Zastosowanie grafów i liczb strukturalnych do wyznaczania równania charakterystycznego i widma częstości

M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA

4, 13 (1975)

ZASTOSOWAN IE G RAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH  D O WYZNACZANIA RÓWN AN IA CHARAKTERYSTYCZN EG O I WID MA CZĘ STOŚ CI

JÓZEF  W O J N A R O W S K I , ANDRZEJ B U C H A C Z (GLIWICE)

1. Wstę p

Jednym z gł ównych celów analizy ukł adów mechanicznych jest okreś lenie równania charakterystycznego i widma czę stoś ci. Z nane klasyczne metody dotyczą ce tego problemu [7, 13, 14, 21, 60] oparte są  n a ustaleniu równań róż niczkowych ruchu ukł adu i przez to wymagają  szeregu przekształ ceń. Wykorzystanie grafów biegunowych i liczb struktu-ralnych umoż liwia pominię cie tego etapu, a wię c znacznie upraszcza samą  analizę . W ta-kim przypadku ukł ad opisujemy funkcjonalnym modelem i grafem biegunowym [20, 24, 52, 53]. Wprowadzają c poję cie wę zł a i krawę dzi jako reprezentację  zmiennej i zależ noś ci funkcyjnej, M ASON zapoczą tkował  teorię  grafów przepł ywu sygnał ów [28]. Od tego czasu szereg autorów zajmował o się  rozwijaniem twierdzeń i reguł  metody grafów [46, 47, 34, 41, 6, 19, 61]. Z astosowania grafów do opisu ukł adów elektrycznych i elektromecha-nicznych zawarte są  w pracach [43, 27, 42, 24, 20]. Zwią zek mię dzy grafem przepł ywu sygnał ów i grafem biegunowym m oż na znaleźć w [29]. Warto podkreś lić, że ostatnio po-jawiają  się  też prace, w których omawiane są  nowe zastosowania grafów [15, 40, 49, 18,

51, 58, 57], a także wprowadzan e są  inne typy grafów, jak n p . graf sprzę ż eń (bond graph, zpa$ cemeti) [22, 26].

Zauważ my, że szczególne miejsce w teorii grafów zajmuje poję cie drzewa i zbioru drzew [6, 19]. Jeś li bowiem przypomnimy, że zbiór drzew zawiera peł ną  informację  o wy-znaczniku grafu, to modelowanie liniowych ukł adów fizycznych grafami determinuje poszukiwanie m etod i algorytmów generowania drzew. Już w pracach KIRCH H OF F A [23]n  i CAYLEYA [8]1 ' sformuł owano metody wyznaczania drzew sieci elektrycznej. Rozwijane w ostatnim dwudziestoleciu zastosowania grafów w analizie i syntezie ukł adów fizycznych, a gł ównie w sieciach elektrycznych i elektro-nicznych, wpł ynę ł y n a opracowywanie róż norodnych algorytmów wyznaczania zbioru drzew [2, 5, 10, 11, 12, 16, 17, 25, 30, 31, 32, 35, 37, 39, 48].

W ostatnich ł atach zaczę to również algebraizować metody dotyczą ce przekształ ceń grafów poprzez zastosowanie liczb strukturalnych [3, 59]. W szczególnoś ci należy wyróż nić pracę  BELLERTA i WOŹ N IACKIEGO [4], w której podan o podstawy algebry liczb struktural-nych w zastosowaniu do analizy i syntezy ukł adów elektrycznych.

Rozwinię cie m etod liczb strukturalnych i wykorzystanie maszyn cyfrowych do ich. generowania podan o w pracach [44, 45, 33, 38, 55]. W pracy [1] zastosowano liczby struk-turaln e do wyznaczania reakcji ukł adu mechanicznego n a wymuszenie kinematyczne.

546 J . WOJN AROWSKI,  A . BU CH ACZ

Algorytm analizy w sensie wyznaczania widma czę stoś ci oraz zastosowanie liczb struktu-ralnych do syntezy ukł adów mechanicznych z elementami VOIG TA moż na znaleźć w pra-cach [50, 54, 55]. Zastosowanie liczb strukturalnych d o modyfikacji wł asnoś ci dynamicz-nych liniowych ukł adów mechanicznych podano w pracach [56, 57].

