Drgania grubościennej rury przy wewnętrznym i zewnętrznym przepływie cieczy

I  S T O S O W A N A  1, 7 (1969) 

D R G A N I A  G RU B O Ś C IE N N E J  R U R Y  P R Z Y  W E W N Ę T R Z N Y M I  Z E W N Ę T R Z N Y M  P R Z E P Ł Y W I E  C I E C Z Y 

JACEK  S A M B O R S K I ( W ARSZAWA)

Waż niejsze oznaczenia 

promień  wewnę trzny i zewnę trzny ru ry,  gę stoś ć  materiału ru ry, 

gę stoś ć  cieczy wewnę trznej i zewnę trznej, 

prę dkoś ć  niezab u rzonego przepływu cieczy wewnę trznej i cieczy otaczają cej rurę ,  prę dkoś ć  propagacji dź wię ku w cieczy wewnę trznej i zewnę trznej przy niezab u rzonym  przepływie, 

prę dkoś ć  fazowa sprę ż ystej fali propagowanej wzdłuż  ru ry, 

prę dkoś ć  fal podłuż nych w materiale ru ry, 

prę dkoś ć  fal poprzecznych w materiale ru ry, 

stałe La me'go materiału ru ry, 

funkcje Bessela н ­tego rzę du pierwszego rodzaju ,  funkcje Bessela л ­tego rzę du drugiego rodzaju , 

w =­w n ­  Q z £ ­ Cw Ё  ­ — 

Q Q C2 C2 .

1. Wstę p 

Piś miennictwo dotyczą ce zagadnień  drgań  powłok  cylin d r yczn ych w  kon ta kcie z cie­ czą  jest ob szerne. Identyczny  j a k w niniejszej pra cy przypa dek  d l a  cien kich powłok roz­ patrzył B O ŁO TIN w swojej pra cy [3] i nastę pnie powtórzył w [4].  D r g a n i a  gr u b ych powłok  cyl in d r yczn ych b ez cieczy rozwią zali  G AZI S [5} i  M I R SKY,  H ER R M AN N [6]. G REEN SP O N [7]  zają ł się   cien k imi i  gr u b ymi powłokami  za n u r zon ymi w nieru chomej cieczy z przyłoż onym  stałym ciś nieniem w ś rodku. W res zcie prace BO BESZKI ([2]  j a k o  kon tyn u a cja [1]) dotyczą   a na logicznego za ga dnienia ,  j a k niniejsza pra ca , ale b ez cieczy zewnę trznej. W odróż nieniu  o d litera tu ry cytowanej powyż ej, w niniejszej pra cy uwzglę dniono przypa dek grubej  p ow ­ włoki i  r u ch  o b u cieczy: wewnę trznej i zewnę trznej. 

W pra cy rozważ amy  d r ga n ia własne nieskoń czenie długiej ru ry o  p r omien iu wewnę trz­ n y m a i zewnę trznym b (wielkoś ci: promień  b i gruboś ć  ru ry b­a są  tego samego rzę du). 

a,b 

e 

­V 

Materiał  r u r y jest  lin iow o sprę ż ysty. Rurę  wewną trz i zewną trz opływają  dwie ciecze, ś ciś ­

liwe i nielepkie, o gę stoś ciach odpowiednio gw i QZ. W da ls zym cią gu przyjmu jemy nieskoń ­

czenie małe przemieszczenia punktów  r u r y i liniowe równania  r u ch u  d l a cieczy ora z  l i ­ niowe  w a r u n k i b rzegowe. Przepływ cieczy w stanie  s p oczyn ku  r u r y  od b yw a się  ze stałą   prę dkoś cią  równolegle  d o os i ru ry. 

2 . Podstawowe równania zagadnienia 

D l a infinitezyma lnych odkształceń  ru ry, pertu rb acja w przepływie wywołana przez  odkształcenia  r u r y róż ni się  infinitezyma lnie  o d przepływu ze stałą  prę dkoś cią  U, a poten­ cjał pertu rb acji 93 spełnia zlinea ryzowa ne równanie 

1 / 5 „ д  v" 

(2.1)  ^ ~ 1 Ą k + u i

x ^ ­ " 

gdzie  d l a cieczy wewnę trznej należ y podstawić : q>w, cw, Uw, a  d la cieczy zewnę trznej: <pz, 

c„ Uz. 

