Moderat belastede propeller med vilkarlig sirkulasjonsfordeling

.:,"1:t4/1/ WI:

Moderat belastede propeller med vilkdrlig

Innledning.

Det foreliggende arbeid bygger pa Prandtl-Lanchesters hvirvelteori. Propellen betraktes som z radielt rettede, bxrende hvirvler, med lik

vinkel-avstand, og man finner de induserte hastigheter

pa grunn av de frie hvirvler som kastes av de

bmrende hvirvler. De induserte

hastighetskompo-nenter wa og wt vii reduqere angrepsvinkelen i et

sylind.ersnitt r pa propellen fra a til a1, fig. 1.

Pig .1

De frie hvirvler antas A danne skruelinjer med

stigningsvinkel 9,. Profilene oppforer seg i forste

tilnmrmelse som om de befinner seg i todimensjonal stromning med tilstromningshastighet v og angreps-vinkel a,. Senere tas hensyn til at de induserte

hastigheter varierer over profilkorden og saledes

reduserer profilets effektive pilhoyde (krum strom-ning).

I de hittil anvendte hvirvelteorier behandles

bare propeller som oppfyller Betz' betingelse for minimum tap av kinetisk energi, sakalte «optimal-propeller*. Optimalpropeller har en bestemt sirku-lasjonsfcrdeling langs radien, avhengig av

belast-ning og hastighetskoeffisient. Denne sirkulasjons-fordeling ble forst tilnrrnet beregnet av Prandtl [1],

og senere fant Goldstein [2] den eksakte losning for lett belastede propeller. Teorien har gjennom-'

gat stadige forbedringer og anvendes i dag for moderat og tungt belastede propeller. .Beregnings-metoden finnes gjennomgatt i forskjellige versjoner

i [3], [4] og [5]. Irnidlertid gjelder teorien som nevnt egentlig bare for en beiternt (optimal) sirkulasjonsfordeling, homogen wake og null

boss-N R . 2 ; 1 95 6

sirkulasjonsfordeling.

Av lab. ing. Carsten D. Lovstad,

Skipsmodellstankens meddelse nr. 41, Desember 1955.

Stutlieeentrum T. N. 0.

voor Scheepsbouw en Navigatie Afd. Scheepsbouw.

Lab. v. Scheepsbouwkunde

Technische Hogeschool

Delft

diameter. ForsOk pa A- tillempe metoden for

wake-propeller bar derfor medfort tilnxrmelser som ikke

kan kontrolleres v. hj. a. den opprinnelige teori. I den her beskrevne metode kan den radielle

sirkulasjons- og wake-fordeling vxre vilkArlig, og man kan ta hensyn til bossets innflytelse. Metoden

er derfor mer generell og betegner et betydelig

teoretisk fremskritt i forhold til de ovenfor nevnte

metoder. Man kan alts a na beregne innflytelsen av et stort boss (vridbare propeller), propeller

med avlastet bladspiss og wake-propeller, uten innfore vilkrlige korreksjoner. Metoden skyldes i

forste rekke Kawada [14], Guilloton [9, 10]

Strscheletzky [8] og Lerbs [6], og vil her bli kort

beskrevet og belyst ved et regneeksempel. Korrek-sjonsfa.ktorer "pâ grunn av krum strOmning vil kort bli omtalt.

I. Propenens frie hvirvler.

Man kan som forste tilnwrmelse tenke seg sirkulasjonen om hvert propellblad konsentrert i

bxrende hvirvellinjer sorn er radielt rettet. Pa grunn av trykkutjevningen ved boss og bladspiss

vil sirkulasjonen synke til null her, fig. 2. Tidligere antok man at sirkulasjonen sank diskontinuerlig til null ved bosset, men den minste sekundxre stromning fra trykksiden av det ene blad til

sugesiden pa det neste blad vii bringe sirkula-sjonen kontinuerlig ned til null. De bxrende

hvirvler far da en sirkulasjonsfordeling (r) som

vist i fig. 3.

Mellom radiene r og r + dr reduseres

sirkula-ar(r)

sjonen (hvirvelstyrken) med _ar dr. Det betyr

P(r) at en fri hvirvel med styrke

ar dr fores med av det forbistrommende vann. En hvirvel i en ideell vske kan nemlig bare ende i vxskens

be-grensningsflate. Videre vii hver enkelt frie hvirvel folge stromlinjene i den relative bevegelse mellom

vann og propel!. Samlingen av frie hvirvler &miler

en generell skrueflate bak propellen. Matematisk

kan stromningen rundt propellen betraktes som indusert av de frie og bundne hvirvler. Nar de frie hvirvler dessuten folger stromlinjene, blir

formen pa de frie hvirvelsjikt og de induserte hastigheter gjensidig avhengige. Videre vii de

induserte hastigheter pa grunn av de frie hvirvler Oke bakover i propellstrommen, mens innflytelsen

av de bundne hvirvler forsvinner. Forenklet er dette vist i fig. 4. De frie hvirvler induserer hastigheten w i midten av profilet. Profilet selv g-ir den induserte hastighet w' ved folgende kant. Komponenten w' forsvinner langt bak profilet, og her er den induserte hastighet pa grunn av de frie

hvirvler lik 2w (se 1.2). For en sirkulasjonsfordeling (r) som er mer eller mindre elliptisk, dvs. har

Aik

en stor derivert ved tipp og boss, vii de frie hvirvler

pa disse steder vwre dominerende, og da

sirkula-sjonen om profilet der samtidig er liten, vii w'

vxre liten. Det kan ogsä vises at den delen av det frie hvirvelsjikt som ligger nxrmest skruen

er avgjorende. Det er derfor rimelig a anta at stigningen av de frie hvirvellinjer er h = 270 tg fig, 4. Vi ser saledes bort fra hvirvelflakenes deforrnasjon i aksiell retning. Videre skal vi se

bort fra radielle komponenter av de induserte hastigheter, ,dvs. kontraksjonen av

propellstrom-men, sarnt sentrifugaleffekter. De samme

tilnr-melser gjores i teorien for moderat belastede optimalpropeller. Overensstemmelse rnellom teori

og eksperimenter ved optimalpropeller og flyvinger med enclelig spenn gjor det ogsa rimelig a se bort fra at hvirvelsjiktene er ustabile og ruller

seg opp i en viss avstand bak propellen. Hvirvelsjiktene betraktes altsa i det folgende

Sorn generelt skrueformet og sammensatt av

skruelinjen med konstant diameter og stigning

bakover i strommen. Hvirvelsjiktets stigning kan

derimot vxre en villthrlig funksjon av radien. 1.1. Beregning av hastigheter som induseres av

propellens frie hvirvler.

