H E T TEMPERATUURSVERLOOP IN KOELRIBBEN EN DE BEREKENING DEZER RIBBEN
HET TEMPERATUURSVERLOOP IN
KOELRIBBEN EN DE BEREKENING
DEZER RIBBEN
PROEFSCHRIFT, TER VERKRIJGING
VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN
DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN
DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL TE
DELFT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR
MAGNIFICUS, DR. ING. IR. H. S. HALLO,
HOOGLEERAAR IN DE AFDEELING
DER ELECTROTECHNIEK, VOOR EEN
COMMISSIE UIT DEN SENAAT TE
V E R D E D I G E N OP DONDERDAG 25
SEPTEMBER 1930, DES NAMIDDAGS TE
3 UUR, DOOR
C H A R L E S P H I L I P P E M A R I E M A T H I J S B O G A E R T S WERKTUIGKUNDIG INGENIEUR
Ie LUITENANT DER INFANTERIE (VLIEGENIER) N.I.L.
GEBOREN TE BREDA
NAAMLOOZE VENNOOTSCHAP-W. D. MEINEMA, DELFT
V\-Aan mijne Vrouw
Hooggeleerde MEYER, Hooggeachte Promotor, aan U wil ik
in de eerste plaats een woord richten van grooten dank voor Uwe leiding bij mijn studie en bij het opstellen van mijn proefschrift. Vooral voor de moeite, die U zich in den laatsten tijd heeft getroost zal ik U steeds zeer erkentelijk blijven.
Welgemeende woorden van dank zijn reeds vele malen aan U, Hooggeleerde BURGERS, Hooggeachte Promotor, in menig proefschrift geuit. Ik sluit mij hierbij volkomen aan, want niet alleen Uwe hoogstaande wetenschappelijke leiding was voor mij van onschatbare waarde, ook Uw opvoedend voorbeeld heeft een diepen indruk bij mij achtergelaten.
Verder grijp ik deze gelegenheid gaarne aan om allen te danken, die bij het tot stand komen van de verschillende mijl-palen in mijn leven hebben medegewerkt.
U, captain BAKER, voor Uwe opleiding tot mijn militair vliegbrevet; niet minder U, Hoofdingenieur VREEBURG, voor de eerste grondslagen mijner technische vorming.
Ook Zijne Excellentie den Luitenant-Generaal b.d. GERTH
VAN WIJK, alsmede Kolonel HOEKSEMA DE GROOT en Overste
ScHULMAN, ben ik zeer erkentelijk.
Voor de samenstelling van dit proefschrift ben ik bijzonderen dank verschuldigd aan U, Zeergeleerde KOCH en Zeergeleerde
VAN DER HEGGE ZIJNEN. Bij den opzet van mijn proeven is U,
Ir. NijENHUis, mij buitengewoon tegemoet gekomen, terwijl velen van het personeel van de Technische Hoogeschool mij zeer behulpzaam zijn geweest, speciaal de Heeren BOLSTERLEE en VAN DER BEEK.
INHOUD.
INLEIDING 11 HOOFDSTUK I.
Vergelijking tusschen lucht- en waterkoeling . . 13 1. De invloed van beide koelsystemen op de
cylinder-wandtemperatuur . . . 13
2. De voor- en nadeelen 17 HOOFDSTUK II.
Het theoretische temperatuursverloop . . . . 20 HOOFDSTUK III.
Iteratiemethode, toegepast op de berekening van
het temperatuursverloop . . . 26
1. Algemeene formuleering . 26
2. Voorbeelden 29 3. Toepassing van de iteratiemethode ter bepaling van
den invloed eener verandering van de ribtopdikte 33 HOOFDSTUK IV.
Vergelijking tusschen exacte berekening en
be-nadering 37 HOOFDSTUK V.
Nadere beschouwing van den invloed van het
ribprofiel op de koeling 42 HOOFDSTUK VL
Het ontwerpen van koelribben . . . 52 1. Koelrib bij gegeven Q en to . . . 52 2. Koelrib, waarbij q /F een constante waarde heeft 56
3. Koelribben met constante intensiteit der
warmte-strooming 59
a. Samenstelling van de Q-lijn 61
6. Samenstelling van de d-(ribdikte)lijn 63 c. Gebruik van de Q- en d-lijnen 68
d. Keuze van een koelrib 69
4. Voorbeelden van koelribben, berekend volgens
§ 3 van dit hoofdstuk ^ . . . 75
a. Een viertakt automobielmotor ' . . . . 77
6. Een viertakt motor voor een rijwiel 79
c. Een stervormige vliegtuigmotor, 80 pk 79 d. Een stervormige vliegtuigmotor, 500 pk 81
HOOFDSTUK VIL
Experimenteele bepaling van het
temperatuurs-verloop bij koelribben 82 1. Beproevingsinstallatie 82 2. Meetmethode 85 3. Beproevingsresultaten 88 4. Isothermen . 91 5. De waarde van a . . . . 91
6. Beproevingen aan een Gnóme et Rhóne-Jupiter
cylinder 96 7. Ontwerp en experimenteel onderzoek van koelribben 98
a. Aluminium koelrib 98
6. IJzeren koelrib 101
HOOFDSTUK V U L
Grootte en richting van het snelheidsveld . . . 102
SAMENVATTING 108
NOTATIES 110 LITERATUUR 112
INLEIDING.
Luchtgekoelde stervormige vliegtuigmotoren staan heden in het middelpunt van de belangstelling; de koeling en de krukas baren den constructeur echter nog vele zorgen en het is niet te veel gezegd, dat de verdere ontwikkeling dezer motoren door deze twee factoren geremd wordt.
Op de cylinders der bovengenoemde motoren worden bijna uitsluitend koelribben met trapeziumvormig profiel toegepast. De keuze der afmetingen hangt echter geheel af van de inzichten van den constructeur, vooral omtrent de cylinderwandtem-peratuur welke hij meent toe te kunnen staan. Het zou van groot belang zijn, wanneer over een rekenmethode beschikt kon worden, die toeliet op eenvoudige, nauwkeurige en toch snelle wijze te kunnen nagaan, welke gevolgen een wijziging van de afmetingen of van het materiaal der koelrib met zich mede brengt.
Nu is een exacte theoretische berekening, gebaseerd op de differentiaalvergelijking voor de warmtegeleiding te bewer-kelijk, in het bijzonder, wanneer men nog rekening zou willen houden met de variatie van den geleidings- en overgangs-coëfficiënt. Met het oog daarop is een iteratiemethode ont-wikkeld, met behulp waarvan het mogelijk is voor elke wille-keurige rib het temperatuursverloop met iedere gewenschte graad van nauwkeurigheid te bepalen en den invloed van allerlei wijzigingen na te gaan. Conclusies over koelribben met een trapeziumvormig profiel op cylinders behoeven niet verder te berusten op gissingen, doch kunnen nauwkeurig worden gefundeerd.
Proeven met motorcylinders zijn door mij te Parijs en Delft verricht, terwijl daarnaast proeven met modelkoelribben in het Laboratorium voor Werktuigbouwkunde en het Aero- en
Hydrodynamisch Laboratorium van de Technische Hooge-school te Delft hebben plaats gevonden.
De proeven hadden ten doel, het verloop van de temperatuur op de koelribben langs experimenteelen weg te bepalen. Daartoe is een meetmethode uitgewerkt, welke ons in staat stelt ora met behulp van thermo-elementen ook in een sterken lucht-stroom temperaturen nauwkeurig te kunnen meten, zelfs op ribben van minder dan ^ mm dik.
Voorts is het gelukt een beproevingsinstallatie te maken, waarmede het mogelijk is langs electrischen weg een voldoende hoeveelheid calorieën aan de koelribben toe te voeren, om nog in den sterksten luchtstroom temperaturen te bereiken, welke met de practijk overeenstemmen. De electrische toevoer van energie heeft het voordeel van nauwkeurig meetbaar te zijn, gemakkelijk te regelen en minimum brandgevaar op te leveren. Dit laatste is vooral van belang, als de proeven plaats hebben in een windtunnel, welke gewoonlijk geheel of ge-deeltelijk van hout is vervaardigd.
Op grond van de experimenteele uitkomsten was het mogelijk isothermen op de koelribben te teekenen, wat een controle op de waarnemingen in verschillende radiale richtingen in-gevoerd, mogelijk maakte.
De benaderingsmethode stelt ons thans in staat, uit de experimenteele temperatuurskrommen de waarde van den warmte-overgangscoëfficiënt van rib op lucht in alle punten van de rib te berekenen.
Gebaseerd op de resultaten uit de theorie en het experiment is verder de gang van de ribberekening aangegeven bij ver-schillende uitgangspunten, waarbij ook de overgangscoëfficiënt a en de warmte-geleidingscoëfficiënt A variabel zijn genomen. Wanneer uit deze berekening een ribprofiel te voorschijn komt, dat voor de bewerking moeilijkheden oplevert, dan kan men dit gewoonlijk door een eenvoudiger profiel benaderen; een berekening van het temperatuursverloop in dit nieuwe profiel maakt het dan mogelijk te beoordeelen of dit laatste nog op bevredigende wijze aan de vooropgestelde eischen beantwoordt.
HOOFDSTUK I.
Vergelijking tusschen lucht- en waterkoeling.
Bij de vergelijking van lucht- en waterkoeling zullen twee factoren onderscheiden worden:
1. De invloed van beide koelsystemen op de cylinder-wandtemperatuur.
2. De voor- en nadeelen.
1. De invloed van beide koelsystemen op de cylinderwand-temperatuur.
In het algemeen kan aangenomen worden, dat de temperatuur van den cylinderbuitenwand in een stationnairen toestand verkeert en niet beïnvloed wordt door de temperatuurs-fluctuaties, welke een gevolg zijn van de periodiciteit van het arbeidsproces.
