STATECZNOŚĆ SPRĘŻYSTA TRÓJKĄTA HAMULCOWEGO K

(1)

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 44, s. 199-208, Gliwice 2012

STATECZNOŚĆ SPRĘŻYSTA TRÓJKĄTA HAMULCOWEGO

KRZYSZTOF MAGNUCKI^1,2),SZYMON MILECKI²⁾,

1) Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska, ²⁾Instytut Pojazdów Szynowych TABOR, Poznań e-mail: ¹⁾ krzysztof.magnucki@ put.poznan.pl, ²⁾ obliczenia@tabor.com.pl

Streszczenie. Przedmiotem opracowania jest rama-trójkąt hamulcowy stosowany w układach hamulcowych wagonów towarowych. Rama poddawana jest obciążeniu rozciągającemu w swojej płaszczyźnie. Opracowano model matematyczny wyboczenia konstrukcji, uwzględniając nieliniowy charakter zjawiska zginania prętów trójkąta, które występuje od początku odciążania.

Wyznaczono podstawowe ścieżki równowagi na podstawie rozwiązania nieliniowego. Opracowano model numeryczny MES oraz przeprowadzono analogiczną nieliniową analizę. Dokonano porównania wyników uzyskanych za pomocą metod analitycznej oraz numerycznej.

1. WPROWADZENIE

Trójkąt hamulcowy jest jedną z głównych części układów hamulcowych wagonów towarowych opartych na dwóch wózkach dwuosiowych lub wagonów dwuosiowych [6].

Przykładowy widok rzeczywistej konstrukcji wykonanej przez firmę Alcon z siedzibą w Żmigrodzie pokazano na rys. 1. Trójkąt jest elementem znormalizowanym występującym w dwóch odmianach, dla ruchu „S” lub „SS”. Oba typy różnią się obciążeniem dopuszczalnym. Dla typu „SS” obciążenie jest dwukrotnie większe niż dla „S”. Wymiary oraz odchyłki kształtu i położenia dla trójkątów hamulcowych określone są w kartach UIC 542 [2]

oraz UIC 833 [3], jak również w normie PK-91/K-88176 [5]. Przepisy nie precyzują natomiast ostatecznego kształtu trójkąta hamulcowego oraz technologii wykonania. Jedyne wymagania, jakie postawiono w tym zakresie, dotyczą spełnienia przez konstrukcję wytycznych zawartych w karcie UIC 505-1 [1], dotyczącej skrajni kinematycznej pojazdu oraz konieczności zapewnienia możliwości montażu trójkąta z uwagi na układ biegowy podczas procesu hamowania lub odhamowania [6].

Przedmiotem pracy jest rama trójkąta równoramiennego wykonana z prętów stalowych o średnicy d1=32 mm oraz d2=50 mm i module Younga E=2·10⁵ MPa. Kąt, który charakteryzuje nachylenie pręta numer 1 względem pręta numer 2, wynosi α=π/10. Szerokość trójkąta wyrażona jako długość pręta numer 2 wynosi l₂=1520 mm (rys. 2) [4]. Konstrukcja poddawana jest obciążeniu rozciągającemu w swej płaszczyźnie. Przyjęto, że naroże ramy, w którym zbiegają się pręty numer 1 stanowi punkt podparcia, natomiast naroża, które w rzeczywistym obiekcie przekazują siłę na obsady klocków hamulcowych, zostaną obciążone połową wartości siły. W przypadku rozwiązania analitycznego oraz numerycznego wykonano analizę liniową przy pominięciu odkształceń wywołanych siłami normalnymi oraz momentów zginających występujących od początku obciążenia oraz analizę nieliniową przy uwzględnieniu tychże oddziaływań [4].

(2)

Rys. 1. Widok rzeczywistego trójkąta hamulcowego

Rys. 2. Schemat obciążenia trójkąta hamulcowego [4]

2. MODEL MATEMATYCZNY TRÓJKĄTA HAMULCOWEGO 2.1. Opis przemieszczeń

Rozważa się płaskie wyboczenie trójkąta-ramy (rys. 3). Przyjęto, iż kąt między prętami 1 oraz 2 w teoretycznym punkcie ich połączenia oraz kąt między oboma prętami o numerze 1 w miejscu utwierdzenia konstrukcji pozostaje niezmienny. Związki geometryczne między składowymi przemieszczenia poprzecznego oraz wzdłużnego występującego w narożu ramy oznaczonym symbolem „A” mają postać [4]:

) cos(

sin ⁽¹⁾

) 1 ( ) 2 (

A A

A

A w u

u      , (1)

gdzie:

i = 1, 2 – numer pręta.