Równania  r u ch u punktów należ ą cych  d o ru ry mają  postać  

(2.2)  iu d ivgr a d u +  ( A+Ja ) gr a d d ivu = Q  y^ r > u = U(HJ , м 2, "3) .

Przeds ta wmy wektor przemieszczenia u w postaci s u my gra dientu potencjału skalarnego %  i rotacji bezź ródłowego potencjału wektorowego ф  

(2.3) u = gra d x+rot  ф ,  d ivф  =  0 . 

W p r ow a d za my współrzę dne cylindryczne х , в , r (oś  x  p ok r yw a się  z osią  cylindra ). Znają c  potencjały % i ф , moż emy z (2.3) znaleź ć  pole przemieszczeń  punktów  r u r y 

„ _ „ ­ dX , dVt> V» • 1  U x ~ " ~ 8x + _dr r + г  dd ' 

Przyjmują c czę ś ć  liniową  tensora odkształcenia  E u ler a , składowe  p ola odkształceń  i  n a ­ prę ż eń  za pis zemy w postaci 

­

 "^/'

 ~  Т \ д 7 ~ 7

gdzie 

(2.7) A 

Równanie (2.2) jest spełnione, jeś li potencjały % i ф  spełniają  równania falowe  (2.8)  1  о 2ф   ( i _ i \ V2V s 2 x , i 82Z l dx , д 2Х   (е х х+е в в+е г г) = V X = + f.2 W +  ~ ^ +  y , f  V 1 c\ dt2 '  (2.9)  У 2ф ­ c\ dt2  0. 

W a r u n k i b rzegowe łą czą ce pole prę dkoś ci płyną cej cieczy wewnę trznej i zewnę trznej  i drgają cej sprę ż yś cie ru ry są  nastę pują ce: warunek kinematyczny, wymagają cy  b y były  równe składowe promieniowe prę dkoś ci czą stki płynu i czą stki ru ry  n a  p ow ier zch n ia ch  r = a i r = b  (2.10)  Sepy,  dr  r=a  dur  r=a  w dx 

3 

or a z warunek dynamiczny zapewniają cy cią głoś ć  naprę ż eń   n a gra nicy oś rodków 

(2.12) 

= °"J

.

=4=*

]r=o 

D a ls ze rozważ ania ogra nicza my  d o ru ry nieskoń czenie długiej. Rozwią zania równań   (2.1), (2.8) i (2.9) przewidu jemy w postaci 

q>w(r, 6, x, t) = /(r)cos7i0sin(et>f—kx),  (p2{r, 6, x, t) = p(r)cosnOsu\(wt—kx), 

X(r, в , X, t) = g(r)cosnOcos(oot — kx),  y>x(r, 0, x, i) = hx(r)sinnOcos(cot—kx),  г р в(г , в , x, i) = he(r)cosnes\n(cot—kx),  yr(r, 0, x, t) = hr(r)$innQsm(wt—kx). 

Przez pods ta wienie (3.1)  d o równań  (2.1), (2.8) i (2.9) otrzymu jemy zwyczajne równania 

róż niczkowe  n a fu nkcje p,f, g, hi = hx, he—hr = 2h2 ora z he­\­hr = 2h} 

B„.„[f] = 0, Bn,Sr[p] = 0, B„,,r[g] = 0, 

(3.1) 

(3.2) 

gdzie 

(3

.4)  a

 = ^r Ję ^L _

г , p

« L

  _

« .

г

  « J . 32

  ( *>­ ^ , )

 . 

l

Ogólne rozwią zanie (3.1) w  tym  p r zyp a d ku  m a postać  

f(r) = A1Zn(ar)+A2Wn(<xr),  p(r) = В М д г )+В 2Ц га{д г ),  g(r)=C1Z„(Br)+C2W„(Br),  ( ­ ) A,(r) = D lZn{yr)+D1Wn{yr),  h2{r) =  Ą Z ^ C y O + Ą ł K + i G w ) ,  A3(r) =  F i Z . _1( y r ) + Ą ^ . _1( y r ) , 

gdzie  Z „ ozna cza /„ lu b J„. a W„ ozna cza AT„ lu b Yn zgodnie z układem (w zależ noś ci  czy: 

a, /3, у   l u b ó są  u rojone czy rzeczywiste) 

(3.6) 

\<o—kU„\  < kcw 

и м  

co < kc2 

и м  

kc2 < co < kcx  UM  K

n(M  Uyr)  Yn(yr)  kci < co 

и м  

\(o­kUz\  < kc.  K„(dr)  kcz < \co—kUz\  Y„(dr) 

Ponieważ  f(r) mu s i być  ogra niczone  d l a r — 0. a p(r) = 0  d l a r = 00, wię c bę dzie: 

A2 = BT = 0.  N a podstawie (2.3)2, każ da z fu nkcji h, (i = 1, 2, 3) moż e być  przeds ta wiona 

w postaci  komb in a cji dwóch pozostałych, wię c przyjmują c h3 = 0  m a m y: hx = hx, he = h2l 

K= ­h2. 

