(nieliniowości) Drgania, stany nieustalone, stateczność rozwiązania. ą. Zaawansowana Mechanika Materiałów i Konstrukcji

Dynamika Dynamika

(nieliniowości)

Drgania, stany nieustalone, stateczność rozwiązania. g y ą

Dynamika, NL i stateczność

MES Dynamika

Równanie równowagi „d’Alamberta”,

z siłami bezwładności tłumienia i sprężystości Jeśli zaniedbamy efekty zależne

Mu Cu Ku R     

z siłami bezwładności, tłumienia i sprężystości. Jeśli zaniedbamy efekty zależne od ruchu (siły ~przyspieszenia, siły ~ prędkości) → mamy równania statyki.

Dla braku obciążenia i braku tłumienia:

Mu Ku    0

Mu Cu Ku R     

0 Mu Ku  

Metody rozwiązania

 metody bezpośrednie (bez wcześniejszego przekształcania równań)etody be poś ed e (be c eś ejs ego p e s ta ca a ó a )

 metody superpozycji modalnej (n/z też metodami zmiany bazy)

Dyskretyzacja w czasie i w przestrzeni → uwaga na żądania zapisu!!!y y j p g ą p Warunkowa lub bezwarunkowa stabilność rozwiązania

Dynamika, NL i stateczność

MES Dynamika, cd

Efekty schematów różnicowych

zanik amplitudy (amplitude decay) wydłużenie okresu (period elongation)

Wyznaczanie macierzy „dynamicznych” → masowe, tłumienia

skupione

Związki rekurencyjne

RRZ II - w mechanice

skupione konsystentne

Dyskretyzacja czasowa

RRZ I - np. w cieple

Dynamika, NL i stateczność

METODA RÓŻNIC CENTRALNYCH

Stosujemy proste schematy różnicowe

oraz

LS-Dyna → ojciec/matka metod “explicit”

ABAQUS Explicit 2

t t

2

t

u u u

u t



 

 



oraz Marc Explicit

MSC Dytran Pam – Crash

2

t t t t

t

u u

u t





 



i wstawiając to do równania równowagi w chwili „t” otrzymujemy:

(NL bo zmienne współczynniki M(u) etc ) (NL, bo zmienne współczynniki, M(u) etc.)

2 2 2

2

2 2

t t t t t t

M C M M C

u R K u u

t t t t t

 

           

          

     

Dynamika, NL i stateczność

2

M C M M C

     

2 2 2

2

2 2

t t t t t t

M C M M C

u R K u u

t t t t t

 

           

     

    

     

Jest to jawne całkowanie po czasie, bo znając konfigurację w czasie „ ” oraz „t” wyliczymy konfigurację w „ ”.

t   t t   t

konfigurację w „ .

UWAGA: W piśmiennictwie stosowane są dwie odmienne definicje określenia „metoda jawnego całkowania”.

W niniejszej pracy przyjęto za Kleiberem [8] i Belytschko [10], że jawność oznacza możliwość bezpośredniego

t   t

obliczenia wektora przemieszczeń w chwili na podstawie znajomości przemieszczeń w chwili t oraz poprzednich. Może to w niektórych przypadkach oznaczać konieczność faktoryzacji efektywnej macierzy sztywności. Niektórzy autorzy, np. Hughes [9], p. 493, stwierdzają natomiast wyraźnie, że metoda różnic centralnych jest jawna jedynie w przypadku gdy macierze masowa i tłumienia mają formę diagonalną centralnych jest jawna jedynie w przypadku, gdy macierze masowa i tłumienia mają formę diagonalną.

Dynamika, NL i stateczność

Uwagi:

1) Macierz po lewej stronie nie jest macierzą sztywności, więc efekty NL nie przenoszą się

„bezpośrednio”.

2) Potrzebna procedura „startowa”, aby wyznaczyć .

Po pewnych igraszkach matematycznych możemy napisać, że:

t

u





3) metoda jest warunkowo stabilna, czyli wymaga małych kroków, ale duża liczba kroków!!