Dette problem er undersokt av Lauth [11], Betz [1], Hogner [12], Moriya [13], Kawada [14], Guilloton [9], [10], Lerbs [6] og Strscheletzky [8]. Optimalpropeller er behandlet avbl. a. Prandtl [1]

og Goldstein [2]. I clet fOlgende Vii vi konsentrere oss onn a finne de induserte

hastighetskompo-nenter ved selve de bxrende hvirvler, da. (let i

forste tilnwrmelse er disse som bestemmer til-stromningen til bladene. Ved valg av para.metre og analysemetode er det tatt mest mulig hensyn

til beregningenes praktiske anvendelse. To

meto-der kan benyttes for afinne de induserte

hastig-heter, enten Biot-Savart's by eller Lapla.ce's

ligning. I det folgende vil vi hovedsakelig folge Strscheletzky's utvikling pa grunnlag av

Biot-Savart's by og betrakter forst:

1.2. En skrueformet hvirvel.

Vxsken er ubegrenset og inkompressibel. Fra

punkt P (0, r0, 6) fig. 5, utgar en skrueformet

hvirvel med styrke

r

og stigning fl. I punktet N (0, r, 0) induserer hvirvelelementet ds en hastig-het som etter Biot-Savarts by er

r cri x

dw =

47r as

ds = hvirvelens vektorelement.

= vektoravstand fra hvirvelelementet ds til

punkt N.

p.

Anvender vi et rettvinklet koordinatsystem x, y, z med origo i C, far vi

(1) dw 1 cotg #, cos (0 + 6) 1 cotg /3i sin (El + 6)

4&w'Y

7, sin ( 0 ± d) y

r r, cos (0 + (3)

hvor a = [y2 + 72 ± 702 2r0r cos (9 ± b)]112.

De tre komponenter av den induserte hastighet dw blir da: a) i tangentiell retning:

(2a) dwx dw, = 413 Fdy r r, cos (El ± 6) y cotg fl i sin ( 0 ± d)

b) i aksiell retning;

dw = dwa" =

43

F dy { cotg /3, cos ( ± (3) [r ro cos ( + 6)] r, cotg ( 0 + 6)} C) i radiell retning:

1

dwz = dwr -=

4a3a3 Fdy - y cotg fl i cos ( 0 + + 70 sin ( 0 + 6)

Vi har forutsatt at hvirvelen danner en regel- Hvirvelen i fig. 5 strekker seg Ira P (0,1'0,6) til

messig skruelinje, dvs. at #, = konst. og ro = y = oo (en halvuendelig hvirvel).

konst. Da er y =ro 0 tg

og dy = 70 tg de.

De induserte hastigheter i N (0,r, 0) fas da ved integrasjon av (2)

co = wt =--47rtg (z3

fr

cos ( 0 ± 6)r0

sin (e + 6)} de (3) W0

" 4n a3

A fro(

° Y COS ((9 + 6)) d 0 o , _a?

wz = wr =Lintg1 r0 sin (0 + 6)

F

1702 f 7, cos ( 0 + d) } do

15

Som man ser er funksjonene under

integral-

Linwt

I

tegnene uendelige for 6 = 0 og r, = r. For a t

T

kunne beregne integralene ved selve den baarende 47cw.

hvirvel: 6 = 0, og for vilkarlig r, innfOres de (4) / a =

F

sakalte induksjonsfaktorer [14], som er def inert 47rwt =

4

slik:

F

N R. 2. 1955

(r r0)

(r r)

(r

r)

3

Xy;.c 1 22. 24° Ns" 2

JERNINDUSTRI

'

II WA

MIMI

l Ill

Ill mm o

E

IAIIIP%

IIMIIAMINA'

ININSII,

111110111=/11

111111/ANNIA

111/

Aramm

Iff Ario'l"

1111/M/"-N11

II,'

P ,%°""'

P.S10.7.

1.0 2',4 09 li 08 (47 /1/111

iiii

1/111

Aid

06 - ---05 0.3

WPVIIATIE

02 0.1 n n, MR I 2

!11,,

NI;

1.0 .2' 4 01 5C° _oe 56. 07

-I\

as as

1

OA 20.

\

o!

Is. itVML

'0*MN\

5' 0 . °J ---2.9 0 so X 16 35. 4 50. 64 60. eb 20' 25' 4 O. 5D. 60 70 60'

Induksjonsfaktorene er dimensjonslose storrel-ser. er den hastighet som induseres

47c (r r0)

i (0, r, 0) av en halvuendelig hvirvel som star-ter i (0, To, 0) og er parallell y-aksen. Bade hastig-hetene wt, øa og W,. og hastiglaeten

47t (r ro)

nxrmer seg uendelig i samme orden nar r

r.

Induksjonsfaktorene som gir forholdet mellom

disse hastighetene, nmrmer seg folgende grenser nar r ro og = 0:

lim It= sin 13, (5)

Videre

(8)

lirn Tr= 0

finnes lett av (3) at for 6 = 0 er

=

Par=

G°

n

-Induksjonsfaktcirene er beregnet av Strscheletzky

[8] for z=3 og av Lerbs [6] for z = 3, 4 og 5.

