[slajdy]

(1)

Wst¦p DFS Zastosowania DFS BFS Zastosowania BFS

Podstawowe algorytmy grafowe

i ich zastosowania

Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK)

Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.1 Programu Operacyjnego

Kapitaª Ludzki

1 / 48

Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego

(2)

Przeszukiwanie grafu

Przeszukiwanie (przegl¡danie) grafu

= systematyczne

przechodzenie wzdªu» jego kraw¦dzi w celu odwiedzenia wszystkich

wierzchoªków.

Sªu»y m.in. do zbierania informacji o strukturze grafu.

Algorytmy grafowe cz¦sto zaczyna si¦ od przeszukania

wej±ciowego grafu.

Wiele bardziej zaawansowanych algorytmów grafowych jest

modykacj¡ podstawowych algorytmów przeszukiwania.

2 / 48

(3)

Przeszukiwanie grafu

Dwie metody przeszukiwania grafu:

w gª¡b

(ang. depth-rst search, DFS),

wszerz

(ang. breadth-rst search, BFS).

W obu metodach b¦dziemy iterowa¢ po s¡siadach danego

wierzchoªka. Dlatego najwygodniejsz¡ reprezentacj¡ grafu s¡

listy s¡siedztwa.

Oznaczenia: Adj = tablica list s¡siedztwa;

dla u ∈ V , Adj[u] = lista s¡siadów u w grae G.

Uwaga

Iteracj¦ po s¡siadach danego wierzchoªka mo»na ªatwo

zreali-zowa¢ równie» na macierzy s¡siedztwa. Jest to jednak bardziej

kosztowne w sensie zªo»ono±ci obliczeniowej.

3 / 48

(4)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

Ustalmy graf niezorientowany G = (V , E).

Z ustalonego wierzchoªka ¹ródªowego w si¦gamy coraz gª¦biej

w graf, je»eli jest to tylko mo»liwe.

badamy wszystkie niezbadane dot¡d kraw¦dzie ostatnio

odwiedzonego wierzchoªka v,

gdy wszystkie kraw¦dzie v s¡ zbadane, wracamy do wierzchoªka,

z którego v zostaª odwiedzony,

proces kontynuujemy dopóki wszystkie wierzchoªki osi¡galne

z wierzchoªka ¹ródªowego w nie zostan¡ odwiedzone.

Je»eli po powy»szym procesie pozostanie jakikolwiek nie

odwiedzony wierzchoªek u, kontynuujemy przeszukiwanie traktuj¡c

go jako nowy wierzchoªek ¹ródªowy.

Caªy proces powtarzamy, a» wszystkie wierzchoªki w grae zostan¡

odwiedzone.

4 / 48

(5)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

Nale»y zatem zapami¦tywa¢ stany, w jakich znajduj¡ si¦ w danej

chwili wierzchoªki.

Do zapisania aktualnego stanu wierzchoªka u»ywamy jednego

z trzech kolorów:

biaªy

wszystkie wierzchoªki na pocz¡tku;

wierzchoªek odwiedzany po raz pierwszy kolorujemy na

szaro

;

wierzchoªek przetworzony (= lista jego s¡siadów jest caªkowicie

zbadana) kolorujemy na

czarno

.

Uwaga

Tak naprawd¦ w najprostszej implementacji wystarcz¡ dwa stany:

nieodwiedzony i odwiedzony. Jednak dokªadniejsze rozró»nienie

stanów pozwala lepiej zrozumie¢ ide¦ DFS oraz jest

wykorzysty-wane w niektórych zastosowaniach.

