Rekurencyjna formuła wyznaczania podatności dynamicznej układów prętowych o strukturze kaskadowej w ujęciu grafów i liczb strukturalnych

(1)

1994

S eria: M E C H A N IK A z. 116 N r kol. 1231

A ndrzej B U C H A C Z , Jó z e f W O JN A R O W SK I

K a te d ra M echaniki R o b o tó w i M aszyn Roboczych Ciężkich P olitech n ik a Śląska

R E K U R E N C Y JN A F O R M U Ł A W Y Z N A C Z A N IA P O D A T N O Ś C I D Y N A M IC Z N E J U K Ł A D Ó W P R Ę T O W Y C H O S T R U K T U R Z E K A S K A D O W E J

W U JĘ C IU G R A F Ó W I L IC ZB S T R U K T U R A L N Y C H

S treszczenie. P rzedstaw iono sposób w yznaczenia rekurencyjnej form uły na p o d a tn o ść dynam iczną układu prętow ego o strukturze kaskadow ej. W tym celu zastosow ano grafy i liczby strukturalne o raz agregacje hipergrafów . O trzym ana rek u ren cy jn a zależność na charakterystykę dynam iczną stanow i podstaw ę jej o p ro g ram o w an ia w celu wyznaczania podatności dynamicznych n-odcinkowych drgających w zdłużnie lub skrętnie układów prętowych.

T H E R E C U R R E N T F O R M U L A O F D E T E R M IN A T IO N O F D Y N A M IC A L F L E X IB IL IT Y O F B A R SY STEM S W IT H C A S C A D E S T R U C T U R E

R E P R E S E N T E D BY G R A P H S A N D S T R U C T U R A L N U M B E R S Sum m ary. In this p a p e r a way o f determ ination o f a re c u rre n t form ula for a dynam ical flexibility o f a b a r system w ith cascade stru ctu re has b e e n p resen ted . In o rd e r to a tta in th e recu rren t form ula hypergraphs, th eir agregation, and stru c tu ra l n u m b ers are used. A n o b tain ed re c u rre n t fo rm fo r a dynam ical ch aracterizatio n determ in es a base to its program m ing in o rd e r to o ttain the dynam ical fexibilities fo r n-bars longitudinally o r torsionally vibrating m echanical system s.

P E K y P P E H T H A fl 3ABWCMM0CTb OnPEflE JlEHMH HHHAMM4ECK0H nOflATJIMBOCTM C T E P X H E B b K CHCTEM C KACKAflHOU C T P y K T Y P O h

nP Ef lC TA BJ lE H H A H PPA0AMM M C T P y K T y P H b lM h 4HCJ1AMM

PęąioMe. B paSo T e n p e n c T a B n e H Me T o n o n p e n e n e H n a p e « y p p e H T H o H 3 a B n c n M o c T n HacaiomeHca n u H a M H w e c H o h n o n a T n u B O C T M CTepwHeBotl CHCTeMbi c KacaaanHotl CTpyKTypott.

Una ST o r o npHMeHaioTca rpa$bi, CTpyKTypHbie uncna n a r p e r a u u n r w n e p r p a $ O B , onpejjeneHHaa p e a y p p e H T H a a 3 a B n c n M O C T b Ha nuHaMiiwecHyio x a p a a T e p n c T H H y a B n a e T c a o c h o b o H nna e e nporpaMMMpoBattna m t oSu onpejjenuTb n u H a M n u e c K u e n o n a T n n B o c T u n- cTepwHeBbix n p o n o n b H O nnn K p y T w n b H O K o n e S m o m n x c a M e x a H u a e c K M X c m c t g m.

(2)

48 A . B uchacz, J. W ojnarow ski 1. W P R O W A D Z E N IE

Istotnym d ziałem dynam iki układów technicznych, w tym m aszyn, m echanizm ów i u rząd zeń , je s t dział zajm ujący się drganiam i. B adanie d rg ań układów dynam icznych je st w ażnym p ro b le m e m zarów no w obszarze zagadnień czysto praktycznych, nau k o w o — -b ad aw czy ch , ja k i w zakresie dydaktyki ogólnie pojętej m echaniki.