W niniejszej pracy przedstawiono zastosowania grafów i liczb strukturalnych do wy-znaczania równania charakterystycznego. U  podstaw metod topologicznych leży zwią zek mię dzy zbiorem drzew grafu a jego wyznacznikiem [36, 43, 9]. W tym sensie zastosowano niektóre elementy przekształ ceń grafów i generowania drzew. Prezentowane metody zilu-strowano n a przykł adach dyskretnych liniowych ukł adów mechanicznych.

2. Wprowadzenie

Rozważ my dyskretny ukł ad mechaniczny o 5 stopniach swobody (rys. 1).

N apisanie równań róż niczkowych ruchu rozważ anego ukł adu a nastę pnie otrzymanie równania charakterystycznego jest dość pracochł onne. N atom iast graf biegunowy (rys. 2),

ZASTOSOWANIE GRAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH  547

który m oż na otrzymać wprost z ukł adu mechanicznego upraszcza ten proces i stanowi pun kt wyjś cia do analizy postawionego problem u [20, 24, 52, 53]. P onadto w sposób wy-raź ny uwidacznia relacje pomię dzy poszczególnymi czł onami. N ależy podkreś lić, że przy konstruowaniu grafu biegunowego wykorzystujemy sformalizowane poję cie czł onu, które jednoznacznie prowadzi do matematycznego modelu ukł adu dynamicznego jako pewnego

operatora przekształ cają cego dane wejś ciowe w wyjś ciowe.

3. Wyznaczenie równania charakterystycznego metodą grafów i liczb strukturalnych Zgodnie z zasadą MAXWELLA [43] równanie charakterystyczne przyjmuje postać (1) A(s2 ) =  AG  -mit gdzie A(s2 ) =  AG oznacza wyznacznik grafu, Zk =  []zki — impedancję drzewa grafu, ( - 1

mk — liczbę krawę dzi / c- tego drzewa, zki — impedancję przyporzą dkowaną j- tej krawę dzi

drzewa k,t — liczbę wszystkich drzew grafu, s — argument przekształ cenia Laplace'a. Ponieważ impedancję, czyli ilorazy zmiennych symetrycznych, są stał e w dowolnej chwili czasowej, więc równanie charakterystyczne (1) jako suma iloczynów tych stał ych wiel-koś ci jest niezmiennikiem dla analizowanego ukł adu dynamicznego.

W rozumieniu równania (1) zagadnienie wyznaczania równania charakterystycznego sprowadza się do obliczenia wyznacznika grafu, który moż na otrzymać:

— metodą redukcji grafu wedł ug drzewa napinają cego, — metodą rozwinię cia wedł ug elementarnych ł ań cuchów, — metodą przecięć grafu,

— metodą liczb strukturaln ych.

3.1. Otrzymanie równania charakterystycznego metodą redukcji grafu wedł ug drzewa napinają cego. Algorytm redukcji grafu przy wykorzystaniu rozwinię cia wedł ug drzewa Do napinają cego

graf [41, 43, 52] prowadzi do równ an ia charakterystycznego o nastę pują cej postaci:

(2) A (s

)

 =  A G(D

) + £ z

 A G{D

,

) +

]? z

z

,AG{D

,s

,sj)+ ... +

gdzie AG(D0) oznacza wyznacznik podgrafu z usunię tym drzewem DQ, zki, zkJ, ..., zkl.—

impedancję krawę dzi st, Sj... drzewa Do, r =  n—l —liczbę wierzchoł ków bez ogólnego

bieguna  Zo, AG(D0, s^ —wyzn aczn ik podgrafu z usunię tym drzewem  Do i krawę dzią st

p o koincydencji wierzchoł ka, który ta krawę dź ł ą czyła z biegunem  Zo, AG(D0, sit Sj) —

wyznacznik podgrafu z usunię tym drzewem Do i krawę dziami st>

 Sj po koincydencji wierz-choł ków, które te krawę dzie ł ą czył y z biegunem  Zo itd., AG(D0, st... sr

548 J . WOJN AROWSKI,  A . BU CH ACZ

Zastosowanie tej metody zilustrujemy n a przykł adzie ukł adu drgają cego o 4 stopniach swobody (rys. 3a). W tablicy 1 przedstawiono algorytm redukcji grafu [równanie (2)] dla przykł adu pokazanego n a rys. 3.

