Porównanie mierników współliniowości

Elżbieta Maksymiak

Porównanie mierników

współliniowości

Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska. Sectio H, Oeconomia 26, 263-277

A N N A L E S

U N I V E R . S I T A T I S M A R I A E C U R I E - S K L O D O W S K A L U B L I N — P O L O N I A

VOL. X X V I, 19 SECTIO H 1992

Zakład Nauk Ekonomicznych Filii UMCS w Rzeszowie

E l ż b i e t a M A K S Y M I A K

P o r ó w n a n ie m iern ik ów w s p ó łlin io w o śc i A Coniparison of the Measureinents of Colinearity

A ktualny stan wiedzy n a tem at współliniowości zmiennych o b jaśn ia ją ­ cych jest w literatu rze bardzo obszerny. Szczególnie dużo jest publikacji n a te m a t ujemnych skutków współliniowości w procesie estym acji param - terów strukturalnych m etodą najm niejszych kwadratów . Do najw ażniej­ szy cli prac dotyczących tego problemu można zaliczyć [4], [5], [11], [19]. Ponieważ zjawisko współliniowości m a szczególnie negatyw ny wpływ na szacowanie modelu klasycznymi m etodam i estym acji, dlatego w lite ra tu ­ rze pojaw iło się wiele prac n a tem at m etod eliminujących współliniowość zmiennych. Są to między innymi m etoda regresji grzbietowej p o d ana przez E. Iloerla i W . Kennarda. w pracy [9], m etody ortogoalizacyjne (por. prace: [7], [10], [12], [13], [16], [17], [18]), m etoda różniczki zupełnej, opisana np. w pracy [14] i m etoda transform acji zmiennych (por. [16]). Ze względu na brak precyzyjności w definicji współliniowości zmiennych objaśniających, k tó ra mówi, że zmienne objaśniające są wspólliniowe, jeżeli co najm niej jed n a z nich jest silnie skorelowana z pozostałym i, opracowano w litera ­ turze dużą liczbę kryteriów, na podstaw ie których mierzy się natężenie współliniowości.

Niniejszy arty k u ł poświęcony jest eksperymentowi sym ulacyjnem u do­ tyczącem u porównań charakterystyk zmienności funkcji opisujących pewne w ybrane mierniki współliniowości w zależności od natężenia współliniowo­ ści między zmiennymi objaśniającym i liniowego modelu ekonom etrycznego. M iernikami współliniowości, które badano w przeprowadzonym ekspery­ m ent cie były:1

2 6 4 Elżbieta Maksyiniak

— integralny współczynnik zasobu informacji b ru tto

k Q = Y , r7 Y X j ł2

3=1

gdzie r y X j Jest współczynnikiem korelacji między zm ienną objaśnioną

Y a j - t ą zm ienną ob jaśn iającą X j ,

integralny współczynnik zasobu informacji netto

gdzie <Jj G = 3=1 ß j r Y X } , gdy ß j r y X j > 0 0 , gdy ß j TYXj < o ’

przy czym fij jest oceną j-te g o p aram etru stru k tu raln ego /3j m odelu, integralny współczynnik zasobu informacji powtórzonej

F* = Q - G ,

integralny współczynnik pojem ności

gdzie

hj —

3=i

Y X j

1 + k-Y.A-T

staty sty k a F arrara— G laubera

Xf = n - 1 - - ( 2 k + 5) log det R,

gdzie R jest m acierzą współczynników korelacji między zm iennym i ob­ jaśniającym i, zaś n oznacza liczbę obserwacji zmiennych m odelu, — staty sty k a Haitovskiego

lo g (l — det R) .

objaśniających m odelu. Bliższe informacje na teinat tych mierników m ożna znaleźć np. w pracach: [1], [3], [5], [6], [8], [15].

