

υ ^r υ ^{r r r r}

r

Można to zapisać w postaci:

t

t ∂

+ ∂

∇

∆ =

∆ υ

υ

υ ^r υ ^{r r r} )

(

Zatem równanie ruchu cząstki cieczy (przy pominięciu lepkości) ma postać:

ρ ϕ υ

υ υ

∇

∇ −

−

=

∇

∂ +

∂ r r

r r r

p

t ( )

Jeśli skorzystamy z tożsamości wektorowej:

2

2 ) 1

( )

( υ r ∇ υ r = ∇ × υ r × υ r + ∇ υ

υ ^r r = ∇ ×

Ω

υ ^r

ρ ϕ υ

υ υ υ

∇

∇ −

−

=

∇ +

×

×

∇

∂ +

∂ r r

r r r r

r p

t

2

2 ) 1

(

 

 



 + +

∇

−

=

×

×

∇

∂ +

∂ ϕ

υ ρ υ

υ υ p

t

2

2 ) 1

(

r r r r

Dla przepływu stacjonarnego (ustalonego) – w każdym punkcie cieczy prędkość się nie zmienia (w każdym punkcie ciecz zostaje zastępowana nową cieczą, linie prądu są ustalone w czasie). Czyli:

= 0

∂

∂ t υ ^r

 

 



 + +

∇

−

=

×

×

∇ ϕ

υ ρ υ

υ

^p

2 ) 1

(

r r

Zatem równanie ruchu

r

przyjmie postać:

Pomnóżmy je skalarnie

(z lewej strony) przez wektor

υ ^r

Ponieważ wektor

( ∇ × υ ^r ) × υ ^r

υ ^r

to lewa strona równania (**) przyjmuje wartość zero co oznacza, że dla przepływu stacjonarnego

2 0 1

 =



 



 + +

∇

⋅ ϕ

υ ρ

υ ^{r r p}

Czyli dla małego przesunięcia w kierunku ruchu cieczy wielkość w nawiasie nie ulega zmianie…

(**)

 

 



 + +

∇

−

=

× Ω

∂ +

∂ ϕ

υ ρ

υ υ p

t

2

2 r 1 r r

r

lub

Ale w przepływie stacjonarnym (ustalonym), wszystkie przesunięcia zachodzą wzdłuż linii prądu! Zatem wzdłuż linii prądu zachodzi związek:

const p + =

+ ϕ

υ

ρ 2

1 Twierdzenie Bernoulliego

Jeśli ruch jest bezwirowy, to już wcześniej

moglibyśmy napisać:

0 )

( ∇ × × =

=

Ω ^r υ ^r υ ^r

2 0

1

 =



 



 + +

∇ ϕ

υ ρ ^p r

const p + =

+ ϕ

υ

ρ 2

1

Równanie Bernoulliego można też wyprowadzić inaczej korzystając z zasady zachowania energii…

Twierdzenie Bernoulliego – przejaw zasady zachowania energii

υ

^S

S

∆m

t

∆

υ

∆ t

υ

υ

Rurka prądu

t S

t S

m = ∆ = ∆

∆ ρ

υ

ρ

υ

Tyle ile cieczy ile wpłynęło na jednym końcu

rurki musi wypłynąć na drugim:

2 2 2 1

1

1

υ ρ υ

ρ S = S

Rozważmy przepływ w rurce prądu…

Masa cieczy przepływająca przez przekrój S₁ w czasie ∆t…

p

p

Praca wykonana przez ciśnienie

w cieczy (siła razy przesunięcie):

∆ W = p

S

υ

∆ t − p

S

υ

∆ t

Zmiana energii masy ∆m przy przejściu od powierzchni S₁ do powierzchni S₂

) (

2 2 2 1

1

1

S t p S t m E E

p υ ∆ − υ ∆ = ∆ −

gdzie, E₁, E₂ – energia przypadająca na

jednostkę masy, odpowiednio na powierzchni S₁ oraz S₂.