Jeśli w wyniku określonych działań1 otrzym a się m odel u kładu m echanicznego o p a ra m e tra c h skupionych i rozłożonych w sposób ciągły w raz z ich w artościam i, to kolejnym e ta p e m je s t utw orzenie jeg o m odelu m atem atycznego. Stosow anie w analizie d rg ań złożonych układów a p a ra tu m atem atycznego w postaci rów nań różniczkow ych zwyczajnych i cząstkow ych b ąd ź m etod m acierzow ych, po d atn o ści i sztywności dynam icznych, m acierzy przeniesienia i innych [2-4,6-8,10-15], k tó re w dalszym ciągu b ę d ą nazyw ane m e to d a m i klasycznymi, je s t m ożliwe w przypadku drgających m echanicznych u kładów o p a ra m e tra c h skupionych lub rozłożonych w sposób ciągły. Stosow anie klasycznego a p a ra tu m atem atycznego rów nań różniczkowych przysparza w iele znanych trudności, zw iązanych z tw orzeniem i rozw iązyw aniem odpow iednich układów rów nań różniczkow ych ruchu. W przypadku natom iast analizy układu zbudow anego z dużej liczby p o dukładów , a b a d a n e g o za p o m o cą m eto d wymagających dekom pozycji (przykładow o m e to d ą p o d atn o ści dynam icznej), w yznaczenie charakterystyk dynam icznych sprow adza się do w ielu p racochłonnych i czasochłonnych działań. W ciągu ostatnich dw udziestu kilku lat w O śro d k u G liw ickim zaczęto rozwijać m etody topologiczne i, m ające z nim i ścisły zw iązek, m eto d y algebraiczne. Są to m etody grafów i liczb strukturalnych, k tó re dzięki sform alizow anem u sposobow i m odelow ania um ożliw iają z jed n ej strony p e łn ą algorytm i- zację i au to m aty zację obliczeń przy w yznaczaniu charakterystyki dynam icznej układu, z drugiej zaś - b e z p o śre d n ie śledzenie w prow adzonych zm ian strukturalnych. O p ró cz tego p rz e z zastosow anie agregacji grafu m ożna program ow ać m odyfikacje struktury b ez zm iany w ygenerow anej u p rzed n io liczby strukturalnej wyższej kategorii i odpow iadającej jej liczby stru k tu raln ej zupełnej. U zyskuje się to dzięki tem u, że liczba stru k tu ra ln a wyższej kateg o rii je s t funkcją liczb strukturalnych niższych kategorii, a zate m po agregacji grafu zidentyfikow anie go liczbą stru k tu raln ą kategorii o je d e n wyższą niż u p rzed n io pociąga za so b ą jed y n ie konieczność w ygenerow ania liczby stru k tu raln ej najwyższej przyjętej kategorii.

P rzed staw io n a z ate m p ra c a dotyczy sform ułow ania i b ad an ia złożonych ciągłych układów m echanicznych w ujęciu grafów i liczb strukturalnych. T a k określony m odel u k ła d u m echanicznego stanow i podstaw ę do w yznaczenia charakterystyk dynam icznych, a w szczególności podatności dynam icznej.

M im o że zad an ia teg o typu są rozpow szechnione w dynam ice drgających układów m echanicznych, to p rezen to w an ie tych zad ań w języku grafów i liczb strukturalnych wnosi w iele now ych elem en tó w i wychodzi naprzeciw w spółczesnym algebraicznym m eto d o m analizy o raz m oże prow adzić do dalszych uogólnień z zakresu b a d a n ia drgających złożonych u kładów dynam icznych.

N ajistotniejszym je d n a k elem en tem tego typu opisu je s t fakt, iż w p rzypadku stru k tu r regularnych, a d o takich należy stru k tu ra2 kaskadow a prętów , zastosow anie agregacji

* Zagadnienie to stanow i treść problem u identyfikacji (por. np. [9]) układów mechanicznych i wykracza poza zakres niniejszej pracy.

O

Pojęcie struktury układu nie jest jednoznaczne i każdorazowo powinno być uściślone. W niniejszej pracy rozum ie się je tak ja k w pracach (por. np. [1,16-18]).

(3)

R ek u ren cy jn a zależność w yznaczania podatności...

hip erg rafu um ożliw ia w prosty sposób w ygenerowanie rekurencyjnej form uły na pod atn o ść dynam iczną. I te n w łaśnie p ro b lem stanowi istotę niniejszej pracy, bow iem specyfika p rezen to w an eg o opisu i jeg o algebraizacja m eto d ą liczb strukturalnych, a w szczególności zastosow anie funkcji wyznacznikowej, określonej na tych liczbach, um ożliw ia prow adzenie analizy b e z żadnych ograniczeń nałożonych n a rodzaje i liczbę elem entów złożonego ciągłego u k ład u m echanicznego przy wykorzystaniu elektronicznej techniki obliczeniowej.