1

J

\

\

kn

J

J

\

\

J

\

t

Zgodnie z tablicą  1 równanie charakterystyczne bę dą ce wprost równaniem czę stoś ci jest nastę pują ce:

(3) JiJ2Ą J^8 - o}6 [J2 + J1J2J4.(k23+ k34)+ J1J2J3k34]+ a> *[J3J4.(k1k12+ k12k23+ k23kl) + + J2Mki+ k12)(k23+ k34)+ J2J3(k1+ k12)k34.+ + JiJĄ(k12k23+ k23k34r+ k34,k12)+ J1Ą (k12+ k23)k34.+ + J3(k1k12+ k12k23+ k23k1)k34+ J2(k1+ k12)k23k34.+ 12k23k:iĄ . =   0 . Warto zauważ yć, że przedstawiony algorytm pozwala uzyskać równanie charakte-rystyczne wprost wedł ug rosną cych potę g czę stoś ci.

Tablica 1 Iloczyn impe-dancji gał ę zi drzewa Do •  Hi 1 — JiS2 J2s 2 N umery ko-incydentnych wierzchoł ków 2 — <Pi,Z₀ <Pz, Zo <P3,Z₀ C>4, Zo Podgraf po usunię ciu drzewa Do i krawę dzi Si, ...,s_r 3 tLJlL P hi <Ps k3t <H i3 (Os, SI) 3 ku < ?4 — — —Q ifi, Za "Z V* Ąt fo W* k?3 WS

X

ssar

c.d. tablicy 1 1

w

w

\ Ł

ZASTOSOWANIE GRAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH 551 c.d. tablicy 1 1 2 <Pl,<P3,<Po, 3 AG(00.s,,s3,S4)

A

Ł

3.2. Otrzymanie równania charakterystycznego metodą  rozwinię cia według elementarnych łań cuchów. Rozwijają c graf n a elementarne ł ań cuchy [43] wyznacznik grafu przyjmie postać •  •

(4)

gdzie Zi oznacza impedancję  / - tego elementarnego ł ań cucha ł ą czą cego dwa dowolnie wybrane wierzchoł ki <pr,<ps

2)

, dG(Zi) — wyznacznik podgrafu otrzymanego przez ko-incydencję  wszystkich wierzchoł ków / - tego elementarnego ł ań cucha , v — wszystkie ele-m entarne ł ań cuchy grafu.

W tablicy 2 pokazan o zastosowanie metody rozwinię cia n a elementarne ł ań cuchy dla ukł adu mechanicznego przedstawionego n a rys. 3. Wykonują c sumowanie zgodnie ze wzorem (4) uzyskujemy równanie czę stoś ci (3).

3.3. Wyznaczenie równania charakterystycznego metodą  przecię ć grafu. W p r zyp a d ku bardziej zł oż onych ukł adów efektywną  staje się  m etoda przecię ć grafu [17, 53]. Skoń czony zbiór impedancji Z wszystkich t drzew grafu mk — argumentowych impedancji / c- tego drzewa

okreś la zależ ność

(5)

gdzie  Z ' x  Z " oznacza iloczyn kartezjań ski zbiorów impedancji gał ę zi drzew podgrafów G' i G", z'rs \ jz'r's — zbiór impedancji podgrafu, otrzymanego jako suma zbiorów impedancji

2 )

 Najlepiej tak wybierać wierzchoł ki cpr,ę s, aby w zbiorze elementarnych ł ań cuchów był o jak najwię cej

Tablica 2

Elementarny ł ań cuch (tp_r, q>_s

) roz-pię ty na wierzchoł kach q>i i <p4

1 I?* Impedancja elementar-nego ł ań-cucha Podgraf otrzymany po koincy-dencji wierzchoł ków / - tego ł ań cucha f>2 Wyznacznik podgrafu (k_l2+J₂s2 )k₂₃ + x(J₂s2 +k₁₂) tp,,tp3,tp4,Zc klJ3s 2 k3A. [552]

ZASTOSOWANIE GRAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH 553 1 <Pi W k3 4 •  <i>4 Vi ft? hs P3  ^34 <P4 ft Vi hi V3  kst t>4 ^ \ c.d. tablicy 2 2 3

i

krawę dzi ł ań cuchów z'rs i z« pomię dzy rozcię tymi wierzchoł kami,  j — liczbę  wierzchoł ków,

poprzez które dokon an o rozcię cia grafu G.