Porównanie mierników wspólliniowości 2 6 5

integralny współczynnik wspólliniowości \ = Q - R \ gdzie R2 jest współczynnikiem determ inacji,

przeciętny współczynnik indywidualnej wspólliniowości

6 = '£ * - i

gdzie

Sj = , 1

-det R

det R_•33

przy czym det R j j jest m inorem głównym macierzy R otrzym anym przez skreślenie i-te g o wiersza oraz j-te j kolumny,

przeciętny współczynnik F arrara— G laubera

u 1 k

3=1

gdzie

przy czym r 33 jest j-ty m elementem głównej przekątnej m acierzy R

— przeciętny współczynnik zasobu informacji b ru tto

— przeciętny współczynnik korelacji między zmiennymi objaśniającym i

\

E k

hj=1,i ^ j ' X tX j

k ( k - 1)

2 6 6 E lżbieta Maksyiniak

przeciętna w artość staty sty k S tudenta

m = z U _km ) ) 2 przeciętny współczynnik regresji standaryzow anej

8 =

gdzie /3j jest oceną j-tego p aram etru struk turalneg o (3j m odelu o zmien­ nych standaryzow anych na 0 — 1,

przeciętny współczynnik określoności indywidualnej

gdzie

a - fi D Ł i f a ~ y)(xi j ~ % )

(lJ ~ \ I P j v - n ,n\2

E " = i ( w - 9 ) ‘

przy czym iji , X{j są i-tymi realizacjam i odpowiednio zmiennych Y oraz

X j, zaś

1 n 1 n

t=l i=l

— przeciętny współczynnik zasobu informacji n e tto

o - f

— przeciętny standaryzow any współczynnik wspólliniowości

gdzie

k

m j = ^ P W i r x t X j ,

Porównanie mierników współliniowości 2 6 7

— przeciętny współczynnik integralnej koincydencji

P =

T i , v]

gdzie

Pj = r X , X Jd i d J - 2 d j r Y X j

i = \

zaś di jest i-tą w spółrzędną wektora d = U ^ R o , przy czym R 0 oznacza fc-elementowy wektor o współrzędnych r y x } •> natom iast U jest m acierzą o elem entach równych

Uij = r Y x t r y X j ( i , j = 1 , 2 , * - , Ar;i fi j )

Uij — 1 (j — 1,2 , • • •, &),

przeciętny współczynnik pojemności

II II =

k '

Aby móc przeprowadzić eksperym ent symulacyjny na wyżej p rzed sta­ wiony tem at należało przede wszystkim zaprojektow ać taki m odel ekono- m etryczny, w którym m ożna by było zmieniać natężenie współliniowości w zbiorze zmiennych objaśniających. Modelem takim byl m odel, dla k tó ­ rego m acierz korelacji między zmiennymi objaśniającym i m iała n astęp u jącą

postać:2 _l:

a a a a • • • 1

(1)

kxk

gdzie a = r k- p + i j dla j fi k - p Ą- i (i = 1,2, • • •, p; j = 1,2, • • •, k).

Natężenie współliniowości w zbiorze zmiennych objaśniających było zm ieniane na skutek zmian wartości współczynnika a, tak by dla odpo­ wiedniego a macierz R ^ p)(a) była m acierzą korelacji, czyli każdy jej m inor główny musi mieć wartość większą lub równą zero.

2 Taka lokalizacja ^-elementowego zbioru wierszy została wybrana dla jasności prowa­ dzonego wywodu, nie zmienia to jednak ogólności rozważań.

2 6 8 Elżbieta Maksy miak

Aby wykazać jak i jest największy przedział określoności w spółczynnika

a, by macierz (1) były macierzą, korelacji sform ułowano i udowodniono n astępujące dwa tw ierdzenia, które są potrzebne do tego celu.

