T o m X L V III, z e s z y t I - 2 0 0 0
M A R E K L E C H N IA K Lublin
K I L K A U W A G
O J A N A Ł U K A S I E W I C Z A R O Z U M I E N I U K O N I E C Z N O Ś C I
P o jęcia m odalne stanowiły przedm iot z a in te reso w a n ia J. Ł u k asiew ic za przez wiele lat (od 1918 r. aż do końca życia Ł u kasiew icza). Zasadniczej inspiracji do ich badania dostarczało Ł u kasiew ic zow i studium logiki A ry sto te lesa. Jedna kże w m iarę rozw oju zainteresow ań i spraw ności form alnych Ł u k a siew icza spadało u niego zainteresow anie analizam i filo z o fic z n y m i1. Późne prace Ł u k asiew ic za są doskonałe pod w z glę dem form alnym , je d n a k ż e filozo ficzne uzasadnienia, ja k ie tow arzyszą w yn ik o m form a lnym , są co najmniej k o n tro w e rs y jn e - . W niniejszym artykule p rzedstaw im y niektóre poglądy Ł u kasiew ic za na tem at funktorów m odalnych, a szczególnie na tem at funktora konieczności. W poglądach Ł u k asiew ic za m am y j a k b y dw ie k oncepcje ko nieczności (tak j a k i całej logiki m odalnej) - je d n ą w czesną, której z w ie ń c z e niem był artykuł U w agi filo z o fic z n e [...], drugą późną, z lat czterdziestych i pięćdziesiątych X X w. Ł uk asiew ic z zasadniczo k o n ce n tro w ał się zaw sze na funktorze m ożliw ości, natom iast funktorem konieczności bądź za jm o w a ł się
1 C o s p o w o d o w a ło k r y ty k ę Ł u k a s ie w i c z a prz ez T w a r d o w s k i e g o w a rty k u le z r. 1921 S y m b o lo m a n ia i p r a g m a to fo b ia w: K. T w a r d o w s k i , W yb ra n e p is m a filo z o fic z n e , W a r s z a w a 1965, s. 3 5 5 -3 6 3 . O d yskus ji : Ł u k a s i e w i c z - T w a r d o w s k i zob.: R. J a d c z a k, L o g is ty k a a p o g lą d n a św ia t. P rzy c zy n e k d o b io g r a fii J a n a Ł u k a sie w ic za , [w:] F ra g m e n ty filo z o fic z n e o fia r o w a n e H e n ry k o w i H ito w i, pod red. H. Z eln ik , W a r s z a w a 1992, s. 40-48 .
■ Z a r ó w n o Ł u k a s ie w i c z , j a k i L eś n ie w s k i byli b a r d z o k ry ty czn i co do s tanu, do k tó reg o d o s z ł a filo z o fia po stu leciach ni e k o ń c z ą c y c h się dy sk u s ji i a rg u m e n ta c ji. P o d c z a s g d y Ł u k a sie w icz , b ę d ą c pod w ie lk im w r a ż e n ie m su k c e s ó w , j a k i e o s ią g n ię to n a polu ba d ań lo g ic z n y ch , b ro n ił now ej m eto d y filo z o fo w a n ia . L e ś n ie w s k i o d s z e d ł od filozofii na tyle d a le k o , że m ó g ł d e k la r o w a ć się j a k o ap o stata filozofii. J e d n a k ż e ci, k tó rzy znali ich obu i s tu d io w a li pod ich k i e r o w n ic tw e m , z g o d z ą się na op inię , iż L eś n ie w s k i n a p r a w d ę był c z ł o w i e k i e m o wie le bardziej filo z o ficz n ie m y ś l ą c y m niż Ł u k a s ie w i c z o raz inni j e g o k o led z y logic y. Zob. C. L e j e w s k i , A H a n d fu l o f R e m in is c e n c e s R e la te d to Ja n Ł u k a sie w ic z ( m p s), s. 16.
przy okazji tego pierw szego, bądź Ł u k a sie w ic z a rozum ienie tego funktora m o żn a odtw orzyć z analiz funktora m o ż liw o ś c i3.
I. R O Z U M I E N I E P O JĘ Ć M O D A L N Y C H U A R Y S T O T E L E S A I M E G A R E J C Z Y K Ó W
P o n ie w a ż Ł uk asiew ic z często n aw ią zuje do prac A ry s to teles a oraz in nych a utorów starożytnych, przy p o m n ijm y w ięc w paru p u n k tach ustalenia kilku u z n a n y c h autorów d o tyczące tego zagadnienia.
1. U A ry sto telesa za gadnienie zdań za w iera ją cych funktory m odalne
po jaw iało się głów nie w dw óch dziełach: H e rm en eu tyc e oraz A n a lity ka ch P ierw szych. M o ż n a u niego z g ru b sz a4 m ów ić o d w óch zn a czeniach term inu „ m o ż liw y ” (A rystoteles sam te znaczenia o d róż nia w A n a lity k a c h P ierw szych (np. 25 a 37-40, 32 a 18-21):
- „ m o ż liw y ” w znaczeniu m ożliw ości je d n o stro n n e j, gdzie „ m o ż liw e ” je s t ró w n o w a ż n e z „nie n ie m o ż liw y m ” ;
- „ m o ż l i w y ” w znaczeniu m ożliw ości d w u stronne j, gdzie „ m o ż liw e ” jest ró w n o w a ż n e z „nie-n iem o żliw y m i n ie -k o n ie c z n y m ” .
W H erm en eu tyc e A rystoteles po św ięc a tem u za g adnieniu rozdz. 12 i 135.
3 G e n e r a l n ie m o ż n a p o w ie d z ie ć , że Ł u k a s ie w i c z fu n k t o r k o n i e c z n o ś c i d a r z y ł n iech ęcią, a fu n k t o r m o ż liw o ś c i (przy c z y m c h o d z iło tu o m o ż l i w o ś ć d w u s tr o n n ą ) sy m p a tią . G e n e z a tej a u ry u c z u c io w e j j e s t c h y b a tak a, że k o n i e c z n o ś ć Ł u k a s ie w i c z w ią z a ł z d e t e r m i n a c j ą (i d ete rm i- n i z m e m ) , k tó ry to p o g ląd z w alc za ł, a m o ż l i w o ś ć - z i n d e t e r m i n iz m e m (i w o l n o ś c i ą ludzkąj. Po r. np. J. Ł u k a s i e w i c z , W y kła d p o że g n a ln y , „ S tu d ia F i l o z o f i c z n e ” , 1988, nr 5, s. 127 -1 2 9 czy, z drugiej stro ny, o s ta tn ie z d a n ia z j e g o ksią żk i S y lo g ls ty k a A r y s to te le s a z p u n k tu w id ze n ia w s p ó łc ze sn e j lo g ik i f o r m a ln e j ( W a r s z a w a 1988, s. 276).
4 N a z a w i k ł a n i a te k s tó w l o g ic z n y ch A r y s to te le s a w tej m ate rii w s k a z u j e I. M. B o c h eń s k i (Z h is to r ii lo g ik i zd a ń m o d a ln y ch , L w ó w 1938, s. 2 3 -4 4).
5 W H e rm e n e u ty c e o c z y w i ś c i e j e s t w ięcej m ie jsc p o ś w ię c o n y c h an alizie p o jęć m o d a ln y c h , w y s ta r c z y w s p o m n i e ć m a ją c y b a r d z o b o g a tą lit e ratu rę rozdz. IX, d o t y c z ą c y r o z w a ż a ń nad z a g a d n ie n i e m p ra w d z i w o ś c i i lo gic znej k o n ie c z n o ś c i z d ań o p r z y s z ły c h z d a r z e n ia c h . T a w ielo ś ć z n a c z e ń p o jęć m o d a l n y c h zd aje się być s p o w o d o w a n a ty m, że w H e r m e n e u ty c e A ry s to te le s r o z p o c z y n a an alizy , j a k tw ierd z i R o s s , w y c h o d z ą c od s p o s o b u u ż y w a n i a w y r a ż e ń m o d a ln y c h w j ę z y k u n a tu ra ln y m . D l a te g o m a m y tam , c h a r a k te r y s t y c z n e d la j ę z y k a n a tu r a ln e g o , p r z e m ie s z a n i e r ó ż n y c h z n a c z e ń p o jęć m o d a ln y c h . Por. np. W . D. R o s s, A r is to tle , a C o m p le te E x p o s itio n o f H is L ife a n d T h o u g h t, N e w Y o r k 1959, s. 34. N a te m a t r ó ż n y c h z n ac ze ń pojęć m o d a l n y c h p r z y to c z m y tu r ó w n i e ż n a s t ę p u j ą c e r o z r ó ż n i e n i a R o ss a: „ z a r ó w n o 1) ’k o n i e c z n e ', j a k i 2) ’n i e - k o n i e c z n e ’, j a k też i 3) ’z d o ln e b y ć ’ są n a z y w a n e m o ż l i w y m . A le z ty ch p ie r w s z e sp e łn ia j e d y n i e j e d e n z w a r u n k ó w b y c ia m o ż liw y m ; nie j e s t n i e m o ż li w e . N i e s p e łn ia n a to m ia s t d r u g i e g o w a r u n k u (tj. że nie j e s t k o n ie c z n e ) i d la te g o j e s t n a z w a n e m o ż l i w y m ty lk o w d ru g im
Zasadniczo w H erm eneutyce występuje pierw sze z n a cze n ie term inu „m o żli w y ”6, a w A n a lity ka ch P ierw szych - drugie znaczenie (d w u stro n n a m o żli w ość). Sylogistyka m odalna za w arta w tym dziele z b u d o w a n a je s t przy u ż y ciu funktora „ m o ż liw y ” rozum ianego ja k o funktor dw ustronnej m o żliw o ści7.
