Modelowanie układów eliminacji drgań metodą grafów i liczb strukturalnych kategorii pierwszej

(1)

Seria ; ENERGETYKA z. 65 Nr kol. 561 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ___________ 1978

Oózef W O J N A R O W S K I , Andrzej NOWAK Instytut Podstaw Konstrukcji Maszyn

MODELOWANIE UKŁADÓW ELIMINACJI DRGAŃ M E T O D Ą GRAFÓW I LICZB ST RU KTURALNYCH KATEGORII PIERWSZEJ

St r o s z c z e n i e . W pracy przedstawiono sposób modelowania układów eliminacjł cfrgań, stosując metodę gr af ów i liczb strukturalnych ka

tegorii pierwszej. Wykazano, że dla układu mechanicznego można wprost wyznaczać jego funkcje przejścia na podstawie skonstruowanego grafu biegunowego. Metody te zilustrowano przykładami układów eliminacji drgań o różnych stopniach złożoności.

1. W p r o w a dzenie

W znanych metodach analizy układów mechanicznych podstawę rozważań sę różniczkowe równania ruchu i metody rachunku operatorowego [5,6,7,9,10~] . W przypadku złożonych układów metody te sę mało efektywne, a prowadzenie analizy na modelach zastępczych nie od zw ierciedla stopnia złożoności uk ła

du. W przeciwieństwie do tego sposób modelowania układów za pomocą grafów i liczb strukturalnych [l, 11, 12, 13, 14, 15] , bazujący na metodach al

gebr abstrakcyjnych [4, 8, 16]], jest efektywny i systemowy.

Szczególnie użyteczny jest on w optymalnym modelowaniu dyskretnych li

niowych układów z jednoczesnym prowadzeniem eksperymentu numerycznego.

2. Grafy kategorii pierwszej jako modele układów eliminacji drgań

2.1. Sposób wyznaczania funkcji przejścia układu metodą liczb struktural

nych

Rozważmy dyskretny, liniowy układ me ch an ic zn y o n stopniach swobody (rys. 1.i ) . Załóżmy, że na i-tą masę układu działa wymuszenie będące fun

kcją harmoniczną. Graf biegunowy układu przyjmuje postać jak na rys. 1.2.

Rys. 1.1

(2)

140 0. Wojnarowski, A. Nowan

Stosując algebraizację grafu przyporządkowywuje się mu licz

bę strukturalną A jako iloczyn (n-l) czynników pierwszych Jed- nowierszowyeh utworzonych z ko

dów krawędzi incydentnyęh z do

wolnymi (n-l) wierzchołkami grafu

Rys. 1.2 n-l' ⁽1)

Zespoloną funkcję przejścia H^(s), charakteryzującą odpowiedź k-tej masy układu na zadane wymuszenie, można łatwo wyznaczyć metodą liczb struk

turalnych. Ogólne wyrażenie na jej postać Jest opisane za pomocą funkcji zdefiniowanych na liczbach strukturalnych:

M e )

S i m ( § £ - _Z _{‘3 0}_l 3A %

(2)

g d z i e :

s « jcu.

Si«(jj— , g g — ) jest wyznacznikową funkcją jednoczeaności pochodnych algę-

^ ^ 3 A

braicznych liczby strukturalnej A, jest przeciwpochodną liczby A wzglę-

i (f

.

dem elementu b A pr zyporządkowanego krawędzi wymuszenia, det jyg— - wy- i znacznik charakterystyczny układu swobodnego (grafu bezczynnych krawędzi).

W przypadku, gdy wymuszenie dzisła wprost na k-tę masę układu, wy ra że

nie (2) przyjmuje postać:

H k (s) (3)

Przy Jednocześnie działających wymuszeniach na poszczególne masy ukła

du, funkcję przejścia k-tego elementu zgodnie z zasadą superpozycji można przedstawić następująco:

gdzie b

H k (s)

Z X im 1=1

(i n-l c?bi. .. bi_i b i+ “

A

“k

d s t ( 7 B 7 e b ; )

3A , s s Ą

(4 )

^,...,bn są oznaczeniami krawędzi czynnych.