Vi ser at induksjonsfaktorene (7) nmrmer seg de

samme grenser som gitt i (5). Induksjonsfaktorene for 4 blader er gjengitt i fig. 6-9 etter [6].

1.4. De frie hvirvelsjiktenes induserte hastigheter.

Med induksjonsfaktorene la og It kan man finne de hastigheter som induseres av et hvirvel-sjikt som vist_ i fig. 3. Hvirvelsjiktet betraktes som sammensatt av'et uendelig antall hvirvler

med styrke (r) dr. De induserte

hastighets-Or

komponenter finnes da ved integrasjon over

radien fra nay til bladspiss:

v 2 zeit dx, t= kxo (./X0 X xo' 7)

_fr

2 ',x axo x xo w 1 aG dx, Yn

Som nevnt i innledningen ser vi bort Ira de

radielle inclUserte hastigheter, dvs. vi vil i de

folgende beregninger anta at I,. = 0, hvilket som vi ser av (6) egentlig bare gjelder uendelig langt bak propellen. Av (6) ser vi videre at de

in-duserte hastighetskomponenter er dobbelt sa

store langt bak propellen sorn ved selve

pro-pellen.

1.3. Flere skrueformete hvirvler.

Har propellen z blader, far man a betrakte z frie hvirvler som. gar ut fra punktene 13(0, To, 6.),

hvor n = 1, 2

. z. Alle hvirvlene forutsettes

ligge pa sylinderflater med radius r, og ha samme stigningsvinkel 0, = konst. Har propellen

22r 47

f. eks. 3 blader, blir ó=- 0, 62= og cY, = c3. De induserte hastighetskomponenter av z regelmessig skrueformete hvirvler er:

Her er innfort de dimensjonslose storrelser:

F

ro

G 707), xo , x = og xa= --R

x er altsä det punkt pa bladet hvor

hastig-heten skal finnes. xo er den variable abscisse.

Losningen av integralene krever endel ekstra

omhu, siden tellerne forsvinner for x xo. Ved losningen kan anvendes en lignende metode sorn

Glauert [15] benytter ved flyvingeberegninger. Vi innforer da en ny variabel go som er null for x -= xa og n for x = 1

x =

(1 ± xn) (1 x7,) cos To

xo = (1 xa) (1 x.) cos q)

G (x) kan uttrykkes som en Fourier-rekke med bare sinusledd:

G (x0) = Ga, sin (mcoo)

m=1

Induksjonsfaktorene i forme' (8) avhenger bade av x og x, dvs. av 99 og To, foruten av blad-tallet og stigningen av hvirvellinjene.

hvirvler (fra

KaIler vi induksjonsfaktorene for de uendelige til oo) for /co, fas

it(co) = 2 /t

F

wi _[It]z (y _re)

F

(6) -1 a(co)= 2 /a Wa _{LI ai z} 4n (r r0) ro) .4(09) = 0 hvor CO (7)

[It] = (r ro) r, tg iJ.3 { r ro cos ( 0 +

an ro 0 sin ( ± (3n) } de

n = 1 0

00

[Icdz = (r _{ro) rol-3} ro cos ( + (3n) d()

an

Som nevnt onsker vi a finne de induserte hastig- Etter Glauert er det kjent at

heter i et bestemt punkt co, og kan da uttrykke ..

,

I (9', To)som en Fourier-rekke med hensyn Pa To: cos ktTo a99 = 71sin. Jug;

CO COS To COS T " S111 T

I (q,, To)

_{= X}

_In(92) cos(WO) 0

n=o

Innforer vi dette i (13), far vi for summen rned (10) og (11) far man av ligning (8): _{av integralene:}

wt 1 .0 E mGh (q)) 1. m> n: v 1 m----1 m hvor: 7r sin (m97) E /-n! (99) cos (n97) n=o .

E

'm (co) cos (nT0) cos mqoo

(13) hoz'

""

4

0

COS q) 0 cosq)

Co

(9))

n=0 cosTo cosT

cos To

cos co

'cos(m n) 'Cos (mn)9201

dqoo

71

(16) hma= .

[

(mg)) E _{(c9) cos (nSO)}

sin q) n=0 sin qo 2. m < n: sin qo co cos (mg)) E ne (T) sin (nT) n=a1+1

Storrelsen hm1 blir saledes:

(14). h t

sinqo[sin (Imo) E I,,' (T) cos (nip) + cos (mq2) (±) I n' (T) sin Oup)1n=0 n=m+1

n . m

Helt analoge uttrykk finnes for aksialkomponenten

Wa 1

(15)

= ,

1,1 mG,nho,a (T)

V 1 Xn ni--41

co

cos (mg)) E ina (co) sin (ng))

n=m+1

C4)

I endepunktene av bladet,

= 0 og q =

er funksjonene ubestemte. Deriveres teller og nevner hver for seg, finner man:

m Co

ho,',a (0) = almE /',a (0) + nI, (0)1

L n=0 n=m+1

[

m Co

h,',a (a) a (cos mn) mEins,- cos (ma) E n1 ni,a cos(nn)1

n=0 n=m+1

Ved ligningene (12)(17) er det gitt en rela- sprang i potensialet. De induserte hastigheter sjon mellom de induserte hastigheter, sirkulasjons- kan derfor settes:

fordeling og induksjonsfaktorer.

Induksjonsfakto-(19) w, 1 al) wa ao a&l)ae

rene er kjent, [6], og man kan saledes beregne v

a0 °g

v = ay --ae ay

de induserte hastigheter ved en gitt, vilkarlig

Generelt er x =x1 (e) og tg (e)

sirkulasjonsfordeling sorn kan ut-trykkes ved (10).

(x) er ukjent nar man starter beregningene, og for hver fri hvirvel. Danner derimot hvirvlene man ma derfor anvende suksessive

approksima-sjoner, siden I t

og I

ogsa avhenger av j9, (x). Fremgangsmaten vii sees av regneeksemplet

under 4.1.