2. R ów nież rozum ienie konieczności u A ry sto telesa je s t spraw ą dość
zawiłą; m ożna wskazać, że odróżniał on:
- k onieczność w sensie ścisłym, czyli konieczność, k tóra przysługuje zdaniom , roz um ia ną ja k o „nie j e s t m ożliw e (w sensie m ożliw ości j e d n o s tro n nej), że nie ...” ; dla tego pojęcia obow iązuje scholastycz na za sada A b oporte- re a d esse va let consequentia\
- konieczność (w edług term inologii p roponow a nej np. przez B ocheńskiego) logiczną, która przysługuje k o niecz nem u zw iązkow i p o m ięd zy przesłankam i a w nioskiem w r o z u m o w a n iu 8;
sen sie (tj. j e d n o s tr o n n e j m o żliw o śc i). To, co a k tu alne, m o ż e p o d o b n i e być n a z w a n e m o ż liw y m w tym s a m y m , n i e w ła ś c iw y m sensie . N a to m ia s t g d y z w r ó c i m y się ku r ó ż n ic y m ię d z y n ie-ko- n ie c z n y m a z d o ln y m być, m o ż e m y z a u w a ż y ć , że A r y s to te le s m ó w i ą c o tym o s ta tn im , m a na myśli p r z y p a d k i, w ś w ie c ie m o żliw o śc i (s zans) i z m ia n y , z w y k ł e g o , ale nie n i e z m ie n n e g o p o s i a d a n i a w ła sn o śc i prz ez p o d m io t; m ó w ią c zaś o ’n i e - k o n i e c z n y m ’, m a n a myś li A ry s to te le s sy tu a cje, k ied y albo nie istnieje re guła , któ ra s to su je się w w ię k s z o ś ci w y p a d k ó w , albo taka re g u ła j e s t p o g w a ł c o n a prz ez j a k i ś w y j ą te k ” (tam że, s. 34 n.). Por. także: J. L. A c r i 1 I, A r is to tle 's C a te g o r ie s a n d D e In te r p r e ta tio n e , O x f o r d 1963, s. 149 n.
6 C h o c ia ż w z es ta w ien iu relacji m ię d z y z d an iam i m o d a ln y m i w rozdz. X III (por. H e r m e n e u ty k a , 22 b, 10-28) d o c h o d zi te ż do p o m ie s z a n i a z n a c z e n i a pojęć: i m p lik a c je d a n e w tab. I i III z a c h o d z ą j e d y n i e dla „ m o ż l iw y ” u ż y te g o j a k o m o ż l i w o ś ć d w u s tr o n n a , p o d c z a s gdy i m p lik a c je w tab. II i IV z a c h o d z ą j e d y n i e dla m o ż liw o ś c i j e d n o s tr o n n e j . P rz e z p ó ź n ie js zą t r a n s p o z y c ję I 4 (nie m us i by ć ) z III 4 (nie m usi ni e by ć) u c z y n ił A r y s to te le s c ałą tab elę p o p r a w n ą ; „ m o ż l iw o ś ć ” j e s t w te d y r o z u m i a n a w całej tabeli j a k o m o ż l i w o ś ć j e d n o s t r o n n a - dla m o ż liw o ś c i d w u s tro n n e j A ry s to te le s tabeli nie w y p ra co w ał. Por. A c r i 1 1, dz. cyt., gdzie m o ż n a z n a le ź ć s z c z e g ó ło w y k o m e n t a rz do całej tabeli A r y s to te le s o w e j. W y s t ę p u j ą c y w tabeli z w r o t „ d o p u s z cz aln e , ż eby b y ł o ” (t r a k t o w a n e w śr e d n io w ie c z u j a k o „je st k o n t y n g e n t n e " ) je s t tu s y n o n i m e m z w ro tu „ m o ż e b y ć ” ( „ m o ż l i w e ” ) i d late g o m o ż e z o s ta ć w o w y c h ta b e la c h p o m i nięte. Por. A. N. P r i o r, F o rm a l L o g ic , O x f o r d 1955, s. 187. N a w i a s e m m ó w ią c sz koda, że w p o ls k im w y d a n iu H e rm e n e u ty k i nie zn alaz ł się ż ad en p r z y p is o d n o ś n i e d o logicznej i nte rpre tacji teg o fra g m e n tu dzieła.
7 „ W e w s tę p ie do s y l o g i z m ó w o p rz e s ła n c e wzgl. p r z e s ł a n k a c h H (tj. m o ż l i w y w se nsi e bliżej n i e o k r e ś l o n y m ) p o d a je A ry s to te le s tez ę E M p M N p (An. P r io r a A 13. 32 a 29 nn.) i s t o s u j e j ą p o tem k o n s e k w e n t n ie w toku w y k ł a d u ” ( B o c h e ń s k i , dz. cyt., s. 28). Por. też np. G. P a t z i g, A r is to tle ’s T h e o ry o f S y llo g is m , D o r d r e c h t 1968; R. P a t t e r s o n, A r is to t le 's M o d a l L o g ic , C a m b r i d g e 1995.
8 W tym z n ac ze n iu A ry s to te le s m ó w i nieraz, że co ś „z k o n iec zn o ś ci j e s t k o n i e c z n y m ” alb o n a w e t „z k o n ie c z n o ś c i m o ż l i w y m " . Por. B o c h e ń s k i , dz. cyt., s. 27.
- k onieczność (n a zw an ą przez B ocheńskiego) k o n iecz n o ścią hipotetyczną, prz y słu g u jąc ą każdem u zdaniu p raw dziw em u; kiedy coś jest, je st konieczne; o b ow iąz uje dla tego pojęcia zasada (zw ana przez Ł u k a s ie w ic z a „z asadą A ry stotelesa” ) U num quodque, quando est, o p o rtet esse', to użycie zw rotu „jest k o n ie c z n e ” m oże być nazw ane rów nież ko n iecz n o ścią tem poralną, czyli nie- zm ienialnością tego, co j u ż się w ydarzyło - jeśli coś j u ż zaistniało, to nie m oże być ju ż inne9.
3. Inaczej na m odalności patrzył m egarejski logik D io d o r (zw any Krono- sem). R o zu m ie on m odalności w sposób tem poralny. D efiniuje „ m o ż liw e ” ja k o to, co albo jest, albo w pew n y m czasie będzie p ra w d ziw e, „ n ie m o ż liw e ” ja k o to, co ani nie jest, ani nigdy nie będzie p raw dziw e, a „ k o n ie c z n e ” ja k o to, co zarów no jest, ja k i zawsze będzie praw dziw e. D efinicje te zakładają, j a k p rzyjm ow ano zarów no w starożytnej, j a k i średniow iecznej logice, że to samo zdanie m oże być praw d ziw e w jed n y m , a fałszyw e w innym c z a s i e 10.
II. U W A G I O G Ó L N E O Ł U K A S IE W I C Z A R O Z U M I E N I U M O D A L N O Ś C I
Po tych - z konieczności bardzo w ybiórczych - u w a gach dotyczących ro z um ie nia m odalności u autorów starożytnych przejdźm y do analizow ania prac Ł ukasiew icza. N a początek ocz yw ista uwaga: poglądy Ł uk asiew ic za w tej materii ulegały zm ianom , choć z p ew nych ustaleń, które poczynił on w pierw szych pracach o m odalnościach (np. w tzw. odczytach lw ow skich z 1920 r . ) 11, nie zrezygnow ał do końca życia. Te stale u trzym ujące się poglądy Ł u k asiew ic za m ożna streścić w następujących stw ierdzeniach:
1. W szelkie funktory, także m odalne, w inny być p ra w d ziw o ś cio w e . A p o
niew a ż funktory m odalne są je d n o a rg u m e n to w y m i funktoram i zdaniotw órczy- mi od a rgum e ntów zdaniow ych, a takich w logice d w u w a rto ścio w ej m oże być tylko cztery, więc funktory m odalne, by nie być try w ialn y m p ow tórzeniem klasycznych funktorów , m uszą być funktoram i c h a rak tery zo w a n y m i przez
9 W y s t ę p u j e to z n a c z e n ie k o n ie c z n o ś c i, z w ła s z c z a w IX ro zdz. H e r m e n e u ty k i, g d z ie A r y stoteles a n alizu je m o ż liw o ś ć n i e z d e t e r m i n o w a n y c h z d a r z e ń p r z y s zły c h . Por. np. A c r i 1 1, dz. cyt., s. 133.
10 Por. A. N. P r i o r, D io d o ra n M o d a lity , „ P h ilo s o p h ic a l Q u a r t e r l y ” , 1955. s. 205-2 1 3 : t e n ż e , T im e a n d M o d a lity , O x f o r d 1957, s. 84-93 (w y k ła d IX).
11 Por. J. L u k a s i e w i c z , O p o ję c iu m o ż liw o ś c i, „ R u c h F i l o z o f i c z n y ” , 5 (1 9 2 0 ) 169 n. lub „ S tu d ia F i l o z o f i c z n e ” , 1988, nr 5, s. 129 n.
m atryce więcej niż d w u w a rto ś c io w e 12; różnica m iędzy logiką tró jw arto śc io w ą a tzw. system em Ł -m o d aln y m je s t ta, że cz te ro w a rto ścio w e m atryce tego ostatniego p ow stają przez m n ożenie d w u w a rto ścio w y ch m atryc klasycznego ra chunku zdań przez nie same, a zatem że te m atryc e dla o d p o w iedników k lasycznych funktorów N, C, K, A, E spra w d zają te sam e tezy, co m atryce dw uw artościow e.
2. W zw iązku z poprzednim stw ierdzeniem pozostaje fakt, że Ł uk asiew ic z duże znaczenie w m yśleniu o funktorach m odalnych p rz ykła dał do tezy proto- tetyki C 8pC 8N p8q, będącej w yrazem d w uw a rtościow ości: jeżeli coś się o rz e ka zarazem o p, jak i o nie-p, to orzeka się to i o d o w o ln y m z d a n iu 13.
3. R óżne znaczenia pojęć m odalnych (np. różne ze w sk az an y ch u A ry sto te lesa rozum ienia m ożliw ości czy konieczności) dadz ą się połączyć w je d n y m funktorze logiki m odalnej (odpow iednio: funktorze m ożliw ości lub k o n iecz ności); je st to w yraz jakiejś, p rz yznam - dość trudnej dla m nie do z r o zu m ie nia, chęci s k o nstruow ania najogólniejszych pojęć m odalnych; tak je st p o c z ą w szy od odczytu O p o ję c iu m o żliw o ści poprzez U w agi filo z o fic z n e o w ielow ar- tościow ych system a ch rachunku z d a ń 14 aż do p óźnyc h prac Łukasiew icza. P rzekonanie to prow adziło Ł u k asiew ic za od m od aln eg o u z a sad n ien ia dla logiki trójw artościow ej do bardzo zdecydow anej krytyki pojęcia konieczności, prow adzącej aż do w y ru g o w an ia tego pojęcia z zakresu term inów użytecznych w logice.