Moduł funkcji (2) lub (4) nosi nazwę współczynnika wzmocnienia ukłedt 1 pełni określoną rolę w analizie harmonicznej układów. Dla rozpatrywa

(3)

Modelowanie układów eliminacji drgań. 141

klasy układów mechanicznych zagadnienie eliminacji drgań sprowadza się do wyznaczenia optymalnych warunków nastrojenia dodatkowo dołączonego do układu głównego podukładu, zwanego dynamicznym eliminatorem drgań. Wa r u n ki te można uzyskać przez minimalizację współczynnika wzmocnienia, przy czym dis ukłedu bez tłumienia są one określane przez przyrównanie do zera tsj charakterystyki.

W sensie liczb strukturalnych warunki nastrojenia przyjmą postać : - dla wymuszenia przyłożonego do i-tej masy

S | (9 i ^ ’ 5 5 ] ' = ° * ( b ;

g d z i e :

A Jest liczbą strukturalną grafu układu zmodyfikowanego (przez dołą

czenie eliminatora drgań),

- dla wymuszenia działającego wprost na k~tą masę

det(|£i) - O, (6)

z d a k

- dla przypadku n-wymuszeń działających na poszczególne masy układu:

<Sn_1 /3A* 3A*\ (7)

Założono tutaj, iż wymuszenia mają równe częstości, amplitudy i są zgo

dne w fazie.

Zauważmy, że warunek (5) dotyczy przypadku eliminacji drgań poza źród

łem wzbudzenia (pośredniej), natomiast zależność (6) charakteryzuje eli

minację w źródle drgań (b ez pośrednią),

2.2. Modelowanie prostych układów eliminacji drgań liczbami strukturalny

mi kategorii pierwszej

Dla zilustrowania metody liczb strukturalnych w ustalaniu warunków na

strojenia przedstawimy ciąg podukładów o różnym stopniu złożoności.

2.2.1. Układ eliminacji drgań o dwóch stopniach swobody

Elementarny graf układu eliminacji drgań o dwóch stopniach swobody po

kazano na rys. 2. Krawędzie podgrafu odpowiadającego układowi eliminatora z bezmasową sprężyną K2 zaznaczono linią pogrubioną.

Wyznaczając liczbę strukturalną A tego grafu

= ¡0 1 12) ¡2 12]

0 0 1 1 2

2 12 2 12 12

(8)

i ustalając, że = [o ] = [i] otrzymujemy:

(4)

142 0. Wojnarowski, A, Nowak

F tt) = Foco_soot a^rr^S** K, o2= m 2 Sc 2

a,2= K 2 a „ = 1

Rys. 2

<5 A d A S A r„ ,,-1 o A 5 ^ - 5 5 7 - L2 3 B ;

Zgodnie z warunkami nastrojenia (5), (6) mamyt 1 1 2

2 12 12

l i r 5 “ e 2 + a i2 " 0

(9)

(1 0)

Dla częstości rezonansowej układu głównego <k = po przekształceniu równości (10) uzyskujemy:

1 f K;^{2/ m 2}^. ^{( l l )}

Zauważmy, że dołączenie do układu głównego eliminatora drgań powoduje zmianę struktury układu, którego częstości drgań włesnych przy spełnionym warunku (ll) wyrażają się wzorem:

r V 2 - f

2 ł H ł Jj(4 ł

( 12)

gdzie :

P “ ra2//,Bl J est ilorazem mas układu,

> - - u?!. - _ _ są bezwymiarowymi częstościami własnymi układu.

2.2.^. Układ eliminacji drgań o trzech stopniach swobody

Rozważmy teraz układ eliminacji drgań o trzech stopniach swobody (rys.

3.1), w którym układ główny stanowią masy m^ i m2 , zaś m x jest masą dynamicznego eliminatora drgań.

Zakłada się, że częstość wymuszenie jest równa jednej z częstości re

zonansowych układu głównego o 2 stopniach swobody.

(5)

Modelowanie układów ęliminaeji drgań. 143

Częstości te w zależności od wa rtości współczynnika wynoszą : dla ¿i « 0,5;

dla ¿i. ~ 1,0;

k

0,617,

2 - T 2 . r2 - 1 ,62;

dla ^ = 2,0; ^ • 0,519, r2 » 1,93.