T w ie r d z e n ie 1

Jeżeli k , p £ N (N — zbiór liczb naturalnych) oraz 2 < p < k — 1, to

det R(k,p)(a) = (1 - a f 1 [ - p ( * - p ) a2 + (p - l)o + l] ,

(

)

D o w ó d

Aby wykazać równość (2) postępujem y według następującego algorytm u: (1) W wyznaczniku macierzy (.1) od kolumny o num erze k —p + i odejm ujem y kolumnę o num erze k — p + / + 1 dla każdego wskaźnika i = 1,2 , • • • , p — 1. W wyniku tego przekształcenia otrzym ujem y wyznacznik postaci:

1 0 • ■ 0 0 0 a 0 1 • • 0 0 0 a 0 0 • • 1 0 0 a a a a 1 — a 0 a a a a a — 1 1 — a • a a a a 0 0 ■ 1

(2) W powyższym wyznaczniku k — p pierwszych kolumn m nożym y przez

- a i dodajem y kolejno do ostatniej kolumny. Po tym przekształceniu otrzy ­ m ujem y następujący wyznacznik

1 0 • 0 0 0 0 0 1 • •• 0 0 0 0 0 0 • • 1 0 0 0 a a a 1 - a 0 • a — ( k — p ) a 2 a a a a — 1 1 — a • • a —( k — p ) a 2 a a a 0 0 • 1 - ( k — p ) d 2

(3) W wyznaczniku otrzym anym powyżej kolumnę o num erze k — p + i

m nożym y przez wyrażenie

i ( a —( k — p ) a2)

1 — a

Porównanie mierników współliniowości _{2 6 9}

dla i = 1,2 , • • •, p — 1 i odejmujemy kolejno od k -tej kolumny. (D la a = 1

m acierz (1) m a p jednakowych kolumn i wtedy jej wyznacznik jest równy 0 ).

W wyniku tego przekształcenia otrzym ujemy wyznacznik postaci

1 0 • •• 0 0 0 0 0 1 • 0 0 0 0 0 0 •• 1 0 0 0 a a a 1 - a 0 0 a a a a — 1 1 — a 0 a a a 0 0 ,. i _ ( k p)a2 + (p

-Ponieważ jest to wyznacznik macierzy trójkątnej dolnej, więc jest on równy następującem u wyrażeniu

(1 - a ) p - 1 [ l - (k - p ) a2+ ( p - l ) ( a - (k - p ) a 2 ) ] .

Pokazaliśmy więc, że

det R(k,P)(a) = (1 - a )p_1[l - (& ~ p ) a 2 + ( p ~ 1)(« ~ ( k - p ) a 2)]

czyli ostatecznie

det R(k,p)(a ) = (1 - a )p“ 1[-p(fc - p)«2 + {P ~ 1)« + 1]

c.b.d.o. Zanim przedstawim y drugie z zapowiedzianych twierdzeń udowodnim y następujący lem at, z którego będziemy korzystać w trakcie dowodu tego tw ierdzenia.

L em a t 1

Jeżeli p, k E N , 2 < p < k - 1 oraz a £ ( - 1 ,1 ) , to:

(1) «o € ( - l , 0 ) i 6 o € (0,1) (3)

(2) det R ^ ^ ( a ) = 0 <£> a = a0 V a = 1 V a = bo (4)

(3) det R(k,p)(a ) > 0 & a € ( ao, bo) (5)

(4) d e t R ( kfP){a) < 0 <£> a £ ( - l , a 0) V (60, 1), (6 )

gdzie

_ P ~ 1 ~ V ( P ~ l) 2 + 4 p ( k - p) _ p - l + y/{p - l) 2 + 4 p( k - p)

U° 2p ( k - p ) ’ ° 2p(k - p)