2. W Y Z N A C Z E N IE R E K U R E N C Y JN E J F O R M U Ł Y N A P O D A T N O Ś Ć D Y N A M IC Z N Ą U K Ł A D U P R Ę T O W E G O W U JĘ C IU H IP E R G R A F Ó W I LIC ZB S T R U K T U R A L N Y C H

W pracy [5] sform alizow ano m odelow anie drgającego w ioloodcinkow ego układu p rętow ego obciążonym hipergrafem , jak o zasobu określonych środków opisu rozw ażanej struktury m odelu, w odróżnieniu od intuicyjnego w prow adzania h ipergrafu obciążonego ja k o m o d elu tej klasy układu. Przechodząc zatem do p roblem u w yznaczenia podatności dynam icznej u k ład u dw uprętow ego, rozw aża się jego m odel - przykładow o sw obodny - p o kazany n a rys. 1.

N a rys. 2 przedstaw iono natom iast h ip erg raf układu i szkielet hipergrafu.

L iczba stru k tu ra ln a dopełniająca Ad0 szkieletu (rys. 2) je st rów na

Ao = [Ą

(

1

)

a za te m liczba stru k tu raln a 2A hipergrafu (rys. 2) wynosi

A lb

^7 ^7 a

(2⁾

1 S 1 1 S 2

--- --- ---

1S 0

u n m

Rys. 1. M odel dw uprętow ego sw obodnego układu drgającego w zdłużnie o strukturze kaskadow ej

Fig. 1. A m odel o f tw o-bar longitudinally vibrating fre e system with cascade structure

(4)

50 A. Buchacz, J. W ojnarow ski

Rys. 2. O bciążony g ra f drugiej kategorii i jeg o szkielet Fig. 2. T h e w eighted second category g rap h an d its skeleton

A by w yznaczyć p o d atn o ść dynam iczną w przek ro ju p ręta, w k tó reg o osi podłużnej o d m ierza się ogólnioną w spółrzędną jS3, należy jeszcze wyliczyć p o c h o d n ą algebraiczną 2A52 liczby stru k tu raln ej 2A jak o

X ‘ N ‘[ 2a] =

W tablicach rzędów pochodnych liczb strukturalnych 2A i 2Ab2

nie m a k olum n identycznych, a w ięc liczby stru k tu raln e zupełne A i Ab2 są rów ne A ~ A lbA2+A2A 2a i A ^ = A lbA2b*AlA 2ab . ( 5 )

W yznaczniki D i Db2 liczb strukturalnych zupełnych A i Ab2 są zate m następ u jące

D - t}l bD2 +D2D2a i = Dl t p

2

b +Di D2a2l ■ ( 6 )

D zieląc w yznaczniki D i Db2 przez iloczyn D XD2 otrzym uje się

(5)

P o d atn o ść dynam iczna w p rzekroju p ręta, w którego osi podłużnej odm ierza się u ogólnioną w sp ó łrzęd n ą 3s3, wynosi ostatecznie

Z ależn o ść (8) opisuje pod atn o ść dynam iczną dw uelem entow ego układu prętow ego, obliczoną na praw ym końcu układu prętow ego.

A by wyznaczyć p o d atn o ść dynam iczną układu trój elem entow ego (rys. 3), zastosow ano agregację bloków grafu blokow ego [1], A gregacja w rozw ażanym przypadku polega na zastąp ien iu dw óch bloków grafu blokow ego drugiej kategorii z rys. 2 jednym blokiem trzeciej kategorii. W dalszym ciągu do tego bloku dołącza się h ip erg raf drugiej kategorii, który je s t m o d elem trzeciego p ręta. R ozw ażania te zilustrow ano na rys. 4.

A zate m p o agregacji otrzym uje się h ip erg raf i jego szkielet (rys. 5). P odatność dynam iczną, o k reślo n ą zależnością (8), przyporządkow ano kraw ędzi b2 .