1.5. Retningen av -de induserte hastigheter.

Retningen ay den hastighet som induseres ved de bwrende hvirvler bestemmes av komponentene

Wt, Wa og W. I et tangentialsnitt, fig. 10, har vi = Arctg

Wa

Potensialet

for de induserte hastigheter er

(10 (x, 0,y) og de frie hvirvelflater representerer

regelmessige skruelinjer, x = konst. og

pi =

konst.

Arctg , far vi:

ay

y = tg 19,x0; = x

tg-ao

Da sees av (18): a, =

Ved regelmessige skrueformede hvirvelflater star

altsa den induserte hastighet w (wa2 wt2)v,

normalt til hvirvelflatene.

2. Korreksjon for krum stromning.

Som nevnt ble bladene i forste tilnmrmelse betraktet som radielt rettede hvirvellinjer med sirkulasjon F (r). I et sylindersnitt som fig. 11 a

antas da sirkulasjonen om snittet a vmre

kon-sentrert i punktet B midt pa korden (symmetrisk blad). Den induserte hastighet i B er funnet lik

W (w.2 wt2)'/,. La sirkulasjonen pr.

lengde-enhet (sirkulasjonsfordelingen) langs korden vxre gitt med v (z). Da er y (z) dz sirkulasjonen om elementet dz av korden og sirkulasjonen rundt profilet er F (r) = fy (z) dz.

Tar vi hensyn til

4.)

v wa-2

_vwa

f1= Arctg = Arctg

-wt ( )

og finner den nodvendige pilhoyde ut fra

to-dimensjonale profildata. Den tredimensjonale stromning korrigeres for ved a gi profilene en ekstra krumning og vinkelokning. Antar man nemlig at 13, (z) var kjent for alle z, kan et tynt profil korrigeres slik at dets egenskaper

(trykk-fordeling og loft-vinkel-kurve) ville vre de samme i krum propellstromning som i parallellstromning. Denne korreksjonen vine resultere i en forandring

av profilets pilhoyde i hvert punkt. En-slik

korreksjon kan gjores tilnwrmet ved at man gir middellinjen en ekstra krumning beregnet for

2

og et

tillegg i angrepsvinkel tilsvarende for-andringen av stromningskrumningen over korden.

Er f. eks. krumningen mindre ved ledende kant

og stare ved folgende kant enn ved vii det

vre nodvendig med en stone angrepsvinkel enn

A70. i rett stromning med samme loftkoeffisient.

den kontinuerlige sirkulasjonsfordeling over profil-korden i hvert enkelt snitt,

ser vi at de frie

hvirvler ikke starter ved hvirvellinjene, pkt. B,

men bygges opp kontinuerlig Ira ledende til folgende kant pa profilet. Man kan da beregne de frie hvirvlers induserte hastigheter w (z) og wi (z)

for alle Z, se fig. 11 b. Hastigheten ved er den som blir bestemt ved ligning (12) og (15) i 1.4.

Videre ma det tas hensyn

til

at de bundne

hvirvler med styrke y (z, r) langs det krumme

og vridde propellblad ogsa induserer hastigheten. Disse hastighetskomponenter w og 72),' er illu-strert i fig. 11 c. Stromningens helning pa et

vilkarlig sted pa korden i et sylindersnitt er nâ gitt ved

tg fli(z)

=v

Wa (z) Wa' (z)

rco

(z) w (z)

Formen pa det uendelig tynne sylindersnitt lar

seg bestemme ved hjelp av denne ligning. Man

vii finne at profilets pilhoyde blir stone i pro-pellen enn i tcdimensjonal parallellstrornning ved

samme loftkoeffisient og sirkulasjonsfordeling y (z).

Beregningen av profilmidtlinjens form etter (20) er svxrt komplisert. I praksis foregar beregningen

ved at man i forste tilnarmelse tenker seg

pro-filet plasert i parallellstrom av helning 13i som i fig. 1, hvor

TO) Wt

2.1. Krumningskorreksjon.

I [16] og [17] er gitt losning for stromningens

krumning ved i det tilfelle at sirkulasjonen

(z) er konstant langs korden. Er nodvendig

Z-idirne,11/040/siirOmm;79

proliknicillhyi

b 77-ezbineayevla/ (krum) sirofmn/hg.

o.z

up'

Fl 77 D

0 P70. /3a

pilhoyde i todimensjonal stromning f, fig. 12 a,

vii profilet i krum stromning fa en pilhoyde

(22) _fgeo.=.k

ved samme loftkoeffisient, fig. 12 b.

Krumningskorreksjonen k er mindre enn 1 ut-over mot bladspissen. Verdien av k for 2

blad-konturer er vist i fig. 13 a og b.

2.2. Korreksjon av angrepsvinkei.

Korreksjonen av angrepsvinkel for virkning av

krum stromning er sterkt tilnrmet.

Den

be-regnes for x = 0,7, og samme prosentuelle

for-andring av stigningen gjores for de andre radiene. Metoden skyldes Lerbs [7] og viser i praksis ikke alltid like gode resultater, se 4.5. Som nevnt

0.9 0.8 07 0.6 05 09 03 02 0/ 3 blade zpAw-rn.a 9 . _b 4 Y .fl z 3 6/ezde.e ...111111 ro..977 1

SI

IN

fc,If

PAW'

MAL

. 4

nrWid

A/

Et

NB

111

4, !3 t2

irr-).1 \ n . -.' ay 06

ERR

1%.\.

