Liczby zespolone

Algebra

Liczby Zespolone

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

Liczby Zespolone

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Motywacja

• x2 + 1 = 0 • Ciało P = ( a b −b a ! ) • P _{⊃ { λI|λ ∈} R_{} ∼=} R • J = 0 1 −1 0 ! ∈ P_{, J}2 _{+ 1 = 0}

Płaszczyzna liczb zespolonych

• C _{= { (a, b) } =} R2 • (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) • _{(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)} • _{(a, b) ↔} a b −b a ! • z = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + iy • x = re z, y = im z Algebra – p. 4

Sprz ˛e˙zenie

• _{z 7→ ¯z = x − iy} ◦ (¯z) = z ◦ _{im z = 0 ⇐⇒ ¯z = z} ◦ z₁ + z₂ = ¯z₁ + ¯z₂ ◦ z₁z₂ = ¯z_{1 · ¯z2} ◦ im(z + ¯z) = 0 ◦ _{im(z · ¯z) = 0}

Sens geometryczny dodawania i mno˙zenia

• We współrz ˛ednych biegunowych z = (r, ϕ)

◦ _{r = |z| =} √z ¯z = px2 + y2

◦ _{ϕ = arg z}

◦ posta´c trygonometryczna: z = r(cos ϕ + i sin ϕ)

• _|z1 + z_2| 6 |z₁| + |z₂| • _|z1z_{2| = |z1||z2|}

• arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂

• _|z1/z_{2| = |z1|/|z2|}

• arg(z1/z2) = arg z1 − arg z2

Wzór Moivre’a

• (r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn(cos nϕ + i sin nϕ)

Twierdzenie 1. n √ z = pn |z|  cos ϕ + 2πk n + i sin ϕ + 2πk n  , gdzie k = 0, . . . , n − 1 Wniosek 2. n √ 1 = ε_k = cos 2πk n + i sin 2πk n , gdzie k = 0, . . . , n − 1

Posta´c wykładnicza liczb zespolonych

• Wzór Eulera eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ

◦ cos ϕ = eiϕ+e−iϕ

2

◦ sin ϕ = eiϕ−e−iϕ

2i • _{z = |z|e}iφ • z₁z_{2 = |z1||z2|e}i(φ1+φ2) • zn _{= |z|}neinφ • √n z = pn |z|eiϕ+2πkn , gdzie k = 0, . . . , n − 1 • √n 1 = εk = ei 2πk n , gdzie k = 0, . . . , n − 1 Algebra – p. 8

Zasadnicze twierdzenie algebry

Twierdzenie 3. _{Ka˙zdy wielomian zespolony stopnia} n > 0 _{ma dokładnie} n

pierwiastków zespolonych (ka˙zdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotno´s´c).

Przykład. Równanie trzeciego stopnia

• z3 + a₂z2 + a₁x + a₀ = 0 • _{z = x −} 1 3a2 ⇒ x3 + px + q = 0 • Wyró˙znik: ∆ = (x_{1 − x2})(x_{1 − x3})(x_{2 − x3})
2 _{= −4p}3 _{− 27q}3 • Pierwiastki z jedynki: _{ε = −}1₂ + √₂3i, ε2 _{= −}1_{2 −} √₂3i • (x₁ + εx₂ + ε2x₃)3 _{= −}27₂ q + 3√₂3i√∆ • (x₁ + ε2x₂ + εx₃)3 _{= −}27_{2 q −} 3√₂3i√∆ • x₁ + x₂ + x₃ = 0 • Wzory Cardano: x1 = 3 q −₂q − i√∆ + 3 q −q₂ + i√∆ Algebra – p. 10

Zastosowanie w elektrotechnice

• W elektrotechince stosowane jest inne oznaczenie: j = √₋₁

• Przez i oznaczana jest warto´s´c chwilowa nat ˛e˙zenia pr ˛adu zmiennego

• Funkcja symboliczna przebiegu pr ˛adu

i napi ˛ecia: A(t) = Amejωt (ω = 2πf — pulsacja)

• Mno˙zenie przez jednostk˛e urojon ˛a j odpowiada obrotowi o 90◦