Daar de diepte, tot waar deze fluctuaties doordringen slechts enkele millimeters bedraagt, mag de voettemperatuur der rib als onafhankelijk van den tijd worden aangenomen.
EICHEL-BERG en NAGEL geven hier uitgebreide gegevens over in
Forschungsheft 300 (1), terwijl ook de Tohoku Imperial University in Tokio in 1925 hierover een artikel liet ver-schijnen, waarbij ook de temperatuurspanningen in den cylinderwand zijn beschouwd (2).
De invloed van de koeling op de cylinderwandtemperatuur volgt uit de bekende vergelijking:
Q = k.F(ti — t s h ,
waarin de letters de volgende beteekenis hebben: I K + l/A/d + l/a^' I K + l/A/d + l / a / ai = overgangscoëfficiënt van gas op wand.
Oa' = overgangscoëfficiënt van wand op water. og" = overgangscoëfficiënt van wand op lucht. X = warmte-geleidingscoëfficiënt.
k = warmte-doorgangscoëfficiënt. tj = temperatuur van het gas. tg = wandtemperatuur.
ts = temperatuur van het koelmedium.
F = het beschouwde oppervlak van den cylinderwand. d = dikte van dezen wand.
T = tijd.
Voorloopig wordt aangenomen, dat de cylinderwandtem-peratuur geen invloed heeft op den warmte-overgangscoëffi-ciënt «1 tusschen gas en wand.
Verder wordt zoowel bij waterkoeling als bij luchtkoeling 1/A/d verwaarloosd. Dit is een vereenvoudiging, welke zelfs bij cylinders met vrij dikke wanden mag worden toegestaan; zeker is zij toelaatbaar bij cylinders met een wanddikte van 2 tot 4 mm.
Daar Oj' > > Oj, zal bij waterkoeling de hoeveelheid warmte Q hoofdzakelijk afhangen van Oj.
De betrekking wordt dan:
k = Oi, Q = ai.F(ti — t3)r.
Bij luchtkoeling is echter l/og" niet te verwaarloozen, zoodat*):
^ = l/a, + l / a /
'^"^-De coëfficiënt k zal bij luchtkoeling dus kleiner worden dan bij waterkoeling. Om toch dezelfde hoeveelheid warmte af te voeren, kunnen we F vergrooten en zoo noodig een hoogere wandtemperatuur toelaten.
De invloed van de cylinderwandtemperatuur op den over-gangscoëfficiënt «1 is niet groot.
Een indruk van de grootte van dezen invloed geeft de empirische formule van NUSSELT (3).
') Men vergelijke voor deze beschouwing bijv.: Gesundheits-Ingenieur 1925 (4) en „Der Warmeübergang an Kühlrippen." 1929 (5).
a, = Ou + a. =
0,99 ^p2.ti (1 + 1,24 co) + 0,362
[(iLy./M'l
LllOO/ \ 1 0 0 / J kcal Ti —Ta m%°c' De invloed van de wandtemperatuur op a^ geeft NUSSELT
in een duidelijke graphiek t. a. p. op blz. 78 fig. 15. In het eerste begin van de expansie, bij een wandtemperatuur van 325° C en een gastemperatuur van 2000° C, is a^ ten hoogste 41 kcal/m^ h °C, om daarna bij daling van de uitlaatgas-temperatuur af te nemen tot 5 è 2,5.
De term a^, wordt door de stijging van Tj indirect beïnvloed, omdat deze laatste de temperatuur van het aangezogen gas verhoogt; daar echter hierdoor tevens p verlaagd wordt, is de totale verandering van a^^ gering.
Daar de gemiddelde waarde van den overgangscoëfficiënt gedurende de vier takten van de grootte-orde 500 is, blijkt dat de invloed van de verandering van de wandtemperatuur niet noemenswaard merkbaar is.
De hooge cylinderwandtemperaturen bij luchtkoeling hebben vérstrekkende gevolgen.
Enkele gegevens hieromtrent staan in Motorluftschiffahrt (6). Hier is de invloed aangegeven van de cylinderwandtemperatuur op het volumetrisch nuttig effect (^J, den gemiddelden effectieven druk (pj en het benzineverbruik (b) (t. a. p. fig. 24 en 25).
De verandering van p^ en b is een gevolg van de ver-mindering van r]^. Wordt een kromme geteekend, die het verband neerlegt tusschen rj^ en tj, dan is deze slechts geldig voor één enkel cylinder-type onder speciale omstandigheden, daar rj^ van vele factoren afhankelijk is. Enkele hiervan zijn nader beschouwd door BAWLY (7), als: aanzuiginrichting,
compressieverhouding, tegendruk in de uitlaat, kleppenaf-stelling en aantal, enz.
De vullingsgraad welke normaal circa 88% bedraagt, zal bij een cyhnderwandtemperatuur van 320° C dalen tot circa 68%.
De invloed van de hooge cylinderwandtemperatuur doet zich ook gelden op het mechanisch nuttig effect.
Het smeervermogen van olie wordt door vermindering van de viscositeit zeer ongunstig beïnvloed. Bij de bestudeering van de technische rapporten van de „Engineering Division, Vacuum Oil Company" (8), ziet men dat hooge cylinderwand-en zuigertemperaturcylinderwand-en te hooge eischcylinderwand-en aan onze smeerolie gaan stellen. Van deze noodzakelijke eischen waaraan olie moet voldoen, zij slechts genoemd de hulp, welke de olie moet bieden bij de afdichting van de zuigerveeren.
Over dit onderwerp zijn meer uitgebreide gegevens te putten uit „Reports and Memoranda No. 931" (9); vooral is t. a. p. fig. 4 van belang, waaruit valt te concludeeren dat met toeneming van den druk, gecombineerd met stijging van de temperatuur, het mechanisch nuttig effect nadeelig wordt beïnvloed.
Lubrication (10) bevat een beschouwing over „Air Cooling" en „Relation of Viscosity to Temperature", waarin men tot de conclusie komt dat „modern engine conditions require higher viscosity", want de hooge cylinderwandtemperaturen leiden tot te dun vloeibare olie.
In het begin worden alleen de cylinderwanden en zuiger-veeren door te dunne olie beïnvloed, een gevolg van te hooge temperatuur en drukken. Later dringt door middel van de olie, .de hooge temperatuur door tot in den motor en worden ook de lagers aangetast.
De Temperatuur-Viscositeit-graphiek laat zien aan welke hooge eischen de olie op 150° C moet voldoen.
Voorts leiden de plaatselijke hooge temperaturen tot zelf-ontsteking. Op dit verschijnsel wordt o. a. door het Fransche Luchtvaart Ministerie zeer streng gelet; te Parijs zijn door mij proeven genomen met luchtgekoelde motoren, welke eenige minuten na het verbreken van het contact bleven doorloopen.
Het is mij bovendien uit proeven gebleken dat de tempe-ratuursverdeeling op den cylinderwand verre van gelijkmatig is; dit werkt het optreden van detonaties in de hand,
ten-gevolge waarvan de compressieverhouding niet zoo hoog is op te voeren. Het thermisch nuttig effect blijft daardoor lager. Eveneens zijn een aantal proeven genomen zoowel met luchtgekoelde als met watergekoelde motoren, om den invloed na te gaan, welke bij onveranderd vermogen, een verwisseling van de schroef t. o. v. een met een ander profiel en toerental, had op de temperatuur van den cylinderwand. De bedoeling was daarbij met behulp van een wijziging van den slipstroom een verandering in de cylinderwandtemperatuur of koelwater-uittreetemperatuur te krijgen. De invloed bleek echter niet van practische beteekenis te zijn. De temperaturen werden met behulp van een, als thermo-element uitgevoerden bougie-ring gemeten. Toepassing van verschillende oliesoorten voor de smering van den cylinderwand had evenmin grooten invloed (11). Van meer beteekenis op genoemde temperatuur bleek een wijziging van de mengverhouding van benzine tot lucht en die van benzine tot benzol (12).
Eveneens heb ik aandacht besteed aan de afhankelijkheid tusschen motorvermogen en neiging tot zelfontsteking, deto-natie en cylinderwandtemperaturen en ben tot de conclusie gekomen, dat uiterlijk tot 300 pk, bij luchtgekoelde motoren met 7 of meer radiale cylinders, het geheele arbeidsproces een normaal karakter blijft dragen, terwijl daarboven, of bij gebruik van slechts 5 cylinders reeds eerder, het proces meer geforceerd wordt; de door de koelribben afgevoerde hoeveelheid warmte blijft vrijwel constant en de eischen aan olie, olie-circulatie en olie-koeling nemen sterk toe. Dit verschijnsel doet zich ook voor, doch minder sterk bij watergekoelde motoren.
2. De voor- en nadeelen.
Bij de beoordeeling van de waarde van elk voor- of nadeel moeten ook de civiele en militaire eischen betrokken worden. Waar voor verkeersvliegtuigen bedrijfszekerheid, levensduur en economie een rol spelen, is het vooral trefbaarheid, gewicht per pk en maximum vermogen, die voor militaire toestellen van speciaal belang zijn.
kvJet<)-Waterkoeling staat betere koeling toe onder ruimere ver-anderingen; de lagere wandtemperatuur heeft, zooals reeds is opgemerkt, invloed op de economie en het maximaal be-schikbare motorvermogen, vooral bij toepassing van druk-vulling.