Całkowitą energię na jednostkę masy cieczy można przestawić w postaci sumy energii kinetycznej, potencjalnej ϕ i pewnej energii wewnętrznej cieczy U:

U E = υ

+ ϕ +

2 1

(*)

Korzystając z tego związku wyrażenie (*) można zapasać w postaci

1 1

2 1 2

2 2

2 2

2 2 1

1 1

2 1 2

1 U U

m

t S

p t

S

p = + + − + +

∆

∆

−

∆ υ υ ϕ υ ϕ

υ

ale

∆ m = ρ

S

υ

∆ t = ρ

S

υ

∆ t

2 2

2 2 2

2 1

1 2

1 1

1

2 1 2

1 p U

p U

+ +

+

= +

+

+ υ ϕ

ϕ ρ ρ υ

const p + υ + ϕ =

ρ

2

2 1

Dla cieczy nieściśliwej i bez lepkości wyraz z energią wewnętrzną jest taki sam po obu stronach równania i wzdłuż rurki mamy:

Prawo Bernoulliego

Wypływ cieczy z naczynia

p₀

p₀

linia prądu h

υ_wyp

Na górze:

υ = 0 , p = p

, ϕ = 0

Przy otworze:

υ

, p = p

, ϕ = − gh

Zatem:

gh p

p

=

+ ρυ

− ρ 2

1

Stąd:

wyp

= 2 gh υ

Tak jak przy spadku swobodnym!

Ile wody wypływa ze zbiornika w jednostce czasu?

Zdziwiłby się ten kto by myślał, że wystarczy pomnożyć prędkość wypływu przez czas i rzeczywistą powierzchnię otworu. Strumień cieczy zawęża się i w efekcie wypływ cieczy zmniejsza się - dla otworu o przekroju kołowym do ok. 60%...

Dlaczego?

const p + ρυ

+ ρϕ =

2

1

Rozważmy sytuację, w której do środka naczynia wstawimy rurkę o pewnym (małym) przekroju S₀…

h

p₀

p₀

υ_wyp

Co z zasadą zachowania pędu?

Dotychczas korzystaliśmy z zasady zachowania energii.

Wypływająca ciecz unosi pewien pęd, a zatem musi na nią działać pewna siła…

Skąd się bierze?

Siła pochodzi od ścianek naczynia…

Niech przekrój strumienia wyniesie:

S

= α S

W czasie ∆∆∆∆t z otworu

wypłynie masa ∆m:

∆ m = α S

ρυ

∆ t

t S

t S

p =

∆

=

∆

∆ ~ ( α

ρυ ) υ α

ρυ

Unoszony przez ciecz pęd wyniesie:

2 0

~

S

t

F p = α ρυ

∆

= ∆

Zatem na element ścianki naczynia naprzeciwko rurki działa siła:

S0 S₀

Siła reakcji działająca na strumień jest równa sile parcia jaki wywiera ciecz na powierzchnię ścianki S₀ naprzeciwko otworu (zakładamy, że przy

ściankach ciecz się praktycznie nie rusza):

gh S

F =

ρ

2 0

0

gh S

S ρ = α ρυ

Ale wiemy, że

υ

= 2 gh

gh S

gh

S

ρ = α

ρ 2

2

= 1 α

Zatem z takiego otworu wypłynie o połowę mniej cieczy, niż by się można spodziewać!

Ma to znaczenie, jeśli chce się wiedzieć ile wody może wypłynąć z beczkowozu przez otwór o znanej średnicy…

Ciśnienie statyczne i dynamiczne

υ υ υ

υ

υ υ υ υ

const p + υ + ϕ =

ρ

2

2 1

2 2 2

2 1

1

2

1 2

1 ρυ = + ρυ

+ p

p

Na tym samym poziomie mamy ten sam potencjał …

) 2 (

1

1 2

2 2

1

− p = ρ υ − υ

p

2 2 1

1

S υ S

υ =

Ale z równania

ciągłości:







 