(3)

Rys. 3. Schemat obciążenia trójkąta hamulcowego [4]

2.2. Rozwiązanie liniowe

W przypadku rozwiązania liniowego przy wyznaczaniu energii potencjalnej ramy pominięte zostały efekty zginania prętów. Zatem rozpatrywane będą jedynie przemieszczenia poprzeczne określone przez związki o następującej postaci [4]:



 



 

 ₁ ₁ ₁

1 sin2

2 sin 1

)

(x la  

w , (2)



2 3 2



2

2) sin sin3

(x l b  b 

w   , (3)

gdzie:

2 2 2 1

1

1 ,

l x l

x 

 

 – współrzędna bezwymiarowa (x2 – odcięta wzdłuż pręta l2), a, b, b3 – parametry swobodne.

Kąty obrotu obu prętów w narożu „A” ramy są zgodne i opisane zależnością [4]:



¹ ³ ₃



2ab  b , (4)

występuje również zgodność przemieszczeń [4]:

 ²  _A¹ sin

A w

u  , (5)

Jako że pominięto efekty zginania prętów w narożach, można przyjąć, iż momenty zginające nie występują, natomiast przemieszczenie naroża można wyrazić następującą zależnością [4]:

   

  tg w u

w_A _A ^A

2

1 cos 

 , (6)

gdzie:

 

2

2 3 2

2

2 1 9

8 b b l

u_A  

. (7)

Zatem całkowitą energię potencjalną ramy można wyrazić zależnością [4]:

_ ^{ } _ ^{ }

 









 











 

1 2

2

0 0

2 2

2 2 2 2 1

2

2 1 1 2

1 2

l 1 l

A

T dx Fw

dx x w EI d

dx dx x w EI d

E . (8)

(4)

2.3. Rozwiązanie nieliniowe

W przypadku rozwiązania nieliniowego przy wyznaczaniu energii potencjalnej ramy rozpatrzone zostały przemieszczenia podłużne u(x1) oraz u(x2), wynikające z efektów rozciągania prętów oraz ugięcia w(x1) i w(x2) wynikające z efektu zginania. Związki opisujące przemieszczenia dla pręta 1 mają postać [4]:



1



)

(x₁ c₁l₁ ₁

u , (9)

   

_







      



 



 

 ₁ ₁ ₁ ₁ ₁² ₁³ ₂ ₁ ₁² ₁³

1 sin2 1 3 2 2

2 sin 1

)

(x l a   a   a   

w , (10)

gdzie:

c1, a1, a2 – parametry swobodne.

W narożu ramy, w której ustalono utwierdzenie konstrukcji (x₁ = l₁) dla powyższych funkcji występuje zerowanie się przemieszczeń oraz kąta obrotu. Natomiast w narożu, będącym punktem przyłożenia siły (x1 = 0), można zapisać [4]:

 przemieszczenie wzdłuż osi pręta 1 (przeciwne do x1)

 

1 1

1 cl

u_A  , (11)

 ugięcie

^{ } 11

1 al

w_A  , (12)

 kąt obrotu przekroju

 

2

1 2 a a

A   

 , (13)

 moment zginający

 

  

1 2



1 1

0 2 1 1 2 1

1 2 3 2

1

a l a

EI dx

x w EI d M

x

gA   



, (14)

gdzie:

I1, I2 – osiowe momenty bezwładności odpowiednich prętów.

Zależności opisujące przemieszczenie poprzeczne oraz ugięcie dla pręta 2 mają postać [4]:



 



 



 2

) 1

(x₂ c₂l₂ ₂

u , (15)



sin sin2



( )]

[ )

(x₂ l₂ b ₂b₃ ₂ a₃ ₂₂²

w , (16)

gdzie:

c2, a3 – parametry swobodne.