In verband met de voor- en nadeelen van „air-cooled engines" en „jacketed cylinder engines", onder welke laatste ook watergekoelde behooren, is het interessant een beschouwing van ROLLS-ROYCE (13) te vergelijken met eenige artikelen uit „The Times Trade and Engineering Supplement." (14). Dat de eerstgenoemde beschouwing wel eenzijdig zou zijn, was te verwachten, gezien de herkomst van het artikel.
Uit The Times neem ik de volgende voordeelen van lucht-gekoelde motoren over:
1) Reduction in the working weight of the power plant installation by an amount up to 33 per cent., with conse-quent improvement in performance, or in the pay load of the machine.
2) Simplification of manufacture, installation and main-tenance owing to the absence of water-jacket, radiator, water, and piping, which have been responsible for a considerable percentage of breakdowns, and the removal of attendant troubles due to corrosion, &c. In some countries the transport of water is as difficult as that of fuel.
3) A wider range of temperature operating conditions, resulting in a quicker warming up period in cold climates, and freedom from evaporation troubles in hot climates.
Als nadeel van luchtgekoelde motoren tegenover de water-gekoelde, kan vermeld worden de grootere kopweerstand, doch ook hieraan komt men tegenwoordig tegemoet, door toepassing van den „TOWNEND ring" en van de drukvulling welke den benoodigden motordiameter reduceert. De druk-vulling is speciaal op radiaal luchtgekoelde motoren eenvoudig in te bouwen. Het iets hoogere benzineverbruik, zooals op de proefbank of zeker in een laboratorium naar voren komt, behoeft niet als nadeel te gelden van luchtgekoelde motoren.
Conclusie.
Uit het bovenstaande mag geconcludeerd worden, dat de luchtkoeling een grens stelt voor het vermogen, dat per cylinder door den motor geleverd kan worden, tenzij bizondere hulpmiddelen als drukvulling en dergelijke worden aangewend. Het blijkt uit de practijk dat de cylinderwandtemperatuur een remmenden factor vormt voor de verdere ontwikkeling van de luchtgekoelde motoren.
Bij het zoeken naar middelen om met luchtgekoelde motoren tot betere prestaties te komen, zijn twee methodes te volgen: 1) de directe methode, d.w.z. verbetering van de koeling door geschiktste bepaling van het koelribprofiel.
2) de indirecte methode, door vermindering van den motorweerstand met bijv. den ring van TOWNEND of zooals beschreven staat in N.A.C.A. Report 314 (15).
Ofschoon het verrichte onderzoek in hoofdzaak betrekking heeft op het probleem, gunstige koelribprofielen te vinden, zoo zijn door mij toch ook in de richting der indirecte methode verschillende proeven genomen. Ik heb getracht den cylinder-weerstand te verminderen door de achterzijde van den cylinder zoodanig in te richten, dat de cylinder op de achterzijde een druppelvormige doorsnede kreeg (zie fig. 36 tegenover blz. 85).
De beproevingsresultaten zijn echter niet zóó gunstig geweest, dat daarop practische toepassingen konden worden opgebouwd. Wel is mij gebleken dat de temperatuur aan de achterzijde van den cylinder, welke nu geheel is dichtgemaakt, aanmerkelijk oploopt.
HOOFDSTUK II.
Het theoretische temperatuursverloop.
Bij de opstelling der differentiaalvergelijking voor de warmte-geleiding, worden gewoonlijk de volgende vereenvoudigende veronderstellingen ingevoerd:1) De hoeveelheid warmte, die per tijdseenheid van de rib op de lucht overgaat, wordt evenredig gesteld met het temperatuursverschil tusschen het metaal en de lucht.
2) De warmte-overgangscoëfficiënt wordt constant geno-men over de geheele rib.
3) Alleen symmetrische ribben worden behandeld. 4) De temperaturen worden als stationnair beschouwd. Veronderstelling 1), 3) en 4) kunnen aanvaard worden, maar 2) omvat de onafhankelijkheid van a van de snelheid. Deze onderstelling is ingevoerd om de differentiaalvergelijking te kunnen integreeren; zij is echter niet zeer bevredigend. In N.A.C.A. Report No. 158 (16) staat op pag. 5, dat a normaal niet meer dan 10 k 15% zal varieeren, waarmede ik mij echter, gezien mijn eigen experimenteele resultaten, niet geheel kan vereenigen *). Bij de oplossing van het probleem met bijv. de iteratiemethode, is deze onderstelling overbodig, daar we dan in staat zijn a bij eiken stap te veranderen.
Bij de opstelling van de differentiaalvergelijking voor het meest eenvoudige geval, n.l. een rechthoekige rib op een vlakke plaat, zullen we veronderstellen dat de temperatuur over de ribdikte constant is. De afleiding geschiedt dan als volgt:
Door een oppervlak f^ op een afstand x van den cylinder-wand gaat de hoeveelheid warmte:
^ ' = ^ ^ ' d ^
waarin X de warmte-geleidingscoëfficiënt en t de temperatuur beteekent boven de omgeving.
Door een oppervlak fa op een afstand x + zlx gaat:
'ï^^^^'U-d^^^,
In het beschouwde geval is: fX = f2 = f.
Maar q^ — qa is ook de warmte welke van het riboppervlak tusschen fi en fa aan de buitenlucht is afgestaan, of in het algemeen is weggevloeid. Men heeft dus:
qi — qa = 2a 11 .dx
(1 = de lengte van het beschouwde stuk), waaruit:
d^t 2a 1 2a ,^ ^ , ^^
d^ = Tf *=Id*('^^^'^' = ^'^^
Hieruit volgt:— = a^t m e t a = \ — De oplossing van deze vergelijking luidt:
t = A cosh a(x — B).
We onderstellen dat de temperatuur aan het eene einde van de rib, waar deze op de vlakke plaat is bevestigd, de gegeven waarde to bezit. Aan den top moet de warmtestroom nul worden. Dit leidt tot de randvoorwaarden :
^ - 0 x = b dx
t = to X = O Ingevoerd geeft dit:
t = to cosh a(x — b) /cosh ab.
De afgegeven hoeveelheid warmte per tijdseenheid en per rib wordt nu:
b Q = 2 ƒ a t dx o ^ 2a Q = — tp tanh ab. a
Was de geheele rib op een temperatuur to, dan zou de warmteafgifte geweest zijn:
Qo = 2a to b.
Als koeleffect wordt gedefinieerd de verhouding: Q tanh ab
Qo a b
Aan de oplossing der differentiaalvergelijking moeten eenige correcties worden toegepast, welke uitvoerig beschreven staan in meergenoemd Report No. 158 (16).
We nemen hier de correctie voor den ribtop over. Bij rib-profielen welke niet in een scherpen top eindigen, blijft een eindvlak over, waardoor warmte op de lucht wordt over-gedragen. De ribbreedte b wordt daarom vermeerderd met de halve ribtopdikte:
b' = b + d/2.
Men heeft b.v. voor een rib van een 450 pk Jupiter IV motor: b' = 2,7 + 0,035 = 2,735 cm.
Verder verdient nog vermelding de correctie, welke aan-gebracht zou moeten worden tengevolge van een niet constante temperatuur over de doorsnede, de z.g. „cross-flow".
De invloed dezer beide correcties op het koeleffect bedraagt slechts 0,6%. Daar de mathematische behandeling ervan zéér omvangrijk is, gaan wij hierop niet verder door.
We nemen uit dit Report (16) nog over de formules voor eenige andere gevallen. Voor koelribben met trapeziumvormig profiel op vlakke platen wordt aangegeven:
^^^ Hl (iai) Jo (iaj + iHp (iaJ iJi (ia,) " Hl (iai) Jo (iaa) + ijj (iaj iHo (iaa) O _ " ^ t Hl (iaa) ijl (iai) — iJi (iaa) Hi (iai)
gi'cos /3 " Jo (iaa) Hl (iaj + iJi (iai) iH, (iaa)
') (16) blz. 4 en 27.
^) Tabellen van de hierin voorkomende Besselfuncties vindt men in
waarin de beteekenis der letters hieronder is aangegeven: Fig. 1.
g = ]/ "
^ W sin /9 | / d i ( l - t g ^ - ) 2tg|5 a^ = 2gl/b'
+
d i d - t g ,9) 2 t g ) 3 b ' = b -f dl/2.Het koeleffect volgt thans uit de formule: Q
2 a To b'/cos a
na substitutie van de uitdrukking voor Q geeft dit: _ _a2_ iji(iai) Hi(iaa) — Hi(iat) iji(iaa) ''" " 2g%' Jo(iaa) Hi(iai) + iHo(iaa) iji(iai) * Bij een driehoekig profiel, waarvoor dj = O en ai = O wordt, laat deze formule zich herleiden tot:
- i l iJi(iab|/2) Vv.
ab Jo(iaby2)^
waarin a = I , terwijl sin /? is vervangen door d2/2b. / 2c '^(da/2)
Het koeleffect van ribben met een rechthoekig profiel en dat van ribben met andere profielen verschilt binnen practische grenzen ten hoogste 5 % .