Ponadto zakłada się, że stałe sprężyste eliminatora są jednakowe, czyli k , ■ k . ■ k .3 4 o

Rys, 3.1

Konstruując graf biegunowy ukła

du (rys. 3.2), przy pominięciu wpływu sił tłumiących rozważymy na

stępujące przypadki;

1) gdy na układ działa tylko wymuszenie F^(t) = F^g cos t ;

2) gdy na układ działa tylko wymuszanie F^ (t ) » Fgg coscot;

3) gdy wymuszenia te działają r ó w n o c z e ś n i e , mają tę samą częs

tość i równa amplitudy F g * F? 0 , Dla uproszczenia zapisu liczby strukturalnej układu utożsamiono krawę

dzie 10 i 2 0 przypisane odpowiednio wymuszeniom z równoległymi do nich krawędziami 1 i 2.

Przy takim założeniu liczbo strukturalna grafu układu ma postać;

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3

A = 2 2 2 3 3 12 12 13 12 3 3 12 13 12 12 13 (13)

3 13 23 12 23 13 23 23 13 13 12 23 23 13 23 23

Stosując zależności (5), (6), (7), warunki nastrojenia eliminatora drgań wy ra żo na za pomocą liczb strukturalnych, przyjmą postać:

(6)

144 O. Wojnarowski, A. Nowak

Przypadek 1 : F x (t) £ 0

2 2 2 3 3 12 12 13 3 13 23 12 23 13 23 23

3 12 12 13 12 13 23 23

(l4)x

(14),

Po wstawieniu w miejsce oznaczeń wartości kodów krawędzi otrzymano na

stępujące bezwymiarowe wyrażenie:

1. Dla nieruchomej masy

r 1/2 - [l + (2 + ^ 0 )ct2] v

2. Dla nieruchomej masy

1/2 ♦ q (2 + ^ Qq2 ) = 0. (15),

(15),

gdzia przyjęto oznaczenia:

q = jj- - współczynnik nastrojenia eliminatora,

u)o = | K0/ m 3 - częstość drgań własnych eliminatora.

Przypadek 2 :

Warunki nastrojenia w kategorii liczb strukturalnych sę n a s t ę p u j ę c e :

det(ff-) 1 1 1 3 3 12 12 13 3 13 23 12 13 13 , 23 23

- 0

r . /3A 3A S r , .

^ 3 a ~ ' S F -' “ “ w Y r a ż o n y

^wzorem

(16)

( 1 4 %

Uzyskane na podstawie tych równości warunki zależne od parametrów ukła

du, wynoszę : 1. Dla masy m x

|f7 + 11 + _l/2_

(17)X

¿ilr l/2

(7)

2. Ola masy m2

1/2

g d z i e :

[l + (2 + ¿ l 1)q2] r ^/2 + q2 [2(l * ¡i) + ^ q 2] . O, (l7).

m3

^ i = i f -**o

Przypadek i :

Z uwagi na równość amplitud oraz częstości sił wy muszających warunki nastrojenia eliminatora uzyska się z następujęcych ogólnych równości:

„ „ ( f i - ) . s i . ( g - , | ^ > . o . ( « ) ,

Sim(^i7' ils)2

Otrzymane na tej podstawie warunki maję postać:

1. Ola masy m 1

r 1/2 " [2 + (2 + ^ o )c>2] rl/2 + 2 *2(2 + ^ o q2) " °- (l9)l

2. Dla masy m2

r l/2 " + 2 ii * ( 2 * ¿tl^q2jr l/2 + q 2 ^2 + 4ćt + ^ i c^2 ) a °* (19)2

Szczegółowych obliczeń współczynnika nastrojenia q eliminatora doko- L otrzymano nano dla pierwszego przypadku

następujęce wartości:

wy muszeń przyjmujęc 3, O fl 0,

h* B 0 01 q i " 0,51, q2 - 0 ,995 - dla masy m i q i “ 0,498, q2 ^S 0,975 - dla masy m2

o

rla=L

ca

q i " 0,443, q2 ^S 1,14 dla masy m l q i - 0,448, q2 ^s 1 ,11 - dla maay 3. ¿1 - 2,0; q i

a

^0,368, q2 - 1 ,35 - dla masy m i

q i ■ 0,375, q2 su 1,295 dla masy ™2

( 2 0 )

gdzie q1 jest częstościę nastrajainę dla pierwszej postaci drgań, q2 - drugiej postaci drgań rezonansowych.