Dla naroża ramy w punkcie przyłożenia siły (x1 = 0) można zapisać [4]:

 przemieszczenie wzdłuż osi pręta z uwzględnieniem składowej wynikającej ze ściskania oraz z ugięcia pręta

(5)

 

 







 





²

0

2

2 2 2

2 2

2

4 1 2

1 dx

dx x l dw

c u

l

A

   

_







     

 ² ₃² ₃ ₃ ₃²

2 2 2

3 3 1

3 9 8 2 1

4 2c b b b b a a

l



 (17)

 kąt obrotu przekroju pręta

 ² b



1 3b₃



a₃

A   

 , (18)

 moment zginający

 

3 2

2

0 2 2 2 2 2

2 2

2

l a EI dx

x w EI d M

x

gA  



. (19)

Całkowita energia potencjalna ramy E jest sumą energii odkształcenia sprężystego prętów _T E i potencjału obciążenia  U , zatem [4]:

     

 

 ^









 



















 



1 1

0 0

1 2

2 1 1 2 1 1 2

1 1 1

1

1 2

l 1 l

T dx

dx x w EI d

dx dx x dw dx

x EA du

E

_ ^{ } ^{ } _ ^{ }

_^ ^









 























 



2 2

0 0

2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2

1 2

1 ^l

A l

Fw dx dx

x w EI d

dx dx x dw dx

x

EA du , (20)

gdzie:

A1, A2 – pola przekrojów odpowiednich prętów.

2.4. Rozwiązanie analityczne

Rozwiązanie analityczne liniowe oraz nieliniowe zestawiono na wykresie (rys. 4) jako zależność bezwymiarowego parametru obciążenia krytycznego (f_kr) od względnego przemieszczenia naroża ramy (βA) oraz środka pręta (βS), które wyrazić można w następującej postaci [4]:

2 2

EI f_kr Fl

 , (21)

l2

w_A

A 

 , (22)







 



 



 





 2

1 ₂

2 2

2

x l w l w

l w

A S

S . (23)

W przypadku rozwiązania liniowego celem było wyznaczenie obciążenia krytycznego, czyli takiego, którego niewielki przyrost powoduje znaczne przyrosty przemieszczeń.

Natomiast w przypadku rozwiązania nieliniowego wyznaczono podstawowe ścieżki równowagi za pomocą algorytmów optymalizacyjnych wykorzystanych do znalezienia

(6)

minimum energii potencjalnej układu poprzez wyznaczenie wartości parametrów swobodnych [4].

Rys. 4. Wyniki dla rozwiązania analitycznego [4]

3. MODEL NUMERYCZNY TRÓJKĄTA HAMULCOWEGO 3.1. Budowa modelu oraz podział na elementy skończone

W przypadku obliczeń numerycznych posłużono się metodą elementów skończonych (MES). Widok modelu geometrycznego pokazano na rys. 5. Ze względu na ograniczone rozmiary konstrukcji zdecydowano się rozpatrzyć całość konstrukcji. Natomiast występowanie w konstrukcji jedynie prętów o stałym przekroju pozwoliło zastosować elementy belkowe. Aby odwzorować rzeczywiste oddziaływania w narożach ramy, w modelu uwzględniono sztywne połączenia elementów składowych. Dodatkowo, aby zapewnić realizacje odkształceń konstrukcji jedynie w jej płaszczyźnie, podzielono pręt 2, wyznaczając w jego połowie dodatkowy punkt połączenia, co umożliwiło wprowadzenie na nim dodatkowych utwierdzeń.

Parametry materiałowe oraz wymiary geometryczne przyjęto analogicznie jak dla rozwiązania analitycznego. Model podzielono na elementy skończone charakterystyczne dla konstrukcji belkowych (rys. 6). Podobnie jak w przypadku rozwiązania analitycznego dokonano analizy liniowej oraz nieliniowej, wykorzystując opcje nieliniowości geometrycznej w programie obliczeniowym. Obliczenia wykonano w programie SolidWorks Simulation.