P ol a przemieszczeń , odkształceń  i naprę ż eń  mogą  wię c być  przedstawione w nastę pu­ ją cej  p os ta ci:  ux = u — [kg—h,—­ A?— — h­Acosnd sin(eor—kx),  \ r r I  ue = v _{— (— — g + h[—kh}2\smndcos(cot—kx),  (3.7)  и , = w = ^g' — hl~—kh2^cosnOcos(cot — kx),  Ł г в  =

 \ [~ T (

'~  f )

*

 ~ 7^

  T '

e„ ­ \g"­ j  | л ; ­  yj­ A: / j2jcos «9cos ( cof­ A: x) , 

axr = 2/ nexr — fi^2kg'—h2—у   | л 2— j Л 2|— ~­ h{— A:2A2jcosn0sin(<yr —kx), 

\ 2n I , g\ ht n2hi 

cr,9 = 2/ г е ге  = fi I —  Ig ­

  yj + A i

H &A2 |sinw0cos(co/—kx), 

a„ = 2jue„+XV2x = 

=­­ 7  ( A ; ­ ^ ­ J ­ ^2j 2 ^ ­ A ( / S2+ A :2) ^ J c o s n e c o s ( c o r ­ A : x ) , 

gdzie  p r imy oznaczają  róż niczkowanie wzglę dem г . 

Wykorzystują c  w a r u n k i b rzegowe (2.10—2.15) otrzymu jemy  jed n or od n y układ oś miu 

równań   n a stałe Al} B2,  C j ,  C2, Dx, D2, El} E2. U kład ten  m a zawsze trywialne rozwią ­

zanie Ai = B2 = ... = E2 = 0, odpowiadają ce nieza b u rzonemu przepływowi cieczy 

i  s p oczyn kow i ru ry.  Pr zy  p ew n ych  w a r u n ka ch moż liwy jest  jed n a k s ta n  za b u r zon y  od ­ powiadają cy  p r zyp a d kow i, gdy nie wszystkie stałe są  równe zeru .  W a r u n k i e m is tnienia  rozwią zania niezerowego jest,  a b y  w yzn a czn ik cha ra kterys tyczny tego układu był równy 

zero. Z równań  powstałych z  w ykor zys ta n ia warunków (2.10) i (2.11)  w yzn a czon o Ax 

i B2 w zależ noś ci  od pozostałych stałych, a nastę pnie pods ta wiono w ten sposób otrzyma ne 

wyraż enia  n a Ax i B2  d o pozostałych sześ ciu równań , dzię ki  czemu obniż ono stopień   w y­

zn a czn ika  d o sześ ciu. W  op a r ciu o wzory reku rencyjne  d l a fu nkcji B essela,  w a r u n ek ist­ nienia rozwią zań  niezerowych moż na ostatecznie zapisać   j a k o 

(3.8) |Cy| =  0 .  ( U = 1,2 6),  gdzie  Cu =  { 2 « ( и ­ 1 ) ­ а 2[ ( у 2­ ^ ) +  2 / 92( Я 2­ 1 ) ] } г п( / З а ) + 2 Я 2^п+ 10 8 а ) + 

+r,

e

a\«

+k

)

 nZ^a)~Y^m 

iw w v nZn(jm)—Ai «aZn+i («a) 

(3.9) С ,з  = 2n(n­\)Zn(ya)­2nl3yaZn+x(ya)+ 

+ r)wi;W(a.2+k2) "Zfya\ Z„(«a), 

l w nZ

n(aa)—XxcuiZn+x(<xa) 