2 7 0 Elżbieta Maksymiak

D o w ó d

W arunek (3) jest oczywisty na mocy elem entarnych przekształceń. N ato­ m iast warunek (4) wynika w prost ze wzorów (7) oraz (2). Z kolei z zależności (2) oraz (4) otrzym ujem y następujące równoważności:

det R ( k^ ( a ) > 0 <£> <

a < 1 A «o < a < bo

a > 1 A «o < a < bo A p — 1 jest p a rz y sta a > l A ( a < a - o V a >6o ) A jp — 1 jest n ieparzy sta

oraz

f l < l A ( f l < a 0 V f l> b0 )

det R ( ktP)(a) < 0 <£> ^ a > 1 A ( a < a 0A a > b0) A p - 1 jest p a rz y sta

a > 1 A (ao < a < b0)A p - 1 jest n iep arzy sta Stąd po uwzględnieniu w arunku (3) otrzym ujem y, że

det R(k,p)(a ) > 0 ao < o < b0 V (a > 1 A p — 1 jest liczbą nieparzystą) oraz

det < 0 O a < a 0V 60 < a < l ( a > 1 A p - 1 jest liczbą p arzystą) czyli równoważności (5) i (6 ) dla a € ( — 1 , 1) są prawdziwe,

c.b.d.o.

T w ie r d z e n ie 2

Jeżeli p , k € N I 2 < p < k — 1, to przedział ( « o ,M jest najw iększym

przedziałem zaw artym w ( — 1,1) takim , że

/ \ / \ det R(f._i p_i)(a) > 0 (8 )

a€(a.0,b0 ) * = 0 , l , ” -,p—1

gdzie «0 5 ^ 0 określone są wzorem (7), natom iast R ^ _ i >p_ ^ (a ) jest podm acie- rzą m acierzy (1), k tó ra pow staje przez skreślenie w niej «-ostatnich wierszy oraz «-ostatnich kolumn.

D o w ó d

Niech a € ( - 1 , 1 ) , wówczas z lem atu 1 wynika, że

Ą a <E (« ;> ;) => det'■ R( k - i , P- i ) ( a ) > 0, (9)

i=0,-",p —1

gdzie

Porównanie mierników współliniowości 271

Z w arunku (9) wynika, że aby zakończyć dowód w ystarczy wykazać, że ciąg

( ai ) jest malejący, zaś ciąg { bt ) niemalejący, gclyż wtedy

i = 0 ,1, - “ • • p - oraz < = 0, 1, - -,p - 1< * * H

czyli

p | ( d i , 0) = { « o , 0) oraz p | (0, b{) = <0, 60)

z = 0 , p —1 ł’= 0 ,l» ‘",p—1

Poniżej najpierw wykażemy, że ciąg («;) jest malejący czyli, że

Ą (ii > ai+1 (1 2)

Ponieważ dla a € ( — 1,0) w myśl lem atu 1 marny warunek

det R ( k - i - i , P- i - i ) ( a ) > 0 <£> a 6 (a t-+i, 0) (i = 0,1, • • • ,/ > - 2) (13) więc aby udowodnić nierówność (12) wystarczy wykazać, że

det R { k - i - i , p - i - i ) ( a i ) > 0 ( 2 = 0,1 , — — 2) (14) gdyż «i G ( — 1,0) (na mocy lem atu 1), czyli wtedy z równoważności (13) otrzym am y, że cii > \ (i = 0,1,*-*,/? — 2).

W celu wykazania nierówności (14) przekształcam y det R ( k - i , p - i ) ( a ) w n a * stępujący sposób:

det i2(jk_ t-łP_j)(a) =

= ( 1 - a)p~l~l [ - ( p - ś - 1 + 1 ){k - p) a2 + (p - i - 2 + l ) a + 1] =

= ( 1 - a )p - ,- 1 [-(/> - i - 1 ){k - p) a2 + (p - i - 2)a + 1] + + ( 1 - a )p -,_ 1 [-(fc - p) a2 + a] =

= (1 - a) det + (1 - a)p~l~l [ - ( k - p ) a 2 + a). Stąd dla a / 1

det i2(*_l-_lłP_ i_ 1)(a) = — „.) — ( J, — a )7^ " - 2[—(A'- p ) a 2 + a\ (15) Ponieważ na mocy lem atu 1, a; ^ 1 oraz det R( k - i , p - i ) ( a i) = 0, więc