Po tych kilku ogólniejszych uw agach przejdźm y do nakreślenia i kry ty cz nej analizy rozum ienia przez Ł u k asiew ic za konieczności na gruncie trójw ar tościow ego system u Ł3.
12 I c h o ć „ w c z e s n y ” Ł u k a s ie w i c z nie znał j e s z c z e pr ac L ew is a, to j e d n a k w p ó ź n y ch pra ca ch Ł u k a s ie w i c z w y r a ź n ie k r y t y k u je s y s te m y logik m o d a ln y c h , w k tó ry ch fu n k to ry m odal- ne są f u n k to ram i n i e e k s te n s jo n a ln y m i - por. Ł u k a s i e w i c z , dz. cyt., s. 189.
13 N a g r u n c ie pro to te ty k i m o ż n a w y k a z a ć , że j e d y n y m a k s j o m a t e m log iki z d ań m o że być m.in. b ą d ź b a r d z o o g ó ln e s f o r m u ł o w a n ie z as ad y d w u w a r t o ś c io w o ś c i, bądź z a s a d y e k s ten s jo n a l- no ści. W a r g u m e n ta c ji za lo g ik ą tr ó jw a r to ś c io w ą z a s a d a ta pełni w a ż n ą rolę, c h o ć o c zy w iś cie tez ą s y s te m u t r ó jw a r t o ś c io w e g o o n a być nie może. J e d n a k ż e Ł u k a s ie w i c z c h ę t n i e z tej zas ad y k o rz y stał, b ę d ąc ś w ia d o m y m jej wie lk iej m o cy d ed u k cy jn ej.
14 [W :] J. Ł u k a ' s i e w i c z, Z za g a d n ie ń lo g ik i i filo z o fii. W a r s z a w a 1961, s. 144-163.
III. SYSTEM Ł3
System logiki trójw artościow ej skonstruow any ok. 1920 r. przez Jana Ł u k a s ie w ic z a (zwany skrótow o system em Ł3) m ożna p rzedstaw ić za pom ocą m atryc trójw artościow ych cha rakteryzującyc h p o d s ta w o w e funktory tego s y s t e m u 15. W 1930 r. L uk asiew ic z podał (w e w z m ia n k o w a n y m j u ż artykule U w agi filo zo fic zn e ) tzw. m odalne u za sadnienie dla logiki trójw artościow ej. Postuluje tam łączne o b o w iązyw anie trzech grup, zw anych przez niego ocz y wistymi, zasad m odalnych, obejm ujących:
a) m ożliw ość jed n o stro n n ą
zasada: A b esse a d p o sse valet con sequ ential co po przekształceniach daje sform ułow anie: I. J e śli nie je s t m ożliw e, że p, to nie-p.
b) m ożliw ość uczasow ioną, zw iązaną (na gruncie płynącej z kwadratu logicznego dla m odalności zasady stwierdzającej, iż zdanie „Jest możliwe, że p " je s t rów n o w ażn e z „Nie je s t konieczne, że nie-/?” ) z k oniecznością tem poralną. Z asa d ą prz y w o ły w an ą tu przez Ł u k a s ie w ic z a jest tzw. zasada A rystotelesa głosząca, że:
U num quodque, quando est, o p o rtet esse, która, o ile zw rot czasow y quan- do zostanie zastąpiony przez funktor im p lik a c ji16, p rz ybie ra postać:
II. J e śli się zakłada, że nie-p, to (przy tym za ło że n iu ) nie j e s t m ożliw e, że p.
c) m ożliw ość dw ustronną; pojęcie to je s t rep rez en to w an e przez zasadę głoszącą, iż:
III. D la p ew n eg o p j e s t m ożliw e, że p, i j e s t m ożliw e, że nie-p.
Te zasady łącznie w zięte p row adzą bądź do trywializacji pojęć modalnych (funktory m odalne byłyby redukow alne do j e d n e g o z czterech fun k to ró w jed- n o argum entow ych klasycznego rachunku zdań), bądź do sprzeczności. D late go, by u m ożliw ić w p row adzenie jed n o a rg u m e n to w y c h funktorów m odalnych. konieczne je s t - zdaniem Ł uk asiew ic za - uchylenie zasady dw u w a rto ścio w o
ś-15 P o n i e w a ż m a try ce te są z nane, nie b ę d z ie m y tu ich z a m ie s z c z a ć ; d la do k ład n ie js ze j c h ara k te ry s ty k i ty ch m atryc oraz ich filo zoficznej inte rpretacji por. M. L e c h n i a k, In te r p r e ta c je w a rto śc i m a try c lo g ik w ie lo w a rto śc io w y c h . Lubli n 1999.
16 A tak ie z as tą p ie n ie - s u g e ru je Ł u k a s ie w i c z (U w a g i filo z o fic z n e [...], s. 146) j e s t d o p u sz c zo n e : „ S łó w k o « q u a n d o » [...] o raz o d p o w i a d a j ą c e m u ‘Ó T av ’ nie j e s t p a r ty k u łą w a r u n k o wą, lecz c z a s o w ą ; fo rm a c z a s o w a p rz ec h o d zi j e d n a k w f o rm ę w a r u n k o w ą , g d y w c z a s o w o p o w i ą z a n y c h z d an iac h o k re ś len ie czasu zo s taje w ł ą c z o n e do treści zd ań " .
ci i w z b ogacenie podziału zdań na praw d ziw e i fa łsz yw e o now ą, trzecią wartość logiczną. W tedy funktory m odalne m ożna scha rakteryzow ać w sposób następujący:
p Mp lp Lp Qp
1 1 0 1 0
Vi 1 0 0 1
0 0 1 0 0
gdzie ’L p ’ = ‘Jest konieczne, że p ' , ’M p ’ = ‘Jest m ożliw e, że p ’ (w sensie
m ożliw ości jednostronnej), ’Q p ’ = ‘Jest kontyngentne, że p czyli ‘Q p ’ =
‘K M p M N p ’, i ’I p ’ = ‘Jest niem ożliw e, że p \ gdzie ‘l p ’ = ‘N M p ’ .
Tabela p o w y ż sz a je s t k o nsekw encją z d e finiow ania funktora m ożliwości ja k o „ M p ” = „C N p p ” ( ‘je s t m ożliw e, że p ’ znaczy tyle, co ‘jeśli nie-p, to p ') , czyli w ten sposób, aby „definicja pojęcia m ożliw ości [...] pozw oliła [...] uzasadnić bez sprzeczności w szystkie przekazane przez tradycję intuicyjne tw ierdzenia dotyczące zdań m o d aln y ch ” 17. „T rzeba wczuć się w sens intui cyjny tej definicji. W y raże nie C N pp je st fałszyw e na gruncie m atrycy trój wartościow ej wtedy i tylko wtedy, gdy p je st fałszem. P oza tym C N pp jest p ra w d ą ” 18. Łatw o zauważyć, że na gruncie klasycznej logiki w yrażenie C N pp je st rów n o w ażn e z p\ w yrażenie to stanowi p o prz ednik tezy Claviusa, której o dpow iednik na gruncie systemu trójw artościow ego nie je s t tezą. O d p o wiednik tezy C laviusa po zastosow aniu tej definicji m a postać: C M pp, czyli odpow iad a on form alnem u sform ułow aniu zasady II i nie je st tezą systemu Ł3, gdyż CM'/2 '/2 = C W i = Vi. N a korzyść pow yższej, sform ułow anej przez Tarskiego, definicji funktora m ożliw ości p rz e m a w ia rów nież to, że jej z a stosow anie do d efiniow ania funktora konieczności daje bardzo oczywisty rezultat:
‘L p ’ - ‘N M N p ’ = ‘N C p N p ’,
17 Por. tam ż e, s. 154. D efinic ja , o której je s t m o w a w ty m f rag m e n cie , nie j e s t de fin icją, której u ż y w a Ł u k a s ie w i c z w d a ls zy c h a n alizach . T a o statn ia p o c h o d zi o d T a r s k ie g o i je s t o g ó l n ie j s z a od definicji w cześniej od k ry tej p rz ez Ł u k a s ie w i c z a , m ającej m niej in tu ic y jn ą postać:
' M p ’ = ' A E p N p F l q N C p K q N q ' ,
k tó ra z n a c z y tyle, co: b ą d ź z d an ia p i n ie-p są r ó w n o w a ż n e , b ą d ź nie istn ie je tak a para w y r a ż e ń s p r z e c z n y c h , k tó ra w y n ik a ła b y ze z d an ia p.
czyli „m ów iąc ję z y k ie m potocznym wtedy i tylko w tedy m o żem y m ówić o ja k im ś zdaniu a , że je s t konieczne, jeśli nie p o ciąg a ono za sobą swojej własnej n ega cji” 19.