(8)

146 O. Wojnarowski, A. Nowsk

W celu określenia wpływu sił tłumiących ma wy mi er ny efekt działania eliminatora dokonano szczegółowej analizy numerycznej układu dla 1 pr zy

padku wymuszeń. Korzystając z zależności (2), (3), (i3) , (14)^ , (l4)2 w y znaczono współczynniki zwielokrotnienia amplitudy mas g ł ó w n y c h , otrzymu

jąc :

v i ° p r F r (21)i

V2

Dr, (r)

W F T ~ 2

gdzie :

V 1 = A j / A Vg = A 2/ X źl = F1t.—

r = Ło/tu^ - współczynnik rozstrojenia układu

Dj^r) » (a4 - a2 r2 + r4 )2 + r 2 (a3 “ a.^2 )2 (22)Ł

D2 (r) = (b3 - b ^ 2 )2 + r2 (b2 - h2 r2 )2 (22)2

o(r) = (d6 - b4 r2 + - r6 )2 + r2 (d5 - d 3 r2 + d ^ 4 )2 ( 2 2 )3

W s pó łczynniki występujące w tych wyrażeniach w y n o s z ą :

a l " ( 2 + <fx 0)h O<’ + h

a2 = ( 2 + ^ 0h2)q2 + 2 h h oq + 1

a3 = 2 ^ 0 h0 ci3 + 2 h q 2 + 2 h 0q

b. o u h2q 2 + 2hh o + 1

b2 = 2 ^ 0hoq3 + hq2 + ho q)

b3 = ^ o q4 + (2 + <u ) q 2

(9)

d l “ (2 * P - 0 + ^ o )ho q + 4h

d2 = [2 + ^ o + ¿ V ' o (l + + j^1 + i1o ^ 1 + hho + 2ilhho^ +

(3 + 2ji'hhQ qj+ (2 + ¿i )

d 3 = 2iJo h o (l + ^i '!c’i + [ 4h + ^ 0h + 2^ (l + ^ o )h + 2W o h o +

+ i*ohho J q2 + ^4 + 2 ^ + 2h2 + 2ą ) ho<i

d4 = ^ o (l + 2 h V o q3 + [3 + ^ o + 2^ (l + + 2h2 + /x oho2J q2

+ (2hhQ q + l)

d5 =ii ohq4 + 2^ o ho q3 + 2hq2 + 2 h oq

d6 4

,q *(2 +

^{n )q2}

o z n a c z e n i a

: c 2

k

2 m

2

“ f

. m 2

m 2

| k im i |_k2m 2 ° | k 3m 3 |lk4 m s

^ 0

Wyra że ni a (2l)1 i (2l)2 zbadano numerycznie w funkcji współczynnika nastrojenia q dla następujących wartości parametrów układu:

r » r2 , h * 0,01, hQ = 0,02 , 0,05, ¿i ■ 0,5, 1,0, 2,0, o “ 0 , 05, 0,1.

Przykładowe uzyskane krzywe nastrojenia układu ilustruję wykresy 4.1, 4.2, 4.3, na których krzywa 1 odpowiada widmu amplitudy masy m. zaś krzy

wa 2 jest w i dm em amplitudy masy .

(10)

148 ;i„ Wojnarowski, A. Nowak

Rys. 4.1

Rys. 4.3

(11)

M o d elowanie układów eliminacji drgań 149

3, Wn ioski

Modelowanie układów eliminacji drgań za pomocę grafów i liczb struktu

ralnych kategorii pierwszej pozwala znacznie uprościć ich analizę. Sfor

mułowane warunki nastrojenia, przy wykorzystaniu funkcji wyznacznikowych z d ef iniowanych na liczbach strukturalnych, ułatwiają opis struktury ba

danych układów i analityczne określenie ich własności dynamicznych.

LITERATURA

¡_1~] K. Arcz ew sk i : Analiza i synteza drgających układów mechanicznych m e todę liczb strukturalnych. Praca doktorska, Warszawa 1974.

f2l 3. B e l l e r t , H. Wożniacki: Analiza i synteza układów elektrycznych me-

’ todę liczb s t r u k t u r a l n y c h , WNT, Warszawa 1968.