2 7 2 Elżbieta Maksymiak

Z fak tu , że cii € ( — 1 ,0 ) oraz równości (16) wynika, że det R ( k - i - i , p - i - i ) M > 0 O 1 > ( k - p ) a{, a stąd korzystając ze wzoru (10) otrzym ujem y równoważność

det JK(fc_ i_ lłP_ i_ 1)(ai ) > 0 < * p < k - l (i = 0 ,1 , • 2), czyli nierówność (14) jest prawdziwa.

Z kolei udowodnimy, że ciąg ( bt ) jest niema.lejący czyli, że

A b i < b i +i (17)

i=0,l 2

Ponieważ jak łatw o sprawdzić zachodzi następujący warunek

bj = 1 p = k — 1 (i = 0 ,1 , • • • , p — 2) (18) więc gdy p = /Ł‘ — 1, to ciąg (b{) jest ciągiem stałym .

Z lem atu 1 wynika, że 6 (0 ,1 ) więc należy jeszcze rozważyć przypadek gdy bi € (0 ,1 ). Poniżej pokażemy, że w tym przypadku ciąg (&;) jest ciągiem rosnącym .

Ponieważ dla bi £ (0 ,1 ) z w arunku (5) wynika, że

det R ( k - i - i , P- i - i ) ( b i ) > 0 & b{ £ (0 ,6 i+i) (* = 0 ,1 , • • • , p - 2), więc aby udowodnić nierówność

bi < bi+1 (i = 0 ,1 , ‘ - - , p - 2) wystarczy wykazać n astęp u jącą równoważność

det R ( k - i - i , P- i - i ) ( b i ) > 0 P < k - 1 (i = 0 ,1 , • • • , p - 2). Zauważmy, że dla bt ^ 1 na m ocy zależności (4) i (15) zachodzi równość

det p_i_,)(6i) = - ( 1 - - p)6? + ii] (* = 0 ,1 ,• • • , p - 2).

(19) Z kolei w ykorzystując wzór (11) i (19) otrzym ujem y po przekształceniu, że

det R ( k - i - i , P- i - i ) ( b i ) > 0 O p < k — 1,

Porównanie mierników współliniowości 2 7 3

N a podstaw ie twierdzenia 2 widzimy, że macierz (1) jest m acierzą

korelacji w tedy i tylko wtedy gdy a £ («0 ,6 0) lub a = 1. Natężenie

współliniowości w zbiorze zmiennych objaśniających o macierzy korelacji określonej wzorem (1) możemy zmieniać w sposób regularny np. dzieląc ao

lub bo przez dowolną liczbę n atu raln ą m. W tedy otrzym ujem y następujące wzory:

« > określające rn + 1 kolejnych wartości współczynnika a odpowiednio dla

a € («o?0) oraz (60, 0).

Aby się przekonać jaka jest monotoniczność funkcji det R^k p ^(a) w prze­ dziale < a o, bo > udowodnimy następujące

T w ie r d z e n ie 3

Jeżeli p, k G N oraz 2 < p < k — 1, to funkcja det R^k ^ { a ) rośnie w przedziale («0,0) oraz maleje w przedziale (0,&o).

D o w ó d

K orzystam y z następujących implikacji

( !) A x e ( x ^ 2) f ' ( x ) < 0 ^ funkcJa / j est m alejąca w ( x u x 2) (22) (2) f \ xe( xu x2) f ( x ) > 0 => funkcja / jest m alejąca w (ar,, x 2 ) (23) Zauważmy, że pochodna funkcji det R^k ^ ( a ) liczona względem zmiennej a

w yraża się wzorem

(det R ikjP)( a ) y = (1 - a)p~2p[(k - p ) ( p + l) « 2 - (2(k - p) + p - 1 )a] (24) Z równości (24) wynika, że