W celu zilustrowania podanych wyż ej rozważ

ań wyznaczymy równanie charakterystycz-ne omawianego ju ż ukł adu. :

'".• •" .- . . .  R y s . 4 "*  i9  Rozcinamy graf G (rys. 3b) na dwa podgrafy (rys. 4). • ' 2 ° Znajdujemy bezpoś redn io3 ' zbiory impedancji gał ę zi drzew w podgrafach G' i G' :. •  Z' = {{zi2,z30}, {zi2, z20}, {Ź20,z30}},. Z = \ \Z23 , Z34., Z50} , {Z14., Z4.0, Z23j , \ZĄ Q, Zs0>

3° D la tak rozcię tego grafu G wyznaczamy zbiory impedancji z'rs, z'r's pomię

dzy roz-cię tymi wierzchoł kami. W rozważ anym przypadku mamy

3 )

 G dy podgrafy G' i G " są  bardziej zł oż one wówczas rozcinamy je dalej na G\  i G'l itd.,-  a zbiory im-pedancji drzew dla nich wyznaczamy ze wzoru (5).  . . . . .

554  J . WOJNAROWSKI,  A. BUCHACZ

wobec czego

Z '1 2 U Z ',2 =  {Z3 O, Z23,

gdzie u jest sumą  zbiorów. Ponieważ j =  2, to

' x Z ")

0 { Z3 0 , Z2 3, Z4 0}

Biorą c pod uwagę , że

dZ* dZ* dZ* dZ*

' d {zrsj uZri ozr2 ozrp

gdzie {z

} = {z

,z

, ...,z

}, r — numer ł ań cucha, Z * — zbiór impedancji gał ę zi

drzew  Z ' lub  Z " dla rozcię tego grafu G, ©  — symbol sumy pierś cieniowej zbiorów

',

wtedy

8(Z'xZ") ^8(Z'xZ") 8(Z'xZ")

: fcb> ^ fccl 5 • d z3 0  3 z23  ^ 4 0

Róż niczkowanie iloczynu kartezjań skieg

o zbiorów wzglę dem impedancji  z

 rozumiemy

jako

dZ'

xZ'

ć >(Z'xZ"

)

C x Z ' gdyz^eZ".

N atomiast operację  róż niczkowania zbioru okreś lamy nastę pują co:

_ 5 Z * [ Z * © z

  gd y z y s Z *

'fcij (o -  gd yz

^ Z *.

Wobec tego

z

 dz

{

© [{{z-

,  z

} , {z

, z

), {z

, z

} j © {{z

,  z

} , {z

o, 2- 23}}] X

 D la dwóch niepustych zbiorów A = {Alt A2, ..., At, ...Ap} (At -  {an,ai2, ...,aim})\ B = =  {Bi,B₂, ...,Bj,..., B_r}(Bj = {b_n,bij, ...,b_jm}), A@B =  AuB- Ar,B, gd z ie , , - " oznacza róż nicę

Z ASTOSOWAN I E G R AF ÓW I LI C Z B STRU KTU RALN YCH 555 \Z \ Z J i •^ 'SO^ ;  2 4 0 ! Z 3 0 > >  Z 3 0 J {z '2 ; •2 '34>  ^50 "}> \Z \ 2 J )  Z 34>  ^ 23/ s \Z 12i J  Z 4 O }J {^20) Z 23/ J \Z 2 0 J ^3 W ten sposób, korzystają c ze wzoru (1), wyznaczamy równanie charakterystyczne (3) zastę pują c oznaczenia impedancji ztJ przez odpowiadają ce im wartoś

ci momentów bez-wł adnoś ci i sztywnoś ci, a nastę pnie s przez jco.

3.4. Wyznaczenie równania charakterystycznego przy uż yciu liczb strukturalnych. Wykorzystują c zwią zki liczb strukturalnych z grafami i twierdzenia o wyznaczaniu liczb strukturalnych na podstawie grafów m oż na zauważ yć, że funkcja wyznacznikowa liczby strukturalnej det A[4, 1, 54] jest identyczna z wyznacznikiem grafu AG. A wię

c równanie charaktery-z

styczne otrzymujemy p o przyrównaniu jej do zera

(6) det A =

/ c = l

gdzie zaik e Z oznacza zbiór impedancji krawę dzi grafu G.

Praktyczne zastosowanie tej metody pokaż emy n a omawianym przykł adzie i w tym celu krawę dziom grafu (rys. 3b) przyporzą dkujemy liczby zbioru a eN  (rys. 5).