Przyjrzyjm y się teraz funktorow i konieczności w system ie Ł3. W p o w y ż szej m atrycy m am y, że zdanie Lp m a wartość 1 jedynie, gdy p = 1, czyli gdy p jest p ra w d ziw e , wtedy jest ono konieczne. Z kolei 10 = 1, to jest, gdy /z jest ‘całkiem fa łs z y w e ’, wtedy p ra w dą jest, że je st ono niem ożliw e. R ó w n a nia te znajdują uzasadnienie w tym, iż w system ie Ł3, podobnie ja k u A ry stotelesa, „zdanie je s t uznane za definityw nie praw d ziw e (z w a rtością „ 1 ” ) jed y n ie, gdy (a) je st j u ż zdeterm inow ane, że zdarzenie, do którego to zdanie się odnosi, będzie takie, ja k owo zdanie stwierdza, lub (b) kiedy zdarzenie, do którego zdanie się odnosi, przeszło z przyszłości w teraźniejszość lub przeszłość tak, iż straciło ono potencjalność, którą m iało, gdy było jeszc ze zdaniem o przyszłości. K onieczne są w tym sensie j e d y n ie te zdania, które są definityw nie praw dziw e. Jedynym i zaś zdaniam i, które są w sensie Łuka- siew icza niem ożliw e, są zdania definityw nie fałszywe, czyli takie, dla których szansa, aby stały się one praw dziw e, p rz e m in ę ła ”21. W yda je się, że takie określenie konieczności dobrze oddaje sens tego, co A rystoteles miał na myśli, gdy w y pow iadał zasadę: cokolw iek, co je st, sko ro je s t, j e s t konieczne. Pod k reślm y w tym miejscu, iż jeśli funktor konieczności ma być rozumiany nietryw ialnie, czyli konieczność nie ma p rzysługiw ać w szystkim zdaniom
19 T a m ż e , s. 156. D la tak s c h a ra k t e r y z o w a n y c h f u n k to r ó w m o d a l n y c h w a ż n e w Ł3 są o d p o w ie d n ik i n a s tęp u jąc y c h zasad:
a) C p M p i C L p p - p r a w a gru p y I;
b) C I p L C p ą i C L q L C p q - o d p o w ie d n ik i p a r a d o k s ó w ścisłej im p lik acji;
c) C Q p Q N p - A r y s to te le s o w s k ie p ra w o k o n ty n g e n c ji. które, pod n i e o b e c n o ś ć w z m i a n k o w a nej wyżej z as ad y pro to te ty k i (zasad a ta j e s t n ieo b e cn a , g d y ż jej u z n a n ie m u s i a ł o b y p ro w a d zić d o u z n a n ia w y r a ż e n ia A p N p . a to tezą s y s te m u Ł3 nie j es t; do tezy C 8 C 8 N p 8 q w r ó c im y niżej), nie p ro w a d zi do p a rad o k s ó w ;
d) C * L p L L p i C * M M p M p - a k s jo m a t redu kcji d la s y s te m u S4 o raz
e) C * M p L M p i C * M L p L p - a k s jo m a t redukcj i dl a sy s te m u S5, g d z ie C * p q m o ż n a z d e f i n i o w a ć j a k o L C p q . Por. P r i o r, F o rm a l L o g ic , s. 247.
20 D y s k u s ję tego, j a k in te r p r e to w a ć w arto ści ta b e le k Ł u k a s ie w i c z a , m o ż n a znal eź ć w: L e c h n i a k, dz. cyt., s. 15-76, tu w s k a ż m y j e d y n i e , iż w y d a j e się, że k l a s y c z n ie pojęta p r a w d z i w o ś ć nie d o p u s z c z a u z u p e łn ia n ia p o d z ia łu w a rto ści lo g ic z n y ch o n o w e w a rto ści; anal izy S ł u p e c k ie g o i B o r k o w s k ie g o w y k a za ły , że w arto ści „ 1 " i „ 0 ” n a le ż y w ią za ć ze z d an iam i o z d a r z e n i a c h z d e t e r m i n o w a n y c h , a w a rto ś ć ,}h " ze z d an iam i o z d a r z e n ia c h n i e z d e t e r m i n o w a nych.
praw dziw ym , to „ 1 ” z tabelki rzeczyw iście musi być interpre tow ana jako w artość zdania o zdarzeniu teraźniejszym , m inionym lub zdeterm inow anym .
Tak s charakteryzow ane pojęcie konieczności jest bardzo szerokie. O b e jm u j e ono nie tylko konieczność zdań o zdarzeniach zaszłych i nieuniknionych
(czyli konieczność tem poralną), ale i konieczność praw logiki. Jednakże „w ażne je s t odróżnienie pojęcia konieczności, które je s t w yra żone przez jed- noarg u m e n to w y funktor L (taki, że LI = 1, a U/2 = L0 = 0), od konieczności, która dotyczy praw logiki. T a ostatnia bow iem nie m o że w ża d n y m system ie być funkcją praw dziw ościow ą. Jest ona raczej k o n sek w e n tn ą charak tery sty k ą p ew nych funkcji praw dziw o ścio w y c h d o tyczącą faktu, że w szystkie funkcje p ra w d ziw o ścio w e z budow ane w ten sam sposób bez w z glę du na wartości logiczne ich a rgum e ntów są p ra w d z iw e ” . M o żn a to p rześledzić na n astę p u ją cym przykładzie. Z danie z funktorem m odalnym : ‘J e st lo g iczn ie kon ieczn e, że jeśli Sokrates um arł, to Sokrates u m a rł’ je s t p ra w d z iw e bez względu na to, czy j e g o argum ent ’Sokrates u m a rł’ je s t praw dziw y, czy nie; je s t ono praw dziw e ze w zględu na to, że im plikacja o form ie p —> p jest prawem logiki i ja k o praw o logiki je st ona lo g iczn ie k o n ie c z n a 11. Inaczej je st ze zdaniem ‘L(Jeżeli Sokrates um arł, to Sokrates u m a r ł ) ’. Zdanie to je st p ra w dziw e dokładnie dlatego, że zdanie ’Sokrates u m a r ł ’ je st praw dziw e. Podobnie zdanie ‘L(S okrates u m a rł)’ je s t praw dziw e, choć zdanie ’Sokrates u m a r ł ’ nie je s t p o d staw ienie m praw a logiki23. Tak więc w y ra żen ia zdaniow e, które są praw am i logiki, są konieczne w sensie Ł ukasiew icza, j a k o że są one zawsze praw dziw e. Jednakże są one konieczne w sensie Ł u k a sie w ic z a z innej racji niż zd a n ia logicznie konieczne. K onieczność w sensie Ł u k a sie w ic z a p rz y słu guje im bow iem ze względu na ich aktualną p ra w dziw ość, podczas gdy k o nieczność logiczna przysługuje tym zdaniom ze w zględu na ich formę g w a rantującą im bycie praw am i logiki, czyli bycie w yrażeniam i praw dziw ym i bez w zględu na wartości logiczne argum entów w ystępujących w nich funktorów zdaniotw órczych. W y d a je się, że sens funktora L je st tem pora lny (czy tem po- ralno-kauzalny); je s t nim nieuniknioność tego, co j u ż się w ydarzyło, w ydarza się aktualnie lub czego prz yczyna ju ż istnieje.
Z p ow yższych rozw ażań oczyw iście nie m o żn a w ypro w ad zić wniosku, że tezą je s t np. CpLp\ je st ono praw dziw e jedynie, gdy p p rz ybie ra wartości
22 W n iek tó ry ch s t a n d a r d o w y c h sy s te m a c h logiki m o d aln ej ta k o n i e c z n o ś ć lo g ic z n a je s t p r z y p is y w a n a tez o m logiki pr zez tzw. re g u łę G ó d l a o postaci h x , a w ięc h J e s t lo g ic zn ie k o n ie czn e, że a.
klasyczne ze w zględu na to, że w yrażają one zdete rm in o w an ie zdarzenia do bycia bądź niebycia. Nie jest natom iast ono p ra w dziw e dla p = Vi, która to w artość w yraża zdarzenie niezdeterm inow ane. W tedy m am y C pL p = Vz. M o żna rów nież zauw ażyć, że dla tak pojętej konieczności zdań zachodzi A L pL N p oraz A M pM N p, choć A p N p tezą system u nie jest. T ak w ięc dla zdań o tera ź niejszych zdarzeniach stwierdzenie za chodzenia tych zdarzeń i stwierdzenie ich konieczności jest rów n o w ażn e (dla zdań o teraźniejszości czy przeszłości oraz zdań dotyczących faktów aczasow ych, np. tw ierdzeń m atem atyki, trzecia wartość logiczna nie m oże być nigdy zastosow ana). Przy stanow isku, że istnieją zdania o trzeciej wartości logicznej, cała logika klasyczna je st ak c e p towalna, zdaniem Priora, w odniesieniu do zdarzeń przeszłych, teraźniejszych oraz przyszłych z d e te rm in o w an y c h 24.
IV. C Z T E R O W A R T O Ś C I O W Y S Y S T E M L O G IK I M O D A L N E J
W latach pięćdziesiątych Ł uk asiew ic z podał kilka wersji system u logiki m o d a ln e j25, który dalej będziem y nazyw ać system em Ł4 (albo system em Ł -m odalnym ). System ten Łukasiew icz opiera na tzw. podstaw ow ej logice m odalnej, która spełniać winna następujących osiem w arunków :
I. U znaje się im plikację Je śli p, to j e s t m ożliw e, że p, czyli sym bolicznie: 1.1. nCpAp (gdzie „p” oznacza „Jest m ożliw e, że p ”).
II. O drzuca się im plikację Je śli je s t m ożliw e, że p, to p, czyli s y m b o lic z nie:
1.2. -iCApp (gdzie h je s t znakiem odrzucania).
III. O drz u ca się zdanie Je st m ożliw e, że p, sym bolicznie: 1.3. nAp.
IV. U znaje się im plikację Je śli j e s t konieczne, że p, to p, sym bolicznie: 1.4. nCTpp (gdzie „p” oznacza „Jest konieczne, że p
”)-V. O drz u ca się im plikację J e śli p, to j e s t konieczne, że p , sym bolicznie:
24 Por. tam ż e, s. 250.
Por. J. Ł u k a s i e w i c z , S y ste m lo g ik i m o d a ln e j, [w:] t e n ż e , Z za g a d n ie ń lo g ik i i filo z o fii, s. 2 7 5 -3 0 5 (p ierw s ze w y d a n ie w 1953 r.): t e n ż e , S y lo g is ty k a A ry s to te le s a [...], s. 1 80-278 ( p ie r w s z e w y d a n ie w 1956 r.). Por. ta k ż e w iele in n y c h a r ty k u ł ó w z tego o k re su , np. t e n ż e, O z m ie n n y c h fu n k to r a c h o d a rg u m e n tó w z d a n io w y ch , [w:] t e n ż e, Z z a g a d n ie ń lo g ik i i filo z o fii, s. 2 5 0 - 2 5 9 czy d o ś ć k o n t r o w e rs y j n y a rty k u ł A r ith m e tic a n d M o d a ! L o g ic , „ T h e J o urnal o f C o m p u ti n g S y s te m s ” , 1(1954) 2 1 3 -2 19.
1.5. n C p r p .