Ter berekening van de warmtestrooming in ribben met rechthoekig profiel, geplaatst op een cylindrisch lichaam, gaat men uit van de grondvergelijking voor de ééndimensionale warmtestrooming in poolcoördinaten:
d / , d t \ 2a — d . r — = — r t . dr \ dr / / Na uitwerking wordt dit:
^t 1 dt 1 = a^t dr' ^ r dr 2 2 a waarin: a^ = -—-. Xd De randvoorwaarden zijn: «'t „ -— = 0 voor r = R, or t = to voor r = Ro en de oplossing luidt:
^ Jo(iar) Hi(iaRJ + iHo(iar) iJi(iaR,) * ^' Jo(iaRo) Hi(iaR,) + iHo(iaRo) iJi(iaR,)
Q 4jr g to iJ^(iaRo)Hi(iaR,)—iJi(iaR.)Hi(iaRo) ^ a '•jo(iaRo)Hi(iaR.)+iJi(iaR,)iHo(iaRo)
2Ro iJi(iaRo)Hi(iaR,)—iHi(iaR,)Ji(iaR.) '''' a(R.''-R,^) Jo(iaR„)Hi(iaR,)+iJi(iaR,)iHo(iaR,) Uit een vergelijking van de formules voor t, Q en rj^. bij de verschillende ribsoorten laat zich afleiden, dat voor ribben met trapeziumvormig profiel op cylinders, deze grootheden in de volgende algemeene gedaante te schrijven zijn:
t = to f (ar, aRo, aR„ jS) 4;rato
a Ro w (aRo, aR,, P) ''^ = a(R^-Ro^) ^ ^'^«' '^^' ^^
waarin:
a = y-YT- (d.n = gem. dikte)
Rt
^(aRo, aR„ |3) = — - / f(ar, aRo, aR„ /3)d(ar)=' aRo J
Ro
Expliciete uitdrukkingen voor deze functies zijn niet op-gegeven; wij zullen ons ook niet bezig houden met de vraag, hoe deze te verkrijgen, doch zullen in hoofdstuk V aan de hand van resultaten, met de hierna te beschrijven iteratie-methode gevonden, eenige eigenschappen ervan trachten vast te stellen.
HOOFDSTUK III.
Iteratiemethode, toegepast op de berekening van
het temperatuursverloop.
1. Algemeene formuleering.
Bij de exacte berekening van het temperatuursverloop stuit men op veel te omvangrijke becijferingen, welke vooral bij koelribben met een trapeziumvormig profiel op cylinders practisch onuitvoerbaar worden. Men stuit op transcendente functies, waarvoor geen tabellen bestaan. Daarom heb ik gezocht naar een eenvoudige en toch zeer nauwkeurige be-naderingsmethode, om ook bij dezen vorm van koelribben vooraf de temperatuurskromme te kunnen bepalen. De ver-kregen nauwkeurigheid overschrijdt de eischen der practijk en de theoretische grondslagen zijn zeer eenvoudig.
L6_1R,
Fig. 2.
De rib wordt in radialen zin in n stukken verdeeld, welke genummerd worden in de richting van den ribtop naar den ribvoet.
We beginnen met een willekeurig temperatuursverloop aan te nemen, en stellen daartoe:
t„ = C' + c„,
waarin C' een voorloopig onbepaald bedrag voorstelt, voor alle vakken even groot en c„ een veranderlijk bedrag, waar-voor een reeks van waarden wordt gekozen (cj wordt nul genomen); t„ stelt weer het verschil voor tusschen de tempera-tuur in het beschouwde vak van de rib en de temperatempera-tuur
van de lucht.
De gemiddelde (over-)temperatuur ^) in elk vak is dan bekend en dus kan de hoeveelheid warmte q^, welke ieder vak per tijdseenheid naar buiten afgeeft, berekend worden. Op deze wijze vinden we:
qi = ai Fi tl
<im = «m Fm t„;
F„ is het vrije oppervlak van het deel m van de rib, a^ is de warmte-overgangscoëfficiënt voor d^t deel.
Sommeert men deze formules vanaf qi tot en met q„, dan krijgt men de hoeveelheid warmte Q„, die door de doorsnede tusschen vak m + 1 en vak m wordt aangevoerd:
Q . = ^ q . = ^ « m F „ t ^ (1)
1 1
Deze hoeveelheid vereischt een bepaald, temperatuurs-verschil tusschen deze vakken, dat gegeven is door:
') Onder „temperatuur" zullen we in den vervolge bovengenoemd tempe-ratuursverschil verstaan.
f„A„
(t, m+ I t j (2)
waarin f^ het aanrakingsoppervlak is van deel m en deel m + 1 , dus gelegen in een vlak, loodrecht op het vlak van teekening. S^ is de loodrechte afstand tusschen de middens van twee opeenvolgende deelen.
Bij het laatste vak moet men voor ó„ den afstand invoeren, gelegen tusschen het midden van vak n en den cylinderwand; zijn de vakken alle gelijk, dan wordt dus (5„ = ó/2.
We stellen nog:
^m = t „ ^ , t^
Dan volgt uit (1) en (2): LX„
^ . = 2 ' a „ F „ t ta m m
(3)
Fig. 4.
We passen deze formules als volgt toe:
Wanneer we in formule (1) sommeeren van m = 1 tot m = n, dan staat in het linkerlid de totale af te voeren warmte Q:
waarin dus:
A = l'a„F„c„
1B = C ' ( r a „ F J .
Daar de waarde van C' nog onbepaald was gelaten, stelt deze vergelijking ons in staat om C' te berekenen.
Vervolgens berekenen we een nieuwe temperatuursverdee-ling met behulp der formules:
ti = C' ta = C' + ^1
m—1
t„ = C' + Sê^ = C' + 6 ) _ ,
1
De temperatuur van den cylinderwand volgt tenslotte uit:
t„ = c' +
z&^ = a +
0.
De tweede stap is nu, om met behulp van deze nieuwe kromme de geheele bewerking te herhalen, waartoe gesteld wordt:
t_^ = C" (onbekend) + ê^
Hiermede wordt voortgegaan, totdat een verdere herhaling geen meerdere nauwkeurigheid met zich mede zou brengen, wat te bemerken is aan de waarde van C, die dan nagenoeg dezelfde moet blijven.
2. Voorbeelden.
In verband met de verrichte beproevingen met koelribben zijn de volgende gegevens aangenomen:
Q = 360 kcal/h A = 36 kcal/mh °C a = 108 kcal/m%°C
Ribafmetingen:
b = 3,0 cm.
d = 0,3 tot 0,1 cm. (trapezium profiel) Ro = 4,4 cm.
R, = 7,4 cm.
ö = 0,6 cm. (Voorloopige verdeeling in 5 vakken). d = 0,2 cm. (Latere „ „ 1 5 » )•
Bij de berekening van ^ ' ? = a^ F„ t„ en Q„ = f„ -^«?,
O™
komen de volgende grootheden vaak voor ^):
TABEL 1. Veel voorkomende grootheden bij de berekening.
F„ = 2 ^ ( r ^ ^ - r ^ „ + ,) 53,5 . 10-* 49 . 10-* 44,4. 10-* 40 . 10-* 35,6. 10-* Fm«n, 0,577 0,529 0,480 0,432 0,384 2,402 2 - r „ d ^ ^ 3,59 4,2 4,65 4,9 10,4
We gaan uit van de volgende willekeurig aangenomen reeks van waarden voor de e's:
Cl = O ° C ; Ca = 21 ° C ; Cs = 5 4 ° C ; C4 = 102 ° C ; Cg = 157 ° C .
^) De horizontale projectie van het koelriboppervlak en het oppervlak zelf zijn gelijk genomen, daar cos |S = 0,99949.
Door gebruik te maken van formule (4) is nu C' te berekenen:
TABEL 2. Variabel en constant gedeelte van de
warmte-overdracht. t„ = C' + c„ Cl C ^ + 21 C^ + 54 C^ + 102 C^ + 157 «m F„, c„ 0 11,1 25,9 44 60,5 A = 141,5 m ( ^ « „ F J C 1 2,4. C' B = 2,4 C' 141,5 + 2,4 Cl = 360 kcal/h. C^ = 91,5 °C = tl. Vervolgens wordt vergelijking (3) toegepast:
TABEL 3. Warmtegeleiding en temperatuursverloop.
t „ = C ' + c , 91,5 112,5 145,5 193,5 248,5 q™ 52,8 59,6 69,8 83,6 95,5 Q™ 52,8 113,4 183,2 266,8 362,3
K
14,65 26,72 39,3 54,4 34,6 0 . - 1 14,65 41,35 80,65 135,05 169,65 t™ 91,5 106,2 132,9 172,2 226,5 261,0Voor den tweeden stap vormen de zoojuist gevonden 0„_,-waarden het uitgangspunt en wordt gesteld: Ci = O,
deze c-waarden zijn nu wederom A, B en C" te berekenen, waarna we met een daaruit voortvloeiende 0„_i-kolom een derde benadering kunnen aanvangen.
Is de kromme benaderd met een verdeeling in 5 vakken, dan kan tot een meer nauwkeurige benadering overgegaan worden met een verdeeling in 15 vakken, d^ wordt nu 3,0/15 = 0,2 cm en ö„ = 0,1 cm.
Uit de temperatuurskromme, benaderd in 15 vakken, volgt nu:
TABEL 4. Warmteoverdracht, warmtegeleiding en
tempera-tuursverloop. C'^-fO 3 7 11,5 19,5 27,5 36,5 48,5 60,5 74,5 89,5 107,5 125,5 146,5 167,5 «rnF^C^ 0 0,58 1,31 2,09 3,43 4,70 6,05 7,75 9,36 11,1 12,9 14,9 16,7 18,65 20,40 A = 129,5 t . aangen. w 95,5 98,5 102,5 107,5 115 123 132 144 156 170 185 203 221 242 263 q, 18,8 18,9 19,1 19,6 20,3 21 21,7 23 24,1 25,3 26,6 28,1 29,4 30,8 32,1 Q . 18,8 37,7 56,8 76,4 96,7 117,7 139,4 162,4 186,5 211,8 238,4 266,5 295,9 326,7 358,8
K
2,1 3,8 5,3 6,7 8,0 9,4 10,7 12,0 13,4 14,9 16,4 18,2 20,0 21,9 12,0 0„_, 2,1 5,9 11,2 17,9 25,9 35,3 46,0 58,0 71,4 86,3 102,7 120,9 140,9 162,8 174,8 t . verbeterde w. 95,5 97,6 103,5 106,6 113,4 121,4 130,7 141,5 153,5 166,9 181,8 198,2 215,4 236,4 258,3 270,3 129,5 + 2,4 C'^ = 360 kcal/h. C'^ = 95,5 °C.Hieruit is wederom een temperatuurskromme te teekenen, waarna de benaderi;^ weer opnieuw begint, totdat twee op-eenvolgende krommen elkaar geheel bedekken.
