3. Stateczność konstrukcji prętowych

Dynamika i Stateczność

1 |

S t r o n a

dr inż. Hanna Weber

2L

L

0,5L

EJ

EJ

EJ

S

S

_S

_S

Wykres sił normalnych

1 2 ₃

1 ₂ 3

Stateczność

Polecenie:

Wyznaczyć wartość siły krytycznej dla poniższego schematu:

Schemat podstawowy:

Możliwe przemieszczenia w układzie:

)

,

,

(

3

_{1 2}



₃







ng

Minimalna baza przemieszczeń:

           3 2 1







q , gdzie

L

3 3







Dynamika i Stateczność

2 |

S t r o n a

dr inż. Hanna Weber

x

₂

y

₂

2

1 12 2 21

x

1

y

1

1

x

3

y

3

3

1 10

0

1

2

3

3 10

L

-2

₃ 23

0,5L

2

L

3 3 3 3 3 2 23

Rozbicie układu na elementy:

Wektory przemieszczeń końców elementów:

             10 10 1 0 q  _         10 10 1 q

)

3

(

)

2

(

             0 q ₂₁ 12 2           21 12 2 q

)

2

(

)

1

(

             23 23 3 0 q  _         23 23 3 q

)

3

(

)

1

(

Zbiorczy wektor przemieszczeń:

                                                                         3 2 1 A 23 23 21 12 10 10 3 2 1 A x 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 q q q q     

Macierze sztywności elementów:





















12

6

6

4

L

EI

K

K

* _1e 1

Dynamika i Stateczność

3 |

S t r o n a

dr inż. Hanna Weber





































































































































4

1

1

4

EI

15

L

S

2

1

1

2

L

EI

4

1

1

4

30

L

2

S

2

1

1

2

L

EI

15

2

30

1

30

1

15

2

L

2

S

4

2

2

4

L

2

EI

K

K

K

2 G 2 e 2 * 2







































4

2

1

1

4

2

L

EI

K

EI

15

L

S

* 2 2 Założenie

























































24

12

12

8

L

EI

12

6

6

4

L

EI

2

12

6

6

4

L

5

,

0

EI

K

K

* _3e 3

Zbiorcza macierz sztywności:

























































































24

12

0

0

0

0

12

8

0

0

0

0

0

0

4

2

1

0

0

0

0

1

4

2

0

0

0

0

0

0

12

6

0

0

0

0

6

4

L

EI

K

0

0

0

K

0

0

0

K

L

EI

K

* 3 * 2 * 1 * A

Wyznaczenie macierzy sztywności układu:

                                                                                                                                        108 24 6 24 4 10 1 6 1 4 6 L EI 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 48 24 0 0 12 6 12 8 4 2 1 0 0 0 0 1 4 2 6 4 L EI 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 24 12 0 0 0 0 12 8 0 0 0 0 0 0 4 2 1 0 0 0 0 1 4 2 0 0 0 0 0 0 12 6 0 0 0 0 6 4 L EI 2 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 A K A K * A T *

Wyznaczenie współczynnika wyboczeniowego:

0

K

0

q

Dynamika i Stateczność

4 |

S t r o n a

dr inż. Hanna Weber 2 2 2 . min . kryt 2

L

EI

37

,

8

L

EI

15

558

,

0

L

EI

15

S

EI

15

L

S



_

_

_

_





_



_

Wyznacznik z macierzy sztywności - otrzymanie wielomianu:

0 2268 4968 1620 108 24 6 24 4 10 1 6 1 4 6 K* _{ }2 _{  }            Pierwiastki wielomianu: 558 , 0 509 , 2 558 , 0 . min 2 1 _{ }       