Aa-/c- = 1:0 ?5' -siii 0XOZ az 05 I u , 0.4 -...m.. 06 1111%4'040:41' 0.75 n 'xa2 02 05 Z.0 0.6 -..tiiiimmi

iir.M

Ma

4, 4 = .0.5o bktt

\

5, X a a v.. s __ . 8

JERNINDUSTRI

x 02 05 7.0 x 05 70

oppstar den krumme stromning pa grunn av de

frie og bundne hvirvler. Nar verdiene ved x= 0,7

benyttes for og er vinkelkorreksjonen gitt

(23) ab si-P2fli [(;) sin ,u 0,7 co

hvor /2. = bladets vinkelposisjon og

(23a) (1-13_1-x2

+

(-!-)3 + 0,49 2 ( c

kD kD

Selvinterferensen for et blad fâs ved a sette

,u = 90°, og virkning av de andre bladene finnes 360

ved a gi it et tillegg pa for hvert blad. For

3 blader gjores altsa beregningen for ,u = 90°,

210° og 330°, for fire blader er i = 90°, 180°,

270° og 360°. Tilleggsvinkelen ab er altsa summen av beregningen for hvert blad.

I neste trinn korrigeres for virkningen av de

frie hvirvler.

a1= a2

1 + cos2 1)

hvor a, =

som vist i fig. 14. h er vist

i fig. 15, hvor

0 = Arctg (

9'7 D

)

sin /3, t

2

bV. /4

som a= ab ± a f (a, a0), hvor vinklene er definert som i fig. 14.

Vinkelen ab skyldes de bundne hvirvler og

finnes ved folgende uttrykk

1

s fli cos,u)

(P/R)31 Gdx

os ,u cos (3,4- 0,7 sinitt) x13/2

Tilleggsvinkelen er da gitt ved

Pa =

2

57,3 [(b + a, (

1 + cos2

igi(!-1)

Stigningskorreksjonen gjores ved samme %-tillegg gjores over hele radien:

26a)

PPID

tg(fli+

( 1 +

PID (tg th)0,7

Den endelige stigriing blir derfor: PI

PID=2rxtg(i3i± ai) (1

±

D)pip

Man ma vwre oppmerksom pa at korreksjonen gitt ved (26) er fremkommet ved svrt forenldede

antagelser og anvendes fordi en eksakt losning er for komplisert til praktisk bruk.

3. Valg av profiler.

Under de foregaende avsnitt er det forutsatt

at man bruker profiler som er provet

i

to-dimensjonal stromning, dvs. ildre inneholder noen

effekter pa grunn av krum stromning. Det er da naturlig a ben3rtte de moderne NACA-profilene, se f. eks. [18] og [19]. NACA's profildata ma ansees som meget noyaktige, og omfatter tyk-kelsesfordelinger og midtlinjer som er sxrdeles

gunstige i kavitasjonsmessig henseende.

NACA-16-tykkelsesfordeling

er sr1ig anvendelig for

skipspropeller. Den liar elliptisk profilnese.

Teore-tiske undersokelser viser at dette er den

gunstig-ste form i

savel jevn som i periferisk variabel strom (medstrom bak skip), hvor altsa profilet har varierende angrepsvinkel. Samtidig har

NACA-16-seksjonen sä stor vinkel ved folgende kant at kravene til styrke er oppfylt. Profil-draget er ogsa lavt. Midtlinjen NACA a = 1,0

har meget g-unstig trykkfordeling og gir minimum

seksjonslengde ved gitt kavitasjonstall.

Midt-linjen a =0,8 har noe stare undertrykk ved

samme loft, men trenger praktisk talt ingen

korreksjon for vxskens viskositet, og er derfor

NR. 3, 1956

9 18 1.6 to 90 66 70 60 so ,.e.

bedre i praksis. Ordinater for a = 0,8 og NACA-. 16-seksjonen er gitt i tabell 1, hvor

tykkelses-ordinaten y egentlig skal avsettes normalt til

midtlinjen. Vanligvis avsettes y imidlertid nor-malt til korden. Antar man at midtlinjen oppnar full teoretisk null-10ftvinkel og at aCLIda=2.7z Vrad

for alle tykkelsesforhold av NACA-16, a==08, fas folgende formler for angrepsvinkel og storste

høyde

(28) a10 = 1,4

(28 a) = 0,06651 . CL

Null-10ftvinkelen for a = 0,8 (modif.)

(28b) _{ao° =7,7CL}

Vinklene a, og ao males ut fra korden. Tabell 1. z11 0 (L.K.) 0,0125 0,025 0,05 0,075 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 1,00 (F.K.) NACAL16 seksjon y1d 0,1077 0,1504 0,2091 0,2527 0,2881 . 0,3887 0,4514 0,4879 0,500 0,4862 0,4391 0,3499 0,2098 0,1179 0,010 a=0,8 (modif.) midtlinje Ylf 0 0,0907 0,1586 0,2711 0,3657 0,4482 0,6993 0,8633 0,9613 1,00 0,9785 0,8890 0,7026 0,3687 0,1843 0 Radius ved L.K. =- 0,-489 d-211

4. Beregningseksempel for gitt sirkulasjons-fordeling.

Antar man en elliptisk sirkulasjonsfordeling G (To) = G1 sin SO0 forenkles regningen betraktelig. En slik sirkulasjonsfordeling er samtidig meget nmr den optimale for frilopende og swrlig for

wake-tilpassede skruer. Vi antar altsa G =- 0,031 sin 990,

z = 4, xn, = 0,2, X = 0,2 (homogen wake). 4.1. De induserte hastighetskomponenter. For in = 1 er etter (12) og (15) wt V 1 - Gihit (92) wa= ₁ Gihia (9)) w*

Som forste tilneermelse setter vi

_-v=

0,3 (fig. 10). Da er

v

tg + w*

=

v(1 + 0,3) 0,26

anDx anDx x

Wt Wa

Det er tilstrekkelig beregne

-v

og - for de

7 punkter pa radien i tabell 2.