0 0 2 0

2

t

i i i i

u U t U t U





     

3) etoda jest a u o o stab a, c y y aga a yc o ó , a e du a c ba o ó (o czym będzie dalej) → (kryterium Couranta, CFL)

najczęściej:j ę j ● skupione macierze (→ diagonalne) masowa i tłumieniap ( g )

● specjalne sformułowanie elementów z 1p. Gaussa

● zaniedbujemy tłumienie → czasem, bo zjawiska krótkie

4) co najważniejsze: robimy rozwiązanie rozprzęgniętego układu równań, więc małe wymagania pamięciowe, rozwiązanie jest na poziomie elementu

Dynamika, NL i stateczność

Kryterium Couranta : (CFL – Couranta, Friedrichsa, Lewy’ego) Dla uproszczonego przypadku 1-D można napisać:

n C

t t T

  

t t

   t  L

   t

 c

  

W przypadkach elementów 2-D i 3-D, np. dokumentacja LS-Dyna podaje bardziej rozbudowane zależności. Sporo formuł dla konkretnych elementowych daje Hughes.

P t k i k k t d j t t bil t i i i t ób

Przy tak ograniczonym kroku metoda jest stabilna, tzn. rozwiązanie nie narasta w sposób nieograniczony

Dynamika, NL i stateczność

Przykład wg Bathego

Ukł d 2 t i h b d ( i lk ś i h 2” i 1”) Układ o 2 stopniach swobody (masy o wielkościach „2” i „1”):

Zatem w równaniu

2 2 2

2

2 2

t t t t t t

M C M M C

u R K u u

t t t t t

 

         

          

     

Mamy:

  ²

M  1 

  

    ^{6 2}

2 4

K   

      0

C 

a siły zewnętrzne są stałe w czasie

 1   2 4 

0 R   10

  

 

w. brzegowe → ZEROWE: i

I dalej: Jak można sprawdzić, okresy drgań własnych wynoszą: oraz

0

0

u 

1

4, 45

T  T

 2,8

0

0

u  

da ej Ja o a sp a d ć, o esy d ga as yc y os ą o a zatem przyjmujemy, dla bezpieczeństwa, sporo krótszy krok czasowy:

1 2

,

2,8 2,8

0, 28 t 

   

10

Finalnie zatem krok całkowania wynosi:

 10

0, 28

  t

Dynamika, NL i stateczność

Przykład, cd.

Zatem równaniu ₂ ² _{2 2}

2 2

t t t t t t

M C M M C

u R K u u

t t t t t

 

         

          

     

Finalna forma ma postać:

 

1 M

ˆ t





 U R

Gdzie prawa strona

  _{ t}

2 2

2 1

ˆ

t t

M U

t t

 

         

R R K M U

Można zauważyć że:

t t

 

 

Można zauważyć, że:

1) należy wyznaczyć warunki startu obliczeń (warunki na i )

2) w finalnej formie równania macierz lewej strony jest stała, w krokach czasowych zmieniać się będą jedynie siły zastępcze” z prawej strony

0

U 

U

się będą jedynie „siły zastępcze z prawej strony

Dynamika, NL i stateczność

Przykład, cd.

Przyspieszenie początkowe wyznaczymy z podstawowego równania⁰

U 

otrzymując

 

2 0

6 2 0 0

0 1 2 4 0 10

        

 

        

       

U 

0

10

    

  U 

Natomiast otrzymamy z procedury startowej:^{- t}

U

 0



  



- t 0

t

U U - t U + U

czyli

U  U - t U +  2 U

0 0 0.28

0 0



  0.28      

           

- t

U 0.28

0 0 2 10 0.392

       

       

U

Dynamika, NL i stateczność

Przykład, cd.