С , = 

­2n(n­l)Zn(Ba)+2nX2paZn+l(fia), 

yka2Z„ (ya)—2(n+l) kaZ„

+! (ya), 

­[2n(n+l)­(2X3­l)y2a2]Zn(ya)­2X3yaZn+l(ya), 

­2n(n­\)Wn(Pa)+2npaWn+l(Pd), 

hyka2W„(ya)­2(

n+l)kaWn+1(ya), 

­[2n(n­l)­(2h­l)y2a2W

n(ya)­2yaWn+l(ya), 

2nkaZn(fia)­2X2pka2Zn+1(Pa), 

­ (y2­k2)a2Z

n+l(ya)+nyaZn(ya), 

nkaZ„(ya), 

C3 4 = 2nkaWn(pd)­2pka2Wn^d),  C3 5 = hnyaWn{ya)­(Y2­k2)a2Wn+l(ya),  C3 6 = nkaWniya). 

Pozostałe współczynniki (od  C4,  d o  C6 6) bę dą  miały analogiczną  postać  (C4i  j a k  Cn,  C4 2 

j a k  C1 2 itd), z  tym, ż e należ y zastą pić  

C2 1  C2 2  С г з   (Г 24  C3 2  c3 3  ' Л ­ fz,  a ­ > Ł , Z„(ar)­+ W„{dr), %­*8, 

a  mia n ow n ik  [ « Z „( a a ) — Ai  a a Zn ł ,(aa)] zastą pić   mia n ow n ik iem [nWn(db)—dbWn+1(db)].  Wielkoś ci A; (i = 1, 2, 3) przyjmują  wartoś ci  + 1  lu b — 1 (w zależ noś ci czy a, fi, у  są  

rzeczywiste czy u rojone), zgodnie z tabelą  

(3.10) 

a u rojone 

->

/3 rzeczywiste —» _{Л О З г ), r.(j8r)}  A2 = 

у  u rojone  —• _h(yr), Kn(yr) A3 = ­

у  rzeczywiste  Uyr), Yn(yr) A3 = 

U w a g a : W  p r a cy BO BESZKI [2] popełniono pomyłkę  rachunkową  przy  ob licza n iu  współczynników  C , ; , pomyłkę  tę  powtórzono  p r a w d op od ob n ie  za pracą  G AZI SA [5]. W Cn,  C4i ,  , C1 4 i  C4 4 za mia s t  ( y2­ l )  w in n o b yć :  [ ( у 2­ 1 ) + 2 Ł2( А 2­ 1 ) ] , a w  C2 3,  C2 6,  C5 3 i  C5 6 

wyraż enie y2k2a2  w in n o być  pomnoż one przez (2A

4. Rozwią zania szczególne 

Równanie (3.8) opisu je zwią zki dyspersyjne  d l a gruboś ciennej ru ry opływanej we­ wną trz i  n a zewną trz przez płyny. W szczególnych  p r zyp a d ka ch ten  b a r d zo  s k omp l ik o­ w a n y  w a r u n ek zna cznie się  u pra s zcza . 

W  p r zyp a d k u fali stoją cej (k — 0)  w yzn a czn ik redu ku je się  do  iloczyn u dwóch  p o d ­ wyznaczników  (4.1) AŁ >2 =  0 ,  gdzie  (4.2)  A =  Cu c1 3  Cu Ci 6  c2l  C24  c26  С 41  C44 C4 6 С  51  c5 3 

C54 

£>,= 

Rozwią zania niezerowe istnieją , jeś li przynajmniej jeden z podwyznaczników jest równy 

zeru .  Pr zy Di = 0 stan odkształcenia jest płaski, przy D2 = 0 zachodzą  podłuż ne drga ­

nia ś cinają ce  ( ob a rodzaje drgań  niezależ ne  o d x). 

W  p r zyp a d k u fa l os iowo­ s ymetrycznych (и  = 0)  w a r u n ek is tnienia rozwią zań  nie­ zerowych (3.8) redu ku je się   d o 

(4.3)  gdzie  (4.4)  D3D4 =  0 ,  D3 =  Cu C12 C] 4  С , 5  C3,  C32  C34  C3 5  C 4 1  C 4 2  C 4 4  C 4 5  c «  c6 2  С б 4  c6 5  2>4 =  С 2з   C 5 3 C 2 6  C 5 6 

Pr zy  D3 = 0 powstają  fale podłuż ne os iowo­ s ymetryczne (tylko przemies zczenia ur i ux). 

Jeś li DĄ = 0, to  p r zyp a d ek fal skrę tnych (tylko przemies zczenia u9). 