{ a < 1 A 0 < a < va l + ‘6 k7u_{( k - p ) ( p + l )} v

(det, R {k^ ( a ) ) ' < 0 O < a > 1 A 0 < a < A p jest parzystaV [ a > 1 A (a < 0 V a > A p jest nieparzysta Ale dla p < k — 1 prawdziwa jest nierówność

0 < Pu _{( k - p ) ( p +}1 +v k ~ I ^ - lł (25>

*274 Elżbieta Maksymiak

więc

(det R(k,P) M Y < O <£> <

0 < a <

V (26)

k a > 1 A p jest liczbą nieparzystą Ponieważ jak łatw o sprawdzić zachodzi nierówność

p - 1 + y/ ( p - l ) 2 + 4 p ( k - p) < p - l + 2 (Ar - p) 2p { k - p ) ^ ( k - p ) ( p + l )

więc z w arunku (2 2 ), (2 6 ) oraz powyższej nierówności wynika, że jeśli , p - 1 + x / ( p - l ) 2 + 4 p (A --p )

a € l U> 2p ( k - p ) >'

to det jest funkcją m alejącą. Z kolei

a < 0

V

(d et R(k, p)(a ) Y > 0 <=> < p - l + 2 ( fc-p) 1 ( k - p ) ( p + 1) < a < 1

k a > 1 A p jest liczbą p arzy stą, czyli z w arunku (23) wynika, że jeśli

p - 1 - s / ( p - l ) 2 + 4p(fc ^ p )

“ € < 2p ( * - p ) ’ Ui’

to det R ^ ^ ( a ) jest funkcją rosnącą.

c.b.c.o. Z tw ierdzenia 3 wynika, że zm ieniając wartości w spółczynnika o w myśl wzorów (20) lub (21) dla kolejnych wartości r powodujemy, że w artość wy­ znacznika macierzy (1) zmienia się w sposób m alejący od m aksym alnej w artości równej 1 do minimalnej równej 0, tzn. natężenie wspólliniowości zm ienia się do najm niejszej do najwiekszej osiągalnej w artości. W celu wy­ generow ania fc-wymiarowej zmiennej losowej ( k zmiennych objaśniających) o rozkładzie norm alnym z w artością oczekiwaną /2 = (//1, ^ • • •, Hk ) 1 odchy­ leniem standardow ym a — (ćtj, <72, • • •, o^) oraz m acierzą korelacji R(k, p)i a )

k orzystano z następującego wzoru3

X = C Y + /*,

Porównanie mierników wspólliniowości 2 7 5

gdzie Y = ( Y i , Y2, ' " , Y k ) jest k-wymiarową, zm ienną losową, dla której

Y j ( j = 1,2, •••,& ) są niezależne i m ają jednakowy rozkład N(0,1) zaś C

jest m acierzą nieosobliwą taką, że C C T jest m acierzą wariancji-kowariancji zm iennej losowej X .

Dla każdej wartości a^r\ 7' = 1,2, • • •, m + 1) wstawionej w miejsce a

w m acierzy (1) otrzym ywano, wykorzystując powyższy generator ^-zm ien­ nych objaśniających oraz zmienną objaśnianą a następnie odpow iadający im liniowy m odel (takie rozważano w niniejszej pracy) estym owano m eto d ą najm niejszych kwadratów . Po estymacji obliczano wartość wszystkich b a­ danych mierników wspólliniowości. Ponieważ opisane postępow anie p o w ta­ rzano ?7i-f-1 razy więc dla każdego miernika wspólliniowości o trzym ano 77?. + 1 różnych jego wartości, odpowiadających kolejno coraz większemu natężeniu wspólliniowości. Aby o trzym aną w ten sposób zależność danego m iernika wspólliniowości od natężenia wspólliniowości opisać odpow iednią funkcją natężenie to wyrażano za pom ocą wyznacznika macierzy korelacji. N astępnie dla każdego m iernika wspólliniowości aproksyniowano otrzym ane dla niego wartości wykresem tej funkcji wybranej spośród kilkunastu różnych typów funkcji, dla której współczynnik indetenninacji był najm niejszy. P otem dla wszystkich analizowanych mierników wspólliniowości obliczano wartości n a­ stępujących charakterystyk zmienności funkcji:

— średniej prędkości względnej v g w oraz średniego przyspieszenia względnego a s w zmiany wartości funkcji w przedziale (0 ,1),

— prędkości względnej v\ y oraz przyspieszenia względnego a \ y zmiany w artości funkcji w punkcie 0 i 1,

— średniej elastyczności e s funkcji w przedziale (0,1} oraz elastyczności

e funkcji w punkcie 0 i 1.

Jeżeli chodzi o uporządkowanie mierników wspólliniowości według m iary to u k ład a ją się one w następującej kolejności (od najm niejszej do najw iększej)

/ /, f L Q , Ś , <(/?), G, 6 \ TB, F' , g, x h, P, r, A, x f, w,

przy czym wartości miary \i\$w\ dla. mierników A, oraz & dość znacznie różnią się od wartości tej miary dla pozostałych mierników. Ze względu na m iarę |i;iy (l)| rangi od najm niejszej do największej otrzym u ją kolejno mierniki:

Q , G , t 0 ) , d, m, 6 , ( 3 , H , H , Q , G, F \ g , p , x l i , r< Xf>

Z kolei w wyniku porządkowania mierników wspólliniowości ze względu na bezwzględną w artość m iary t>vr(0), rangi od najm niejszej do najw iększej

2 7 6 Elżbieta Maksymiak

o trzy m u ją kolejno mierniki:

/ / , H , Q , 6, G, /?, Q, F' , G, /('/?), <J, m ,p, f ,X ,x f, flf, w, . .

M iara |^ y ( 0 ) | dla mierników g, a), przyjm uje zdecydowanie większe wartości aniżeli w przypadku pozostałych mierników wspólliniowości. Jeżeli chodzi o m iarę elastyczności średniej oraz elastyczności w p u n k tach 1,0 to m ierniki wspólliniowości otrzym ują analogicznie rangi jak odpowiednio w przypadku m iar usvvs v w(1), łhv(0). Z kolei m iary |«w (l)|> |« n '(0 )| przy jm u ją najw iększą wartość dla m iernika u>, n ato m iast najm niejszą dla m iernika H . Uporządkowanie wszystkich mierników wspólliniowości pod względem wyżej wymienionych m iar przedstaw ia tablica 1.

Tab. 1. B ezw zględne wartości miar a s w , « v v (l)i <*vr(0) dla mierników w spólliniow ości T he absolute value o f measurem ents a s w , avt'(l), avv^O) for the m easurem ents of

collinearity Mierniki |«svr| l« v v (l)| |« w (0 )| H 0,196 0,196 0,573 II 0,196 0,196 0,573 6 0,573 0,196 0,573 \ H 0,573 0,196 ,0573 G 1,640 0,317 1,099 Q 2,244 0,393 1,146 m 2,244 0,393 1,146 i 2,244 0,393 1,146 Q 2,244 0,393 1,146 F' 2,244 0,393 1,146 9 2,244 0,393 1,146 A 2,244 0,393 1,146 f 2,982 0,440 1,283 2 5,716 0,453 2,085 m 5,716 0,453 2,085 G 5,891 0,465 2,124 V 9,197 0,467 3,037 2 Xf 9.1,847 0,714 7,041 u 802,158 0,749 21,774

Źródło: opracowania w łasne.

Z przeprowadzonych badań wynika, że m ierniki wspólliniowości reagują n a zm ianę natężenia wspólliniowości bardzo różnie. N ajw iększą „zm ienność” w artości w skutek rosnącego natężenia wspólliniowości wykazują, m ierniki u>,

Porównanie mierników wspólliniowości 2 7 7

LITERATURA

[1] F a r r a r D. E., G l a u b e r R. R.: M ulticollinearity in Regression Analysis: T he Problem R evisited, „Review of Economics and Statistics” , 1967, vol. 49.