VI. O drzuca się zdanie N ie je s t konieczne, że p: 1.6. n N r P.
VII. U znaje się rów now ażność Jest m ożliw e, że p - w tedy i tylko wtedy, gdy - nie j e s t konieczne, że nie-p:
1.7. h E A p Nr N p .
VIII. U znaje się ró w now ażność J e st konieczne, że p - w tedy i tylko wtedy, gdy - nie je s t m ożliw e, że nie-p:
1.8. i-ErpNANp.
W a ru n ek I charakteryzuje m ożliw ość jed n o stro n n ą, IV - k onieczność zw ią zaną z m ożliw o ścią jedn o stro n n ą, oba łącznie o d p o w ia d a ją I grupie tzw. oczyw istych zasad m odalnych w ym ienianyc h przez Ł u k a s ie w ic z a w zw iązku z s ystem em Ł3; są to zależności płynące z kw adratu m o d a ln e g o .W a ru n e k II o d p o w iad a p o w iedz eniu A p o sse ad esse non v a le t co n seq u en tia , j e g o o d p o w iednikiem dla konieczności je st warunek V, d w a ostatnie warunki ustalają płynące z kw adratu m odalnego związki m iędzy p o jęciem konieczności a m o żliwości. O w ych sześć w arunków je st znanych logice tradycyjnej; prz ed sta w iają one zależności kw adratu m odalnego. S pecjalny ch a rak ter m ają warunki III i VI. „Trzeci w arunek stwierdza, że nie w szystkie w y ra żen ia zaczynające się od A są uznaw ane, gdyż w p rz eciw n y m w ypadku p byłoby rów n o w ażn e funkcji verum od p, która nie je st funkcją m odalną [...] S zósty w arunek stwierdza, że nie w szystkie w yrażenia zaczynające się od AT są uznane, gdyż w p rzeciw nym w ypadku p byłoby rów n o w ażn e funkcji falsum od p, która nie je s t funkcją m odalną. [...] W całej tej pracy przyjm uję, że A i F są funktora- mi zd a niotw órczym i od je d n e g o argum entu zdaniow ego i że A p oraz Tp są funkcjam i p ra w dziw ościow ym i [...] P oniew aż w logice d w uw artościw ej nie istnieje żaden funktor, który spełniałby w zory 1.1, 1.2 i 1.3 lub 1.4, 1.5 i 1.6, j e s t jasn e, że p o dstaw ow a logika m odalna, a w k onsekw encji każdy system
logiki m odalnej je st system em w ie lo w a rto ś c io w y m ”26.
Dla podstaw ow ej logiki m odalnej Ł u kasiew icz prop o n u je następujący układ a k sjom atów (w których A je s t funktorem pierw otnym ):
2.1. i-CpAp. 2.2. nCApp. 2.3. np.
2.4. hEApANNp27.
P o d s ta w o w ą logikę m odalną m o żn a uogólnić, otrzym ując system Ł4, który w postaci aksjom atycznej m ożna przedstaw ić w następujący sposób:
A) A ksjom aty: 1. i-C8pC8Np8q, 2. i-CpAp, 3. nCApp, 4. -lAp.
gdzie 8 je s t zm iennym funktorem zdaniotw órczym od je d n e g o argum entu zdaniow ego.
B. Reguły:
a) reguła podstaw iania dla wyrażeń uznanych (z roz szerz en iem dla 8-pod- staw ian ia )28,
b) reguła odryw ania dla wyrażeń uznanych,
ć) reguła p odstaw iania dla wyrażeń odrzuconych: jeśli a je s t odrzucone i a je st p o dstaw ieniem p, to P musi być odrzucone,
d) reguła odryw ania dla wyrażeń odrzuconych: jeśli C a P i p je st o drz uco
ne, to cc musi być odrzucone.
Jeśli p rzyjm iem y warunki 1.7 i 1.8, m ożna otrzym ać rów noległy do po wyższej aksjom atyki układ aksjom atów zaw ierających ja k o termin pierw otny funktor konieczności, gdzie obok aksjom atu 1. m am y o dpow iedniki wyrażeń
1.4, 1.5, 1.6.
K o n sek w en cją przyjętych przez Ł u k asiew ic za założeń (których rezultatem je s t p ow yż sz a aksjom atyka) są następujące m atryce dla p o d staw o w y c h
funkto-27 W z ó r 2.4 j e s t r ó w n o w a ż n y ze w z o r e m 1.7 (do dy sk u s ji z w i ą z k u m ię d z y 2.4 a 1.7 w r ó c i m y w d als zej, k ry tycznej części tego pu nktu), a j e s t u żyty j a k o a k s j o m a t ze w z g lę d u na e le g an c ję, g d y ż 1.7 z aw ie ra term in z d e f in io w a n y . Por. tam że, s. 277.
28 N a te m at re guły 8 - p o d s ta w ia n ia zob. Ł u k a s i e w i c z , O z m ie n n y c h fu n k io r a c h [...], s. 2 5 0 -2 6 0 . R e g u ła ta p ro w a d zi czę sto do ba rd zo n i e i n tu ic y jn y c h k o n s e k w e n c ji - por. np. n a s t ę p u j ą c ą u w a g ę L e j e w s k i e g o (dz. cyt., s. 16): „ Ł u k a s ie w ic z d o p u ś c ił tu z m i e n n e funktory z d a n i o t w ó r c z e od j e d n e g o a rg u m e n tu z d a n io w e g o . O c z y w iś c ie , r a c h u n e k p o d o b n y tem u jes t c zę ś c ią pro to te ty k i. N ajb ard zie j c h a r a k te r y s t y c z n ą c e c h ą S -ra ch u n k u (czyli s y s te m u Ł 4 ) są j e g o re g u ła p o d s t a w i a n i a dla z m ie n n y c h fu n k to r ó w i re g u ła definicji. P ie r w s z a j e s t d a le k o mniej in tu ic y jn a niż k o r e s p o n d u j ą c a do niej re g u ła p ro to te ty k i, ale m ię d z y in n y m i u m o ż l i w i a s to s o w a n ie re guły d efin icji. W r a z z tr a d y c y jn ą re g u łą o d r y w a n i a f o rm u ją o n e tak p o tę ż n e narzę d zie d e d u k cji, że Ł u k a s ie w i c z m ó g ł o p rz eć cały S-s yst em , tj. ra c h u n e k z dań ze z m i e n n y m i funkt ora- mi, na z a s a d z ie d w u w a r t o ś c io w o ś c i j a k o j e d y n y m a k s j o m a c i e ” .
rów (które pow stają dla funktorów odpow iadających klasy cz n y m przez m n o żenie przez siebie odpow iednich m atryc d w u w a rto śc io w y c h )29:
c 1 2 3 4 N A r
*1 1 2 3 4 4 1 2
2 1 1 3 3 3 2 2
3 1 2 1 2 2 3 3
4 1 1 1 1 1 3 4
Po tym krótkim przedstaw ieniu podstaw ow ej logiki m odalnej i systemu Ł -m o d aln e g o przejdźm y do bardziej szczegółow ych analiz licznych pro b le m ów intuicyjnych, których ten system dostarcza. Jako punkt w yjścia tych analiz p rz ypom nijm y kilka wyrażeń uznanych i kilka o d rz uconych (dotyczą cych funktora konieczności) systemu.
1. N I E K T Ó R E W Y R A Ż E N I A U Z N A N E S Y S T E M U Ł4
Z podanej wyżej aksjom atyki m o żn a m.in. w ypro w ad zić następujące w z o ry 30:
1. W szystkie tezy klasycznego rachunku zdań, w tym p ra w o ekstensjonal-
ności:
29 W s y s te m ie p r z e d s t a w i o n y m w k s ią żc e S y lo g is ty k a A r y s to te le s a [...] m atr y c e dla fu n k to ra k o n iec zn o ś ci i m o ż liw o ś c i r ó ż n ią się ni eco od p o w y ż s z y c h . M a m y tam bo w ie m :
P A r
1 1 2
2 1 2
3 3 4
4 3 4
30 U ż y w a m y term inolo gii Ł u k a s ie w i c z a „ m o ż n a w y p r o w a d z ić w z o r y ” , a nie „ u d o w o d n ić n a s t ę p u j ą c e t e z y ” , g d y ż w s y s te m ie j e d n e z a k s j o m a t ó w są u z n a n e (tezy), a in n e o d r z u c o n e ( k o n trte zy ?); d y s k u s je r o z u m i e n i a o p eracji (?) u z n a w a n i a (o d r z u c a n ia ) p r z e p r o w a d z im y niżej. D la u ła tw ie n ia c zy teln ik o w i orientacji w a n aliza ch s y s te m u Ł u k a s ie w i c z a d la w y r a ż e ń w y m i e n ian y c h w a rty k u le S y stem lo g ik i m o d a ln e j u ż y w a m y n u m era cji w y r a ż e ń s to s o w an e j tam przez Ł u k a s ie w i c z a , pr zy c z y m w y b r a n o te w y ra że n ia, k tó re są c ie k a w e ze w z g l ę d ó w in tu icy jn y ch .
73. f-CEpqC8p8q.
2. W zory dla funktora konieczności:
130.
t-CrCpqCrPrq
„Jeśli konieczna je st im plikacja i konieczny jejp oprzednik, to konieczny je st jej n a stęp n ik ” ; od p o w ied n ik aksjom atu system u T.
132. h C C p q C r p F q „Jeśli (uznana?) je st im plikacja i konieczny jej p o p rz e dnik, to konieczny je s t n astępnik” .
133. h C r C p q C p r q 134. i - C r q C p r p
135. h C r p I T p O d p ow ie dnik I aksjom atu redukcji - o d p o w iednik ak sjo matu system u S4.
136. h E I T p r p
141. h E r N r p r N p II praw o redukcji; w edług 136 i 141 zdanie a p o d y k tyczne (także zdanie a p odyktycz no-problem a tyc zne „Jest koniecznie możliwe, że p ") je s t rów now ażne zawsze ze zdaniem apodyktycznym . O dpow iednio w system ie S5 m am y j a k o tezę w yrażenie E r N F p N r p , stw ierdzające o d w ro t nie, iż zdanie a p odyktycz no-problem a tyc zne („Jest koniecznie m ożliw e, że p ”) j e st redukow alne do zdania problem atycznego.