5 / 48

(6)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

DFS-Visit(G, u) 1 begin

2 kolor(u) := szary; 3 forka»dy v ∈ Adj[u]do

4 ifkolor(v) = biaªythen DFS-Visit(G, v); 5 kolor(u) := czarny;

6 end;

6 / 48

(7)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

4 ifkolor(v) = biaªythen DFS-Visit(G, v); 5 kolor(u) := czarny; 6 end;

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(8)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(9)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(10)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(11)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(12)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(13)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(14)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(15)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(16)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(17)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(18)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(19)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(20)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(21)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(22)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(23)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(24)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

1 2 3 4 5 6 6 / 48

(25)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

Zauwa»my, »e po wywoªaniu DFS-Visit dla wierzchoªka u

wierzchoªki, które nie s¡ osi¡galne z u pozostan¡ nieodwiedzone

(biaªe). Aby zatem przejrze¢ caªy graf, nale»y wywoªywa¢

DFS-Visit dopóki b¦d¡ biaªe wierzchoªki.

Peªen przebieg algorytmu DFS jest realizowany przez poni»sz¡

procedur¦:

DFS(G) 1 begin 2 forka»dy u ∈ V(G)do 3 kolor(u) := biaªy; 4 forka»dy u ∈ V(G)do 5 ifkolor(u) = biaªythen 6 DFS-Visit(G, u); 7 end;

7 / 48

(26)

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

Zªo»ono±¢ czasowa: O(|V | + |E|): odwiedzamy ka»dy

wierzchoªek i (dwukrotnie!) ka»d¡ kraw¦d¹.

Zªo»ono±¢ pami¦ciowa: O(|V |): przechowywanie kolorów,

przechowywanie wierzchoªków na stosie rekurencji.

8 / 48

(27)

Badanie spójno±ci

Podstawowe zastosowania:

Sprawdzanie spójno±ci grafu.

Wyznaczanie skªadowych spójno±ci grafu.

Zauwa»my, »e w procedurze DFS wywoªujemy DFS-Visit dokªadnie

tyle razy, ile jest skªadowych spójno±ci w grae G.

W szczególno±ci, gdy graf jest spójny, DFS-Visit zostanie

wywoªana dokªadnie raz przez procedur¦ DFS.

Nietrudno uzupeªni¢ procedur¦ DFS o kod zliczaj¡cy skªadowe

spójno±ci, jak równie» przypisuj¡cy wierzchoªkom numer

skªadowej.

9 / 48

(28)

DFS - inne zastosowania

Inne zastosowania:

Wyznaczanie silnie spójnych skªadowych (w wersji dla grafu

skierowanego).

Sortowanie topologiczne grafu zorientowanego (bez

zorientowanych cykli).

Generowanie labiryntów.

Znajdowanie drogi w labiryncie.

Zainteresowanych odsyªamy do literatury (patrz te» dodatkowe

materiaªy do wykªadu i zaj¦¢ laboratoryjnych).

10 / 48

(29)

Przeszukiwanie grafu wszerz

Z ustalonego wierzchoªka ¹ródªowego s przegl¡damy kolejne

wierzchoªki z niego osi¡galne.

wierzchoªki w odlegªo±ci (=najmniejszej liczbie kraw¦dzi) k od

¹ródªa s¡ odwiedzane przed wierzchoªkami w odlegªo±ci k + 1,

granica mi¦dzy wierzchoªkami odwiedzonymi i nieodwiedzonymi

jest przekraczana jednocze±nie na caªej jej szeroko±ci.

Je»eli po powy»szym procesie pozostanie jakikolwiek nie

odwiedzony wierzchoªek u, kontynuujemy przeszukiwanie traktuj¡c

go jako nowy wierzchoªek ¹ródªowy.

Caªy proces powtarzamy, a» wszystkie wierzchoªki w grae zostan¡

odwiedzone.

11 / 48

(30)

Przeszukiwanie grafu wszerz

Ka»dy wierzchoªek posiada jeden z 3 kolorów: biaªy, szary lub

czarny (podobnie jak w DFS). Na pocz¡tku wszystkie wierzchoªki

s¡ biaªe.

Wierzchoªki szare s¡ przechowywane w kolejce FIFO.

Po jej opuszczeniu kolorujemy je na czarno.