Litera tu ra cytowana w tekś cie 

1.  A .  B O B E S Z K O , Sprę ż yste fale gię tne w nieskoń czonej rurze przy przepływie płynu nieś ciś liwego,  Rozp r .  Inż yn. 1,  1 1 (1963). 

2.  A .  B O B E S Z K O , Flexural elastic waves in infinite tube containing flowing a compressible fluid, according to  the exact theory of elasticity,  A r c h .  M ech . Stos., 1,  1 6 (1964). 

3. В . В . Б о л о т и н , К о л е б а н и я  и  у с т о й ч и в о с т ь  у п р у г о й  ц и л и н д р и ч е с к о й  о б о л о ч к и  в  п о т о к е  с ж и м а е м о й   ж и д к о с т и ,  И н ж . С б .  2 4 ,  1956. 

4. В . В . Б о л о т и н , Н е к о н с е р в а т и в н ы е  з а д а ч и  т е о р и и  у п р у г о й  у с т о й ч и в о с т и , М о с к в а   1961. 

5.  D . С .  G A Z I S , Three­dimensional investigation of the propagation of waves in hollow circular cylinders,  J A S A , 5,  3 1 (1959). 

6.  I.  M I R S K Y ,  G .  H E R R M A N N , Axially symmetric motions of thick cylindrical shells,  J .  A p p l .  M ech . , 1, 25  (1958). 

Р е з ю м е   К О Л Е Б А Н И Я   Т О Л С Т О С Т Е Н Н О Й   Т Р У Б Ы   О Б Т Е К А Е М О Й   В Н У Т Р И  И   С Н А Р У Ж И   Ж И Д К О С Т Ь Ю   В  р а б о т е  р а с с м о т р е н ы  с о б с т в е н н ы е  к о л е б а н и я  б е с к о н е ч н о й , у п р у г о й  т о л с т о с т е н н о й  т р у б ы .  Т р у б а  о б т е к а е т с я  в н у т р и  и  с н а р у ж и  д в у м я  р а з л и ч н ы м и  с ж и м а е м ы м и  и  н е в я з к и м и  ж и д к о с т я м и .  П р е д п о л а г а е т с я , ч т о  о б е  ж и д к о с т и  т е к у т  в  н е в о з м у щ е н н о м  с о с т о я н и и  т р у б ы  п а р а л л е л ь н о  е ё  о с и .  С в е р х  т о г о , с ч и т а е т с я , ч т о  п е р е м е щ е н и я  в  т р у б е  б е с к о н е ч н о  м а л ы  и  м о ж н о  п р и н я т ь  л и н е а р и з о в а н ­ н ы е  у р а в н е н и я  д в и ж е н и я  ж и д к о с т и  и  л и н е й н ы е  к р а е в ы е  у с л о в и я . О к о н ч а т е л ь н о е  р е ш е н и е  з а д а ч и   д а н о  в  в и д е  д и с п е р с и о н н ы х  с о о т н о ш е н и й . Р а с с м о т р е н ы  д в а  ч а с т н ы х  с л у ч а я : о с е с и м м е т р и ч е с к и е   к о л е б а н и я  и  в о л н ы  н е з а в и с и м ы е  о т  к о о р д и н а т ы  в д о л ь  о с и  т р у б ы .  S u m m a r y  V I B R A T I O N S  O F A  T H I C K ­ W A L L E D  T U B E  I N  I N T E R N A L  A N D  E X T E R N A L  F L O W S  O F  F L U I D S 

Vib ra tions of infinitely long, elastic  a n d thick­ walled tube are considered.  Th e tube is assumed to  be  in two flows ­ internal  a n d external ­  of two different b u t b oth compressib le  a n d non­ viscous flu ids .  In a ddition,  in the case of the tube  in rest, b oth flows are assumed to be u niform with velocity parallel  to the tube. Moreover, infinitesimal displacements of the tube as well as linear equ ations of flu ids  motion  a nd linear b ou nda ry conditions are a pplied.  Th e fina l s olu tion  of the prob lem  in qu estion is presented  in the form  of dispersion relations. The paper is illu strated b y two cases:  of axially symmetric vib rations  and infinite wavelengths. 

Z A K Ł A D  M E C H A N DS I  O Ś R O D K Ó W  C I Ą G Ł Y C H  I N S T Y T U T U  P O D S T A W O W Y C H  P R O B L E M Ó W  T E C H N I K I  P A N