149. h E r K p q K r p r q
154. i - E r A p q A r p r q U znane są zdania: Jest konieczne, iż p i q (p lub q) wtedy i tylko wtedy, gdy jest konieczne, że p i (lub) je s t konieczne, że q.
2. N IE K T Ó R E W Y R A Ż E N I A O D R Z U C O N E S Y S T E M U Ł4 ( W Z O R Y D L A F U N K T O R A K O N I E C Z N O Ś C I ) 156. nCprp 157. -iN rp 160. nTCpp 3. K W E S T IA O B O W I Ą Z Y W A N I A Z A S A D Y C 8 p C 5 N p 5 q
W e d łu g Ł uk asiew ic za system logiki m odalnej winien być oparty na logice klasycznej, a w szystkie funktory m odalne w inny być praw d ziw o ścio w e . To u fu n d o w a n ie na logice klasycznej zapew nić m a zasada C 8p C 8 N p 8 q . U m o ż li wia ona, wraz z regułą 8-podstaw iania i zw ykłą regułą odryw ania, w y p ro w a d zenie z niej (co najm niej) w szystkich tez logiki klasycznej. Jedna kże zasada
ta prow adzi do nieintuicyjnych konsekw encji, np. do w y ra żen ia 160. nTCpp, głoszącego, że odrzucone jest zdanie „K onieczne jest, że jeśli p, to p " (o d rzu cone je st zdanie, że p ra w a logiki są konieczne). W zw iązku z tym rozw ażm y dw ie sprawy: 1) kw estię obow iązyw alności tej zasady w każdym rachunku czte ro w a rto ścio w y m (opartym na logice klasycznej), 2) kw estię praw dziw oś- ciow ości funktorów m odalnych.
1. S ystem Ł -m odalny oparty je st (podobnie j a k system y standardow e) na
logice klasycznej, ale je d y n ie on opiera się na zasadzie C ôpC S N pS q wziętej z prototetyki. „W e w szystkich aksjom atach prototetyki za w arta je st teza eks- tensjonalności C E pq C 8 p 8 q - póki je s te śm y na gruncie k lasycz nego rachunku zdań, funktory w yznaczają funkcje dw uw artościow e, a my nie potrzebujem y obaw iać się o to praw o ani je g o konsekw encje. Jednakże, gdy do funktorów zdaniotw órczych w łączym y funktory A i F, p o w inniśm y albo ex p lic ite w yłą czyć funktory m odalne z dziedziny funktora 6, albo uchylić CÔpCSNpSq”31. W system ach standardow ych logik m odalnych zachodzi ta p ierw sza m o żli wość - deklaruje się, że funktory m odalne nie są praw d ziw o ścio w e , a więc nie w c hodzą do dziedziny funktora. N a tom iast w Ł 4 funktory m odalne są p odstaw ialne za 8, a więc zarów no i-CApCANpAq, j a k i ( - C F p C r N p r q . G d y by w system ach L ew isa było tezą któreś z tych wyrażeń, p o ciągałoby zaraz uznanie w yra żenia CApp (bo CApCANpAq prow adzi do CApCANpAKpNp, a to łącznie z NAKpNp prowadzi do CAp NANp, a więc do CApFp). Ale w system ie Ł 4 żadne w yrażenie znane nie m oże zaczynać się od NA, a więc i NA K pN p nie jest w yrażeniem u zn a n y m system u. P od o b n ie tezą system ów standardow ych nie jest ani C E p q C r p F q , ani CEpqCApAq (gdyż jeśli np. p i q są fałszywe, to je d n a k przy p m ożliw ym q m oże być n iem o żliw e - a taka sytuacja m oże być brana pod uw agę w tych system ach). W e d łu g P riora32 naw et w system ie Ł -m o d aln y m m am y „coś p o dobnego do dylem atu: ograni czyć zakres czy pom inąć C ôpCÔNpôq” . W rachunku czysto asertorycznym ograniczenie dziedziny w w yrażeniu CÔpCôNpôq je s t obecne, choć nie o d cz u wane, poniew a ż taki rachunek nie zaw iera żadnego funktora, dla którego to praw o nie zachodzi. To ograniczenie jest też zakładane w Ł4, gdyż w yrażenie C ô p C ô N p ô q u trzym uje swe o b o w iąz yw anie albo tylko pod w arunkiem , że o graniczym y dziedzinę 8 do takich funktorów , ja k A czy T, które trzeba traktow ać ja k o zm ienne funktory zm ieniające swe wartości je d y n ie w części
31 P r i o r, T im e a n d M o d a lity , s. 123.
32 P o n i ż s z a an aliza j e s t w z n a c z n y m sto p n iu o p a r ta na r o z w a ż a n ia c h P r i o r a z T im e a n d M o d a lity , s. 3-5, 123-132.
dziedziny, albo uznam y, że rachunek nie je s t funkcjonalnie pełny, tzn. że istnieją funktory je d n o arg u m en to w e, które nie są d e finiow a lne w Ł4. W czte- ro w a rto ścio w y m ra chunku istnieje 256 w szystkich fu n k to ró w je d n o a rg u m e n to - wych, ale je d y n ie 16 z nich je st definiow alnych w Ł4. Są to funktory w y z n a czone przez składanie d w u w a rtościow ych funkcji je d n o a r g u m e n to w y c h kla sycznego rachunku zdań; „W yrażenie (Na, Nb) [za p o m o c ą którego definiuje się cz terow artościow y funktor negacji - przyp. M. L.] je s t szczeg ó ln y m p rz y p adkiem form uły ogólnej (ea, £,b), gdzie e, i; m o g ą przybierać ja k o swe w a r tości funktory: V (verum ), S (asercja), N (negacja) i F (fa ls u m ) z rachunku d w uw artościow ego. P oniew aż każ dą z czterech w artości e m o ż n a połączyć z każ dą z czterech wartości ę, otrzym ujem y 16 kom binacji, które definiują 16 funktorów od je d n e g o argum entu ra chunku cz te ro w a rto śc io w e g o ” 33. Jak funktor czterow artościow ej negacji N(a. b) = (Na, Nb), tak funktor m o ż liw o ś ci A (a, b) = (Sa, Vb) = (a, Cbb), a funktor konieczności T (a, b) = (Sa. Fb) = (a, Fb). M am y więc z góry założone ograniczenie m ożliw ych do ro z w aża nia funkcji systemu do tych, które dadzą się traktow ać ja k o złożenie k lasy cz nych funkcji jed n o a rg u m e n to w y c h (do rozw ażań sensu intuicyjnego takiej konstrukcji funktorów wrócim y później). Jeżeli w yjdziem y po za tę dziedzinę i założym y, że m ożem y zdefiniow ać każdy funktor, w yrażenie CSpCSNpSq m usi odpaść. M o ż n a np. zdefiniow ać funktor Xp taki, że Xp = (odpow iednio)
1. 1, 1, 4, gdy p = 1, 2, 3, 4. M am y wtedy C X 3 X N 3 X 4 = C 1 C X 2 4 = C1C14 = C 14 = 4. Albo funktor Yp = 2, 3, 4, 1, gdy p = 1, 2, 3, 4, i wtedy C Y 1 C Y N 1 Y 3 = 3. Podobnie praw o ekstensjonalności C E p q C 5 p 8 q je st fałszy we dla tych funktorów . P rio r podsu m o w u je to w sposób następujący: „F ak tycznie nie znam żadnego systemu zaw ierającego to praw o, który nie m a co najm niej je d n e g o z następujących ograniczeń: albo 1) system je s t dw uw artoś- ciowy, albo 2) system jest funkcjonalnie niepełny, albo 3) system nie zawiera w szystkich klasycznych praw dla funktorów C, E ”34. A zatem, j a k na razie, w ydaje się, że Ł uk asiew ic z arbitralnie założył, że funktory m odalne powinny z a ch o w y w a ć się ja k funktory praw dziw ościow e.
2. C ie k a w ą argum entację za tym, że funktory m odalne nie są p ra w d z iw o ś
ciowe, przedstaw ił P rior w F orm al L o g ic7,5. P unktem w yjścia tej a rg u m e n ta cji je s t teza A rystotelesa d o tycząca m ożliw ości obustronnej (kontyngencji),
13 Ł u k a s i e w i c z, S y lo g is ty k a A r y s to te le s a [...], s. 2 2 4 n.
34 P r i o r, T im e a n d M o d a lity , s. 129. Dalej P r i o r k o n s tr u u je s y s te m y m ają c e trzecie z ty ch o g ra n ic ze ń .
głosząca, iż Je śli j e s t kontyngentne, że p , to j e s t ko ntyn g en tn e, iż n ie p (gdyż Qp = KApANp = KANpAp —> KANpANNp = QNp). L u k a s ie w ic z 36 wykazał, że korzystając z tezy CSpCSNpSq i tezy A rystotelesa C Q p Q N p , m ożna dojść do paradosalnych konsekw encji, iż jeśli ja k ie ś zdanie je s t kontyngentne, to każde zdanie je st k o n ty n g e n tn e 37.