1S 0 1S 0 _{1S 0} _{1 S 0}

Rys 3. G raficzne przedstaw ienie m etody agregacji w ujęciu hipergrafów Fig. 3. G rap h ical re p resen tatio n o f an agregation m ethod re p re se n te d by

hypergraph

1S2

1S3 ^{1 S}⁴

- < D - • — - - — 0 - • — • - 0 - -

Rys. 4. M o d el trójelem entow ego sw obodnego drgającego sk rętn ie układu prętow ego o strukturze kaskadow ej

Fig. 4. T h e m odel o f a torsionally vibrating th ree-b ar system w ith cascade structure

(6)

52 A. Buchacz, J. W ojnarow ski L iczba stru k tu ra ln a dop ełn iająca szkieletu (rys. 5) Ad0 je st rów na

A*

=

[b2a3] .

ta k w ięc liczba stru k tu ra ln a 2 A hip erg rafu (rys. 5) wynosi

.

\

a

,

a , -

[

^a

<?]

ⁱ

1 ”"1

A 2 b A 2

A-,.

( 9 )

(1 0 )

1S 0

Rys. 5. O bciążony h ip erg raf układu z rys. 4 i jeg o szkielet Fig. 5. T h e w eighted h ypergraph o f th e system from fig. 4 an d its skeleton

A by w yznaczyć p o d atn o ść dynam iczną w p rzekroju p ręta, w k tó reg o osi podłużnej od m ierza się u o gólnioną w spółrzędną jS4, należy jeszcze wyliczyć p o c h o d n ą algebraiczną 2A52 liczby stru k tu raln ej 2A ja k o

A A A2b A2 Alb A a i

’A, = [A]i[

W tablicach rzędów pochodnych liczb strukturalnych 2A i 2Ab3

(1 1)

p = 0 o 1 o 0 1

i

Pb.

0 o 1 o 1 2

(1 2)

nie m a k olum n identycznych, a w ięc liczby stru k tu raln e zu p ełn e A i Ab3 są rów ne

A = * A1(A2bA2+A2A2ll) i A^ - Al(A2bA2bA2A2ab)*

. ( 1 3 )

W yznaczniki D i Db3 liczb strukturalnych zupełnych A i Ab3 są zate m n astęp u jące

D

=

D^D2bD2D2Dia) i*

=

D2 (D2bD2b+D2D22b) .

( 1 4 )

(7)

D zieląc w yznaczniki D i Db3 przez iloczyn D ]D2D3 otrzym uje się

D2b D3 + D2 Ą . ) c , d2 d3 ) o 2b Dlb + D2 D2ab

.° 2 D3 Dx D2b

( 1 5 )

2b 3b 3ab* 3b

P o d atn o ść dynam iczna w p rzekroju p ręta, w którego osi podłużnej o d m ierza się uogólnioną w sp ó łrzęd n ą jS4, wynosi ostatecznie

y „ M ^ a b ) . (lfi)

W e w zorze (16) w ystępuje w yrażenie Y2b, k tó re je st p o d atn o ścią układu dw uelem entow ego. P o d atn o ść tę określono zależnością (8) i przyporządkow ano kraw ędzi szkieletu b2 bloku trzeciej kategorii (rys.5), a więc Y2b= Yb2 .

W obec tego zależność (16) należy zapisać w postaci

y .

P o stęp u jąc p o d o b n ie ja k w przypadku układu dw uelem entow ego i trójelem entow ego, p o d atn o ść u k ład u czteroprętow ego jest następująca

. Ya^Ylab)

*b. • ( 1 8 )

o raz (i + 1) - elem entow ego wynosi

, Yg.Ub (Yb^Yu.uab)

Y b S Y u . u a ' 1 ' ’ • ( 1 9 )

P o d atn o ść (18) je s t rekurencyjną zależnością um ożliw iającą jej o p rogram aw anie. Stanow i o n a je d n ą z m ożliw ości p ak ietu kom puterow ego1, wyznaczającego podatności dynam iczne złożonych drgających w zdłużnie lub skrętnie układów prętow ych o odcinkow o stałym przekroju.

1 Pakiet ten znajduje się w Katedrze Mechaniki R obotów i Maszyn Roboczych Ciężkich Wydziału M echanicznego Technologicznego Politechniki Śląskiej.

(8)

54 A. Buchacz, J. W ojnarow ski

L IT E R A T U R A

[1] B ellert S., W oźniacki H .: A naliza i synteza układów elektrycznych m e to d ą liczb strukturalnych. W N T, W arszaw a 1968.

[2] B id erm an V .L.: P rik ład n aja teorija m echaniczeskich kolebanij. V ysszaja szkoła, M oskw a 1972.