 −

=

− 1

2

2 2 1

1 2

1

S

p S

p ρ υ

Trochę doświadczeń ilustrujących prawo Bernoulliego

• kuleczka ping-pongowa w strumieniu powietrza

• strumień powietrza pomiędzy kartkami powietrza

• wciąganie kulki przez lejek…

• efekt Magnusa…i lepkość

Jakościowe wyjaśnienie:

Dzięki lepkości

obracający się walec „napędza”

cząsteczki powietrza po lewej stronie i hamuje po prawej…

Po lewej stronie walca gaz ma większą prędkość, niż po prawej, to oznacza (zgodnie z prawem

Bernoulliego), że ciśnienie statyczne po prawej stronie będzie większe niż po lewej…

Wykorzystują to piłkarze, strzelając bramki np. z rzutu rożnego…

1

2

υ

υ > υ

1

2

p

p < p

> p

F

walec

staczający się po równi

Siła oporu proporcjonalna do prędkości ruchu

υ ^r

r k

F = −

Powietrze (20 ⁰C) 1,7 ·10^-5 N s/m² Woda (20 ⁰C) 1,0 ·10^-3 N s/m²

Gliceryna (20 ⁰C) 8,5 ·10^-1 N s/m² Olej rycynowy (20 ⁰C) 9,7 ·10^-1 N s/m² Smoła (20 ⁰C) 10⁷N s/m²

Lepkość – tarcie wewnętrzne

x S

F υ

η

Naprężenie

=

ścinania

η - współczynnik lepkości

υ

υ

płyn x

F

Jeśli rozważymy dwie bardzo bliskie warstwy w cieczy to wtedy siłę ścinającą (siłę lepkości) możemy przedstawić w postaci

dx S d

F υ

η

= dx

d υ

prostopadłym do przepływu

υ

υ υ + ^d

dx S

S

S

z cieczą lepką pomiędzy nimi…

υ 0

k F = −

x k = η S

gdzie

Przepływ cieczy lepkiej przez (wąską) rurkę

p

l

r ^R

p p + ∆

Rozważmy rurkę (strugę) cieczy o promieniu r . Niech różnica ciśnień na końcach elementu takiej rurki (o długości l) wynosi ∆p

Siła podtrzymująca przepływ stacjonarny w takiej rurce wynosi:

r 2

p F = ∆ π

Wartość siły oporu lepkiego, działająca rurkę (ścianki rurki) wynosi:

dr lr d

r

F _l υ

π η 2 )

( = −

Dla przepływu

stacjonarnego

F _l = F

dr lr d

r

p υ

π η

π

= − 2

∆

l rdr d p

υ η

2

− ∆

=

To równanie określa zależność szybkości cieczy od odległości od środka rurki r

∫

∫ ^{= − ∆}

=

r

R

dr l r

d p

r ' '

' 2 )

(

0 υ η

υ

Na powierzchni rurki

υ

r=R, υ(R)=0 W środku rurki:

υ(0)= υ

(

)

) 4

( R r

l

r ∆ p −

= η υ

υ

2

max

2 R

l p υ = ^∆ η

Rozkład prędkości ma kształt paraboli!

Objętość cieczy przepływającą przez rurkę w jednostce czasu można obliczyć sumując przyczynki od pierścieni o grubości dr otaczających naszą strugę…

Wewnątrz pierścienia prędkość wynosi υ(r)

r dr

rdr dt r

dI = dV = υ ( ) 2 π

( )

 





 



 −

= ∆

∆ −

= ∫

^p _l ^{R r rdr p} _l ^R ∫

^rdr ∫

^{r dr}

I

0 0

3 2

0

2 2

2 2

4 η

π π η

 

 



 −

= ∆

4 2

2

4

4

R

R l

I p

η π

l R I p

η π 8

∆

=

Wzór Poiseuille’a: pozwala określić wartość

współczynnika lepkości η z pomiaru ilości cieczy wypływającej z rurki (kapilary)…

Naczynia krwionośne

- sieć kapilarna, przepływ napędzany przez serce…

)

υ (r