T rudność w tym w yw odzie leży, w edług Priora, w w ierszu 4: „nie je s t po prostu praw dą, że jeśli jakieś zdanie jest kontyngentne, to jeżeli nie-p jest też kontyngentne, to wszystko jest k o n ty n g e n tn e ” . F u n k to r „Jest kontyngentne, że [...]” nie je st takim funktorem , który m ożna podstaw iać za 8. M o ż n a b o wiem przyw ołać w tym miejscu analogię z kw antyfikatoram i. Jeśli je st p ra w dziw e dla jak ieg o ś predykatu 0, że KEx0xExN(j)x), to będzie to pra w dą i dla N0. A w ięc mamy:
C ( K E x 0 x E x N 0 x ) ( K E x N 0 x E x N N 0 x ) , ( g d y ż K ( E x 0 x ) ( E x N 0 x ) ^ K ( E x N 0 x ) (E x 0 x ) —> K (E x N x )(E x N N 0 x )). Jeśli użyjem y skrótu Ox<f>x dla w yrażenia KEx0xExN<|>x, m ożem y naszą tezę zapisać: COx<j)xOxN(j)x i w yprow adzić z niej absurdalny w niosek w następujący sposób:
1. C 8pC 8N p8q 2. C C p q C C p C q rC p r (sylogizm Fregego) 3. C O x 0 x O x N 0 x 1 p/0x, qAj/x - 4 4. C8<t>xC8N(j)x\|/x 4 8 / 0 x - 5 5. C O x0xC OxN0xOx\)/x 2 p/O x0x, q /O xN 0x, r/Ox\|/x - C3 - C5 - 6 6. C O x0xO x\)/x 6 Etj) - r i y - 7 7. C E O x < j)x n O W x 36 O z m ie n n y c h fu n k to r a c h , s. 2 5 0 n. 37 W y w ó d Ł u k a s ie w i c z a jest następ u jąc y : 1 . C 8 p C 8 N p 8 q 2. C C p q C C p C q r C p r ( s y lo g izm F r e g e g o ) 3. C Q p Q N p (z as a d a A ry s to te le sa ) 1 S/Q - 4 4. C Q p C Q N p Q q 2 p/Q p, q /Q N p , r/Q q - C3 - C 4 - 5 5. C Q p Q q 5 - X p - FIq - 6 6. C Z p Q p F I q Q q .
Tak więc, jeśli istnieje jakiś predykat 4>, o którym m o żn a pow iedzieć, że coś w łasność przez niego reprezentow aną m a i coś tej w łasności nie m a (np. w łasność bycia studentem w zbiorze ludzi), wtedy m o żem y pow iedz ie ć to o każ d y m predykacie, to znaczy, iż nie m a praw d ziw y ch zdań ogólnych. Źródło trudności leży tu w traktow aniu złożonego kw a n ty fik a to ra „ O x ” ja k o p o d staw ialne go za 8 w 4. W idzim y, że fu n k c ja o d p o w iad a ją ca kw antyfikato- rowi „O x ” odpow iada zdaniu k o n tyngentnem u i ta fu n k c ja nie je s t p ra w d zi w o ścio w a (bo aby stwierdzić, czy zdania „Ox<t)x” i „OxN<j)x” są praw dziw e, czy nie, trzeba znać predykat re p rezentow any przez <]); dla pew n y ch p re d y katów tak jest, dla innych zaś nie). A zatem funktor kontyngencji (m o żliw o ś ci obustronnej) nie je s t p ra w dziw ościow y. A skoro tak, to, zw ażyw szy na (w ym ienia ne wyżej) pow iązania m iędzy funktoram i m odalnym i, żaden funktor m odalny nie je s t praw dziw ościow y.
A rg u m e n ta cja p o w y ż sz a w ydaje się bardzo przekonująca. O czyw iście, Ł u k asiew ic z w yciąga inne wnioski z w yra żenia C E p Q p I I q Q q ; w n ioskiem jeg o jest, iż zasadę A rystotelesa należy odrzucić, g dyż prow adzi do paradoksalnych konsekw encji. Z argum entacji wyżej przedstaw ionej i rozw ażań dotyczących zasady C 8p C 8 N p 8 q w ynika, że to ta ostatnia zasada je s t o d p o w ied z ia ln a za nieintuicyjne konsekw encje; funktory m odalne nie m o g ą być p odstaw iane za zm ienną.
4. P R Ó B A I N T U IC Y J N E J IN T E R P R E T A C J I F U N K T O R Ó W M O D A L N Y C H W S Y S T E M I E Ł4
P rior podjął się je d n a k próby p odania pew n eg o ro z u m ie n ia funktorów Ł -m odalnyc h, tak aby sposób określenia tych funktorów w ydał się bardziej racjonalny. „W yrażenie postaci ’Jest m ożliw e, że p ' m a wiele znaczeń, lecz istnieje w pew nym stopniu kres górny i dolny tego, co ono m o że znaczyć. Nigdy nie stw ierdza ono więcej niż to, że p je s t aktualnie praw dziw e, i nigdy nie stw ierdza mniej niż to, że p je s t praw dziw e, jeśli ono je s t praw dziw e. P od o b n ie - ’Jest konieczne, że p ' nigdy nie stw ierdza mniej niż to, że p jest aktualnie praw dziw e, i nigdy nie stw ierdza więcej niż to, że p je st zarazem p ra w d ziw e i fałszyw e (poniew aż to ostatnie je s t kresem g ó rn y m każdej asercji [...] W e w szystkich system ach m odalnych oprócz tego je d n e g o je s t p rz y jm o wane, że te kresy leżą poza d ziedziną m ożliw ych d o p u szc zaln y ch znaczeń ’Jest m ożliw e, że ...’ i ’Jest konieczne, że ...’ Znaczy to, że ’Jest możliwe, iż p ’ je s t w zięte j a k o stw ierdzające nie tylko nie więcej niż p, ale dokładnie
mniej niż samo p (bycie pra w d ziw y m w przypadkach, w których sam o p nie je s t praw dziw e) i nie tylko nie mniej, ale dokładnie więcej niż ’Jeśli p, to p ' (poniew aż to ostatnie je s t p ra w d ą n aw et w p rz ypadkac h, w których p nie musi być m ożliwe, ale m oże być naw et niem ożliw e. Jest p ra w d ą np., że jeśli 2 i 2 je s t i nie je s t 4, to 2 i 2 je s t i nie je s t 4). Ale form uły, które w ystępują w system ie Ł -m o d aln y m ja k o aksjom aty i tw ierdzenia, nie o b o w iąz u ją wtedy, gdy ’Jest możliwe, że p ' je st dane ja k o znaczące coś p o m ię d zy górnym i d o l nym kresem , ale obow iązują, gdy je st dane znaczenie dotyczące sam ego kresu górnego czy sam ego kresu dolnego. To jest, w form ułach systemu, funktor A zachow uje się, ja k gdyby on nie był stałym, ale zm ien n y m funkto- rem, z d olnym zajm ow ać pozycję albo prostego ’Jest tak, że ...’, albo ’Jeśli j e s t tak, że (tak a tak), wtedy tak j e s t ’. N a przykład CpAp je s t praw em , po n iew aż ono utrzym uje się niezależnie od tego, czy zastąpisz Ap przez Cpp, czy przez zw ykłe p, a proste Ap nie jest praw em , gdyż nie u trzym uje się, gdy zastąpisz j e przez zw ykłe p. F z systemu Ł 4 m oże być pod o b n ie interpreto w ane - tezy system u zaw ierające T są takimi form ułam i za w ierającym i F, które będą praw am i zw ykłego ra chunku zdań niezależnie, czy p będzie za stą pione przez zw ykłe p , czy przez KpNp. Fatalna form uła C r p q C p F q 38 jest praw em , poniew aż gdy po prostu pom iniesz T, otrzym asz C C pqC pq, które je s t dość oczyw istą tautologią, a gdy zastąpisz F a przez K a N a , przejdzie to w yrażenie w w yrażenie C K C p q N C p q C p K q N q , które jest praw dziw e, p o n ie waż je g o poprzednik je st zawsze fa łs z y w y ”39. P rzypa trzm y się rozw ażaniom Ł ukasiew icza, aby zbadać słuszność w niosków Priora.
Ł u kasiew icz pisze: „W zory z A są oczyw iście iloczynem w zo ró w sp ra w dzanych przez S i V. W z ór CpAp jest uznany, gdyż je st uznany dla A = S i A = V, wzory CApp i Ap są odrzucane, poniew a ż odrzuca się pierw szy wzór dla A = V, a drugi w z ó r dla A = S - m ożem y uzyskać iloczyn m nożąc S przez V, co daje funkcję A (a, b) = (Sa, Vb) = (a, C b b )”40. Przy tym „klasyczny rachunek zdań, do którego w szystkie w zory naszej logiki m odalnej są matry- cow o sprow adzalne, je st nasycony, tj. dow olny w z ó r m usi być albo uznany na podstaw ie uznanych aksjom atów , albo odrzucony na p o dstaw ie aksjom atu
38 Je st o n a „ fataln a ” w ty m se nsi e, że - j a k z a u w a ż a P rio r - o d p o w i a d a b łę d o w i, o k tó ry m cz ę s to w s p o m in a li śre d n io w iec zn i a u to rz y , p o le g a ją c e m u na p o m ie s z a n i u n é c e s s ita s c o n se q u en - tia e z n é c e s s ita s c o n se q u e n tis . Zob. ro z ró ż n ie n ia ró ż n y c h ro d z a jó w k o n ie c z n o ś c i u A ry s to te le s a z p o c z ą tk u teg o arty kułu.
,y P r i o r , T im e a n d M o d a lity , s. 4.
o drz ucania p, który w ynika łatwo z naszego aksjom atu 3 lub 4 ”41. W idzim y więc tu tę w łasność, o której pisze Prior, p rz esk ak iw a n ia funkcji m ożliwości (a to sam o m ożna pow iedzieć o funktorze konieczności, dla którego od p o wiednio m o żn a stwierdzić, że w zory są iloczynem w zo ró w spraw dzanych przez S i przez F. W z ó r C Tpp je s t uznany, bo jest uzn a n y dla F = S i dla T = F, w zór zaś C pF p je s t odrzucony, gdyż odrzuca się go dla T = F, a wzór N r p je s t odrzucony, bo odrzuca się go dla T = S) od kresu d o lnego do g ó r nego przez zakres, który w łaściw ie je s t dla tego funktora p rz ezna czony, gdzie standardow e funktory m odalne „pracują” nie osiągając ow ych kresów. Tu dochodzim y do w ażnego dla niniejszych rozw ażań m iejsca - roli, j a k ą w sys tem ie Ł u k asiew ic za pełni schemat: w yrażenia u znane - w yra żenia odrzucone.
