Fale mechaniczne

(1)

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

fizyka1.html

Wykład FIZYKA I

11. Fale mechaniczne

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

(2)

FALA



Falą

nazywamy

każde

rozprzestrzeniające

się

(rozchodzące się w przestrzeni) zaburzenie [odkształcenie,

drganie].

 Fale przenoszą energię, ale nie transportują materii.

 Fale mogą rozchodzić się w ośrodkach materialnych (i związane są wtedy ze zmianą parametrów tego ośrodka, takich jak np. ciśnienie i gęstość w przypadku fali akustycznej w powietrzu) ale mogą też nie potrzebować ośrodka materialnego do propagacji (fale elektromagnetyczne).

Drgania: x(t)

Fale: y(x,t)

 Rodzaje fal:

- fale mechaniczne;

- fale elektromagnetyczne; - fale materii (cząstki).

(3)

FALA



Fala poprzeczna – gdy drgania zachodzą w kierunku prostopadłym do

kierunku rozchodzenia się fali.



Fala podłużna – gdy drgania zachodzą w kierunku równoległym do

kierunku rozchodzenia się fali.

Równanie falowe:

2

1 t

v

r















Rozwiązanie ogólne: dowolna funkcja

(4)

FALA



Przykłady rozwiązań równania falowego:

 Fala harmoniczna:



t

kx



A

x

T

t

A

v

x

t

A















 













 













cos

2 cos

cos

 Fala płaska:





_A

_exp





_i



_t



_exp





_i

_k





_r





 Fala kulista:

 

i

t



i

k

r



r

A











exp



exp

Ale nie są to przykłady fal! W sensie podania konkretnych przykładów fizycznych fal, obserwowanych na co dzień!

(5)

FALA

dla dowolnej, ustalonej wartości t:

 





_











_



y

x

vt

t

x

y





2 cos

,

₀



Przykład: fala biegnąca









_











_









x

y

const

t

x

y

,

₀

cos

2

- to długość fali (odległość między powtarzającymi się fragmentami fali, np. „grzbietami”);

- prędkość przesuwania się „grzbietu” fali, czyli prędkość fazowa fali;



v

(6)

FALA



Wielkości opisujące falę:

- Związki między prędkością, okresem i długością fali:







2 



f

T

v

- okres fali; - częstość kołowa; - częstotliwość;

T



f

- Liczba falowa (wektor falowy):





2 

k

- Prędkość fazowa:

k

(7)

FALA STOJĄCA

Zakładamy odbicie fali harmonicznej od granicy ośrodków ze skokiem fazy równym  radianów:

T

t

x

A

x

T

t

A

x

T

t

A

y















2 cos

2 sin

2

2 sin













 













 



Równanie to przedstawia tzw. falę stojącą – taki rodzaj drgań ośrodka, który charakteryzuje się regularnym występowaniem na przemian miejsc, gdzie amplituda drgań jest równa zeru (węzły) i gdzie jest maksymalna -równa 2A (strzałki).

(8)

FALA STOJĄCA

Generowanie fal stojących:

 Przykład: płaska, prostokątna membrana o bokach a i b – można na niej wzbudzić falę stojącą tylko taką, która opowiada ułożeniu się na każdej krawędzi całkowitej wielokrotności połowy odpowiadającej jej długości fali – figury Chladniego.

(9)

NAKŁADANIE SIĘ FAL



Nakładamy na siebie dwie fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i

zbliżonych częstotliwościach



₁

i



₂

:

 

t

a



t

kx



a



t

kx



y



cos



₁





cos



₂





Jako falę wypadkową otrzymujemy:

 

t

a



 

t





t

kx



y



2 cos





cos





gdzie:





₁



₂



2

(10)

NAKŁADANIE SIĘ FAL

to funkcja modulująca (obwiednia) [zakładamy, że częstości różnią się nieznacznie]

2 a

cos



 





t



(11)

NAKŁADANIE SIĘ FAL

– PACZKA FALOWA



„Dokładamy” trzecią falę o częstości



i amplitudzie

2 a

:

(12)

NAKŁADANIE SIĘ FAL

– PACZKA FALOWA



Nieskończona liczba fal o względnych amplitudach danych funkcją

Gaussa:

 





 



_















₂2

2 exp



G

jest odchyleniem standardowym – tu: rozrzut częstości





 Suma nieskończonej ilości fal sinusoidalnych będzie wtedy dana funkcją:

   



t



 

t

d

t

G



cos

1

2 exp

cos

₂ 2





















(13)

NAKŁADANIE SIĘ FAL

– PACZKA FALOWA

   



t



 

t d t G



cos 1 2 exp cos ₂ 2         



 Odchylenie standardowe tego rozkładu: nazywane jest szerokością paczki fal.



t



1 



(14)

NAKŁADANIE SIĘ FAL

– PACZKA FALOWA



Nakładamy na siebie dwie rozchodzące się w przestrzeni fale

harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach

i

oraz zbliżonych liczbach falowych

i

:

1



₂

k

₁

k

₂

 

x

t

a



t

k

x



a



t

k

x



y

,



cos



₁



₁



cos



₂



₂



Jako falę wypadkową otrzymujemy:

 

t

a



 

t

kx

 

t

k

x



y



2 cos









cos









₁



₂



2 





gdzie:





₁



₂



2 









k

₁

k

₂



2 k







k





k

₁



k

₂



2

(15)

NAKŁADANIE SIĘ FAL –

PRĘDKOŚĆ PACZKI FALOWEJ



Funkcja modulująca jest teraz równa

:

₂

_a

_cos



 





_t





_kx



i ma ona maksimum dla:



 





t





kx





0 a stąd otrzymujemy:

k

t

x







(16)

NAKŁADANIE SIĘ FAL

– PACZKA FALOWA



Prędkość grupowa

_v

_g

– prędkość rozchodzenia się paczki fal

sinusoidalnych o zbliżonych częstościach (prędkość „grzbietu”

obwiedni):

dk

d

v

_g







Prędkość fazowa

_v

_f

- prędkość rozchodzenia się stałej fazy (każdej fali

składowej osobno):

i i f

k

v





(17)

FALE AKUSTYCZNE



Jest to rodzaj fal sprężystych – rozchodzących się w ciągłym ośrodku

materialnym odkształceń objętościowych lub odkształceń postaci (w

ciałach stałych).



Fale akustyczne w powietrzu są przykładem fal podłużnych,

polegających na rozchodzeniu się zagęszczeń i rozrzedzeń powietrza.

 Założenia:

• lokalny ruch cząsteczek powoduje zmianę gęstości gazu; • zmiana gęstości jest równoważna zmianie ciśnienia gazu;

(18)

FALE AKUSTYCZNE



Równanie falowe dla fali dźwiękowej w powietrzu:

2 2 2 2

x

f

t

f







_

0 2 p p

p

v























gdzie: - gęstość



Po wykorzystaniu prawa Hooke’a i równania Clapeyrona:





B

v



gdzie:_{(moduł ściśliwości)}

V

p

B







(19)

FALE AKUSTYCZNE



Natężenie fali dźwiękowej:

- szybkość przenoszenia energii (moc);

P

m

s

- amplituda fali; 2 2

2

1

m

s

v

S

P

I







 Ludzkie ucho odbiera dźwięk o amplitudzie od 10-5 _{m do 10}-11 _{m, czyli}

stosunek natężeń dla tych dwóch granic wynosi 1012 _{! Stąd zamiast natężenia}

fali dźwiękowej używa się głośności dźwięku 

2 12 0 10 W m I  





0

log

10 I

I

dB