(7)

Rys. 5. Model numeryczny trójkąta hamulcowego

Rys. 6. Podział modelu numerycznego na elementy skończone

3.2. Warunki brzegowe oraz schemat obciążenia modelu numerycznego

Warunki brzegowe oraz obciążenia przyłożono w sposób odpowiadający rozwiązaniu analitycznemu. Jako że w obliczeniach symulacyjnych wykorzystano model belkowy, posłużyły do tego celu punkty połączeń prętów składowych. Narożnik, w którym zbiegały się pręty 1, utwierdzono we wszystkich trzech kierunkach, natomiast naroża skrajne stanowiące połączenia prętów 1 oraz 2 utwierdzono w kierunku pionowym. Dodatkowy punkt połączenia ustalony w środku pręta 2 podparto w kierunku pionowym oraz poprzecznym w celu zapewnienia wyboczenia tylko w płaszczyźnie ramy. Siły o wartości 30 kN każda przyłożono na końcach pręta 2 (rys. 7).

(8)

Rys. 7. Warunki brzegowe oraz schemat obciążeń modelu 3.3. Rozwiązanie numeryczne

Wyniki numeryczne analizy liniowej oraz nieliniowej zestawiono na rys. 8. Przestawiono na nim zależność bezwymiarowego współczynnika obciążenia od względnego przemieszczenia naroża ramy oraz środka pręta. Przykładowy widok zdeformowanego modelu pokazano na rys. 9.

Rys. 8. Rozwiązanie numeryczne

Rys. 9. Wykres przemieszczeń w płaszczyźnie trójkąta

(9)

4. ZAKOŃCZENIE

Przedmiotem pracy była rama w kształcie trójkąta równoramiennego z prętów stalowych.

Wykonano analizę nieliniową w sposób analityczny oraz numeryczny, wyznaczając ścieżki równowagi. Dodatkowo wyznaczono siłę krytyczną, upraszczając model z analizy nieliniowej do postaci liniowej, przy pominięciu odkształceń wywołanych siłami normalnymi oraz momentów zginających występujących od początku obciążenia. Wyniki wszystkich dokonanych obliczeń zestawiono na rys. 10, gdzie krzywe określają uzyskane ścieżki równowagi, natomiast linie poziome oznaczają obciążenia krytyczne. Wartość tego obciążenia dla rozwiązania numerycznego jest większa o 13,6% od wartości uzyskanej dla rozwiązania analitycznego. Wart podkreślenia jest fakt, iż zarówno dla obliczeń dokonanych na drodze analitycznej jak i numerycznej otrzymano charakterystyczne „cofnięcie”

przemieszczenia środka pręta 2 przy wzroście obciążenia [4].

Na podstawie przeprowadzonych analiz można stwierdzić, że zaproponowane modele, analityczny oraz numeryczny MES rozpatrywanej ramy trójkątnej, wykazują wystarczającą zgodność uzyskanych rezultatów.

Rys. 10. Porównanie wyników

LITERATURA

1. Karta UIC 505-1: Pojazdy kolejowe: skrajnia pojazdów. Wyd. 10. 2006 maj.

2. Karta UIC 542: Części hamulcowe: wymienność. Wyd. 4. 01.01.1982 ze zmianą 01.01.1995 oraz erratą z 01.01.1997.

3. Karta UIC 833: Warunki techniczne na dostawę trójkątów hamulcowych. Wyd. 3. 2004 luty.

4. Magnucki K.: Niektóre problemy optymalizacji konstrukcji prętowych i powłok z uwzględnieniem stateczności sprężystej. Poznań: Wyd. Pol. Pozn., 1993.

5. PN-91/K-88176: Wagony towarowe. Trójkąty hamulcowe.

6. Sobaś M.: Trójkąty hamulcowe nowej generacji dla wagonów towarowych. „Pojazdy Szynowe” 2010 nr 3, s. 21-30.

(10)

ELASTIC STABILITY OF TRIANGULAR BRAKING FRAME Summary. In this paper the triangular braking frame, which is a part of the railway vehicle braking system, is presented. The load, which causes the tension, is applied along the main plan of the construction. There is elaborated an analytical model of the buckling of this construction, which is present from the start of loading. This model takes into account non-linear character of the bending effect of triangle’s parts. As a result, of this calculations there were obtained main buckling paths. There is also built a numerical model (FEA) and, similarly to the analytical model, the non-linear analysis is conducted. Finally, the results from the analytical and numerical non-linear analyses are compared.

STATECZNOŚĆ SPRĘŻYSTA TRÓJKĄTA HAMULCOWEGO K









 

     





   

  







 



   





 

     

 

       

_ ^{ } _ ^{ }

_ ^{ } ^{ } _ ^{ }