3. Toepassing van de iteratiemethode ter bepaling van den invloed eener verandering van de ribtopdikte.
Zooals reeds in de inleiding vermeld staat, kunnen we door toepassing van de iteratiemethode de consequenties overzien van elke verandering in het ribprofiel.
t 350 3'i2 oc 319 309 300 \ \^. \ \
V
\ \ \ ^ \s
K
^^ \ g-IOeO kcal/h .<' 288 lual/m ^^ 36 k cal/mL
\ ^ \ hoC i=Cs
s\
\ ^ ^k
>V
^ ^ ^ Noio
2 . ^ )0 '~ -d,:dt S8 2,2:2.2 37 2 , 2 : 0 / 20 2 , 2 : O Fig. 5.Het temperatuursverloop bij verschillende ribtopdikten. Bijgaande figuur 5 laat duidelijk zien hoe de temperatuurs-kromme draait bij verandering der ribtopdikte. Bij eenzelfde
Q, b, «, X en ribvoetdikte, is alleen de ribtopdikte geleidelijk veranderd van 2,2 mm tot O mm, wat voor dit voorbeeld neerkomt op een verandering van het zuiver rechthoekige tot het driehoekige profiel. Voor al deze vormen is met behulp van de iteratiemethode de temperatuurskromme bepaald. De uitkomsten der berekening zijn vermeld in tabel 5 en uit-gezet in fig. 5.
Met deze figuur is tevens het bewijs geleverd, dat de ver-onderstelling van SCHMIDT (18) juist is, n.l. dat het
tempera-tuursverloop bij driehoekige profielen steiler verloopt dan bij alle andere bovenbedoelde profielen. Het verloop bij drie-hoekige profielen benadert dus het rechte temperatuursverloop het meest en daarom zijn deze profielen uit een gewichts-oogpunt gunstiger. In hoofdstuk VI § 3 wordt hier nader op ingegaan en vormt het rechte temperatuursverloop de basis voor de ribberekening.
TABEL 5. Temperatuursverloop bij verschillende ribtopdikten.
d
t, tau
u
u
to ,: d. = 2,2 : 2,2 58 69 98 149 237 308 2,2 :0,7 41 60 98 160 256 319 2,2 :0 26 55 99 169 269 343Indien het materiaal gunstig verdeeld wordt, heeft dit op de cylinderwandtemperatuur en het temperatuursverloop een zeer belangrijken invloed.
Om dit aan te toonen is het temperatuursverloop bij een rib met rechthoekig profiel vergeleken met een even zware rib met trapeziumvormig profiel, waarvan bij dezelfde rib-breedte de ribtop 0,5 mm is gekozen.
Voor dit voorbeeld moet daartoe de volgende vergelijking opgelost worden: (30 X 1,5). 2^ . 59 = ^ (d, + 0,5) . 2n (10 ^ ^ ^ +44), 2, d„ + 0,5 t <|00 oc 300 293 V \ \ \ , \
A
\ \ REOf f \ ^ VOO. \ \ ÏPRO \ « • 3 E 0 kcal/h X- 36Vcal/mh°C ^ . 1 CSkca l/m»h •c m, s ^ S ^ UAPEN
N
auM\ ^ OftMH V , . iPHO "-^ X L ^ • ^ -.-. 88<>C R j A ^ . Fig. 6.Verandering van het temperatuursverloop bij gelijkblijvend gewicht van de koelrib.
wat in woorden beteekent, dat de inhoud van beide om-wentelingslichamen dezelfde is gehouden.
Bij een aangenomen ribtopdikte van 0,5 mm wordt nu de ribvoetdikte d„ = 2,7 mm.
Het temperatuursverloop voor beide ribben is berekend aan de hand van dezelfde gegevens. Uit dit verloop blijkt zeer duidelijk van welk een groot belang de juiste verdeeling der beschikbare massa's is.
In het gekozen voorbeeld zou het trapeziumvormige profiel nog wel bruikbaar zijn, terwijl het rechthoekige profiel waar-schijnlijk tengevolge van de hooge cylinderwandtemperatuur terzijde moet worden gelegd.
Bij de verdeeling van de beschikbare massa's mogen sterkte en uitvoerbaarheid van de rib niet uit het oog worden verloren. In hoofdstuk VI § 3 zal hierop worden teruggekomen.
HOOFDSTUK IV.
ï waaruit a = 63,1 [m ^] .
Vergelijking tusschen exacte berekening en
benadering.
Bij een koelrib met rechthoekig profiel op een cylinder, kan de uitkomst der iteratiemethode vergeleken worden met de oplossing der differentiaalvergelijking op blz. 24.
Voor de exacte berekening van de temperatuurskromme dienen de volgende gegevens:
Q = 360 kcal/h per rib. Ro = 4,4 cm.
R, = 7,4 cm. d = 0,15 cm.
a = 108 kcal/m%°C X = 36kcal/mh°C
Op grond hiervan vindt men de volgende waarden voor de op blz. 24 voorkomende Besselfuncties:
iJi (iaRo) = iJi (i 2,775) = —3,227 Hl (iaR,) = Hl (i 4,67) = —0,003743 ij, (iaR,) = iJi (i 4,67) = -17,9783 Hl (iaRo) = Hl (i 2,775) = —0,03354
Jo (iaRo) = 4,0782 iHo (iaRo) = 0,02876 Hiermede wordt
O = i ^ R iJi ('aRo) Hi(iaR,) — iJi(iaR,) Hi(iaRo) ^ a " Jo (iaRo) Hi(iaR.) + iJi(iaR,) iHo(iaRo)
4.108.7^.0,044 (—3,227)(—3743)—(—17,9783)(—3354) __ ~ 634 *" (+4,0782)(—3743) +(—17,9783)(+2876) ~ 1,05 to, waaruit volgt: to = 0,953 Q=343 °C, en verder:
(-374)(20,3879) + (-17,9783)(339)
Door in de formule: tt = to f (ar, aRo, aR,)
aan r verschillende waarden te geven, is de exacte temperatuurs-kromme verkregen en uitgezet in fig. 7.
t 4 0 0 *>c B31S A343 3 0 0 2 0 0 IOC 0
V
\V
\V
\ V \ \ 0 - 3 6 0 kcal/h I X . ICiekcal/m'h"C A . . SSkcal/mh^C AA Theorttische krarvne BA B«niderin9 met i l vakken CA „ . tvetken \s
s
V . ^ ^ — • —- — R e * * ^ 20|lBBB£niTCINmin 3 ^ Fig. 7.Vergelijking tusschen exacte berekening en benadering. De benaderingskrommen zijn op vroeger beschreven wijze samengesteld. Voor het laatste vak, dus het 5de, respectievelijk het 15de vak, is voor d^ ingevuld ó„ = |(5.
Gezien de groote overeenstemming (de verschillen blijven beneden 0,4%), is in den vervolge aangenomen dat de tem-peratuurskrommen, verkregen met de iteratiemethode, voor ons doel identiek zijn met de exact berekende. Daar deze identiteit zich ook voordoet bij rechthoekige en trapezium-vormige ribprofielen op vlakke platen, mag aangenomen worden, dat de temperatuurskromme voor koelribben met trapeziumvormige profielen op cylinders, bepaald met deze benaderingsmethode, eveneens identiek zullen zijn met de exact berekende krommen.
De benaderingskromme zal voortaan theoretische kromme genoemd worden, in tegensteUing met de experimenteele kromme.
In de onderstaande tabellen zijn de cijfers verzameld, welke betrekking hebben op de laatste stappen van het iteratieproces:
TABEL 6. Variabel en constant gedeelte van de
warmte-overdracht.
t.=C-' + c.
CVi CVI+ 13,6 CVi -f- 43,3 CVi + 97,3 C^ + 186,8 «m Fm Cm 0, 7,2 20,8 42 72 A = 142^ « . F . C-'
V1 / 2,405 X CVi B = 2,405 C^ 142 + 2,405 0^^=360 kcal/h. CV^=90,6°C.Nu C^^ bekend is, kan een verbeterde temperatuurskromme berekend worden:
TABEL 7. Warmtegeleiding en temperatuursverloop. t„ 90,6 104,2 133,9 187,9 277,4 qm 52,4 55,1 64,2 81,1 106,5 Q . 52,4 107,5 171,7 252,8 359,3 13,6 29,7 54,2 89,2 72,2 ö.„_, 13,6 43,3 97,5 186,8 259 t„ 90,6 104,2 133,9 188,1 277,4 349,6 Uitzetten op midden van vak: 1 2 3 4 5 cylinderwand
Hierop wordt voortgebouwd met een benadering in 15 vakken, waarvoor de waarden van c„ zijn afgeleid uit de kromme, bepaald door de cijfers in de voorlaatste kolom van bovenstaande tabel.
Een vergelijking van de exacte berekening met de benadering in 5 vakken en die in 15 vakken laat zien, dat de maximale fout optreedt aan den cylinderwand. Deze bedraagt voor 5 vakken 1,7% en voor 15 vakken maximaal 0,545%, terwijl de gemiddelde fout veel minder bedraagt.