Zgodnie z twierdzeniem o obrazie geometrycznym wyznaczamy liczbę  strukturalną  A, której czynniki pierwsze wynoszą  odpowiednio

P, =  [1, 2, 6], P2 =  [6, 3, 7], P3 =  [7, 4, 8],  P4 =  [8, 5]. Liczba strukturaln a równa iloczynowi czynników pierwszych jest nastę pują ca:

A=P

P

P

P

 m

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 7 7 7 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 7 7

7 7 4 4 8 7 7 4 4 8 4 4 8 7 7 4 4 8 7 7 4 4 8 4 4

8  5 8 5 5 8 5 8 5 5 8 5 5 8 5 8 5 5 8 5 8 5 5 8 5

2 6 6 6 6 "6 6 6 6

7 3 3 3 3 3 7 7 7

8 7 7 4 4 8 4 4 8

5 8 5 8 5 5 8 5 5

556 J . WOJN AROWSKI,  A . BU CH ACZ

Zastę pują c oznaczenia elementów liczby strukturalnej aik odpowiadają

cymi im impedan-cjami zaik otrzymujemy funkcję  wyznacznikową

, która przyrównywana do zera daje rów-nanie charakterystyczne (3). D la pokazania prostoty metody liczb strukturalnych skorzy-stajmy jeszcze raz z przykł adu pokazanego na wstę pie artykuł u.

D okonują c redukcji grafu (rys. 2) uzyskujemy graf uproszczony (rys. 6). N a rys. 6 w nawiasach podan o elementy zbioru a e N, które przyporzą dkowano krawę dziom grafu, natomiast poszczególne impedancje wynoszą .s2, z20 = b2Os+m2s 2 , =  k30+m3s 2 , zso = z15 = zl2 = ziĄ -  k14.+b14.s, Liczba strukturalna grafu (rys. 6) wynosi

A=P

P

P

P

P

,

Tworzą c funkcję  wyznacznikową  otrzymanej liczby strukturalnej i przyrównują c ją  do zera moż emy już ł atwo otrzymać równanie charakterystyczne.

M etoda ta staje się  efektywniejsza, gdy wykorzystamy algorytm iloczynu liczb struktu-ralnych [38], wzglę dnie generowanie drzew grafu metodą  liczb strukturalnych binarnych

ZASTOSOWANIE GRAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH  ' 557

W przypadku wyznaczania równ an ia charakterystycznego metodą  liczb struktural-nych w postaci n aturaln ej, ustalam y n a podstawie grafu ukł adu mechanicznego jej czyn-niki Pi(i =  1,  . . . , «- 1 ) i wczytujemy do program u G E N E R O WAN I E D R Z E W [55]. U zyskana w ten sposób liczba strukturaln a, a tym samym jej funkcja wyznacznikowa, roz-wią zuje problem wyznaczania równ an ia charakterystycznego.

4. Wniosek

P rzedstawione m etody wyznaczania widma czę stoś ci drgań wł asnych pozwalają  n a peł ną  algebraizację , a przez to umoż liwiają  stosowanie elektronicznej techniki obliczeniowej.

Literatura cytowana w tekś cie

1. K. ARCZEWSK/ , T opologiczna analiza mechanicznych drgają cych ukł adów liniowych metodą

 liczb struk-turalnych, Arch. Bud. Masz., 4, 19 (1972) 589 -  605.

2. S. D . BEDROSIAN, Trees of a Full Graph as an Occupancy Problem, IEEE, Trans, on Cite. Theory, CT- 11 (1964) 290- 291.

3. S. BELLERT, T opological analysis and synthesis of linear systems, J. F ranklin Inst., December (1962) 425 -  443.

4. S. BELLERT, H . WOŹ N IACKI, Analiza i synteza ukł adów elektrycznych metodą  liczb strukturalnych, WN T, Warszawa 1968.

5. I. BERGER, A. N ATH AN , The algebra of sets of trees, k — trees and other configurations, IEEE Trans. Circ. Theory, CT- 15 (1968) 221 -  228.

6. K. EEP>K, Teopun spacfioe u ee npujuenenuH, H3fl. HHOCTP. JIH T., MocKBa 1962 (tł um. ksią ż k i Cla-ude BERGE, Thiorie des graphes et ses applications, D unod, Paris 1958).

7. R. H . CANNON Jr., Dynamika ukł adów fizycznych, WN T, Warszawa 1973 (przekl. ksią ż k

i — Dyna-mics of Physical Systems, McG raw- H ill, Inc. 1967).