[3] B ishop R .E .D ., G ladw ell G .M .L., M ichaelson S.: M acierzow a analiza d rgań. W N T, W arszaw a 1972.

[4] B ishop R .E .D ., Jo h n so n D .G .: T h e M echanics o f V ibration. C am b rid g e U niversity P ress, 1960.

[6] B u chacz A .: S ynteza drgających układów prętow ych w ujęciu grafów i liczb strukturalnych. Z N Pol. Śląskiej, M echanika, z.104, Gliwice 1991.

[7] C a n n o n R .H .,Jr.: D ynam ika układów fizycznych. W N T, W arszaw a 1973.

[8] P ra c a zbiorow a. D ynam ika maszyn. PA N , Z ak ład N arodow y im. Ossolińskich, W rocław 1974.

[9] D żygadło Z., K aliski S., S olarz L., W łodarczyk E.: D rg an ia i fale. PW N , W arszaw a 1966.

[10] G iergiel J.: Identyfikacja układów m echanicznych. Z b. ref. X II Sym pozjum - D rg an ia w u kładach fizycznych. PTM TS, P oznań 1986, ss. 21-34.

[11] G ladw ell G .M .L, B ishop R .E .D .: In terio r R e cep tan ces o f B eam s. J. M ech. E ngng Sei., 2, 1, (1960), p.1-15.

[12] K aliski S.,red.: D rg an ia i fale - m echanika techniczna. T .III, PW N , W arszaw a 1986.

[14] R akow ski G.: Z astosow anie m acierzy do analizy statycznej i dynam icznej p rętó w prostych. A rkady, W arszaw a 1968.

[15] Solecki R., Szymkiewicz J.: U kłady pręto w e i pow ierzchniow e. O bliczenia dynam iczne. A rkady, W arszaw a 1964.

[18] T se F.S., M o rse I.E., H inkle R.T.: M echaniczeskije kolebanija. M aszinostrojenije, M oskw a 1966.

[19] W ibracii w tech n ik i -spraw ocznik w 6 tom ach. M aszinostrojenije, M oskw a 1981.

[21] W ojnarow ski J.: G rafy i liczby stru k tu raln e jak o m o d ele układów m echanicznych.

P T M T S , G liw ice 1977.

[22] W ojnarow ski J.: Z astosow anie grafów w analizia drgań układów m echanicznych.

PW N , W arszaw a- W rocław 1981.

[23] W ojnarow ski J., B uchacz A.: M odelow anie układów prętow ych za p o m o cą grafów i liczb strukturalnych. A rch. Inż. L ąd.,4, X X V , (1979), ss.705:727.

R ecenzent: Prof. d r hab. inż. Jerzy M aryniak W płynęło do R ed ak cji w grudniu 1993 r.

A b stra c t

T h e p re s e n te d w ork concerns building an d researching of com plex continuous m echanical system s w ith th e aid o f grap h s an d stru ctu ral num bers. M odel o f m echanical system, d escrib ed in this way, is tre a te d as th e basis fo r proceed in g d e term in atio n o f dynam ic ch aracteristics (w ith special reg ard to th e d eterm in atio n o f dynam ical flexibility).

(9)

In sp ite o f th e fact th a t problem s o f this kind are com m on in dynam ics o f vibrating m echanical system s, applying graphs an d structural num bers in th e ir solution allows to strike som e new hints an d helps to m e e t m odern m ethods o f algebraical analysis. It m ay b e helpful in developing fu rth er generalisation in th e research o f vibrating, com plex m echanical systems, too.

Y et th e m ost im p o rtan t fe a tu re o f this m athem atical in terp re tatio n is, th a t applying a h y p erg rap h aggregation enables us to g en erate in a sim ple way a re c u rre n t form ula of dynam ical flexibility fo r any regular structures (like a cascade stru ctu re o f a b a r). This w ork is dealing w ith this particu lar case. T h e ch aracter o f p resen ted description and alg eb raisatio n o f it, carried o u t w ith the m eth o d o f structural num bers (in p articu lar applying th e d e te rm in a n t function designated on structural num bers), allows to analyse com plex, continuous m echanical systems w ithout any n eed to limit n u m b er a n d variety of th eir e lem en ts w hile w orking w ith w ith electronical technics o f calculation.

Pracę w ykonano w ram ach PB U -638/R M T -7/92