Hieruit is de conclusie te trekken dat voor de praktijk een benadering in 5 vakken zuiver genoeg is, daar de meetfouten de maximale fouten der berekening overschrijden.
TABEL 8. Warmteoverdracht, warmtegeleiding en tempera-tuursverloop. t„ ^ V I I
+ 0
+ 1
+
3,5+ 8
+
15+
23+
33+
45+
59+
78+
99 + 124 + 153 + 188 +231 amF„c„0
0,192 0,654 1,450 2,640 3,930 5,460 7,20 9,14 11,62 14,20 17,10 20,30 24,00 28,15 t. 89 90 92 97 104 112 122 134 148 167 188 213 242 277 320 q,n 17,6 17,3 17,3 17,6 18,4 19,1 20,2 21,4 22,8 24,9 27 29,4 32,1 35,2 39,1 Q™ 17,6 34,9 52,2 69,8 88,2 107,3 127,5 148,9 170,7 196,6 222,6 252,0 283,1 318,3 357,4 Dl 1,45 2,94 4,54 6,23 8,13 9,95 12,5 15,15 18 21,5 25,3 29,9 35 41,2 24,1 0.-, 1,45 4,39 8,93 15,16 23,29 33,24 45,74 60,89 78,89 100,4 125,7 155,6 190,6 231,8 255,9 t„ 89 90,5 93,4 97,9 104,2 112,3 122,3 134,7 149,9 167,9 189,4 214,7 244,6 279,6 320,8 344,9 (-.VII ^ 3 9 0 ^HOOFDSTUK V.
Nadere beschouwing van den invloed van het
ribprofiel op de koeling.
Ofschoon het tot dusver niet mogelijk was een bruikbare formule samen te stellen voor het temperatuursverloop in koelribben met trapeziumvormig profiel op cylinders, opent toch de iteratiemethode den weg, om de juistheid van enkele veronderstellingen na te gaan.
Aan het slot van hoofdstuk II waren de volgende formules opgesteld:
t = to f (ar, aRo, aR„ P) (1) 4natn
Q = Ro f (aRo, aR„ /3) (2) waarin:
a ^ Ad„
V-(aR„,aR„)3) = - — / f (ar, aR,, aR„ /3) d(ar)='
Het laat zich vermoeden dat de algemeene bouw van f (...) en y) (.. .) groote overeenkomst zal vertoonen met dien van de overeenkomstige functies voor andere profielen, waar-voor deze functies wel bekend zijn (zie hoofdstuk II).
De vraag doet zich nu voor, welke invloed op het tempera-tuursverloop wordt uitgeoefend door veranderingen der groot-heden, voorkomende in formules (1) en (2)?
Alleen die veranderingen zullen bestudeerd worden, welke binnen practisch uitvoerbare grenzen blijven. De grootheden die niet genoemd zijn, moeten als constant worden
aan-genomen. (Dit geldt voor elk der onderstaande punten af-zonderlijk).
Aan de hand van de met de iteratiemethode verkregen resultaten, komen wij dan tot de volgende conclusies:
1. Allereerst blijkt, dat Q en to rechtevenredig zijn, wat ook door het experiment (fig. 29) bevestigd is geworden.
2 0 2 7 RBeRCCOTC IN inm
>^^,^^^^;;^;^^^^m-^/////////>^/^^///;iH
Fig. 8.
De invloed op het temperatuursverloop bij gelijktijdige ver-dubbeling van Q en R„.
2. Gelijktijdige halveering van Q en Ro heeft zoowel op het temperatuursverloop als op de cyhnderwandtemperatuur to weinig invloed, waaruit dus een kleine gevoeligheid van f ( . . . . ) en y> {. . . .) volgt voor veranderingen van Ro. Q en Rj zijn dus bijna rechtevenredig (fig. 8).
vermoeden, dat ook verandering van R; weinig invloed zal hebben, m. a. w. dat bij gegeven Q de straal van den ribtop Rg^ de temperatuur to zoo goed als niet beïnvloedt. Dit wordt bevestigd door de krommen van fig. 9 en 10, waar to practisch
t 350 3^*11 3 1 3 / 303 200 100 \ \ \ 1 \ \
V
\ y \ *< 9 • 1080 kol/h ~ . 2e8kcal/m"h">C A- 36 Kcal/m h°C ^ ^V
V
< ^s^
^^--s
, N so°c S2 \ -• -• - ^ 10 2 0 21,6 27 RIBBREEDTE N mm Fig. 9. Ribbreedte verkort.constant blijft. Dit geldt voornamelijk, indien a groot is (bijv. 288) en de ribtoptemperatuur beneden 100° C ligt; bij hoogere ribtoptemperaturen kan de verandering echter bedenkelijke vormen aannemen (fig. 11).
Het bovenstaande leidt tot de conclusie dat koelribben met afgeknotte profielen aan hoogere eischen voldoen, dan ribben
met spits uitloopende profielen. Als speciaal geval volgt hieruit dat trapeziumvormige ribprofielen aan hoogere practi-sche eipracti-schen voldoen dan driehoekige ribprofielen.
De verkorte koelribben welke in genoemde figuren zijn X 3 2 2 319 300 2 0 0 100 ' ^ \ \ \ l \ ^
V
\ \ ^ 9 • lOeO kcal/h . . • 288 kcal/m'h°C ^^ 3S kc l/mh •>ck
^ ^.1
^ ^s
^ ^ 10 2 0 RIBBREEd ^ ^
•i " e 'rm^/óyy^99y/9^^^'^^'^^H
=4
rt 30 3: JTEINmm .A •n ' t Fig. 10. Ribbreedte verlengd.aangegeven, voeren bij dezelfde to eenzelfde hoeveelheid warmte af, zijn lichter en hebben een beter koeleffect.
Trapeziumvormige ribprofielen van maximaal toelaatbare breedte zijn dus minstens gelijkwaardig aan driehoekige pro-fielen van dezelfde of zelfs iets grootere breedte.
Het moet dus steeds mogelijk zijn, spits uitloopende pro-fielen te vervangen door afgeknotte propro-fielen van gelijke breedte
en gewicht, zonder dat aan de overige eischen iets gewijzigd behoeft te worden. t 400 372 324 300 273 246 \ , ^ \ \ s. \
N
s, \k
s^
s 0 . 3V
NX
N
$Okc s V \ s N \ alA \ sX
kv.
s v A . 'i3,2kcaL/inh'>C « « 72 kcalAn'h»C ït 0£M OSkc U/n'h «c«'v^
N V , \ «"•A orB - ^ • ^k,
\ \ ^ ^ • " ^ ^ • ^ -...^ ^ ^ ^--7fïft 163 — leo A B 107 B Fig. 11. Ribbreedte verkort.Verder kan nog opgemerkt worden, dat ribtoptemperaturen beneden de 100° C geen aanbeveling verdienen, daar een rib niet aan de hoogste eischen voldoet, zoolang de breedte is te verkleinen zonder to op te voeren, waardoor aan gewicht,
sterkte en koeleffect wordt gewonnen. In hoofdstuk VI § 3 zal dit nader worden uitgewerkt.
4. De orde van grootte van den invloed die Ttoelaatbare veranderingen van Ro en Rt op de af te voeren hoeveelheid
t 3 5 0 »e 304 296
m
200 ^ " ^s
^ S W V^ y^ ^ ^ s ^ RECHTHOEKIG PROTIEL TRAPEZIIWVORMB PRC DRir X ^ flEL, q • 0 0 0 kcal/h . . • 108 kcat/m'h°C A . 3 6 kca j/mh° «EKI ^ ^ S PRf ^ ^ firi ikV
^ ^ ^ ^ S . ^ * ^ ^ i-^ s^ ^ , ~^ • ^ "~ <I>:<1| 103 2,2:2,2 96 2,2: IJB 89 2,2: 1^0 76 2,2:0,4 60 2 , 2 : 0 , 0 20 27 RBBREECfTE H m m Fig. 12.Het temperatuursverloop bij verschillende ribtopdikten. warmte hebben, is klein t. o. z. van wat met veranderingen van a is te bereiken.
Uit fig. 12 en 13 volgt, dat kleine veranderingen van d weinig te beduiden hebben. Veel kan d veranderen, door i. p. V. staal of ijzer, aluminium te nemen; tevens wordt dan
9-voudig wordt en a 1/3 van zijn waarde krijgt. Fig. 14 en 15 laten dan ook zien, dat dergelijke veranderingen wel grooten invloed hebben.
Om redenen, in het eerste hoofdstuk vermeld, moet vooral getracht worden, de cylinderwandtemperatuur te drukken.
t 3 3 2 3 0 0 361,4 2 5 0 2 0 0 IOC 0
s,
\ VN.
^ \s.
\ ^. ^ • ™ ~ ~ \ ss,
^ " • ' ' \ , N^ ^ 9 . 360 kcal/h . . . KetalMh'k-
)6hu /mhO N ^ Hii c : s ^ ti.X
V , \ ^ ^ Sta».-^ • ^ , ^ ^ -..^ --_. P= • " • oc <l,:dt 104 4:i 100 3,5:1 97 3:i 75 2:0,5 Fig. 13.Verandering van ribvoetdikte.
De practijk heeft bewezen, dat stalen cylinders met opge-schroefden aluminium kop goed voldoen. Daar de verbinding tusschen staal en aluminium bij luchtkoeling geen zorgen baart en dus nu de geheele compressieruimte van aluminium gemaakt kan worden, moet in deze richting voortgegaan worden. Staal of ijzer op de heetste plaatsen van een vliegtuig-cylinder is ongeschikt als koelribmateriaal, van welken idealen
vorm ook. Zij bieden in deze intensieve warmtestrooming te grooten weerstand.