¡J5j C. Berge: Graphes et hypergraphes. Monographies Uniwersitaires de Mathématiques. O u n o d , Paris 1970.

m A.T. Berztiss: Data structures. Academic Press, New York and London 1971.

CsJ M. Oietrych : Wstę p do stochastycznej teorii maszyn, P W N , Warszawa 1972.

^6] Den Hartog s Drgania mechaniczne, PWN, Warszawa 1972,

£7] Z. Dżygadło, S. Kaliski, L. Solorz, E. Włodarczyk: Drgania i fale, PWN, Wa rs za wa 1966.

[^8] Z. Opial : Algebra wyższa, PWN, W a rs za wa 1974.

Q9] 0. Otremba, L. Wa śk o: Liniowy tłumik drgań mechanicznych, PAK, ( 1973) nr 9 t. 19.

[ld] 0. Wapi en ni k : Tłumienia drgań układów o 1 i 2 stopniach swobody przy po mocy tłumików dynamicznych, "Elektryfikacja i mechanizacja górnictwa 1 hutnictwa" z. 45, Kraków (1972).

fil] 3. Wojnarowski: Analiza dyskretnych liniowych układów mechanicznych o skończonej liczbie stopni swobody metodę grafów. Prac. Polish-Cze- cho8lovak Conf. on Machine Dynamics, 2 (l97l), ss„ 567-581.

¡"12"] 3. Wo jn ar ow sk i: Graf jako język struktury układu, ZN Politechniki Ślę»

sklej. Mechanika nr 52 (1973) se. 3-21.

[1 3] 3. Wojnarowski, A. Buchacz: O sposobie modyfikacji własności dy na

micznych metodę liczb strukturalnych. Zbiór referatów XIV Sympozjon n t . Op tv ma l i z a c j a w Mechanice, PTMTS Oddział Gliwice (1975), ss.253- 260,

fl4] 3. Wojnarowski, A. Buchacz : Badanie dynamicznych własności maszyn metodę grafów blokowych i liczb strukturalnych. Referaty X Konferen

cji Dynamiki Maszyn, W y d . Politechnika Warszawska, Warszawa (1976) (w druku),

f 151 3. Wojnarowski: Grafy i liczby strukturalne jako modele układów m e chanicznych. Politechnika ś l ę s k a , PTMTS, Gliwice 1977, nr 38.

fl6] O. Zariski, P. Samuel: Commutative algebra I. Princeton Toronto - New York, London 1958.

(12)

150 0. Wojnarowski, A, Nowak

¡®

MOiEJIHPOBAHHE CHOTBM 3JIHMHHAUHH KOJIEBAHH0 METODOM TPAiOB H CTPyKTyEHffiC MHCEJI IIBPBOil KATEFOPHH

P e 3 » M e

B p a 6 o T e , n p a n c n o j i b 3 0 B a H M M e t o d a . r p a $ O B h o i p y K i y p H H X a n o e j x n e p B o S r s c a l e r o p v t H , flagTca o n o o o ( 5 MojcejinpoBaHHfl ohctom aaaMEKanHH KOfledanaiS. OoKa3aHO, h to f l j i a M e x a H H ^ e c K H x c h c ts m ^{m o sc ho} H e n o c p e f l C T B e a H O o n p e s e a a i b h x n e p e ^ a T o a - H tie $ y H K n ,H H , H a o c H O B a H M n o c T p o e H H o r o n o j i B C H o r o r p a $ a . 3 ta M e i o ^ a a j n o c i p H - p y j o T o a n p H M e p a M H c’u c T e M sjiH M H H au,H H K 0 .n e 6 a H n i i o p a 3 H U M H o T e n e r a a M u c j i o s c h o o i h.

THE MODELLING OF SYSTEMS FOR THE ELIMINATION OF VIBRATIONS BY MEANS OF GRAPHS A N D STRUCTURAL NUMBERS O F THE FIRST CATEGORY

S u m m a r y

Basing oh the method of graphs and structural numbers of the first ca

tegory, the paper presents a nes way of modelling systems for the elimi

nation of vibrations. It has been shown that in the case of a mechanical system we may simply determine its functions of transition by means of the constructed polar graph. The methods of application have been illu

strated on the example of systems for the elimination of vibrations of various degrees of complexity.