Zatem liczbowo „siły równoważne” prawej strony wynoszą:

2 2

0 6 2 2 2 0 1 2 0

ˆ 10 2 4 0, 28 0 1 0, 28 0 1

t

        

 

                        

R U U

0 45,0204 2 25,5102 0

ˆ

t

   

 

      

R U U

i zależą tylko od przemieszczeń w obliczonych już chwilach oraz

10 2 21,5102 0 12,7551

        

     

R U U

t   t t

a e ą ty o od p e es c e ob c o yc ju c ac o a

Rozwiązujemy krok po kroku równanie

1



ˆ

 M U R

ą j y p ₂

 t

Dynamika, NL i stateczność

Przykład, cd.

Dla chwili t=0:

0 2

0 45,0204 2 0 25,5102 0 0

1 ˆ

10 2 21 5102 0 0 12 7551 0 392

0 28

M

R          

             

         

U

Otrzymujemy:

10 2 21,5102 0 0 12,7551 0,392

0, 28          

0 0

1

  0

   

1 5 5

0, 28 12, 7551

t t

M

       

      

U U

Dynamika, NL i stateczność

Przykład, cd.

Dla chwili prawa strona wynosi:

t    1 t

0 45,0204 2 0 25,5102 0 0 0,784

ˆ

t

R



           

               

czyli:

10 2 21.5102 0,392 0 12,5752 0 18, 432

           

           

25 5102 0 0 784

   

Skąd:

25,5102 0

0,784

0 12,7551 18, 432

t

   

    

  U  

S ąd

2

0,0307 1, 4451

t

 

  

 

U

itd, dla

t    2 t

t   3 t

Dynamika, NL i stateczność

Przykład, cd.

Wyniki dla kroku czasowego

  t 0, 28

i graficznie:

i graficznie:

Dynamika, NL i stateczność

Kryterium Couranta : a co będzie dla DŁUGIEGO kroku całkowania?

Sprawdzamy, teraz z zmieniamy na

  t 0, 28   t 28,0

Wówczas rozwiązanie w dwóch pierwszych krokach jest następujące:

 0   3 03 10 



oraz Rozwiązanie rozbiega się

3

0 3,83 10

t

U



 

     

2

7

3,03 10 1, 21 10

t

U



  

      

Rozwiązanie rozbiega się…

Komentarz:

Dla kroku metody niejawne (-Newmarka,  – Wilsona, Houbolta) – dają spore błędy ale nie rozbiegają się!!

  t 28,0

błędy, ale nie rozbiegają się!!

Literatura

Spis literatury podstawowej i uzupełniającej

1. Andrzej Sawicki, Mechanika kontinuum. Wprowadzenie, Wydawnictwo IBW PAN, 1994.

2. Lawrence E. Malvern, Introduction to the Mechanics of Continuous Medium, Prentice- Hall Inc 1969

Hall, Inc., 1969.

3. Romesh C. Batra, Elements of Continuum Mechanics, AIAA, 2006.

4. Gerhard A. Holzapfel, Nonlinear Solid Mechanics, John Wiley & Sons, Ltd., 2000.

5. Ahmed A. Shabana, Computational Continuum Mechanics, Cambridge University

P 2008

Press, 2008.

6. M.A. Crisfield, Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures, Vol 1, John Wiley & Sons, Ltd., 2003.

7. Klaus-Jürgen Bathe, Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., 1996.g , , , ,

8. Michał Kleiber, Metoda elementów skończonych w nieliniowej mechanice kontinuum, PWN, Warszawa, 1985.

9. Thomas J.R. Hughes, The finite element Method, Prentice-Hall, N.J., 1987

10 Belytschko T Liu W K Moran B Nonlinear Finite Elements for Continua and 10. Belytschko T., Liu W.K., Moran B., Nonlinear Finite Elements for Continua and

Structures, John Wiley & Sons, England, 2000.

11. MSC.NASTRAN, MSC.MARC, MSC Software, Santa Ana, CA 12. HKS/ABAQUS = Simulia ABAQUS

13. ANSYS, Inc

Dziękuję za uwagę Dziękuję za uwagę

Wykład współfinansowany ze środków Unii Europejskiej y p y p j j w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego,

udostępniany nieodpłatnie