8. A. CAYLEY, A theorem on trees, Quart. J. Math., 23 (1889) 376- 378. 9. I . CEDERBAUM, On network determinant, Proc. JRE, 44 (1956) 258 -  259. 10. S. G . CH AN , W. T. CH AN G , Efficient tree — listing algorithm, Elektr. Letters, 9 (1970) 271 -  272. 11. J. P. CH AR, Generation of trees, 2- trees and storage of master forestes, IEEE Trans. CT., CT- 15 (1968) 228 -  238. 12. L. E. CLARKE, On Cayley's formula for countign trees, J. London M ath. Soc, 33 (1958) 471 -  473. 13. <t>. C. H3E, H . E. M OP 3E, P . T . XHHKJIJ MexammecKue Kojiedanun, I- tofl. MauiHHOcrpoeHHe, M

o-CKBa 1966 (przekl. ksią ż ki F rancis S. TSE, Ivan E. MORSE, Rolland T. H IN KLE, Mechanical vibrations, Allyn and Bacon, Inc. Boston 1963).

14. D EN HARTOG J. P., Drgania mechaniczne, PWN , Warszawa 1971, (tł um. ksią ż k

i — Mechanical vibra-tions, McG raw- Hill I n c., N ew York 1956).

15. A. C . fpHTAHOB., A. B . C H H E BJ npoepaMMUpoeamie sadau duuaMwm meeMamuuecKux jtaiuunydapuoio

deiicineuH djin anajiozosux 3/ ieKmponHoebiHucjiume/ ibHUx MOIUUH MemodaMU meopuu epatfjoe, C6opHHK — HenHHeftHŁie Kojie6aHHJi u ITepexoflHbie npcmeccH  B ManiiiHax, H3fl. «HayKa», MocKBa 1972, 242 -  252.

16. S. L. H AKIMI, On trees of a graph and their generation, J. Franklin Inst., 270, (1961) 347 -  359.

17. S. L. H AKIMI, D . G . G REEN , Generation and realisation of trees andk- tree, IEEE Trans, on Circ. Theory, CT- 11, (1964) 247 -  255.

558 j WOJN AROWSKI, A. BU CH ACZ

19. <t>. XAPAPH , T eopun zpacpos, H 3fl. «M n p », MocKBa 1973 (przekł . ksią ż ki F ran k H ARARY, Graph

theory, Reading, M assachusetts 1969).

20.  H . <t>. H JIH H CKH Ś IJ B. K . U AITEH KH H , npu/ iooicetiue meopuu epacfios K 3adauaM 3/ ieianpoMexaHUKus

3H eprH fl, MocKBa 1968.

21. S. KALISKI i in., Drgania i fale w ciał ach stał ych, P WN , Warszawa 1966.

22. D . C. KARN OPP, Power — conserving transformations, Physical Journ al of the F ran klin I n stitute, 288, 3 (1969) 175- 201.

23. G . KIRCH H OF F , Ober die Auflosung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen

Verteilung galvanischer strome gefuhrt wird, An n . F h ys. Chem., 72 (1847) 497- 508.

24.  H . E . KOEN IG , Elektromechanical system theory, M cG raw- H ill I n c., N ew York 1961. 25. K. KON KOL, Generacja drzew kompletnych, Arch. E lektrot., 4 (1973) 843 -  860.

26. fl. Kspn on , P . Po3EiiBEPr, TIpuMenenue spafioe censeii e MexauuKe, MocKBa 1974 (tł um. z ję z. an g.:

Bond graph modeling for engineering systems, E d. by D . KAR N OP P an d R . ROSEN BERG , N ew York,

U SA, 1972).

27. J. LAGASSE, Metoda wykresu przepł ywu sygnał ów w zastosowaniu do analizy obwodów elektrycznych, Z N . P oi. Ś L, Autom atyka, 3 (1963).

28. S. J. M ASON , Feedback theory: Some properties ofsignalflow graphs, P roc. I R E ., 41 (1953) 1144 - 1156. 29. C . M E 3O H3 F . UHMMEPMAH, 9jieKinpOHHue ą enus amianu u cucrneMU, M3flaTejiŁCTB0 H H

Ocip. Jlirrepa-Typti, 1963 (tł um. ksią ż ki S. M ASON , H . ZIMMERMAN : Electronic circuits, signals and systems, N ew York 1960).

30. W. MAYEDA, S. L. H AH I M I , W. K. C H EN , N -  D E O , Generation of complete trees, I E E E T ran s. C T.,

CT- 15 (1968) 101 - 105.