5. S C H E M A T : W Y R A Ż E N I A U Z N A N E - W Y R A Ż E N I A O D R Z U C O N E
Schem at: w yra żenia uznane - w yrażenia o d rzucone w y m a g a odrębnych analiz. W „ z w y k ły m ” system ie logiki mamy je d n ą kategorię w yrażeń - w yra żenia uznane, których zbiór p o k ry w a się ze zbiorem tez. W sz y stk ie inne w yrażenia z budow ane w języ k u system u są p om ijane w ro z w ażaniach - nie są tezam i, poniew a ż nie dadzą się w yw ieść z a k sjom atów za p o m o c ą reguł p row a dząc ych od tez do tez. M am y więc w takim system ie w łaściw ie do cz y n ie n ia tylko z je d n ą w artością logiczną (praw dą?) będącą kresem górnym zbioru wartości logicznych; wartości w szystkich innych wyrażeń znajdują się poniżej tego kresu. To, że zm ienna zda niow a nie je s t tezą system u, w ynika z faktu, iż m ożna podać takie jej podstaw ienie, które je s t zdaniem fałszywym . W system ie Ł4, jeśli liczyć się z objaśnieniam i Ł u kasiew ic za, ten schemat winien rów nież obow iązyw ać - „o d rzucona fo rm u ła ” znaczy bow iem tyle, co „nie każde jej podstaw ienie je s t u z n a n e ” (trzeci w arunek (1.3) stwierdza, że nie w szystkie w yrażenia zaczynające się od A są u z n a n e 42), a zatem, ściśle rzecz biorąc, należałoby sym bole i-a, n a odczytyw ać ja k o (odpow iednio): w szelkie p odstaw ienia a są uznane, nie w szelkie p o d staw ien ia a są uznane.
41 T a m ż e , s. 288.
42 G d y b y b o w i e m c z y ta ć z nak „ h ” w sp o s ó b m o c n y , tzn. „ o d r z u c o n a f o r m u ła ” to tyle, co „ k aż d e jej p o d s t a w i e n i e j e s t fa łs z y w e ” , to n i e m o ż li w a b y łab y w o g ó l e lo g ik a m o d aln a , g d y ż nie d o p u s z c z a ło b y się ż a d n e g o p r a w d z i w e g o z d an ia p r o b l e m a t y c z n e g o ; to nie b y ło j e d n a k in te n c ją Ł u k a s ie w i c z a (p o n iew aż , j a k w y n i k a z m a tr y c y Ł 4, jeś li p m a w a rto ś ć w y r ó ż n io n ą , to i M p m a tak ą wa rtość).
D ochodzim y w ów czas do tego, co musi uderzać w zetknięciu z s ystem em Ł4 - gdyby ograniczyć się tylko do aksjom atów uzna nych i je s z c z e zawiesić w stosunku do funktorów m odalnych działanie zasady C Sp8N p8q (ze względu na podn o szo n e wyżej w ątpliw ości), to za w arta w system ie „ p o z y ty w n a ” w ie d za o m odalnościach byłaby bardzo uboga (w system ie pozostałyby jed y n ie warunki 1.1, 1.4, 1.7 i 1.8, czyli zasada Ab o p o rtere a d esse ... i pochodz ąca z kw adratu m odalnego zależność m iędzy A i T, ale nie n aru szając a „ z d ro w y c h ” intuicji dotyczących pojęć m odalnych. Intuicje te są b o w iem naruszane przez k o nsekw encje rozszerzenia działania zasady C 8 p § N p 8 q na funktory m odalne i przez aksjom aty odrzucania. R ola tych ostatnich je s t taka, że (jak sam Ł uk asiew ic z w skazuje) bronią one system Ł4 przed tryw ializacją. A k sjo maty 1.2 i 1.5 bronią funktory A i T przed tryw ialnym sprow a dzenie m do funktora asercji, aksjom at 1.3 broni funktor A przed sp ro w a d zen ie m do fun- ktora verum , a aksjom at 1.6 - funktor konieczności przed sprow adzeniem do funktora fa lsu n i. Jeśli założyłoby się, że funktory m odalne są p ra w d z iw o ś ciowe, a nie byłoby zdań „ o d rz u c o n y c h ” , m usiałaby być sytuacja taka, jak w Ł3 - k onieczne byłyby w szystkie zdania o w artości najlepszej (praw dziw e, o zdarzeniach zd eterm inow anych, j u ż m inionych), a m ożliw e - wszystkie zdania nie-fałszyw e (o w szystkich w artościach poza w artością najgorszą), ale tego Ł u k asiew ic z chciał uniknąć (np. za sada U n um q u o d q u e, quando est. op o rtet esse je s t po prostu odrzucana). N atom iast sk o n stru o w an ie rachunku nasyconego (dzięki schem atowi: w yrażenia u znane - w y ra żen ia odrzucone) sp o w odow a ło paradoksalną sytuację, iż żadne zdanie k onieczne nie m oże być uznane. Nie m a bow iem w system ie Ł4 m ożliw ości w p ro w a d z e n ia „ p ierw sze g o ” u zn a n eg o zdania koniecznego do system u (w system ach standardow ych w pro w ad za n ie do systemu zdań koniecznych u m o żliw ia np. reguła Gödla, która przypisuje konieczność w yrażeniom na podstaw ie tego, że w yra żenia te są np. tezam i klasycznego rachunku zdań); w Ł 4 reguły dla o drz ucania sk u tecznie e lim inują w szystkie w yrażenia zaczynające się od funktora koniecz ności. Jeśli bow iem np (bo j e g o k o n sek w e n cją p o d staw ien io w ą je s t odrzucone w yrażenie hAp), to z reguły o d ryw a nia dla odrz ucania i w yra żenia hCŁpp m am y w yrażenie nFp. Skoro żadne zdanie nie m oże być konieczne, to tak j e s t i z praw am i logiki, np. 160. nŁCpp albo -tr(x = x )43. C hoć ściśle m ó
43 Z a ty m , że hT (x = x), Ł u k a s ie w i c z p r z e p r o w a d z a o s o b liw y w y w ó d , b ę d ą c y o d p o w i e d z ią na tr u d n o ś c i z w i ą z a n e z k o n i e c z n o ś c i o w a n i e m z d ań a n a l i ty c z n y c h p o d n i e s io n e przez Q u i n e ’a. Por. Ł u k a s i e w i c z , S y lo g is ty k a A r y s to te le s a [...], s. 2 2 8 -2 3 1 ; t e n ż e , A r ith m e tic a n d M oclal L o g ic , s. 391 n.
wiąc, zgodnie z wyżej przytoczonym i ustaleniam i Ł uk a sie w ic z a w yrażenie p należałoby czytać nie: „żadne zdanie nie je s t k o n ie c z n e ” , ale „nie m ożem y przyjąć, że w szystkie zdania apodyktyczne są p ra w d z iw e ” , co je s t tryw ialnie praw dziw e (istnieje bow iem co najm niej j e d n o zdanie konty n g en tn e p ra w d zi we).
In nym ew entualnie sposobem , w jaki zdania k onieczne m ogłyby „w e jś ć ” do system u, m ogłyby być tezy redukcyjne. W system ie S5 m am y np. tezę: Jest m ożliw ie konieczne, że p wtedy i tylko wtedy, gdy je s t konieczne, iż p (a więc zdania p roblem a tyc zno-a podyktyc zne są re d u k o w aln e do zdań a p o dyktycznych). W system ie Ł4 natom iast m am y 141. t - E r N F p F N p stw ierd z a jące , że zdania apodyktyczne są re dukow alne do zdań apodyktycznych. Te
konsek w e n cje sprawiają, że wielu autorów ocenia system Ł 4 j a k o dziwny, o so b liw y 44. O sobliw a je s t rów nież np. teza 154. t - E r A p q A r p r q dotycząca roz kła dania funktora konieczności na człony alternatyw y. D la zdarzeń sprzecznych alternatyw a zdań opisujących te zdarzenia jest praw d ziw a i, chciałoby się powiedzieć, logicznie k onieczna (praw o w yłąc zonego środka), natom iast oczyw iste jest, iż żadne z tych zdań k onieczne być nie musi (teza
154 jest k o n sek w e n cją zasady C 8pC 5N p8q).
Z pow yższych w yników Ł u kasiew icz w yp ro w ad za w nioski filozoficzne odnośnie do m ożliw ości wszelkiej wiedzy apodyktycznej. Podkreśla on w a ż ność odkrycia wskazującego, iż żadne zd a n ia apodyktyczne nie m ogą być praw dziw e, czyli na niem ożliw ość wiedzy apodyktycznej. W arto w tym m iej scu zauw ażyć, że ten rezultat system u Ł4 w łaściw ie nie je s t odkryciem , ale założeniem poczynionym przez Ł ukasiew icza. N a jakiej bow iem podstaw ie Ł u k asiew ic z p rzyjm uje aksjom aty system u oraz je g o reguły? D lac zeg o wśród tych reguł są reguły odrzucania, które o czyszczają zbiór zdań ze zdań ko niecznych? P oniższy cytat z ostatniego rozdziału S ylo g istyki A rysto telesa trzeba więc traktow ać raczej ja k o źródło system u Ł4, j a k o j e g o filozoficzną m otyw ację, a nie filozoficzną konsek w e n cję tego s y ste m u 45. Ł u kasiew icz
44 „ T e o so b liw o ś c i s ą p r a w d o p o d o b n i e p rz y c z y n ą tego, że s y s te m Ł 4 nie j e s t c y to w a n y w pracy: R. F e y s, J. D o p p, M o d a l L o g ic, P a r i s - L e u v e n 1965. Por. J. P o r t e, The C l-System a n d the Ł -S y ste m o f M o d a l L o g ic , „ N o tre D a m e J o u rn a l o f F o rm a l L o g ic ” , 20(1 9 7 9 ) 9 1 5 -9 2 0 .
• Z a n a liz y całej tw ó rc zo ś c i Ł u k a s ie w i c z a w y r a ź n i e płynie w n io s e k , iż u p o d s t a w sy s te m ó w , któ re tw o rz y ł, są p e w n e p r e s u p o z y c j e filo z o ficz n e, czyli, in n y m i s ło w y , iż Ł u k a s ie w ic z fa k ty c zn ie p r ó b o w a ł re a liz o w a ć swój p r o g r a m filozofii lo gic znej, trak tu jąc s y s te m y , które tw o rz y ł, j a k o p o z o s ta ją c e na u s łu g a ch ż y w i o n y c h p rz ez sieb ie p o g ląd ó w . M y l ą c e j e s t w praca ch Ł u k a s ie w i c z a to. że w iele z ty ch prac l o g ic z n o -f ilo z o f ic z n y c h p o z o s ta je w z w ią z k u z b