Induksjonsfaktorene leses sâ av fig. 6-9 og

settes opp for hver verdi av

som funksjon

av To. Tabell 3 viser verdiene for co= 60°. For

finne Fourier-koeffisientene benyttes f. eks. den

nurneriske metode med 12 ordinater. F. eks. fas:

Ia (60°) = 3,875 - 4,81 sin To + 0,745 sin 2,rpo ± 0,229 sin 40 ± 0,023 sin 4,70

- 0,023 sin 40- 0,006 sin 697,

Av (14) og (16) beregnes sa lima 11 Beregningen gjOres lett etter folgende tabell:

Tabell

ha _{= hia = 3,628 (0,866 . 1,470 ± 0,5 . 0,645) -= 5,79}

Av lign. (12) og (15) finner man n5.:

wt1

1 Gilt' (w) = Tik3- 0,031 (p) v

1- xn

w 1 Gilt' (co) - 01 0,031 _{ha (T)} v - Xn 99 = 600 li; : g ,n -6-. g " ---= oa U tt u) 8 r 1--4 Ig = ,73 e B--S 5 .. ,2 .-.4 m, n Ina 8 .,71 . cel 0 1..: 9.-11C4 0 3,875 1 0 3,875 1 -4,81 0,500 0,866 -2,405 1,470 2 0;745 0,866 0,645 0,645 3 0;229 o 0 4 . 0,023 - 0,866 - 0,020 5 -0,023 - 0,866 ± 0,020 6 -0,006 0 0 Tabell 2. Tabell 3. 99 fli = 60°, x = 0 4 0° 0,2 52,4° xoix It I 30° 60° 0,254 0,4 45,6° 0° 33,0° 0,5 52,4° 2,01 0,035 90° 0,6 23,4° 300 0,635 45,6° 1,505 0,104 120° 0,8 18,0° 60° 1,00 33,0° 0,544 0,839 150° 0,946 15,4° 900 1,50 23,4° 0,08 3,16 180° 1,0 14,6° 120° 2,00 18,0° 0,01 6,13 150° 2,36 15,4° 8,38 180° 14,6° 9,24 10

USTRI

Videre er CL og dermed bestemmes ut fra

kavitasjons-1+

hensyn. Diameteren antas bestemt ut fra

eksperi-v wa V _{Wa Wt}

tgi3i =

nnDx

-wt=

anD Wt mentelle data. Med 2. = 0,2, og -v og-v som

vist i tabell 6, finnes vIV.

1 Wa

-v

(A = V = 02)

anD 5x

--wt

Som resultat av faste tilnrmelse far man da: Tabell 5.

Med disse verdier for finnes nye It- og

la-verdier, og regningen gjennomfaes pa nytt.

Resultatet av 2. tilnrmelse er vist pa fig. 16.

En 3. gjennomregning vii ikke forandre .resul-tatene merkbart.

NR.

.

1956

4.2. Bestemmelse av loftkoeffisient

Ligningen z CLt = 2z.r-1 gir relasjonen

mel-V

lom loftkoeffisient og sirkulasj on ved en vilkarlig

radius.

Innfaer man s =-Du blir CLs = 2z -G yv . Man

ma altsá fast beregne starelsen -v' se fig.

1.

V V 1 V [ (5x w 2t1 (1 + n121"2 V V ) Tabell 6.

Liftkoeffisienten kan da bestemmes nar man velger f. eks. bladform 2 i fig. 13, se tabell 7.

Tabell 7.

Bladtall z=4, bladform 2, fig. 13. F alF =0,50,

zt

G=0,031 sin q), CLs= 2z s =ff.

4.3. Bestemmelse av angrepsvinkel (21, pilhoyde flt

og krumningskorreksjon k.

Med gitt CL bestemmes angrepsvinkelen a1,

etter (28) og pilhoyden f etter (28 a).

Krumnings-korreksjonen er funnet av fig. 13, som gjelder for 3-bladet propell. Ifolge Strassl [17], vii et

bladav lik starelse

i tillegg ved en 3-bladet

propell oke k med ca. 6 For en 4-bladet med FalF = 0,50, ma k leses av for 3-bladet med FalF = 0,502 = 0,375, og resultatet multipliseres

med 1,06. For finne verdiene for FalF = 0,375 er verdiene for 0,75 og 0,50 ekstrapolert linexrt.

11 x wdv walv v 1-7 rii 0 0,20 0,169 0,150 0,705 53,7° 300 0,254 0,167 0,174 0,620 46,8° 60° 0,40 0,147 0,240 0,449 33,8° 90° 0,60 0,111 0,268 0,317 23,8° 120° 0,80 0,084 0,253 0,243 17,8 150° 0,946 0,058 0,231 0,207 14,8° 180° 1,00 0,053 0,218 0,197 13,9°

9) waft) wito tg fli Pill)=

7rxtgigi 0 0,2 0,124 0,1760 1,35 53,4 0,849 300 0,254 0,160 0,1665 1,05 46,4 0,838 60° 0,4 0,224 0,144 0,660 33,5 0,830 900 0,6 0,264 0,113 0,441 23,8 0,830 120° 0,8 0,244 0,080 0,318 17,65 0,800 150° 0,946 0,207 0,056 0,258 14,5 0,766 180° 1,0 0,188 0,048 0,242 13,7 0,759 70

411

Eagle

NM50 40 30

liallilliiiM.

20 0 _-.4.111111. 10 04 q) x sin G

7.

Cis 11D S _CL 0° 0,2 0 0 0,705 0 0,135 0,1720 0 30° 0,254 0,530 0,0155 0,620 0,0768 0,1575 0,2005 0,383 60° 0,40 0,866 0,02684 0,449 0,09624 0,2025 0,258 0,373 900 0,60 1,00 0,0310 0,317 0,0786 0,259 0,329 0,239 120° 0,80 0,866 0,02684 0,243 0,0522 0,306 0,392 0,1332 150° 0,946 0,50 0,0155 0,207 0,0256 0,285 0,363 0,0705 1800 1,00 0 0 0,197 0 0 0 0 at a a

Tabell 8.

a, = 1,4 CL, PID = nx tg(j9 + al)

1 f

f = 0,06651 . CL, fgeoniii =

4.5. Teoretiske og eksperimentelle verdier for thrust, moment og virkningsgrad.

Thrust og moment er gitt ved de velkjente

f °miler

T -=201 V21 (C L COS 13i-CDsinigi)dr = zi ,iiT dr dr Med disse uttrykk finnes for blad 1 verdien

(PIR)3 ved hver x som vist i tabell 10.