31. W. MAYEDA, S. SESH U , Generation of trees without duplication, I E E E Tran s. CT, CT- 12 (1965) 181 -  185. 32. G . J. M IN TY, A simple algorithm for listing all the trees of a graph, I E E E Tran s. C T, CT- 12 (1965) 120. 33. J. N AD RATOWSKI, W yznaczanie drzew grafów niezorientowanych w oparciu o algebrę  liczb strukturalnych,

Arch. Elektrot., 2 (1970) 325 -  341.

34. O. ORE, W stę p do teorii grafów, P WN , Warszawa 1966 (tł um. ksią ż ki — Graphs and their uses, N ew York, R an don H ouse 1963).

35. A. J. P AU L, Generation of directed trees and2- trees without duplication, I E E E Tran s. CT, CT- 14 (1967) 354 -  356.

36. W. S. PERCIVAL, Solution of passive electrical networks by means of mathematical trees, J. I E E E , P art I I I ,

100 (1953) 143- 150.

37. M . PIEKARSKI, L isting of all possible trees of linear graph, I E E E Tran s. C T, CT- 12 (1965) 124 - 125. 38. M . PsTROKOŃ SKi, Iloczyn liczb strukturalnych, Rozprawy E lektrot., 1 (1968) 3 - 8 .

39. V. V. B. R AO, V. G . K. M U R T I , Enumeration of trees a graph, Elektr. Letters, 4 (1970) 103 -  104. 40. R. C. R EAD , Graph theory and computing, Academic P ress, N ew York an d Lon don 1972. 41. L. ROBICH AU D , M . BOISVERT, J . ROBERT, Grafy przepł ywu sygnał ów, PWN, Warszawa 1968 (przekł ad

ksią ż ki — Graphes de fluence, Applications a l'elektrotechnique et a l'elektronique. C alculateurs ana-logiques et digitaux Eyrolles, P aris 1961).

42. S. SESH U , M . B. R E E D , L inear graphs and electrical networks, Addison — Wesley R eadin g, M assa-chusetts 1961.

43. C. CEiny, H . BAJIABAHHH, Auajim nuueuHUx ueneii, H 3fl. F oe.  3 H e p ro MocKBa 1963 (przekł .

ksią ż ki S. SESHU, N . BALABANTAN, L inear network analysis, N ew York 1959).

44. Cz. SYC, W yznaczanie drzew i wieł odrzew grafów opisanych metodą  liczb strukturalnych binarnych za

pomocą  maszyn cyfrowych, Biul. WAT, 10 (1968) 73 -  98.

45. Cz. SYC, Generowanie drzew i multidrzew multigrafów metodą  liczb strukturalnych binarnych za pomocą

maszyn cyfrowych, R ozpr. Elektrot., 3 (1969) 495 -  513.

46. H . TREN T, Isomorphisms between oriented linear graphs and lumped phisical system, J . Acoust. Soc. Araer., 27, (1955), 500 -  527.

47. J. G . TRU XAL, Control systems synthesis, M cG raw- H ill, N ew York 1955. 48. O. WI N G , Enumeration of trees, I E E E Tran s. C T., CT- 10 (1963) 127 - 128.

ZASTOSOWAN IE G RAFÓW I LICZB STRUKTURALN YCH  559

49. J. WOJN AROWSKI, Metoda «graf» wyznaczania obcią ż enia w zał oż onych przekł adniach zę batych, Z N I n stytutu M echaniki i P odstaw Konstrukcji M aszyn, P oi. Ś l., 17/ 51, G liwice 1973.

50. J. WOJN AROWSKI, A. BU CH ACZ , Zastosowanie grafów i liczb strukturalnych do wyznaczania widma

czę stoś ci drgań wł asnych, VI Sympozjum — D rgania w ukł adach fizycznych. Z biór streszczeń, Poznań

1974, 45 -  46.

51. J. WOJN AROWSKI, A. LI D WI N , T

he application of signal flow graphs for the kinematic analysis of plane-tary gear trains, J. M ech. and M ach. Theory, 10 (1975) 17 -  31.

52. J. WOJN AROWSKI, Analiza dyskretnych liniowych ukł adów mechanicznych o skoń czonej liczbie stopni swobody metodą  grafów, P roc. Polish- Czechoslovak Conf. on M achine D ynamics, 2, (1971) 567 -  58ll

53. J. WOJN AROWSKI, Graf jako ję zyk struktury ukł adu, Z N  P oi. Ś l. M echanika, 52 (1973) 3 -  21. 54. J. WOJN AROWSKI, A. BU C H AC Z , O moż liwoś ci optymalizacji ukł adów mechanicznych przy uż yciu liczb

strukturalnych, Sympozjon — Optymalizacja w M echanice, Z biór referatów, P TM TiS Oddział

G liwice (1974), 303 -  315.