[2] G o r d o n G.: Symulacja system ów , W N T, Warszawa 1974.

[3] G r a b i ń s k i T. , Z e l i a ś A.: M etody doboru zmiennych w m odelach ekonom etrycz- nych, P WN, Warszawa 1982.

[4] G r u s z c z y ń s k i M.: W spółliniowość zmiennych i jej w pływ na estym ację modeli ekonom etrycznych. Praca doktorska (m aszynopis), SGPiS, W arszawa 1977.

[5] G r u s z c z y ń s k i M., K o ł u p a M., L e n i e w s k a E., N a p i ó r k o w s k i G.: Miary zgodności, m etody doboru zmiennych, problemy wspólliniowości, (M. Kolupa red.) P W N , Warszawa 1979.

[6] H a i t o v s k y Y.: M ulticollinearity in Regression Analysis: C om m ent, „R eview of Econom ics and Statistics” 1969, vol. LI.

[7] H e l l w i g Z.: Zastosowanie przekształcenia ortogonalnego do w yznaczania dopusz­ czalnych wartości zmiennych objaśniających w modelach ekonom etrycznych, „Prze­ gląd Statystyczny” 1974, nr 3.

[8] H e l l w i g Z.: Problem optym alnego wyboru predykant, „Przegląd Statystyczn y” 1969, nr 3-4.

[9] H o e r l A. E., I v e n n a r d R. W.: Ridge Regressions: Biased Estim ation for Non- -O rthogonal Problems, „Technometrics” 1970, vol. 12.

[10] J o h n s t o n J.: Econometric M ethods, Me Graw-Hill, New York 1972.

[11] K o s i o r o w s k a M.: W ielokrotna współliniowość zmiennych i jej w pływ na efektyw ­ ność estym acji parainterów modeli ekonom etrycznych. Praca doktorska (m aszynopis), Akademia Ekonomiczna w Krakowie, Kraków 1979.

[12] M a l i n v a u d E.: M ethodes statistiques d e’econom etrie, D U N O D , Paris 1969. [13] M c C a l l u m B. T.: Artificial Orthogonalization in Regression A nalysis, „The

Review of Econom ics and Statistics” 1970, vol. LII.

[14] P a w ł o w s k i Z.: Ekonometria, wyd. 6, PW N, Warszawa 1980.

[15] S c h i p s B., S t i e r W.: Bestim m ung der Auswirkung von M ultikollinearität zwischen den erklärenden Variablen in linearen Regressionsm odellen auf K leinst-Q uadrate Schätzw erte durch Sim ulation, „Statistische Hefte” 1971, nr 2.

[16] W e b s t e r J. T. , M a n s f i e l d E. R., G u n s t R. F.: An A nalytic Variable Selection Technique for Principal Component Regression, „Applied S tatistics” 1977, nr 1. [17] Z e l i a ś A.: Problemy zastosowania pewnej m etody analizy czynnikowej w badaniach

nad rejonalizacją rolniczą, „Przegląd Statystyczny” 1970, nr 3-4.

[18] Z e l i a ś A.: Ekonometryczne m etody budowy prognoz, Zeszyty Naukowe W SE Kra­ ków, Seria Specjalna: Rozprawy Habilitacyjne 1970, nr 20.

[19] Z e l i a ś A.: Niektóre aspekty wyników badania w spólliniowości w jednorów naniow ych m odelach regresji, „Folia Oeconom ica Cracoviensia” 1974, vol. XV.

S U M M A R Y

T he present paper is devoted to a stim ulating experim ent concerning a com parison of the characteristics of variability of functions describing certain selected m easurem ents of collinearity betw een the interpretative variables of the model.