For blad 1 finnes ved numerisk integrasjon:

1

Gdx

abi K _(pR)3 = 0,0281

For de andre bladene beregnes pa samme mate, og den samlede korreksjon pa grunn av de bundne hvirvler blir: (23) ab =0,0281 +0,00182 - 0,0005- 0,0046=0,0248 af finnes av ligning (24)

A-13

4,55 a = -= 0,0794 rad 57,3 57,3

h finnes av fig. 15 nar 0 = 82°. h = 1,18.

Q=zir

1-V2t(CL2 sin fl,-CD cosigi)dr

Tabell 11.

so x CL ill k fgeorali Cl fit-Fa/ PID

0° 0,200 0 0 1,0 0 0 53,7 0,856 30° 0,254 0,383 0,0254 1,0 0,0254 0,55 47,35 0,867 600 0,400 0,373 0,0248 0,965 0,0255 0,52 34,32 0,857 90° 0,600 0,239 0,0159 0,745 0,0213 0,33 24,11 0,844 1200 0,800 0,1332 0,0088 0,54 0,0163 0,19 18,0 0,816 150° 0,946 0,0705 0,0047 0,40 0,0108 0,10 14,9 0,790 1800 1,00 0 13,9 0,778

Blad pc' sin p cos ,11. (1?IR)3 K 1 ₉₀ 1 0 (X2 - 1,4x --1- 0,57)3/2 0,049 2 180 0 - 1 (x2 +0,524 x+ 0,57)3/2 0,115 3 270

-1

0 (x2 +1,4x±0,57)3/2 -0,049 4 360 0 1 (x2-0,524 x+ 0,57)3/2 -0,115 1 -2-- eva 1 1 .

T

01721 _{CD CL} Smi COS 13 i dT -dr dQ . x dr 0,2 0,705. 4 060 0,135₎ 548 0,022 0 0,808. 0,592 _9,7 1,4 0,254 0,620 5 230 0. >1575 824 0;020 0,383 0,729 0,685 204 61 0,4 0,449 10 000 0,2025 2 025 6,014 0,373 0,556 0,831 611 17-2 . 0,6 0,317 20 020 0,259 5 090 0,009 0,239 0,4035 . 0,915 1116 324 0,8 0,243 34 070 0,306 . 10420 0,0075 0,1332 0,305 0,952 1299 406 0,946 0,207 47000 0,285 13 400 0,0075 0,705 . 0,2555 0,9668 893 320 1,0 . 0,197 52.000 0 0. 0 . 0 0,24 o 0 Tabell 10. (P/R)3 dQ = z RIx -dr dr (PIR)3

0,2 0 0,185 0 Antas D = 1 m og n = 101/sek, far mail med

0,254 0,4 0,6 0,0155 0,02684 0,0310 0,156 0,069 0,0265 0,1 dT

=

( -V (2)2. °g x som 0,39 _{V2 beregnes i} 1,17 vi dr dr 0,8 0,02684 0,0265 1,01 tabell 11.

0,946 0,0155 0,0259 0,60 _{e - 102 kg s2 m-4. Verdiene for CD er hentet}

1,0 0 0,069 0 fra [20]. (28b) ao = 0,134 . 0,181 = 0,0243 rad 4.4. Stigningskorreksjon. (26) Pa = Ved x = 0,7 er = 20,5° og tID = 0,285. Benyttes lign. (23 a) og 2 57,3 [ab+a,

(

₁₎

-a01

2 1 +cos213,4-1) sin /3i K (tID = 57,3 (0,0248 + 0,0193 -- 0,0243) Pa = 1,1°

sin p -0,7 cos 13i cos p) 2

fas

Tabell 9. (26a) 1 + (PID)=tg (20,5 + 1,1) 1,06 tg20,5

T og Q finnes ved planimetrering. Herav be-regnes KT= _en2D4 =0,137 KT KQ _on2D5 - 0,0209, n, = 0,655 2KQ

Den beregnede propell ble fremstilt uten kast

og med symmetriske blader. Stigningen var som vist i tabell 8, altsa uten den 6 % stigningsokning som ble funnet i 4.4. Forsoksresultatene viser

ved = 0,2:

KT = 0,135

KQ = 0,0206

?iv = 0,655

Disse resultatene viser at man svxrt rger har

oppfylt grensebetingelsene for propellbladet ved

hjelp av teorien for den bxrende hvirvel, samt

krumningskorreksjonen ved halve korden. Den ideelle propellvirkningsgrad fas

ved a sette

CD = 0 : = 0,775. Det er den samme verdien som finnes for optimalpropellen ved samme

be-lastning. Det viser at den valgte sirkulasjons-fordeling er svmrt nRr den optimale, hvilket be-kreftes av beregninger i [6], [8] og [9].

Konklusjon.

Beregningsmetoden basert pa induksjonsfakto-rene er for arbeidskrevende til bruk ved praktisk

propellkonstruksj on. Metoden gir imidlertid mulig-het for a kontrollere de tilnmrmelser som gjores

nar teorien for optimalpropeller anvendes for wake-propeller (se f. eks. [22] hvis sirkulasjons-teori er a jour til 1950) og propeller med vil-karlig sirkulasjonsfordeling. Resultatet av noen

slike undersokelser ved Skipsmodelltanken viser

at de tilnRrmede metoder er noyaktige nok ved vanlig konstruksjonsarbeid, i de spesielle tilfellene.