55. J. WOJN AROWSKI, A. BU CH ACZ, Analiza i synteza liniowych ukł adów mechanicznych metodą

 liczb struk-turalnych, M ateriał y Konferencji Instytutu M echaniki i P odstaw Konstrukcji M aszyn, 21/ 55, 2 (1974)

63 -  89.

56. J. WOJN AROWSKI, A. BU CH ACZ, O sposobie modyfikacji wł asnoś ci dynamicznych metodą

 liczb struk-turalnych, Sympozjon — Optymalizacja w M echanice, Z biór referatów, PTM TiS Oddział  G liwice,

1975, s. 253 -  260.

57. J. WOJN AROWSKI, A. BU C H AC Z , Grafy i liczby strukturalne wyż szej kategorii jako efektywny sposób modyfikacji wł asnoś ci dynamicznych ukł adów liniowych, Z N  P oi. Ś L, M echanika, 53 (1975) 8- 13. 58. J . WO JN AR O WSK I , I7po uoeuu juemod onpede/ teHun uatpy3Ku e CJIOOICHUX ayBnamux nepedauax, P ro c .

I X Conference on D ynamics of M achines, Smolenice 1974, 231 - 241.

59. H . WOŹ N IACKI, Analiza blokowych ukł adów elektrycznych metodą  liczb strukturalnych, Arch. E lekt ro t , 2(1966) 347- 365; 3 (1966) 619- 631.

60. S. ZIEMBA, Analiza drgań , P WN , Warszawa 1959.

61. A. A. 3WKOBJ T eopun KOHSHHUX spacfioe, T . I H 3fl. «H ayKa», HOBOCH6HPCK 1969.

P e 3 IO m e

n P H M E H E H H E TPAcPOB H  C TP YKTyP H BI X ^ H C E J I J\ JW  OITPEZtEJIEIfflS XAP AKTEP H C TH ^IEC KOrO YPABH EH H H  H  CIIEKTPA *IAC TOT

B paSoTe paccMaTpi- reaioTCH  neKOTopwe TonojioriraecKH e MeTOfltr onpeflejreHHH  xapai<TepHCTireec-Koro ypaBseH H H  H cn eicrpa MacTOT AH H AHCKpembix jiHHeftHbix MexamraecKHx cncieM . I lp n onncaEHH BH6pan,HH  cHCTeMM c noM omwo dpymanłOHaJiŁHOfi MOfleJin H  nojnocH oro rpacpa npHBOflHTca MeTOflbi nocTpoeHHfl 3Toro yp a Bn en n a . C B H 3 Ł Mewfly rpacpoM H  onpeflejfflTeJiMioH  (J>yHKqHeS CTpyKTypHoro HcnonB3yeTCH  ryra Toro  ^ T O 6 M noKa3aTB, ^ITO MOHCHO 3Ha^rnTenBHO n pon

ie nony^HTE xapaKTepn-ypaBHeHHe 6e3 cocTaBJieHHH  flH (Ł4)epeH iJ,H aJibH bix ypaBHeHHii nBuweHHH  CHcreMŁi. IIpaK-npHMeHeH.ne onncbiBaeM bix MexoflOB fleMOH CTpapyeTCH  Ha npH Mepax.

S u m m a r y

TH E APPLICATION  OF  G RAPH S AN D  STRU CTU RAL N U M BERS F OR D ETERM IN IN G TH E EQU ATION  OF  STATE AN D  TH E SPECTRU M  OF  FREQU EN CY

In the paper the authors discussed t'opological methods of determining the etjuation of state and the spectrum of frequency for linear discrete mechanical systems. D escribing a vibrating system by a functional model and a therminal graph, the methods of creation of such equation were shown.

560  J . WOJN AROWSKI,  A . BU CH ACZ

Utilizing the relation between a graph and a determinant function of a structural number, the authors proved that the characteristic equation and the frequency spectrum can be found by a simpler procedure, without setting the differential equations of motion.

Practical applications of methods described were demonstrated on examples.

IN STYTU T M ECH AN IKI I POD STAW KON STRU KCJI M ASZYN POLITECH N IKA Ś LĄ SKA

Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 9 sierpnia 1974 r.; w wersji ostatecznej dnia 12 lutego 1975 r.