12 / 48

(31)

Kolejka FIFO

Q jest dynamiczn¡ struktur¡ danych w formie ci¡gu,

do której mo»na doª¡czy¢ skªadnik tylko w jednym ko«cu (na ko«cu

kolejki - tail), a usun¡¢ tylko w drugim ko«cu (na pocz¡tku kolejki

- head). Mamy zatem dwie podstawowe operacje:

Enqueue(Q, v) = dodanie elementu v na ko«cu kolejki,

Dequeue(Q) = usuni¦cie elementu z pocz¡tku kolejki.

Dodatkowo wykorzystamy operacj¦

Head(Q) = zwrócenie elementu z pocz¡tku kolejki (bez

usuwania go).

Uwaga

Kolejk¦ implementujemy przy u»yciu struktur wska¹nikowych.

Mo»na te» zasymulowa¢ jej dziaªanie na zwykªej (statycznej)

tablicy, albo wykorzysta¢ gotowe struktury biblioteczne, np.

queue biblioteki STL w C++:

http://www.cplusplus.com/reference/queue/queue/.

13 / 48

(32)

Przeszukiwanie grafu wszerz

BFS-Visit(G, s) 1 begin 2 kolor(s) := szary; 3 Q := {s}; 4 whileQ <> ∅ do begin 5 u := Head(Q); 6 forka»dy v ∈ Adj[u]do

7 ifkolor(v) = biaªythen begin 8 kolor(v) := szary; 9 Enqueue(Q, v) 10 end; 11 Dequeue(Q); 12 kolor(u) := czarny 13 end 14 end

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 14 / 48

(33)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 14 / 48

(34)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 1 15 / 48

(35)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 1 2 16 / 48

(36)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 1 2 5 17 / 48

(37)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 1 2 5 4 18 / 48

(38)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 2 5 4 19 / 48

(39)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 5 4 20 / 48

(40)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 5 4 3 21 / 48

(41)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 5 4 3 6 22 / 48

(42)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 4 3 6 23 / 48

(43)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 3 6 24 / 48

(44)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 6 25 / 48

(45)

Przeszukiwanie grafu wszerz

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 26 / 48

(46)

Przeszukiwanie grafu wszerz

Zauwa»my, »e po wywoªaniu BFS-Visit dla wierzchoªka u

wierzchoªki, które nie s¡ osi¡galne z u pozostan¡ nieodwiedzone

(biaªe). Aby zatem przejrze¢ caªy graf, nale»y wywoªywa¢

BFS-Visit dopóki b¦d¡ biaªe wierzchoªki.

Peªen przebieg algorytmu BFS jest realizowany przez poni»sz¡

procedur¦:

BFS(G) 1 begin 2 forka»dy u ∈ V(G)do 3 kolor(u) := biaªy; 4 forka»dy u ∈ V(G)do 5 ifkolor(u) = biaªythen 6 BFS-Visit(G, u); 7 end;

27 / 48

(47)

Przeszukiwanie grafu wszerz

Zªo»ono±¢ czasowa: O(|V | + |E|) (analogicznie jak dla DFS).

Zªo»ono±¢ pami¦ciowa: O(|V |) (przechowywanie kolorów,

kolejka).

28 / 48

(48)

Najkrótsza droga

Zastosowanie: znajdowanie najkrótszej drogi pomi¦dzy

wierzchoªkami s i v.

Modykacja procedury BFS-Visit: przechowywanie

wektora

poprzedników

π

.

Tj. poprzednikiem wierzchoªka v na najkrótszej drodze z s do v

jest wierzchoªek π[v];

poprzednikiem wierzchoªka π[v] jest wierzchoªek π[π[v]]...