De warmte-overgangscoëfficiënt van de rib op de lucht is onafhankelijk van het materiaal en vrij ongevoelig voor de
350 °C 319 3 0 0 2 0 0 171 146 IIB 100 (».•« 4
'4
V
\ N \ ^ \ \ X "~~" \ \ —N A = .k
\ ^ =J \ 9* 1067 kcal/h «.2e8kcal/nfh''c \ 1's-s ==: \ A-180 " T 2.2:0,7 "" \ N^ A-36kc»l/'n''°^ d,:d..2,2;o,7 ƒ ^.180 r • ^ _ 0 10 2 0 i , , , , Bimwrrnrr IM - , „ \/,//////JJ? . : ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ # ^ ^ ^ ^ ^//. //^ ^zz. i Z ^ oc 118 100% 101 8 1 % 8 9 8 9 % * ^ 3 7 % 27 Fig. 14.
Vergelijking tusschen aluminium en stalen koelribben. ruwheid. (N.A.C.A. (19)). De resultaten uit dit Report moeten echter met eenige voorzichtigheid aanvaard worden, daar het onderzochte temperatuurniveau ligt tusschen 273° en 360° absoluut, bij een windsnelheid van circa 12 m/sec. Dit wijkt wel veel af van werkelijke bedrijfsomstandigheden; ook is
het aantal proeven te klein om daarop conclusies te baseeren. Wat de ruwheid betreft, heb ik uit mijn proeven op dit gebied de conclusie overgenomen, dat de koelende werking der lucht vrij ongevoelig is voor de ruwheid, voor zoover die zich binnen practisch uitvoerbare grenzen beweegt.
Fig. 15.
Verandering van a en X,
Teneinde den invloed van a na te gaan, schrijven wij formule (2):
Q = 4ni2a A d . to Ro y(aRo, aR„ /9).
Het blijkt dan dat daar, waar a voorkomt ook X staat, maar met dit groote verschil dat een toename van a ook een toename van a tengevolge heeft, terwijl dit juist niet
geldt voor X. Bij verandering van a tengevolge van een wijziging van a, heeft verandering van ^ in denzelfden zin plaats, dus:
Bij toe- of afneming van a, heeft een samenwerking plaats van de factoren ] 2a 1 d en y), terwijl bij verandering van
X (of van d), deze factoren juist tegengestelde werkingen geven. Enkele merkwaardige punten in de figuren 12 t/m. 15 zullen in het kort nog worden behandeld.
Zooals fig. 15 duidelijk aangeeft, verschuift de temperatuurs-kromme bij verandering van den overgangscoëfficiënt a nage-noeg evenwijdig aan zichzelf. (Zie ook hoofdstuk VII § 3).
Wordt de hoeveelheid warmte constant gehouden, dan geeft de formule:
Q = « F t , , „ .
het verband aan tusschen a en t^,^ (t^^^ = de gemiddelde ribtemperatuur; F = het totale riboppervlak).
Fig. 14 laat overzichtelijk zien, wat er geschiedt bij ver-andering van X en/of d. Het is mij gebleken dat de tempera-tuurskromme draait en wel om het punt t^^^. Wat er met aluminium te bereiken is, toont deze figuur wel zéér dui-delijk aan.
De figuren 12 en 13, welke den invloed van de verandering van ribtop- en ribvoetdikte aangeven, geven tevens een indruk, wat de invloed zal zijn van de verandering van X met de temperatuur. Wanneer X afhankelijk is van de temperatuur, zal X een functie zijn van den afstand tot de as van den cylinder; de invloed daarvan moet dezelfde zijn als die van de overeenkomstige verandering der dikte bij constante X.
HOOFDSTUK VI.
Het ontwerpen van koelribben,
1. Koelrib bij gegeven Q en t^.
Het is mijn bedoeling geweest, eenerzijds langs experimen-teelen weg de omstandigheden te bestudeeren, welke zich werkelijk voordoen, anderzijds de daaruit verkregen gegevens te gebruiken als basis, om een koelrib te ontwerpen welke aan bepaalde eischen moet voldoen.
De reeds vroeger besproken benaderingsmethode, alleen toegepast in een andere volgorde, stelt ons eveneens in staat om een koelrib te ontwerpen van de voorgeschreven eigen-schappen, met inachtneming van de variatie van het geleidings-vermogen en van den overgangscoëfficiënt. Aan de hand van een voorbeeld en fig. 16 zal de gang van de berekening het duidelijkst blijken.
De nummering van de vakken is nu van ribvoet naar ribtop. Gegeven zij:
Q = 610 kcal/h. to = 250° C. Ro = 44 mm.
Bij gebruik van vloeiijzer varieert X lineair van 37,8 tot 43,2 tusschen 250° en 100° C, bij gebruik van aluminium varieert X lineair van 189 tot 216 kcal/m h °C tusschen de-zelfde temperatuursgrenzen.
We zullen onderstellen dat a Uneair varieert van 216 tot 270 kcal/m^h °C tusschen r = 44 mm en r = 75 mm.
Gevraagd wordt thans het dikteverloop en R, te bepalen. We verdeelen den afstand van Ro tot R; in vakken van 2 mm breedte elk.
We nemen thans aan dat door elk vak dezelfde hoeveelheid warmte q„ wordt afgestaan aan de lucht.
Als gevolg van deze onderstelling is nu: q „ = t i a i F i =t2a2F2 =
We nemen ti=250° C, dan is:
= t „ a„ F„ (1) 3 0 0 oc 2 5 6 2 0 0 100 R.. W^ / / \
i
i
N
—s
\ V — '^ —" "^ ^ ^^ ^ ^ 10 2 0 3 yy-T-ry,.,....^ RIBBREEDTE IN tn nti
i
f
610 k f l O k cal/h ca(/m h°C ^ .915 • t 2 C kcal/ 10 kcal, / m h " 123 A !5 2S 50 ( ! • ' 5.n 0 Fig. 16.Koelribben waarvoor q^ een constante waarde bezit. 250.216^1,3.10-* =t2.219,6.11,8.10-*=
of: 61 =t2.0,259 =
Uit het verschil in temperatuur tusschen twee opeenvolgende vakken en de kennis der hoeveelheid te transporteeren warmte door de doorsnede tusschen twee vakken, volgen onderstaande vergelijkingen ter bepaling van de dikte:
2 ^ r , ^ ^ , d , = Q - t i a , F , = Q - q j (2) o In ra 4 *2 da = Q — 2 t, aa F2 = Q — 2q, o 27rr„ ^ ^ „ d „ = Q - ^ t „ a „ F „ = Q - m q i o 1
Uit de grootte van de warmtebelasting per rib laat zich onmiddellijk de ribbreedte b = R , — Ro berekenen:
b = 2 Q / q i = 2 Q / a i t i F i , daar elk vak 2 mm breed is. Uitkomst van de berekening:
TABEL 9. Temperatuursverloop, warmtegeleiding en ribdikten.
> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t™ 250 235,5 222,2 210,0 199,0 188,5 179,5 170,8 162,6 155,3 148,5 141,9 135,7 130
K
14,5 13,3 12,2 11,0 10,5 9,0 8,7 8,2 7,3 6,8 6,6 6,2 5,7 B > 79100 76400 73800 69800 69800 62600 62600 62500 62000 6a
549 488 427 366 305 244 183 122 61 din A -40 m m A^ 200 i 7 il,4 6,4 5,8 1,3 1,16 5,23,1,05 4,370,88 3,900,8 2,93 0,6 1,95 0,39 0,98 0,02 <% 0 396.10^ 382.10» 369.103 349.103 349.103 313.103 313.103 311.103 311.103 281.103 282.103 277.103 264.103 244.103 e O'a
854 793 732 671 610 549 488 427 366 305 244 183 122 61 d in m m 2,16 2,08 1,98 1,92 1,75 1,73 1,56 1,37 1,17 1,09 0,87 0,66 0,46 0,25De linker tabel geeft in de kolommen 1—6 de oplossing van het vraagstuk voor vloeiijzeren ribben, terwijl in kolom 7 de uitkomsten van goed geleidend aluminium vermeld zijn. In de rechter tabel is de warmtebelasting anderhalf maal zoo groot genomen en is wederom aluminium gebruikt. We zien dus, dat bij gebruik van aluminium aan bovengestelde eischen gemakkelijk is te voldoen, zonder dat de ribdikte voor motoren abnormale afmetingen aan gaat nemen. Voor luchtverhitters bijv., komen de dikke ijzeren ribben wel in aanmerking. Door den opzet van het vraagstuk is het heel eenvoudig, de ver-andering van A in te voeren, daar d en A hier met elkaar evenredig zijn.
Bij verdubbeling van Q en Ro beide, zal b nagenoeg hetzelfde blijven; hetzelfde doet zich voor bij het temperatuursverloop. Een kleine afwijking treedt op doordat in formule (2) wel Q verdubbeld wordt, doch Fj niet precies, daar n.l.:
F / = 27t(Ro' + 1)2 en Fj = 27r(2Ro + 1)2
Aan de andere zijde van het gelijkteeken wordt r^ niet precies verdubbeld. Dit geldt eveneens voor q^ uit formule (1).
Het blijkt dus uit formule (1) dat bij verdubbeling van Q en Ro beide, q„' kleiner wordt dan 2q„, waardoor b grooter uitvalt; tevens blijkt ê^ af te nemen en dus het temperatuurs-verloop vlakker te worden. Uit formule (2) volgt dan dat de rib dikker zal worden.