Lignende resultater er Morgan og Eckhardt kom-met frem til i [21]. Induksjonsfaktorene er saledes

et meget nyttig redskap for propellforskningen.

Nar det gjelder korreksjonene for tredimensj o-nal stromning i propellen, er situasjonen ikke

fullt sa tilfredsstillende. Det viser seg at

stig-ningskorreksjonen som er vist i 2.2 er noe for stor for normale propeller. I

beregnings-eksemplet 4.4 viste stigningskorreksjonen uvanlig

darlig resultat. Det bor derfor legges vide' e arbeid pa utvikling av en fullstendig teori for

den bmrende flate som propellbladet utgjor. Lisle over de viktigste symboler.

CD = dragkoeffisient. CL = loftkoeffisient. = propelldiarneter.

=

D2, areal av propellskiven. Fa 4 = utfoldet bladareal. dimensjonslos sirkulasjonskon-NDv stant.

I.,It

= induksjonsfaktorer. KQ

=

Q B15122' momentkoeffisient. e

KTthnistkoeffisient.

en2D4, =stigning. = moment. = propellens radius. R. = propellbossets radius. = thrust. V = tilstromningshastighet ved de bxrende hvirvler. profiltykkelse.

= profilmidtlinjens storste ordinat

(pil-hoyde).

= krumningskorreksjon.

1 =kordens lengde i et sylindersnitt.

= omdreiningstall pr. sek.

= sylindersnittets radius.

= aksiell tilstromningshastighet langt

foran propellen.

wa, we, wr = induserte hastighetskomponenter.

x, y, z rettvinldete koordinater, ogsa:

=

punkt pa propellradien,

dimen-sjonslos.

= ordinat langs profilkorden i

sylinder-snitt.

= antall blader.

= vinkler mellom bladet og vann-strommen.

= stigningsvinkel for det uforstyrrede vann. indusert stigningsvinkel. = vinkelordinater, ogs5.: 0,7 D = Arctg (sin 13i 1 = vannets tetthet. = ideell virkningsgrad. = propellvirkningsgrad.

=

v ' hastighetskoeffisient. anD vinkelhastighet. = sirkulasjon. = hastighetspotensial. S, e, 99 og au E' AT R. 3, 1 956 13

LITTERATURLISTE

L. Prandtl og A. Betz: Vier Abhandlungen zur

Hydro-dynamik und Aerodynarnik. Gottingen 1927;

S. Goldstein: On the Vortex Theory of Screw Propel-lers. Proceedings of the Royal Society (London), Series

A, Vol. 63, 1929.

W. P. A. van Larnmeren, L. Troost og J. G. Koning: Resistance, Propulsion and Steering of Ships. H. Stam.

Haarlem. Holland, 1948.

K. E. Schoenherr: Principles of Naval Architecture,

Chapter. III, Vol. II. Redigert av H. E. Roisel and

L. B. Chapman, The Society of Naval Architects and Marine Engineers, N.Y. 1939.

H. W. Lerbs: An Approximate Theory of Heavily

Loaded, Free-running Propellers in the Optimum

Condi-tion. The Society of Naval Architects and Marine

En-gineers, N.Y., 1950.

H. W. Lerbs: Moderately Loaded Propellers with a

Finite Number of Blades and an Arbitrary Distribu-tion of CirculaDistribu-tion. The Society of Naval Architects

and Marine Engineers, N.Y., 1952.

H. W. Lerbs: Propeller Pitch Correction Arising from Lifting Surface effect. David Taylor Model Basin,

Report No. 942.

M. Strscheletzky: Hydrodynarnische GrundLagen zur Bereciuumg der Schiffsschraube. Verlag G. Braun, Karlsruhe, 1950.

R. Guilloton: Considerations sur les Helies, Publica-tions Scientifique et Technique de la Direction Aero-nautique, Paris, 1944.

R. Guilloton: The Calculation of Ship Screws. The

Institution of Naval Architects, London, 1949.

Sxrtrykk av Jeniindustri nr. 2-3, 1956.

Grondahl & Son. Oslo. 4. 56.

A. Lauth: Elementxre Ableittmg der Gescwindigkeit von Kreis- und Schraubenwirbelen. Annalen der

Phy-sik, 1916.

E. Hogner: iner die Wirbeltheorie des

Schrauben-propellers. Annalen der Physik, Bd. 87, 1928.

T. Moriya: Calculation Charts of Induced Velocity

and Calculation Methods of Aearydynamic Characteri-stics of Propellers. Journal of the Society of

Aero-nautical Science of Nippon. Vol. 3, 1936.

S. Kawada: Sur le champ de vitesse induite per les

tourbillons helicoides. Journal of the Society of

Aero-nautical Science of Nippon. VOL 14, 1939.

H. Glauert: Element of Aerofoil & Airscrew Theory. Cambridge Univ. Press, 1948.

H. Ludwieg.og I. Ginzel: Zur Theorie der Breitblatt-schraube. Aerodynamische Versuchsanstalt, Gottingen.

Bericht 44/A/08 1944.

H. Strassl: Wolbungskorrekturen filr Schiffschrauben-profile. MAP, Volkenrode, Ref. MAP-VG90-T, 1945.

I. H. Abott, A. E. von Doenhoff, og L. S. Stivers: Summary of Airfoil Data. NACA; Report No. 824. I. H. Abott og A. E. von Doenhoff: Theory of Wing

Sections. McGraw Hill Book Co. 1949.

K. Loftin, jr.: Theoretical and Experimental Data for

a Number of NACA 6A- Series Airfoil Sections. NACA Rep. 903, 1948.

M. K. Eckhardt og W. B. Morgan: A Propeller Design Method. The Society of Naval Architects and Marine

Engineers, 1955.

E. Abrahamsen: Utkastberegninger for skipspropeller. Skipsteknisk Forskningsinstitutt, Rapport R-16, 1955.