29 / 48

(49)

Najkrótsza droga

Przygotowanie:

forka»dy u ∈ V(G)do begin kolor(u) := biaªy; π[u] := ∞ end; 30 / 48

(50)

Zmodykowany BFS

7 ifkolor(v) = biaªythen begin 8 kolor(v) := szary; 9 π[v] := u; 10 Enqueue(Q, v) 11 end; 12 Dequeue(Q); 13 kolor(u) := czarny 14 end 15 end w π[w] 1 ∞ 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞ 6 ∞

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 31 / 48

(51)

Zmodykowany BFS

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 31 / 48

(52)

Zmodykowany BFS

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 1 32 / 48

(53)

Zmodykowany BFS

7 ifkolor(v) = biaªythen begin 8 kolor(v) := szary; 9 π[v] := u; 10 Enqueue(Q, v) 11 end; 12 Dequeue(Q); 13 kolor(u) := czarny 14 end 15 end w π[w] 1 ∞ 2 1 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞ 6 ∞

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 1 2 33 / 48

(54)

Zmodykowany BFS

7 ifkolor(v) = biaªythen begin 8 kolor(v) := szary; 9 π[v] := u; 10 Enqueue(Q, v) 11 end; 12 Dequeue(Q); 13 kolor(u) := czarny 14 end 15 end w π[w] 1 ∞ 2 1 3 ∞ 4 ∞ 5 1 6 ∞

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 1 2 5 34 / 48

(55)

Zmodykowany BFS

7 ifkolor(v) = biaªythen begin 8 kolor(v) := szary; 9 π[v] := u; 10 Enqueue(Q, v) 11 end; 12 Dequeue(Q); 13 kolor(u) := czarny 14 end 15 end w π[w] 1 ∞ 2 1 3 ∞ 4 1 5 1 6 ∞

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 1 2 5 4 35 / 48

(56)

Zmodykowany BFS

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 2 5 4 36 / 48

(57)

Zmodykowany BFS

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 5 4 37 / 48

(58)

Zmodykowany BFS

7 ifkolor(v) = biaªythen begin 8 kolor(v) := szary; 9 π[v] := u; 10 Enqueue(Q, v) 11 end; 12 Dequeue(Q); 13 kolor(u) := czarny 14 end 15 end w π[w] 1 ∞ 2 1 3 5 4 1 5 1 6 ∞

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 5 4 3 38 / 48

(59)

Zmodykowany BFS

7 ifkolor(v) = biaªythen begin 8 kolor(v) := szary; 9 π[v] := u; 10 Enqueue(Q, v) 11 end; 12 Dequeue(Q); 13 kolor(u) := czarny 14 end 15 end w π[w] 1 ∞ 2 1 3 5 4 1 5 1 6 5

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 5 4 3 6 39 / 48

(60)

Zmodykowany BFS

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 4 3 6 40 / 48

(61)

Zmodykowany BFS

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 3 6 41 / 48

(62)

Zmodykowany BFS

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 6 42 / 48

(63)

Zmodykowany BFS

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6 Q: 43 / 48

(64)

Odczytanie dróg

Po wykonaniu BFS-Visit(G, s) w wektorze π zakodowane s¡

najkrótsze drogi z wierzchoªka ¹ródªowego s do wszystkich

wierzchoªków w osi¡galnych z s. W naszym przykªadzie s = 1:

w π[w] 1 ∞ 2 1 3 5 4 1 5 1 6 5

@

v

f

1

v

f

2

v

f

3

v

f

4 5

v

f

v

f

6

Np. najkrótsza droga z s = 1 do 6 to:

6 ← π[6] ← π[π[6]], czyli

6 ← 5 ← 1.

A najkrótsza droga z s = 1 do 3 to:

3 ← π[3] ← π[π[3]], czyli

3 ← 5 ← 1.

44 / 48

(65)

Odczytanie dróg

Odczytanie i wypisanie drogi z s do v od ko«ca mo»e by¢

zrealizowane przez poni»szy pseudokod:

PrintPathRev(s, v) 1 begin

2 ifs = vthenwypisz(v)

3 else ifπ[v] = ∞thenwypisz('Nie ma drogi') 4 else begin 5 whilev <> sdo begin 6 wypisz(v); 7 v := π[v] 8 end; 9 wypisz(s) 10 end 11 end; 45 / 48

(66)

Odczytanie dróg

Jednak bardziej naturalnym byªoby wypisanie drogi z s do v od

pocz¡tku. Do tego mo»e posªu»y¢ poni»sza elegancka procedura

rekurencyjna:

PrintPath(s, v) 1 begin

2 ifs = vthenwypisz(v)

3 else ifπ[v] = ∞thenwypisz('Nie ma drogi') 4 else begin 5 PrintPath(s, π[v]); 6 wypisz(v) 7 end 8 end; 46 / 48

[slajdy]

Podstawowe algorytmy grafowe

i ich zastosowania

Przeszukiwanie grafu

Przeszukiwanie (przegl¡danie) grafu

= systematyczne

przechodzenie wzdªu» jego kraw¦dzi w celu odwiedzenia wszystkich

wierzchoªków.