Bij uitsluitende verdubbeling van Q zal b iets meer dan tweemaal zoo groot worden.
Ro vloeit voort uit den geheelen constructieven opzet, van den motor, zooals: vereischt vermogen per cylinder, plaatsing der kleppen in den kop, toerental, ervaringscijfers, enz., enz. Deze straal is een van de voornaamste afmetingen van den motor en zal, hoewel beïnvloed door het koelingsvraagstuk, hierdoor niet vastgelegd worden. Steeds zal de koeling aan de waarde van Ro moeten worden aangepast en niet omgekeerd. Om den invloed van de verandering van Ro te kunnen be-merken in het koelingsvraagstuk, zou deze verandering binnen zulke wijde grenzen moeten geschieden, dat alle andere con-structieve eischen daardoor in het gedrang zouden komen.
2. Koelrib, waarbij qJF^ een constante waarde heeft. De koelrib die we nu gaan ontwerpen, moet per opper-vlakte-eenheid eenzelfde hoeveelheid warmte aan de lucht afstaan, terwijl tevens de variatie van a met de snelheid en
Fig. 17.
Koelribprofielen waarvoor q„,/Fj^ een constante waarde bezit. de afhankelijkheid van A van de temperatuur in rekening is gebracht.
Het benoodigde oppervlak is thans te berekenen uit de formules: q.n/F„ = a„t„ = constant = Q / F . Stel: Q = 540 kcal/h ai = 108kcal/m2h°C tl = 250° C.
dan volgt hieruit F = 100 cm^
Wordt de rib ontworpen voor een waarde van Ro = 44 mm, dan wordt:
7c(R,^ — R„2) = 100 c m ^ 1)
Rt — Ro = b = 27,6 mm.
D e rib wordt verdeeld in ringen met een breedte 6=2 mm. In aansluiting met de ondersteUing wordt:
108 . 250 = Ogta = Ojts = . . . . = a „ t „ = . . . .
Voor a is een lineair verloop aangenomen van 108 tot 135 kcal/m^h°C tusschen de grenzen r = 44 en x = 16 mm; in fig. 17 is dit weergegeven door de a-lijn. Voor A is in deze figuur een overeenkomstig verloop geteekend; de drie schalen duiden op drie verschillende materialen.
Op grond van deze gegevens zijn dus de temperaturen t„ en de temperatuursverschillen t„+; — t„ = ^^ te berekenen, zoodat de volgende tabel kan worden samengesteld:
') Bij de berekening is geen correctie ingevoerd voor het verschil tusschen de projectie van het oppervlak en de werkelijke groolte ervan.
TABEL. 10. Temperatuursverloop, warmtegeleiding en rib-dikten. 108 111,5 115,5 119 123 126 130 133 137 141 144 147 151 155 t "•m 250 242 234 227 220 214 208 202,5 197 192 187,5 183 178,5 174,5 {^ "m 8 8 7 7 6 6 5,5 5,5 5 4,5 4,5 4,5 4 0 n - Q p 30,6 31,8 33,1 34,5 36 37,2 38,6 40 41,4 42,7 44 45,4 37,7 m 1 510 477 444 410 374 336 298 258 217 174 130 85 37 d A-40 11,5 10,5 10 9,5 9,4 8,1 7,4 6,2 5,5 4,7 3,4 2,1 1,1 0 in m m A-160 2,8 2,6 2,5 2,4 2,3 2 1,8 1,6 1,4 1,2 0,9 0,5 0,3 0 A-200 2,3 2,1 2 1,9 1,8 1,6 1,5 1,2 1,1 0,9 0,7 0,4 0,2 0
Q - . ^ q „ = 2 ^ r „ ^ d ^ .
1 oHoewel de rib, vervaardigd uit vloeiijzer, voor vliegtuig-motoren niet in aanmerking komt, verdient zij toch de aan-dacht voor koel- of verwarmingsinstallaties. Wel zullen hier een andere a en to aangenomen moeten worden, doch in principe blijft de gang van de berekening geheel dezelfde.
Voor bepaalde fundamenteele gegevens waarover de con-structeur steeds de beschikking heeft, kan telkens een familie ribben ontworpen worden, verschillend in dikte, afhankelijk van het gebruikte materiaal.
Om hiervan vaste tabellen samen te stellen voor koelribben met een bepaalde A zou nutteloos zijn, daar de aard en de
voorbewerkingen van het gebruikte materiaal van grooten invloed blijken te zijn op A en op het verloop ervan met de temperatuur.
Hier staat tegenover dat voor a vrij vaste waarden zijn te be-palen. De afhankelijkheid van a van de temperatuur is te ver-waarloozen, terwijl de snelheidsverdeeling rond den cylinder en dus ook a, afhangt van Ro en van de aangenomen aanblaas-snelheid. Wat deze aanblaassnelheid aangaat, zal ze voor-loopig gelijkgesteld worden aan de vliegsnelheid. In werkelijk-heid zal bij een trekschroef de slipstroomsnelwerkelijk-heid ongeveer 1,4 maal de vliegsnelheid zijn en daarbij in sterke wervelingen de cylinders bereiken.
Ik heb enkele eenvoudige proeven gedaan om eenig inzicht te krijgen omtrent den invloed der wervelingen op de koeling. Aanvankelijk heb ik gemeend, dat lange dunne ribben van groot voordeel waren, daar zij tot in een gebied zouden kunnen reiken, waar een groote a heerscht, doch het experiment heeft bewezen, dat a op ongeveer 10 mm van den cylinderwand het grootst is. Onder 90° met de aanblaasrichting vertoont de a-kromme een maximum, gelegen tusschen Ro + 10 mm en Ro + 20 mm. Ligt dit maximum op een afstand R^^^ van de cylinderas, dan blijkt uit het experiment dat deze afstand een minimum is onder hoeken van 0° en 150°, en een maximum onder een hoek van 90° met de aanblaasrich-ting. In het hoofdstuk over de beproevingsresultaten wordt hier nader op ingegaan.
3. Koelribben met constante intensiteit der warmtestrooming.
Door SCHMIDT te Danzig is bizonder aandacht gewijd aan
de constructie van koelribben, waarbij de warmtestrooming in radiale richting een constante intensiteit bezit. Bij dergelijke ribben bestaat dus de betrekking:
m
f q- X ê
j _ ^ _ - m ^ constant (1).
SCHMIDT bewijst als volgt dat deze ribben zich onder-scheiden door een minimum aan materiaal (18) i):
„Wenn die Dichte des Warmestromes nicht überall gleich ist, wird das Strömungsfeld in der Rippe etwa die in Abb. 5 dargestellte Form haben, und die Stromröhren werden sich von einem Ende zum andern erweitern, wie Abb. 5 für eine einzelne schraffierte Stromröhre zeigt. Nun ist bei Strömungs-vorgangen der Widerstand eines cylindrischen Kanals kleiner als der eines Kegeligen gleicher Lange und gleichen mittlern Querschnittes. Man spart daher Baustoff, wenn man die Stromröhre veranderlichen Querschnittes durch einen Cyhnder ersetzt. Verfahrt man so mit allen Stromröhren, so wird in jeder die Warmestromdichte über die ganze Lange gleich
Abb. 5. Abb. 6.
bleiben, aber zwischen den einzelnen Röhren Verschieden-heiten aufweisen. Nun leuchtet weiter ein, dasz bei zwei parallel geschalteten Stromröhren, die Warme vom Rippen-fusz nach einem beliebigen Rippenquerschnitt übertragen, die Summe des Baustoffaufwandes ein Kleinstwert ist, wenn die Stromdichte in beiden Röhren dieselbe ist. Das Strömungsfeld erhalt dann die Gestalt von Abb. 6. Damit ist der Beweis geführt, dasz die Rippe kleinsten Baustoffaufwandes zugleich eine Rippe unveranderlicher Warmestromdichte ist. Bei kon-stanter Warmestromdichte ist aber die Temperaturabname
^) Prof. Burgers heeft hiervoor een differentiaalvergelijking opgesteld, waarvan de opzet zoo algemeen mogelijk was. Het bleek, dat bedoelde ribben een oplossing vormden van deze vergelijking.
langs der Strömung eine Gerade, wenn die Warmeleitzahl des Baustoffes unverandert bleibt, Abb. 6.
De stelling herinnert aan een analoge stelUng in de toe-gepaste mechanica, welke betrekking heeft op lichamen van overal gelijken weerstand.
In de volgende regels zal de constructie van ribben die aan deze voorwaarde voldoen, behandeld worden. Daarbij wordt ter vereenvoudiging A„ onafhankelijk van de temperatuur
1 , i
i
t 1 1 1 11
1 1 1 «0 i V 8m-i Fig. 18.genomen 1); uit formule (1) volgt dan, dat ??„ constant wordt. Dit sluit dus een rechtlijnig temperatuursverloop in zich.
a. Samenstelling van de Q-lijn.
Zooals in fig. 18 staat aangegeven, wordt de cylinderwand-temperatuur to verdeeld in twee gedeelten: een variabel gedeelte t„ en een constant gedeelte t„ zoodat dus:
to = t„ + t,
tv t^
of:
1 = ^ + -^ to to1) Deze vereenvoudiging in de berekening is voor de praktijk zeker gewet-tigd en geeft bij vergelijking onbelangrijke verschillen, terwijl bovendien de omvang van de berekening aanmerkelijk wordt bekort. Noodzakelijk is deze vereenvoudiging echter niet, omdat de berekening even gemakkelijk blijft ver-loopen ook al nemen we X wel afhankelijk van de temperatuur.