Sªu»y m.in. do zbierania informacji o strukturze grafu.

Algorytmy grafowe cz¦sto zaczyna si¦ od przeszukania

wej±ciowego grafu.

Wiele bardziej zaawansowanych algorytmów grafowych jest

modykacj¡ podstawowych algorytmów przeszukiwania.

Przeszukiwanie grafu

Dwie metody przeszukiwania grafu:

w gª¡b

(ang. depth-rst search, DFS),

wszerz

(ang. breadth-rst search, BFS).

W obu metodach b¦dziemy iterowa¢ po s¡siadach danego

wierzchoªka. Dlatego najwygodniejsz¡ reprezentacj¡ grafu s¡

listy s¡siedztwa.

Oznaczenia: Adj = tablica list s¡siedztwa;

dla u ∈ V , Adj[u] = lista s¡siadów u w grae G.

Uwaga

Iteracj¦ po s¡siadach danego wierzchoªka mo»na ªatwo

zreali-zowa¢ równie» na macierzy s¡siedztwa. Jest to jednak bardziej

kosztowne w sensie zªo»ono±ci obliczeniowej.

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

Ustalmy graf niezorientowany G = (V , E).

Z ustalonego wierzchoªka ¹ródªowego w si¦gamy coraz gª¦biej

w graf, je»eli jest to tylko mo»liwe.

badamy wszystkie niezbadane dot¡d kraw¦dzie ostatnio

odwiedzonego wierzchoªka v,

gdy wszystkie kraw¦dzie v s¡ zbadane, wracamy do wierzchoªka,

z którego v zostaª odwiedzony,

proces kontynuujemy dopóki wszystkie wierzchoªki osi¡galne

z wierzchoªka ¹ródªowego w nie zostan¡ odwiedzone.

Je»eli po powy»szym procesie pozostanie jakikolwiek nie

odwiedzony wierzchoªek u, kontynuujemy przeszukiwanie traktuj¡c

go jako nowy wierzchoªek ¹ródªowy.

Caªy proces powtarzamy, a» wszystkie wierzchoªki w grae zostan¡

odwiedzone.

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

Nale»y zatem zapami¦tywa¢ stany, w jakich znajduj¡ si¦ w danej

chwili wierzchoªki.

Do zapisania aktualnego stanu wierzchoªka u»ywamy jednego

z trzech kolorów:

biaªy

 wszystkie wierzchoªki na pocz¡tku;

wierzchoªek odwiedzany po raz pierwszy kolorujemy na

szaro

;

wierzchoªek przetworzony (= lista jego s¡siadów jest caªkowicie

zbadana) kolorujemy na

czarno

.

Uwaga

Tak naprawd¦ w najprostszej implementacji wystarcz¡ dwa stany:

nieodwiedzony i odwiedzony. Jednak dokªadniejsze rozró»nienie

stanów pozwala lepiej zrozumie¢ ide¦ DFS oraz jest

wykorzysty-wane w niektórych zastosowaniach.

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

Przeszukiwanie grafu w gª¡b

@

@

@

@

@

@

w

g

w

g

w

g

w

g

w

g

modykacj¡ podstawowych algorytmów przeszukiwania.

(ang. depth-rst search, DFS),

(ang. breadth-rst search, BFS).

dla u ∈ V , Adj[u] = lista s¡siadów u w grae G.

Caªy proces powtarzamy, a» wszystkie wierzchoªki w grae zostan¡

wszystkie wierzchoªki na pocz¡tku;